第一篇：初中數學：幾何推理證明詳解

初中數學：幾何推理證明詳解

幾何推理的依據是定義、公理、定理，做這類題，首先就是要掌握基本公式的知識點，今天瑞德特劉老師就幾何題的解題步驟進行詳解。一、三個關鍵詞：“條件”，“推出”，“結論”。

簡單地講，幾何推理就是由條件推出結論，這與命題的結構（任何一個命題都由條件和結論兩部分組成）是相一致的。推理的依據是命題，而命題就是在講述什么條件可以推出什么結論。上個世紀的初中以及現在的高中推理不僅可以使用“∵”、“∴”，還可以使用推出符號“?”。了解推出符號“?”，可以更好地理解什么是幾何推理。

二、學習幾何推理，就從一步推理開始。

推理的依據是定義、公理、定理。那么每學一個定義、公理、定理，都要熟練掌握它的推理形式。

第二篇：淺談初中幾何的推理與證明

淺談初中幾何的推理與證明

什么是推理呢？推理是根據已知判斷得出新判斷的思維過程，推理由題設和結論兩部分所組成，學習幾何對培養學生邏輯思維及邏輯推理能力有特殊的作用，但面對許多而不同的證明題，往往很多學生都感到束手無策，無從下手，因此，幫助學生尋找證題方法，探求規律，是我們初中數學教師教學的一個重要教學任務，它對培養學生的證題能力，有較好的積極作用，下面就如何培養學生的推理證明能力，談談我在教學中的具體做法。

一、首先培養學生學會劃分幾何命題的“題設”和“結論”

1、任何一個命題都是由題設和結論兩部分組成的，通常的形式為“如果……那么……”“若……則”等等，“如果”或“若”開頭的部分就是題設，“那么”或“則”開始的部分就是結論，要求學生掌握這些重要的關聯詞語進行劃分，有的命題，題設，結論較為明顯，如：如果兩條直線都與第三條直線平行（題設），那么這兩條直線也互相平行（結論）。但也有的命題，題設與結論不太明顯，例如“等角的補角相等”對這樣的命題，最好要求將它改寫成“如果……那么……”的形式，等角的補角相等“可改寫為：如果兩個角是等角的補角（題設），那么這兩個角相等（結論）。

2、使學生正確劃分命題的“題設”和結論，必須使學生理解每個命題，它都是一個完整的整體，是判斷一件事情的語句，每個命題都由題設和結論兩部分組成，一個命題中，題設就是已知條件，即被判斷的對象，結論就是由已知條件判斷出來的結果，也就是“求證”部分，在教學中，要在平時不斷的訓練中加強學生對幾何命題的理解。

二、其次要培養學生將文字敘述的命題改寫成數學式子并畫出圖形的能力。

1、按命題題意，畫出相應的幾何圖形，并標注字母。

2、根據命題題意，結合相應圖形，將題設與結論用數學符號或數學式子具體化，即具體地寫出“已知”和“求證”。

3、對于初一剛學幾何的學生，還要注意加強幾何符號語言的培養與訓練。例如：（人教版七年級下冊P24，練習第8題）用式子表示下列語句。

因為∠1和∠2相等，根據“內錯角相等，兩直線平行”所以AB和EF平行。用式子表示為 ∵ ∠1=∠2（已知）

∴ AB//EF（內錯角相等，兩直線平行）

三、培養學生學會推理說明。

1幾何證明的意義和要求

推理論證的過程要符合客觀實際，論證要有充分的根據，不能主觀猜想，證明中的每一步推理論證的根據就是命題中給出的題和已證事項，定義、公理和定理，這也就是說幾何命題的證明，就是要把給出的結論用充分的根據，嚴密的邏輯推理加以說明。

