第一篇：等差數列的前n項和

努力奮斗

等差數列前n項和

一．選擇題：

1．已知等差數列{an}中，a１＝１，d=1，則該數列前9項和S9等于（）A.55B.45C.35D.25

2．已知等差數列{an}的公差為正數，且a3·a7=－12，a4+a6=－4，則S20為（）

A．180B．－180C．90D．－90 3.等差數列{an}的通項公式是an=1-2n,其前n項和為Sn,則數列{A.-45B.-50C.-55D.-66 4．已知等差數列{an}中,a2+a8=8,則該數列前9項和S9等于()

A.18B.27C.36D.45二．填空題：

5．等差數列?an?的前n項和Sn?n2?3n．則此數列的公差d?． 6.數列｛an｝，｛bn｝滿足anbn=1, an＝n＋3n＋2，則｛bn｝的前10項之和為7．若?an?是首項為1，公差為2的等差數列，bn?=． 三．解答題：

8.設｛an｝為等差數列，Sn為｛an｝的前n項和，S7＝7，S15＝75，已知Tn為數列｛｝的前n項數，求Tn．

9．已知數列?an?是等差數列，其前n項和為Sn，a3?6,S3?12．（１）求數列?an?的通項公式；（２）求．已知數列?an?的前n項和為Sn，且滿足an?2Sn?Sn?1?0(n?2),a1??1?（1）求證：??是等差數列；（2）求?an?的表達式．

?Sn?

Snn

}的前11項和為（）

1anan?1，則數列?bn?的前n項和Tn

Sn

n

1S1

?

1S2

???

1Sn

．，

第二篇：等差數列前n項和教案

等差數列前n項和教案

一、教材分析

1、教材內容：等差數列前n項求和過程以及等差數列前n項和公式。

2.教材所處的地位和作用：本節課的教學內容是等差數列前n項和，與前面學過

的等差數列的定義、性質等內容有著密切的聯系，又能為后面等比數列前n

項和以及數列求和做鋪墊。

3、教學目標

（1）知識與技能：掌握等差數列前n項和公式，理解公式的推導方法。同時能

熟練、靈活地應用等差數列前n項和公式解決問題。

（2）過程與方法：經歷公式的推導過程，體驗倒序相加進行求和的過程，學會

觀察、歸納、反思。體驗從特殊到一般的研究方法。

（3）情感、態度、價值觀：通過具體、生動的現實問題的引入，激發學生探

究求和方法的興趣，樹立學生求知意識，產生熱愛數學的情感，逐步養

成科學、嚴謹的學習態度，提高一般公式推理的能力。

4、重點與難點

重點：等差數列前n項和公式的掌握與應用。

難點：等差數列前n項和公式的推導以及其中蘊含的數學思想的掌握。

二、學情分析

學生前幾節已經學過一些數列的概念及簡單表示法，還學了等差數列的定

義以及性質，對等差數列已經有了一定程度的認識。這些知識也為這節的等差數列前n項和公式做準備，讓學生能更容易理解等差數列前n項和公式的推導過程。同時也為后面的等比數列前n項和公式做鋪墊。但由于數列形式多樣，因此僅僅掌握等差數列前n項和公式還是不夠的，更應該學會靈活應用。

三、教學方法：啟發引導，探索發現

四、教學過程

1．教學環節：創設情境

教學過程：200多年前，高斯的算術老師提出了下面的問題： 1?2?3???100?？。據說，當其他同學忙于把100個數逐項相加時，10歲的高斯迅速得出5050這個答案。讓同學思考并討論高斯是怎么算的。

設計意圖：由著名的德國數學家高斯的例子引發同學們的思考，為下面引入倒序相加法求和做準備。2．教學環節：介紹倒序相加法

教學過程：請同學將自己的計算方法在課上發表，老師接著介紹倒序相加

法。記S?1?2?3???10098???1S?100?99?，從而發現每一列相加都得101。

則2S?(1?100)?(2?99)?(3?98)???(100?1)?101*100

S?101*1002?5050

類似地，用同樣的方法計算1,2,3，?，n，?的前n項和，可以得到 1?2?3???n?(n?1)n。2 設計意圖：介紹倒序相加法，并用這個方法計算1,2,3，?，n，?的前n 項和，從而為下面推導等差數列前n項和公式做鋪墊。

