第一篇：等差數列前n項和教案

等差數列前n項和(第一課時）教案

【課題】

等差數列前n項和第一課時

【教學內容】

等差數列前n項和的公式推導和練習

【教學目的】

（1）探索等差數列的前項和公式的推導方法；

（2）掌握等差數列的前項和公式；

（3）能運用公式解決一些簡單問題

【教學方法】 啟發引導法，結合所學知識，引導學生在解決實際問題的過程中發現新知識，從而理解并掌握.【重點】

等差數列前項和公式及其應用。

【難點】

等差數列前項和公式的推導思路的獲得 【教具】

實物投影儀，多媒體軟件，電腦 【教學過程】

1.復習回顧 a1 + a2 + a3 +......+ an=sn

a1 + an=a2 + an-1 =a3 + an-2 2.情景自學

問題一： 一個堆放鉛筆的V形架的最下面一層放1 支鉛筆，往上每一層都比它下面一層 多放一支，最上面一層放 100支，這個V 形架上共放著多少支鉛筆？

思考：(1)問題轉化求什么 能用最短時間算出來嗎？

(2)閱讀課本后回答，高斯是如何快速求和的？

他抓住了問題的什么特征？

(3)如果換成1+2+3+…+200=？我們能否快速求和？，(4)根據高斯的啟示，如何計算 18+21+24+27+…+624=？

3..合作互學（小組討論，總結方法）

問題二： Sn = 1 + 2 + 3 + … + n = ?

倒序相加法

探究：能把以上問題的解法推廣到求一般等差數列的前n 項和嗎？

問題三： 已知等差數列{an }中，首項a1，公差為d，第n項為an , 如何求前n項和Sn ？

等差數列前項和公式： n(a1 + an)=2Sn

問題四： 比較以上兩個公式的結構特征，類比于問題一，你能給出它們的幾何解釋嗎？

n(a1 + a n)=2Sn

公式記憶 —— 類比梯形面積公式記憶

n（a1 + a n)=2S 問題五： 兩個求和公式有何異同點？能夠解決什么問題？

展示激學

應用公式

例1.等差數列－10，－6，－2，2的前多少項的和為-16 例2.已知一個等差數列的前10項和是310,前20項的和是1220,由這些條件能確定這個等差數列的前n項和的公式嗎?

【思考問題】如果一個數列{an }的前n項和Sn = pn2 + qn + r，(其中p,q,r為常數，且p ≠ 0)，那么這個數列 一定是等差數列嗎？若是，說明理由，若不是，說明Sn必須滿足的條件。

【教學后記】新數學課程標準中明確提出“數學是人類的一種文化，它的內容、思想、方法和語言 是現代文明的重要組成部分” “要體現數學的文化價值”等，將數學史有機地融入到課堂教學中，不僅不會影響學生的學習，相反卻會激發學生熱愛數學的熱情，起到正面推動作用，提升數學教育成效.這也是貫徹德育、提倡人文精神的重要組成部分.由具體的問題情境激發學生的學習興趣.等差數列前 n 項和公式的推導由教師引導學生自主探索, 由于數學的嚴謹性和學生認知的不完備性是一個矛盾，因此公式的發現過程是一個不斷修改、不斷完善、逐步發現的過程.引導學生積極參與結論的探索、發現、推導的過程, 并弄清楚每個結論的因果關系,要適當延遲判斷,多讓學生想一想、議一議、說一說,重視思路分析的訓練．須知教師講課的最精彩之處,不是自己分析的頭頭是道,而是引導學生探求解題思路最后再引導學生歸納引出結論．通過例題的講解和練習的訓幫助學生掌握 和記憶公式,例題的變式訓練加大課堂教學的研究性、開放性和自主性，在開展探究活 動中培養學生的基本技能.

