第一篇：等差數列教學設計及教案

《等差數列》教學設計

教材分析

1.教學內容：

本節課是《普通高中課程標準實驗教科書?數學5》（人教A版）第二章《數列》的第二節內容，即《等差數列》第一課時。研究等差數列的定義和通項公式的推導，借助生活中豐富的典型實例，讓學生通過分析、推理、歸納等活動過程，從中了解和體驗等差數列的定義和通項公式。

2.教學地位：

本節是第二章的基礎，為以后學習等差數列求和、等比數列奠定基礎，是本章的重點內容，也是高考重點考察的內容之一，它有著廣泛的實際應用，而且起著承前啟后的作用。等差數列是學生探究特殊數列的開始，它對后續內容的學習，無論在知識上，還是在方法上都具有積極的意義。

3.教學重點難點：

重點： ①理解等差數列的概念。

②探索并掌握等差數列的通項公式的推導過程及應用。

難點： 理解等差數列“等差”的特點及通項公式的含義，概括通項公式推導過程中體現出的數學思想方法。學情分析

我所教學的學生是我校高二（9）班、（10）班的學生，經過一年的學習，已具有一定的理性分析能力和概括能力。且對數列的知識有了初步的接觸和認識，對數學公式的運用已具備一定的技能，已經熟悉由觀察到抽象的數學活動過程。他們的思維正從經驗性的邏輯思維向抽象思維發展。但也有一部分學生的基礎較弱，所以我授課時注重從具體的生活實例出發，注重引導、啟發和探究以符合這類學生的心理發展特點，從而促進思維能力的進一步發展。教法和學法分析

1．教法

⑴誘導思維法：這種方法有利于學生對知識進行主動建構；有利于突出重點，突破難點；有利于調動學生的主動性和積極性，發揮其創造性。

⑵分組討論法：有利于學生進行交流，及時發現問題，解決問題，調動學生的積極性。

⑶講練結合法：可以及時鞏固所學內容，抓住重點，突破難點。

2．學法

引導學生首先從三個現實問題（課本頁碼問題、月均等額還款問題、操場跑道問題）概括出特點并抽象出等差數列的概念；接著就等差數列概念的特點，推導出等差數列的通項公式；引導學生多角度、多層面認識事物，學會探究。在本節的備課和教學過程中，鼓勵學生提出自己的見解，學會提出問題、解決問題，通過恰當的教學方式讓學生學會自我調適、自我選擇。教學目標

通過本節課的學習使學生能理解并掌握等差數列的概念，能用定義判斷一個數列是否為等差數列，引導學生了解等差數列的通項公式的推導過程及思想，會求等差數列的公差及通項公式。能在解題中靈活應用，初步引入“數學建模”的思想方法并能運用；并在此過程中培養學生理解等差數列是一種函數模型。

等差數列概念的理解及由此得到的“性質”的方法。觀察、分析、歸納、推理的能力，在領會函數與數列關系的前提下，把研究函數的方法遷移來研究數列，培養學生的知識、方法遷移能力；通過階梯性練習，提高學生分析問題和解決問題的能力。

在解決問題的過程中培養學生主動探索、勇于發現的求知精神；使學生認識事物的變化形態，養成細心觀察、認真分析、善于總結的良好思維習慣。并通過一定的實例激發同學們的民族自豪感和愛國熱情。

教學媒體和教學技術的選用

通過多媒體課件，使學生獲得感性認知的同時，為掌握理性認知創造條件，這樣做，可以使學生帶著興趣學習，注意力也容易集中，符合教學論中的直觀性原則和可接受性原則。本節課打破傳統的一言堂的格局，代之以人為本、民主、開放和建立在信息網絡平臺上的現代教學格局。

教學過程

導：

1896年，雅典舉行第一屆現代奧運會，到2008年的北京奧運會已經是第29屆奧運會。

觀察數據1896，1900，1904，…，2008，2012，（）你能預測出第31屆奧運會的時間嗎？ 思：

看下面幾個例子：

（1）我們課本的頁碼數從小到大依次為：

1, 2，3, 4，……

（2）某人貸款買房，需要月均等額還款。他每月還款的錢數（單位：元）分別為：

800，800, 800, 800，……

（3）我校的操場跑道，彎道處的圓弧半徑依次相差1.2米，那么這些圓弧半徑可以表示為：

a , a +1.2 , a +2.4 , a+3.6 ,……（a＞0）請同學們思考一下，這幾個數列有何共同特點呢？ 以上幾組數據有何共同特點？ 定義：

如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項 的差都等于同一個常數，那么這個數列就叫做等差數列.這個常數叫做等差數列的公差，公差通常用 d 表示.a n?an?1?d(n?2)或 an?1?an?d(n?1)

