第一篇：用向量法證明

用向量法證明

步驟1

記向量i，使i垂直于AC于C，△ABC三邊AB,BC,CA為向量a,b,c

∴a+b+c=0

則i(a+b+c)

=i·a+i·b+i·c

=a·cos(180-(C-90))+b·0+c·cos(90-A)

=-asinC+csinA=0

接著得到正弦定理

其他

步驟2.在銳角△ABC中，設BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足為點H

CH=a·sinB

CH=b·sinA

∴a·sinB=b·sinA

得到a/sinA=b/sinB

同理，在△ABC中，b/sinB=c/sinC

步驟3.證明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

任意三角形ABC,作ABC的外接圓O.作直徑BD交⊙O于D.連接DA.因為直徑所對的圓周角是直角,所以∠DAB=90度

因為同弧所對的圓周角相等,所以∠D等于∠C.所以c/sinC=c/sinD=BD=2R

類似可證其余兩個等式.希望對你有所幫助!

設向量AB=a,向量AC=b，向量AM=c向量BM=d,延長AM到D使AM=DM，連接BD,CD,則ABCD為平行四邊形

則向量a+b=2c(a+b)平方=4c平方a平方+2ab+b平方=4c

平方(1)

向量b-a=2d(b-a)平方=4d平方a平方-2ab+b平方=4d

平方(2)

(1)+(2)2a平方+2b平方=4d平方+4c平方

c平方=1/2(a+b)-d平方

AM^2=1/2(AB^2+AC^2)-BM^2

已知EF是梯形ABCD的中位線，且AD//BC，用向量法證明梯形的中位線定理

過A做AG‖DC交EF于p點

由三角形中位線定理有：

向量Ep=?向量BG

又∵AD‖pF‖GC且AG‖DC∴向量pF=向量AD=向量GC(平行四邊形性質)

∴向量pF=?(向量AD+向量GC)

∴向量Ep+向量pF=?(向量BG+向量AD+向量GC)

∴向量EF=?(向量AD+向量BC)

∴EF‖AD‖BC且EF=(AD+BC)

得證

先假設兩條中線AD,BE交與p點

連接Cp,取AB中點F連接pF

pA+pC=2pE=Bp

pB+pC=2pD=Ap

pA+pB=2pF

三式相加

2pA+2pB+2pC=Bp+Ap+2pF

3pA+3pB+2pC=2pF

6pF+2pC=2pF

pC=-2pF

所以pC,pF共線，pF就是中線

所以ABC的三條中線交于一點p

連接OD,OE,OF

OA+OB=2OF

OC+OB=2OD

OC+OC=2OE

三式相加

OA+OB+OC=OD+OE+OF

OD=Op+pD

OE=Op+pE

OF=Op+pF

OA+OB+OC=3Op+pD+pE+pF=3Op+1/2Ap+1/2Bp+1/2Cp

由第一問結論

2pA+2pB+2pC=Bp+Ap+Cp

2pA+2pB+2pC=0

1/2Ap+1/2Bp+1/2Cp

所以OA+OB+OC=3Op+pD+pE+pF=3Op

向量Op=1/3(向量OA+向量OB+OC向量)

第二篇：用向量法證明平行關系

2010 山東省昌樂二中 高二數學選修2-1導學案時間：2010-12-21班級：姓名：小組：教師評價：

課題: 3.2.1用向量法證明平行關系

編制人：劉本松、張文武、王偉潔審核人：領導簽字： 【使用說明】1.用20分鐘仔細研讀課本P95-P98,認真限時完成問題導學預習自測；

2.具體要求：

三、練一練：

????3????

1、已知點A(3,4,0),B(2,5,5),而且BC?OA，其中O為坐標原點，點C的坐標為

5?????

2、l1的方向向量為v1?(1,2,3)，l2的方向向量為v2?(?,4,6)，若l1//l2，則?等于

3、已知A，B，C三點不共線，對平面ABC外任一點O，滿足下面條件的點M是否一定在平面

（1）用向量表示直線或點在直線上的位置；

（2）用向量方法證明直線與直線平行、直線與平面平行、平面與平面平行；

【學習目標】 1.掌握用向量法證明平行關系，提高概念理解和應用能力；

2.獨立思考，合作學習，探究向量法研究空間平行問題的規律方法； 3.激情投入，形成扎實嚴謹的數學思維品質.【課前預習】

一、重點：用向量證明空間的平行關系；難點：空間向量在證明平行關系中的應用.二、問題導學

1.類比平面內直線的向量參數方程，寫出空間直線的向量參數方程.思考：當t?

1時，線段AB中點M的向量表達式是2.設?v????