第二篇：等差數列前n項和教案

等差數列前n項和教案

一、教材分析

1、教材內容：等差數列前n項求和過程以及等差數列前n項和公式。

2.教材所處的地位和作用：本節課的教學內容是等差數列前n項和，與前面學過

的等差數列的定義、性質等內容有著密切的聯系，又能為后面等比數列前n

項和以及數列求和做鋪墊。

3、教學目標

（1）知識與技能：掌握等差數列前n項和公式，理解公式的推導方法。同時能

熟練、靈活地應用等差數列前n項和公式解決問題。

（2）過程與方法：經歷公式的推導過程，體驗倒序相加進行求和的過程，學會

觀察、歸納、反思。體驗從特殊到一般的研究方法。

（3）情感、態度、價值觀：通過具體、生動的現實問題的引入，激發學生探

究求和方法的興趣，樹立學生求知意識，產生熱愛數學的情感，逐步養

成科學、嚴謹的學習態度，提高一般公式推理的能力。

4、重點與難點

重點：等差數列前n項和公式的掌握與應用。

難點：等差數列前n項和公式的推導以及其中蘊含的數學思想的掌握。

二、學情分析

學生前幾節已經學過一些數列的概念及簡單表示法，還學了等差數列的定

義以及性質，對等差數列已經有了一定程度的認識。這些知識也為這節的等差數列前n項和公式做準備，讓學生能更容易理解等差數列前n項和公式的推導過程。同時也為后面的等比數列前n項和公式做鋪墊。但由于數列形式多樣，因此僅僅掌握等差數列前n項和公式還是不夠的，更應該學會靈活應用。

三、教學方法：啟發引導，探索發現

四、教學過程

1．教學環節：創設情境

教學過程：200多年前，高斯的算術老師提出了下面的問題： 1?2?3???100?？。據說，當其他同學忙于把100個數逐項相加時，10歲的高斯迅速得出5050這個答案。讓同學思考并討論高斯是怎么算的。

設計意圖：由著名的德國數學家高斯的例子引發同學們的思考，為下面引入倒序相加法求和做準備。2．教學環節：介紹倒序相加法

教學過程：請同學將自己的計算方法在課上發表，老師接著介紹倒序相加

法。記S?1?2?3???10098???1S?100?99?，從而發現每一列相加都得101。

則2S?(1?100)?(2?99)?(3?98)???(100?1)?101*100

S?101*1002?5050

類似地，用同樣的方法計算1,2,3，?，n，?的前n項和，可以得到 1?2?3???n?(n?1)n。2 設計意圖：介紹倒序相加法，并用這個方法計算1,2,3，?，n，?的前n 項和，從而為下面推導等差數列前n項和公式做鋪墊。

3.教學環節：推導公式

教學過程：首先介紹數列?an?的前n項和，用Sn來表示，即

Sn?a1?a2?a3???an。對于公差為d的等差數列，我們用兩種方法表示Sn。Sn?a1?(a1?d)?(a1?2d)???[a1?(n?1)d]Sn?an?(an?d)?(an?2d)???[an?(n?1)d]

則兩式相加得：

2Sn?(a1?an)?(a1?an)?(a1?an)???(a1?an)?n(a1?an)

???????????????????n個n(a1?an)，將等差數列的通項公2n(n?1)d。式an?a1?(n?1)d代入，得到公式Sn?na1?2 推導出等差數列前n項和的公式為Sn? 設計意圖：用倒序相加法推導得到等差數列前n項和公式，由于有前面的鋪墊讓學生更容易理解等差數列前n項和公式的推導過程，對后面的應用也有幫助。

4、教學環節：例題講解

教學過程：例1：用等差數列前n項和的公式計算1+3+5+?+99的值。

例2：a1?1,a8?6，求這個等差數列的前8項和S8以及公

差d。例3：已知數列?an?的前n項和Sn?n2?n，求這個數列 的通項公式。這個數列是等差數列嗎？如果是，它的首項與公差分別是什么？

設計意圖：鞏固等差數列前n項和公式，加深學生對該公式的印象。6．教學環節：回顧總結

教學過程：

1、倒序相加法進行求和的思想

2、復習等差數列前n項和公式Sn? Sn?na1?n(a1?an)和 2n(n?1)強調要根據條件選用適當的公式進 d，行求解。以及公式的適用范圍。7．教學環節：布置作業

