第一篇：等差數(shù)列問題探究六則

等差數(shù)列問題探究六則

探究1：等差數(shù)列的證明問題

提升對an?1?an?d（常數(shù)）本質(zhì)的認(rèn)識，只要后項減前項為同一個常數(shù)，就能證明數(shù)列?an?是等差數(shù)列.根據(jù)條件，判斷下列數(shù)列是否為等差數(shù)列？

22（1）an（2）an?1?an?2；（3）?1?an?4；11??1； an?1an

an?1an?n?1； n?122（4）lgan?1?lgan?2；（5）

2an?1?2an?2；（6）

思考1.已知數(shù)列?an?及?bn?是兩個無窮等差數(shù)列，公差分別是d1和d2，求證：?an?bn?成等差數(shù)列，并求它的公差.思考2.已知a,b,c的倒數(shù)成等差數(shù)列，求證：等差數(shù)列.思考3.（2012年江蘇20）已知各項均為正數(shù)的兩個數(shù)列{an}和{b

n}滿足：

2????bb????nnan?1?n?N．設(shè)bn?1?1?，n?N，求證：數(shù)列????是等差數(shù)列.ana???n???abc，的倒數(shù)也成b?c?ac?a?ba?b?c

探究2：含絕對值的數(shù)列問題

已知等差數(shù)列?an?的首項a1?16，公差d??

（1）此等差數(shù)列中從第幾項開始出現(xiàn)負(fù)數(shù)？

（2）當(dāng)an最小時，求n.3.4探究3：三個數(shù)或四個數(shù)成等差數(shù)列問題

1.三個數(shù)成等差數(shù)列，它們的和是15，它們的平方和等于83，求這三個數(shù).2.成等差數(shù)列的四個數(shù)之和為26，第二個數(shù)和第三個數(shù)之積為40，求這四個數(shù).探究4：等差數(shù)列通項的若干性質(zhì)探究.1.已知x?y，兩個數(shù)列x,a1,a2,a3,y和x,b1,b2,b3,b4,y都是等差數(shù)列，且公差分別為d1和d2，求d1:d2.2.已知?an?是等差數(shù)列，當(dāng)m?n?p?q（m,n,p,q?N*）時，是否有

am?an?ap?aq？如果是，請給出證明.并思考能否對該結(jié)論作進一步推廣？

例：在等差數(shù)列?an?中，已知a2?a7?a15?12，則a8?______.3.（1）已知?an?是等差數(shù)列，且ap?q，aq?p（p?q），求ap?q.n

（2）若已知數(shù)列?an?的通項公式為：an?(3?p)2?4n?3，則p的值為________.4.（1）在等差數(shù)列數(shù)列?an?中，2an?an?k?an?k(n?k?0)是否成立？

（2）如果在數(shù)列?an?中，2an?an?k?an?k(n?k?0)，你能得到什么結(jié)論？

探究5：數(shù)陣數(shù)表問題

下列數(shù)陣稱為“森德拉姆篩”，其特點是每行每列都是等差數(shù)列.2 3 4 5 6 3 5 7 9 11 4 7 10 13 16 5 9 13 17 21 6 11 16 21 26 7 13 19 25 31 ?

?

?

?

?

定義第i行第j列的項為aij，求數(shù)列?aij?的通項公式.?13 ?19 ?25 ?31 ?37 ??

?

探究6：等差數(shù)列探究性問題

1.在一個等差數(shù)列中，如果其中有一項為連續(xù)三項？

變式：（2009北大、北師大等高水平學(xué)校自主招生試題）已知由正數(shù)組成的無窮等差數(shù)列中有3項13,25,41.求證：2009是其中一項.2.已知數(shù)列?an?滿足：a1?1，an?1?(n2?n??)an（n?1,2,3,?），其中?為常數(shù).（1）當(dāng)a2??1時，求?與a3的值；

（2）數(shù)列?an?是否可能為等差數(shù)列？若可能，求出它的通項公式；若不可能，請說明理由.26151，能否成為該等差數(shù)列的，那么

3x?16xx

第二篇：類比探究等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)

類比探究等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)

上海市桐柏高級中學(xué)李淑艷 馬莉

上海市普陀區(qū)教育學(xué)院劉達(dá)

一、案例背景

本課的教學(xué)內(nèi)容是上海市高中課本《數(shù)學(xué)》（華東師范大學(xué)出版社）高中二年級第二學(xué)期《數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法》章節(jié)的數(shù)列性質(zhì)探究課。

