第一篇：等差數(shù)列前n項(xiàng)和教案

等差數(shù)列前n項(xiàng)和教案

一、教材分析

1、教材內(nèi)容：等差數(shù)列前n項(xiàng)求和過程以及等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式。

2.教材所處的地位和作用：本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容是等差數(shù)列前n項(xiàng)和，與前面學(xué)過

的等差數(shù)列的定義、性質(zhì)等內(nèi)容有著密切的聯(lián)系，又能為后面等比數(shù)列前n

項(xiàng)和以及數(shù)列求和做鋪墊。

3、教學(xué)目標(biāo)

（1）知識(shí)與技能：掌握等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，理解公式的推導(dǎo)方法。同時(shí)能

熟練、靈活地應(yīng)用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式解決問題。

（2）過程與方法：經(jīng)歷公式的推導(dǎo)過程，體驗(yàn)倒序相加進(jìn)行求和的過程，學(xué)會(huì)

觀察、歸納、反思。體驗(yàn)從特殊到一般的研究方法。

（3）情感、態(tài)度、價(jià)值觀：通過具體、生動(dòng)的現(xiàn)實(shí)問題的引入，激發(fā)學(xué)生探

究求和方法的興趣，樹立學(xué)生求知意識(shí)，產(chǎn)生熱愛數(shù)學(xué)的情感，逐步養(yǎng)

成科學(xué)、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度，提高一般公式推理的能力。

4、重點(diǎn)與難點(diǎn)

重點(diǎn)：等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的掌握與應(yīng)用。

難點(diǎn)：等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)以及其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想的掌握。

二、學(xué)情分析

學(xué)生前幾節(jié)已經(jīng)學(xué)過一些數(shù)列的概念及簡(jiǎn)單表示法，還學(xué)了等差數(shù)列的定

義以及性質(zhì)，對(duì)等差數(shù)列已經(jīng)有了一定程度的認(rèn)識(shí)。這些知識(shí)也為這節(jié)的等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式做準(zhǔn)備，讓學(xué)生能更容易理解等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過程。同時(shí)也為后面的等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式做鋪墊。但由于數(shù)列形式多樣，因此僅僅掌握等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式還是不夠的，更應(yīng)該學(xué)會(huì)靈活應(yīng)用。

三、教學(xué)方法：?jiǎn)l(fā)引導(dǎo)，探索發(fā)現(xiàn)

四、教學(xué)過程

1．教學(xué)環(huán)節(jié)：創(chuàng)設(shè)情境

教學(xué)過程：200多年前，高斯的算術(shù)老師提出了下面的問題： 1?2?3???100?？。據(jù)說，當(dāng)其他同學(xué)忙于把100個(gè)數(shù)逐項(xiàng)相加時(shí)，10歲的高斯迅速得出5050這個(gè)答案。讓同學(xué)思考并討論高斯是怎么算的。

設(shè)計(jì)意圖：由著名的德國數(shù)學(xué)家高斯的例子引發(fā)同學(xué)們的思考，為下面引入倒序相加法求和做準(zhǔn)備。2．教學(xué)環(huán)節(jié)：介紹倒序相加法

教學(xué)過程：請(qǐng)同學(xué)將自己的計(jì)算方法在課上發(fā)表，老師接著介紹倒序相加

法。記S?1?2?3???10098???1S?100?99?，從而發(fā)現(xiàn)每一列相加都得101。

則2S?(1?100)?(2?99)?(3?98)???(100?1)?101*100

S?101*1002?5050

類似地，用同樣的方法計(jì)算1,2,3，?，n，?的前n項(xiàng)和，可以得到 1?2?3???n?(n?1)n。2 設(shè)計(jì)意圖：介紹倒序相加法，并用這個(gè)方法計(jì)算1,2,3，?，n，?的前n 項(xiàng)和，從而為下面推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式做鋪墊。

3.教學(xué)環(huán)節(jié)：推導(dǎo)公式

教學(xué)過程：首先介紹數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和，用Sn來表示，即

Sn?a1?a2?a3???an。對(duì)于公差為d的等差數(shù)列，我們用兩種方法表示Sn。Sn?a1?(a1?d)?(a1?2d)???[a1?(n?1)d]Sn?an?(an?d)?(an?2d)???[an?(n?1)d]