七、板書設計

1、問題的提出

2、倒序相加法

3、等差數列前n項和公式

4、例題

5、回顧總結

6、布置作業

第三篇：等差數列前n項和教案

等差數列的前n項和教案

一、教學目標：

知識與技能目標：

掌握等差數列前n項和公式，能熟練應用等差數列前n項和公式。過程與方法目標：

經歷公式的推導過程，體驗從特殊到一般的研究方法，了解倒序相加求和法的原理。

情感、態度與價值觀目標：

獲得發現的成就感，逐步養成科學嚴謹的學習態度，提高代數推理的能力。

二、教學重難點：

教學重點: 探索并掌握等差數列前n項和公式，學會運用公式。教學難點：等差數列前n項和公式推導思路的獲得。

三、教學過程：

（一）、創設情景，提出問題

印度著名景點--泰姬陵，傳說陵寢中有一個三角形圖案，以相同大小的圓寶石鑲飾而成，共有100層。你知道這個圖案一共花了多少顆寶石嗎？從而提出問題怎樣快速地計算1+2+3+…+100=？（學生思考），著名的數學家高斯十歲時就用簡便的方法計算出1+2+3+…+100=5050，介紹高斯的算法。

（二）、教授新課：

數學的方法并不是單一的，還有其他的方法計算1+2+3+…+100嗎？（學生思考）

①老師介紹倒序相加求和法，記S=1+2+3+…+100 S=100+99+98+…+1 可發現上、下這兩個等式對應項的和均是101，所以 2S=（1+100）+（2+99）+（3+98）+ … +（100+1）2S=101?100=10100 S=10100=5050 2②如果要計算1,2,3,…,(n-1),n這n個數的和呢？（學生獨立思考），老師引導，類似上面的算法，可得S=

?1?n??n2

③1,2,3，…,(n-1),n這是一個以1為公差的等差數列，它的和等于S=?1?n??n2，對于公差為d的等差數列，它們的和也是如此嗎？

首先，一般地，我們稱a1?a2?a3???an 為數列?an?的前n 項和，用Sn表示，即Sn?a1?a2?a3???an

類似地：

Sn?a1?a2?a3???an①

··?a1② Sn?an?an?1?an?2?· ①+②： 2Sn??a1?an???a2?an?1???a3?an?2?????an?a1?

∵?a1?an???a2?an?1???a3?an?2?????an?a1?

∴2Sn?n(a1?an)由此得：Sn?n(a1?an)公式1 2由等差數列的通項公式an?a1??n?1?d有，Sn?na1?

（三）、例題講解：

n?n?1?2d 公式2（1）、利用上述公式求1+2+3+…+100=?（學生獨立完成）

（2）、例：等差數列?an?中，已知： a1??4,a8??18,n?8,求前n項和Sn及公差d.（教師引導，師生共同完成）

選用公式：根據已知條件選用適當的公式 Sn?變用公式：要求公差d，需將公式2Sn?na1?n(a1?an)求出 Sn 2n?n?1?2d變形運用，求d 知三求二 等差數列的五個基本量知三可求另外兩個

（四）、課堂小結：

1、公式的推導方法:倒序求和

2、等差數列的前n項和公式

Sn?n(a1?an)2Sn?na1?n?n?1?2d

3、公式的應用。

（五）、作業

課本45頁 練習第1題 46頁A組第2題

第四篇：等差數列的前n項和教案

等差數列的前n項和

（一）教學目標

1．知識與技能:通過實例，理解等差數列的概念；探索并掌握等差數列的通項公式；能在具體的問題情境中，發現數列的等差關系并能用有關知識解決相應的問題；體會等差數列與一次函數的關系。

2.過程與方法:通過對歷史有名的高斯求和的介紹，引導學生發現等差數列的第k項與倒數第k項的和等于首項與末項的和這個規律；由學生建立等差數列模型用相關知識解決一些簡單的問題，進行等差數列通項公式應用的實踐操作并在操作過程中，通過類比函數概念、性質、表達式得到對等差數列相應問題的研究。

3．情態與價值：培養學生利用學過的知識解決與現實有關的問題的能力。

（二）教學重、難點

重點：探索并掌握等差數列的前n項和公式；學會用公式解決一些實際問題，體會等差數列的前n項和與二次函數之間的聯系。

難點：等差數列前n項和公式推導思路的獲得，靈活應用等差數列前n項公式解決一些簡單的有關問題

（三）學法與教學用具

學法：講練結合 教學用具：投影儀

（四）教學設想

[創設情景]