21和v2分別是直線l1和l2的方向向量，則由向量共線的條件，得l1//l2或l1和l2重合的充要條件是什么？

l//?或l在?內的充要條件是什么？

?//?或?與?重合的充要條件是什么？

ABC內？ ????OM??2???OA?????OB?????OC?

(四)我的疑問：

【課內探究】

一、討論、展示、點評、質疑

探究一：用向量表示直線或點在直線上的位置

已知點A(?2,3,0),B(1,3,2)，以???AB?的方向為正向，在直線AB上建立一條數軸，P,Q為軸上的兩

點，且滿足條件：（1）AQ:QB??2；（2）AP:PB?2:3.求點P和點Q的坐標.拓展1：已知點A(3,4,0),B(2,5,5),C(0,3,5),且ABCD是平行四邊形，則頂點D的坐標

2010 山東省昌樂二中 高二數學選修2-1導學案時間：2010-12-21班級：姓名：小組：教師評價：

拓展2：已知O為坐標原點，四面體OABC的頂點A(0,3,5),B(2,2,0),C(0,5,0)，直線BD//CA，并且與坐標平面xOz相交于點D，求點D的坐標.拓展1（AB）已知矩形ABCD和矩形ADEF，AD為公共邊，但是它們不在同一個平面上，點M,N分別在對角線BD,AE上，且BM?1

1BD,AN?AE.證明：直線MN//平面CDE.3

3E

【規律方法總結】探究二：用向量法證明空間中的平行關系

如圖，已知正方體ABCD?A'B'

C'

D'，點M,N分別是面對角線A'B與面對角線AC''的中點.求證：MN//側面AD'

；MN//AD'，并且MN?1'

AD.A'

D'

B'N

C'

A

B

D

C

D

N

C

MA

B

拓展2（A）在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是正方形，側棱PD?底面ABCD，PD?DC, E是PC的中點.用向量法證明PA//平面EDB.E

C

B

【規律方法總結】

二、課堂小結：

1.知識與方法方面：2.數學思想方法方面：

第三篇：用向量法證明直線與直線平行

用向量法證明直線與直線平行、直線與平面平行、平面與平面平行導學案

一、知識梳理

???????

1、設直線l1和l2的方向向量分別是為v1和v2，由向量共線條件得l1∥l2或l1與l2重合?v1???∥v2。

2、直線與平面平行的條件 ?????已知兩個不共線向量v1、v2與平面a共面（圖（2）），??一條直線l的一個方向向量為v1，則由共面向量定理，可得l∥a或l在平面a內?存在兩個實數x、y，使

???????v1＝xv1＋yv2。

3、平面與平面平行的條件 ?????已知兩個不共線的向量v1、v2與平面a共面，則由兩個平面平行的判定定理與性質得 ?????a∥?或a與?重合?v1∥?且v2∥?

4、點M在平面ABC內的充要條件

由共面向量定理，我們還可得到：如果A、B、C三點不共線，則點M在平面ABC內的充分

?????????????必要條件是，存在一對實數x、y，使向量表達式AM?xAB?yAC成立。

?????????????????對于空間任意一點O，由上式可得OM?(1?x?y)OA?xOB?yOC，這也是點M位于平

面ABC面內的充要條件。

知識點睛用向量法證明直線與直線平行、直線與平面平行、平面與平面平行時要注意：

（1）若l1、l2的方向向量平行，則包括l1與l2平行和l1與l2重合兩種情況。

（2）證明直線與平面平行、平面與平面平行時要說明它們沒有公共點。

例1：如圖3－28，已知正方體ABCD－A′B′C′D′，點M，N

分別是面對角線A′B與面對角線A′C′的中點。

求證：MN∥側面AD′；MN∥AD′，并且MN＝12AD′。

已知正方體ABCD－A′B′C′D′中，點M，N分別是棱BB′與對角線CA′的中點。求證：MN∥BD，MN＝

[例2] 在長方體OAEB－O1A1E1B1中，|OA|＝3，|OB|＝4，|OO1|＝2，點P在棱AA1上，且|AP|＝2|PA1|，點S在棱BB1上，且|SB1|＝2|BS|，點Q、R分別是O1B1、AE的中點，求證：PQ∥RS 12BD。

在正方體AC1中，O，M分別為BD1，D1C1的中點．證明：OM∥BC1.例3] 如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M、N分別是C1C、B1C1的中點．求證：MN∥平面A1BD.變式應用

3如圖所示，已知正方形ABCD和正方形ABEF相交于AB，點M，N分別在AE，BD上，且AM＝DN.求證：MN∥平面BCE.堂鞏固訓練

→＝AB→，則點B應為1．設M(5，－1,2)，A(4,2，－1)，若OM

()