則兩式相加得：

2Sn?(a1?an)?(a1?an)?(a1?an)???(a1?an)?n(a1?an)

???????????????????n個(gè)n(a1?an)，將等差數(shù)列的通項(xiàng)公2n(n?1)d。式an?a1?(n?1)d代入，得到公式Sn?na1?2 推導(dǎo)出等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式為Sn? 設(shè)計(jì)意圖：用倒序相加法推導(dǎo)得到等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，由于有前面的鋪墊讓學(xué)生更容易理解等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過程，對(duì)后面的應(yīng)用也有幫助。

4、教學(xué)環(huán)節(jié)：例題講解

教學(xué)過程：例1：用等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式計(jì)算1+3+5+?+99的值。

例2：a1?1,a8?6，求這個(gè)等差數(shù)列的前8項(xiàng)和S8以及公

差d。例3：已知數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和Sn?n2?n，求這個(gè)數(shù)列 的通項(xiàng)公式。這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列嗎？如果是，它的首項(xiàng)與公差分別是什么？

設(shè)計(jì)意圖：鞏固等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，加深學(xué)生對(duì)該公式的印象。6．教學(xué)環(huán)節(jié)：回顧總結(jié)

教學(xué)過程：

1、倒序相加法進(jìn)行求和的思想

2、復(fù)習(xí)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式Sn? Sn?na1?n(a1?an)和 2n(n?1)強(qiáng)調(diào)要根據(jù)條件選用適當(dāng)?shù)墓竭M(jìn) d，行求解。以及公式的適用范圍。7．教學(xué)環(huán)節(jié)：布置作業(yè)

七、板書設(shè)計(jì)

1、問題的提出

2、倒序相加法

3、等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式

4、例題

5、回顧總結(jié)

6、布置作業(yè)

第二篇：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和教案

等差數(shù)列的前n項(xiàng)和

（一）教學(xué)目標(biāo)

1．知識(shí)與技能:通過實(shí)例，理解等差數(shù)列的概念；探索并掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問題；體會(huì)等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系。

2.過程與方法:通過對(duì)歷史有名的高斯求和的介紹，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)等差數(shù)列的第k項(xiàng)與倒數(shù)第k項(xiàng)的和等于首項(xiàng)與末項(xiàng)的和這個(gè)規(guī)律；由學(xué)生建立等差數(shù)列模型用相關(guān)知識(shí)解決一些簡(jiǎn)單的問題，進(jìn)行等差數(shù)列通項(xiàng)公式應(yīng)用的實(shí)踐操作并在操作過程中，通過類比函數(shù)概念、性質(zhì)、表達(dá)式得到對(duì)等差數(shù)列相應(yīng)問題的研究。

3．情態(tài)與價(jià)值：培養(yǎng)學(xué)生利用學(xué)過的知識(shí)解決與現(xiàn)實(shí)有關(guān)的問題的能力。

（二）教學(xué)重、難點(diǎn)

重點(diǎn)：探索并掌握等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式；學(xué)會(huì)用公式解決一些實(shí)際問題，體會(huì)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和與二次函數(shù)之間的聯(lián)系。

難點(diǎn)：等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式推導(dǎo)思路的獲得，靈活應(yīng)用等差數(shù)列前n項(xiàng)公式解決一些簡(jiǎn)單的有關(guān)問題

（三）學(xué)法與教學(xué)用具

學(xué)法：講練結(jié)合 教學(xué)用具：投影儀

（四）教學(xué)設(shè)想

[創(chuàng)設(shè)情景]

等差數(shù)列在現(xiàn)實(shí)生活中比較常見，因此等差數(shù)列求和就成為我們?cè)趯?shí)際生活中經(jīng)常遇到的問題。在200多年前，歷史上最偉大的數(shù)學(xué)家之一，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)王子”的高斯就曾經(jīng)上演了迅速求出等差數(shù)列這么一出好戲。那時(shí)，高斯的數(shù)學(xué)老師提出了下面的問題：1+2+3+??+100=？當(dāng)時(shí)，當(dāng)其他同學(xué)忙于把100個(gè)數(shù)逐項(xiàng)相加時(shí)，10歲的高斯卻用下面的方法迅速算出了正確答案：（1+100）+（2+99）+??+（50+51）=101×50=5050 高斯的算法實(shí)際上解決了求等差數(shù)列1，2，3，?，n，?前100項(xiàng)的和的問題。

