第一篇：平面向量教學反思

篇一：從平面向量到空間向量教學反思

淮北實驗高級中學 李德鋒

“空間向量與立體幾何”一章是數學必修4“平面向量”在空間的推廣，又是數學必修2“立體幾何初步”的延續，本節是概念教學，概念的展開采用了從平面向量過渡到空間向量的過程，突出了類比思想。進而在了解空間向量概念的基礎上，運用空間向量表示直線的方向和平面位置關系的問題，體會向量在研究幾何圖形中的作用。下面有幾點體會：

1.課本開始舉的李明從學校到住處的位移，求這個位移用到了三次不在同一個平面內的位移從而進入課題，可引導學生舉出更多的實例，墻壁支架上物體所受的力等。讓學生體會到生活中很多問題用到空間向量，體會數學來源于實際，提高學生學習興趣及善于觀察的能力。

2.講授基本概念時，注重類比歸納的方法，從平面向量入手，類比得到空間向量的基本概念，無論是從向量的定義、向量的表示、向量的長度，還是特殊向量（單位向量、相等向量等）、向量與直線等都從平面向量類比到空間向量。這里通過微課的播放讓學生進行回顧，過于單調，而微課的呈現也起到了一定的作用。

3.自主學習的時候學生的積極性不是特別高，因為提前給小組布置了相應的任務，有個別小組沒有過多關注其他問題，下次不提前告知任務。

4.課堂探究時學生的表現很好，但是對于學生的回答，總結點評不是特別到位。

5.空間向量的基本概念及其性質是后續學習的前提，由于空間向量是平面向量的推廣，空間向量及其運算所涉及的內容與平面向量及其運算類似，所以，空間向量的教學上要注重知識間的聯系，溫故而知新，運用類比、猜想、歸納、推廣的方法認識新問題，經歷向量及其運算由平面向空間推廣的過程。

篇二：平面向量數量積教學反思

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一、本節課的設想與基本流程： 本節課主要是研究向量與向量的內積的問題，也就是向量的數量積。因為之前剛學習了向量的線性運算，所以我就直接從向量的線性運算引入了數量積這一概念，請同學來回答數量積的概念，在此過程中特別強調了夾角的概念，強調要共起點。這是學生容易出問題的地方，因此后面安排的例題就特意考察了這一問題；另外還強調了兩個向量的數量積不是一個向量，而是一個數量，這也是它與之前的線性運算的區別；接下來，通過分析平面向量數量積的定義，體會平面向量的數量積的幾何意義，從而使學生從代數和幾何兩個方面對數量積的“質變”特征有了更加充分的認識。

二、我的體會： 通過本節課的教學，我有以下幾點體會：

（1）讓學生經歷數學知識的形成與應用過程 高中數學教學應體現知識的來龍去脈，創設問題情景，建立數學模型，讓學生經歷數學知識的形成與應用，可以更好的理解數學概念、結論的形成過程，體會蘊含在其中的思想方法，增強學好數學的愿望和信心。對于抽象數學概念的教學，要關注概念的實際背景與形成過程，幫助學生克服機械記憶概念的學習方式。

（2）鼓勵學生自主探索、自主學習教師是學生學習的引導者、組織者，教師在教學中的作用必須以確定學生主體地位為前提，教學過程中要發揚民主，要鼓勵學生質疑，提倡獨立思考、動手實踐、自主探索、閱讀自學等學習方式。對于教學中問題情境的設計、教學過程的展開、練習的安排等，要盡可能地讓所有學生都能主動參與，提出各自解決問題的方案，并引導學生在與他人的交流中選擇合適的策略，使學生切實體會到自主探索數學的規律和問題解決是學好數學的有效途徑。

（3）注重學生數學思維的培養 本節通過特殊到一般進行觀察歸納、合情推理，探求定義、性質和幾何意義。在整個探求過程中，充分利用“舊知識”及“舊知識形成過程”，并利用它探求新知識。這樣的過程，既是學生獲得新知識的過程，更是培養學生能力的過程。我感覺不足的有：（1）教師應該如何準確的提出問題 在教學中，教師提出的問題要具體、準確，而不應該模棱兩可。（2）教師如何把握“收” 與“放”的問題 何時放手讓學生思考，何時教師引導學生，何時教師講授，這是個值得思考的問題。（3）教師要點撥到位 在學生出現問題后，教師要及時點評加以總結，要重視思維的提升，提高學生的數學能力和素質。（4）課堂語言還需要進一步提煉。在教學中，提出的問題，分析引導的話應具體，明確，不能讓學生不知道如何回答，當然有些問題我也考慮過該如何問，只是沒有找到更合適的提問方法，這方面的能力有待加強。

