第一篇：向量證明重心

向量證明重心

三角形ABC中，重心為O，AD是BC邊上的中線，用向量法證明AO=2OD

(1).AB=12b，AC=12c。AD是中線則AB+AC=2AD即12b+12c=2AD，AD=6b+6c;BD=6c-6b。OD=xAD=6xb+6xx。(2).E是AC中點。作DF//BE則EF=EC/2=AC/4=3c。平行線分線段成比OD/AD=EF/AF即(6xb+6xc)/(6b+6c)=3c/9c，x(6b+6c)/(6b+6c)=1/3，3x=1。(3).OD=2b+2c，AO=AD-OD=4b+4c=2(2b+2c)=2OD。

2設BC中點為M∵pA+pB+pC=0∴pA+2pM=0∴pA=2Mp∴p為三角形ABC的重心。上來步步可逆、∴p是三角形ABC重心的充要條件是pA+pB+pC=0

3如何用向量證明三角形的重心將中線分為2：

1設三角形ABC的三條中線分別為AD、BE、CF，求證AD、BE、CF交于一點O，且AO：OD=BO：OE=CO：OF=2：

1證明：用歸一法

不妨設AD與BE交于點O，向量BA=a,BC=b,則CA=BA-BC=a-b

因為BE是中線，所以BE=(a+b)/2,向量BO與向量BE共線，故設BO=xBE=(x/2)(a+b)

同理設AO=yAD=(y/2)(AB+AC)=y/2(-a+b-a)=-ya+(y/2)b

在三角形ABO中，AO=BO-BA

所以-ya+(y/2)b=(x/2)(a+b)-a=(x/2-1)a+(x/2)b

因為向量a和b線性無關，所以

-y=x/2-1

y/2=x/

2解得x=y=2/

3所以A0：AD=BO：BE=2：3

故AO：OD=BO：OE=2:1

設AD與CF交于O',同理有AO’：O'D=CO':O'F=2:1

所以有AO:OD=AO':O'D=2:1,注意到O和O’都在AD上，因此O=O’

因此有AO：OD=BO：OE=CO:OF=2:1

證畢!

4設三角形ABC的頂點A,B,C的坐標分別為(X1,Y1),(X2,Y2)，(X3,Y3)證明：三角形ABC的重心(即三條中線的交點)M的坐標(X,Y)滿足：X=X1+X2+X3/3Y=Y1+Y2+Y3/3

設:AB的中點為D.∴Dx=(x1+x2)/2，又M為三角形的重心,∴CD=3MD,∴x3-(x1+x2)/2=3===>x=(x1+x2+x3)/3同理:y=(y1+y2+y3)/3

5如圖。設AB=a(向量)，AC=b,AD=(a+b)/2,AO=tAB=ta/2+tb/2.BE=b/2-a.AO=a+sBE=(1-s)a+sb/2.t/2=1-s,t/2=s/2.消去s.t=2/3.AO=(2/3)AB.OD=(1/3)AB,AO=2OD.如何用向量證明三角形的重心將中線分為2：1

設三角形ABC的三條中線分別為AD、BE、CF，求證AD、BE、CF交于一點O，且AO：OD=BO：OE=CO：OF=2：1

證明：用歸一法

不妨設AD與BE交于點O，向量BA=a,BC=b,則CA=BA-BC=a-b

因為BE是中線，所以BE=(a+b)/2,向量BO與向量BE共線，故設BO=xBE=(x/2)(a+b)

同理設AO=yAD=(y/2)(AB+AC)=y/2(-a+b-a)=-ya+(y/2)b

在三角形ABO中，AO=BO-BA

所以-ya+(y/2)b=(x/2)(a+b)-a=(x/2-1)a+(x/2)b

因為向量a和b線性無關，所以

-y=x/2-1

y/2=x/2

解得x=y=2/3

所以A0：AD=BO：BE=2：3

故AO：OD=BO：OE=2:1

設AD與CF交于O',同理有AO’：O'D=CO':O'F=2:1

所以有AO:OD=AO':O'D=2:1,注意到O和O’都在AD上，因此O=O’

因此有AO：OD=BO：OE=CO:OF=2:1

證畢!