上海市《中小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（試行稿）》提出：普通中小學(xué)課程的基本觀念是以學(xué)生發(fā)展為本，堅持全體學(xué)生的全面發(fā)展，關(guān)注學(xué)生個性的健康發(fā)展和可持續(xù)發(fā)展。并指出：“關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)的過程，通過創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)情境，開發(fā)實踐環(huán)節(jié)和拓寬學(xué)習(xí)渠道，幫助學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中體驗、感悟、建構(gòu)并豐富學(xué)習(xí)經(jīng)驗，實現(xiàn)知識傳承、能力發(fā)展、積極情感形成的統(tǒng)一”。在顧泠沅博士的“三個階段、二次反思、行動跟進”的行動教育研究模式下。本課例從“背景研究”，“教學(xué)實踐”和“評價反思”，都是在“以學(xué)定教”原則的基礎(chǔ)上的。從教材體系來看，等比數(shù)列概念的學(xué)習(xí)就滲透類比的研究方法，鑒于學(xué)生的實際水平及樂于思考新問題的特點，我們設(shè)置了有一定層次的供類比的數(shù)列問題，同時也對學(xué)生學(xué)習(xí)過程可能出現(xiàn)的情況進行了預(yù)測。同時根據(jù)學(xué)生目前現(xiàn)狀，以及教材內(nèi)容收集、整理、提煉利用類比的思想方法，研究數(shù)列中問題等有關(guān)素材，在自我理解的層面上設(shè)計教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)思路及手段、教學(xué)過程，先進行第一次教學(xué)嘗試，然后進行反思；再請專家、教研員、教研組長、全體組員在聽取本人的設(shè)計初衷及反思后進行全方位的再設(shè)計與指導(dǎo)，而后開設(shè)公開課進行教研，在系統(tǒng)評價的基礎(chǔ)上，再進行第二次實踐；第三次看目標(biāo)的達(dá)成度與教師理念的轉(zhuǎn)變、教學(xué)經(jīng)驗與教訓(xùn)的總結(jié)。我們就是按照這種“行動教育”模式開展課堂教學(xué)研究的。

二、目標(biāo)分析

本課教學(xué)目標(biāo)的確定圍繞著“類比——發(fā)現(xiàn)——自悟”的研究性學(xué)習(xí)課堂教學(xué)模式。探索如何運用研究性學(xué)習(xí)的學(xué)習(xí)模式在《等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)探究》教學(xué)中融合類比的本課希望通過“類比——發(fā)現(xiàn)——自悟”的教學(xué)模式，引導(dǎo)學(xué)生體會類比在數(shù)學(xué)教學(xué)中的三個維度：“一維——知識結(jié)構(gòu)上的類比；二維——證明方法上的類比；三維——學(xué)生自主的理性思想方法的類比。”

三、教學(xué)流程

首先通過科學(xué)事實——魯班造鋸的典故引入類比思想，然后提出第一維問題（以回顧的通過這一回顧，學(xué)生能從“第一維”層面上開展類比學(xué)習(xí)，體會等差數(shù)列和等比數(shù)列在概念形式上的相似之處。

在基本認(rèn)識了類比探究方法之后，教師通過問題提升本節(jié)探究課活動性和探究性，設(shè)置了若干性質(zhì)探究的問題供學(xué)生思考。

問題1：在等差數(shù)列?an?中，若項數(shù)數(shù)列?kn?是等差數(shù)列(kn?N)，則akn仍是等差數(shù)

列。

類比：若?an?是等比數(shù)列，當(dāng)?kn?(kn?N)是________數(shù)列時，akn是________數(shù)列。

問題一是在學(xué)生已掌握“數(shù)列?an?是等差數(shù)列，對?an?中下角標(biāo)成等差數(shù)列的項也成等差數(shù)列”這一性質(zhì)后，將“文字語言”轉(zhuǎn)化成“符號語言”，讓學(xué)生來類比等比數(shù)列中相應(yīng)的性質(zhì)，并加以證明。學(xué)生一方面從形式上加以類比，另一方面，從證明方法上也進行類比證明。這樣的問題，在學(xué)生理解性質(zhì)后，初步體驗了發(fā)現(xiàn)問題并解決問題的“類比”方法。

問題一結(jié)束后，啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生如何類比并得到正確結(jié)論？經(jīng)歷運用類比思想方法研究數(shù)列問題的過程。

問題2：有一位同學(xué)發(fā)現(xiàn)：若?an?為等差數(shù)列，則?an?1?an?也成等差數(shù)列。由此經(jīng)過類比，他猜想：若?an?為等比數(shù)列，則?an?1?an?、?an?1?an?也為等比數(shù)列。你認(rèn)為呢？

問題二是一道開放性問題，有近85%的學(xué)生最初得到了?an?1?an?、?an?1?an?也為等比數(shù)列，并有部分同學(xué)給予了“證明”。學(xué)生初步感覺到“和”與“積”的類比，“差”與“商”的類比。此時，教師再拋出一個問題：“積”為等比數(shù)列，那么“和”呢？在你證明完“積”為等比數(shù)列后能說明“和”不是等比嗎？對于這一問題，學(xué)生根據(jù)前面兩個問題的解決已經(jīng)隱約體驗到類比不但是形式上的模仿，其證明方法、考慮角度也可進行類比，說明這種思考問題的方法已不自覺地納入他們的思維體系之中，下面是一段課堂實錄：

師：對剛才問題，同學(xué)可以得到什么結(jié)論？

生1：我判斷并證明了等比數(shù)列的“和”仍然是等比數(shù)列，且公比什q。

（師環(huán)視四周，似乎每個人都投以贊同的目光，并且頻繁點頭表示同意）。

生2：我有點不同意（全班只有他一人有不同意見），我覺得，對數(shù)列-1，1，-1，1，?這個數(shù)列來說，其和不是等比數(shù)列。（此時全班恍然，都認(rèn)為是正確的）