以上就是本人的教學反思，只有不斷地反思，不斷地總結才能在今后的教學中取得更好的教學效果，盡快地提高自身的教學水平。

篇三：《從平面向量到空間向量》的教學反思

ss長安一中 任曉龍

本章，是數學必修4“平面向量”在空間的推廣，又是數學必修

2“立體幾何初步”的延續，努力使學生將運用空間向量解決有關直線、平面位置關系的問題，體會向量方法在研究幾何圖形中的作用，進一步發展空間想象能力和幾何直觀能力。

一、其教育價值體現在：

空間向量為處理立體幾何問題提供了新的視角(“立體幾何初步”

側重于定性研究，本章則側重于定量研究)。空間向量的引入，為解決三維空間中圖形的位置關系與度量問題提供了一個十分有效的工具。

進一步體會向量方法在研究幾何問題中的作用。向量是一個重要的代數研究對象，引入向量運算，使數學的運算對象發生了一個重大跳躍：從數、字母與代數式到向量，運算也從一元到多元。向量又是一個幾何對象，本身既有方向，又有長度；是溝通代數與幾何的一個橋梁，是一個重要的數學與物理模型，這些也為進一步學習向量和研究向量奠定了一定的基礎。

《標準》中要求讓學生經歷向量及其運算由平面向空間推廣的過

程，目的是讓學生體會數學的思想方法（類比與歸納），體驗數學在結構上的和諧性與在推廣過程中的問題，并嘗試如何解決這些問題。同時在這一過程中，也讓學生見識一個數學概念的推廣可能帶來很多更好的性質。掌握空間向量的基本概念及其性質是基本要求，是后續學習的前提。

利用向量來解決立體幾何問題是學習這部分內容的重點，要讓學生體會向量的思想方法，以及如何用向量來表示點、線、面及其位置關系。

新老課程相比，該部分減少了大量的綜合證明的內容，重在對于圖形的把握，發展空間概念，運用向量方法解決計算問題，這樣的調整，將使得學生把精力更多地放在理解數學的細想方法和本質方面，更加注意數學與現實世界的聯系和應用，重在發展學生的數學思維能力，發展學生的數學應用意識，提高學生自覺運用數學分析問題、解決問題的能力，為學生日后的進一步學習，或工作、生活中應用數學，打下更好的基礎。

二、教學中應注意的問題

1.作為空間向量的第一課時，應該讓學生體會到生活中很多問題用到空間向量，比如課本開始舉的李明從學校到住處的位移，求這個位移就

用到了我們空間向量，而且三次位移不在同一個平面上，從而進入課題。2 重要概念的把握，比如“自由向量”這個概念如果能讓學生理解透徹，那么很多平面向量的東西平移到空間向量上是很自然的。

平面的法向量及直線的方向向量讓學生要注意到直線所在向量的夾角與兩異面直線夾角的不同。

（1）類比、猜想、歸納、推廣（讓學生經歷由平面向空間推廣的過程）；

（2）能靈活選擇向量法、坐標法與綜合法解決立體幾何問題。

3.溫故知新

空間向量的基本概念及其性質是后續學習的前提，由于空間向量是

平面向量的推廣，空間向量及其運算所涉及的內容與平面向量及其運算

類似，所以，空間向量的教學上要注重知識間的聯系，溫故而知新，運用類比的方法認識新問題，經歷向量及其運算由平面向空間推廣的過程。

第二篇：《平面向量的線性運算》教學反思

復習本節課，應該說是輕松的，復習目標無非是1，向量概念的梳理，2向量的線性運算，3，共線向量定理的應用，《平面向量的線性運算》教學反思。但實際上課過程中，我感覺很累，主要問題自己想了一下，主要是以下幾點：1，自身對向量的概念還沒有真正理解透，像有向線段只是向量的一種表現形式，但并不是向量，我不知道對于學生，我有沒有讓學生真正理解；2，板書不是強項，看到別的老師拿著三角板進行作圖，本身自己作圖就不太好，還隨手畫，對于學生不是一個好現象；3，時間的把握上，7班明明只有35分，我還是發現自己有些廢話太多，導致沒有像在8班完整上完，教學反思《《平面向量的線性運算》教學反思》。