2、加強分析訓練，培養邏輯推理能力。

幾何中命題復雜，類型繁多，要培養學生分析與綜合的邏輯推理能力，特別要重視對問題的分析，在初中幾何中常用的分析方法有：

（1）綜合法：即由命題的題設至結論的定向思考方法，我們從已知條件出發進行推理，順次逐步推向結論，達到目標的思考過程。

例如：求證:等腰梯形的對角線成相等已知：梯形ABCD為等腰梯形

求證：AC=BD

證明：∵梯形ABCD為等腰梯形

∴AB=CD

∠ABC=∠DCB（等腰梯形兩底角相等）

又∵BC=CB（公共邊）

∴△ABC≌△DCB（SAS）

∴AC=BD（全等三角形對應邊相等）

（2）分析法：即由命題的結論至題設的定向思考方法，在探究證題途經時，我們不是從已知條件入手，而是從求證著手進行分析推理，要獲得這個結果，需要什么條件，這個條件又由什么可獲得，一步一步往前找，直至推究的條件與已知條件相合為止。

例如：如圖□ABCD的對角成AC和BD相交于點O，點E、F是AC上的兩點，并且AE=CF，求證：四邊形BFDE是平行四邊形。

分析：綜合平行四邊形的幾種判定方法要證四邊形BFDE是平行四邊形，只需證BD與EF互相平分，即EO=FO，3、培養學生學會添輔助成分析

要使學生認識到在幾何證明題中，輔助線引導恰當，可使較難證明題轉化為較易證明題，但輔助線的引導要有一定目的，在一定分析基礎上進行的，怎樣引輔助成要根據具體的命題分析后再確定，但在平時的教學中教師要強調常用輔助線的和作法應用。例如：有直徑出現，往往構造直徑所對的圓周角是直角。過圓心作弦的垂線從而運用垂經定理，有中點出現常構造出三角形或梯形的中位線等等。

四、最后，要培養學生證題時養成規范的書寫習慣。

對于初學幾何的學生，可用填充形式來訓練學生證題的書寫格式和邏輯推理過程，使書寫規范，推理有理有據，訓練的時間久了，學生也就在潛移默化中轉入了獨立書寫這樣一個規范的過程當中。

求證AB//CD

證明：∵AD//BC（）

∴∠1=（）

又∵∠BAD=∠BCD（）

∴∠BAD－∠1=∠BCD－∠2

即：∠3=∠4

∴AB//（）

總之：幾何推理證明的分析和書寫是一個重要而學生又難以掌握的過程，它需要教師較長時間的引導和幫助，才能逐步形成學生自己的技能和技巧，但不管怎樣，教師在教學中要反復強調這樣一個模式：要證什么→需要什么→題目有了什么→還缺什么→需補什么，按照這種模式反復訓練，學生是能夠學好幾何推理證明的。

第三篇：幾何證明方法(初中數學)