注：1.從第二項起。

2.相鄰兩項，后項減前項。3.差等于同一個常數。

議：

判斷下列各組數列中哪些是等差數列，哪些不是？如果是，寫出首項a1和公差d, 如果不是，說明理由。

（1）1，3，5，7，…（2）9，6，3，0，-3…（3）-8，-6，-4，-2，…（4）3，3，3，3，…

1111(5)1，，,2345（6）15，12，10，8，…

展：

通 項 公 式 的 推 導1

設等差數列{an}的首項是a1,公差是d,則

a2=a1+d, a3=a2+d =(a1+d)+ d = a1+ 2d a4=a3+d=（a1+2d）+d=a1+3d an=a1+(n-1)d

所以等差數列的通項公式是：

an=a1+(n-1)d（n∈N*）

通 項 公 式 的 推 導2

a2-a1=d, a3-a2=d, a4-a3=d，…

an-an-1=d 以上共(ｎ-1)項

(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+…+(an-an-1)=(n-1)d ∴an-a1=(n-1)d 即an=a1+(n-1)d 評

（1）求等差數列8，5，2，…的第20項；

（2）判斷-401是不是等差數列 –5,-9 ,-13…的項?如果是，是第幾項，如果不是，說明理由。

分析：（1）由給出的等差數列前三項，先找到首項d,寫出通項公式，就可以求出第20項a20.（2）本題同樣需要求出通項，然后看通項等于-401時，有沒有正整數解就可以了。

解：（1）∵a1=8,d=5-8=-3, n=20

a,求出公差

1∴an=a1+(n-1)d=8+(n-1)×（-3）=-3n+11 ∴a20=11-3×20=-49（2）由題意得： a1=-5,d=-9-(-5)=-4 ∴這個數列的通項公式是：an =-5+(n-1)×(-4)=-4n-1 令-401=-4n-1,得 n=100 ∴-401是這個數列的第100項。檢：

（1）求等差數列3,7,11…的第4項與第10項；

（2）判斷100是不是等差數列 2，9，16，…的項？如果是，是第幾項？如果不是，說明理由。檢：

在等差數列{an}中，已知 a5=10,a12=31,求首項a1與公差d ?a5?a1?4d?10?a12?a1?11d?31?解：由題意：

?a1??2?d?3?解之得：

∴這個數列的首項a1是-2，公差d =3.練習三

已知等差數列{an}中，a4=10,a7=19,求a1和d.?a1?3d?10?a?6d?19解：依題意得：?1

?a1?1?d?3?解之得：

∴這個數列的首項是1，公差是3。想一想

? 已知數列中任意兩項，可求出首項和公差，主要是聯立二元一次方程組。這種題型有簡便方法嗎？ ? 請同學們思考并做以下練習。

練：

1、已知等差數列{an}中，a3=9,a9=3, 求公差ｄ和a12。

2、已知等差數列{an}中，若am、公差d 是常數，試求出an的值。課時小結

1.等差數列的定義： an+1-an=d(n≥1且n∈N*)2.等差數列的通項公式

an=a1+(n-1)d(n≥1)3.重要關系式 an=am+(n-m)d 練：

必做題：課本習題第1、4題

選做題：已知等差數列{an}的首項a1=-24，從第10項開始為正數，求公差d的取值范圍。

（目的：通過分層作業，提高同學們的求知欲和滿足不同層次的學生需求）

第二篇：《等差數列》教學設計

等差數列第一課時教學設計片斷

重慶市教育科學研究院 張曉斌

教學過程

1.創設情境，直奔課題

①德國數學家高斯八歲時計算1+2+3+?+100＝？時，所用到的數列：1，2，3，4，?，100。②姚明剛進NBA一周里每天訓練發球的個數依次是：6000，6500，7000，7500，8000，8500，9000。．③匡威運動女鞋的尺碼（鞋底長，單位是cm）：22,23,23,24,24,25,25,26。

引導學生觀察：上面的數列①、②、③有什么共同特點？

學生容易發現這些數列有一個共同特點：從第二項起，每一項與前一項的差都等于同一個常數，我們把具有這一特點的數列叫做等差數列（此時寫出課題）。

2.闡述定義，理解內涵

在前面的基礎上得出等差數列的定義：

如果一個數列從第二項起，每一項與前一項的差都等于同一個常數，那么這個數列就叫等差數列。這個常數叫做等差數列的公差，通常用字母d來表示。

你覺得在理解等差數列的定義時應注意什么？啟發學生回答： ①“從第二項起”（這是為了保證“每一項”都有“前一項”）；

②每一項與它的前一項的差必須是同一個常數（因為“同一個常數”體現了等差數列的基本特征）； 然后在理解概念的基礎上，引導學生將等差數列的文字語言轉化為數學語言，歸納出一串數學表達式，即a2?a1?d,a3?a2?d,???,an?an?1?d,an?1?an?d,???，這其中最能刻劃等差數列的本質特征的是哪一個等式？