第三篇：平面向量復習題

平面 向 量

向量思想方法和平面向量問題是新考試大綱考查的重要部分，是新高考的熱點問題。題型多為選擇或填空題，數量為1-2題，均屬容易題，但是向量作為中學數學中的一個重要工具在三角、函數、導數、解幾、立幾等問題解決中處處閃光。最近幾年的考試中向量均出現在解析幾何題中，在解析幾何的框架中考查向量的概念和方法、考查向量的運算性質、考查向量幾何意義的應用，并直接與距離問題、角度問題、軌跡問題等相聯系。近年考綱又新增“平面向量在幾何中的應用”試題進一步要求我們具備多角度、多方向地分析，去探索、去發現、去研究、去創新，而不是去做大量的模仿式的解題。一個問題解決后，不能匆匆而過，回顧與反思是非常有必要的，以充分發揮每一道題目的價值。除了要重視一題多解外，更要重視一題多變，主動探索：條件和結論換一種說法如何？變換一個條件如何？反過來又會怎么樣？等等。只有這樣才能做到舉一反三，以不變應萬變。

一、高考考綱要求

1．理解向量的概念，掌握向量的幾何表示，了解共線向量的概念．

2．掌握向量的加法與減法．

3．掌握實數與向量的積，理解兩個向量共線的充要條件．

4．了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐標的概念，掌握平面向量的坐標運算．

5．掌握平面向量的數量積及其幾何意義，了解用平面向量的數量積可以處理有關長度、角度和垂直的問題，掌握向量垂直的條件．

6．掌握平面兩點間的距離公式，掌握線段的定比分點和中點公式，并且能熟練運用；掌握平移公式．

二、高考熱點分析

在高考試題中，對平面向量的考查主要有三個方面：

其一是主要考查平面向量的概念、性質和運算法則，理解和運用其直觀的幾何意義，并能正確地進行計算。其二考查向量坐標表示，向量的線性運算。

其三是和其他知識結合在一起，在知識的交匯點設計試題，考查向量與學科知識間綜合運用能力。

數學高考命題注重知識的整體性和綜合性，重視知識的交互滲透，在知識網絡的交匯點設計試題．由于向量具有代數和幾何的雙重身份，使它成為中學數學知識的一個交匯點，成為聯系多項知識的媒介．因此，平面向量與其他知識的結合特別是與解析幾何的交匯、融合仍將是高考命題的一大趨勢，同時它仍將是近幾年高考的熱點內容．

附Ⅰ、平面向量知識結構表

1.考查平面向量的基本概念和運算律

1此類題經常出現在選擇題與填空題中，主要考查平面向量的有關概念與性質，要求考生深刻理解平面向量的相關概念，能熟練進行向量的各種運算，熟悉常用公式及結論，理解并掌握兩向量共線、垂直的充要條件。1．(北京卷)| a |=1，| b |=2，c = a + b，且c⊥a，則向量a與b的夾角為

A．30°

B．60°

C．120°

D．150°

（）

2．(江西卷)已知向量

A．30°

?(1,2),(?2,?4),||?

B．60°,若(?)??

C．120°,則與的夾角為

2（）

D．150°

3．(重慶卷)已知A（3，1），B（6，1），C（4，3），D為線段BC的中點，則

A．

與的夾角為（）

444

4B．arccos C．arccos(?)D．－arccos(?)

2555

5???????

4．(浙江卷)已知向量a≠e，|e|＝1，對任意t∈R，恒有|a－te|≥|a－e|，則

?arccos

?

（）

??A．a⊥e ???B．a⊥(a－e)

?

