第一篇：學(xué)案：等差數(shù)列及和

等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和

一．高考考綱

1．考查運(yùn)用基本量法求解等差數(shù)列的基本量問題．掌握等差數(shù)列的定義與性質(zhì)、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式等．

2．考查等差數(shù)列的性質(zhì)、前n項(xiàng)和公式及綜合應(yīng)用．掌握等差數(shù)列的判斷方法，等差數(shù)列求和的方法． 二．基礎(chǔ)知識(shí) 1．等差數(shù)列的定義

如果一個(gè)數(shù)列從第項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于，那么這個(gè)數(shù)列就叫做 等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的，通常用字母d表示． 2．等差數(shù)列的通項(xiàng)公式

若等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)是a1，公差是d，則其通項(xiàng)公式為。3．等差中項(xiàng)：如果，那么A叫做a與b的等差中項(xiàng)． 4．等差數(shù)列的常用性質(zhì)

(1)通項(xiàng)公式的推廣：a*

n＝am＋()d(n，m∈N)．

(2)若{an}為等差數(shù)列，且m＋n＝p＋q，則(m，n，p，q∈N*)． 5．等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式

若已知首項(xiàng)a1和末項(xiàng)an，則Sn＝，或等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)是a1，公差是d，則 其前n項(xiàng)和公式為Sn＝.三．典型例題

【例1】(2011·福建)在等差數(shù)列{an}中，a1＝1，a3＝－3.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

(2)若數(shù)列{an}的前k項(xiàng)和Sk＝－35，求k的值．

【例2】：已知數(shù)列{a項(xiàng)和為SS1

n}的前nn且滿足an＋2Sn·n－1＝0(n≥2)，a1＝2

.(1)求證：??1?

?S?是等差數(shù)列；(2)求an的表達(dá)式

n?

【例3】設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，已知前6項(xiàng)和為36，Sn＝324，最后6項(xiàng)的和為180(n＞6)，求數(shù)列的項(xiàng)數(shù)n.四．鞏固提高

1．(人教A版教材習(xí)題改編)已知{an}為等差數(shù)列，a2＋a8＝12，則a5等于()．A．4B．5C．6D．7

2．設(shè)數(shù)列{an}是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，若a6＝2且S5＝30，則S8等于()．A．31B．32C．33D．34

3．(2011·江西)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足：Sn＋Sm＝Sn＋m，且a1＝1.那么a10＝()．A．1B．9C．10D．55

4．(2012·杭州質(zhì)檢)設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知a2＝3，a6＝11，則S7等于()．A．13B．35C．49D．63

5．在等差數(shù)列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，則a6＝________.設(shè)等差數(shù)列{an}滿足a3＝5，a10＝－9.(1)求{an}的通項(xiàng)公式；(2)求{an}的前n項(xiàng)和Sn及使得Sn最大的序號(hào)n的值．

第二篇：等差數(shù)列復(fù)習(xí)學(xué)案

友好三中高一數(shù)學(xué)學(xué)案設(shè)計(jì)人：劉磊組長審核：設(shè)計(jì)時(shí)間：2009-3-1 講授時(shí)間：

等差數(shù)列復(fù)習(xí)

一、學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1、通過學(xué)案能靈活運(yùn)用通項(xiàng)公式求等差數(shù)列的首項(xiàng)、公差、項(xiàng)數(shù)、指定項(xiàng)，并通過通項(xiàng)公式再次認(rèn)識(shí)等差數(shù)列的性質(zhì)。

2、通過等差數(shù)列的習(xí)題培養(yǎng)學(xué)生的觀察力及歸納推理能力。

3、理論聯(lián)系實(shí)際，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)積極性。

二、學(xué)習(xí)重難點(diǎn)：

重點(diǎn)：等差數(shù)列的概念，探索并掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式。

難點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用，“等差”的特點(diǎn)。

三、學(xué)法指導(dǎo)：

研讀學(xué)習(xí)目標(biāo)，了解本節(jié)重難點(diǎn)，精讀教材，查找資料，獨(dú)立完成學(xué)案，通過小組學(xué)習(xí)解決部分疑難問題，再通過課堂各小組展示及質(zhì)疑對(duì)抗，共同提高，完成學(xué)習(xí)任務(wù)。