3.教學環節：推導公式

教學過程：首先介紹數列?an?的前n項和，用Sn來表示，即

Sn?a1?a2?a3???an。對于公差為d的等差數列，我們用兩種方法表示Sn。Sn?a1?(a1?d)?(a1?2d)???[a1?(n?1)d]Sn?an?(an?d)?(an?2d)???[an?(n?1)d]

則兩式相加得：

2Sn?(a1?an)?(a1?an)?(a1?an)???(a1?an)?n(a1?an)

???????????????????n個n(a1?an)，將等差數列的通項公2n(n?1)d。式an?a1?(n?1)d代入，得到公式Sn?na1?2 推導出等差數列前n項和的公式為Sn? 設計意圖：用倒序相加法推導得到等差數列前n項和公式，由于有前面的鋪墊讓學生更容易理解等差數列前n項和公式的推導過程，對后面的應用也有幫助。

4、教學環節：例題講解

教學過程：例1：用等差數列前n項和的公式計算1+3+5+?+99的值。

例2：a1?1,a8?6，求這個等差數列的前8項和S8以及公

差d。例3：已知數列?an?的前n項和Sn?n2?n，求這個數列 的通項公式。這個數列是等差數列嗎？如果是，它的首項與公差分別是什么？

設計意圖：鞏固等差數列前n項和公式，加深學生對該公式的印象。6．教學環節：回顧總結

教學過程：

1、倒序相加法進行求和的思想

2、復習等差數列前n項和公式Sn? Sn?na1?n(a1?an)和 2n(n?1)強調要根據條件選用適當的公式進 d，行求解。以及公式的適用范圍。7．教學環節：布置作業

七、板書設計

1、問題的提出

2、倒序相加法

3、等差數列前n項和公式

4、例題

5、回顧總結

6、布置作業

第三篇：課時30 等差數列及其前n項和

提升訓練30等差數列及其前n項和

一、選擇題

1．等差數列{an}的前n項和為Sn，且S7＝7，則a2＋a6＝()．

7911A．2B.C.D.224

2．等差數列{an}的前n項和為Sn(n＝1,2,3，?)，若當首項a1和公差d變化時，a5＋a8＋a11是一個定值，則下列選項中為定值的是()．

A．S17B．S18C．S15D．S14

→→→3．已知等差數列{an}的前n項和為Sn，若OB＝a2OA＋a2 009OC，且A，B，C三點共線(該直

線不過原點O)，則S2 010＝()．010－ 2010A．2 010B．1 005C．2D．2

4．等差數列{an}中，Sn是其前n項和，a1＝－2 0112，則S2 011的值為()． 2 0092 007

A．－2 010B．2 010C．－2 011D．2 011

5．《九章算術》“竹九節”問題：現有一根9節的竹子，自上而下各節的容積成等差數列，上面4節的容積共3升，下面3節的容積共4升，則第5節的容積為()．

674737A．1升B．升C．升D．升 664433

anan＋1＋126．等差數列{an}中，a1＝a3＋a7－2a4＝4，則2的值為整數時n的個數為()． n＋3n

A．4B．3C．2D．1

7．已知函數f(x)＝cos x，x∈(0,2π)有兩個不同的零點x1，x2，且方程f(x)＝m有兩個不同的實根x3，x4，若把這四個數按從小到大排列構成等差數列，則實數m＝()．

1133A．BC．D．－2222

二、填空題

18．已知{an}為等差數列，Sn為其前n項和，若a1＝S2＝a3，則a2＝__________，Sn＝2

__________.S2 009S2 007an＋2an＋11，則a6－a5的值為__________． an＋1an

10．等差數列的前n項和為Sn，若S7－S3＝8，則S10＝__________；一般地，若Sn－Sm＝a(n＞m)，則Sn＋m＝__________.9．已知{an}滿足a1＝a2＝1，三、解答題

