第一篇：用正弦定理證明三重向量積

用正弦定理證明三重向量積

作者：光信1002班 李立

內容：通過對問題的討論和轉化，最后用正弦定理來證明三重向量積的公式——(a?b)?c??(c?b)a?(c?a)b。

首先，根據叉乘的定義，a、b、a?b可以構成一個右手系，而且對公式的觀察與分析我們發現，在公式中，a與b是等價的，所以我們不妨把a、b、a?b放在一個空間直角坐標系中，讓a與b處于oxy面上，a?b與z軸同向。如草圖所示：

其中，向量c可以沿著z軸方向與平行于oxy平面的方向分解，即：

c?cz?cxy

將式子帶入三重向量積的公式中，發現，化簡得：

（a?b）?cxy??(cxy?b)a?(cxy?a)?b這兩個式子等價

現在我們考慮(a?b)?c剛好被a與b反向夾住的情況，其他的角度情況以此類推。

由圖易得，(a?b)?c與a、b共面，a與b不共線，不妨設（a?b)?c?xa?yb，a,cxy

?（?,?),b,cxy

?(0,?)，所以：

在三角形中使用正弦定理，得

a?b）?cSin[?-a,b]

?Sin[

xa

?

yb

Sin[a,cxy?

?k]

?

?b,cxy?

又因為a?b）?c?abcSina,b

所以，解得k=abc，于是解得：

x= bcxyCosb,cxyy??acxyCosa,cxy

?b?cxy ??a?cxy

由圖示和假定的條件，(a?b)?c在a和b方向上的投影皆為負值，所以x，y都取負值，所以，（a?b）?cxy??(cxy?b)a?(cxy?a)?b

其他的相對角度關系，以此類推，也能得到相同的答案，所以：

(a?b)?c??(c?b)a?(c?a)b，命題得證。

小結論：當直觀解答有困難時，可以通過分析轉化的方法來輕松地解決。

第二篇：用向量證明正弦定理

用向量證明正弦定理

如圖1，△ABC為銳角三角形，過點A作單位向量j垂直于向量AC，則j與向量AB的夾角為90°-A，j與向量CB的夾角為90°-C

由圖1，AC+CB=AB(向量符號打不出)

在向量等式兩邊同乘向量j,得·

j·AC+CB=j·AB

∴│j││AC│cos90°+│j││CB│cos(90°-C)

=│j││AB│cos(90°-A)

∴asinC=csinA

∴a/sinA=c/sinC

同理，過點C作與向量CB垂直的單位向量j，可得

c/sinC=b/sinB

∴a/sinA=b/sinB=c/sinC

2步驟

1記向量i，使i垂直于AC于C，△ABC三邊AB,BC,CA為向量a,b,c

∴a+b+c=0

則i(a+b+c)

=i·a+i·b+i·c

=a·cos(180-(C-90))+b·0+c·cos(90-A)

=-asinC+csinA=0

接著得到正弦定理

其他

步驟2.在銳角△ABC中，設BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足為點H

CH=a·sinB

CH=b·sinA

∴a·sinB=b·sinA

得到a/sinA=b/sinB

同理，在△ABC中，b/sinB=c/sinC

步驟3.證明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

任意三角形ABC,作ABC的外接圓O.作直徑BD交⊙O于D.連接DA.因為直徑所對的圓周角是直角,所以∠DAB=90度

因為同弧所對的圓周角相等,所以∠D等于∠C.所以c/sinC=c/sinD=BD=2R

類似可證其余兩個等式。

3用向量叉乘表示面積則s=CB叉乘CA=AC叉乘AB

=>absinC=bcsinA(這部可以直接出來哈哈，不過為了符合向量的做法)

=>a/sinA=c/sinC

2011-7-1817:16jinren92|三級

記向量i，使i垂直于AC于C，△ABC三邊AB,BC,接著得到正弦定理其他步驟2.在銳角△ABC中，證明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：任意三角形ABC,4過三角形ABC的頂點A作BC邊上的高，垂足為D.(1)當D落在邊BC上時，向量AB與向量AD的夾角為90°-B，向量AC與向量AD的夾角為90°-C，由于向量AB、向量AC在向量AD方向上的射影相等，有數量積的幾何意義可知向量AB*向量AD=向量AC*向量AD即向量AB的絕對值*向量AD的絕對值*COS(90°-B)=向量的AC絕對值*向量AD的絕對值*cos(90°-C)所以csinB=bsinC即b/sinB=c/sinC(2)當D落在BC的延長線上時，同樣可以證得

