第一篇：證明向量共面

證明向量共面

已知O是空間任意一點,A.B.C.D四點滿足任意三點均不共線,但四點共面,且O-A=2xB-O+3yC-O+4zD-O,則2x+3y+4z=?

寫詳細點怎么做謝謝了~明白后加分！!

我假定你的O-A表示向量OA。

由O的任意性，取一個不在ABCD所在平面的O，這時若OA=b*OB+c*OC+d*OD，那么b+c+d必定等于1。

(證明：設O在該平面上的投影為p，那么對平面上任何一點X，OX=Op+pX，然后取X=A、B、C、D代你給的關系式并比較Op分量即可。)

你給的右端向量都反向，所以2x+3y+4z=-1。

2充分不必要條件。

如果有三點共線，則第四點一定與這三點共面，因為線和直線外一點可以確定一個平面，如果第四點在這條線上，則四點共線，也一定是共面的。

而有四點共面，不一定就其中三點共線，比如四邊形的四個頂點共面，但這四個頂點中沒有三個是共線的。

“三點共線”可以推出“四點共面”，但“四點共面”不能推出“三點共線”。因此是充分不必要條件

任取3個點，如果這三點共線，那么四點共面;如果這三點不共線，那么它們確定一個平面，考慮第四點到這個平面的距離。方法二A、B、C、D四點共面的充要條件為向量AB、AC、AD的混合積(AB,AC,AD)=0。方法三A、B、C、D四點不共面的充要條件為向量AB、AC、AD線性無關。

3已知O是空間任意一點,A.B.C.D四點滿足任意三點均不共線,但四點共面,且O-A=2xB-O+3yC-O+4zD-O,則2x+3y+4z=?

寫詳細點怎么做謝謝了我假定你的O-A表示向量OA。

由O的任意性，取一個不在ABCD所在平面的O，這時若OA=b*OB+c*OC+d*OD，那么b+c+d必定等于1。

(證明：設O在該平面上的投影為p，那么對平面上任何一點X，OX=Op+pX，然后取X=A、B、C、D代你給的關系式并比較Op分量即可。)

你給的右端向量都反向，所以2x+3y+4z=-1。

4Xa-Yb+Yb-Zc+Zc-Xa=0

∴Xa-Yb=-(Yb-Zc)-(Zc-Xa)

由共面判定定理知它們共面。

簡單的說一個向量能夠用另外兩個向量表示，它們就共面。詳細的看高中課本

41.若向量e1、e2、e3共面，(i)其中至少有兩個不共線，不妨設e1,e2不共線，則e1,e2線性無關，e3可用e1,e2線性表示，即存在實數λ，μ，使得e3=λe1+μe2,于是

λe1+μe2-e3=0.即存在三個不全為零的實數λ，μ，υ=-1，使得

λe1+μe2+υe3=0”。

(ii)若e1,e2,e3都共線，則其中至少有一個不為0，不妨設e1≠0，則存在實數λ，使得e2=λe1.于是λe1-e2=0,即存在三個不全為零的實數λ，μ=-1，υ=0，使得λe1+μe2+υe3=0”.2.存在三個不全為零的實數λ，μ，υ，使得λe1+μe2+υe3=0”，不妨設λ≠0，就有e1=(-μ/λ)e2+(-υ/λ)e3,于是e1,e2,e3共面。

第二篇：向量證明四點共面

向量證明四點共面 由n+m+t=1 , 得 t=1-n-m ,代入op=nox+ moy +toz，得 OP=n OX +mOY +(1-n-m)OZ, 整理，得

OP-OZ =n(OX-OZ)+m(OY-OZ)即ZP =nZX +mZY即P、X、Y、Z 四點共面。以上是充要條件。

2如果通過四點外的一點(空間中)與四點之間的關系來判斷折四點共面

A,B,C,D,4個點,與另外一點O,若OA=xOB+yOC+zOD,x+y+z=1,四點就共面 3設一向量的坐標為(x,y,z)。另外一向量的坐標為(a,b,c)。如果(x/a)=(y/b)=(z/c)=常數，則兩向量平行 如果ax+by+cz=0，則兩向量垂直。答案補充 三點一定共面,證第四點在該平面內 用向量,另取一點O 如向量OA=ax向量OB+bx向量OC+cx向量OD，且a+b+c=1 則有四點共面 答案補充 方法已經很詳細了呀。4線平行線: 兩條線的方向向量矢量積為0，且兩條線沒交點

