第一篇：四點共面問題探究

空間四點共面充要條件的應用與探究 河北唐山一中姚洪琪063000

平面上的三點共線與空間的四點共面，是平面向量與空間向量問題中的一類重要題型。在高中數學人教A版選修教材2-1《空間向量與立體幾何》一章中，給出了四點共面的一個判定方法，在配套的教參中更明確為充要條件。因此有些老師在教學中就給出了如下的空間P、A、B、C、四點共面的充要條件：對于空間任意一點O，存在實數x、y、z，使得OP?xOA?yOB?zOC且x+y+z=1。這個結論對于解決空間四點共面問題提供了很便捷的方法，例如：

問題1：對于空間任一點O和不共線的三點A、B、C，有6OP?OA?2OB?3OC，則（）

(A)O、A、B、C 四點共面(B)P、A、B、C 四點共面(C)O、P、B、C 四點共面(D)O、P、A、B、C五點共面 分析：由條件可以得到OP?顯然答案為（B）

問題2：已知點M在平面ABC內，并且對空間任意一點O，OM?xOA?分析：由上面的充要條件很容易得到x?1?

12?13?16

12OB?

3OC，則

16OA?

13OB?

2OC，而

16?13?12

?1，則P、A、B、C 四點共面。

問題3：在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，P、M、N分別是AA1、AB、AD上一點，且

AP?

3AA1,AM?

2AB,AN?

4AD，對角線AC1與平面PMN交與點H，求H點分AC1的比。

分析：因為P、M、N、H四點共面，則可設為

AH?xAP?yAM?zAN，且x+y+z=

1M

C1

由已知，AP?則AH?

2x

323

AA1,AM?y2AB?

z

2AB,AN?

AD，AA1?

AD

又A、H、C1三點共線，則AH??AC1 而AC1?AA1?AB?AD 所以，AH?

2x3AA1?

y2AB?

z4AD

??AA1??AB??AD 因為向量AA1，AB，AD不共面，則有：所以，x?

322x3?y2?z4??，?，y?2?，z?4?

又因為x+y+z=1，所以，所以，AH?2

15AC1 32?+2?+4?=1，解得??215 即：H點分AC1的比為2:13.以上三個問題的解決都用到了課本中提到的四點共面的充要條件，思路新穎，解法簡潔，確實為學生們解決空間四點共面問題提供了一條重要的解題思路。但是，學生們在解決2005年全國高考數學試題時，卻出現了困惑和迷茫。甚至對該方法提出了質疑。

05年高考題為：⊿ABC的外接圓圓心為O，兩條高線的交點為H，若OH?m(OA?OB?OC)，則。

一部分學生認為，該題可以利用課本中給出的充要條件解決，將本題看成H、A、B、C四點共面，O為空間任意一點，則應有m+m+m=1，從而得到m=

13.另外一部分學生認為該題可以采用以下特殊解法，將⊿ABC看成一個等腰直角三角形，則容易得到OH?OA?OB?OC，于是m=1.究竟哪一個答案是正確的？在查閱05年高考試題答案后知道，正確答案應該為1，而對于老師給出的結論也是深信不疑的，因為在平面向量中就曾經得出過類似的問題：平面內三點A、B、C共線的充要條件是：對于平面內任意一點O，存在實數λ、μ，使得OA??OB??OC,且λ+μ=1.課本中的結論其實就是平面向量問題的一個推廣。那么第一種解法究竟錯在哪里？這個充要條件正確嗎？

如果和上面的結論做一對比的話，就是對本題中的五點共面有所懷疑，但是教參中并沒有強調O點不能與PABC共面。我們再推敲一下教參中對于這個充要條件的證明，OP?OA?AP，肯定沒有問題，根據平面向量基本定理，向量AP一定可以用不共線的向量AB和AC表示（此處注意，A、B、C三點必須不共線，課本中說的是平面ABC，教參中也強調不共線），即：

AP=?AB??AC=?(OB?OA)??(OC?OA）

所以，OP?OA?AP

?OA??AB??AC

?OA??(OB?OA)??(OC?OA）

?（1????）OA??OB??OC

顯然其系數和為1.但是，當O點與P、A、B、C共面時，向量AP也可以用不共線的向量OB和OC直接表示，即，AP??OB??OC，則OP?OA?AP?OA??OB??OC，顯然其系數和1????不一定等于1.不妨可以看一個五點共面的特殊例子(如右圖)，對于正