。an?1?an?d（d是常數，n?N*）或an?an?1?d（d是常數，n?N且n?2）通過下面三個問題從正反兩方面加深對概念的理解：

① 9，8，7，6，5，4，??是等差數列嗎？（遞減等差數列）②常數列3，3，?，3，?是等差數列嗎？（常數列）

③數列1，4，7，11，15，19是等差數列嗎？（非等差數列）

由此三個問題和前面的問題讓學生發現：公差d可以是正數、負數，也可以是0；當d?0時，等差數列是遞增數列；當d?0時，等差數列是遞減數列；當d?0時，等差數列是常數列.④若數列{an}滿足：an?1?an?d（d是常數，n?N且n?2），則數列{an}是等差數列嗎？ 3.探究交流，發現公式

如果等差數列{an}首項是a1，公差是d，那么這個等差數列a2,a3,a4如何表示？an呢？ 根據等差數列的定義，不難由學生完成：

因為a2?a1?d，a3?a2?d，a4?a3?d，??。所以a2?a1?d，12121212a3?a2?d?(a1?d)?d?a1?2d，a4?a3?d?(a1?2d)?d?a1?3d，??????????????????????? 由此完成an?a1?(學生回答）

當n?1時，對(＊)式兩邊均為a1，即等式也成立，說明(＊)式對n?N都成立，因此等差數列的通項公式就是：an?a1?(n?1)d，n?N。

上面求通項公式的過程是迭代的過程，所用的方法叫不完全歸納法，這種導出公式的方法不夠嚴密，因此我們有必要尋求更為嚴密的推導方法。

根據等差數列的定義，引導學生探究發現：

**)d填空，得an?a1?(n?1)d??(＊)，這是等差數列的通項公式嗎？（讓a1?a1 a2?a1?d a3?a2?d

?????

an?an?1?d

將以上n個式子相加得an?a1?(n?1)d。這種求通項公式的方法叫疊加法，這是一種嚴密的科學證明方法。

然后再引導學生對此公式進行理解：通項公式含有a1,d,n,an這4個量，已知三個量，就可以求出第4個量，即“知三可求一”，這樣通項公式就是方程，從中讓學生體會方程思想的運用。

4.運用新知，解決問題

例１已知等差數列18，15，12，9，??。

（1）請寫出a20,an；

（2）－279是否是這個數列中的項，如果是，是第幾項？

說明：要判斷-279是不是數列的項，關鍵是求出通項公式，并判斷是否存在正整數n，使得an??279成立，實質上是要求方程an??279的正整數解。

例2已知等差數列{an}中，a5?10,a15?25，求a25的值。解略。（a25?40）

解方程組比較麻煩，可否避免？讓學生發現：a15?a5?10d?(15?5)d。這是一種巧合，還是對任意的兩項差都滿足？提出

探究活動一：請同學們思考：在公差為d的等差數列{an}中，an與am有何關系？ 由an?a1?(n?1)d和am?a1?(m?1)d易得am?an?(m?n)d（證實并非巧合），從而也有d? am?an。

m?n2

讓學生比較an?a1?(n?1)d與am?an?(m?n)d發現，前式是后式的特例，后式是前式的推?an?(m?n)d叫做等差數列的變通式。讓學生用變通式再解例2。廣。為此我們不妨把am探究活動二：通過例2發現：5，15，25成等差，a5,a15,a25 也成等差；在等差數列{an}中，k1,k2,k3?成等差數列，那么 ak1,ak2,ak3?成等差數列嗎？（讓學生課后思考）

探究活動三：

由等差數列通項公式得an?a1?(n?1)d?dn?(a1?d)（d,b是常數），當d?0的時候，通項公式是關于n的一次式，一次項的系數是公差。等差數列通項可以寫成an?pn?q形式；反之，如果數列{an}的通項公式為an?pn?q（其中p、q是常數），那么這個數列是等差數列嗎？

