第一篇：課時30 等差數列及其前n項和

提升訓練30等差數列及其前n項和

一、選擇題

1．等差數列{an}的前n項和為Sn，且S7＝7，則a2＋a6＝()．

7911A．2B.C.D.224

2．等差數列{an}的前n項和為Sn(n＝1,2,3，?)，若當首項a1和公差d變化時，a5＋a8＋a11是一個定值，則下列選項中為定值的是()．

A．S17B．S18C．S15D．S14

→→→3．已知等差數列{an}的前n項和為Sn，若OB＝a2OA＋a2 009OC，且A，B，C三點共線(該直

線不過原點O)，則S2 010＝()．010－ 2010A．2 010B．1 005C．2D．2

4．等差數列{an}中，Sn是其前n項和，a1＝－2 0112，則S2 011的值為()． 2 0092 007

A．－2 010B．2 010C．－2 011D．2 011

5．《九章算術》“竹九節”問題：現有一根9節的竹子，自上而下各節的容積成等差數列，上面4節的容積共3升，下面3節的容積共4升，則第5節的容積為()．

674737A．1升B．升C．升D．升 664433

anan＋1＋126．等差數列{an}中，a1＝a3＋a7－2a4＝4，則2的值為整數時n的個數為()． n＋3n

A．4B．3C．2D．1

7．已知函數f(x)＝cos x，x∈(0,2π)有兩個不同的零點x1，x2，且方程f(x)＝m有兩個不同的實根x3，x4，若把這四個數按從小到大排列構成等差數列，則實數m＝()．

1133A．BC．D．－2222

二、填空題

18．已知{an}為等差數列，Sn為其前n項和，若a1＝S2＝a3，則a2＝__________，Sn＝2

__________.S2 009S2 007an＋2an＋11，則a6－a5的值為__________． an＋1an

10．等差數列的前n項和為Sn，若S7－S3＝8，則S10＝__________；一般地，若Sn－Sm＝a(n＞m)，則Sn＋m＝__________.9．已知{an}滿足a1＝a2＝1，三、解答題

n11．已知數列{an}滿足：a1＝1，an＋1＝2an＋m·2(m是與n無關的常數且m≠0)．

(1)設bn＝n，證明數列{bn}是等差數列，并求an； 2

(2)若數列{an}是單調遞減數列，求m的取值范圍．

212.a2，a5是方程x－12x＋27＝0的兩根，數列{an}是公差為正的等差數列，數列{bn}的前

1n項和為Tn，且Tn＝1－bn(n∈N*)． 2

(1)求數列{an}，{bn}的通項公式；

(2)記cn＝anbn，求數列{cn}的前n項和 Sn.an

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第二篇：等差數列前n項和教案

等差數列前n項和教案

一、教材分析

1、教材內容：等差數列前n項求和過程以及等差數列前n項和公式。

2.教材所處的地位和作用：本節課的教學內容是等差數列前n項和，與前面學過

的等差數列的定義、性質等內容有著密切的聯系，又能為后面等比數列前n

項和以及數列求和做鋪墊。

3、教學目標

（1）知識與技能：掌握等差數列前n項和公式，理解公式的推導方法。同時能

熟練、靈活地應用等差數列前n項和公式解決問題。

（2）過程與方法：經歷公式的推導過程，體驗倒序相加進行求和的過程，學會

觀察、歸納、反思。體驗從特殊到一般的研究方法。

（3）情感、態度、價值觀：通過具體、生動的現實問題的引入，激發學生探

究求和方法的興趣，樹立學生求知意識，產生熱愛數學的情感，逐步養

成科學、嚴謹的學習態度，提高一般公式推理的能力。

4、重點與難點

重點：等差數列前n項和公式的掌握與應用。

難點：等差數列前n項和公式的推導以及其中蘊含的數學思想的掌握。

二、學情分析

學生前幾節已經學過一些數列的概念及簡單表示法，還學了等差數列的定

義以及性質，對等差數列已經有了一定程度的認識。這些知識也為這節的等差數列前n項和公式做準備，讓學生能更容易理解等差數列前n項和公式的推導過程。同時也為后面的等比數列前n項和公式做鋪墊。但由于數列形式多樣，因此僅僅掌握等差數列前n項和公式還是不夠的，更應該學會靈活應用。

