第一篇：等差數列前n項和公式教學案例分析

《等差數列前n項和公式》教學案例分析

教學案例：

一、教學設計思想

本堂課的設計是以個性化教學思想為指導進行設計的。

本堂課的教學設計對教材部分內容進行了有意識的選擇和改組，為了體現個性化教學的教學理念，在教法上，采用了以學生為主體，以問題為中心，以老師為引導，以小組的合作為主要學習方式。課堂結構個性化，讓學生在探究中展現個性，在合作中促進學生的個性發展。

在教學中通過生動具體的現實問題，激發學生探究的興趣和欲望，樹立學生求真的勇氣和自信心，增強學生學好數學的心理體驗，產生熱愛數學的情感,體驗在學習中獲得成功。

二、學生情況與教材分析

1、學生通過上一節的學習，已經了解了等差數列的定義，基本上掌握了通項公式，會運用等差數列的通項公式進行解題，因此只要簡單地回顧上一節課的知識就可引入新課；

2、幾何能直觀地啟迪思路，幫助理解，特別是對于職中類學生，他們對知識的理解還是處于模糊階段，因此，借助幾何直觀學習和理解數學，是數學學習中的重要方面。只有做到了直觀上的理解，才是真正的理解。因此在教學中，要鼓勵學生借助幾何直觀進行思考，揭示研究對象的性質和關系，從而滲透了數形結合的數學思想。

3、學習應該是學生積極主動的建構知識的過程，應該與學生熟悉的背景相聯系。本課要求學生通過自主地觀察、討論、歸納、反思來參與學習，認識和理解數學知識，學會發現問題并嘗試解決問題，在學習活動中進一步提升自己的能力。

三、教學目標

1、知識目標

（1）掌握等差數列前n項和公式,理解公式的推導方法；（2）能較熟練應用等差數列前n項和公式求和。

2、能力目標

經歷公式的推導過程，體會數形結合的數學思想，體驗從特殊到一般的研究方法，學會觀察、歸納、反思和邏輯推理的能力。

3、情感目標

通過生動具體的現實問題，激發學生探究的興趣和欲望，樹立學生求真的勇氣和自信心，增強學生學好數學心理體驗，產生熱愛數學的情感,體驗在學習中獲得成功。

四、教學重點、難點

1、等差數列前n項和公式是重點。

2、獲得等差數列前n項和公式推導的思路是難點。

五、教學流程圖

六、教學過程

1、引入新課（1）復習

師：上一節課中，我們學習了等差數列的定義及通項公式，知道了“公差d=，通項公式an=”（見黑板）生：（回答黑板上的問題）

（2）故事引入

師：那等差數列的前n項和怎樣求？今天，我們主要探討等差數列的前n項和公式。說起數列求和，我由地想起德國偉大的數學家高斯“神述求和”的故事。高斯在上小學四年級時，老師出了這樣一道題“1+2+3、、、、、+99+100”（見課件）高斯稍微想了想就得出了答案。高斯到底用了什么巧妙的方法呢？下面給同學們一點時間來挑戰高斯。

生：5050 師：看來我們班還是有不少高斯的。繼續努力，說不定將來也成了數學家。下面請這位同學說一說是怎樣算出來的。

生：（說明如何進行首尾配對進行求和的。）

師：根據等差數列的特點，首尾配對求和的確是一種巧妙的方法。不過，對于以下的題，“例：求等差數列8、5、2、、、、的前20項的和（見課件）”這種方法可就沒那么方便了。因此我們非常迫切地需要推導出等差數列的前n項和公式。