方形ABCD，設其中心為O，則OA?OB?OC?OD，其

系數和等于1，但是也可以表示成OA?2OB?OC?2OD，C

B

其系數和等于3，還可以表示成OA?5OB?OC?5OD，其系數和等于9，等等，顯然各種不同的表示形式其系數和是不確定的。

問題的癥結找到了，如果O點與P、A、B、C共面時，向量OP可以用OA、OB、OC表示成各種不同的形式OP?xOA?yOB?zOC，表達形式不確定，其系數和當然也不確定。實際上，問題的關鍵在于與空間向量基本定理相悖，當O點與P、A、B、C共面時，向量OP、OA、OB、OC為共面向量，那么向量OP是不能用OA、OB、OC唯一表示的。同時，即便O點與P、A、B、C不共面時，也必須．．

要求A、B、C、三點不共線，否則，根據空間向量基本定理，由于向量OA、OB、OC是共面向量，那么向量OP是不能用OA、OB、OC表示的。．．所以，有些老師結合教材和教參中的表述給出充要條件的說法嚴格說是不準確的，充分性沒有問題，而必要性則需要加以限制。應該表述成，若空間P、A、B、C四點共面，且A、B、C三點不共線，則對于空間不與PABC共面的任意一點O，存在實數x、y、z，使得OP?xOA?yOB?zOC且x+y+z=1.，反之，若OP?xOA?yOB?zOC且x+y+z=1，則P、A、B、C四點共面。

類似可以得到，平面內P、A、B三點共線，則對于不在直線AB上的點O，有OP??OA??OB，且????1；反之，若OP??OA??OB，且????1，則P、A、B三點共線。在這里注意，當P、A、B、O四點共線時，雖有OP??OA??OB，但是?、?并不唯一，所以不一定有????1。

以上所述是否正確，希望得到各位同行的批評指正！

第二篇：向量證明四點共面

向量證明四點共面 由n+m+t=1 , 得 t=1-n-m ,代入op=nox+ moy +toz，得 OP=n OX +mOY +(1-n-m)OZ, 整理，得

OP-OZ =n(OX-OZ)+m(OY-OZ)即ZP =nZX +mZY即P、X、Y、Z 四點共面。以上是充要條件。

2如果通過四點外的一點(空間中)與四點之間的關系來判斷折四點共面

A,B,C,D,4個點,與另外一點O,若OA=xOB+yOC+zOD,x+y+z=1,四點就共面 3設一向量的坐標為(x,y,z)。另外一向量的坐標為(a,b,c)。如果(x/a)=(y/b)=(z/c)=常數，則兩向量平行 如果ax+by+cz=0，則兩向量垂直。答案補充 三點一定共面,證第四點在該平面內 用向量,另取一點O 如向量OA=ax向量OB+bx向量OC+cx向量OD，且a+b+c=1 則有四點共面 答案補充 方法已經很詳細了呀。4線平行線: 兩條線的方向向量矢量積為0，且兩條線沒交點

面平行線：是線平行面吧，線的方向向量和平面法向量垂直，即線的方向向量和平面法向量數量積為0，且線不在平面內

三點共面：三點肯定是共面的，我猜你說的是三點共線吧，比如ABC三點，證明共線，證明AB與BC的方向向量矢量積為0

四點共面：比如ABCD三點證明AB,AC,AD三者滿足先求AB,AC的矢量積a，再a和AD數量積為0

3怎樣證明空間任意一點O和不共線的三點A，B，C，向量OP=x向量OA+y向量OB+z向量OC且x＋y＋z＝1，則P，A，B，C四點共面

簡明地證明，網上的不具體，不要復制!