面平行線：是線平行面吧，線的方向向量和平面法向量垂直，即線的方向向量和平面法向量數量積為0，且線不在平面內

三點共面：三點肯定是共面的，我猜你說的是三點共線吧，比如ABC三點，證明共線，證明AB與BC的方向向量矢量積為0

四點共面：比如ABCD三點證明AB,AC,AD三者滿足先求AB,AC的矢量積a，再a和AD數量積為0

3怎樣證明空間任意一點O和不共線的三點A，B，C，向量OP=x向量OA+y向量OB+z向量OC且x＋y＋z＝1，則P，A，B，C四點共面

簡明地證明，網上的不具體，不要復制!

證明：由x+y+z=1→x向量OC + y向量OC + z向量OC=向量OC，且：x向量OA+y向量OB+z向量OC=向量OP

將上邊兩式相減得：向量OP-向量OC=x(向量OA-向量OC)+y(向量OB-向量O

C)即：向量CP=x向量CA+y向量CB

由x向量CA+y向量CB所表示的向量必在平面ABC內→P點必在平面ABC內。故：A，B，C，P四點共面。

4可以先隨便假設其中3點共面(很簡單2點確定一條直線，直線和直線外一點可以確定1個平面)不防設 A B C 三點共面 只需證明P點在這個平面上即可 以下向量符號省去

證明： PA=BA-BP=OA-OB-(OP-OB)=OA-OP=OA-(a 向量OA+b向量OB+c向量OC)=(1-a)OA-bOB-cOC=(b+c)OA-bOB-cOC=bBA+cCA

到這里 因為ABC已經確定了一個平面 且 PA=bBA+cCA

所以PA平行平面 又A在平面內 所以P點也在該平面內，所以四點共面

如果兩個向量a.b不共線，則向量p與向量a.b共面的充要條件是存在有序實數對(x.y),使 p=xa+yb

編輯本段共面向量的定義： 能平移到同一平面上的三個向量叫做共面向量編輯本段推論：推論1 設OABC是不共面的四點 則對空間任意一點P 都存在唯一的有序實數組(x,y,z)

使得OP=xOA+yOB+zOC {OP,OA,OB,OC均表示向量} 說明：若x+y+z=1 則PABC四點共面（但PABC四點共面的時候，若O在平面ABP內，則x+y+z不一定等于1，即x+y+z=1 是P.A.B.C四點共面的充分不必要條件）證明： 1）唯一性：

設另有一組實數x',y',z' 使得OP=x'OA+y'OB+z'OC

則有xOA+yOB+zOC=x'OA+y'OB+z'OC∴(x-x')OA+(y-y')OB+(z-z')OC=0∵OA、OB、OC不共面 ∴x-x'=y-y'=z-z'=0即x=x'、y=y'、z=z'故實數x,y,z是唯一的2）若x+y+z=1 則PABC四點共面：

假設OP=xOA+yOB+zOC且x+y+z=1 且PABC不共面那么z=1-x-y 則OP=xOA+yOB+OC-xOC-yOCOP=OC+xCA+yCB(CP=xCA+yCB)

點P位于平面ABC內 與假設中的條件矛盾 故原命題成立

推論

2空間一點P位于平面MAB內的充要條件是存在有序實數對x.y,使 MP=xMA+yMB {MP MA MB 都表示向量} 或對空間任一定點O，有 OP=OM+xMA+yMB {OP,OM,MA,MB表示向量}

選定向量基底，解決常見立體幾何問題

利津二中陳富君魏靜

我們知道，空間向量的坐標運算成為解決立體幾何的垂直與平行的證明、角與距離的求解等問題的一個十分有效的工具，用空間向量的方法處理立體幾何問題,常常可以收到化繁為簡,化難為易,也降低了同學們學習立體幾何的思維難度.但是空間直角坐標坐標系的應用有著很大的局限性，取而代之，若以有著特殊關系的三個向量作為基底，通過向量運算將使更多的立體幾何問題得到很好的解決.這類問題常以特殊四面體（或空間四邊形），平行六面體，特殊三棱柱等為載體.一、證明三點共線

例1 如圖，在空間四邊形ABCD中，E、F分別是AB、AD的中點，G、H分別在BC、CD上，且BG : GC＝DH: HC＝1: 2.設EG和HF交于點P，求證P、A、C三點共線.?????????????????????????????