第二篇：向量證明重心

向量證明重心三角形ABC中，重心為O，AD是BC邊上的中線，用向量法證明AO=2OD(1).AB=12b，AC=12c。AD是中線則AB+AC=2AD即12b+12c=2AD，AD=6b+6c;BD=6c-6b。OD=xAD=6xb+6xx。(2).E是AC中點。作DF//BE則EF=EC/2=AC/4=3c。平行線分線段成比OD/AD=EF/AF即(6xb+6xc)/(6b+6c)=3c/9c，x(6b+6c)/(6b+6c)=1/3，3x=1。(3).OD=2b+2c，AO=AD-OD=4b+4c=2(2b+2c)=2OD。2 設BC中點為M∵PA+PB+PC=0∴PA+2PM=0∴PA=2MP∴P為三角形ABC的重心。上來步步可逆、∴P是三角形ABC重心的充要條件是PA+PB+PC=0 3 如何用向量證明三角形的重心將中線分為2：1 設三角形ABC的三條中線分別為AD、BE、CF，求證AD、BE、CF交于一點O，且AO：OD=BO：OE=CO：OF=2：1 證明：用歸一法

不妨設AD與BE交于點O，向量BA=a,BC=b,則CA=BA-BC=a-b 因為BE是中線，所以BE=(a+b)/2,向量BO與向量BE共線，故設BO=xBE=(x/2)(a+b)同理設AO=yAD=(y/2)(AB+AC)=y/2(-a+b-a)=-ya+(y/2)b 在三角形ABO中，AO=BO-BA 所以-ya+(y/2)b=(x/2)(a+b)-a=(x/2-1)a+(x/2)b 因為向量a和b線性無關，所以-y=x/2-1 y/2=x/2 解得x=y=2/3 所以A0：AD=BO：BE=2：3 故AO：OD=BO：OE=2:1 設AD與CF交于O',同理有AO’：O'D=CO':O'F=2:1 所以有AO:OD=AO':O'D=2:1,注意到O和O’都在AD上，因此O=O’ 因此有AO：OD=BO：OE=CO:OF=2:1 證畢!4 設三角形ABC的頂點A,B,C的坐標分別為(X1,Y1),(X2,Y2)，(X3,Y3)證明：三角形ABC的重心(即三條中線的交點)M的坐標(X,Y)滿足：X=X1+X2+X3/3 Y=Y1+Y2+Y3/3 設:AB的中點為D.∴Dx=(x1+x2)/2，又M為三角形的重心,∴CD=3MD,∴x3-(x1+x2)/2=3[x-(x1+x2)/2]===>x=(x1+x2+x3)/3同理: y=(y1+y2+y3)/3 5 如圖。

第三篇：向量與三角形的重心

向量與三角形的重心

????????????例1 已知A，B，C是不共線的三點，G是△ABC內一點，若GA?GB?GC?0．求

證：G是△ABC的重心．

????????????????????????證明：如圖1所示，因為GA?GB?GC?0，所以GA??(GB?GC)．

????????????????????以GB，GC為鄰邊作平行四邊形BGCD，則有GD?GB?GC，????????所以GD??GA．

????????又因為在平行四邊形BGCD中，BC交GD于點E，所以BE?EC，????????????????GE?ED．所以AE是△ABC的邊BC的中線，且GA?2GE．

故G是△ABC的重心．

點評：①解此題要聯系重心的性質和向量加法的意義；②把平面幾何知識和向量知識結合起來解決問題是解此類問題的常用方法．

變式引申：已知D，E，F分別為△ABC的邊BC，AC，AB的中點．求證： ????????????AD?BE?CF?0．

證明：如圖2的所示，????????????????????????????????????????????AD?AC?CD????????????????2AD?AC?AB?CD?BD，即2AD?AC?AB． AD?AB?BD??

????????????????????????同理2BE?BA?BC，2CF?CA?CB．

?????????????2A(D?BE?C)F?A?C

????????????0?C?F?AD?BE． ????????????????．?AB?BA?B0C? CA?CB????????

點評：該例考查了三角形法則和向量的加法．

例2 如圖3所示，△ABC的重心為G，O為坐標原點，????????????????OA?a，OB?b，OC?c，試用a，b，c表示OG．

解：設AG交BC于點M，則M是BC的中點，????????????b?aAB?AC?BC?c?b．則，c?a，?????1??????1??1?AM?ABb?C?a?(c?b)?(c?b?2a)． 22

2??????21????AGA(c?b?2a．)3

3????????????11故OG?OA?AG?a?(c?b?2a)?(a?b?c)． 33

點評：重心問題是三角形的一個重要知識點，充分利用重心性質及向量加、減運算的幾何意義是解決此類題的關鍵．

變式引申：如圖4，平行四邊形ABCD的中心為O，????1????????????????P為該平面上任意一點，則PO?(PA?PB?PC?PD)． 4

?????????????????????????????????????PO?PA?AO，PO?PB?BO，PO?PC?CO，證法1：

????????????PO?PD?DO，?????????????????P?BP?C PD?4PO?PA，???? ????1????????????????即PO?(PA?PB?PC?PD)． 4

????1????????????1????????證法2：?PO?(PA?PC)，PO?(PB?PD)，22

????1?????????????????PO?(PA?PB?PC?PD)． 4

點評：（1）證法1運用了向量加法的三角形法則，證法2運用了向量加法的平行四邊形法則．

????????????????（2）若P與O重合，則上式變為OA?OB?OC?OD?0．

第四篇：向量空間證明

向量空間證明解題的基本方法：

1)在立體幾何圖形中，選擇適當的點和直線方向建立空間直角坐標系 中 2)若問題中沒有給出坐標計算單位，可選擇合適的線段設置長度單位;3)計算有關點的坐標值，求出相關向量的坐標;4)求解給定問題