四、知識(shí)鏈接：

1.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：

3.等差數(shù)列的判定方法：

五、學(xué)習(xí)過程：

問題（1）：已知{an}是等差數(shù)列.請(qǐng)證明2a5=a3+a7和2a5=a1+a9.問題（2）：①證明2an=an-1+an+1（n>1）②證明2an=an-k+an+k（n>k>0）

A1.已知等差數(shù)列{an}中，a7﹢a9=16，a4=1，則a12的值是（）

A.15B.30C.31D.6

4B2.設(shè){an}是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，若a1+a2+a3=15，a1a2a3=80，則a11+a12+a13等于（）

A.120B.105C.90D.7

5B3.已知等差數(shù)列{an}滿足a1+a2+a3+?+a101 =0,則有（）

A.a1+a101>0B.a2+a100<0C.a3+a99=0D.a51=5

1A4.已知數(shù)列{an}滿足an－1+an＋1=2an(n≥2),且a1=3,a2=5,則數(shù)列的通項(xiàng)公式為.A5.在數(shù)列{an}中，若a1=1，an+1= an+2（n≥1），則該數(shù)列的通項(xiàng)an=.B6.等差數(shù)列{an}中，a1+3a8+a15=120，求2a9－a10

B7.在等差數(shù)列{an}中，已知a2+a5+a8=9，a3 a5 a7 =﹣21，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式

六、達(dá)標(biāo)訓(xùn)練：

B1.等差數(shù)列{an}中,a2+a5+a8=9,那么關(guān)于x的方程x+(a4+a6)x+10=0()

A．無實(shí)根B．有兩個(gè)相等實(shí) C．有兩個(gè)不等實(shí)根D．不能確定有無實(shí)根

2B2.等差數(shù)列{an}中，已知ak+ak+1+ak+2+ak+4+ak+4=A，則ak-1+ak+5（k≥2）等于

A.AB.A3C.A2A

5D.5A3.在等差數(shù)列{an}中，已知am﹣n=A，am+n=B，則am=.A4.已知數(shù)列{an}中，若a3+a4+a5+a6+a7=60，則a2+a8=.）（1B5.在等差數(shù)列{an}中,若a4+a6+a8+a100+a12=120,求a9－a11。

3B6.在等差數(shù)列{an}中,若a4+a6+a8+a100+a12=120,則2a9－a10.七、課堂小結(jié)：

八、課后反思：

第三篇：高三等差數(shù)列及前n項(xiàng)和導(dǎo)學(xué)案

《等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和》導(dǎo)學(xué)案

班級(jí)_______課時(shí)時(shí)間________

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1．理解等差數(shù)列的概念，會(huì)用定義證明一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列； 2．能利用等差中項(xiàng)、通項(xiàng)公式與前 n 項(xiàng)和公式列方程求值； 3．善于識(shí)別數(shù)列中的等差關(guān)系或能將其轉(zhuǎn)化為等差關(guān)系。

重點(diǎn)：等差數(shù)列基本功式、概念及性質(zhì)的應(yīng)用。

難點(diǎn)：等差數(shù)列的證明及性質(zhì)的應(yīng)用。考點(diǎn)梳理

1．等差數(shù)列

(1)定義：________________________.(2)通項(xiàng)公式：________________________________________________________________.(3)前n項(xiàng)和公式：____________________________________________________________.(4)a、b的等差中項(xiàng)A=_______________ 2．等差數(shù)列的常用性質(zhì)

（1）若{an}為等差數(shù)列,m、n、p、q、k是正整數(shù)，且m＋n＝p＋q＝2k，則am＋an＝______＝____.(2)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則{a2n}_________，公差為________．（3）若{an}，{bn}是等差數(shù)列，則{pan＋qbn}也是等差數(shù)列．

（4）若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差為______的___數(shù)列．（5）若{an}是等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為Sn，則數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…，是____數(shù)列，公差為____.（6）若數(shù)列{an}是等差數(shù)列,前n項(xiàng)和為Sn，則S2n－1＝___________.(7)若數(shù)列{an}是等差數(shù)列,前n項(xiàng)和為Sn，則數(shù)列{

