初中幾何證明題

經(jīng)典題（一）

1、已知：如圖，O是半圓的圓心，C、E是圓上的兩點(diǎn)，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO．

求證：CD＝GF．（初二）

A

F

G

C

E

B

O

D2、已知：如圖，P是正方形ABCD內(nèi)點(diǎn)，∠PAD＝∠PDA＝150．

A

P

C

D

B

求證：△PBC是正三角形．（初二）

D2

C2

B2

A2

D1

C1

B1

C

B

D

A

A13、如圖，已知四邊形ABCD、A1B1C1D1都是正方形，A2、B2、C2、D2分別是AA1、BB1、CC1、DD1的中點(diǎn)．

求證：四邊形A2B2C2D2是正方形．（初二）

A

N

F

E

C

D

M

B4、已知：如圖，在四邊形ABCD中，AD＝BC，M、N分別是AB、CD的中點(diǎn)，AD、BC的延長線交MN于E、F．

求證：∠DEN＝∠F．

經(jīng)典題（二）

1、已知：△ABC中，H為垂心（各邊高線的交點(diǎn)），O為外心，且OM⊥BC于M．

·

A

D

H

E

M

C

B

O

（1）求證：AH＝2OM；

（2）若∠BAC＝600，求證：AH＝AO．（初二）

·

G

A

O

D

B

E

C

Q

P

N

M2、設(shè)MN是圓O外一直線，過O作OA⊥MN于A，自A引圓的兩條直線，交圓于B、C及D、E，直線EB及CD分別交MN于P、Q．

求證：AP＝AQ．（初二）

3、如果上題把直線MN由圓外平移至圓內(nèi)，則由此可得以下命題：

·

O

Q

P

B

D

E

C

N

M

·

A

設(shè)MN是圓O的弦，過MN的中點(diǎn)A任作兩弦BC、DE，設(shè)CD、EB分別交MN于P、Q．

求證：AP＝AQ．（初二）

4、如圖，分別以△ABC的AC和BC為一邊，在△ABC的外側(cè)作正方形ACDE和正方形CBFG，點(diǎn)P是EF的中點(diǎn)．

P

C

G

F

B

Q

A

D

E

求證：點(diǎn)P到邊AB的距離等于AB的一半．（初二）

經(jīng)典題（三）

1、如圖，四邊形ABCD為正方形，DE∥AC，AE＝AC，AE與CD相交于F．

A

F

D

E

C

B

求證：CE＝CF．（初二）

2、如圖，四邊形ABCD為正方形，DE∥AC，且CE＝CA，直線EC交DA延長線于F．

E

D

A

C

B

F

求證：AE＝AF．（初二）

3、設(shè)P是正方形ABCD一邊BC上的任一點(diǎn)，PF⊥AP，CF平分∠DCE．

D

F

E

P

C

B

A

求證：PA＝PF．（初二）

O

D

B

F

A

E

C

P4、如圖，PC切圓O于C，AC為圓的直徑，PEF為圓的割線，AE、AF與直線PO相交于B、D．求證：AB＝DC，BC＝AD．（初三）

經(jīng)典題（四）

A

P

C

B1、已知：△ABC是正三角形，P是三角形內(nèi)一點(diǎn)，PA＝3，PB＝4，PC＝5．

求：∠APB的度數(shù)．（初二）

2、設(shè)P是平行四邊形ABCD內(nèi)部的一點(diǎn)，且∠PBA＝∠PDA．

求證：∠PAB＝∠PCB．（初二）

P

A

D

C

B3、設(shè)ABCD為圓內(nèi)接凸四邊形，求證：AB·CD＋AD·BC＝AC·BD．（初三）

C

B

D

A4、平行四邊形ABCD中，設(shè)E、F分別是BC、AB上的一點(diǎn)，AE與CF相交于P，且

AE＝CF．求證：∠DPA＝∠DPC．（初二）

F

P

D

E

C

B

A

A

P

C

B

經(jīng)典難題（五）

1、設(shè)P是邊長為1的正△ABC內(nèi)任一點(diǎn)，L＝PA＋PB＋PC，求證：≤L＜2．

A

C

B

P

D2、已知：P是邊長為1的正方形ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，求PA＋PB＋PC的最小值．

A

C

B

P

D3、P為正方形ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，并且PA＝a，PB＝2a，PC＝3a，求正方形的邊長．

E

D

C

B

A4、如圖，△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝800，D、E分別是AB、AC上的點(diǎn)，∠DCA＝300，∠EBA＝200，求∠BED的度數(shù)．

經(jīng)典題（一）

1.如下圖做GH⊥AB,連接EO。由于GOFE四點(diǎn)共圓，所以∠GFH＝∠OEG,即△GHF∽△OGE,可得==,又CO=EO，所以CD=GF得證。

2.如下圖做△DGC使與△ADP全等，可得△PDG為等邊△，從而可得

△DGC≌△APD≌△CGP,得出PC=AD=DC,和∠DCG=∠PCG＝150

所以∠DCP=300，從而得出△PBC是正三角形

3.如下圖連接BC1和AB1分別找其中點(diǎn)F,E.連接C2F與A2E并延長相交于Q點(diǎn)，連接EB2并延長交C2Q于H點(diǎn)，連接FB2并延長交A2Q于G點(diǎn)，由A2E=A1B1=B1C1=