???C．e⊥(a－e)????D．(a＋e)⊥(a－e)

????????．(上海卷)在△ABC中，若?C?90，AC?BC?4，則BA?BC? 2.考查向量的坐標運算

1．(湖北卷)已知向量a=（－2，2），b=（5，k）.若|a+b|不超過5，則k的取值范圍是

A．[－4，6]

2．(重慶卷)設向量a=（－1，2），b=（2，－1），則（a·b）（a+b）等于

A．（1，1）

B．（－4，－4）

C．－4

D．（－2，－2）

()

（）

B．[－6，4]

C．[－6，2]

D．[－2，6]

（）

????

3．(浙江卷)已知向量a＝(x－5，3)，b＝(2，x)，且a⊥b，則由x的值構成的集合是

A．{2，3}

B．{－1，6}

C．{2}

D．{6}

例4．(2005年高考·天津卷·理14)在直角坐標系xOy中,已知點A(0,1)和點B(－3,4)，若點C在∠AOB的平分線上且||=2,則OC=。

????????????

5．(全國卷)已知向量OA?(k,12),OB?(4,5),OC?(?k,10)，且A、B、C三點共線，則k=.6．(湖北卷)已知向量a7．(廣東卷)已知向量a

?(?2,2),b?(5,k).若|a?b|不超過5，則k的取值范圍是

?(2,3),b?(x,6),且a//b,則x.3.平面向量在平面幾何中的應用

????????

????????ABAC

?),??[0,??),則1.O是平面上一定點，A,B,C是平面上不共線的三個點，動點P滿足OP?OA??(|AB||AC|

P的軌跡一定通過△ABC

A．外心的（）B．內心

C．重心

D．垂心

????

2．（遼寧卷）已知四邊形ABCD是菱形，點P在對角線AC上（不包括端點A,C），則AP等于（）

????????????????A．?(AB?AD),??(0,1)

B.?(AB?BC),??(0,????????????????C.?(AB?AD),??(0,1)

D.?(AB?BC),??(0,??????

3．已知有公共端點的向量a，b不共線，|a|＝1，|b|=2,則與向量a，b的夾角平分線平行的單位向量是.????????????????

4．已知直角坐標系內有三個定點A(?2,?1)、B(0,10)、C(8,0)，若動點P滿足：OP?OA?t(AB?AC),t?R，則點P的軌跡方程。

4.平面向量與三角函數、函數等知識的結合當平面向量給出的形式中含有未知數時，由向量平行或垂直的充要條件可以得到關于該未知數的關系式。在此基礎上，可以設計出有關函數、不等式、三角函數、數列的綜合問題。此類題的解題思路是轉化為代數運算，其轉化途徑主要有兩種：

①利用向量平行或垂直的充要條件，②利用向量數量積的公式和性質.1．(江西卷)已知向量?(2cos

xx?x?x?,tan(?)),?(2sin(?),tan(?)),令f(x)??.224242

4求函數f(x)的最大值，最小正周期，并寫出f(x)在[0，π]上的單調區間.2．(山東卷)已知向量

??

m?(cos?,sin?)

和

?n?

sin?,cos?,????,2??

?，且

???m?n?求

????

cos???的值.?28?

3．(上海卷)已知函數

f(x)?kx?b的圖象與x,y軸分別相交于點

A、B，?2?2（,分別是與x,y軸正半

軸同方向的單位向量），函數g(x)

?x2?x?6.f(x)?g(x)時，求函數

（1）求k,b的值；（2）當x滿足

g(x)?

1的最小值.f(x)

【反思】這類問題主要是以平面向量的模、數量積、夾角等公式和相互知識為紐帶，促成與不等式知識的相互遷移，有效地考查平面向量有關知識、不等式的性質、不等式的解法、不等式的應用及綜合解題能力。

5.平面向量與解析幾何的交匯與融合由于向量既能體現“形”的直觀位置特征，又具有“數”的良好運算性質，是數形結合與轉換的橋梁和紐帶。而解析幾何也具有數形結合與轉換的特征，所以在向量與解析幾何知識的交匯處設計試題，已逐漸成為高考命題的一個新的亮點。

平面幾何與解析幾何的結合通常涉及到夾角、平行、垂直、共線、軌跡等問題的處理，解決此類問題基本思路是將幾何問題坐標化、符號化、數量化，從而將推理轉化為運算；或者考慮向量運算的幾何意義，利用其幾何意義解決有關問題。主要包括以下三種題型：

