第一篇：學霸教你學數學：空間幾何—證明平行

學霸教你學數學：空間幾何—證明平行

以下題為例講解證明 線面平行,面面平行 的方法

證明線面平行

方法一：找到平面內一直線 與 該直線平行

作EG//B1B , FH//C1C

由題意可知AE=BF, 且在正方體中△AB1B≌△BC1C

所以EG平行且等于FH ,EFHG是平行四邊形

找到了面ABCD中的直線GH與EF平行,所以得證

方法二：找到直線所在的平面 與 該平面平行

取點H使EH//AB,由題意可知B1E=C1F ,AE=BF,根據

△AB1B≌△C1BB1, 有B1E/C1F =AE/BF=B1H/HB ,所以FH//B1C1//BC, 找到了直線所在的平面EHF平行于面ABCD,所以得證

方法三：建立空間直角坐標系 ：平面的法向量與直線所在向量的數量積等于0

以……為原點,……分別為X,Y,Z軸,設AB=1,E(0,t,1-t),F(1-t,0,1-t),得出EF(1-t,-t,0)

求出面ABCD的法向量（這題可直接看出來）

n=（0,0,1）

n*EF=0 ,所以得證

證明面面平行

方法一：找到一個平面內的兩條直線分別平行另一個平面內的兩條直線

（如果一個平面內有兩條相交直線都平行于另一個平面,那么這兩個平面平行。）

AC1//AC,AB//CD1,BC1//AD1

AC1∩AB≠? ……所以得證

方法二：建立空間直角坐標系 ：兩平面的法向量平行（不再舉例）

證明線線平行

方法一：平行于同一直線的兩直線平行

方法二：兩平行平面，另一平面與這兩平面相交，兩條交線平行

方法三：建立空間直角坐標系

其實建立空間直角坐標系方法是萬能的，不過用在有些題目中會比較麻煩，不如其他方法簡便。

第二篇：空間幾何——平行與垂直證明

三、“平行關系”常見證明方法

（一）直線與直線平行的證明

1)利用某些平面圖形的特性：如平行四邊形的對邊互相平行

2)利用三角形中位線性質

3)利用空間平行線的傳遞性（即公理4）：

平行于同一條直線的兩條直線互相平行。

4)利用直線與平面平行的性質定理： a∥c?a∥bb∥c

如果一條直線與一個平面平行，經過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行。

a∥?

a??β a ?a∥

b

α b ????b

5)利用平面與平面平行的性質定理：

如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行．?//???????a??a//b

??

??b??

6)利用直線與平面垂直的性質定理：

垂直于同一個平面的兩條直線互相平行。

ba?????a∥

b7)利用平面內直線與直線垂直的性質：

8)利用定義：在同一個平面內且兩條直線沒有公共點

（二）直線與平面平行的證明

1)利用直線與平面平行的判定定理：

平面外的一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行。

a??b??

?a∥?

b

a∥b

2)利用平面與平面平行的性質推論：

兩個平面互相平行，則其中一個平面內的任一直線平行于另一個平面。

a??

?∥?

?a∥?

a

β

3)利用定義：直線在平面外，且直線與平面沒有公共點

（二）平面與平面平行的證明

常見證明方法：

1)利用平面與平面平行的判定定理：

一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行。

a??b??a∩b?Pa//?b//?

?//?

b

2)利用某些空間幾何體的特性：如正方體的上下底面互相平行等 3)利用定義：兩個平面沒有公共點

三、“垂直關系”常見證明方法

（一）直線與直線垂直的證明

1)利用某些平面圖形的特性：如直角三角形的兩條直角邊互相垂直等。2)看夾角：兩條共（異）面直線的夾角為90°，則兩直線互相垂直。3)利用直線與平面垂直的性質：

如果一條直線與一個平面垂直，則這條直線垂直于此平面內的所有直線。

a??

b??