A．(－1,3，－3)B．(9,1,1)C．(1，－3,3)D．(－9，－1，－1)

→2→，則C的坐標是2．已知A(3，－2,4)，B(0,5，－1)，若OC3

1410A．(2，－，331410B．(－2，－)33

14101410C．(2，－，－)D．(－2，－)3333

3．已知A、B、C三點的坐標分別為A(4,1,3)B(2，－5,1)，C(3,7，λ)，→⊥AC→，則λ等于()若AB

A．λ＝28B．λ＝－28

C．λ＝14D．λ＝－14

4．已知a＝(2，－2,3)，b＝(4,2，x)，且a⊥b，則x＝____.

第四篇：向量法證明不等式

向量法證明不等式

高中新教材引入平面向量和空間向量，將其延伸到歐氏空間上的n維向量，向量的加、減、數乘運算都沒有發生改變.若在歐式空間中規定一種涵蓋平面向量和空間向量上的數量積的運算，則高中階段的向量即為n=2，3時的情況.設a，b是歐氏空間的兩向量，且a=(x1，x2，…，xn)，b=(y1，y2，…，yn)(xi，yi∈R，i=1，…，n)

規定a·b=(x1，x2，…，xn)·(y1，y2，…，yn)=x1y1+x2y2+…+xnyn=xiyi.(注：a·b可記為(a，b)，表示兩向量的內積)，有

由上，我們就可以利用向量模的和與和向量的模的不等式及數量積的不等式建立一系列n元不等式，進而構造n維向量來證明其他不等式.一、利用向量模的和與和向量的模的不等式(即

例1設a，b，c∈R+，求證：(a+b+c)≤++≤.證明：先證左邊，設m=(a，b)，n=(b，c)，p=(c，a)，則由

綜上，原不等式成立.點評：利用向量模的和不小于和向量的模建立不等式證明左邊，利用向量數量積建立不等式證明右邊.作單位向量j⊥AC

j(AC+CB)=jAB

jAC+jCB=jAB

jCB=jAB

|CB|cos(π/2-∠C)=|AB|cos(π/2-∠A)

即|CB|sinC=|AB|sinA

a/sinA=c/sinC

其余邊同理

在三角形ABC平面上做一單位向量i,i⊥BC,因為BA+AC+CB=0恒成立，兩邊乘以i得i*BA+i*AC=0①根據向量內積定義，i*BA=c*cos(i,AB)=c*sinB,同理i*AC=bcos(i,AC)=b(-sinC)=-bsinC代入①得csinB-bsinC=0所以b/sinB=c/sinC類似地，做另外兩邊的單位垂直向量可證a/sinA=b/sinB,所以a/sinA=b/sinB=c/sinC

步驟1

記向量i，使i垂直于AC于C，△ABC三邊AB,BC,CA為向量a,b,c

∴a+b+c=0

則i(a+b+c)

=i·a+i·b+i·c

=a·cos(180-(C-90))+b·0+c·cos(90-A)

=-asinC+csinA=0

接著得到正弦定理

其他

步驟2.在銳角△ABC中，設BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足為點H

CH=a·sinB

CH=b·sinA

∴a·sinB=b·sinA

得到a/sinA=b/sinB

同理，在△ABC中，b/sinB=c/sinC

步驟3.證明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

任意三角形ABC,作ABC的外接圓O.作直徑BD交⊙O于D.連接DA.因為直徑所對的圓周角是直角,所以∠DAB=90度

因為同弧所對的圓周角相等,所以∠D等于∠C.所以c/sinC=c/sinD=BD=2R

類似可證其余兩個等式。

第五篇：淺談用向量法證明立體幾何中的幾個定理

淺談用向量法證明立體幾何中的幾個定理

15號

海南華僑中學（570206）王亞順

摘要：向量是既有代數運算又有幾何特征的工具，在高中數學的解題中起著很重要的作用。在立體幾何中像直線與平面平行的判定，平面與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定等定理都沒有給出證明，而用向量法很容易證明這些定理。

關鍵詞：向量法直線平面平行垂直立體幾何

在高中階段我們學習了平面向量與空間向量的基本知識，而向量本身既可以進行代數運算又含有幾何特征，這是很典型的知識，促使其在代數或幾何方面都可以得到很好的應用，因此，在解題方面我們運用向量知識及本身含有的運算去解決問題的方法，我們稱為向量法。即向量法既能解決代數問題也能解決幾何問題。