Sn

n

}為__________.典例探究

題型一 等差數(shù)列有關(guān)基本量的計(jì)算

例1：在等差數(shù)列{an}中，已知a6=10,s5=5,求a8和s8.題型二 等差數(shù)列的判定與證明

例2：已知數(shù)列{an}中，a3

5＝2－1a(n≥2，n∈N*)，數(shù)列{b111＝，ann}滿足bn＝(n∈N*)．

n?1an?1an?1

(1)求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列;(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.題型三 等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用

例3：(1)(2011·遼寧高考)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，S2＝S6，a4＝1，則a5＝________.(2)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知aa2m?1?m?1?am?0,s2m?1?38,則m=____.（3）等差數(shù)列{an}的前m項(xiàng)和為30，,2m項(xiàng)和為100，則它的前3m項(xiàng)和為______.達(dá)標(biāo)檢測(cè)

1.（2012年高考北京文）已知{an}為等差數(shù)列,Sn為其前n項(xiàng)和.若a1

1?,S2?a3,則a2?________;Sn=________.2數(shù)列{an}中，a1＝8，a4＝2，且滿足an＋2－2an＋1＋an＝0(n∈N*)，則an=________.3．(2011年重慶)在等差數(shù)列{an}中，a3＋a7＝37，則a2＋a4＋a6＋a8＝_____.

第四篇：2.2.1等差數(shù)列(學(xué)案3)

2.2.1等差數(shù)列（學(xué)案3）

一．基礎(chǔ)知識(shí) 1.等差數(shù)列

2.通項(xiàng)公式

3.等差中項(xiàng)

4.證明方法

5.判定方法

二．例題

1.已知數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式an?3n?5，這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列嗎？

2.已知等差數(shù)列10，7，4，….：（1）試求此數(shù)列的第10項(xiàng)；

（2）—40是不是這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)？—56是不是這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)？（3）從第幾項(xiàng)開始出現(xiàn)負(fù)數(shù)？

3..已知等差數(shù)列的公差為d,第m項(xiàng)為am，試求其第n項(xiàng)an。

4.梯子共有5級(jí)，從上往下第1級(jí)寬35厘米，第5級(jí)寬43厘米，且各級(jí)的寬度依次組成等差數(shù)列

?an?，求第2，3，4級(jí)的寬度。

三．練習(xí)

1.在 3 與 7 之間插入一個(gè)數(shù) A，使 3，A，7 成等差數(shù)列，則

2.已知?an?是等差數(shù)列，a15?8,a60?20,求a75

3.首項(xiàng)為 ?24 的等差數(shù)列從第 10 項(xiàng)起開始為正數(shù)，則公差 d 的取值范圍是

4.已知m和2n的等差中項(xiàng)是4，2m和n的等差中項(xiàng)是5，則m和n的等差中項(xiàng)是

5.在等差數(shù)列?a2

n?中，a3,a9是方程2x?x?7?0的兩根，則a6

6.已知等差數(shù)列?an?，a1?a3?a5?105，a2?a4?a6?99，則a20?

7.在等差數(shù)列中ap?q,aq?p(p,q為正整數(shù)，且p?q)，則aP?q?

第五篇：等差數(shù)列一輪復(fù)習(xí)導(dǎo)學(xué)案

等差數(shù)列

考綱要求

1．了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系．2．理解等差數(shù)列的概念．

3．掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式；能在具體的問題情境中，識(shí)別數(shù)列的等差關(guān)系，并能運(yùn)用有關(guān)知識(shí)解決問題．

知識(shí)梳理

1．等差數(shù)列的定義與等差中項(xiàng)

(1)一般地，如果一個(gè)數(shù)列從________起，每一項(xiàng)減去它的前一項(xiàng)所得的________都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列．符號(hào)表示為____________(n∈N*，d為常數(shù))．

(2)若三個(gè)數(shù)a，A，b成等差數(shù)列，則A叫做a與b的等差中項(xiàng)，其中A＝____________.2．等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式

(1)通項(xiàng)公式：an＝__________，an＝am＋__________(m，n∈N*)．注：an＝dn＋a1－d，當(dāng)公差d不等于零時(shí)，通項(xiàng)公式是關(guān)于n的一次式，一次項(xiàng)系數(shù)為公差，常數(shù)項(xiàng)為a1－d.(2)前n項(xiàng)和公式：Sn＝______________________＝__________________.ddda1－?n，當(dāng)公差d≠0時(shí)，前n項(xiàng)和公式是關(guān)于n的二次式，二次項(xiàng)系數(shù)為注：Sn＝n2＋?2??2