2、探究等差數列前n項和公式一

師：下面我們從一個稍稍簡單一點的等差數列來推導探討等差數列的前n項和公式。（學生觀察幻燈片上以等差數列逐層排列的一堆鋼管。）

師：如何求？

生：利用剛才的方法.(略)師：想一想，除了剛才的首尾配對求和的方法外，還有沒有其他的方法呢？

（課件演示：引導學生設想，如果將鋼管倒置，能得到什么啟示）

生：每一層都和上一層是一樣多的。一共有8層，所以為8×（4+11），但一共有兩堆，所以為

師：那如果如下圖所示共有n層，第一層為a1，第n層為an，請大家來猜想一下這個呈等差數列排列的鋼管的總和sn等于多少？ 生：

師：這個猜想對不對呢？下面我們用所學過的知識一起來證明一下。

板書：把上式的次序反過來又可以寫成

兩式相加：

所以

看來，我們的猜想是正確的。下面我們做幾道練習來熟悉一下公式。

3、學生合作學習，運用公式一解題，并從練習中探索得到求和公式二。學生練習一：

1、在等差數列｛an｝中，已知a1=1，a10=8，求s10

2、求正整數列是前1000個數的和； 學生小組合作練習，分組進行交流。

師：看來，大家對公式的掌握還是不錯的。下面，我們再來看一道練習。

學生練習二：在等差數列｛an｝中，已知a1=1，d=-2，求s10；

學生思考，并討論解答。

學生講解如何進行求解這題。

師：剛才那道題給出了a1，d和n=10，a10沒有給出，但我們一樣可以將s10求出，那我們能不能直接由a1，d和n，得到an呢？

學生根據求和公式一和通項公式導出公式二：

學生練習三：求正整數中前500個偶數的和（用多種方法求解）學生討論解答此題，并請學生上臺講解。

4、總結

師：今天，大家學得不錯。下面我們再來回顧一下本堂課的內容。今天我們主要倒序相加的方法推導了等差數列前n項和公式一，并結合等差數列通項公式二推導出等差數列前n項和公式二，希望同學們在今后的解題要靈活運用這兩個公式。

【教學反思】：

綜觀本節課，存在有特點主要有以下幾點：

1、合理地對教材進行了個性化處理，挖掘了教材中可探究的因素，促使學生探究、推導。例如：等差數列前n項和的公式一，是通過具體的例子，引到一般的情況，激勵學生進行猜想，再進行論證得出；而第二個公式并不象書本上那樣直接給出，而是讓學生從習題中進行歸納總結得到的。這樣處理教材，使學生的思維得到了很大的鍛煉。

2、本節課主要采用觀察法、歸納法等教學方法，同時采用設計變式題的教學手段進行教學，通過具體問題的引入，使學生體會數學源于生活，創設情境，重在啟發引導，使學生由淺到深，由易到難分層次對本節課內容進行掌握。學生在學習的過程中體驗從特殊到一般的研究方法，學會觀察、歸納、反思和邏輯推理的能力。

第二篇：等差數列前n項和公式說課稿

大家好！今天我說課的題目是《等差數列的前n項和》，所選用的教材為中等職業教育規劃教材。

一、教材分析：

1、教材的地位和作用

《等差數列的前n項和》是第一冊第五章第二節的內容，本節內容在日常生活中有著廣泛的應用，同時與函數、三角、不等式等內容有著密切的聯系。它既是等差數列的概念的延續，又為后續研究等差數列的應用提供理論依據。鑒于這種認識，我認為，本節課對于進一步探索、研究等比數列無論在知識上，還是方法上都有很強的啟發與示范作用。

2、學情分析

學生在認知方面基本掌握等差數列的通項公式，初步具備運用所學知識解決問題的能力，但數形結合的意識和思維的深刻性需要進一步加強培養，多數學生有積極的學習態度，能主動參與探究，少數學生的主動性，還需要通過營造一定的學習氛圍帶動。