第三篇：向量證明正弦定理

向量證明正弦定理

表述：設三面角∠p-ABC的三個面角∠BpC，∠CpA，∠ApB所對的二面角依次為∠pA，∠pB，∠pC，則Sin∠pA/Sin∠BpC=Sin∠pB/Sin∠CpA=Sin∠pC/Sin∠ApB。

目錄

1證明2全向量證明

證明

過A做OA⊥平面BpC于O。過O分別做OM⊥Bp于M與ON⊥pC于N。連結AM、AN。顯然，∠pB=∠AMO，Sin∠pB=AO/AM;∠pC=∠ANO，Sin∠pC=AO/AN。另外，Sin∠CpA=AN/Ap，Sin∠ApB=AM/Ap。則Sin∠pB/Sin∠CpA=AO×Ap/(AM×AN)=Sin∠pC/Sin∠ApB。同理可證Sin∠pA/Sin∠BpC=Sin∠pB/Sin∠CpA。即可得證三面角正弦定理。

全向量證明

如圖1，△ABC為銳角三角形，過點A作單位向量j垂直于向量AC，則j與向量AB的夾角為90°-A，j與向量CB的夾角為90°-C

由圖1，AC+CB=AB(向量符號打不出)

在向量等式兩邊同乘向量j,得·

j·AC+CB=j·AB

∴│j││AC│cos90°+│j││CB│cos(90°-C)

=│j││AB│cos(90°-A)

∴asinC=csinA

∴a/sinA=c/sinC

同理，過點C作與向量CB垂直的單位向量j，可得

c/sinC=b/sinB

∴a/sinA=b/sinB=c/sinC

2步驟

1記向量i，使i垂直于AC于C，△ABC三邊AB,BC,CA為向量a,b,c

∴a+b+c=0

則i(a+b+c)

=i·a+i·b+i·c

=a·cos(180-(C-90))+b·0+c·cos(90-A)

=-asinC+csinA=0

接著得到正弦定理

其他

步驟2.在銳角△ABC中，設BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足為點H

CH=a·sinB

CH=b·sinA

∴a·sinB=b·sinA

得到a/sinA=b/sinB

同理，在△ABC中，b/sinB=c/sinC

步驟3.證明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

任意三角形ABC,作ABC的外接圓O.作直徑BD交⊙O于D.連接DA.因為直徑所對的圓周角是直角,所以∠DAB=90度

因為同弧所對的圓周角相等,所以∠D等于∠C.所以c/sinC=c/sinD=BD=2R

類似可證其余兩個等式。

3用向量叉乘表示面積則s=CB叉乘CA=AC叉乘AB

=>absinC=bcsinA(這部可以直接出來哈哈，不過為了符合向量的做法)

=>a/sinA=c/sinC

2011-7-1817:16jinren92|三級

記向量i，使i垂直于AC于C，△ABC三邊AB,BC,接著得到正弦定理其他步驟2.在銳角△ABC中，證明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：任意三角形ABC,4過三角形ABC的頂點A作BC邊上的高，垂足為D.(1)當D落在邊BC上時，向量AB與向量AD的夾角為90°-B，向量AC與向量AD的夾角為90°-C，由于向量AB、向量AC在向量AD方向上的射影相等，有數量積的幾何意義可知向量AB*向量AD=向量AC*向量AD即向量AB的絕對值*向量AD的絕對值*COS(90°-B)=向量的AC絕對值*向量AD的絕對值*cos(90°-C)所以csinB=bsinC即b/sinB=c/sinC(2)當D落在BC的延長線上時，同樣可以證得

第四篇：向量法證明正弦定理

向量法證明正弦定理

證明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

任意三角形ABC,作ABC的外接圓O.作直徑BD交⊙O于D.連接DA.因為直徑所對的圓周角是直角,所以∠DAB=90度

因為同弧所對的圓周角相等,所以∠D等于∠C.所以c/sinC=c/sinD=BD=2R

2如圖1，△ABC為銳角三角形，過點A作單位向量j垂直于向量AC，則j與向量AB的夾角為90°-A，j與向量CB的夾角為90°-C

由圖1，AC+CB=AB(向量符號打不出)

在向量等式兩邊同乘向量j,得·

j·AC+CB=j·AB

∴│j││AC│cos90°+│j││CB│cos(90°-C)

=│j││AB│cos(90°-A)

∴asinC=csinA

∴a/sinA=c/sinC

同理，過點C作與向量CB垂直的單位向量j，可得

c/sinC=b/sinB

∴a/sinA=b/sinB=c/sinC

2步驟

1記向量i，使i垂直于AC于C，△ABC三邊AB,BC,CA為向量a,b,c

∴a+b+c=0

則i(a+b+c)

=i·a+i·b+i·c

=a·cos(180-(C-90))+b·0+c·cos(90-A)