今天我們就來學(xué)習(xí)如何去求等差數(shù)列的前n項(xiàng)的和。

[探索研究]

我們先來看看人們由高斯求前100個(gè)正整數(shù)的方法得到了哪些啟發(fā)。人們從高斯那里受到啟發(fā)，于是用下面的這個(gè)方法計(jì)算1，2，3，?，n，?的前n項(xiàng)的和：

由 1 + 2 + ? + n-1 + n n + n-1 + ? + 2 + 1（n+1）+（n+1）+ ? +（n+1）+（n+1）

可知

上面這種加法叫“倒序相加法”

請(qǐng)同學(xué)們觀察思考一下：高斯的算法妙在哪里？

高斯的算法很巧妙，他發(fā)現(xiàn)了整個(gè)數(shù)列的第k項(xiàng)與倒數(shù)第k項(xiàng)的和與首項(xiàng)與尾項(xiàng)的和是相等的這個(gè)規(guī)律并且把這個(gè)規(guī)律用于求和中。這種方法是可以推廣到求一般等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的。

[等差數(shù)列求和公式的教學(xué)]

一般地，稱

1、思考：受高斯的啟示，我們這里可以用什么方法去求和呢？

思考后知道，也可以用“倒序相加法”進(jìn)行求和。我們用兩種方法表示

：

為數(shù)列的前n項(xiàng)的和，用

表示，即 ①

②

由①+②，得

由此得到等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式

對(duì)于這個(gè)公式，我們知道：只要知道等差數(shù)列首項(xiàng)、尾項(xiàng)和項(xiàng)數(shù)就可以求等差數(shù)列前n項(xiàng)和了。

2、除此之外，等差數(shù)列還有其他方法（讀基礎(chǔ)教好學(xué)生要介紹）

當(dāng)然，對(duì)于等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)，也可以有其他的推導(dǎo)途徑。例如：

=

=

=

=

這兩個(gè)公式是可以相互轉(zhuǎn)化的。把代入中，就可以得到 引導(dǎo)學(xué)生思考這兩個(gè)公式的結(jié)構(gòu)特征得到：第一個(gè)公式反映了等差數(shù)列的任意的第k項(xiàng)與倒數(shù)第k項(xiàng)的和等于首項(xiàng)與末項(xiàng)的和這個(gè)內(nèi)在性質(zhì)。第二個(gè)公式反映了等差數(shù)列的前n項(xiàng)和與它的首項(xiàng)、公差之間的關(guān)系，而且是關(guān)于n的“二次函數(shù)”，可以與二次函數(shù)進(jìn)行比較。這兩個(gè)公式的共同點(diǎn)都是知道點(diǎn)是第一個(gè)公式還需知道條件決定選用哪個(gè)公式。

[公式運(yùn)用]

（課本52頁練習(xí)1、2）

1、根據(jù)下列各題中的條件，求相應(yīng)的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和S.和n，不同，而第二個(gè)公式是要知道d，解題時(shí)還需要根據(jù)已知⑴

⑵

[例題分析]

例1、2000年11月14日教育部下發(fā)了《關(guān)于在中小學(xué)實(shí)施“校校通”工程的統(tǒng)治》.某市據(jù)此提出了實(shí)施“校校通”工程的總目標(biāo)：從2001年起用10年時(shí)間，在全市中小學(xué)建成不同標(biāo)準(zhǔn)的校園網(wǎng).據(jù)測(cè)算，2001年該市用于“校校通”工程的經(jīng)費(fèi)為500萬元.為了保證工程的順利實(shí)施，計(jì)劃每年投入的資金都比上一年增加50萬元.那么從2001年起的未來10年內(nèi)，該市在“校校通”工程中的總投入是多少？

⑴、先閱讀題目；

⑵、引導(dǎo)學(xué)生提取有用的信息，構(gòu)件等差數(shù)列模型；

⑶、寫這個(gè)等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差，并根據(jù)首項(xiàng)和公差選擇前n項(xiàng)和公式進(jìn)行求解。