3、教學重難點

根據以上對教材的地位與作用，以及學情的分析，結合本節內容的特點，我將本節課的重點確定為：等差數列前n項和公式的理解、推導與應用；

難點確定為：獲得等差數列前n項和公式推導的思路及公式的簡單應用。

二、教學目標分析

在教學中應以知識與技能為主線，滲透情感態度價值觀，并把前兩者充分體現在過程與方法中。借此，我將三維目標進行整合，確定本節課的教學目標為：

1.掌握等差數列求和公式，能較熟練應用等差數列前n項和公式； 2.經歷公式的推導，體會數形結合的思想，體驗從特殊到一般的研究方法，學會觀察、歸納、反思；

3.通過合作交流、主動探究，體會數學的合理性和嚴謹性，使學生養成積極思考、獨立思考的習慣，培養學生團隊合作的精神。

三、教學方法分析

學生是學習的主體，教師是學習的組織者，教學的一切活動都必須圍繞學生展開。根據這一教學理念，本節課我采用引導發現法、問題驅動教學法，以問題的提出及解決為主線，倡導學生主動參與教學實踐活動，以獨立思考和相互交流的形式分析和解決問題，從真正意義上完成對知識的自我建構。

另外，在教學過程中，我采用多媒體輔助教學，以直觀呈現教學素材，從而更好地激發學生的學習興趣，增大教學容量，提高教學效率。

在學法方面，主要采用聯系學習法，探究式學習法，自主性學習，真正體現學生為主體的教學理念。

四、教學過程分析

為有序、有效地進行教學，本節課我主要安排以下教學環節：(一）創設情境，提出問題

給出歷史上有名的實例，提出問題，學生進行觀察分析，進入思考狀態。設計意圖：以問題的形式創設情境，激發學生探究新知的欲望，為學習新內容做好準備。

（通過這一環節，學生已經產生強烈的求知欲望，此時將學生帶入下一個環節。）

(二)探究討論，發現問題（本節課的重點）

首先給出探索發現1，在教師的啟發引導下，學生通過合作交流的方式，逐步明確解決問題的方法和思路。

設計意圖：通過這一環節，讓學生體會數形結合的數學思想，同時培養學生的探究及歸納能力。

接著給出探索發現2，由學生通過主動探究和合作交流的方式解決問題2，從而歸納整理出求和公式1。

設計意圖：學生通過探索1的解決，已經積累了解決此類問題的經驗，此時給出探索2，充分發掘學生的興趣點，同時順利解決問題。

最后給出探索發現3，此時提出問題3，學生結合前兩個問題的解決方法，從而歸納出求和公式一和二。

設計意圖：在本環節中采用問題驅動的教學方法，以循序漸進、層層深入的方式，運用特殊到一般的研究方法，降低了知識的梯度，從而突出重點。（通過前面的學習，學生已經基本把握了本節課所學習的內容，此時他們急于展示自我，體驗成功，于是我把學生帶入第三個階段。）

（三）公式應用，加深理解

本環節主要是等差數列求和公式的應用，是本節課的難點。解決引入時候設置的問題，處理方法是引導學生從首項、末項及項數出發，使用公式

（一）求和；(2)引導學生從首項、項數及公差出發，使用公式

（二）求和。通過兩種方法的比較，提示學生應根據信息選擇合適的公式。

設計意圖：反饋體驗，解決引入時候設置的問題，使得學生體會到等差數列前n項和的實用性，突破本節課的難點。

（五）小結歸納，感知深化

為發揮學生的主體作用，從學習的知識、方法、體驗三個方面進行歸納，我設計了三個問題。

設計意圖：通過三個問題的處理，讓學生從整體上把握課堂結構，從而優化認知結構，充分發揮學生的主體作用。

（六）布置作業，拓展升華

以作業的鞏固性和發展性為出發點，設計了A和B兩種題目，作業A是對本節課內容的一個反饋，作業B是對本節知識的一個延伸。總的設計意圖是反饋教學，鞏固提高。

板書設計：這樣安排版面，使得本節課內容重難點突出，層次分明。

五、教學評價：

這節課的設計體現了以學生為主體，教師為指導的理念，以上幾個環節環環相扣，層層深入，充分體現教師與學生的互動，在教師的整體調控下，學生通過動腦思考，對知識的理解逐步深入，使課堂學習效果最優化。