等差數列在現實生活中比較常見，因此等差數列求和就成為我們在實際生活中經常遇到的問題。在200多年前，歷史上最偉大的數學家之一，被譽為“數學王子”的高斯就曾經上演了迅速求出等差數列這么一出好戲。那時，高斯的數學老師提出了下面的問題：1+2+3+??+100=？當時，當其他同學忙于把100個數逐項相加時，10歲的高斯卻用下面的方法迅速算出了正確答案：（1+100）+（2+99）+??+（50+51）=101×50=5050 高斯的算法實際上解決了求等差數列1，2，3，?，n，?前100項的和的問題。

今天我們就來學習如何去求等差數列的前n項的和。

[探索研究]

我們先來看看人們由高斯求前100個正整數的方法得到了哪些啟發。人們從高斯那里受到啟發，于是用下面的這個方法計算1，2，3，?，n，?的前n項的和：

由 1 + 2 + ? + n-1 + n n + n-1 + ? + 2 + 1（n+1）+（n+1）+ ? +（n+1）+（n+1）

可知

上面這種加法叫“倒序相加法”

請同學們觀察思考一下：高斯的算法妙在哪里？

高斯的算法很巧妙，他發現了整個數列的第k項與倒數第k項的和與首項與尾項的和是相等的這個規律并且把這個規律用于求和中。這種方法是可以推廣到求一般等差數列的前n項和的。

[等差數列求和公式的教學]

一般地，稱

1、思考：受高斯的啟示，我們這里可以用什么方法去求和呢？

思考后知道，也可以用“倒序相加法”進行求和。我們用兩種方法表示

：

為數列的前n項的和，用

表示，即 ①

②

由①+②，得

由此得到等差數列的前n項和的公式

對于這個公式，我們知道：只要知道等差數列首項、尾項和項數就可以求等差數列前n項和了。

2、除此之外，等差數列還有其他方法（讀基礎教好學生要介紹）

當然，對于等差數列求和公式的推導，也可以有其他的推導途徑。例如：

=

=

=

=

這兩個公式是可以相互轉化的。把代入中，就可以得到 引導學生思考這兩個公式的結構特征得到：第一個公式反映了等差數列的任意的第k項與倒數第k項的和等于首項與末項的和這個內在性質。第二個公式反映了等差數列的前n項和與它的首項、公差之間的關系，而且是關于n的“二次函數”，可以與二次函數進行比較。這兩個公式的共同點都是知道點是第一個公式還需知道條件決定選用哪個公式。

[公式運用]

（課本52頁練習1、2）

1、根據下列各題中的條件，求相應的等差數列的前n項和S.和n，不同，而第二個公式是要知道d，解題時還需要根據已知⑴

⑵

[例題分析]

例1、2000年11月14日教育部下發了《關于在中小學實施“校校通”工程的統治》.某市據此提出了實施“校校通”工程的總目標：從2001年起用10年時間，在全市中小學建成不同標準的校園網.據測算，2001年該市用于“校校通”工程的經費為500萬元.為了保證工程的順利實施，計劃每年投入的資金都比上一年增加50萬元.那么從2001年起的未來10年內，該市在“校校通”工程中的總投入是多少？

⑴、先閱讀題目；

⑵、引導學生提取有用的信息，構件等差數列模型；

⑶、寫這個等差數列的首項和公差，并根據首項和公差選擇前n項和公式進行求解。

解：根據題意，從2001-2010年，該市每年投入“校校通”工程的經費都比上一年增加50萬元.所以，可以建立一個等差數列投入的資金，其中，表示從2001年起各年，d=50.那么，到2010年（n=10），投入的資金總額為