解：根據(jù)題意，從2001-2010年，該市每年投入“校校通”工程的經(jīng)費(fèi)都比上一年增加50萬元.所以，可以建立一個(gè)等差數(shù)列投入的資金，其中，表示從2001年起各年，d=50.那么，到2010年（n=10），投入的資金總額為

（萬元）

答：從2001~2010年，該市在“校校通”工程中的總投入是7250萬元.例2．已知一個(gè)等差數(shù)列

前10項(xiàng)的和是310，前20項(xiàng)的和是1220.由這些條件能確定這個(gè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式嗎？

引導(dǎo)學(xué)生分析得到：等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式就是一個(gè)關(guān)于的方程。若要確定其前n項(xiàng)求和公式，則要確定關(guān)系式，從而求得。

分析：將已知條件代入等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式后，可得到兩個(gè)關(guān)于的二元一次方程，由此可以求得

與d，從而得到所求前n項(xiàng)和的公式.與d的 解：由題意知，將它們代入公式

得到

解這個(gè)關(guān)于與d的方程組，得到=4，d=6，所以

另解：

得

所以

②

②-①，得，所以

代入①得：

所以有

例題評(píng)述：此例題目的是建立等差數(shù)列前n項(xiàng)和與解方程之間的聯(lián)系.已知幾個(gè)量，通過解方程，得出其余的未知量.例3 已知數(shù)列的前n項(xiàng)為，求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列嗎？如果是，它的首項(xiàng)與公差分別是什么？

解：根據(jù)

＞

與 可知，當(dāng)n＞1時(shí)，①

當(dāng)n=1時(shí)，也滿足①式.所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.由此可知，數(shù)列是一個(gè)首項(xiàng)為，公差為2的等差數(shù)列。

這個(gè)例題還給出了等差數(shù)列通項(xiàng)公式的一個(gè)求法.已知前n項(xiàng)和出通項(xiàng)，可求

（n＞1）

用這種數(shù)列的不一定滿足由足已求出的.來確定的方法對(duì)于任何數(shù)列都是可行的，而且還要注意求出的通項(xiàng)表達(dá)式，所以最后要驗(yàn)證首項(xiàng)

是否滿

思考：結(jié)合例3，思考課本51頁“探究”：一般地，如果一個(gè)數(shù)列前n項(xiàng)和為的其中p、q、r為常數(shù)，且p≠0，那么這個(gè)數(shù)列一定是等差數(shù)列嗎？如果是，它的首項(xiàng)與公差分別是什么？ 引導(dǎo)分析得出：觀察等差數(shù)列兩個(gè)前n項(xiàng)和公式，和，公式本身就不含常數(shù)項(xiàng)。

所以得到：如果一個(gè)數(shù)列前n項(xiàng)和公式是常數(shù)項(xiàng)為0，且關(guān)于n的二次型函數(shù)，則這個(gè)數(shù)列一定是等差數(shù)列.例4 已知等差數(shù)列的值.的前n項(xiàng)和為，求使得最大的序號(hào)n 分析：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可以寫成，所以可以看成函數(shù)當(dāng)x=n時(shí)的函數(shù)值.另一方面，容易知道關(guān)于n的圖象是一條拋物線上的一些點(diǎn).因此，我們可以利用二次函數(shù)來求n的值.解：由題意知，等差數(shù)列的公差為，所以

=

于是，當(dāng)n取與最接近的整數(shù)即7或8時(shí)，取最大值.[隨堂練習(xí)]課本52頁“練習(xí)”第1、2、3、4題

[補(bǔ)充練習(xí)]

1、已知數(shù)列差數(shù)列，設(shè)

生：分析題意，解決問題.解：設(shè)首項(xiàng)是，公差為d

是等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和，且S6，S12-S6，S18-S12成等

成等差數(shù)列嗎？

則：

成等差數(shù)列.同理可得

2、求集合的元素個(gè)數(shù)，并求這些元素的和。

解由m=100，得

滿足此不等式的正整數(shù)n共有14個(gè)，所以集合m中的元素共有14個(gè)，從小到大可列為：

7，7×2，7×3，7×4，?7×14

即：7，14，21，28，?98

這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列，記為

其中

解由m=100，得

滿足此不等式的正整數(shù)n共有14個(gè)，所以集合m中的元素共有14個(gè)，從小到大可列為：

7，7×2，7×3，7×4，?7×14 即：7，14，21，28，?98

這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列，記為

答：集合m中共有14個(gè)元素，它們和等于735

其中

[課堂小結(jié)] 等差數(shù)列 的前n項(xiàng)和的公式和

也成等差數(shù)列.（五）評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)