證明直線與平面垂直的方法是在平面中選擇二個向量，分別與已知直線向量求數積，只要分別為零，即可說明結論。

證明直線與平面平行的關鍵是在平面中尋找一個與直線向量平行的向量。這樣就轉化為證明二個向量平行的問題，只要說明一個向量是另一向量的m(實數)倍，即可 只要多做些這方面的題，或看些這方面的例題，也會從中悟出經驗和方法 2 解：

因為x+y+z=0 x=-y-z y=y+0*z z=0*y+z(x,y,z)=(-1，1，0)*y+(-1，0，1)*z y,z為任意實數

則：(-1，1，0);(-1，0，1)是它的一組基，維數為2(不用寫為什么是2)步驟1 記向量i，使i垂直于AC于C，△ABC三邊AB,BC,CA為向量a,b,c ∴a+b+c=0 則i(a+b+c)=i·a+i·b+i·c =a·cos(180-(C-90))+b·0+c·cos(90-A)=-asinC+csinA=0 接著得到正弦定理 其他 步驟2.在銳角△ABC中，設BC=a,AC=b,AB=c。

第五篇：證明向量共面

證明向量共面

已知O是空間任意一點,A.B.C.D四點滿足任意三點均不共線,但四點共面,且O-A=2xB-O+3yC-O+4zD-O,則2x+3y+4z=?

寫詳細點怎么做謝謝了~明白后加分！!

我假定你的O-A表示向量OA。

由O的任意性，取一個不在ABCD所在平面的O，這時若OA=b*OB+c*OC+d*OD，那么b+c+d必定等于1。

(證明：設O在該平面上的投影為p，那么對平面上任何一點X，OX=Op+pX，然后取X=A、B、C、D代你給的關系式并比較Op分量即可。)

你給的右端向量都反向，所以2x+3y+4z=-1。

2充分不必要條件。

如果有三點共線，則第四點一定與這三點共面，因為線和直線外一點可以確定一個平面，如果第四點在這條線上，則四點共線，也一定是共面的。

而有四點共面，不一定就其中三點共線，比如四邊形的四個頂點共面，但這四個頂點中沒有三個是共線的。

“三點共線”可以推出“四點共面”，但“四點共面”不能推出“三點共線”。因此是充分不必要條件

任取3個點，如果這三點共線，那么四點共面;如果這三點不共線，那么它們確定一個平面，考慮第四點到這個平面的距離。方法二A、B、C、D四點共面的充要條件為向量AB、AC、AD的混合積(AB,AC,AD)=0。方法三A、B、C、D四點不共面的充要條件為向量AB、AC、AD線性無關。

3已知O是空間任意一點,A.B.C.D四點滿足任意三點均不共線,但四點共面,且O-A=2xB-O+3yC-O+4zD-O,則2x+3y+4z=?

寫詳細點怎么做謝謝了我假定你的O-A表示向量OA。

由O的任意性，取一個不在ABCD所在平面的O，這時若OA=b*OB+c*OC+d*OD，那么b+c+d必定等于1。

(證明：設O在該平面上的投影為p，那么對平面上任何一點X，OX=Op+pX，然后取X=A、B、C、D代你給的關系式并比較Op分量即可。)

你給的右端向量都反向，所以2x+3y+4z=-1。

4Xa-Yb+Yb-Zc+Zc-Xa=0

∴Xa-Yb=-(Yb-Zc)-(Zc-Xa)

由共面判定定理知它們共面。

簡單的說一個向量能夠用另外兩個向量表示，它們就共面。詳細的看高中課本

41.若向量e1、e2、e3共面，(i)其中至少有兩個不共線，不妨設e1,e2不共線，則e1,e2線性無關，e3可用e1,e2線性表示，即存在實數λ，μ，使得e3=λe1+μe2,于是

λe1+μe2-e3=0.即存在三個不全為零的實數λ，μ，υ=-1，使得

λe1+μe2+υe3=0”。

(ii)若e1,e2,e3都共線，則其中至少有一個不為0，不妨設e1≠0，則存在實數λ，使得e2=λe1.于是λe1-e2=0,即存在三個不全為零的實數λ，μ=-1，υ=0，使得λe1+μe2+υe3=0”.2.存在三個不全為零的實數λ，μ，υ，使得λe1+μe2+υe3=0”，不妨設λ≠0，就有e1=(-μ/λ)e2+(-υ/λ)e3,于是e1,e2,e3共面。