初中數學幾何證明題技巧，歸類

一、證明兩線段相等

1.兩全等三角形中對應邊相等。

2.同一三角形中等角對等邊。

3.等腰三角形頂角的平分線或底邊的高平分底邊。（三線合一）

4.平行四邊形的對邊或對角線被交點分成的兩段相等。

5.直角三角形斜邊的中點到三頂點距離相等。

6.線段垂直平分線上任意一點到線段兩段距離相等。

7.角平分線上任一點到角的兩邊距離相等。

*8.同圓（或等圓）中等弧所對的弦或與圓心等距的兩弦或等圓心角、圓周角所對的弦相等。

*10.垂徑定理

二、證明兩個角相等

1.兩全等三角形的對應角相等。

2.同一三角形中等邊對等角。

3.等腰三角形中，底邊上的中線（或高）平分頂角。

4.兩條平行線的同位角、內錯角或平行四邊形的對角相等。

5.同角（或等角）的余角（或補角）相等。

6.相似三角形的對應角相等。

7.圓的內接四邊形的外角等于內對角。

三、證明兩條直線互相垂直

1.等腰三角形的頂角平分線或底邊的中線垂直于底邊。

2.三角形中一邊的中線若等于這邊一半，則這一邊所對的角是直角(直角三角形

3.在一個三角形中，若有兩個角互余，則第三個角是直角。

4.鄰補角的平分線互相垂直。

5.一條直線垂直于平行線中的一條，則必垂直于另一條。

7.利用到一線段兩端的距離相等的點在線段的垂直平分線上。

8.利用勾股定理的逆定理。

9.利用菱形的對角線互相垂直。

*10.在圓中平分弦（或弧）的直徑垂直于弦。垂徑定理

*11.利用半圓上的圓周角是直角。

四、證明兩直線平行

1.垂直于同一直線的各直線平行。

2.同位角相等，內錯角相等或同旁內角互補的兩直線平行。

3.平行四邊形的對邊平行。

4.三角形 梯形的中位線平行于第三邊，底邊。

6.平行于同一直線的兩直線平行。

五、證明線段的和差倍分

1.作兩條線段的和，證明與第三條線段相等。

2.在第三條線段上截取一段等于第一條線段，證明余下部分等于第二條線段。

3.延長短線段為其二倍，再證明它與較長的線段相等。

4.取長線段的中點，再證其一半等于短線段。

5.利用一些定理（三角形的中位線、含30度的直角三角形、直角三角形斜邊上的中線、三角形的重心、相似三角形的性質等）。

六、證明比例式或等積式

1.利用相似三角形對應線段成比例。

2.利用內外角平分線定理。

3.平行線截線段成比例。

4.直角三角形中的比例中項定理即射影定理。

一個圖,你看著哪好像差根線,你就用鉛筆描一下,分析一下有了這根線哪線角相等,哪相角互補之類的.不可以只盯著原圖看.另外,看已知條件里,把它們標注在圖里,看人家給這個條件,你可以知道什么,這個條件有什么用,可以由此推出什么.從求證出發你就要想，這道題要求證這個，就要有.....這些條件，再看已知，有了這些條件了，噢，還差這個條件。然后就找條件來證明這個還差的條件，然后全部都搭配齊全了，就證出了題目了記住，做題要倒推走把已知的條件從筆在圖上表示出來，方便分析而且你要牢牢記住一些定理，還有一些特殊角，特殊形狀等等他們的關系當一些題實在證不出來時，你要注意了，可能要添輔助線，比如剛才我說的還差什么條件，你就可以畫一個線段，平行線什么的來補充條件，你下子你就一目了然了，不過有些很難的看出的輔助線就要靠你的做題的作戰經驗了，你還要認真做題。把這些牢牢記住，在記住老師教你們的公里定理些，你就已經成功大半了。

有心學習就不怕沒希望提高！課上要稍微做些筆記，特別是自己有疑問的地方，課后的練習不一定非得全部做完，浪費寶貴的時間資源，但一定要及時。對于自己比較容易犯錯的地方或記憶不牢的建議用小小的隨身便攜紙記錄下來，想看的時候隨時都可以看。對于比較典型的而自己又沒掌握的題型則把它抄錄在專用本子上，詳細的寫出解題步驟，還可以從中挖掘出許多的知識點，然后再找些近似題目自己獨自解答，看看差距在哪里，并想辦法解決。久而久之當本子厚了以后復習，也就基本可以不用看書僅僅看本子就行了，達到事半功倍的效果，希望你早日獲得快樂學習方法！

第四篇：初中數學-幾何證明經典試題及答案

初中幾何證明題

經典題（一）

1、已知：如圖，O是半圓的圓心，C、E是圓上的兩點，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO．