第三篇：等差數列的前n項和公式教案

2.3等差數列的前n項和公式（教案）

一．教學目標：

1.知識與技能目標

了解等差數列前n項和公式，理解等差數列前n項和公式的幾何意義，并且能夠靈活運用其求和。2.過程與方法目標

學生經歷公式的推導過程，體驗從特殊到一般的研究方法。

3.情感態度與價值觀目標

學生獲得發現的成就感，優化思維品質，提高代數的推導能力。

二．教學重難點：

1.重點：等差數列前n項和公式的推導，掌握及靈活運用。2.難點：誘導學生用“倒序相加法”求等差數列前n項和。

三．教法與學法分析：

1.教法分析：采用“誘導啟發，自主探究式”學法為主，講練結合為輔的教學方法。

2.學法分析：采用“自主探究式學習法”和“主動學習法”。

四．課時安排：

1個課時 五．教學過程

（一）導入

我們已經學過等差數列的定義an+1-an=d(n屬于正整數)，等差數列的通項公式an=a1+(n-1)d，等差數列的等差中項2an=an-1+an+1，還有：若m+n=p+q,則am+an=ap+aq.我們應該怎樣求a1+a2+?+an,其中{an}為等差數列，記Sn=a1+a2+?+an

我們知道200多年前高斯的老師給他們出了一道題目，讓他們計算1+2+就算出來了?+100=？當時10歲的高斯很快。高斯是怎樣做出來的呢？他使用了什么簡單高明的方法？

1+2+?+100=(1+100)+（2+99）+?+(50+51)=50*101,所以1+2+?+100=5050，這就是著名的高斯算法，到后來，人們就從高斯算法中得到啟發，求出了等差數列1+2+?+n的前n項和的算法

（二）探究新知，發現規律

從高斯算法中，人們怎樣求出首項為1，公差為1的等差數列1+2+3+?+n的和? 首先1+2+?+n(1)n+(n-1)+?+1（2）

2Sn=(n+1)+(n+1)+?+(n+1)(n個（n+1）)所以 1+2+?+n=n*(n+1)/2 我們把上面的方法稱為“倒序相加法”，也就是說高斯當時用的就是“倒序相加法”算出了1+2+?+100的和

然而這個方法可以推廣到等差數列的前n項和 定義：一般地，我們把a1+a2+?+an叫做等差數列的前n項和，用Sn表示

即Sn=a1+a2+?+an

從高斯算法中得到的啟示，對于一般的等差數列，其中a1是首項，d是公差，我們可以用兩種方法來表示

Sn=a1+a2+?+an

=a1+(a1+d)+?++[ a1+(n-1)d](3)Sn=an+ an-1+?+a1

=an+(an-d)+?+[an-(n-1)d](4)兩式相加得2Sn=(a1+an)+(a1+an)+?+(a1+an),有n個(a1+an）所以Sn=n(a1+an)/2(5)將an=a1+(n-1)d帶入Sn=n(a1+an)/2中即可得到Sn=na1+n(n-1)d/2(6)(5)與(6)區別：第一個公式反映了等差數列的首項與末項之和跟第n項與倒數第n項之和是相等的；第二個公式反映了等差數列的首項與公差d之間的關系，而且是關于n的“二次函數”，可以與二次函數作比較。