判定數列{an}是不是等差數列，也就是要看an?1?an的差是不是與n無關的常數。這由等差數列的定義可以完成證明。

由此得出：數列{an}為等差數列的充要條件是其通項an?pn?q(p,q是常數)。探究活動四：

（1）在直角坐標系中，畫出an??3n?21(n?N*)的圖象。這個圖象有什么特點？（無窮多個孤立點。）

（2）在同一坐標系下，畫出函數y??3x?21的圖象。你發現了什么？（an??3n?21的圖象是直線y??3x?21上均勻排開的無窮多個孤立點。）（3）等差數列an?pn?q與函數y?px?q圖象間有什么關系？（an?pn?q的圖象是直線y?px?q 上均勻排開的無窮多個孤立點。）5.歸納小結，提煉精華 一個定義： an?1?an?d(d是常數）。

兩個公式：an?a1?(n?1)d，an?am?(n?m)d。

三種思想：特殊與一般思想、方程與函數的思想、數形結合的思想。要追問在哪里體現了這些思想方法？

三種方法：不完全歸納法、迭代法、疊加法。6.課后作業，運用鞏固

必做題：課本P114習題3.2第1，2，6 題。

備選題：1.在等差數列{an}中，已知a1??2，a10是第一個大于1的項，求公差d的取值范圍。2.我國古代算書《孫子算經》卷中第25題記有：“今有五等諸侯，共分橘子六十顆。人分加三顆。問：五人各得幾何？”

3.選做題：在等差數列{an}中，已知 a7?16，求下列各式的值：（1）a6?a8；（2）a3?a11。

第三篇：等差數列教學設計

等差數列教學設計

教學目標

1． 理解等差數列的概念，掌握等差數列的通項公式，并能運用通項公式解決簡單的問題

2． 通過等差數列概念的歸納概括，培養學生的觀察、分析資料的能力，積極思維，追求新知的創新意識；

3．通過對等差數列的研究，使學生明確等差數列與一般數列的內在聯系，從而滲透特殊與一般的辯證唯物主義觀點.教學重點

是等差數列的定義和對通項公式的認識與應用 教學難點

等差數列的通項公式與遞推公式的結合與應用 教學過程 回顧練習：

觀察該數列的性質。【從第二項開始，每一項減去前一項的差都是3】

觀察與思考 下面的幾個數列性質并給出結論：（1）38，40，42，44，46，48，50，52，54（2）7500，8000，8500，9000，9500，10000 定義：一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，那麼這個數列就叫做等差數列。這個常數叫等差數列的公差，通常用字母d表示。

2，5，7，9，11，13，15，17 2，2，2，2，2，2，2，2，2 探究：

數列滿足 判斷此數列是否為等差數列。等差數列通項公式

推倒方法：

一、不完全歸納法。

二、迭代法。

三、疊加法 例：

1.求等差數列8，5，2，…的第20項。

2.-401是不是等差數列-5，-9，-13，…的項？如果是，是第幾項？

3.請在12，24中間插入一個數字a，使得12，a, 24成等差數列，則a的值為多少。

練習：數列的通項公式為

研究：三個數成等差數列，它們的和等于18，它們的平方和為116，求這三個數。

實際應用 某露天劇場有30排座位，第一排有28個座位，后面每排比前排多2個座位，最后一排有座位__________個。

總結：

1.等差數列的概念，會判斷一個數列是否為等差數列。2.等差數列的通項公式與遞推公式及其應用。3.理解等差數列的通項公式及其引申式。作業：必做習題3.2：1——

5、7 選作10、11

第四篇：等差數列教學設計

新蔡二高教學設計 年級：15級 學科：數學 主備課人：徐德功 日期 2017年12月5日 課題：高三數學一輪復習 等差數列 1．了解等差數列的通項公式an與前n項和公式Sn的關系． 三 維

1、知識目標 2．能通過前n項和公式Sn求出等差數列的通項公式an． 教 學 提高對等差數列的認識，優化解題思路、解題方法，提升數學表達的能

2、能力目標 目 力。標

3、德育目標 培養學生認識數學的美。重點：熟練掌握等差數列的性質運用。難點：：解題思路和解題方法的優化。教學過程：【知識精講】

一、基本概念、性質

1、等差數列的定義：一般地，如果一個數列從 起，每一項與它的前一項的差等于同一個，那么這個數列就叫等差數列，這個常數d叫做等差數列的，2、等差中項：若三個數a,A,b組成等差數列，那么A叫做a與b的，即2A? 或A?。