課本52頁A組第1、3、6

思考：課本53頁B組第4題

第三篇：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和教案

等差數(shù)列的前n項(xiàng)和

一：教材分析

本節(jié)課內(nèi)容位于高中人教版必修五第二章第三節(jié)。它是在學(xué)習(xí)了等差數(shù)列的基礎(chǔ)上來研究和討論的，是繼等差數(shù)列之后的又一重要的概念。主要利用倒序相加的方法來求等差數(shù)列的前n項(xiàng)和。本節(jié)內(nèi)容與函數(shù)也有著密切的聯(lián)系。通過對(duì)公式的推導(dǎo)讓學(xué)生進(jìn)一步了解與掌握從特殊到一般的研究問題的方法，這對(duì)學(xué)生的觀察、分析、歸納、概括問題的能力有著重要的作用。而且本節(jié)的公式推導(dǎo)為后面的等比數(shù)列前n項(xiàng)求和奠定了基礎(chǔ)。通過上一節(jié)的內(nèi)容不難知道等差數(shù)列在日常生活中比較常見，學(xué)生學(xué)習(xí)起來也就比較得心應(yīng)手。

二：學(xué)情分析

學(xué)生通過上一節(jié)課的學(xué)習(xí)已經(jīng)了解的等差數(shù)列的定義，基本掌握了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其基本性質(zhì)，能簡(jiǎn)單的對(duì)其運(yùn)用和計(jì)算。對(duì)高斯算法也有一定的了解，他們已具備一定的抽象邏輯思維能力，能在老師的引導(dǎo)下獨(dú)立的完成一些問題。

三：教學(xué)重、難點(diǎn)

重點(diǎn)：等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)

難點(diǎn)：等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式推導(dǎo)思路的獲得以及滲透倒序相加的方法。四：教學(xué)目標(biāo)

知識(shí)與過程：能說出并寫出等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式，掌握等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)和運(yùn)用。

技能與方法：從公式證明的推導(dǎo)過程體會(huì)從特殊到一般的研究方法，學(xué)會(huì)觀察、歸納、總結(jié)，培養(yǎng)學(xué)生靈活運(yùn)用公式的能力。

情感態(tài)度與價(jià)值觀：通過生動(dòng)具體的現(xiàn)實(shí)問題，激發(fā)學(xué)生的好奇心及求知欲，增強(qiáng)學(xué)生喜歡并熱愛數(shù)學(xué)的情感。

五：教法

老師不僅是知識(shí)的傳授者，而且也是組織者、引導(dǎo)者與合作者，所以我采用引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法和講授法，通過實(shí)際生活中的具體例子創(chuàng)設(shè)情境，然后建立模型并對(duì)其探究。

六：學(xué)法

引導(dǎo)學(xué)生自主探索，觀察分析與歸納概括，創(chuàng)造機(jī)會(huì)讓學(xué)生合作、探究、交流。在教學(xué)中，讓學(xué)生在問題情境中，經(jīng)歷知識(shí)的形成和發(fā)展，讓學(xué)生在觀察、操作、歸納、思考、探索、交流、反思參與的活動(dòng)中學(xué)習(xí)，認(rèn)識(shí)和理解數(shù)學(xué)知識(shí)，學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，發(fā)展能力。

七：教學(xué)過程

創(chuàng)設(shè)情境，問題引入

在一個(gè)建筑工地上堆放這樣一

堆大小一樣的鋼管，共123層，第1層有一根鋼管，第2層有2根鋼管，…，第123層有123，求這堆鋼管共有多少？若在旁邊放上同樣多的鋼管，又該怎么計(jì)算呢？

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通過分析對(duì)比，并不是所有的等差數(shù)列利用首尾配對(duì)都剛好合適的。經(jīng)過同學(xué)們的觀察比較發(fā)現(xiàn)，若n為偶數(shù)時(shí)兩兩剛好完全配對(duì)，若n為奇數(shù)時(shí)不能完全配對(duì)。