求證：CD＝GF．（初二）

A

F

G

C

E

B

O

D2、已知：如圖，P是正方形ABCD內點，∠PAD＝∠PDA＝150．

A

P

C

D

B

求證：△PBC是正三角形．（初二）

D2

C2

B2

A2

D1

C1

B1

C

B

D

A

A13、如圖，已知四邊形ABCD、A1B1C1D1都是正方形，A2、B2、C2、D2分別是AA1、BB1、CC1、DD1的中點．

求證：四邊形A2B2C2D2是正方形．（初二）

A

N

F

E

C

D

M

B4、已知：如圖，在四邊形ABCD中，AD＝BC，M、N分別是AB、CD的中點，AD、BC的延長線交MN于E、F．

求證：∠DEN＝∠F．

經典題（二）

1、已知：△ABC中，H為垂心（各邊高線的交點），O為外心，且OM⊥BC于M．

·

A

D

H

E

M

C

B

O

（1）求證：AH＝2OM；

（2）若∠BAC＝600，求證：AH＝AO．（初二）

·

G

A

O

D

B

E

C

Q

P

N

M2、設MN是圓O外一直線，過O作OA⊥MN于A，自A引圓的兩條直線，交圓于B、C及D、E，直線EB及CD分別交MN于P、Q．

求證：AP＝AQ．（初二）

3、如果上題把直線MN由圓外平移至圓內，則由此可得以下命題：

·

O

Q

P

B

D

E

C

N

M

·

A

設MN是圓O的弦，過MN的中點A任作兩弦BC、DE，設CD、EB分別交MN于P、Q．

求證：AP＝AQ．（初二）

4、如圖，分別以△ABC的AC和BC為一邊，在△ABC的外側作正方形ACDE和正方形CBFG，點P是EF的中點．

P

C

G

F

B

Q

A

D

E

求證：點P到邊AB的距離等于AB的一半．（初二）

經典題（三）

1、如圖，四邊形ABCD為正方形，DE∥AC，AE＝AC，AE與CD相交于F．

A

F

D

E

C

B

求證：CE＝CF．（初二）

2、如圖，四邊形ABCD為正方形，DE∥AC，且CE＝CA，直線EC交DA延長線于F．

E

D

A

C

B

F

求證：AE＝AF．（初二）

3、設P是正方形ABCD一邊BC上的任一點，PF⊥AP，CF平分∠DCE．

D

F

E

P

C

B

A

求證：PA＝PF．（初二）

O

D

B

F

A

E

C

P4、如圖，PC切圓O于C，AC為圓的直徑，PEF為圓的割線，AE、AF與直線PO相交于B、D．求證：AB＝DC，BC＝AD．（初三）

經典題（四）

A

P

C

B1、已知：△ABC是正三角形，P是三角形內一點，PA＝3，PB＝4，PC＝5．

求：∠APB的度數．（初二）

2、設P是平行四邊形ABCD內部的一點，且∠PBA＝∠PDA．

求證：∠PAB＝∠PCB．（初二）

P

A

D

C

B3、設ABCD為圓內接凸四邊形，求證：AB·CD＋AD·BC＝AC·BD．（初三）

C

B

D

A4、平行四邊形ABCD中，設E、F分別是BC、AB上的一點，AE與CF相交于P，且

AE＝CF．求證：∠DPA＝∠DPC．（初二）

F

P

D

E

C

B

A

A

P

C

B

經典難題（五）

1、設P是邊長為1的正△ABC內任一點，L＝PA＋PB＋PC，求證：≤L＜2．

A

C

B

P

D2、已知：P是邊長為1的正方形ABCD內的一點，求PA＋PB＋PC的最小值．

A

C

B

P

D3、P為正方形ABCD內的一點，并且PA＝a，PB＝2a，PC＝3a，求正方形的邊長．

E

D

C

B

A4、如圖，△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝800，D、E分別是AB、AC上的點，∠DCA＝300，∠EBA＝200，求∠BED的度數．

經典題（一）

1.如下圖做GH⊥AB,連接EO。由于GOFE四點共圓，所以∠GFH＝∠OEG,即△GHF∽△OGE,可得==,又CO=EO，所以CD=GF得證。

2.如下圖做△DGC使與△ADP全等，可得△PDG為等邊△，從而可得

△DGC≌△APD≌△CGP,得出PC=AD=DC,和∠DCG=∠PCG＝150

所以∠DCP=300，從而得出△PBC是正三角形

3.如下圖連接BC1和AB1分別找其中點F,E.連接C2F與A2E并延長相交于Q點，連接EB2并延長交C2Q于H點，連接FB2并延長交A2Q于G點，由A2E=A1B1=B1C1=