聯系：將an=a1+(n-1)d帶入Sn=n(a1+an)/2中即可得到 Sn=na1+n(n-1)d/2

（三）知識應用，反思，提高強化知識

例1：已知等差數列{an}的通項公式an=2n+3,求Sn 解:因為an=2n+3

所以a1=5, 即Sn=n(a1+an)/2

=n^2+4n 例2：已知等差數列前10項的和是310，前20項的和是1220，求前n項和公式Sn 解：因為S10=10* a1+10*9*d/2=310

S20=20* a1+20*19*d/2=1220 所以Sn=n* a1+n(n-1)d/2

=4n+n(n-1)*6/2 =3n^2+n習題1：設Sn為等差數列{an}的前n項和，若S9=72，求a2+a4+ a9=？

解：因為S9=9a1+8*9*d/2=9a1+36d=9(a1+4d)=72

所以a1+4d=8

又因為a2+a4+a9=a1+d+a1+2d+a1+8d

=3a1+12d =3(a1+4d)=3*8 =24

（四）歸納總結

對Sn=n(a1+an)/2 與 Sn=na1+n(n-1)d/2兩個公式的熟練運用：注：已知條件不同時，公式的選擇要依據已知條件，有利于很快的解決問題。

（五）作業布置

P45,1，2

第四篇：yuanhong 《等差數列的前n項和公式》教學設計

《等差數列的前n項和》教學設計

教材分析: 《等差數列的前n項和》是人教實驗版必修5第二章第3節的內容，是學生學習了等差數列的定義、通項公式后，對等差數列知識的進一步學習。學情分析：

學生通過對等差數列基本概念和通項公式的學習，對等差數列有了一定的了解。但是由于學生是第一次接觸到數列的求和,缺乏相關經驗,因此，需要借助幾何直觀學習和理解。教學目標 ：

1、情感態度與價值觀

（1）獲得發現的成就感，逐步養成科學嚴謹的學習態度，提高代數推理的能力。

（2）注重在學習過程中師生情感交流，鼓勵學生自主發現，激發學生的學習熱情，培養學生的探索精神與創新意識。

2、過程與方法

（1）通過公式的探索、發現，在知識發生、發展以及形成過程中培養學生觀察、聯想、歸納、分析、綜合和邏輯推理的能力；（2）利用以退求進的思維策略，遵循從特殊到一般的認知規律，讓學生在實踐中通過觀察、嘗試、分析、類比的方法導出等差數列的求和公式，培養學生類比思維能力。

3、情感態度與價值觀

（1）獲得發現的成就感，逐步養成科學嚴謹的學習態度，提高代數

推理的能力。

（2）注重在學習過程中師生情感交流，鼓勵學生自主發現，激發學生的學習熱情，培養學生的探索精神與創新意識。教學重點、難點 ：

1、等差數列前n項和公式是重點。

2、獲得等差數列前n項和公式推導的思路是難點。設計理念 ：

在教學中通過生動具體的現實問題，激發學生探究的興趣和欲望，由淺入深，層層深入，增強學生學好數學的心理體驗，產生熱愛數學的情感,體驗在學習中獲得成功。教學資源：

現代教育多媒體技術 教學過程：

(一)創設問題情境

1.故事引入：德國偉大的數學家高斯“神述求和”的故事。高斯在上小學四年級時，老師出了這樣一道題“1+2+3??+99+100”高斯稍微想了想就得出了答案。高斯到底用了什么巧妙的方法呢？下面給同學們一點時間來挑戰高斯。

高斯的方法：

首項與末項的和：1+100=101 第2項與倒數第2項的和：2+99=101

第3項與倒數第3項的和：3+98=101 ……

第50項與倒數第50項的和：50+51=101 ∴前100個正整數的和為：101×50=5050 2.故事引入：泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世紀莫臥兒帝國皇帝沙杰罕為紀念其愛妃所建，她宏偉壯觀，純白大理石砌建而成的主體建筑叫人心醉神迷，成為世界七大奇跡之一。陵寢以寶石鑲飾，圖案之細致令人叫絕。傳說陵寢中有一個三角形圖案，以相同大小的圓寶石鑲飾而成，共有100層，奢靡之程度，可見一斑。你知道這個圖案一共花了多少寶石嗎？圖案中，第1層到第21層一共有多少顆寶石？