解設DA?a,DB?b,DC?c，則AC?DC?DA?c?a, F

PFEF

3??，∴ PF?3FH ?????????????????????????1??????????????∴PA?3FH?DF?3DH?DF?DF?3?DC?DF??DF

?3?

???????????????????DC?2DF?DC?DA?c?a????????

∴ PA?AC且A為PA、AC公共點，故P、A、C三點共線

∵

B

G

??

二、證明直線平行平面

D

A

M A1??????????

向量a平行平面ABC的充要條件是a?xAB?yAC

例2 直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，M、N分別是AB1與BC1上的點，且

CN C

1AMBN，求證MN∥平面ABCD.?

11???????????????AMBN解 設AB?a,AD?b,AA1?c,???，則

??????????????????????????????????????∵ MN?AN?AM?AB?BN?AM?a??BC1??AB1

????????????????????????

?a??BB1?B1C1??AA1?A1B1?a??c?b???c?a?

????

??1???a??1???b，且a與b不共線

??????

?????

∴ MN∥平面ABCD，而MN?平面ABCD，故MN∥平面ABCD.三、證明直線垂直直線（或直線垂直平面）????a?b?a?b?0

例3 如圖，在四面體ABCD中，M是AB的中點，N是CD的中點，求證：MN是異面直線AB，CD的公垂線的充要條件是：AC＝BD，BC＝AD.?????????????????

證明 設AM?a,MN?b,CN?c

????

必要性 若MN是異面直線AB，CD的公垂線，則a?b?0,b?c?0 ???????????????????????????????∵AC?AM?MC?AM?MN?NC?a?b?c，N

?????????????????????

同樣的可得 BD??a?b?c，BC??a?b?c,AD?a?b?c ????2???∴ AC?a?b?c

??

?2???????????

?a2?b2?c2?2a?c，BD??a?b?c

??

?????

?a2?b2?c2?2a?c

因此，AC＝BD，同理BC＝AD.???

充分性 由AC＝BD，得a?b?c

???

?????a?b?c

?

?????a?b?b?c ①

???

由BC＝AD，得?a?b?c

???

????a?b?c

?

????

?a?b??b?c ②

??

b?0 故MN⊥AM，同理MN⊥CN，即 MN是異面直線AB，CD的公垂①＋②得 a?

線.四、求異面直線的夾角

例4 在正四面體ABCD中，M、P分別為棱AD、CD的中點，N、Q分別是面BCD、面ABC的中心，求MN與PQ的夾角.???????????????

解 設正四面體的棱長為2，O為BC中點，AB?a,AC?b,AD?c，則

?????????a?b?c?2，a?b?b?c?c?a?2，??????????????????????1????????1????1????

∵ MN?AN?AM?AO?ON?AD?AO?OD?AD

232

????1????????1????2????1????1??1? ?AO?AD?AO?AD?AO?AD?a?b?c

323636QB????????????2????1????????1??1?

PQ?AQ?AP?AO?AC?AD?2a?b?c

3262

M

????

????

?????2?1??1??2

∴ MN??a?b?c??1，即|MN|＝|PQ|＝1，6??3

??

?????????

???????????????????1??1???1??1??MN?PQ11

MN?PQ??a?b?c???2a?b?c???，cosMN,PQ???

6??62?1818?3MNPQ

????

?1?因此，MN與PQ的夾角為arccos???

?18?

空間向量的基底的應用恰恰是教學中的薄弱環節,如果不注意及時補上這一課,久而久之,應用向量的思維會鈍化,甚至會緣木求魚.

第三篇：用向量證明四點共面

用向量證明四點共面

由n+m+t=1,得t=1-n-m,代入op=nox+moy+toz，得Op=nOX+mOY+(1-n-m)OZ,整理，得

Op-OZ=n(OX-OZ)+m(OY-OZ)

即Zp=nZX+mZY

即p、X、Y、Z四點共面。

以上是充要條件。

如和通過四點外的一點(空間中)與四點之間的關系來判斷折四點共面

A,B,C,D,4個點,與另外一點O,若OA=xOB+yOC+zOD,x+y+z=1,四點就共面3設一向量的坐標為(x,y,z)。另外一向量的坐標為(a,b,c)。如果(x/a)=(y/b)=(z/c)=常數，則兩向量平行如果ax+by+cz=0，則兩向量垂直。答案補充三點一定共面,證第四點在該平面內用向量,另取一點O如向量OA=ax向量OB+bx向量OC+cx向量OD，且a+b+c=1則有四點共面答案補充方法已經很詳細了呀。4線平行線:兩條線的方向向量矢量積為0，且兩條線沒交點