2d數(shù)為a10.當(dāng)d＝0時(shí)，Sn＝na1，此數(shù)列是常數(shù)列． 2

3．等差數(shù)列的性質(zhì)

(1)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則有_____________，特別地，當(dāng)m＋n＝2p時(shí)，________.注：此性質(zhì)常和前n項(xiàng)和Sn結(jié)合使用．

(2)等差數(shù)列中，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差數(shù)列，其公差是m2d.(3)等差數(shù)列的單調(diào)性：若公差d＞0，則數(shù)列為____；若d＜0，則數(shù)列為___；若d＝0，則數(shù)列為__

(4)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則{a2n}也是等差數(shù)列，公差為__________．

(5)若{an}，{bn}是等差數(shù)列，則{pan＋qbn}也是等差數(shù)列．

(6)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則ak，ak＋m，ak＋2m，?(k，m∈N*)是公差為__________的等差數(shù)列． 基礎(chǔ)自測(cè)1．在數(shù)列{an}中，a1＝2,2an＋1－2an＝1，則a11的值為__________．

11112．在數(shù)列{an}中，a1＝＝a10＝__________.2an＋1an

33．設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若S3＝3，S6＝24，則a9＝__________.4．(2012福建高考改編)等差數(shù)列{an}中，a1＋a5＝10，a4＝7，則數(shù)列{an}的公差為__________．

S1S5．(2012南京市高三第二次模擬考試)設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．若＝__________.S73S7

基礎(chǔ)自測(cè)

1．7；2．－1 ；3．15 ； 4．2 ；

S315.解析：由S3＝3a2，S7＝7a4，由＝可得9a2＝7a4＝7(a2＋2d)，即a2＝7d，a3＝8d，a4＝9d，S73

S17從而S6＝3(a3＋a4)＝3×17d，S7＝7a4＝63d，則.S72

1思維拓展1．解決與等差數(shù)列有關(guān)問題有哪些常見的數(shù)學(xué)思想？

提示：(1)函數(shù)思想：在等差數(shù)列中an＝dn＋c(d，c為常數(shù))，是關(guān)于n的一次函數(shù)(或常數(shù)函數(shù))，Sn＝2An＋Bn(A，B為常數(shù))是關(guān)于n的二次函數(shù)或一次函數(shù)．

(2)方程思想：準(zhǔn)確分析a1，d，an，Sn，n之間的關(guān)系，通過列方程(組)可做到“知三求二”．

(3)整體思想：在應(yīng)用等差數(shù)列{an}的性質(zhì)“若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則am＋an＝ap＋aq”時(shí)，要會(huì)用整體思想進(jìn)行代換．

(4)類比思想：等差數(shù)列中的“和”“倍數(shù)”可以與等比數(shù)列中的“積”“冪”相類比，關(guān)注它們之間的異同有助于全面掌握數(shù)列知識(shí)，也有利于類比思想的推廣．

2．如何判斷一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列？

提示：(1)定義法：an－an－1＝d(n≥2)；(2)等差中項(xiàng)法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)；

(3)通項(xiàng)是n的一次函數(shù)：an＝An＋B；(4)前n項(xiàng)和是n的二次函數(shù)且常數(shù)項(xiàng)為0：Sn＝An2＋Bn.探究突破【探究突破一】等差數(shù)列的基本量的計(jì)算 【例1】 已知{an}是公差為d的等差數(shù)列，它的前n項(xiàng)和為Sn，S4＝2S2＋4，bn＝an

(1)求公差d的值；(2)若a1＝－2，求數(shù)列{bn}中的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)的值． 51＋a

解：(1)∵S4＝2S2＋4，Sn＝na1＋4×?4－1?n?n－1?，∴4a＋d＝2(2a1＋d)＋4，解得公差d＝1.122

1＋an57111(2)∵a1＝－，∴an＝a1＋(n－1)d＝n－.∴bn＝＝1＋＝1＋.設(shè)f(x)＝1＋，22anan77n－x－22

7777－∞，?和?∞?上單調(diào)遞減，且x＜f(x)＜1；x＞時(shí)，f(x)＞1.∵f(x)分別在?2??2??22

∴f(3)＜f(2)＜f(1)＜1，即b3＜b2＜b1＜1，1＜f(n)≤f(4)(n≥4)，即1＜bn≤b4(n≥4)，b4＝3，b3＝－1.綜上可得{bn}中最大項(xiàng)為b4＝3，最小項(xiàng)為b3＝－1.【方法提煉】首項(xiàng)a1和公差d是等差數(shù)列{an}的基本量，只要確定了a1和d，數(shù)列{an}就能確定．因此，通過列方程(組)求得a1和d是解決等差數(shù)列{an}基本運(yùn)算的重要思想和方法．