證明：由x+y+z=1→x向量OC + y向量OC + z向量OC=向量OC，且：x向量OA+y向量OB+z向量OC=向量OP

將上邊兩式相減得：向量OP-向量OC=x(向量OA-向量OC)+y(向量OB-向量O

C)即：向量CP=x向量CA+y向量CB

由x向量CA+y向量CB所表示的向量必在平面ABC內→P點必在平面ABC內。故：A，B，C，P四點共面。

4可以先隨便假設其中3點共面(很簡單2點確定一條直線，直線和直線外一點可以確定1個平面)不防設 A B C 三點共面 只需證明P點在這個平面上即可 以下向量符號省去

證明： PA=BA-BP=OA-OB-(OP-OB)=OA-OP=OA-(a 向量OA+b向量OB+c向量OC)=(1-a)OA-bOB-cOC=(b+c)OA-bOB-cOC=bBA+cCA

到這里 因為ABC已經確定了一個平面 且 PA=bBA+cCA

所以PA平行平面 又A在平面內 所以P點也在該平面內，所以四點共面

如果兩個向量a.b不共線，則向量p與向量a.b共面的充要條件是存在有序實數對(x.y),使 p=xa+yb

編輯本段共面向量的定義： 能平移到同一平面上的三個向量叫做共面向量編輯本段推論：推論1 設OABC是不共面的四點 則對空間任意一點P 都存在唯一的有序實數組(x,y,z)

使得OP=xOA+yOB+zOC {OP,OA,OB,OC均表示向量} 說明：若x+y+z=1 則PABC四點共面（但PABC四點共面的時候，若O在平面ABP內，則x+y+z不一定等于1，即x+y+z=1 是P.A.B.C四點共面的充分不必要條件）證明： 1）唯一性：

設另有一組實數x',y',z' 使得OP=x'OA+y'OB+z'OC

則有xOA+yOB+zOC=x'OA+y'OB+z'OC∴(x-x')OA+(y-y')OB+(z-z')OC=0∵OA、OB、OC不共面 ∴x-x'=y-y'=z-z'=0即x=x'、y=y'、z=z'故實數x,y,z是唯一的2）若x+y+z=1 則PABC四點共面：

假設OP=xOA+yOB+zOC且x+y+z=1 且PABC不共面那么z=1-x-y 則OP=xOA+yOB+OC-xOC-yOCOP=OC+xCA+yCB(CP=xCA+yCB)

點P位于平面ABC內 與假設中的條件矛盾 故原命題成立

推論

2空間一點P位于平面MAB內的充要條件是存在有序實數對x.y,使 MP=xMA+yMB {MP MA MB 都表示向量} 或對空間任一定點O，有 OP=OM+xMA+yMB {OP,OM,MA,MB表示向量}

選定向量基底，解決常見立體幾何問題

利津二中陳富君魏靜

我們知道，空間向量的坐標運算成為解決立體幾何的垂直與平行的證明、角與距離的求解等問題的一個十分有效的工具，用空間向量的方法處理立體幾何問題,常常可以收到化繁為簡,化難為易,也降低了同學們學習立體幾何的思維難度.但是空間直角坐標坐標系的應用有著很大的局限性，取而代之，若以有著特殊關系的三個向量作為基底，通過向量運算將使更多的立體幾何問題得到很好的解決.這類問題常以特殊四面體（或空間四邊形），平行六面體，特殊三棱柱等為載體.一、證明三點共線

例1 如圖，在空間四邊形ABCD中，E、F分別是AB、AD的中點，G、H分別在BC、CD上，且BG : GC＝DH: HC＝1: 2.設EG和HF交于點P，求證P、A、C三點共線.?????????????????????????????

解設DA?a,DB?b,DC?c，則AC?DC?DA?c?a, F

PFEF

3??，∴ PF?3FH ?????????????????????????1??????????????∴PA?3FH?DF?3DH?DF?DF?3?DC?DF??DF

?3?

???????????????????DC?2DF?DC?DA?c?a????????

∴ PA?AC且A為PA、AC公共點，故P、A、C三點共線

∵

B

G

??

二、證明直線平行平面

D

A

M A1??????????

向量a平行平面ABC的充要條件是a?xAB?yAC

例2 直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，M、N分別是AB1與BC1上的點，且

CN C

1AMBN，求證MN∥平面ABCD.?

11???????????????AMBN解 設AB?a,AD?b,AA1?c,???，則

??????????????????????????????????????∵ MN?AN?AM?AB?BN?AM?a??BC1??AB1

????????????????????????