通過觀察引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)利用倒敘相加法計(jì)算求此等差數(shù)列前123項(xiàng)的和。S123= 2 + 3 + … + 124

S123=124+ 123 + …+

S123=123(2?124)兩式相加得

高斯的算法蘊(yùn)涵著求等差數(shù)列前n項(xiàng)和一般的規(guī)律性。教學(xué)時(shí)，應(yīng)給學(xué)生提供充裕的時(shí)間和空間，讓學(xué)生自己去觀察、探索發(fā)現(xiàn)這種數(shù)列的內(nèi)在規(guī)律。學(xué)生對(duì)高斯的算法是熟悉的，知道采用首尾配對(duì)的方法來求和，但估計(jì)學(xué)生對(duì)這種方法的認(rèn)識(shí)可能處于記憶階段，為了促進(jìn)學(xué)生對(duì)這種算法的進(jìn)一步理解，設(shè)計(jì)題時(shí)應(yīng)由易到難的． 引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)，公式探究

問題1： 1，2,3，…, n,… 的前n項(xiàng)和為多少？

學(xué)生分組探究，老師收集學(xué)生得出的不同方法并由學(xué)生講解，盡可能地展示分類討論的倒序相加法。

+ 2 + … + n n +（n-1）+ … + 1 ___________________________________(n+1)+(n+1)+ … +(n+1)可知 1+2++3…+n=n(n+1)/2 問題2：設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d,求這個(gè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和 ,則

Sn?a1?a2???an?1?an

由高斯算法的啟示，對(duì)于公差為d的等差數(shù)列，我們可以用以下式子表示：

推導(dǎo): Sn?a1?a2??an?1?an

Sn?an?an?1???a2?a1

相加得：2Sn?n(a1?an)

n Sn?(a1?an)2n公式一：Sn?(a1?an)

2由an?a1?(n?1)d

n得Sn?[a1?a1?(n?1)d]

2n所以Sn?(a1?an)

2n公式二：Sn?(a1?an)

2我們將這種方法稱為倒序相加法。

類比記憶，例題練習(xí)

問題3：能否給求和公式一個(gè)幾何解釋呢？

（提示：與梯形聯(lián)系起來）

學(xué)生通過作圖并建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系來解釋

nan?(a1?an)得a1為梯形的上底，an為梯形的下底，n為梯形的高.2同理比較Sn?na1?n((n?1)d 2 例題：根據(jù)下列條件，求相應(yīng)的等差數(shù)列前n項(xiàng)的和（1）a1?100,d=-2,n=50;（2）a??4，a8??18，n=8;例題：

1:已知一個(gè)等差數(shù)列{an}前10項(xiàng)的和是310，前20項(xiàng)的和是1220，由這些條件能確定這個(gè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和嗎？ 練習(xí)

12: 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn?n?n，求這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)

22列嗎？如果是，它的首項(xiàng)與公差分別是什么？

3:已知等差數(shù)列5,4，3，…的前n項(xiàng)和為sn，求使得n最大

2747s的序號(hào)n的值。

知識(shí)梳理，歸納總結(jié) 1：體會(huì)倒序相加的算法.2：掌握等差數(shù)列的兩個(gè)求和公式，領(lǐng)會(huì)方程（組）思 想。3：將等差數(shù)列前n項(xiàng)和與梯形面積聯(lián)系記憶。

第四篇：等差數(shù)列前n項(xiàng)和教案

等差數(shù)列前n項(xiàng)和(第一課時(shí)）教案

【課題】

等差數(shù)列前n項(xiàng)和第一課時(shí)

【教學(xué)內(nèi)容】

等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式推導(dǎo)和練習(xí)

【教學(xué)目的】

（1）探索等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法；

（2）掌握等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式；

（3）能運(yùn)用公式解決一些簡(jiǎn)單問題

【教學(xué)方法】 啟發(fā)引導(dǎo)法，結(jié)合所學(xué)知識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生在解決實(shí)際問題的過程中發(fā)現(xiàn)新知識(shí)，從而理解并掌握.【重點(diǎn)】