n11．已知數列{an}滿足：a1＝1，an＋1＝2an＋m·2(m是與n無關的常數且m≠0)．

(1)設bn＝n，證明數列{bn}是等差數列，并求an； 2

(2)若數列{an}是單調遞減數列，求m的取值范圍．

212.a2，a5是方程x－12x＋27＝0的兩根，數列{an}是公差為正的等差數列，數列{bn}的前

1n項和為Tn，且Tn＝1－bn(n∈N*)． 2

(1)求數列{an}，{bn}的通項公式；

(2)記cn＝anbn，求數列{cn}的前n項和 Sn.an

第 1 頁

第四篇：等比數列等差數列前n項和習題。（精選）

一.選擇題

1.若等比數列?an?的前n項和Sn?3n?a則a等于（）A.3B.1C.0D.?1

2.等比數列?an?的首項為1，公比為q，前n項和為S，則數列?（）

A.1S

?1?的前n項之和為n??a?

B.SC.Sq

n?1

D.1q

n?1

S

3.等比數列?an?中，S2?7，S6?91，則S4等于（）A.28B.28或?21C.?21D.49 4.已知?an?是公比為

12的等比數列，若a1?a4?a7???a97?100，則

a3?a6?a9???a99的值是（）

A.25B.50C.75D.125

二.填空題

1.等比數列?an?中，a1?a3?10，a4?a6?

則a4?，S5?。

2.等比數列?an?中，S4?2，S8?6，則a17?a18?a19?a20?。3.等比數列?an?中，a1??1，S10S5

?3132

則公比q?。

n

4.一個數列的通項為an?2?2n?1，那么它的前9項的和S9?。

三.解答題

n

1.已知等比數列?an?和等差數列?bn?，且an?2，bn?3n?2，設數列?an?、?bn?中

共同項由小到大排列組成數列?cn?。

（1）求cn的通項公式（2）求出?cn?的前2001項的和S2001 2.數列?an?滿足a1?1，an?

an?1?1（n?2）

（1）若bn?an?2，求證：?bn?為等比數列（2）求?an?的通項公式

第五篇：2等差數列及其前n項和

二、等差數列及其前n項和

答案：第23項與第24項

：

1.等差數列的定義

如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于那么這個數列就叫做等差數列，這個常數叫做等差數列的公差，通常用字母d表示，義的表達式為.2.等差數列的通項公式

如果等差數列{an}的首項是a1，公差是d，那么通項公式為an＝.[思考探究1]

已知等差數列{an}的第m項為am，公差為d，則其第n項an能否用am與d表示？

提示：可以.an＝am＋(n－m)d.3.等差中項

如果三個數a，A，b成等差數列，則三數的關系是A＝.思考探究2]

三數成等差數列時，一般設為a－d，a，a＋d；四數成等差數列呢？ 提示：可設為a－3d，a－d，a＋d，a＋3d.考點一：等差數列的判定與證明

1.證明一個數列{an}為等差數列的基本方法有兩種：(1)利用等差數列的定義證明，即證明an＋1－and(n∈N*)(2)利用等差中項證明，即證明an＋2＋an＝2an＋1(n∈N*).2.解選擇題、填空題時，可用通項或前n項和直接判斷：

(1)通項法：若數列{an}的通項公式為n的一次函數，即an ＝An＋B，則{an}是等差數列；

(2)前n項和法：若數列{an}的前n項和Sn是Sn＝An2＋Bn的形式(A，B是常數)，則{an}為等差數列.[特別警示] 若說明一個數列不是等差數列，則只需找到其中連續三項不是等差數列即可.[例1]已知數列{an}中，a1＝

5，an＝2－

1an?

1(n≥2，n∈N*)，數列{bn}滿足bn＝

1an?1

(n∈N*).(1)求證：數列{bn}是等差數列；

(2)求數列{an}中的最大項和最小項，并說明理由.[思路點撥]

1.已知{an}是等差數列，a10＝10，其前10項和S10＝70，則其公差d＝()A.－

3B.?