FB2，EB2=AB=BC=FC1，又∠GFQ+∠Q=900和

∠GEB2+∠Q=900,所以∠GEB2=∠GFQ又∠B2FC2=∠A2EB2，可得△B2FC2≌△A2EB2，所以A2B2=B2C2，又∠GFQ+∠HB2F=900和∠GFQ=∠EB2A2,從而可得∠A2B2

C2=900，同理可得其他邊垂直且相等，從而得出四邊形A2B2C2D2是正方形。

4.如下圖連接AC并取其中點Q，連接QN和QM，所以可得∠QMF=∠F，∠QNM=∠DEN和∠QMN=∠QNM，從而得出∠DEN＝∠F。

經典題（二）

1.(1)延長AD到F連BF，做OG⊥AF,又∠F=∠ACB=∠BHD，可得BH=BF,從而可得HD=DF，又AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM

(2)連接OB，OC,既得∠BOC=1200，從而可得∠BOM=600,所以可得OB=2OM=AH=AO,得證。

3.作OF⊥CD，OG⊥BE，連接OP，OA，OF，AF，OG，AG，OQ。

由于，由此可得△ADF≌△ABG，從而可得∠AFC=∠AGE。

又因為PFOA與QGOA四點共圓，可得∠AFC=∠AOP和∠AGE=∠AOQ，∠AOP=∠AOQ，從而可得AP=AQ。

4.過E,C,F點分別作AB所在直線的高EG，CI，FH。可得PQ=。

由△EGA≌△AIC，可得EG=AI，由△BFH≌△CBI，可得FH=BI。

從而可得PQ=

=，從而得證。

經典題（三）

1.順時針旋轉△ADE，到△ABG，連接CG.由于∠ABG=∠ADE=900+450=1350

從而可得B，G，D在一條直線上，可得△AGB≌△CGB。

推出AE=AG=AC=GC，可得△AGC為等邊三角形。

∠AGB=300，既得∠EAC=300，從而可得∠A

EC=750。

又∠EFC=∠DFA=450+300=750.可證：CE=CF。

2.連接BD作CH⊥DE，可得四邊形CGDH是正方形。

由AC=CE=2GC=2CH，可得∠CEH=300，所以∠CAE=∠CEA=∠AED=150，又∠FAE=900+450+150=1500，從而可知道∠F=150，從而得出AE=AF。

3.作FG⊥CD，FE⊥BE，可以得出GFEC為正方形。

令AB=Y，BP=X,CE=Z,可得PC=Y-X。

tan∠BAP=tan∠EPF==，可得YZ=XY-X2+XZ，即Z(Y-X)=X(Y-X)，既得X=Z，得出△ABP≌△PEF，得到PA＝PF，得證。

經典難題（四）

1.順時針旋轉△ABP

600，連接PQ，則△PBQ是正三角形。

可得△PQC是直角三角形。

所以∠APB=1500。

2.作過P點平行于AD的直線，并選一點E，使AE∥DC，BE∥PC.可以得出∠ABP=∠ADP=∠AEP，可得：

AEBP共圓（一邊所對兩角相等）。

可得∠BAP=∠BEP=∠BCP，得證。

3.在BD取一點E，使∠BCE=∠ACD，既得△BEC∽△ADC，可得：

=，即AD?BC=BE?AC，①

又∠ACB=∠DCE，可得△ABC∽△DEC，既得

=，即AB?CD=DE?AC，②

由①+②可得:

AB?CD+AD?BC=AC(BE+DE)=

AC·BD，得證。

4.過D作AQ⊥AE，AG⊥CF，由==，可得：

=，由AE=FC。

可得DQ=DG，可得∠DPA＝∠DPC（角平分線逆定理）。

經典題（五）

1.（1）順時針旋轉△BPC

600，可得△PBE為等邊三角形。

既得PA+PB+PC=AP++PE+EF要使最小只要AP，PE，EF在一條直線上，即如下圖：可得最小L=；

（2）過P點作BC的平行線交AB,AC與點D，F。

由于∠APD>∠ATP=∠ADP，推出AD>AP

①

又BP+DP>BP

②

和PF+FC>PC

③

又DF=AF

④

由①②③④可得：最大L<

2；

由（1）和（2）既得：≤L＜2。

2.順時針旋轉△BPC

600，可得△PBE為等邊三角形。

既得PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要AP，PE，EF在一條直線上，即如下圖：可得最小PA+PB+PC=AF。

既得AF=

=

=

=

=

=。

3.順時針旋轉△ABP

900，可得如下圖：

既得正方形邊長L

=

=。

4.在AB上找一點F，使∠BCF=600，連接EF，DG，既得△BGC為等邊三角形，可得∠DCF=100,∠FCE=200,推出△ABE≌△ACF，得到BE=CF，FG=GE。

推出

：

△FGE為等邊三角形，可得∠AFE=800，既得：∠DFG=400

①

又BD=BC=BG，既得∠BGD=800，既得∠DGF=400

②

推得：DF=DG,得到：△DFE≌△DGE，從而推得：∠FED=∠BED=300。

第五篇：初一下專題6-幾何推理-幾何證明

專題6：幾何推理-幾何證明

1、已知：如圖，CD⊥AD，DA⊥AB，∠1=∠2.求證：DF∥AE.C

D

E

AF

B2、已知：BF⊥AC于F，GD⊥AC于D，∠1=∠2.求證：EF∥BD.A

F

E

BDC

G3、已知：如圖，AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，且∠1+∠2=90°.試判斷直線AB、CD是否平行，為什么？

A

BE

D

C4、如圖，已知∠ABC=52°, ∠ACB=64°，∠ABC和∠ACB的平分線相交于M，DE過M且DE∥BC.（1）求∠BMC的度數；（2）過M作EC的平行線，交BC于F，求∠BMF的度數.A

M

FDBEC5、已知：如圖，AB、CD被EF所截，且AB∥CD，GM∥HN.求證：（1）∠3=∠4；（2）∠1=∠2.E

A

BND

CF6、如果，直線AB.CD被EF所截，∠1 =∠2，∠CNF =∠BME.求證：MP∥NQ．

A C

F7、已知：如圖，AD∥BC, DE，CF分別平分∠ADC，∠BCG.求證：DE∥CF.D

2E B P D

Q

C

4GF

E

B

A8、已知∠1=∠2,∠C=∠F.請問∠A與∠D存在怎樣的關系？驗證你的結論.FE

D

B

C9、如圖，∠ABC=∠ADC，BF、DE分別平分∠ABC與∠ADC，DE∥BF.求證：AB∥DC.DA10、A、B、C三點在同一直線上，∠1=∠2，∠3=∠D.試說明BD∥CE.F

CB

E

A

B

C11、如圖，已知AB∥CD，試再添上一個條件，使∠1 =∠2成立．

（要求給出兩個以上答案，并選擇其中一個加以證明）

12、已知：如圖，在△ABC中，FE⊥AB，CD⊥AB，G在AC邊上，并且∠1=∠2.求證：∠AGD=∠ACB.F C

A

E

B

D

ADEB

G

F

C13、已知：DM⊥BC于M，AC⊥CB于C，EF⊥AB于E，∠1=∠2.試說明CD⊥AB的理由.AE

D

F

B

M

C14、如圖，AB∥CD，直線EF分別交AB、CD于點E、F，EG平分∠BEF交CD于點G，∠1=50?，求∠2的度數.15、已知：如圖，AB∥CD，∠B＝35°，∠1＝75°．求∠A的度數．

16、已知：如圖，AB∥DE，CM平分∠BCE，CN⊥CM．求證：∠B＝2∠DCN．