面平行線：是線平行面吧，線的方向向量和平面法向量垂直，即線的方向向量和平面法向量數量積為0，且線不在平面內

三點共面：三點肯定是共面的，我猜你說的是三點共線吧，比如ABC三點，證明共線，證明AB與BC的方向向量矢量積為0

四點共面：比如ABCD三點證明AB,AC,AD三者滿足先求AB,AC的矢量積a，再a和AD數量積為0

怎樣證明空間任意一點O和不共線的三點A，B，C，向量Op=x向量OA+y向量OB+z向量OC且x＋y＋z＝1，則p，A，B，C四點共面

簡明地證明，網上的不具體，不要復制!

證明：由x+y+z=1→x向量OC+y向量OC+z向量OC=向量OC，且：x向量OA+y向量OB+z向量OC=向量Op

將上邊兩式相減得：向量Op-向量OC=x(向量OA-向量OC)+y(向量OB-向量OC)

即：向量Cp=x向量CA+y向量CB

由x向量CA+y向量CB所表示的向量必在平面ABC內→p點必在平面ABC內。

故：A，B，C，p四點共面。

可以先隨便假設其中3點共面(很簡單2點確定一條直線，直線和直線外一點可以確定1個平面)不防設ABC三點共面只需證明p點在這個平面上即可以下向量符號省去

證明：pA=BA-Bp

=OA-OB-(Op-OB)

=OA-Op

=OA-(a向量OA+b向量OB+c向量OC)

=(1-a)OA-bOB-cOC

=(b+c)OA-bOB-cOC

=bBA+cCA

到這里因為ABC已經確定了一個平面且pA=bBA+cCA

所以pA平行平面又A在平面內所以p點也在該平面內

所以四點共面

第四篇：空間向量共面充要條件的應用（定稿）

空間向量共面充要條件的應用

共面向量定理涉及三個向量→p、→a、→b共面問題，它們之間的充要條件關系為：如果兩個向量→a、→b不共線，那么向量→p與向量→a、→b共面的充要條件是：存在有序實數組(x,y)，→→→使得p＝xa＋yb.共面向量定理在立體幾何中證明中有關有著廣泛的運用，如在點線共面、線面平行等問題中，都有很好的體現.由于向量本身具有的位置不定性，使得共面向量可理解為能夠平移到同一平面內的向量，或者理解為平行于同一平面的向量.下面就空間向量共面充要條件的應用分類解析，體會應用的方法與技巧.一、判斷點與平面的關系

例1 已知A、B、C三點不共線，對平面ABC外一點O，若OM＝2OA－OB－OC，判斷點M是否在平面ABC內.分析：點M與A、B、C不共面，即點M不在平面ABC內，即不存在x，y使→AM＝x→AB＋y→AC，可用反證法證明判斷.→→→→

→→→解：假設M在平面ABC內，則存在實數x,y，使AM＝xAB＋yAC，于是對空間任意一點O，O在平面ABC外，→OM＝(1－x－y)→OA＋x→OB＋y→OC，?? 1－x－y＝

2比較原式可得? x＝－1，此方程組無解，與假設不成立，?? y＝－

1→→→∴不存在實數x,y，使AM＝xAB＋yAC，∴M與A、B、C不共面.點評：本題采用反證法來證明點M不在平面ABC內，因為反證法就是從正面進行解答比較困難，從對立面進行證明的一種思想方法.二、用于證明四點共面

例2 如圖所示，長方體ABCD－A1B1C1D1中，M為DD1的中點，N在AC上，且AN﹕NC＝2﹕1，求證：A1、B、N、M四點共面.→→分析：利用空間向量共面的充要條件，通過證明向量→A1N、A1B、A1M共面，即可證明

→→→存在唯一實數λ、μ，使A1N＝λA1B＋μA1M成立.→→→→→→→→→→ 證明：如圖，→AA1＝a，AB＝b，AD＝c，則A1B＝AB－AA1＝b－a，→1→→1→∵M為DD1的中點，→A1M＝AD－AA1＝c－a，2