FB2，EB2=AB=BC=FC1，又∠GFQ+∠Q=900和

∠GEB2+∠Q=900,所以∠GEB2=∠GFQ又∠B2FC2=∠A2EB2，可得△B2FC2≌△A2EB2，所以A2B2=B2C2，又∠GFQ+∠HB2F=900和∠GFQ=∠EB2A2,從而可得∠A2B2

C2=900，同理可得其他邊垂直且相等，從而得出四邊形A2B2C2D2是正方形。

4.如下圖連接AC并取其中點(diǎn)Q，連接QN和QM，所以可得∠QMF=∠F，∠QNM=∠DEN和∠QMN=∠QNM，從而得出∠DEN＝∠F。

經(jīng)典題（二）

1.(1)延長AD到F連BF，做OG⊥AF,又∠F=∠ACB=∠BHD，可得BH=BF,從而可得HD=DF，又AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM

(2)連接OB，OC,既得∠BOC=1200，從而可得∠BOM=600,所以可得OB=2OM=AH=AO,得證。

3.作OF⊥CD，OG⊥BE，連接OP，OA，OF，AF，OG，AG，OQ。

由于，由此可得△ADF≌△ABG，從而可得∠AFC=∠AGE。

又因?yàn)镻FOA與QGOA四點(diǎn)共圓，可得∠AFC=∠AOP和∠AGE=∠AOQ，∠AOP=∠AOQ，從而可得AP=AQ。

4.過E,C,F點(diǎn)分別作AB所在直線的高EG，CI，F(xiàn)H。可得PQ=。

由△EGA≌△AIC，可得EG=AI，由△BFH≌△CBI，可得FH=BI。

從而可得PQ=

=，從而得證。

經(jīng)典題（三）

1.順時(shí)針旋轉(zhuǎn)△ADE，到△ABG，連接CG.由于∠ABG=∠ADE=900+450=1350

從而可得B，G，D在一條直線上，可得△AGB≌△CGB。

推出AE=AG=AC=GC，可得△AGC為等邊三角形。

∠AGB=300，既得∠EAC=300，從而可得∠A

EC=750。

又∠EFC=∠DFA=450+300=750.可證：CE=CF。

2.連接BD作CH⊥DE，可得四邊形CGDH是正方形。

由AC=CE=2GC=2CH，可得∠CEH=300，所以∠CAE=∠CEA=∠AED=150，又∠FAE=900+450+150=1500，從而可知道∠F=150，從而得出AE=AF。

3.作FG⊥CD，F(xiàn)E⊥BE，可以得出GFEC為正方形。

令A(yù)B=Y，BP=X,CE=Z,可得PC=Y-X。

tan∠BAP=tan∠EPF==，可得YZ=XY-X2+XZ，即Z(Y-X)=X(Y-X)，既得X=Z，得出△ABP≌△PEF，得到PA＝PF，得證。

經(jīng)典難題（四）

1.順時(shí)針旋轉(zhuǎn)△ABP

600，連接PQ，則△PBQ是正三角形。

可得△PQC是直角三角形。

所以∠APB=1500。

2.作過P點(diǎn)平行于AD的直線，并選一點(diǎn)E，使AE∥DC，BE∥PC.可以得出∠ABP=∠ADP=∠AEP，可得：

AEBP共圓（一邊所對兩角相等）。

可得∠BAP=∠BEP=∠BCP，得證。

3.在BD取一點(diǎn)E，使∠BCE=∠ACD，既得△BEC∽△ADC，可得：

=，即AD?BC=BE?AC，①

又∠ACB=∠DCE，可得△ABC∽△DEC，既得

=，即AB?CD=DE?AC，②

由①+②可得:

AB?CD+AD?BC=AC(BE+DE)=

AC·BD，得證。

4.過D作AQ⊥AE，AG⊥CF，由==，可得：

=，由AE=FC。

可得DQ=DG，可得∠DPA＝∠DPC（角平分線逆定理）。

經(jīng)典題（五）

1.（1）順時(shí)針旋轉(zhuǎn)△BPC

600，可得△PBE為等邊三角形。

既得PA+PB+PC=AP++PE+EF要使最小只要AP，PE，EF在一條直線上，即如下圖：可得最小L=；

（2）過P點(diǎn)作BC的平行線交AB,AC與點(diǎn)D，F(xiàn)。

由于∠APD>∠ATP=∠ADP，推出AD>AP

①

又BP+DP>BP

②

和PF+FC>PC

③

又DF=AF

④

由①②③④可得：最大L<

2；

由（1）和（2）既得：≤L＜2。

2.順時(shí)針旋轉(zhuǎn)△BPC

600，可得△PBE為等邊三角形。

既得PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要AP，PE，EF在一條直線上，即如下圖：可得最小PA+PB+PC=AF。

既得AF=

=

=

=

=

=。

3.順時(shí)針旋轉(zhuǎn)△ABP

900，可得如下圖：

既得正方形邊長L

=

=。

4.在AB上找一點(diǎn)F，使∠BCF=600，連接EF，DG，既得△BGC為等邊三角形，可得∠DCF=100,∠FCE=200,推出△ABE≌△ACF，得到BE=CF，F(xiàn)G=GE。

推出

：

△FGE為等邊三角形，可得∠AFE=800，既得：∠DFG=400

①

又BD=BC=BG，既得∠BGD=800，既得∠DGF=400

②

推得：DF=DG,得到：△DFE≌△DGE，從而推得：∠FED=∠BED=300。