?b?a

b

a

4)利用平面與平面垂直的性質推論：

如果兩個平面互相垂直，在這兩個平面內分別作垂直于交線的直線，則這兩條直線互相垂直。

???????l

a??b??a?lb?l

?a?

b

5)利用常用結論：

① 如果兩條直線互相平行，且其中一條直線垂直于第三條直線，則另

一條直線也垂直于第三條直線。

a∥b

a?c

?b?

c

② 如果有一條直線垂直于一個平面，另一條直線平行于此平面，那么

這兩條直線互相垂直。

a??

b∥?

?a?b

b

（二）直線與平面垂直的證明

1)利用某些空間幾何體的特性：如長方體側棱垂直于底面等

2)看直線與平面所成的角：如果直線與平面所成的角是直角，則這條直線垂

直于此平面。

3)利用直線與平面垂直的判定定理：

a??b??a?b?Al?al?b

???

??l?????

l

b

A

a

4)利用平面與平面垂直的性質定理：

兩個平面垂直，則一個平面內垂直于交線的直線與另一個平面垂直。

???????l

a??a?l

?

????

a

l

5)利用常用結論：

①

a∥bb??

?a??

② 兩個平面平行，一直線垂直于其中一個平面，則該直線也垂直于另一

個平面。

?∥?

a??

?

a??

（三）平面與平面垂直的證明

1)利用某些空間幾何體的特性：如長方體側面垂直于底面等

2)看二面角：兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角（即平面角

是直角的二面角），就說這連個平面互相垂直。3)利用平面與平面垂直的判定定理

一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直。

a??a??

???

?

?

a

?

第三篇：空間幾何證明

立體幾何中平行、垂直關系證明的思路

平行垂直的證明主要利用線面關系的轉化：

線∥線???線∥面???面∥面性質

?判定???線⊥線???線⊥面???面⊥面????

線∥線???線⊥面???面∥面

線面平行的判定：

a∥b，b?面?，a???a∥面?

a b ??

線面平行的性質：

?∥面?，??面?，????b?a∥b

三垂線定理（及逆定理）：

PA⊥面?，AO為PO在?內射影，a?面?，則

a⊥OA?a⊥PO；a⊥PO?a⊥AO

P ??O a

線面垂直：

a⊥b，a⊥c，b，c??，b?c?O?a⊥?

a O α b c

面面垂直：

a⊥面?，a?面???⊥?

面?⊥面?，????l，a??，a⊥l?a⊥?

α a l β

a⊥面?，b⊥面??a∥b

面?⊥a，面?⊥a??∥?

a b ??

定理：

1.如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線在此平面內。作用：判斷直線是否在平面內；證明點在平面內；檢驗平面。2.過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面。

作用：確定平面；判斷兩個平面是否重合；證明點線共面。推論：a.經過一條直線和這條直線外的一點，有且只有一個平面；

b.經過兩相交直線，有且只有一個平面；

c.經過兩條平行直線，有且只有一個平面。

3.如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線。

作用：a.判定兩個不重合平面是否相交；

b.判斷點在直線上。

4.平行于同一條直線的兩條直線互相平行。（平行線的傳遞性）。5.等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補。6.（直線與平面平行的判定定理）

平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與該平面平行。條件：a.一條直線在平面外；

b.一條直線在平面內；

c..這兩條直線互相平行。7.（平面與平面平行的判定定理）

一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行。條件：a.兩條相交直線；

b.相交直線在一個平面內；

c.對應平行。

8.（直線與平面平行的性質定理）

一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行。

條件：a.一條直線與一個平面平行；

b.過這條直線的任一個平面與此平面相交；

c.交線與直線平行。9.（平面與平面平行的性質定理）

如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行。條件：a.兩個平行平面：平面1和平面2和第三個平面：平面3

b.平面1與3相交，平面2與3相交

c.交線平行

點、線、面的相關證明

一.多點共線和多線共點問題證明

方法：公理3的熟練應用；兩個相交平面有且只有一條公共直線。

1.如下圖，在四邊形ABCD中，已知AB//CD，直線AB，BC，AD，DC分別與平面α相交于點E，F，G，H。求證：E，F，G，H四點必定共線。

2.如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，設線段A1C與平面ABC1D1交于Q.求證：B，Q，D1三點共線。

