第一篇：《用三點共線的向量結論解決平幾中的一類求值問題》教案說明

《用三點共線的向量結論解決平幾中的一類求值問題》教案說明

凱里一中數學組梁恩煥郵編：556000

向量是數與形的高度統一，它集幾何圖形的直觀與代數運算的簡捷于一身，在解決平面幾何問題時能起到奇特的作用。在用向量解決平面幾何問題時，首先就是要將幾何關系轉化為向量表示（即選擇適當的基底），然后再借助向量運算來解決。因此，本節課實際就是讓學生學會：在三點共線條件下，知道將幾何關系轉化為向量問題來解決。

本節課的教學目標是按三維目標來確定的。它包括知識與技能、過程與方法、情感態度與價值觀三個方面。知識與技能目標有4點，它們是相互聯系層層遞進的關系。目標1是基礎，目標2是內容，目標3是獲得技能，目標4才是這節課的根本意圖。我國新一輪課程改革提出：改變課程過于注重知識傳授的傾向，強調形成積極的學習態度，使獲得知識與形成技能的過程成為學會學習和形成價值觀的過程。這就要求我們的教學過程應更多的考慮學生，要讓他們在課堂上參與適應的探索并能在這一過程中感受成功的喜悅。

本內容是學生學習了向量的一些基本概念、向量的加法與減法、向量共線的充要條件、平面向量基本定理和三點共線的向量結論后進行的一節探究式的習題課。平面向量基本定理這一節的例5學生知道了這樣一個結論：A、B、C三點共線的充要條件是：有唯一的實數對λ、μ，使OC??OA??OB，其中λ+μ=1。并且通過上節課的學習，學生還知道了在三點共線條件下寫向量表達式的一種方法：如右圖, ?????????A???m?n

OA?m?n ??Om+n

圖1圖

2分母m+n代表線段AB的份數，即右邊兩向量終點表示的線段，m代表線段CB的份數，即左邊向量OC和右邊向量OB兩向量終點表示的線段，n代表線段CA的份數，即左邊向量OC和右邊向量OA兩向量終點表示的線段。系數m、n與它對應的線段恰好是交叉關系；????????????當分點在線段的外部時，添加一個負號，其位置由系數和為1確定。在三點共線的條件下學生能較為熟練的寫出向量表達式作為基礎來進行這節課的教學。

對??CB的幾何意義的探求分四個階段進行：先由1、2兩個特例得猜想：=；再由??CA

?CB|=；然后指出這一猜想的正確性（不證明）；?CA檢驗特例2的系數完善猜想，得猜想2：|

最后通過課堂的應用

1、應用2和課堂練習來鞏固知識。本節課最關鍵的是教師引導學生得猜想1和猜想2，這也是本節課最難的。因為這一過程思維跳躍性很強，要反復結合向量表達式和圖形，稍有不慎，學生的思維鏈一斷，這節課就變得毫無意義了！結論|?CB|=在課?CA

堂上沒有證明，從這一意義上說失去了數學的理性思維，少了很多的“數學味”，但對高一的學生來說卻是很必要的（要知道，正是因為有時我們過分追求理性思維才讓學生產生 “數學就是繁和難的演繹與推理”這種想法，讓他們畏懼數學！）。有時這種“重過程輕實質”的方法，能減輕學生的學習負擔，不會因技巧性強、冗長的證明過程沖淡本節課的主題。本節 課的最終目的是要讓學生感受到一點向量應用的廣泛性，并希望能逐步增強學生應用向量解 決數學問題的能力。若著眼點僅是這一節課，探索?的幾何意義的過程對高一學生而言有 ?

些難，甚至可以說沒必要。但若將這節課放到整個高中階段這根知識大鏈上來看又是怎樣的 呢？僅從以下兩個例子就可見向量在中學數學知識中的地位了：

1、向量與三角知識的融合。在推導正弦定理、余弦定理均用到了向量知識。但是在教 學過程中這一點還沒有引起我們足夠的重視，甚至有些教師對教材中用向量方法證明正弦和 余弦定理棄之不用，課堂教學中僅僅是為了得到一個結論，證明方法仍是沿用以前的老教材中的方法。應該說這是一種教學資源的浪費！正弦和余弦定理究竟要解決的是什么問題？初中解決角與邊有哪些方法？高中與角和邊有關的又有哪些知識？通過這種引導，讓學生將所學的向量的數量積與三角形知識聯系起來，這樣既能讓學生掌握這種證明方法，又能讓學生樹立應用向量的意識；

2、向量在立體幾何中的應用。這幾年來高考對立體幾何知識大題的考查都是能建立直角坐標系，大題的得分率比以前大大提高。但這也給部分學生（甚至于我們的教師）留下了這樣一些印象：只要會建立直角坐標系就行了；立體幾何對邏輯推理和空間想像能力的要求降低了；向量在立體幾何中的應用關鍵是能建立直角坐標系等等。比如高二數學教材下B第51頁例2，題如下：

已知在一個60的二面角的棱上有兩個點A、B，AC、BD分別是在這個二面角的兩個面內，且垂直于AB的線段，又知AB=4cm, AC=6cm, BD=8cm,求CD的長。

對于高三的同學來說也很少想到用向量方法來解決的。在不建立直角坐標系的條件下用向量來證明線線平行、線面平行，求線面角、二面角的平面角這方面的意識學生就更弱了！培養學生應用向量的意識不是一朝一夕就能實現的，而要把這種意識轉化為一種能力那就更是需要一個長期的、不斷訓練的過程了。我從最不理想的角度考慮過這節課的效果，若有學生在上課時由于注意力不集中導致后面的內容聽不懂了，若他看到用向量方法能這樣簡捷的解決平面幾何問題時，他只要能這樣想：哦，原來還可以這樣呀！我就覺得是我這節課的收獲了！從這個方面來看，這節課是及時的也是需要的。在三點共線的條件下讓學生寫向量表達式都能準確的寫出來，但是在探求??的幾何意?

義時還是應特別的注意.因為這需要在向量表達式和圖形中反復觀察，這也是學生最容易出問題的地方。此時應該放手讓學生自己先探索，教師再去引導，這樣的效果會更好的，若探索這個環節處理得不好，后面的內容就會變成老師的獨角戲了！另外，學生容易出錯的是在???1?????BC求比值。例1中求出了λ的值，是代入BG??BA?(1??)BM還是代入BG??BA?

2解題到此時可再回顧三點共線的向量結論的形式特點，通過課堂上3個題目的和課外1題（課外作業的第一題是要求每個學生必做的，2作為選做）共4個題的訓練是能正確區分這一點的。

根據新課改的教育教學理念，在課堂上探究知識時讓學生經歷：操作實踐?觀察?猜想、歸納，這是一種以學生為主，還課堂于學生的教學活動。根據本節課的內容特點，授課時是按照這樣一種模式進行的：創設情景?數學活動?猜想、歸納?鞏固、應用和拓展。在數學活動的過程中讓學生知道了這樣一種解決問題的方法：特例?觀察?猜想?驗證、??????????????完善猜想?歸納?證明。通過合作交流的方式探求知識，增強了他們應用向量解決數學問題的意識。當然，這節課是第一節向量應用課，其中?的幾何意義是我的新發現（或?

許早就有資料介紹了，只是我孤陋寡聞吧！）有些語句描述學生以前沒有聽到過，學生課堂回答問題不夠準確，我也沒敢放手的讓學生去探求，這是我最大的遺憾！

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