?a??BB1?B1C1??AA1?A1B1?a??c?b???c?a?

????

??1???a??1???b，且a與b不共線

??????

?????

∴ MN∥平面ABCD，而MN?平面ABCD，故MN∥平面ABCD.三、證明直線垂直直線（或直線垂直平面）????a?b?a?b?0

例3 如圖，在四面體ABCD中，M是AB的中點，N是CD的中點，求證：MN是異面直線AB，CD的公垂線的充要條件是：AC＝BD，BC＝AD.?????????????????

證明 設AM?a,MN?b,CN?c

????

必要性 若MN是異面直線AB，CD的公垂線，則a?b?0,b?c?0 ???????????????????????????????∵AC?AM?MC?AM?MN?NC?a?b?c，N

?????????????????????

同樣的可得 BD??a?b?c，BC??a?b?c,AD?a?b?c ????2???∴ AC?a?b?c

??

?2???????????

?a2?b2?c2?2a?c，BD??a?b?c

??

?????

?a2?b2?c2?2a?c

因此，AC＝BD，同理BC＝AD.???

充分性 由AC＝BD，得a?b?c

???

?????a?b?c

?

?????a?b?b?c ①

???

由BC＝AD，得?a?b?c

???

????a?b?c

?

????

?a?b??b?c ②

??

b?0 故MN⊥AM，同理MN⊥CN，即 MN是異面直線AB，CD的公垂①＋②得 a?

線.四、求異面直線的夾角

例4 在正四面體ABCD中，M、P分別為棱AD、CD的中點，N、Q分別是面BCD、面ABC的中心，求MN與PQ的夾角.???????????????

解 設正四面體的棱長為2，O為BC中點，AB?a,AC?b,AD?c，則

?????????a?b?c?2，a?b?b?c?c?a?2，??????????????????????1????????1????1????

∵ MN?AN?AM?AO?ON?AD?AO?OD?AD

232

????1????????1????2????1????1??1? ?AO?AD?AO?AD?AO?AD?a?b?c

323636QB????????????2????1????????1??1?

PQ?AQ?AP?AO?AC?AD?2a?b?c

3262

M

????

????

?????2?1??1??2

∴ MN??a?b?c??1，即|MN|＝|PQ|＝1，6??3

??

?????????

???????????????????1??1???1??1??MN?PQ11

MN?PQ??a?b?c???2a?b?c???，cosMN,PQ???

6??62?1818?3MNPQ

????

?1?因此，MN與PQ的夾角為arccos???

?18?

空間向量的基底的應用恰恰是教學中的薄弱環節,如果不注意及時補上這一課,久而久之,應用向量的思維會鈍化,甚至會緣木求魚.

第三篇：用向量證明四點共面

用向量證明四點共面

由n+m+t=1,得t=1-n-m,代入op=nox+moy+toz，得Op=nOX+mOY+(1-n-m)OZ,整理，得

Op-OZ=n(OX-OZ)+m(OY-OZ)

即Zp=nZX+mZY

即p、X、Y、Z四點共面。

以上是充要條件。

如和通過四點外的一點(空間中)與四點之間的關系來判斷折四點共面

A,B,C,D,4個點,與另外一點O,若OA=xOB+yOC+zOD,x+y+z=1,四點就共面3設一向量的坐標為(x,y,z)。另外一向量的坐標為(a,b,c)。如果(x/a)=(y/b)=(z/c)=常數，則兩向量平行如果ax+by+cz=0，則兩向量垂直。答案補充三點一定共面,證第四點在該平面內用向量,另取一點O如向量OA=ax向量OB+bx向量OC+cx向量OD，且a+b+c=1則有四點共面答案補充方法已經很詳細了呀。4線平行線:兩條線的方向向量矢量積為0，且兩條線沒交點

面平行線：是線平行面吧，線的方向向量和平面法向量垂直，即線的方向向量和平面法向量數量積為0，且線不在平面內

三點共面：三點肯定是共面的，我猜你說的是三點共線吧，比如ABC三點，證明共線，證明AB與BC的方向向量矢量積為0

四點共面：比如ABCD三點證明AB,AC,AD三者滿足先求AB,AC的矢量積a，再a和AD數量積為0

怎樣證明空間任意一點O和不共線的三點A，B，C，向量Op=x向量OA+y向量OB+z向量OC且x＋y＋z＝1，則p，A，B，C四點共面

簡明地證明，網上的不具體，不要復制!