3.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為AB 的中點，F為AA1的中點，求證：

a.E，C，D1，F四點共面；

b.CE，D1F，DA三線共點。

二．計算異面直線所成角度

方法：平移法和輔助線（中位線）構造角度

1.直三棱柱ABC-A1B1C1中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA1，則異面直線BA1與AC1所成的角度為______________.2.如圖所示，正四棱錐P-ABCD的底面面積為3，體積為√2/2，E為側棱PC的中點，則PA與BE 所成的角為____________.3.如圖所示，正三棱錐S-ABC（側面為全等的等腰三角形，底面為正三角形）的側棱長與底面邊長相等，E、F分別是SC、AB的中點，異面直線EF與SA所成的角為____________.4.如下圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中點，已知AB=2，AD=2√2，PA=2.求：（1）三角形PCD的面積；

（2）異面直線BC與AE所成的角的大小.5.在正方體ABCD—A1B1C1D1中，M、N、P、Q分別是棱AB、BC、CD、CC1的中點，直線MN與PQ所成的度數_______________.

第四篇：2014年高考數學空間向量證明平行問題

4.2 直線的方向向量、平面的法向量及其應用

一、直線的方向向量及其應用

1、直線的方向向量

直線的方向向量就是指和這條直線所對應向量平行（或共線）的向量，顯然一條直線的方向向量可以有無數個．

2、直線方向向量的應用

利用直線的方向向量，可以確定空間中的直線和平面．

?（1）若有直線l, 點A是直線l上一點，向量a是l的方向向量，在直線l

?????????????上取AB?a，則對于直線l上任意一點P，一定存在實數t，使得AP?tAB，這

?樣，點A和向量a不僅可以確定l的位置，還可具體表示出l上的任意點．

（2）空間中平面α的位置可以由α上兩條相交直線確定，若設這兩條直線

??交于點O,它們的方向向量分別是a和b，P為平面α上任意一點，由平面向量基

??????本定理可知，存在有序實數對（x，y），使得OP?xa?yb，這樣，點O與方向

??向量a、b不僅可以確定平面α的位置，還可以具體表示出α上的任意點．

1．若A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直線l上，則直線l的一個方向向量為()

A．(1,2,3)B．(1,3,2)

C．(2,1,3)D．(3,2,1)

2.從點A(2，－1,7)沿向量a＝(8,9，－12)的方向取線段長AB＝34，則B點的坐標為()

A．(－9，－7,7)B．(18,17，－17)

C．(9,7，－7)D．(－14，－19,31)

二、平面的法向量

1、所謂平面的法向量，就是指所在的直線與平面垂直的向量，顯然一個平面的法向量也有無數個，它們是共線向量．

??

2、在空間中，給定一個點A和一個向量a，那么以向量a為法向量且經過點

A的平面是唯一確定的．

三、直線方向向量與平面法向量在確定直線、平面位置關系中的應用

????????????

1、若兩直線l1、l2的方向向量分別是u1、u2，則有l1// l2?u1//u2，l1⊥l2?u1???

⊥u2．

????????????

2、若兩平面α、β的法向量分別是v1、v2，則有α//β?v1//v2，α⊥β?v1???

⊥v2．

????若直線l的方向向量是u，平面的法向量是v，則有l//α?u⊥v，l⊥α

???u//v

b分別是直線l1、l2的方向向量，根據下列條件判斷l1與l2的位置關系。1.設a、?

?