=-asinC+csinA=0

接著得到正弦定理

其他

步驟2.在銳角△ABC中，設BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足為點H

CH=a·sinB

CH=b·sinA

∴a·sinB=b·sinA

得到a/sinA=b/sinB

同理，在△ABC中，b/sinB=c/sinC

步驟3.證明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

任意三角形ABC,作ABC的外接圓O.作直徑BD交⊙O于D.連接DA.因為直徑所對的圓周角是直角,所以∠DAB=90度

因為同弧所對的圓周角相等,所以∠D等于∠C.所以c/sinC=c/sinD=BD=2R

類似可證其余兩個等式。

3用向量叉乘表示面積則s=CB叉乘CA=AC叉乘AB

=>absinC=bcsinA(這部可以直接出來哈哈，不過為了符合向量的做法)

=>a/sinA=c/sinC

2011-7-1817:16jinren92|三級

記向量i，使i垂直于AC于C，△ABC三邊AB,BC,接著得到正弦定理其他步驟2.在銳角△ABC中，證明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：任意三角形ABC,4過三角形ABC的頂點A作BC邊上的高，垂足為D.(1)當D落在邊BC上時，向量AB與向量AD的夾角為90°-B，向量AC與向量AD的夾角為90°-C，由于向量AB、向量AC在向量AD方向上的射影相等，有數量積的幾何意義可知向量AB*向量AD=向量AC*向量AD即向量AB的絕對值*向量AD的絕對值*COS(90°-B)=向量的AC絕對值*向量AD的絕對值*cos(90°-C)所以csinB=bsinC即b/sinB=c/sinC(2)當D落在BC的延長線上時，同樣可以證得

第五篇：用向量法證明正弦定理教學設計（推薦）

用向量法證明正弦定理教學設計

一、教學目標

1、知識與技能：掌握正弦定理的內容及其證明方法；會運用正弦定理解決一

些簡單的三角形度量問題。

2、過程與方法：讓學生通過向量方法證明正弦定理，了解知識之間的聯系，讓學生在應用定理解決問題的過程中更深入地理解定理及其作用。

3、情感、態度與價值觀：通過正弦定理的發現與證明過程體驗數學的探索

性與創造性，讓學生體驗成功的喜悅。

二、教學重難點分析

重點：正弦定理的向量證明過程并運用正弦定理解決一些簡單的三角形度量問

題。

難點：正弦定理的發現并證明過程以及已知兩邊以及其中一邊的對角解三角形

時解的個數的判斷。

三、教學過程

1.借助Rt△ABC，中找出邊角關系。

在Rt?ABC中，設BC=a, AC=b, AB=c, 根據銳角三角函數中正弦函數的定義，有sin A=,sinB=,sinC=, 則在這三個式子中，能得到c===從而在直角三角

abc形ABC中，??C sinsinsin2.那么在任意三角形中這個結論是否成立？通過向量進行證明。

過點A作單位向量j?AC，由向量的加法可得AB?AC?CB

??????????????

則 j?AB?j?(AC?CB)

????????????????∴j?AB?j?AC?j?CB????????????????

??????????jABcos?900?A??0?jCBcos?900?C?

ac?∴csinA?asinC，即bc??????n同理，過點C作j?BC，可得從而

a

siAn?b?sBinsin c

從上面的研探過程，可得以下定理

3.正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即

abc??sinAsinBsinC

4.總結正弦定理適用范圍

范圍a：已知三角形的兩邊及其中一邊的對角，求另外一邊的對角

范圍b：已知三角形兩角一邊求出另外一邊

5.定理變形：

a:b:c=sinA:sinB:sinC

6.例題講解

例1：在△ABC中，已知A=32.0°，B=81.8°，a=42.9cm，解三角形。

評述：此類問題結果為唯一解，學生較易掌握，先利用內角和180°求出

第三角，再利用正弦定理.7.能力提升

例2：在△ABC中，°，a=2,求b,B,C。

評述：此類問題結果為多解，學生容易產生漏解的情況，在此題的解題過程

中，讓學生自主練習，然后在課堂上討論，通過相互交流，總結出存在多解的情況，應與大邊對大角結合分情況討論，培養學生分類討論的思想。

8.課堂總結

總結本堂課的內容：正弦定理、正弦定理適用范圍、正弦定理應該注意的問題

9.課后作業

（1）在?ABC中，已知角

?B?45?，c?22,b???43，則角A的值是 ??A.15B.75C.105D.75或15

（2）在△ABC中,若A?30?,B?60?,則a:b:c?

?B?60，b?76,a?14，則A=?ABC（3）在中，若

?a?,b?2,B?45?ABC（4）在中，已知，解三角形。