證明：由x+y+z=1→x向量OC+y向量OC+z向量OC=向量OC，且：x向量OA+y向量OB+z向量OC=向量Op

將上邊兩式相減得：向量Op-向量OC=x(向量OA-向量OC)+y(向量OB-向量OC)

即：向量Cp=x向量CA+y向量CB

由x向量CA+y向量CB所表示的向量必在平面ABC內→p點必在平面ABC內。

故：A，B，C，p四點共面。

可以先隨便假設其中3點共面(很簡單2點確定一條直線，直線和直線外一點可以確定1個平面)不防設ABC三點共面只需證明p點在這個平面上即可以下向量符號省去

證明：pA=BA-Bp

=OA-OB-(Op-OB)

=OA-Op

=OA-(a向量OA+b向量OB+c向量OC)

=(1-a)OA-bOB-cOC

=(b+c)OA-bOB-cOC

=bBA+cCA

到這里因為ABC已經確定了一個平面且pA=bBA+cCA

所以pA平行平面又A在平面內所以p點也在該平面內

所以四點共面

第四篇：證明向量共面

證明向量共面

已知O是空間任意一點,A.B.C.D四點滿足任意三點均不共線,但四點共面,且O-A=2xB-O+3yC-O+4zD-O,則2x+3y+4z=?

寫詳細點怎么做謝謝了~明白后加分！!

我假定你的O-A表示向量OA。

由O的任意性，取一個不在ABCD所在平面的O，這時若OA=b*OB+c*OC+d*OD，那么b+c+d必定等于1。

(證明：設O在該平面上的投影為p，那么對平面上任何一點X，OX=Op+pX，然后取X=A、B、C、D代你給的關系式并比較Op分量即可。)

你給的右端向量都反向，所以2x+3y+4z=-1。

2充分不必要條件。

如果有三點共線，則第四點一定與這三點共面，因為線和直線外一點可以確定一個平面，如果第四點在這條線上，則四點共線，也一定是共面的。

而有四點共面，不一定就其中三點共線，比如四邊形的四個頂點共面，但這四個頂點中沒有三個是共線的。

“三點共線”可以推出“四點共面”，但“四點共面”不能推出“三點共線”。因此是充分不必要條件

任取3個點，如果這三點共線，那么四點共面;如果這三點不共線，那么它們確定一個平面，考慮第四點到這個平面的距離。方法二A、B、C、D四點共面的充要條件為向量AB、AC、AD的混合積(AB,AC,AD)=0。方法三A、B、C、D四點不共面的充要條件為向量AB、AC、AD線性無關。

3已知O是空間任意一點,A.B.C.D四點滿足任意三點均不共線,但四點共面,且O-A=2xB-O+3yC-O+4zD-O,則2x+3y+4z=?

寫詳細點怎么做謝謝了我假定你的O-A表示向量OA。

由O的任意性，取一個不在ABCD所在平面的O，這時若OA=b*OB+c*OC+d*OD，那么b+c+d必定等于1。

(證明：設O在該平面上的投影為p，那么對平面上任何一點X，OX=Op+pX，然后取X=A、B、C、D代你給的關系式并比較Op分量即可。)

你給的右端向量都反向，所以2x+3y+4z=-1。

4Xa-Yb+Yb-Zc+Zc-Xa=0

∴Xa-Yb=-(Yb-Zc)-(Zc-Xa)

由共面判定定理知它們共面。

簡單的說一個向量能夠用另外兩個向量表示，它們就共面。詳細的看高中課本

41.若向量e1、e2、e3共面，(i)其中至少有兩個不共線，不妨設e1,e2不共線，則e1,e2線性無關，e3可用e1,e2線性表示，即存在實數λ，μ，使得e3=λe1+μe2,于是