立體幾何是我們高中學習的一個難點，關鍵在于其抽象性及理解定理的基礎上靈活運用，抽象性在此就不多言了，我們來談下定理的問題。在高中人教A版的第二章《點、直線、平面之間的位置關系》中，對于直線與平面平行的判定，平面與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定等定理都沒有給出證明，課本中只是探究說明，讓學生體會而得到。如果能給出證明，就能夠很好地體現定理的嚴密性，在此可以用向量法來證明。

下面我們就用向量法證明這些定理，先介紹一些向量知識及相關

定理。

定義1??兩個向量?與?的長度與他們之間的夾角的余弦的乘積

?????????稱為?與?的數量積。記為?????cos?。特別地，若非零向量?與

???????【1】 ?垂直，即???，則????0

定義2 ????空間任意兩個向量?與?的向量積是一個向量，記為???

?????????。它的模為?????sin?，其中?為向量?與?之間的（或???,??）??????夾角，它的方向與?和?都垂直，并且按向量?、?、???這個順序

構成右手坐標系【2】。如圖

1圖1

【3】定理1兩個向量?與?共線的充分必要條件是????0。?????

定義3????給定空間的三個向量?、?、?，如果先做前兩個向量?????與?的向量積???，再做所得向量與第三個向量?的數量積，最后得

?????【4】 到的這個數叫做三個向量的混合積。記作???,?或者?,?,?。?????

定理2輪換混合積的三個因子，并不改變的它的值，對調任何兩個因子要改變混合積的符號，即

???????????????????【5】 ?,?,???,?,???,?,????,?,????,?,????,?,?。???????????

下面我們用以上的向量知識證明立體幾何的幾個定理。

直線與平面平行的判定定理平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行。

已知：如圖2，a??,b??,且a?b,證明：a??。

圖2圖

3???分析：在平面?內找到一直線c，證明a,b?c?0即可。??

證明：如圖3，在平面?內的直線b上取一點o，過o點作一直

??線c與直線b交于o點；設直線a、b、c上分別有非零向量a、b、?c。

??????a?b?a與b共線即a?b?0.?????????

根據定理2，有a,b?c?c,a?b?0，即a與b?c垂直。????

?直線a與平面?的垂線垂直，又直線a在平面?外，?a??。證畢

平面與平面平行的判定定理一個平面內的兩條相交直線與另一平面平行，則這兩個平面平行。

已知：如圖4，a??,b??,a?b?P,a??,b??,證明：???。

圖4圖

5分析：證明平面?內任一條直線都平面?平行即可。

證明：如圖5，設直線m為平面?內任一條直線，在平面?內取兩條相交直線c與d，又設直線a、b、c、d、m上分別有非零向

???????量a、b、c、d、m。由于a、b是平面內兩條不共線的向量，則

???由平面向量基本定理可知，m??a??b。

?a??,b?????????a,c?d?b,c?d?0 ????

??????????????m,c?d??a??b,c?d??a,c?d??b,c?d?0 ????????

即直線m與平面?平行，又直線m為平面?內任一條直線。

????。證畢

直線與平面垂直的判定定理一條直線與一平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。

已知：如圖6，l

證明：l??。

?a,l?b,a??,b??,a?b?P

分析：由線面垂直定義，直線l垂直于平面?內任一條直線。證明：如圖7，設直線c為平面?內任一條直線，又設直線a、b、??????c、l上分別有非零向量a、b、c、l。由于a與b是平面內兩個不

???共線的向量，由平面向量基本定理，有c??1a??2b。

?????l?a,l?b?a?l?b?l?0

??????????c?l??1a??2b?l??1a?l??2b?l?0 ??

???c?l即直線l與直線c垂直，又直線c為平面?內任一條

直線，由線面垂直定義可知l??。證畢

用向量法證明立體幾何中的直線與平面平行的判定、平面與平面平行的判定、直線與平面垂直的判定等定理，解題思路清晰、過程簡潔。對立體幾何的常見問題都可以起到化繁為簡，化難為易的效果，體現了向量法解決幾何問題的優越性。向量作為一種工具，在一定程度上可以使空間的幾何學代數化，數量化，可以為學生提供全新的視角，使學生形成一種新的思維方式。

參考文獻：

【1】 王仁發，編著，《代數與解析幾何》東北師范大學出

版社，1999年9月，107；

【2】 王仁發，編著，《代數與解析幾何》東北師范大學出

版社，1999年9月，110；

【3】 王仁發，編著，《代數與解析幾何》東北師范大學出

版社，1999年9月，110；

【4】 王仁發，編著，《代數與解析幾何》東北師范大學出

版社，1999年9月，116；

【5】

王仁發，編著，《代數與解析幾何》東北師范大學出

版社，1999年9月，117；