三、教學方法：啟發引導，探索發現

四、教學過程

1．教學環節：創設情境

教學過程：200多年前，高斯的算術老師提出了下面的問題： 1?2?3???100?？。據說，當其他同學忙于把100個數逐項相加時，10歲的高斯迅速得出5050這個答案。讓同學思考并討論高斯是怎么算的。

設計意圖：由著名的德國數學家高斯的例子引發同學們的思考，為下面引入倒序相加法求和做準備。2．教學環節：介紹倒序相加法

教學過程：請同學將自己的計算方法在課上發表，老師接著介紹倒序相加

法。記S?1?2?3???10098???1S?100?99?，從而發現每一列相加都得101。

則2S?(1?100)?(2?99)?(3?98)???(100?1)?101*100

S?101*1002?5050

類似地，用同樣的方法計算1,2,3，?，n，?的前n項和，可以得到 1?2?3???n?(n?1)n。2 設計意圖：介紹倒序相加法，并用這個方法計算1,2,3，?，n，?的前n 項和，從而為下面推導等差數列前n項和公式做鋪墊。

3.教學環節：推導公式

教學過程：首先介紹數列?an?的前n項和，用Sn來表示，即

Sn?a1?a2?a3???an。對于公差為d的等差數列，我們用兩種方法表示Sn。Sn?a1?(a1?d)?(a1?2d)???[a1?(n?1)d]Sn?an?(an?d)?(an?2d)???[an?(n?1)d]

則兩式相加得：

2Sn?(a1?an)?(a1?an)?(a1?an)???(a1?an)?n(a1?an)

???????????????????n個n(a1?an)，將等差數列的通項公2n(n?1)d。式an?a1?(n?1)d代入，得到公式Sn?na1?2 推導出等差數列前n項和的公式為Sn? 設計意圖：用倒序相加法推導得到等差數列前n項和公式，由于有前面的鋪墊讓學生更容易理解等差數列前n項和公式的推導過程，對后面的應用也有幫助。

4、教學環節：例題講解

教學過程：例1：用等差數列前n項和的公式計算1+3+5+?+99的值。

例2：a1?1,a8?6，求這個等差數列的前8項和S8以及公

差d。例3：已知數列?an?的前n項和Sn?n2?n，求這個數列 的通項公式。這個數列是等差數列嗎？如果是，它的首項與公差分別是什么？

設計意圖：鞏固等差數列前n項和公式，加深學生對該公式的印象。6．教學環節：回顧總結

教學過程：

1、倒序相加法進行求和的思想

2、復習等差數列前n項和公式Sn? Sn?na1?n(a1?an)和 2n(n?1)強調要根據條件選用適當的公式進 d，行求解。以及公式的適用范圍。7．教學環節：布置作業

七、板書設計

1、問題的提出

2、倒序相加法

3、等差數列前n項和公式

4、例題

5、回顧總結

6、布置作業

第三篇：等差數列前n項和(第一課時)教學設計

數列---教學設計

等差數列前n項和（第一課時）教學設計

江蘇省錫山高級中學

陳春芳

教學目的：

知識目標：1.掌握等差數列前n項和公式及公式的推導思想.2.靈活運用等差數列前n項和公式解決一些簡單的實際問題.能力目標：1.提高學生的推理能力.2.增強學生的應用意識.教學重點：等差數列前n項和公式的推導、理解及應用.教學難點：靈活應用等差數列前n項和公式解決一些簡單的有關問題.教學方法：啟發引導法，結合所學知識，引導學生在解決實際問題的過程中發現新知識，從而理解并掌握.教學過程： 問題情景：