λe1+μe2-e3=0.即存在三個不全為零的實數λ，μ，υ=-1，使得

λe1+μe2+υe3=0”。

(ii)若e1,e2,e3都共線，則其中至少有一個不為0，不妨設e1≠0，則存在實數λ，使得e2=λe1.于是λe1-e2=0,即存在三個不全為零的實數λ，μ=-1，υ=0，使得λe1+μe2+υe3=0”.2.存在三個不全為零的實數λ，μ，υ，使得λe1+μe2+υe3=0”，不妨設λ≠0，就有e1=(-μ/λ)e2+(-υ/λ)e3,于是e1,e2,e3共面。

第五篇：第四講四點共圓問題

第四講四點共圓問題

“四點共圓”問題在數學競賽中經常出現，這類問題一般有兩種形式：一是以“四點共圓”作為證題的目的，二是以“四點共圓”作為解題的手段，為解決其他問題鋪平道路.判定“四點共圓”的方法，用得最多的是統編教材《幾何》二冊所介紹的兩種（即P89定理和P93例3），由這兩種基本方法推導出來的其他判別方法也可相機采用.“四點共圓”作為證題目的例1．給出銳角△ABC，以AB為直徑的圓與AB邊的高CC′及其延長線交于M，N.以AC為直徑的圓與

AC邊的高BB′及其延長線將于P，Q.求證：M，N，P，Q四點共圓.(第19屆美國數學奧林匹克)

分析：設PQ，MN交于K點，連接AP，AM.欲證M，N，P，Q四點共圓，須證 AMK·KN＝PK·KQ，Q即證(MC′-KC′)(MC′+KC′)C′＝(PB′-KB′)·(PB′+KB′)

2222或MC′-KC′=PB′-KB′.不難證明 AP=AM，從而有 B2222AB′+PB′=AC′+MC′.2222故 MC′-PB′=AB′-AC′

2222=(AK-KB′)-(AK-KC′)

22=KC′-KB′.②

由②即得①，命題得證.O例2．A、B、C三點共線，O點在直線外，O1O1，O2，O3分別為△OAB，△OBC，△OCA的外心.求證：O，O1，O2，O2O3四點共圓.3(第27屆莫斯科數學奧林匹克)

A分析：作出圖中各輔助線.易證O1O2垂直平分OB，O1O3垂直平分OA.觀察△OBC及其外接圓，立得∠BC

OO2O1=11∠OO2B=∠OCB.觀察△OCA及其外接圓，立得∠OO3O1=∠OO3A=∠OCA.22

由∠OO2O1=∠OO3O1?O，O1，O2，O3共圓.利用對角互補，也可證明O，O1，O2，O3四點共圓，請同學自證.以“四點共圓”作為解題手段

這種情況不僅題目多，而且結論變幻莫測，可大體上歸納為如下幾個方面.(1)證角相等

例3．在梯形ABCD中，AB∥DC，AB＞CD，K，M分別在AD，BC上，∠DAM＝∠CBK.求證：∠DMA＝∠CKB.CD（第二屆袓沖之杯初中競賽）

分析：易知A，B，M，K四點共圓.連接KM，有∠DAB＝∠CMK.∵∠DAB+∠ADC KM

＝180°，∴∠CMK+∠KDC＝180°.AB故C，D，K，M四點共圓?∠CMD＝∠DKC.但已證∠AMB＝∠BKA，∴∠DMA＝∠CKB.(2)證線垂直 例4．⊙O過△ABC頂點A，C，且與AB，BC交于K，N(K與N不同).△ABC外接圓和△BKN外接圓相交于B和

BM.求證：∠BMO=90°.(第26屆IMO第五題)分析：這道國際數學競賽題，曾使許多選手望而卻步.共圓”，問題是不難解決的.連接OC，OK，MC，MK，延長BM到G.易得∠GMC=

∠BAC=∠BNK=∠BMK.而∠COK=2·∠BAC=∠GMC+

∠BMK=180°-∠CMK，∴∠COK+∠CMK=180°?C，O，K，M四點共圓.在這個圓中，由

OC=OK? OC∠OMC=∠OMK.但∠GMC=∠BMK，故∠BMO=90°.(3)判斷圖形形狀

例5．四邊形ABCD內接于圓，△BCD，△ACD，△ABD，△ABC的內心依次記為IA，IB，IC，ID.試證：IAIBICID是矩形.(第一屆數學奧林匹克國家集訓選拔試題)