師：我們來看一下生1的證明過程（投影儀）： ?????an?1?ana(q?1)?n?（常數(shù)）q，an?an?1an?1(q?1)

??an?1?an?是等比數(shù)列。你們看證明過程嚴(yán)密嗎？

生3：當(dāng)q=－1時，他的第二步不成立。（此時同學(xué)們又都給予肯定）。

師：答得好。本來我們不知道這一反例，但在證明過程中發(fā)現(xiàn)了問題的存在，由此找到了反例，說明同學(xué)們在發(fā)現(xiàn)問題時，能夠進行大膽猜想、小心論證的嚴(yán)密的科學(xué)態(tài)度。

師：學(xué)到這里，你有什么樣的感受呢？

生4：在等差數(shù)列和等比數(shù)列的類比中，我發(fā)現(xiàn)除了形式上存在著類比之外，正確的要加以證明，錯誤的可以舉出反例。

生5：我感到就算是類比的結(jié)論在形式上未必一致，但證明方法有相似之處。

這番交流的過程中，學(xué)生的思維幾經(jīng)“沖浪”輾轉(zhuǎn)，他們的好奇心和探索熱情已被喚起，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)歷程正在探索中內(nèi)化著。

問題3：一位同學(xué)發(fā)現(xiàn)：若Sn是等差數(shù)列?an?的前n項和，則Sk,S2k?Sk,S3k?S2k也是等差數(shù)列。在等比數(shù)列中是否也有這樣的結(jié)論？為什么？

問題4：我們知道對于等差數(shù)列?an?，a1?a2?a3???an?na1?n(n?1)d成立。通過

2類比，嘗試發(fā)現(xiàn)等比數(shù)列中的相似結(jié)論并給予證明.問題三的設(shè)計和問題四是結(jié)合在一起的，設(shè)計問題三的時候考慮到學(xué)生有可能只能通過證明找到反例從而得出Sk,S2k?Sk,S3k?S2k不成等比數(shù)列的結(jié)論，而對類比的結(jié)論有困難，甚至?xí)型瑢W(xué)得出Sk,S2kS3k成等比數(shù)列的結(jié)論。對于問題四，可以將問題三溝通起,SkS2k

來探索。經(jīng)過討論、形式上類比、對結(jié)論進行論證。我們可以在學(xué)生最終明確結(jié)論后再回到問題三，讓同學(xué)們進一步思考并指出“Sk,S2kS3k成等比數(shù)列”的說法雖然不對，但在“類,SkS2k

比——發(fā)現(xiàn)”的探究過程中也有不少新的收獲。繼而提問：如何改動使得結(jié)論成立？這個過程，將“類比——發(fā)現(xiàn)——自悟”模式的核心——學(xué)生在思維上經(jīng)過反復(fù)的類比、驗證，自我領(lǐng)悟并掌握類比的思想方法——完全體現(xiàn)在了教學(xué)過程中。

四、教學(xué)反思

第一次教學(xué)之后，在教研員、教研組長等老師的指導(dǎo)下，總結(jié)了以下一些不足：

1．在教學(xué)設(shè)計時，偏向于行形式上類比，盡管在形式上的類比達(dá)成度較高，但反映在數(shù)學(xué)實質(zhì)上的內(nèi)容偏少；

2．問題之間的聯(lián)系不是很好，問題似乎有些孤立；

3．題目偏多；

為此，教師在教學(xué)設(shè)計的調(diào)整過程中關(guān)注了這兩個方面：

1．為將“類比——發(fā)現(xiàn)——自悟”的模式更加清晰地在教學(xué)中體現(xiàn)，教師的教學(xué)設(shè)計由重形式向重思維方式轉(zhuǎn)變；

2．精選例題，設(shè)計的數(shù)學(xué)問題關(guān)注一題多變、多題環(huán)環(huán)相扣的連鎖關(guān)系，同時體現(xiàn)思維“嚴(yán)密性”，并且搭建腳手架，幫助學(xué)生努力實現(xiàn)“發(fā)現(xiàn)——自悟”的過程。

在公開課教學(xué)之后，聽課老師以及學(xué)科組的專家在一起再次開展了評課探討，結(jié)合教師的反思總結(jié)如下：

1．本堂課是等差數(shù)列與等比數(shù)列性質(zhì)的類比，在學(xué)生經(jīng)歷了類比的學(xué)習(xí)后，能夠體會：從形式上得到類比的特征，從本質(zhì)上體驗思維的過程，了解類比不僅是形式上的“相似”，而是從相似中得到結(jié)論，再由論證使之成為類比。這樣的教學(xué)模式，有利于激發(fā)學(xué)生的思維，使學(xué)生在辯證中掌握類比的思想方法。

2．本堂課知識目標(biāo)的達(dá)成度較好，學(xué)生能夠基本掌握類比的特征，但學(xué)習(xí)過程中教師沒有刻意地總結(jié)、引導(dǎo)，學(xué)生在探究過程中以體驗為主，只是學(xué)生對于“類比——發(fā)現(xiàn)——自悟”的探究方式仍略顯模糊，需要今后不斷嘗試采用類似地教學(xué)方法促進學(xué)生的研究性學(xué)習(xí)方式的形成。