C.13

D.23

[課堂筆記](1)證明：∵an＝2－

1an?1

1an?1

1an?1?1

答案：D

2.已知{an}為等差數列，a2＋a8＝12，則a5等于()

A.4B.5C.6D.7 答案：C

3.設{an}是等差數列，若a2＝3，a7＝13，則數列 {an}前8 項的和為()A.128B.80C.64D.56 答案：C

4.已知等差數列共10項，其中奇數項之和為15，偶數項之和為30，則其公差為答案：3

5.數列{an}中，a1＝15,3an＋1＝3an－2(n∈N*)，則該數列中乘積是負值的相鄰兩項為.(n≥2，n∈N*)，bn＝

1an?1

.∴n≥2時，bn－b

n－1＝

－＝

＝

∴數列{bn}是以－

2＝1.又b1＝，為首項，以1為公差的等差數列.(2)由(1)知，bn＝n－

72，則an＝1＋

1bn

＝1＋，設函數f(x)＝1＋，(2)＝

－6，因為t是奇數，.令2m－3＝t，∈N，所以t可取的值為±1.易知f(x)在區間(－∞，)和（72，＋∞)內為減函數，∴當n＝3時，an取得最小值－1；當n＝4時，an取得最大值3.考點二：等差數列的基本運算

1.等差數列的通項公式an＝a1＋(n－1)d及前n項和公式Sn＝

n(a1?an)

當t＝1，m＝2時，t＋ －6＝3，2×5－7＝3是數列{an}中的項；

t＝－1，m＝1 時，t＋ －6＝－15，2數列{an}中的最小項是－5不符合.n(n?1)

所以滿足條件的正整數m＝2.＝na1＋d，共涉及五個量a1，an，d，n，Sn，知其中三個就能求另外兩

22222

[變式]若將“a2?a3?a4?a5，S7＝7”改為“S10＝30，S20＝50”，求通項an和

個，體現了用方程的思想解決問題.S30的值.2.數列的通項公式和前n項和公式在解題中起到變量代換作用，而a1和d是等差

數列的兩個基本量，用它們表示已知和未知是常用方法.[特別警示] 因為

snn

＝

d2

n＋a1－

d2，故數列{

snn

}是等差數列.解：由題意得 ∴an＝a1＋(n－1)d＝－

解之得n＋

7120

[例2](2009·江蘇高考)設{an}是公差不為零的等差數列，Sn為其前n項和，滿足

a2?a3?a4?a5，S7＝7.amam?1am?2

(1)求數列{an}的通項公式及前n項和Sn；(2)試求所有的正整數m，使得[思路點撥]

為數列{an}中的項.[課堂筆記](1)設{an}通項公式an＝a1＋(n－1)d，d≠0，則 由性質得，－3d(a4＋a3)＝d(a4＋a3)，因為d≠0，所以a4＋a3＝0，即2a1＋5d＝0.① 又由S7＝7得7a1＋

d＝7.②

S30＝30a1＋d＝60.考點三：等差數列的性質 1.等差數列的單調性：

等差數列公差為d，若d＞0，則數列遞增.若d<0，則數列遞減.若d＝0，則數列為常數列.2.等差數列的簡單性質：

已知數列{an}是等差數列，Sn是其前n項和..(1)若m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq.特別：若m＋n＝2p，則am＋an＝2ap.(2)am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等差數列，公差為kd.(3)數列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差數列.(4)S2n－1＝(2n－1)an.(5)若n為偶數，則S偶－S奇＝

n2

聯立①②解得a1＝－5，d＝2.所以{an}的通項公式為an＝2n－7，前n項和Sn＝n2－6n.d.若n為奇數，則S奇－S偶＝a中(中間項).(6)數列{c·an}，{c＋an}，{pan＋qbn}也是等差數列(其中c、p、q均為常數，{an}，{bn}是等差數列).[例3](2009·寧夏、海南高考改編)等差數列{an}的前n項和為Sn.已知am－1＋am

＋

1－am＝0，S2m－1＝38，求m的值.[思路點撥]

[課堂筆記] 由條件得2am＝am－1＋am＋1＝a，從而有am＝0或2.又由S2m－1＝

×(2m－1)＝38且2am＝a1＋a2m－1得(2m－1)am＝38，故am≠0，[自主體驗]

已知數列{an}滿足2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)，它的前n項和為Sn，且a3＝10，S6＝72.若bn＝

2an－30，求數列{bn}的前n項和的最小值.解：∵2an＋1＝an＋an＋2，∴{an}為等差數列，設{an}的首項為a1，公差為d，{bn}前n項和為Tn.由a3＝10，S6＝72，得則bn＝