（1）a=（2，3，－1），b=（－6，－9，3）；（2）a=（5，0，2），b=（0，4，0）；（3）a=（－2，1，4），b=（6，3，3）

?

?

?

?

??

四、平面法向量的求法

若要求出一個平面的法向量的坐標，一般要建立空間直角坐標系，然后用待定系數法求解，一般步驟如下：

?

1、設出平面的法向量為n?(x,y,z)．

??

2、找出（求出）平面內的兩個不共線的向量的坐標a?(a1,b1,c1),b?(a2,b2,c2)

????n?a?0????n?b?0

3、根據法向量的定義建立關于x，y，z的方程組?

4、解方程組，取其中一個解，即得法向量

v分別是平面α、β的法向量，根據下列條件判斷α、β的位置關系： 1.設u、?

?

??

（1）u=（1，－1，2），v=（3，2，?

?

?

2）；

（2）u=（0，3，0），v=（0，－5，0）；（3）u=（2，－3，4），v=（4，－2，1）。

?

?

2.已知點A（3，0，0），B（0，4，0），C（0，0，5），求平面ABC的一個單位法向量。

??

3.若直線l的方向向量是a=（1，2，2），平面α的法向量是n=（－1，3，0），試求直線l與平面α所成角的余弦值。

4．若n＝(2，－3,1)是平面α的一個法向量，則下列向量能作為平面α的一個法向量的是()

A．(0，－3,1)B．(2,0,1)

C．(－2，－3,1)D．(－2,3，－1)

5．已知平面α上的兩個向量a＝(2,3,1)，b＝(5,6,4)，則平面α的一個法向量為()

A．(1，－1,1)B．(2，－1,1)C．(－2,1,1)D．(－1,1，－1)

五、用向量方法證明空間中的平行關系和垂直關系

（一）用向量方法證明空間中的平行關系

空間中的平行關系主要是指：線線平行、線面平行、面面平行．

1、線線平行

設直線l，m的方向向量分別為a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，且a2b2c2≠0，則

l∥m??_?_______.1．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，P為正方形A1B1C1D1四邊上的動點，O為底面正方形ABCD的中心，M，N分別為AB，BC的中點，點Q為平面ABCD內

??????????

一點，線段D1Q與OP互相平分，則滿足MQ＝λMN的實數λ的值有()

A．0個C．2個

B．1個 D．3個

2、線面平行

設直線l的方向向量為a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量為u＝(a2，b2，c2)，則

l∥α??_______?1??

1．已知直線l的方向向量為(2，m,1)，平面α的法向量為?1，2，2?，且l∥α，??

則m＝________.2．已知線段AB的兩端點的坐標為A(9，－3,4)，B(9,2,1)，則與線段AB平行的坐標平面是()

A．xOyB．xOz

C．yOzD．xOy或yOz

3．如圖所示，在空間圖形P—ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四邊形ABCD中，CD∥AB，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝4，CD＝1，點M在PB上，且PB＝4PM，∠PBC＝30°，求證：CM∥平面PAD

.4.如圖，在底面是菱形的四棱錐P—ABCD中，∠ABC＝60°，PA⊥平面ABCD，PA＝AC＝a，點E在PD上，且PE∶ED＝2∶1.在棱PC上是否存在一點F，使BF∥平面AEC？證明你的結論．

5.如圖, 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AA1＝4，點D是AB的中點，（I）求證：AC⊥BC1；（II）求證：AC 1//平面CDB1；

3、面面平行(3)面面平行 設平面α，β的法向量分別為u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，則α∥β?

abc?__?________a＝bc(a2b2c2≠0)_______.22

21．如圖，在平行六面體ABCD—A1B1C1D1中，M、P、Q分別為棱AB、CD、BC的中點，若平行六面體的各棱長均相等，則 ①A1M∥D1P； ②A1M∥B1Q；

③A1M∥面DCC1D1；

④A1M∥面D1PQB1.以上結論中正確的是________．(填寫正確的序號)