等差數(shù)列前項(xiàng)和公式及其應(yīng)用。

【難點(diǎn)】

等差數(shù)列前項(xiàng)和公式的推導(dǎo)思路的獲得 【教具】

實(shí)物投影儀，多媒體軟件，電腦 【教學(xué)過程】

1.復(fù)習(xí)回顧 a1 + a2 + a3 +......+ an=sn

a1 + an=a2 + an-1 =a3 + an-2 2.情景自學(xué)

問題一： 一個(gè)堆放鉛筆的V形架的最下面一層放1 支鉛筆，往上每一層都比它下面一層 多放一支，最上面一層放 100支，這個(gè)V 形架上共放著多少支鉛筆？

思考：(1)問題轉(zhuǎn)化求什么 能用最短時(shí)間算出來嗎？

(2)閱讀課本后回答，高斯是如何快速求和的？

他抓住了問題的什么特征？

(3)如果換成1+2+3+…+200=？我們能否快速求和？，(4)根據(jù)高斯的啟示，如何計(jì)算 18+21+24+27+…+624=？

3..合作互學(xué)（小組討論，總結(jié)方法）

問題二： Sn = 1 + 2 + 3 + … + n = ?

倒序相加法

探究：能把以上問題的解法推廣到求一般等差數(shù)列的前n 項(xiàng)和嗎？

問題三： 已知等差數(shù)列{an }中，首項(xiàng)a1，公差為d，第n項(xiàng)為an , 如何求前n項(xiàng)和Sn ？

等差數(shù)列前項(xiàng)和公式： n(a1 + an)=2Sn

問題四： 比較以上兩個(gè)公式的結(jié)構(gòu)特征，類比于問題一，你能給出它們的幾何解釋嗎？

n(a1 + a n)=2Sn

公式記憶 —— 類比梯形面積公式記憶

n（a1 + a n)=2S 問題五： 兩個(gè)求和公式有何異同點(diǎn)？能夠解決什么問題？

展示激學(xué)

應(yīng)用公式

例1.等差數(shù)列－10，－6，－2，2的前多少項(xiàng)的和為-16 例2.已知一個(gè)等差數(shù)列的前10項(xiàng)和是310,前20項(xiàng)的和是1220,由這些條件能確定這個(gè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式嗎?

【思考問題】如果一個(gè)數(shù)列{an }的前n項(xiàng)和Sn = pn2 + qn + r，(其中p,q,r為常數(shù)，且p ≠ 0)，那么這個(gè)數(shù)列 一定是等差數(shù)列嗎？若是，說明理由，若不是，說明Sn必須滿足的條件。

【教學(xué)后記】新數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中明確提出“數(shù)學(xué)是人類的一種文化，它的內(nèi)容、思想、方法和語言 是現(xiàn)代文明的重要組成部分” “要體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價(jià)值”等，將數(shù)學(xué)史有機(jī)地融入到課堂教學(xué)中，不僅不會(huì)影響學(xué)生的學(xué)習(xí)，相反卻會(huì)激發(fā)學(xué)生熱愛數(shù)學(xué)的熱情，起到正面推動(dòng)作用，提升數(shù)學(xué)教育成效.這也是貫徹德育、提倡人文精神的重要組成部分.由具體的問題情境激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.等差數(shù)列前 n 項(xiàng)和公式的推導(dǎo)由教師引導(dǎo)學(xué)生自主探索, 由于數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性和學(xué)生認(rèn)知的不完備性是一個(gè)矛盾，因此公式的發(fā)現(xiàn)過程是一個(gè)不斷修改、不斷完善、逐步發(fā)現(xiàn)的過程.引導(dǎo)學(xué)生積極參與結(jié)論的探索、發(fā)現(xiàn)、推導(dǎo)的過程, 并弄清楚每個(gè)結(jié)論的因果關(guān)系,要適當(dāng)延遲判斷,多讓學(xué)生想一想、議一議、說一說,重視思路分析的訓(xùn)練．須知教師講課的最精彩之處,不是自己分析的頭頭是道,而是引導(dǎo)學(xué)生探求解題思路最后再引導(dǎo)學(xué)生歸納引出結(jié)論．通過例題的講解和練習(xí)的訓(xùn)幫助學(xué)生掌握 和記憶公式,例題的變式訓(xùn)練加大課堂教學(xué)的研究性、開放性和自主性，在開展探究活 動(dòng)中培養(yǎng)學(xué)生的基本技能.