則有2m－1＝19，m＝10.[變式]若將“am－1＋am＋1－am＝0，S2m－1＝38”改為“S6＝72”，如何求a3＋a4.解：∵數列{an}為等差數列，∴S6＝∴a3＋a4＝

3∴

得

∴an＝4n－2，≤n≤

.an－30＝2n－31.由

＝3(a1＋a6)＝3(a3＋a4)，S6＝

∵n∈N*，∴n＝15.∴{bn}前15項為負值，∴T15最小，可知b1＝－29，d＝2，∴T15＝

＝－225.×72＝2

4高考對等差數列的常規考法為：（1）在解答題中考查等差數列的判斷或證明；（2）

在選擇題、填空題或解答題中考查等差數列的基本性質以及an，a1,d,n,Sn中的“知三求二”問題.09年安徽高考以選擇題的形式考查了等差數列前n項和的最值問題，是高考命題的一個新方向.[考題印證](2009·安徽高考)已知{an}為等差數列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99.又Sn表示{an}的前n項和，則使得Sn達到最大值的n是()A.21B.20C.19D.18 【解析】 ∵{an}為等差數列，∴a1＋a3＋a5＝105，a3＝35，a2＋a4＋a6＝99?a4＝33，d＝a4－a3＝33－35＝－2，∴{an}是遞減數列.an＝a3＋(n－3)d＝35＋(n－3)×(－2)＝－2n＋41，an≥0，－2n＋41≥0，n≤，∴當n≤20時，an>0，n≥21時，an<0，∴n＝20時，Sn最大.【答案】 B

1.(2009·遼寧高考){an}為等差數列，且a7－2a4＝－1，a3 ＝0，則公差d＝()A.－2B.－

C.12

D.2

答案：B

2.設Sn是等差數列{an}的前n項和.已知a2＝3，a6＝11，則S7等于()A.13B.35C.49D.63 答案：C

3.已知等差數列{an}中，|a3|＝|a9|，公差d＜0，則使前n項和Sn取得最大值的正整數n的值是()

A.4或5B.5或6C.6或7D.8或9 答案：B 4.(2009·山東高考)在等差數列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，則a6＝.答案：13

5.已知Sn為等差數列{an}的前n項和，若a2∶a4＝7∶6，則S7∶S3等于.答案：2∶1

6.(文)(2010·惠州模擬)等差數列{an}前n項和為Sn，已知對任意n∈N*，點(n，Sn)在二次函數f(x)＝x2＋c的圖象上.(1)求c，an；

(2)若kn＝

an2

n，求數列{kn}的前n項和Tn.∵

是與n無關的常數，則

故存在實數λ＝－1.使得數列＝0，得λ＝－1.要使

解：(1)點(n，Sn)在二次函數f(x)＝x2＋c的圖象上，∴Sn＝n2＋c

a＝S＝1＋c，a＝S－S＝(4＋c)－(1＋c)＝3，為等差數列.11221a3＝S3－S2＝5，又∵{an}為等差數列，∴6＋c＝6，c＝0，d＝3－1＝2，an＝1＋2(n－1)＝2n－1.(2)kn＝，Tn＝

①

②

①－②得Tn＝

(理)已知數列{an}滿足an＝2an－1＋2n－1(n≥2)，且a1＝5.(1)若存在一個實數λ，使得數??

?an??

2?列為等差數列，請求出λ的值；?n

?

(2)在(1)的條件下，求出數列{an}的前n項和Sn.解：(1)假設存在實數λ符合題意，則

必為與n無關的常數，(2)由(1)可得＝1，∴d＝1，且首項為 ＝2，∴

＝2＋(n－1)＝n＋1，∴an＝(n＋1)2n＋1(n∈N*).令b n ＝(n ＋1)2n且前n

項和為Tn，∴Tn＝2×2＋3×22＋4×23＋…＋(n＋1)2n，2Tn＝2×22＋3×23＋…＋n×2n＋(n＋1)2n＋1，①－②得－Tn＝4＋22＋23＋…＋2n－(n＋1)2n＋1

＝2＋(2＋…＋2n)－(n＋1)2n＋1

＝2n＋1－(n＋1)2n＋1 ＝－n·2n＋1，∴Tn＝n·2n＋1，∴Sn＝n·2n＋1＋n.①

②