3、等差數列的單調性：等差數列的公差 時，數列為遞增數列； 時，數列為遞減數列； 時，數列為常數列；

4、等差數列?an?的通項公式性質：（1）對于任意的整數p,q,r,s，如果p?q?r?s，那么ap?aq?ar?as（2）對于任意的正整數p,q,r，如果p?r?2q，則ap?ar?2aq（3）對于任意的非零實數b，數列{ban}是等差數列，則{an}是等差數列（4）已知{bn}是等差數列，則{an?bn}也是等差數列（5）{a2n},{a2n?1},{a3n},{a3n?1},{a3n?2}等都是等差數列 5.等差數列?an?的前n項和公式Sn? = 注：（1）、在通項公式與前n項和公式中，涉及五個量的關系，已知其中的三個量，可求其余兩個量。（體現方程的思想）（2）、等差數列前n項和公式的特點是n為關于n的二次式，且無常數項。即：s

第五篇：等差數列教學設計

“等差數列”教學設計

思考：同學們觀察一下上面的這三個數列：5，10，15，20，… ①48，53，58，63 ②18，15.5，13，10.5，8，5.5 ③看這些數列有什么共同特點呢？（由學生討論、分析）2.分析問題，形成概念

對于上面的幾個問題，引導學生觀察相鄰兩項間的關系，得到：

對于數列①，從第2項起，每一項與前一項的差都等于 5 ；對于數列②，從第2項起，每一項與前一項的差都等于 5 ；對于數列③，從第2項起，每一項與前一項的差都等于-2.5 ； 等差數列：一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，那么這個數列就叫做等差數列。這個常數叫做等差數列的公差，公差通常用字母d表示。那么對于以上三組等差數列，它們的公差依次是5，5，-2.5。3.合作探究，深化概念

提問：如果在與中間插入一個數A，使，A，成等差數列數列，那么A應滿足什么條件？

由學生回答：因為a，A，b組成了一個等差數列，那么由定義可以知道：A-a=b-A 所以就有

由三個數a，A，b組成的等差數列可以看成最簡單的等差數列，這時，A叫做a與b的等差中項。

不難發現，在一個等差數列中，從第2項起，每一項（有窮數列的末項除外）都是它的前一項與后一項的等差中項。

如數列：1，3，5，7，9，11，13?中5是3和7的等差中項，1和9的等差中項。9是7和11的等差中項，5和13的等差中項。看來，則

從而可得在一等差數列中，若m+n=p+q下面學習等差數列的通項公式： 對于以上的等差數列，我們能不能用通項公式將它們表示出來呢？這是我們接下來要學習的內容。

⑴、我們是通過研究數列的第n項與序號n之間的關系去寫出數列的通項公式的。下面由同學們根據通項公式的定義，寫出這三組等差數列的通項公式。讓學生分組討論，教師個別指導經過分析寫出通項公式： ①這個數列的第一項是5，第2項是10（=5+5），第3項是15（=5+5+5），第4項是20（=5+5+5+5），??由此可以猜想得到這個數列的通項公式是

② 這個數列的第一項是48，第2項是53（=48+5），第3項是58（=48+5×2），第4項是63（=48+5×3），由此可以猜想得到這個數列的通項公式是

③這個數列的第一項是18，第2項是15.5（=18-2.5），第3項是13（=18-2.5×2），第4項是10.5（=18-2.5×3），第5項是8（=18-2.5×4），第6項是5.5（=18-2.5×5）由此可以猜想得到這個數列的通項公式是⑵、那么，如果任意給了一個等差數列的首項 引導學生根據等差數列的定義進行歸納：

和公差d，它的通項公式是什么呢？

（n-1）個等式

所以 何表

達

呢

??

思考：那么通項公式到底如？

??

通過學生分組討論合作探究，以及教師引導下得出通項公式：由此我們可以猜想得出：以為首項，d為公差的等差數列的通項公式為：

（教師板書）

就 也就是說，只要我們知道了等差數列的首項和公差d，那么這個等差數列的通項可以表示出來了。

（探究性問題）引導學生動手畫圖研究完成以下探究：⑴在直角坐標系中，畫出通項公式為的數列的圖象。這個圖象有什么特點？

⑵在同一個直角坐標系中，畫出函數y=3x-5的圖象，你發現了什么？據此說一說等差數列與一次函數y=px+q的圖象之間有什么關系。

可以利用通項公式求出。經

分析：⑴n為正整數，當n取1，2，3，??時，對應的過描點知道該圖象是均勻分布的一群孤立點；

⑵畫出函數y=3x-5的圖象一條直線后發現數列的圖象（點）在直線上，數列的圖象是該一次函數當x在正整數范圍內取值時相應的點的集合。于是可以得出結論：等差數列的圖象是一次函數y=px+q的圖象的一個子集，是y=px+q定義在正整數集上對應的點的集合。