古算書《張邱建算經》中卷有一道題：

今有與人錢，初一人與一錢，次一人與二錢，次一人與三錢，以次與之，轉多一錢，共有百人，問共與幾錢？ 師生共同讀題

師：題目當中我們可以得到哪些信息？要解決的問題是什么？

生1：第一人給1錢，第二人給2錢，第三人給3錢，以后每個人都比前一個人多給一錢，共有100人，問共給了多少錢？

師：很好，問題已經呈現出來了，你能用數學符號語言表示嗎？

生2：用an表示第n個人所得的錢數，則由題意得： a1?1,a2?2,a3?3,?，a100?100

只要求出1+2+3+?+100=？ 師：你能求出這個式子的值嗎？

生2：（猶豫片刻）1+100=101，2+99=101，3+98=101?50+51=101，所求的和為101×

100=5050.2師：對于這個算法，著名的數學家高斯10歲時曾很快就想出來了.高斯的算法是：首項與末項的和：1+100=101，第2項與倒數第2項的和：2+99=101，102(1?101)? 22數列---教學設計

nn?1組，n為奇數時分成組還多一項 22∴當n為偶數時，Sn?(a1?an)?(a2?an?1)???(an?an)n分奇偶性討論，n為偶數時正好分成22?1n(a1?an)2當n為奇數時，Sn?(a1?an)?(a2?an?1)???(an?1?an?1)?an?1

=

22?22?

1?(a1?an)?(a2?an?1)???(an?1?an?1)?22?2(a1?an)

2=

n(a1?an)2師：好通過分類討論我們得出了等差數列?an?的前n項和Sn公式，從所得的結果看無論n是奇數還是偶數Sn的公式一樣.那么我們是否可以避開討論n的奇偶性去推導呢？怎樣出現首末兩項的和？結合所得公式的特征思考.生5：Sn?a1?a2???an

Sn?an?an?1???a1

將上面兩式左右兩邊分別相加得2Sn?(a1?an)?(a2?an?1)???(an?a1)

=n(a1?an)∴Sn?n(a1?an)2師：此種方法簡潔明了，且避開討論n的奇偶性，我們將這種方法稱為“逆序相加法”，在以后解決數列問題是也經常運用“逆序相加法”，主要運用了等差數列下標等距性質.（有學生舉手）

生6：我用另外一種方法得出的結果不一樣

Sn?a1?a2???an?a1?d?a1?2d??a1?(n?1)d

=na1??1?2?3??(n?1)?d

=na1?n(n?1)d 2師：這個結果對否？為何會有兩個公式？它們之間有聯系嗎？

n(a1?an)n?a1?a1?(n?1)d?n(n?1)??na1?d 大家一起發現Sn?222-3

數列---教學設計

?變式1：M?mm?7n,n?N,n?100 ??分析：∵n<100,∴M中有99個元素，分別為7，7×2，7×3，?，7×99，變式2：在1到100中被7除余1的正整數共有多少個？它們的和是多少？ 分析：設m是滿足條件的數，則m=7n+1,且m<100,n?N

或m=7n-6,且m<100,n?N

?設計意圖：高中數學課程倡導自主探索、動手實踐、合作交流等學習數學的方法，這要求我們轉變教學觀念，豐富教學形式，改進學生的學習方式，加大課堂教學的研究性、開放性和自主性，在開展探究活動中培養學生的基本技能，將變式訓練與引導學生感悟反思放到同樣的高度，進而培養學生的數學能力.練習課本P118 ex 1（板演），2,3,4 小結：（1）了解等差數列?an?的前n項和公式的推導思想（逆序相加法、分組配對法）.（2）掌握等差數列前n項和的兩個公式并能靈活運用解決相關問題.（3）研究問題的方法：由特殊到一般.（4）方程思想：基本量的運算.課后作業： P118