3．教師在平時應(yīng)時時具備二期課改的理念，重視學(xué)生的思維活動。比如，在問題二中，有學(xué)生提出反例：在數(shù)列-1，1，-1，1，-1，1，?中，an?1?an?0，所以?an?1?an?不是等比數(shù)列。教師應(yīng)加以表揚，并緊接著提問：你是怎樣想到這個反例的，你能得出什么樣的規(guī)律？如果這位學(xué)生不能回答清楚的，可以再回顧他們的證明過程，從中尋找問題所在。這樣不但順應(yīng)了學(xué)生的思維結(jié)構(gòu)，而且在老師的點撥下，學(xué)生能進一步更深層次地考慮問題，從而為問題三打下伏筆。

4．在學(xué)生有困難的地方可以預(yù)先做準(zhǔn)備工作，這樣可以使這堂課的達(dá)成度更高。比如，在問題三中，Sk,S2k?Sk,S3k?S2k是非常抽象的，它牽涉到子數(shù)列的問題，而且在原設(shè)計中是“數(shù)列Sn,S2n?Sn,S3n?S2n,?,S(k?1)n?Skn是等差數(shù)列，請同學(xué)在等比數(shù)列中進行類比”，但由于證明過于抽象，學(xué)生不容易理解，因此改為上述形勢，而且考慮如果在課前能舉一些例子，滲透子數(shù)列的概念，學(xué)生理解起來也許更容易。

因此在下一堂的課中，作了如下改進：

1．在等差數(shù)列復(fù)習(xí)中，將問題2、3在等差數(shù)列中的情況進行證明，再事先將等差數(shù)列的證明打在幻燈片上，如果在課堂中學(xué)生在證明等比數(shù)列的過程中遇到困難的話，就可以把等差數(shù)列的證明顯示給他們看，從而使他們體驗到證明的方法也可以進行類比，更加凸顯類比的本質(zhì)特征。事實上，在本堂課中也達(dá)到了這樣的目的，學(xué)生的掌握度也更好了。如：在證明問題3的時候，有的同學(xué)利用前n項和公式證明較為繁瑣，而有的同學(xué)很快就得出結(jié)論，她說：“證明是類比等差數(shù)列的思路和步驟，結(jié)論是類比問題二得出的。”這就充分說明她已經(jīng)掌握了類比的本質(zhì)，表明經(jīng)歷幾次設(shè)計問題并逐步解決、探索，學(xué)生正體驗著數(shù)學(xué)思想和方法，領(lǐng)悟其價值，滋生應(yīng)用意識。

2．因為問題2和問題3是同類型的問題，尤其是它們的證明以及在證明過程中發(fā)現(xiàn)反例的這一思路是相近的，所以為了提高課堂效率，這里就采取分組的方法，請兩組同學(xué)解決問題二，另兩組同學(xué)解決問題三，再進行討論總結(jié)。實施下來，時間縮短了，而且有了比較，同學(xué)的積極性也提高了，大大地提高了課堂的效率。并且把原先在上課時來不及解決的推論解決了，使得學(xué)生的思維得到延伸，而且使學(xué)生對類比的本質(zhì)特征有了理性上的認(rèn)識，從而達(dá)到了第三維：學(xué)生自主的理性思想的類比。

通過“類比——發(fā)現(xiàn)——自悟”的初步實施，學(xué)生在自主的學(xué)習(xí)和探究過程中體驗知識發(fā)生的過程，通過對產(chǎn)生的見解的辯論進行了思維方式的轉(zhuǎn)變，使得學(xué)習(xí)方法得到了改善，為他們今后的學(xué)習(xí)帶來了信心和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S方式，其效果應(yīng)該說是顯見的。教師方面，我們得到的感受是：教學(xué)理念得到了很大的提升，尤其對于“類比——發(fā)現(xiàn)——自悟”的研究性學(xué)習(xí)課堂教學(xué)模式的初步應(yīng)用的效果啟發(fā)我們在平時的教學(xué)中應(yīng)多為學(xué)生創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)氛圍和問題情境，教學(xué)設(shè)計應(yīng)多從學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)和原有的知識結(jié)構(gòu)出發(fā)，幫助學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中體驗、感悟?qū)W習(xí)經(jīng)驗。另外，用先進理念和經(jīng)驗指導(dǎo)教學(xué)，能使自己不斷加深對課改理念的理解，并逐漸內(nèi)化為自身的教學(xué)風(fēng)格，促進自身業(yè)務(wù)水平的提高。

參考資料：

[1] 廖哲勛：關(guān)于課堂教學(xué)案例開發(fā)的理性思考——《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考》2003.6

[2] 鄭毓信：《數(shù)學(xué)方法論》 廣西教育出版社1998.5

第三篇：等差數(shù)列專題

等差數(shù)列的運算和性質(zhì)專題復(fù)習(xí)

【方法總結(jié)1】

(1)等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式，共涉及五個量a1，an，d，n，Sn，知其中三個就能求另外兩個，體現(xiàn)了用方程的思想解決問題．

(2)數(shù)列的通項公式和前n項和公式在解題中起到變量代換作用，而a1和d是等差數(shù)列的兩個基本量，用它們表示已知和未知是常用方法．

【方法總結(jié)2】

1.一般地，運用等差數(shù)列的性質(zhì)，可以化繁為簡、優(yōu)化解題過程．但要注意性質(zhì)運用的條件，如m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)，需要當(dāng)序號之和相等、項數(shù)相同時才成立．

2.將性質(zhì)m?n?p?q?am?an?ap?aq與前n項和公式Sn?