在知道了高斯算法之后，同學們很容易把本題與高斯算法聯系起來，也就是聯想到“首尾配對”擺出幾何圖形，將兩個三角形拼成平行四邊形.讓學生初步形成數形結合的思想,這是在高中數學學習中非常重要的思想方法.借助圖形理解逆序相加,也為后面公式的推導

打下基礎.因此在教學中，要鼓勵學生借助幾何直觀進行思考，揭示研究對象的性質和關系，從而滲透了數形結合的數學思想。上述故事歸結為 1．這是求等差數列1，2，3，?，100前100項和

2.求等差數列1，2，3，?，21前21項和

（二）等差數列求和公式

一般地，稱用表示，即

為等差數列的前n項的和，1、思考：受高斯的啟示，我們這里可以用什么方法去求和呢？思考后知道，也可以用“倒序相加法”進行求和。

我們用兩種方法表示

：

① ②

由①+②，得

由此得到等差數列的前n項和的公式

對于這個公式，我們知道：只要知道等差數列首項、尾項和項數就可以求等差數列前n項和了。

2、除此之外，等差數列還有其他方法嗎？當然，對于等差數列求和公式的推導，也可以有其他的推導途徑。例如：

===

=

代入

這兩個公式是可以相互轉化的。把中，就可以得到

引導學生思考這兩個公式的結構特征得到：第一個公式反映了等差數列的任意的第k項與倒數第k項的和等于首項與末項的和這個內在性質。第二個公式反映了等差數列的前n項和與它的首項、公差之間的關系，這兩個公式的共同點都有四個量，都有三求一”，不同點是第一個公式還需知道

和n，都可以“知，而第二個公式是要知道d，解題時還需要根據已知條件決定選用哪個公式。

（三）公式運用，變式訓練 例1.求和： 1、101+100+99+98+97； 2、2+2+4+6+8+??+2n；（結果用n表示）3、2+4+6+8+??+（2n+4）；（結果用n表示）

例2、2000年11月14日教育部下發了《關于在中小學實施“校校通”工程的通知》.某市據此提出了實施“校校通”工程的總目標：從2001年起用10年時間，在全市中小學建成不同標準的校園網.據測算，2001年該市用于“校校通”工程的經費為500萬元.為了保證工程的順利實施，計劃每年投入的資金都比上一年增加50萬元.那么從2001年起的未來10年內，該市在“校校通”工程中的總投入是多少？

如果開始時有1.275億元可以支配，那么按照上面的方法劃撥經費，可以再持續多少年？

例3．根據下列各題的條件,求相應等差數列的未知數（1）a1=3，an=2n+1，sn=195，求d，n；（2）a2+a6=16，s6=39，求d，an 例4．已知一個等差數列的前10項的和是310，前20項的和是1220，由此可以確定求其前n項和的公式嗎？

（五）隨堂練習

1、求等差數列13，15，17，?81的各項和

2、已知等差數列, a1=3 且滿足 an+1=an+2 ,求的前n項和。

（六）課后小結

1．經歷了等差數列前n項和公式推倒的過程 2．學習了等差數列的前n項和公式：

sn?n(a1?an)n(n?1)與sn?na1?d用推導的兩個公式靈活解題。2

2（七）課外作業 P49：13、、15、1417

第五篇：說課—《等差數列前n項和的公式》

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說課—《等差數列前n項和的公式》

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說課-《等差數列前n項和的公式》 教學目標

A、知識目標：

掌握等差數列前n項和公式的推導方法；掌握公式的運用

B、能力目標：

（1）通過公式的探索、發現

在知識發生、發展以及形成過程中培養學生觀察、聯想、歸納、分析、綜合和邏輯推理的能力

（2）利用以退求進的思維策略 遵循從特殊到一般的認知規律

讓學生在實踐中通過觀察、嘗試、分析、類比的方法導出等差數列的求和公式

培養學生類比思維能力

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（3）通過對公式從不同角度、不同側面的剖析 培養學生思維的靈活性