222→→2→→∵AN﹕NC＝2﹕1，∴→AN＝＝(AB＋AD)＝b＋c)，33

32→1→→2→→→2→→∴→A1N＝AN－AA1＝(b＋c)－a＝b－a)＋(c－a)3332

22→＝→A1B＋A1M，33

∴A1、B、N、M四點共面.點評：本題根據空間向量基本定理，充分利用三角法則與平行四邊形法則，通過不同的→→→→→→→→途徑分別用向量EF﹑EH表示MQ或用向量EG表示MQ，從而建立向量EG與向量EF﹑EH的線性

關系，進而使問題得證.這是不用向量坐標形式證明幾何問題的常用方法.三、證明三線平行同一平面

例3 如圖所示，E、F分別為空間四邊形ABCD中AB、CD的中點，證明AD、EF、BC平行于同一平面

.→→→→分析：證明AD、EF、BC平行于同一平面，即證明向量EF、AD、BC共面，進而證明EF、→AD、→BC之間存在線段關系.證明：→EF＝→EA＋→AD＋→DF，且→EF＝→EB＋→BC＋→CF，又→EA＝－→EB，→DF＝－→CF，→→→→所以EF＋EF＝AD＋BC

111即→EF＋→EF＝(→AD＋→BC)＝→AD＋，22

2可知，→EF、→AD、→BC共面，所以EF與AD、BC平行于同一平面.→點評：本題在證明過程中，通過利用兩種不同的途徑得到向量EF的兩種不同的表達式，然后兩式相加就可以得到所需要證明的表達式，當然其過程要用到三角形法則或平行四邊形法則，這是利用加減法處理向量線性線性關系常用的方法.四、證明線面平行

例4 正方體ABCD－A1B1C1D1中，點N在BD上，點M在B1C上，且CM＝DN，求證：MN∥平面CC1D1D.分析：由于DC與DD1在同一平面上，因此可以先考慮利用空間向量共面的充要條件證→→→明向量NM與DC、DD1共面，然后只須說明點M、N不在CC1D1D內就可證明MN∥平面CC1D1D.證明：設CM＝DN＝λDB＝λCB1，則

→→→→→→→→DN＝λDB＝λ(DA＋DC)，CM＝λCB1＝λ(CB＋CC1)，→→→→→→→→→∴NM＝ND＋DC＋CM＝－λ(DA＋DC)＋DC＋λ(CB＋CC1)

→→→→＝(1－λ)→DC＋λ(→DA＋→CB＋→CC1)＝(1－λ)DC＋λ(－DA＋DA＋CC1)

＝(1－λ)→DC＋λ→DD

1∴→NM與→DC、→DD1共面，又M、N不在面DCC1D1內，∴MN∥平面CC1D1D.點評：利用空間證明立體幾何問題，減少了利用傳統法證明的繁瑣的思維量，將考查難度要求較高的空間想象力與抽象的邏輯推理能力轉化為考查難度要求稍微較低的運算能力.

第五篇：向量空間證明

向量空間證明解題的基本方法：

1)在立體幾何圖形中，選擇適當的點和直線方向建立空間直角坐標系 中 2)若問題中沒有給出坐標計算單位，可選擇合適的線段設置長度單位;3)計算有關點的坐標值，求出相關向量的坐標;4)求解給定問題

證明直線與平面垂直的方法是在平面中選擇二個向量，分別與已知直線向量求數積，只要分別為零，即可說明結論。

證明直線與平面平行的關鍵是在平面中尋找一個與直線向量平行的向量。這樣就轉化為證明二個向量平行的問題，只要說明一個向量是另一向量的m(實數)倍，即可 只要多做些這方面的題，或看些這方面的例題，也會從中悟出經驗和方法 2 解：

因為x+y+z=0 x=-y-z y=y+0*z z=0*y+z(x,y,z)=(-1，1，0)*y+(-1，0，1)*z y,z為任意實數

則：(-1，1，0);(-1，0，1)是它的一組基，維數為2(不用寫為什么是2)步驟1 記向量i，使i垂直于AC于C，△ABC三邊AB,BC,CA為向量a,b,c ∴a+b+c=0 則i(a+b+c)=i·a+i·b+i·c =a·cos(180-(C-90))+b·0+c·cos(90-A)=-asinC+csinA=0 接著得到正弦定理 其他 步驟2.在銳角△ABC中，設BC=a,AC=b,AB=c。