【針對(duì)訓(xùn)練1】設(shè)遞增等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a3＝1，a4是a3和a7的等比中項(xiàng)．

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn.解：在遞增等差數(shù)列{an}中，設(shè)公差為d＞0，22????a4＝a3×a7，??a1＋3d?＝1×?a1＋6d?，?a1＝－3，∵?∴?解得? ???a＝1，a＋2d＝1，d＝2.?3?1?

n?－3＋2n－5?2∴an＝－3＋(n－1)×2＝2n－5，Sn＝n－4n.2

故所求an＝2n－5(n∈N*)，Sn＝n2－4n(n∈N*)．

【探究突破二】等差數(shù)列的判斷與證明

【例2】(2012陜西高考)設(shè){an}是公比不為1的等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，且a5，a3，a4成等差數(shù)列．

(1)求數(shù)列{an}的公比；(2)證明：對(duì)任意k∈N＋，Sk＋2，Sk，Sk＋1成等差數(shù)列．

解：(1)設(shè)數(shù)列{an}的公比為q(q≠0，q≠1)，由a5，a3，a4成等差數(shù)列，得2a3＝a5＋a4，即2a1q2＝a1q4＋a1q3，由a1≠0，q≠0得q2＋q－2＝0，解得q1＝－2，q2＝1(舍去)，所以q＝－2.(2)證一：對(duì)任k∈N＋，Sk＋2＋Sk＋1－2Sk＝(Sk＋2－Sk)＋(Sk＋1－Sk)＝ak＋1＋ak＋2＋ak＋1＝2ak＋1＋ak＋1·(－2)＝0，所以，對(duì)任意k∈N＋，Sk＋2，Sk，Sk＋1成等差數(shù)列．

＋＋＋＋2a1?1－qk?a1?1－qk2?a1?1－qk1?a1?2－qk2－qk1?證二：對(duì)任k∈N＋，2Sk＝Sk＋2＋Sk＋1＝，1－q1－q1－q1－q

＋＋2a1?1－qk?a1?2－qk2－qk1?aaqk2kk＋2k＋12Sk－(Sk＋2＋Sk＋1)＝－q)－(2－q－q)]＝q＋q－2)＝0，1－q1－q1－q1－q

因此，對(duì)任意k∈N＋，Sk＋2，Sk，Sk＋1成等差數(shù)列．

【方法提煉】判斷或證明數(shù)列{an}為等差數(shù)列時(shí)，首先考慮的是定義，即證an＋1－an＝d(n∈N*)或an－an－1＝d(n∈N*，n≥2)，其中d為常數(shù)；對(duì)于遞推式，還可考慮利用等差中項(xiàng)，即證2an＋1＝an＋an＋2.【針對(duì)訓(xùn)練2】(2012江蘇南京金陵中學(xué)高考數(shù)學(xué)預(yù)測(cè)卷)已知數(shù)列{an}滿足a1＝0，a2＝2，且對(duì)任意m，n∈N*都有a2m－1＋a2n－1＝2am＋n－1＋2(m－n)2.(1)求a3，a5；

(2)設(shè)bn＝a2n＋1－a2n－1(n∈N*)，證明：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列．

解：(1)由題意，令m＝2，n＝1，得a3＝2a2－a1＋2＝6，再令m＝3，n＝1，可得a5＝2a3－a1＋8＝20.(2)當(dāng)n∈N*時(shí)，由已知(以n＋2代替m)可得a2n＋3＋a2n－1＝2a2n＋1＋8，于是[a2(n＋1)＋1－a2(n＋1)－1]－(a2n＋1－a2n－1)＝8，即bn＋1－bn＝8.所以{bn}是公差為8的等差數(shù)列．

【探究突破三】等差數(shù)列的性質(zhì)

【例3】(1)在等差數(shù)列{an}中，已知a4＝9，a9＝－6，Sn＝63，求n；

(2)若一個(gè)等差數(shù)列的前3項(xiàng)和為34，后3項(xiàng)和為146，且所有項(xiàng)的和為390，求這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)．

???9＝a1＋3d，?a1＝18，解：(1)設(shè)首項(xiàng)為a1，公差為d，則?得? ?－6＝a1＋8d，?d＝－3，??