題過程．

3.等差數(shù)列的常用性質(zhì)

(1)通項公式的推廣：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．

(2)若{an}為等差數(shù)列，且m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．

(3)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差為md的等差數(shù)列．

(4)數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差數(shù)列．

(5)S2n－1＝(2n－1)an.(6)若n為偶數(shù)，則S偶－S奇ndn為奇數(shù)，則S奇－S偶＝a中(中間項)． 2n(a1?an)結(jié)合在一起，采用整體思想，簡化解

2【方法總結(jié)3】

1.公差不為0的等差數(shù)列，求其前n項和的最值，一是把Sn轉(zhuǎn)化成n的二次函數(shù)求最值；二是由an≥0或an≤0找到使等差數(shù)列的前n項和取得最小值或最大值的項數(shù)n，代入前n項和公式求最值．求等差數(shù)列前n項和的最值，2.常用的方法：

(1)利用等差數(shù)列的單調(diào)性，求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項；

(2)利用性質(zhì)求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項，便可求得和的最值；

(3)利用等差數(shù)列的前n項和Sn＝An2＋Bn(A、B為常數(shù))為二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值． 與其他知識點結(jié)合則以解答題為主.【規(guī)律總結(jié)】

一個推導(dǎo)：利用倒序相加法推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項和公式：

Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，①Sn＝an＋an－1＋…＋a1，②①＋②得：Sn?

n(a1?an)

.2

兩個技巧：已知三個或四個數(shù)組成等差數(shù)列的一類問題，要善于設(shè)元．

(1)若奇數(shù)個數(shù)成等差數(shù)列且和為定值時，可設(shè)為…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，….(2)若偶數(shù)個數(shù)成等差數(shù)列且和為定值時，可設(shè)為…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，其余各項再依據(jù)等差數(shù)列的定義進行對稱設(shè)元．

四種方法：等差數(shù)列的判斷方法

(1)定義法：對于n≥2的任意自然數(shù)，驗證an－an－1為同一常數(shù)；(2)等差中項法：驗證2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)都成立；(3)通項公式法：驗證an＝pn＋q；(4)前n項和公式法：驗證Sn＝An2＋Bn.注：后兩種方法只能用來判斷是否為等差數(shù)列，而不能用來證明等差數(shù)列．

熱點一 等差數(shù)列基本量的計算

1.【2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（安徽卷文科）】設(shè)Sn為等差數(shù)列?an?的前n項和，S8?4a3,a7??2，則a9=（）

（A）?6（B）?4（C）?2（D）2

2,【2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（廣東卷）理】 在等差數(shù)列?an?中,已知a3?a8?10,則3a5?a7? _____.3．（2012年高考遼寧文）在等差數(shù)列{an}中,已知a4+a8=16,則a2+a10=（）A．12

B．16

C．20

D．24

4．（2012年高考北京文）已知{an}為等差數(shù)列,Sn為其前n項和.若a1?,S?a3,則 22

a2?________;Sn=________.5.（2012年高考重慶理）在等差數(shù)列{an}中,a2?1,a4?5,則{an}的前5項和S5=（）A．7B．15C．20D．25

6．（2012年高考福建理）等差數(shù)列?an?中,a1?a5?10,a4?7,則數(shù)列?an?的公差為

A．1

B．2C．3

D．4

（）

27．（2012年高考廣東理）已知遞增的等差數(shù)列?an?滿足a1?1,a3?a2?4,則an?______________.8.【2013年普通高等學(xué)校統(tǒng)一考試試題大綱全國理科】

2等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn.已知S3?a2，且S1,S2,S4成等比數(shù)列，求{an}的通項公式.9.【2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（福建卷）文科】已知等差數(shù)列an?的公差d=1，前n項和為Sn(I)若1,a1,a3成等比數(shù)列，求a1；

10．（2012年高考（山東文））已知等差數(shù)列{an}的前5項和為105,且a20?2a5.(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項公式;

(Ⅱ)對任意m?N*,將數(shù)列{an}中不大于72m的項的個數(shù)記為bm.求數(shù)列{bm}的前m項和Sm.?