提高學生分析問題和解決問題的能力

C、情感目標：（數學文化價值）

（1）公式的發現反映了普遍性寓于特殊性之中 從而使學生受到辯證唯物主義思想的熏陶

（2）通過公式的運用 樹立學生“大眾教學”的思想意識

（3）通過生動具體的現實問題 令人著迷的數學史 激發學生探究的興趣和欲望 樹立學生求真的勇氣和自信心 增強學生學好數學的心理體驗 產生熱愛數學的情感

教學重點：等差數列前n項和的公式

教學難點：等差數列前n項和的公式的靈活運用

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教學方法：啟發、討論、引導式

教具：現代教育多媒體技術

教學過程

一、創設情景 導入新課

師：上幾節

我們已經掌握了等差數列的概念、通項公式及其有關性質 今天要進一步研究等差數列的前n項和公式 提起數列求和

我們自然會想到德國偉大的數學家高斯“神速求和”的故事 小高斯上小學四年級時

一次教師布置了一道數學習題：“把從1到100的自然數加起來 和是多少？”年僅10歲的小高斯略一思索就得到答案5050 這使教師非常吃驚

那么高斯是采用了什么方法來巧妙地計算出來的呢？如果大家也懂得那樣巧妙計算

那你們就是二十世紀末的新高斯（教師觀察學生的表情反映 然后將此問題縮小十倍）

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我們來看這樣一道一例題

例1 計算：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10.這道題除了累加計算以外

還有沒有其他有趣的解法呢？小組討論后 讓學生自行發言解答

生1:因為1+10=2+9=3+8=4+7=5+6 所以可湊成5個11 得到55

生2：可設S=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 根據加法交換律

又可寫成S=10+9+8+7+6+5+4+3+2+1

上面兩式相加得2S=11+10+......+11=10×11=110

10個

所以我們得到S=55

即1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55

師：高斯神速計算出1到100所有自然數的各的方法

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和上述兩位同學的方法相類似

理由是：1+100=2+99=3+98=......=50+51=101 有50個101 所以1+2+3+......+100=50×101=5050 請同學們想一下

上面的方法用到等差數列的哪一個性質呢？

生3：數列{an}是等差數列 若m+n=p+q 則am+an=ap+aq.二、教授新課（嘗試推導）

師：如果已知等差數列的首項a1 項數為n 第n項an 根據等差數列的性質

如何來導出它的前n項和Sn計算公式呢？根據上面的例子同學們自己完成推導 并請一位學生板演

生4：Sn=a1+a2+......an-1+an也可寫成 Sn=an+an-1+......a2+a1

兩式相加得2Sn=（a1+an)+(a2+an-1)+......(an+a1)

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n個

=n(a1+an)

所以Sn=(I)

師：好！如果已知等差數列的首項為a1 公差為d 項數為n 則an=a1+(n-1)d代入公式(1)得 Sn=na1+ d(II)

上面（I）、（II）兩個式子稱為等差數列的前n項和公式 公式（I）是基本的 我們可以發現

它可與梯形面積公式（上底+下底）×高÷2相類比 這里的上底是等差數列的首項a1 下底是第n項an 高是項數n 引導學生總結：這些公式中出現了幾個量？（a1 d n an Sn）

它們由哪幾個關系聯系？[an=a1+(n-1)d Sn==na1+ d]；這些量中有幾個可自由變化？（三個）從而了解到：只

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要知道其中任意三個就可以求另外兩個了 下面我們舉例說明公式（I）和（II）的一些應用

三、公式的應用（通過實例演練 形成技能）

1、直接代公式（讓學生迅速熟悉公式 即用基本量觀點認識公式）例

2、計算：

（1）1+2+3+......+n

（2）1+3+5+......+(2n-1)

（3）2+4+6+......+2n

（4）1-2+3-4+5-6+......+(2n-1)-2n

請同學們先完成（1）-（3）并請一位同學回答

生5：直接利用等差數列求和公式（I）得

（1）1+2+3+......+n=

（2）1+3+5+......+(2n-1)=

（3）2+4+6+......+2n==n(n+1)