2.如圖所示，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，M、N分別是C1C、B1C1的中點。

求證：（1）MN//平面A1BD；（2）平面A1BD//平面B1D1C。

第五篇：初二數學幾何證明

1.已知△ABC是等邊三角形，D是BC邊延長線上一點，以AD為邊作等邊三角形ADE。連接CE.求證：CE平分∠ACD

E

A

BCD

2.已知：如圖，AD是△ABC的角平分線，E是AB邊上的一點，AE=AC，EF∥BC交AC于點F.求證：∠DEC=∠FEC

.3.已知△ABC、△DBE、△CEF是等邊三角形，求證：四邊形ADEF是平行四邊形.A

D

F

BC

4.如圖，已知在△ABC中，∠A=90°，AB=AC, ∠B的平分線與AC交于點D，過點C作CH⊥BD，H為垂足。試說明BD=2CH。

A

21C

5.在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，過C點在△ABC形外作直線MN，AM⊥MN于M，BN⊥MN于N．

(1)求證：

MN=AM+BN

(2)△ABC內，∠ACB=90°，AC=BC若過C點在△ABC內作直線MN，當MN位于何位置時，AM，BN和MN滿足MN=AM-BN，并證明之．

6.“等腰三角形兩腰上的高相等”

(1)根據上述命題，畫出相關圖形，并寫出“已知’’“求證”，不必證明．(2)寫出上述命題的逆命題，并加以證明．

7.已知：如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=900，D、E、F分別是AB、BC、AC上的點，DE、DC、DF將△ABC分成四個全等的三角形，△ABC的周長是1 2厘米，求由DF、CD、DE所分成的各個小三角形的周長．

8.如圖，∠ABC=∠ADC=90°，E是AC的中點，EF⊥BD，垂足為F．求證：BF=DF．

B

FA

D

C

9.已知，如圖正方形ABCD中，E、F分別是AB、BC的中點，AF和DE交于點P． 求證：

CP=CD

10.如圖△ABC中，BD⊥AC，CE⊥ AB，垂足分別為D、E，BD、CE相交于H，∠A=60°．DH =2,EH=1(1)求BD和CE的長．

(2)若∠ACB= 45°，求△ABC的面積．

11.如圖，△ABC中，AD是∠BAC內的一條射線，BE⊥AD于E,CF⊥AD于F，點M 是BC的中點．求證：EM=FM

A

B

E

C

12.中國古代的數學家們不僅很早就發現并應用勾股定理，最早對勾股定理進行證明的，是三國時期吳國的數學家趙爽。趙爽創制了一幅“勾股圓方圖”，用形數結合的方法，給出了勾股定理的詳細證明。你能根據這幅“勾股圓方圖”證明勾股定理嗎？（圖中4個直角三角形全等）

13.如圖甲是第七屆國際數學教育大會（簡稱ICME～7）的會徽，會徽的主體圖案是由如圖乙的一連串直角三角形演化而成的其中OA1?A1A2?A2A3???A7A8?1，如果把圖乙中的直角三角形繼續作下去，細心觀察圖形，認真分析各式，然后解答問題：

A8

A

3ICME-7

21圖甲圖乙

（）?1?2，S1?

;(2)?1?3,S2?

;(3)?1?4,S3?

;??

（1）請用含有n（n是正整數）的等式表示上述變化規律；（2）推算出OA10的長；

2222

（3）求出S1?S2?S3???S10的值。

1.如圖，在△ABC中，∠

A=90°，AB?AC，BD平分∠ABC交AC于點D，若AB?2cm.求：AD的長,2．在Rt△ABC中，∠C=90°，中線AD的長為7，中線BE的長為4.求：AB的長 3．四邊形中，∠A=60

°，∠B=∠D=90°，AB?2,CD?1.(1)求BC、AD的長（2）

求四邊形ABCD的面積.