(II)若S5?a1a9，求a1的取值范圍。

熱點二 等差數(shù)列性質(zhì)的綜合應(yīng)用

11.【2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（上海卷）文】在等差數(shù)列?an?中，若a1?a2?a3?a4?30，則

a2?a3?．

12．（2012年高考遼寧理）在等差數(shù)列{an}中,已知a4+a8=16,則該數(shù)列前11項和S11=（）

A．58

B．88

C．143

D．176

13．（2012年高考江西理）設(shè)數(shù)列?an?,?bn?都是等差數(shù)列,若a1?b1?7,a3?b3?21,則a5?b5?__________ 14．（2012年高考四川文）設(shè)函數(shù)f(x)?(x?3)?x?1,{an}是公差不為0的等差數(shù)列,f(a1)?f(a2)?????f(a7)?14,則a1?a2??a7?（）

A．0 B．7 C．14 D．21

15.（2012年高考大綱理）已知等差數(shù)列?an?的前n項和為Sn,a5?5,S5?15,則數(shù)列?（）A．

?

1?

?的前100項和為

?anan?1?

B．

101

C．

100

D．

16．（2012年高考山東理）在等差數(shù)列?an?中,a3?a4?a5?84,a9?73.(Ⅰ)求數(shù)列?an?的通項公式;

(Ⅱ)對任意m?N*,將數(shù)列?an?中落入?yún)^(qū)間(9,9)內(nèi)的項的個數(shù)記為bm,求數(shù)列?bm? 的前m項和Sm.m

2m

17.【2013年高考新課標(biāo)Ⅱ數(shù)學(xué)（文）卷】已知等差數(shù)列｛an｝的公差不為零，a1=25，且a1，a11，a13成等比數(shù)列.（Ⅰ）求?an?的通項公式；（Ⅱ）求a1+a4+a7+…+a3n-2.熱點三 等差數(shù)列的定義與應(yīng)用

18.【2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（遼寧卷）理科】下面是關(guān)于公差d?0的等差數(shù)列?an?的四個命題：

p2:數(shù)列?nan?是遞增數(shù)列； p1:數(shù)列?an?是遞增數(shù)列；

?a?

p4:數(shù)列?an?3nd?是遞增數(shù)列； p3:數(shù)列?n?是遞增數(shù)列；

?n?

其中的真命題為（）

（A）p1,p2（B）p3,p4（C）p2,p3（D）p1,p4 19．（2012年高考四川理）設(shè)函數(shù)f(x)?2x?cosx,{an}是公差為

f(a1)?f(a2)?????f(a5)?5?,則[f(a3)]?a1a3?（）

?的等差數(shù)列, 8

A．0

B．

? 16

C．?

D．

132

? 16

20．（2012年高考浙江理）設(shè)S n是公差為d(d≠0)的無窮等差數(shù)列{a n}的前n項和,則下列命題錯誤的是（）．．A．若d<0,則數(shù)列{S n}有最大項B．若數(shù)列{S n}有最大項,則d<0

C．若數(shù)列{S n}是遞增數(shù)列,則對任意的n?N*,均有S n>0D．若對任意的n?N*,均有S n>0,則數(shù)列{S n}是遞增數(shù)列

21.【2013年普通高等學(xué)校統(tǒng)一考試試題新課標(biāo)Ⅱ數(shù)學(xué)（理）卷】等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知S10=0，S15 =25，則nSn 的最小值為________.

第四篇：植樹問題探究

植樹問題

學(xué)情分析：

由于學(xué)生初次接觸植樹問題，這部分的學(xué)習(xí)內(nèi)容學(xué)生一定會很感興趣，學(xué)習(xí)的熱情也會比較高漲。這部分內(nèi)容對學(xué)生來說，是不容易理解和掌握的。學(xué)生已經(jīng)掌握了關(guān)于線段的相關(guān)知識，也具備了一定的生活經(jīng)驗和分析思考能力與計算能力，因此在教學(xué)過程中對教科書內(nèi)容進行適當(dāng)調(diào)整，并充分利用學(xué)生原有的知識和生活經(jīng)驗來組織學(xué)生開展各個環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)活動。

教學(xué)目標(biāo)：

1.通過動手操作的實踐活動，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)間隔數(shù)與植樹棵數(shù)之間的關(guān)系。

2.進一步培養(yǎng)學(xué)生從實際問題中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，應(yīng)用規(guī)律解決問題的能力。

3.通過實踐活動激發(fā)熱愛數(shù)學(xué)的情感，感受日常生活中處處有數(shù)學(xué)、體驗學(xué)習(xí)成功的喜悅。

教學(xué)重、難點：

引導(dǎo)學(xué)生在觀察、操作和交流中探索并發(fā)現(xiàn)間隔數(shù)與棵數(shù)的規(guī)律，并能運用規(guī)律解決實際問題。

教學(xué)準(zhǔn)備：

課件、教具

教學(xué)過程：

一：復(fù)習(xí)導(dǎo)入：

同學(xué)們，我們開始上課。看黑板上這樣一個問題：20米的路，每5米分一段，共分成幾段？會做的請舉手。（回顧“平均分”知識）

再看老師給大家準(zhǔn)備的第二道題目，大家一起來讀一讀：20米的路，每5米種一棵樹，共種幾棵樹？（指名學(xué)生匯報）這就是我們今天要研究的植樹問題。（板書：植樹問題）