師：第（4）小題數列共有幾項？是否為等差數列？能否直接運用Sn公式求解？若不能

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那應如何解答？小組討論后 讓學生發言解答

生6：（4）中的數列共有2n項 不是等差數列 但把正項和負項分開 可看成兩個等差數列 所以

原式=[1+3+5+......+(2n-1)]-(2+4+6+......+2n)

=n2-n(n+1)=-n

生7：上題雖然不是等差數列 但有一個規律 兩項結合都為-1 故可得另一解法：

原式=-1-1-......-1=-n

n個

師：很好！在解題時我們應仔細觀察 尋找規律

往往會尋找到好的方法 注意在運用Sn公式時 要看清等差數列的項數 否則會引起錯解

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例

3、（1）數列{an}是公差d=-2的等差數列 如果a1+a2+a3=12 a8+a9+a10=75 求a1 d S10

生8：（1）由a1+a2+a3=12得3a1+3d=12 即a1+d=4

又∵d=-2 ∴a1=6

∴S12=12 a1+66×（-2）=-60

生9：（2）由a1+a2+a3=12 a1+d=4

a8+a9+a10=75 a1+8d=25

解得a1=1 d=3 ∴S10=10a1+=145

師：通過上面例題我們掌握了等差數列前n項和的公式 在Sn公式有5個變量 已知三個變量

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可利用構造方程或方程組求另外兩個變量（知三求二）請同學們根據例3自己編題 作為本節的課外練習題 以便下節課交流

師：（繼續引導學生 將第（2）小題改編）

①數列{an}等差數列 若a1+a2+a3=12 a8+a9+a10=75 且Sn=145 求a1 d n

②若此題不求a1 d而只求S10時 是否一定非來求得a1 d不可呢？引導學生運用等差數列性質 用整體思想考慮求a1+a10的值

2、用整體觀點認識Sn公式

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例4 在等差數列{an}（1）已知a2+a5+a12+a15=36 求S16；（2）已知a6=20 求S11（教師啟發學生解）

師：來看第（1）小題

寫出的計算公式S16==8(a1+a6)與已知相比較 你發現了什么？

生10：根據等差數列的性質 有a1+a16=a2+a15=a5+a12=18 所以S16=8×18=144

師：對！（簡單小結）這個題目根據已知等式是不能直接求出a1 a16和d的

但由等差數列的性質可求a1與an的和 于是這個問題就得到解決 這是整體思想在解數學問題的體現

師：由于時間關系

我們對等差數列前n項和公式Sn的運用一一剖析 引導學生觀察當d≠0時

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Sn是n的二次函數

那么從二次（或一次）的函數的觀點如何來認識Sn公式后 這留給同學們課外繼續思考

最后請大家課外思考Sn公式（1）的逆命題：

已知數列{an}的前n項和為Sn 若對于所有自然數n 都有Sn= 數列{an}是否為等差數列 并說明理由

四、小結與作業

師：接下來請同學們一起來小結本節課所講的內容

生11：

1、用倒序相加法推導等差數列前n項和公式

2、用所推導的兩個公式解決有關例題 熟悉對Sn公式的運用

生12：

1、運用Sn公式要注意此等差數列的項數n的值

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2、具體用Sn公式時

要根據已知靈活選擇公式（I）或（II）掌握知三求二的解題通法

3、當已知條件不足以求此項a1和公差d時 要認真觀察

靈活應用等差數列的有關性質 看能否用整體思想的方法求a1+an的值

師：通過以上幾例 說明在解題中靈活應用所學性質

要糾正那種不明理由盲目套用公式的學習方法 同時希望大家在學習中做一個有心人 去發現更多的性質 主動積極地去學習

本節所滲透的數學方法；觀察、嘗試、分析、歸納、類比、特定系數等

數學思想：類比思想、整體思想、方程思想、函數思想等

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