（萬元）

答：從2001~2010年，該市在“校校通”工程中的總投入是7250萬元.例2．已知一個等差數列

前10項的和是310，前20項的和是1220.由這些條件能確定這個等差數列的前n項和的公式嗎？

引導學生分析得到：等差數列前n項和公式就是一個關于的方程。若要確定其前n項求和公式，則要確定關系式，從而求得。

分析：將已知條件代入等差數列前n項和的公式后，可得到兩個關于的二元一次方程，由此可以求得

與d，從而得到所求前n項和的公式.與d的 解：由題意知，將它們代入公式

得到

解這個關于與d的方程組，得到=4，d=6，所以

另解：

得

所以

②

②-①，得，所以

代入①得：

所以有

例題評述：此例題目的是建立等差數列前n項和與解方程之間的聯系.已知幾個量，通過解方程，得出其余的未知量.例3 已知數列的前n項為，求這個數列的通項公式.這個數列是等差數列嗎？如果是，它的首項與公差分別是什么？

解：根據

＞

與 可知，當n＞1時，①

當n=1時，也滿足①式.所以數列的通項公式為.由此可知，數列是一個首項為，公差為2的等差數列。

這個例題還給出了等差數列通項公式的一個求法.已知前n項和出通項，可求

（n＞1）

用這種數列的不一定滿足由足已求出的.來確定的方法對于任何數列都是可行的，而且還要注意求出的通項表達式，所以最后要驗證首項

是否滿

思考：結合例3，思考課本51頁“探究”：一般地，如果一個數列前n項和為的其中p、q、r為常數，且p≠0，那么這個數列一定是等差數列嗎？如果是，它的首項與公差分別是什么？ 引導分析得出：觀察等差數列兩個前n項和公式，和，公式本身就不含常數項。

所以得到：如果一個數列前n項和公式是常數項為0，且關于n的二次型函數，則這個數列一定是等差數列.例4 已知等差數列的值.的前n項和為，求使得最大的序號n 分析：等差數列的前n項和公式可以寫成，所以可以看成函數當x=n時的函數值.另一方面，容易知道關于n的圖象是一條拋物線上的一些點.因此，我們可以利用二次函數來求n的值.解：由題意知，等差數列的公差為，所以

=

于是，當n取與最接近的整數即7或8時，取最大值.[隨堂練習]課本52頁“練習”第1、2、3、4題

[補充練習]

1、已知數列差數列，設

生：分析題意，解決問題.解：設首項是，公差為d

是等差數列，Sn是其前n項和，且S6，S12-S6，S18-S12成等

成等差數列嗎？

則：

成等差數列.同理可得

2、求集合的元素個數，并求這些元素的和。

解由m=100，得

滿足此不等式的正整數n共有14個，所以集合m中的元素共有14個，從小到大可列為：

7，7×2，7×3，7×4，?7×14

即：7，14，21，28，?98

這個數列是等差數列，記為

其中

解由m=100，得

滿足此不等式的正整數n共有14個，所以集合m中的元素共有14個，從小到大可列為：

7，7×2，7×3，7×4，?7×14 即：7，14，21，28，?98

這個數列是等差數列，記為

答：集合m中共有14個元素，它們和等于735

其中

[課堂小結] 等差數列 的前n項和的公式和

也成等差數列.（五）評價設計

課本52頁A組第1、3、6

思考：課本53頁B組第4題

第五篇：等差數列的前n項和教案

等差數列的前n項和

一：教材分析

本節課內容位于高中人教版必修五第二章第三節。它是在學習了等差數列的基礎上來研究和討論的，是繼等差數列之后的又一重要的概念。主要利用倒序相加的方法來求等差數列的前n項和。本節內容與函數也有著密切的聯系。通過對公式的推導讓學生進一步了解與掌握從特殊到一般的研究問題的方法，這對學生的觀察、分析、歸納、概括問題的能力有著重要的作用。而且本節的公式推導為后面的等比數列前n項求和奠定了基礎。通過上一節的內容不難知道等差數列在日常生活中比較常見，學生學習起來也就比較得心應手。

二：學情分析

學生通過上一節課的學習已經了解的等差數列的定義，基本掌握了等差數列的通項公式及其基本性質，能簡單的對其運用和計算。對高斯算法也有一定的了解，他們已具備一定的抽象邏輯思維能力，能在老師的引導下獨立的完成一些問題。