3即63＝Sn＝18n－(n－1)，得n＝6或n＝7.2

(2)∵a1＋a2＋a3＝34，又an＋an－1＋an－2＝146，又a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2，∴兩式相加得

n?a1＋an?3(a1＋an)＝180，a1＋an＝60，由Sn＝390，得n＝13.2

【方法提煉】利用等差數(shù)列{an}的性質(zhì)“若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則am＋an＝ap＋aq”可以把a(bǔ)n與Sn結(jié)合起來，這是解決等差數(shù)列問題的有效方法．

【針對(duì)訓(xùn)練3】(2012江蘇徐州市高三第二次質(zhì)量檢測(cè))已知等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn和Sn7n＋45anTn，若＝，且是整數(shù)，則n的值為__________． Tnn＋3b2n

n?n－1?d2?d解析：因?yàn)榈炔顢?shù)列前n項(xiàng)和為Sn＝na1＝n＋?a1－2n，22

所以可知等差數(shù)列前n項(xiàng)和是關(guān)于n的二次函數(shù)，且不含常數(shù)項(xiàng)．

S7n＋45因?yàn)椋钥稍O(shè)Sn＝kn(7n＋45)，Tn＝kn(n＋3)，其中k為常數(shù)． Tnn＋3

所以an＝Sn－Sn－1＝kn(7n＋45)－k(n－1)(7n＋38)＝k(14n＋38)，bn＝Tn－Tn－1＝kn(n＋3)－k(n－1)(n＋2)＝k(2n＋2)，則b2n＝k(4n＋2)，n＋16n＋16ak?14n＋38?7n＋19a＝＝3＋是整數(shù)． b2nk?4n＋2?b2n2n＋12n＋12n＋1

a則2n＋1≤n＋16，即n≤15.所以n＝15時(shí)，4，為整數(shù)． b2n

【探究突破四】等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值

【例4】 已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn的最大值為S7，且|a7|＜|a8|，求使Sn＞0的n的最大值． 解：由S7值最大，可得a7≥0，a8＜0，由|a7|＜|a8|，得a7＜－a8，即a7＋a8＜0，故a1＋a14＝a7＋a8＜0.13?a1＋a13?14?a1＋a14?若a7＞0，則S13＝13a7＞0，S14＝0，即Sn＞0的最大正整數(shù)n＝13.22

12?a1＋a12?若a7＝0，則a6＞0，S13＝13a7＝0，S12＝＝6(a6＋a7)＝6a6＞0，即Sn＞0的最大正整數(shù)n＝12.2

綜上所述，當(dāng)a7≠0時(shí)，使Sn＞0的最大正整數(shù)n為13；當(dāng)a7＝0時(shí)，使Sn＞0的最大正整數(shù)n為12.【方法提煉】

公差不為零的等差數(shù)列，求其前n項(xiàng)和的最值，一是把Sn轉(zhuǎn)化成n的二次函數(shù)求最值；二是由an≥0或an≤0找到使等差數(shù)列的前n項(xiàng)和取得最大值或最小值的項(xiàng)數(shù)n，代入前n項(xiàng)和公式求最值．