第五篇：等差數(shù)列前n項(xiàng)和教案

等差數(shù)列的前n項(xiàng)和教案

一、教學(xué)目標(biāo)：

知識(shí)與技能目標(biāo)：

掌握等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，能熟練應(yīng)用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式。過程與方法目標(biāo)：

經(jīng)歷公式的推導(dǎo)過程，體驗(yàn)從特殊到一般的研究方法，了解倒序相加求和法的原理。

情感、態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)：

獲得發(fā)現(xiàn)的成就感，逐步養(yǎng)成科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度，提高代數(shù)推理的能力。

二、教學(xué)重難點(diǎn)：

教學(xué)重點(diǎn): 探索并掌握等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，學(xué)會(huì)運(yùn)用公式。教學(xué)難點(diǎn)：等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式推導(dǎo)思路的獲得。

三、教學(xué)過程：

（一）、創(chuàng)設(shè)情景，提出問題

印度著名景點(diǎn)--泰姬陵，傳說陵寢中有一個(gè)三角形圖案，以相同大小的圓寶石鑲飾而成，共有100層。你知道這個(gè)圖案一共花了多少顆寶石嗎？從而提出問題怎樣快速地計(jì)算1+2+3+…+100=？（學(xué)生思考），著名的數(shù)學(xué)家高斯十歲時(shí)就用簡(jiǎn)便的方法計(jì)算出1+2+3+…+100=5050，介紹高斯的算法。

（二）、教授新課：

數(shù)學(xué)的方法并不是單一的，還有其他的方法計(jì)算1+2+3+…+100嗎？（學(xué)生思考）

①老師介紹倒序相加求和法，記S=1+2+3+…+100 S=100+99+98+…+1 可發(fā)現(xiàn)上、下這兩個(gè)等式對(duì)應(yīng)項(xiàng)的和均是101，所以 2S=（1+100）+（2+99）+（3+98）+ … +（100+1）2S=101?100=10100 S=10100=5050 2②如果要計(jì)算1,2,3,…,(n-1),n這n個(gè)數(shù)的和呢？（學(xué)生獨(dú)立思考），老師引導(dǎo)，類似上面的算法，可得S=

?1?n??n2

③1,2,3，…,(n-1),n這是一個(gè)以1為公差的等差數(shù)列，它的和等于S=?1?n??n2，對(duì)于公差為d的等差數(shù)列，它們的和也是如此嗎？

首先，一般地，我們稱a1?a2?a3???an 為數(shù)列?an?的前n 項(xiàng)和，用Sn表示，即Sn?a1?a2?a3???an

類似地：

Sn?a1?a2?a3???an①

··?a1② Sn?an?an?1?an?2?· ①+②： 2Sn??a1?an???a2?an?1???a3?an?2?????an?a1?

∵?a1?an???a2?an?1???a3?an?2?????an?a1?

∴2Sn?n(a1?an)由此得：Sn?n(a1?an)公式1 2由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an?a1??n?1?d有，Sn?na1?

（三）、例題講解：

n?n?1?2d 公式2（1）、利用上述公式求1+2+3+…+100=?（學(xué)生獨(dú)立完成）

（2）、例：等差數(shù)列?an?中，已知： a1??4,a8??18,n?8,求前n項(xiàng)和Sn及公差d.（教師引導(dǎo)，師生共同完成）

選用公式：根據(jù)已知條件選用適當(dāng)?shù)墓?Sn?變用公式：要求公差d，需將公式2Sn?na1?n(a1?an)求出 Sn 2n?n?1?2d變形運(yùn)用，求d 知三求二 等差數(shù)列的五個(gè)基本量知三可求另外兩個(gè)

（四）、課堂小結(jié)：

1、公式的推導(dǎo)方法:倒序求和

2、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式

Sn?n(a1?an)2Sn?na1?n?n?1?2d

3、公式的應(yīng)用。

（五）、作業(yè)

課本45頁 練習(xí)第1題 46頁A組第2題