三：教學重、難點

重點：等差數列前n項和公式的推導

難點：等差數列前n項和公式推導思路的獲得以及滲透倒序相加的方法。四：教學目標

知識與過程：能說出并寫出等差數列前n項和的公式，掌握等差數列前n項和公式的推導和運用。

技能與方法：從公式證明的推導過程體會從特殊到一般的研究方法，學會觀察、歸納、總結，培養學生靈活運用公式的能力。

情感態度與價值觀：通過生動具體的現實問題，激發學生的好奇心及求知欲，增強學生喜歡并熱愛數學的情感。

五：教法

老師不僅是知識的傳授者，而且也是組織者、引導者與合作者，所以我采用引導發現法和講授法，通過實際生活中的具體例子創設情境，然后建立模型并對其探究。

六：學法

引導學生自主探索，觀察分析與歸納概括，創造機會讓學生合作、探究、交流。在教學中，讓學生在問題情境中，經歷知識的形成和發展，讓學生在觀察、操作、歸納、思考、探索、交流、反思參與的活動中學習，認識和理解數學知識，學會學習，發展能力。

七：教學過程

創設情境，問題引入

在一個建筑工地上堆放這樣一

堆大小一樣的鋼管，共123層，第1層有一根鋼管，第2層有2根鋼管，…，第123層有123，求這堆鋼管共有多少？若在旁邊放上同樣多的鋼管，又該怎么計算呢？

mmn'n

nm'

通過分析對比，并不是所有的等差數列利用首尾配對都剛好合適的。經過同學們的觀察比較發現，若n為偶數時兩兩剛好完全配對，若n為奇數時不能完全配對。

通過觀察引導學生發現利用倒敘相加法計算求此等差數列前123項的和。S123= 2 + 3 + … + 124

S123=124+ 123 + …+

S123=123(2?124)兩式相加得

高斯的算法蘊涵著求等差數列前n項和一般的規律性。教學時，應給學生提供充裕的時間和空間，讓學生自己去觀察、探索發現這種數列的內在規律。學生對高斯的算法是熟悉的，知道采用首尾配對的方法來求和，但估計學生對這種方法的認識可能處于記憶階段，為了促進學生對這種算法的進一步理解，設計題時應由易到難的． 引導發現，公式探究

問題1： 1，2,3，…, n,… 的前n項和為多少？

學生分組探究，老師收集學生得出的不同方法并由學生講解，盡可能地展示分類討論的倒序相加法。

+ 2 + … + n n +（n-1）+ … + 1 ___________________________________(n+1)+(n+1)+ … +(n+1)可知 1+2++3…+n=n(n+1)/2 問題2：設等差數列{an}的首項為a1，公差為d,求這個等差數列的前n項和 ,則

Sn?a1?a2???an?1?an

由高斯算法的啟示，對于公差為d的等差數列，我們可以用以下式子表示：

推導: Sn?a1?a2??an?1?an

Sn?an?an?1???a2?a1

相加得：2Sn?n(a1?an)

n Sn?(a1?an)2n公式一：Sn?(a1?an)

2由an?a1?(n?1)d

n得Sn?[a1?a1?(n?1)d]

2n所以Sn?(a1?an)

2n公式二：Sn?(a1?an)

2我們將這種方法稱為倒序相加法。

類比記憶，例題練習

問題3：能否給求和公式一個幾何解釋呢？

（提示：與梯形聯系起來）

學生通過作圖并建立一一對應關系來解釋

nan?(a1?an)得a1為梯形的上底，an為梯形的下底，n為梯形的高.2同理比較Sn?na1?n((n?1)d 2 例題：根據下列條件，求相應的等差數列前n項的和（1）a1?100,d=-2,n=50;（2）a??4，a8??18，n=8;例題：

1:已知一個等差數列{an}前10項的和是310，前20項的和是1220，由這些條件能確定這個等差數列的前n項和嗎？ 練習

12: 已知數列{an}的前n項和為Sn?n?n，求這個數列是等差數

22列嗎？如果是，它的首項與公差分別是什么？

3:已知等差數列5,4，3，…的前n項和為sn，求使得n最大

2747s的序號n的值。

知識梳理，歸納總結 1：體會倒序相加的算法.2：掌握等差數列的兩個求和公式，領會方程（組）思 想。3：將等差數列前n項和與梯形面積聯系記憶。