二：互動新授

同學(xué)們，那么到底種多少棵樹呢？接下來讓我們自己動手來研究一下。（小組活動）

小組展示：你們組是怎么種的？樹是種在哪里？（點上）

總結(jié)：哦！我們種樹先平均分分出“段”來，再把樹種在點上。那么，點和段之間有什么關(guān)系？（點比段多1）

結(jié)論：20米長的路，平均分成4段，共5個點，所以種了5棵。

在植樹問題里，我們兩棵樹之間的距離叫做間隔米數(shù)，這里的段數(shù)叫做間隔數(shù)。那么我們間隔數(shù)怎么計算呢？（間隔數(shù)=路長÷間隔米數(shù)）我們種的棵數(shù)和間隔數(shù)之間的關(guān)系是什么？（棵數(shù)=間隔數(shù)+1）那如果是25米的路呢？要種幾棵樹？35米呢？

好，同學(xué)們，生活中的種樹很復(fù)雜的。大家看，我在路盡頭造了一個房子。那么現(xiàn)在棵樹和間隔數(shù)之間有什么關(guān)系呢？（棵數(shù)=間隔數(shù)+1再減1，也就是棵數(shù)=間隔數(shù)）。

如果我在路的兩端都造了房子呢？你怎么種？所以我們這個規(guī)律要變成：棵數(shù)=間隔數(shù)+1再減2，也就是棵數(shù)=間隔數(shù)-1

三、拓展練習(xí)

1.同學(xué)們在全長 100 m 的小路一邊植樹，每隔 5 m 栽一棵（兩端要栽）。一共要栽多少棵樹？

2.在一條全長 2 km 的街道兩旁安裝路燈（兩端也要安裝），每隔 50 m 安一盞。一共要安裝多少盞路燈？

3.小明家門前有一條 35 m 的小路，綠化隊要在路旁栽一排樹。每隔 5 m 栽一棵樹（一端栽，一端不栽）。一共要栽多少棵？

4.大象館和猴山相距 60 m。綠化隊要在兩館間的小路兩旁栽樹（兩端不栽），相鄰兩棵樹之間的距離是 3 m。一共要栽多少棵樹？

四、課堂總結(jié)：

通過本節(jié)課的種樹，你有什么收獲？

板書設(shè)計

植樹問題

點=段+1

間隔數(shù)=路長÷間隔米數(shù)

兩端要栽 棵樹=間隔數(shù)+1

一端栽一端不栽 棵樹=間隔數(shù)

兩端不栽 棵樹=間隔數(shù)-1

教學(xué)反思：本節(jié)課的小組活動中，是由我準(zhǔn)備好一張紙條代表路，還有幾棵樹，讓學(xué)生在紙上擺放，可能在無形中誤導(dǎo)學(xué)生進行兩端都栽樹，導(dǎo)致試教和正式上課中都沒有出現(xiàn)兩端不栽或者一端栽一端不栽的情況，阻礙了學(xué)生的思維發(fā)揮。在以后的教學(xué)中，我認(rèn)為還是讓學(xué)生自己在草稿紙上進行畫線段圖種樹，這樣可以發(fā)散學(xué)生的思維，不受誤導(dǎo)。另外，在教學(xué)上剛開始復(fù)習(xí)的平均分概念和植樹中的聯(lián)系上銜接的不夠好，導(dǎo)致平均分概念復(fù)習(xí)的有些多余。如何從平均分引導(dǎo)到點段區(qū)別再到植樹問題上的棵數(shù)，需要再多揣摩。

第五篇：單親家庭問題探究

單親家庭問題探究及解決

姓名：潘玉茹

一、基本情況

（一）社會調(diào)查題目：單親家庭問題調(diào)查

（二）參加時間：2015年2月1日

（三）地點：廣東省廣州市增城區(qū)小樓鎮(zhèn)約場村

（四）方式：本次調(diào)查采用問卷調(diào)查、入戶走訪等方式進行。

（五）內(nèi)容：調(diào)查的具體內(nèi)容具體包括單親家庭的人數(shù)、家庭收入和家庭收入情況、單親家庭的生活方式及狀態(tài)等等。

（六）過程：進行調(diào)查的對象共有1000人，首先在小樓鎮(zhèn)約場村派了980份問卷，隨機進入了一些家庭進行入戶訪問。共收回975份有效調(diào)查問卷，共進入30個家庭進行入戶訪問。

二、發(fā)現(xiàn)的問題

從調(diào)查問卷及入戶訪問收集的信息得知，在接受調(diào)查的1000人中共有50個單親家庭。該鎮(zhèn)的單親家庭有主要有以下幾點突出問題：

（一）單親家庭的類型主要有：

1、母親去世或父母離異，父親與子女共同生活；

2、父親去世或父母離異，母親與子女共同生活；

3、父母雙亡，子女與爺爺奶奶共同生活。經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，與父親共同生活的子女在經(jīng)濟方面比較富裕，但父親與子女之間的關(guān)系較疏遠(yuǎn)，平時交流很少；與母親共同生活的子女在經(jīng)濟方面較貧窮，但母親與子女之間的交流較多；與爺爺奶奶生活在一起子女經(jīng)濟方面普遍較貧窮，且他們之間的交流也很少。