分析：連接AIC，AID，BIC，BID和DIB.易得

11∠ADB=90°+ 22

∠ACB=∠AIDB?A，B，ID，IC四點 ∠AICB=90°+

共圓.同理，A，D，IB，IC四點共圓.此時 IBAC1∠AICID=180°-∠ABID =180°-∠ABC，2

1∠AICIB=180°-∠ADIB=180°-∠ADC，2

∴∠AICID+∠AICIB A1(∠ABC+∠ADC)2

1=360°-×180°=270°.2=360°-故∠IBICID=90°.同樣可證IAIBICID其它三個內角皆為90°.該四邊形必為矩形.(4)計算

2例6．正方形ABCD的中心為O，面積為1989㎝.P為正方形內

一點，且∠OPB=45°，PA:PB=5:14.則PB=__________

(1989，全國初中聯賽)CD分析：答案是PB=42㎝.怎樣得到的呢？

連接OA，OB.易知O，P，A，B

四點共圓，有∠APB=∠AOB=90°.222故PA+PB=AB=1989.由于PA:PB=5:14，可求PB.BA(5)其他

例7．設有邊長為1的正方形，試在這個正方形的內接正三角形中找出面積最大的和一個面積最小的，并

求出這兩個面積(須證明你的論斷).(1978，全國高中聯賽)

分析：設△EFG為正方形ABCD 的一個內接正三角形，由于正三角形的三個頂點至少必落在正方形的三EA條邊上，所以不妨令F，GD·作正△EFG的高EK，易知E，K，G，D四點共圓?∠KDE=∠KGE=60°.同

理，∠KAE=60°.故△KAD也是一個正 FGK三角形，K必為一個定點.CB

又正三角形面積取決于它的邊長，當KF丄AB時，邊長為1，這時邊長最小，而面積S=

也最4

小.當KF通過B點時，邊長為2·2?3，這時邊長最大，面積S=23-3也最大.例8．NS是⊙O的直徑，弦AB丄NS于M，P為ANB上異于N的任一點，PS交AB于R，PM的延長線

交⊙O于Q.求證：RS＞MQ.(1991，江蘇省初中競賽)

分析：連接NP，NQ，NR，NR的延長線交⊙O于Q′.連接

MQ′，SQ′.易證N，M，R，P四點共圓，從而，∠SNQ′=∠MNR=

∠MPR=∠SPQ=∠SNQ.根據圓的軸對稱性質可知Q與Q′關于NS成軸對稱?MQ′=MQ.又易證M，S，Q′，R四點共圓，且RS是這個圓的直徑（∠RMS=90°)，MQ′是一條弦(∠MSQ′＜90°)，故RS＞MQ′.但MQ=MQ′，所以，RS＞MQ.練習題

1.⊙O1交⊙O2 于A，B兩點，射線O1A交⊙O2 于C點，射線O2A

交⊙O1 于D點.求證：點A是△BCD的內心.(提示：設法證明C，D，O1，B四點共圓，再證C，D，B，O2

四點共圓，從而知C，D，O1，B，O2五點共圓.)

2.△ABC為不等邊三角形.∠A及其外角平分線分別交對邊中垂線于A1，A2；同樣得到B1，B2，C1，C2.求證：A1A2=B1B2=C1C2.(提示：設法證∠ABA1與∠ACA1互補造成A，B，A1，C四點共圓；再證A，A2，B，C四點共圓，從而知A1，A2都是△ABC的外接圓上，并注意∠A1AA2=90°.)

3.設點M在正三角形三條高線上的射影分別是M1，M2，M3(互不重合).求證：△M1M2M3也是正三角形.4.在Rt△ABC中，AD為斜邊BC上的高，P是AB上的點，過A點作PC的垂線交過B所作AB的垂線于Q點.求證：PD丄QD.(提示：證B，Q，E，P和B，D，E，P分別共圓)

5.AD，BE，CF是銳角△ABC的三條高.從A引EF的垂線l1，從B引FD的垂線l2，從C引DE的垂線l3.求證：l1，l2，l3三線共點.(提示：過B作AB的垂線交l1于K，證：A，B，K，C四點共圓)