a【針對(duì)訓(xùn)練4】已知{an}為等差數(shù)列，若1，且它的前n項(xiàng)和Sn有最大值，那么當(dāng)Sn取得最小正a10

值時(shí)，n等于多少？

解：由已知得，{an}是首項(xiàng)為正，公差為負(fù)的遞減等差數(shù)列，a由1，得a10＋a11＜0且a10＞0，a11＜0，a10

20?a1＋a20?20?a10＋a11?∴S20＝10(a10＋a11)＜0.而S19＝19a10＞0，22∴Sn取最小正值時(shí)n＝19

【考情分析】通過分析江蘇卷近三年高考對(duì)等差數(shù)列的考查，該部分內(nèi)容屬必考內(nèi)容，要求學(xué)生理解等差數(shù)列的概念，會(huì)用定義證明一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列；能利用等差中項(xiàng)、通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式列方程求值，能通過確定基本量或借助于等差數(shù)列的性質(zhì)用整體代換的方法進(jìn)行求值；要善于識(shí)別數(shù)列中的等差關(guān)系或轉(zhuǎn)化為等差關(guān)系，并通過通項(xiàng)公式或前n項(xiàng)和公式解決相關(guān)的問題．題型有考查基本知識(shí)(通項(xiàng)、求和)的容易題，也有與其他知識(shí)(函數(shù)、不等式、解析幾何等)相結(jié)合的綜合題，一般為解答題．難度為中檔題或較難題．

【遷移應(yīng)用】

1.已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，a7－a5＝4，a11＝21，Sk＝9，則k＝________.k?k－1?解：a7－a5＝2d＝4，則d＝2.a1＝a11－10d＝21－20＝1，Sk＝k＋2＝k2＝9.又k∈N*，故k＝3.2

2.已知等差數(shù)列{an}滿足a2＝3，Sn－Sn－3＝51(n>3)，Sn＝100，則n的值為________．

解析：由Sn－Sn－3＝51得，an－2＋an－1＋an＝51，所以an－1＝17，n?a＋a－?又a2＝3，Sn＝＝100，解得n＝10.2

3.(2014·鎮(zhèn)江月考)已知等差數(shù)列{an}中，a4＋a6＝10，前5項(xiàng)和S5＝5，則其公差為________．

a－a5－1解析：由a4＋a6＝10，得2a5＝10，所以a5＝5.由S5＝5a3＝5，得a3＝1，所以d＝＝2.22

4.(2013·南通二模)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為正數(shù)，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，則a11＋a12＋a13＝________.解析：由條件可知，a2＝5，從而a1＋a3＝10，a1a3＝16，得a1＝2，a3＝8，公差為3，所以a11＋a12＋a13＝2×3＋(10＋11＋12)×3＝105.S1S5.(2013·南京二模)設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若＝________.S73S7

S1解析：由S3＝3a2，S7＝7a4，得9a2＝7a4＝7(a2＋2d)，即a2＝7d，所以a3＝8d，a4＝9d，從而S6S73

17＝3(a3＋a4)＝51d，S7＝7a4＝63d21

6.設(shè)數(shù)列{an}是公差d<0的等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，若S6＝5a1＋10d，則Sn取最大值時(shí)，n＝________.解析：由題意得S6＝6a1＋15d＝5a1＋10d，所以a6＝0，故當(dāng)n＝5或6時(shí)，Sn最大．

17.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足a1＝an＝－2SnSn－1(n≥2且n∈N*)． 2

(1)求證：數(shù)列S是等差數(shù)列．(2)求Sn和an.n

[解](1)證明：當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝－2SnSn－1，① ∴Sn(1＋2Sn－1)＝Sn－1.由上式知若Sn－1≠0，則Sn≠0.∵S1＝a1≠0，由遞推關(guān)系知Sn≠0(n∈N*)，11?1?11由①式得－2(n≥2)．∴?S是等差數(shù)列，其中首項(xiàng)為2，公差為2.SnSn－1S1a1?n?

11111(2)∵＋2(n－1)2(n－1)，∴Sn＝當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝－，SnS1a12n2n?n－1?

1??2，n＝1，1當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝不適合上式，∴an＝? 21??－2n?n－1?n≥2.*8.各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足a2n＝4Sn－2an－1(n∈N)，其中Sn為{an}的前n項(xiàng)和． {}1

(1)求a1，a2的值；(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．

2解：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，a21＝4S1－2a1－1，即(a1－1)＝0，解得a1＝1.當(dāng)n＝2時(shí)，a22＝4S2－2a2－1＝4a1＋2a2－1＝3＋2a2，解得a2＝3或a2＝－1(舍去)．

2(2)a2n＝4Sn－2an－1，①an＋1＝4Sn＋1－2an＋1－1.②

2②－①得：a2n＋1－an＝4an＋1－2an＋1＋2an＝2(an＋1＋an)，即(an＋1－an)(an＋1＋an)＝2(an＋1＋an)．

∵數(shù)列{an}各項(xiàng)均為正數(shù)，∴an＋1＋an>0，an＋1－an＝2，∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列．∴an＝2n－1.