1（2）（4），2，4，5 教學后記：

新數學課程標準中明確提出“數學是人類的一種文化，它的內容、思想、方法和語言是現代文明的重要組成部分”“要體現數學的文化價值”等，將數學史有機地融入到課堂教學中，不僅不會影響學生的學習，相反卻會激發學生熱愛數學的熱情，起到正面推動作用，提升數學教育成效.這也是貫徹德育、提倡人文精神的重要組成部分.由具體的問題情境激發學生的學習興趣.等差數列前n項和公式的推導由教師引導學生自主探索,由于數學的嚴謹性和學生認知的不完備性是一個矛盾，因此公式的發現過程是一個不斷修改、不斷完善、逐步發現的過程.引導學生積極參與結論的探索、發現、推導的過程,并弄清楚每個結論的因果關系,要適當延遲判斷,多讓學生想一想、議一議、說一說,重視思路分析的訓練．須知教師講課的最精彩之處,不是自己分析的頭頭是道,而是引導學生探求解題思路最后再引導學生歸納引出結論．通過例題的講解和練習的訓幫助學生掌握和記憶公式,例題的變式訓練加大課堂教學的研究性、開放性和自主性，在開展探究活動中培養學生的基本技能.-

第四篇：等比數列等差數列前n項和習題。（精選）

一.選擇題

1.若等比數列?an?的前n項和Sn?3n?a則a等于（）A.3B.1C.0D.?1

2.等比數列?an?的首項為1，公比為q，前n項和為S，則數列?（）

A.1S

?1?的前n項之和為n??a?

B.SC.Sq

n?1

D.1q

n?1

S

3.等比數列?an?中，S2?7，S6?91，則S4等于（）A.28B.28或?21C.?21D.49 4.已知?an?是公比為

12的等比數列，若a1?a4?a7???a97?100，則

a3?a6?a9???a99的值是（）

A.25B.50C.75D.125

二.填空題

1.等比數列?an?中，a1?a3?10，a4?a6?

則a4?，S5?。

2.等比數列?an?中，S4?2，S8?6，則a17?a18?a19?a20?。3.等比數列?an?中，a1??1，S10S5

?3132

則公比q?。

n

4.一個數列的通項為an?2?2n?1，那么它的前9項的和S9?。

三.解答題

n

1.已知等比數列?an?和等差數列?bn?，且an?2，bn?3n?2，設數列?an?、?bn?中

共同項由小到大排列組成數列?cn?。

（1）求cn的通項公式（2）求出?cn?的前2001項的和S2001 2.數列?an?滿足a1?1，an?

an?1?1（n?2）

（1）若bn?an?2，求證：?bn?為等比數列（2）求?an?的通項公式

第五篇：等差數列的前n項和

努力奮斗

等差數列前n項和

一．選擇題：

1．已知等差數列{an}中，a１＝１，d=1，則該數列前9項和S9等于（）A.55B.45C.35D.25

2．已知等差數列{an}的公差為正數，且a3·a7=－12，a4+a6=－4，則S20為（）

A．180B．－180C．90D．－90 3.等差數列{an}的通項公式是an=1-2n,其前n項和為Sn,則數列{A.-45B.-50C.-55D.-66 4．已知等差數列{an}中,a2+a8=8,則該數列前9項和S9等于()

A.18B.27C.36D.45二．填空題：

5．等差數列?an?的前n項和Sn?n2?3n．則此數列的公差d?． 6.數列｛an｝，｛bn｝滿足anbn=1, an＝n＋3n＋2，則｛bn｝的前10項之和為7．若?an?是首項為1，公差為2的等差數列，bn?=． 三．解答題：

8.設｛an｝為等差數列，Sn為｛an｝的前n項和，S7＝7，S15＝75，已知Tn為數列｛｝的前n項數，求Tn．

9．已知數列?an?是等差數列，其前n項和為Sn，a3?6,S3?12．（１）求數列?an?的通項公式；（２）求．已知數列?an?的前n項和為Sn，且滿足an?2Sn?Sn?1?0(n?2),a1??1?（1）求證：??是等差數列；（2）求?an?的表達式．

?Sn?

Snn

}的前11項和為（）

1anan?1，則數列?bn?的前n項和Tn

Sn

n

1S1

?

1S2

???

1Sn

．，