（二）單親家庭中孩子的性格普遍沉默寡言，存在自卑心理：平時很少主動與別人交流也不會把自己感受說出來，單親家庭中父母心理特征主要有以下幾點：

1、過分溺愛孩子。溺愛是很多家庭的存在的通病，在單親家庭中的家長表現(xiàn)的更加嚴(yán)重，他們總覺得給不了孩子幸福美滿的家庭很對不起孩子，所以無論在精神上還是物質(zhì)上都無條件滿足，以為這樣就能彌補家庭的殘缺，由此造成孩子自傲、任性、自私、孤僻等性格的缺點。

2、過分冷漠，對孩子不聞不問。

3、一味排斥對方。這是離異家庭而言的，很多夫妻離婚后，一方帶著孩子生活，就不愿意讓對方接觸孩子，有意識的把對方貶得一無是處，向孩子灌輸敵對情緒，由此造成孩子性格偏離正常軌道。單親家庭中孩子的心理特征主要有以下幾點：

1、抑郁，有的孩子對痛失父或母十分痛苦，久久不能從傷心中走出來，心理非常壓抑。

2、憎恨，單親家庭中的孩子會對父母的離異充滿憎恨，進而擴展到對社會和學(xué)校的生活不感興趣。

3、易怒，家庭的缺陷會使他們脾氣變得暴躁易怒。

4、自卑，這是他們最大的心理特征，他們會認(rèn)為自己的家庭有缺陷是件很丟人的事情，所以變得很自卑。單親家庭中的孩子特別容易走上歪路，染上社會惡習(xí)，如網(wǎng)癮、吸毒等，由此可見，單親家庭對孩子的危害有多大。

(三）放羊式教育：“放羊式”教育已經(jīng)成了單親家庭存在教育現(xiàn)象，父或母忙于生計便很少與孩子們溝通，因而對孩子的教育無暇顧及，不得不實行“放羊”，對孩子的一切采取不關(guān)心的態(tài)度，給孩子犯罪創(chuàng)造了條件。在這50個單親家庭中，其中有35個家庭的孩子中學(xué)未讀完就輟學(xué)了，學(xué)歷低會對他們以后的生活造成嚴(yán)重的影響。

三、解決建議

針對調(diào)查中發(fā)現(xiàn)的問題，我采取了以下措施：

（一）防患于未然：在該鎮(zhèn)開展了主題為“大手牽小手，共創(chuàng)造美滿家庭”的活動，活動的主要目的是通過本次活動來宣傳美滿家庭對孩子的健康成長的重要性，同時也讓村民們一起來創(chuàng)造幸福美滿的家庭。本次活動設(shè)有有獎?chuàng)尨稹⒓彝コ蓡T互動、知識競賽等環(huán)節(jié)。為了本次活動能夠順利如期的進行，事先招募了20個志愿來共同促進活動的順利進行。此次活動共開展了三個小時，獲得了圓滿的成功。該鎮(zhèn)村民的參與度很高，很多村民表示通過這次活動會更加努力的創(chuàng)造美滿家庭給孩子一個健康快樂的成長壞境，也會更加珍惜與家人相處的時間。此次活動獲得比較高的評價，且預(yù)期效果也得到了很好實現(xiàn)。

（二）亡羊補牢：共開展了三次活動。

1、“釋放自己的壓力，讓孩子健康成長”，這個活動的主角是單親家庭中的家長們，此次活動的主要目的是讓單親家庭中的家長們釋放自己的心理壓力，關(guān)愛孩子，給孩子一個健康快樂的成長環(huán)境。這次活動的主要采取座談的方式進行，把家長們集合起來，在室內(nèi)圍成一圈坐著，輪流來分享自己的家庭故事。一開始家長們有點抗拒，隨后有第一位分享了自己的故事，接著氣氛慢慢的活躍起來。大部分家長都分享了自己的故事，他們的心理壓力得到了釋放。

2、“我們都一樣”，這個活動針對的是單親家庭中的孩子們，活動采取座談的形式進行，讓孩子們釋放心理壓力，并告訴了他們單親家。庭的孩子與所有的孩子一樣，并通過案例來說服他們。

3、“我們在一起”，這次活動的主角是單親家庭中的家長們和孩子們，活動采用戶外活動的形式進行。組織家長們和孩子們一起到戶外開展親子活動，給他們一次共同參加活動的機會，此次活動包括家長和孩子共有80人參加，事先招募了10個志愿者參加以促進活動的順利進行。活動的內(nèi)容包括玩游戲、親情表白等節(jié)目。通過親子體育游戲增加家長與孩子之間的交流與互動，親情表白是讓孩子和家長跟彼此說出自己的想法，讓對方知道了自己心理最真實的感情，加深他們對彼此之間的了解。通過這次親子活動，家長和孩子們之間的關(guān)系得到了大大的改善，家長對孩子多了關(guān)愛，孩子對家長多了理解，家庭關(guān)系變得和諧。一個月后回訪該鎮(zhèn)，該鎮(zhèn)的村民們表示自活動開展以來，家庭矛盾減少了不少，家庭成員之間的關(guān)系也得到了很大的改善。