1、運用向量共線的充要條件處理解幾中有關平行、共線等問題

運用向量共線的充要條件來處理解幾中有關平行、共線等問題思路清晰,易于操作,比用斜率或定比分點公式研究這類問

題要簡捷的多。

2、運用向量的數量積處理解幾中有關長度、角度、垂直等問題

運用向量的數量積，可以把有關的長度、角度、垂直等幾何關系迅速轉化為數量關系，從而“計算”出所要求的結果。

3、運用平面向量綜合知識，探求動點軌跡方程，還可再進一步探求曲線的性質。

1．(江西卷)以下同個關于圓錐曲線的命題中 ①設A、B為兩個定點，k為非零常數，|

PA|?|PB|?k，則動點P的軌跡為雙曲線；

?

(?),則動點P的軌跡為橢圓； 2

②設定圓C上一定點A作圓的動點弦AB，O為坐標原點，若③方程2x

?5x?2?0的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；

x2y2x2

??1與橢圓?y2?1有相同的焦點.④雙曲線

25935

其中真命題的序號為（寫出所有真命題的序號）

???????????

2．平面直角坐標系中，O為坐標原點，已知A(3,1),B(?1,3)，若點C滿足OC??0A??OB，其中?,??R，且?

???1，則點C的軌跡方程為()

A.C.3x?2y?11?0B.(x?1)2?(y?2)2?5 2x?y?0D.x?2y?5?0

2．已知平面上一個定點C（－1，0）和一條定直線l：x＝－4，P為該平面上一動點，作PQ⊥l，垂足為Q，????????????????

（PQ＋2PC）?（PQ－2PC）＝0.（1）求點P的軌跡方程；

????????

PC的取值范圍．（2）求PQ·

第四篇：第二章平面向量教學設計

第二章平面向量教學設計

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新課標人教版

必修4第二章平面向量

內容：《平面向量》

課型：新授課

第二部分

教學設計

2.1平面向量的概念及其線性運算

授課人：蘇仕劍

【學習目標】、理解平面向量和向量相等的含義，理解向量的幾何表示；

2、掌握向量加、減法的運算，并理解其幾何意義；

3、掌握向量數乘的運算，并理解其幾何意義，以及兩個向量共線的含義；

4、了解向量線性運算的性質及其幾何意義。

【學習要點】

、向量概念

________________________________________________________叫零向量，記作；長度為______的向量叫做單位向量；方向___________________的向量叫做平行向量。

規定：與______向量平行；長度_______且方向_______的向量叫做相等向量；平行向量也叫______向量。

2、向量加法

求兩個向量和的運算，叫做向量的加法，向量加法有___________法則與______________法則。

3、向量減法

向量加上的相反向量叫做與的差，記作_________________________，求兩個向量差的運算，叫做向量的減法。

4、實數與向量的積

實數與向量的積是一個_______，記作________，其模及方向與____的值密切相關。

5、兩向量共線的充要條件

向量與非零向量共線的充要條件是有且只有一個實數，使得__________。

【典型例題】

例1

在四邊形ABcD中，等于

（）

A、B、c、D、例2

若平行四邊形ABcD的對角線Ac和BD相交于o，且，則、表示向量為

（）

A、+

B、—

c、—+

D、——

例3

設、是兩個不共線的向量，則向量

與向量共線的充要條件是

（）

A、0

B、，c、1

D、2

例4

下列命題中：

（1）=，=則=

（2）||=||是=的必要不充分條件

（3）=的充要條件是

（4）

=

（

）的充要條件是=

其中真命題的有__________________。

例5

如圖5-1-1，以向量

，為邊作平行四邊形AoBD，又，用、表示、和。

圖5-1-1

【課堂練習】

、（）

A、B、c、D、2、“兩向量相等”是“兩向量共線”的（）

A、充分不必要條件

B、必要不充分條件

c、充要條件

D、既不充分也不必要條件

3、已知四邊形ABcD是菱形，點P在對角線Ac上（不包括端點A、c），則等于

（）

A、B、c、D、4、若||=1，||=2，=且，則向量與的夾角為（）

A、300

B、600

c、1200

D、1500

【課堂反思】

2.2平面向量的坐標運算

授課人：陳銀輝

【學習目標】、知識與技能：了解平面向量的基本定理及其意義、掌握平面向量的正交分解及其坐標表示；理解用坐標表示的平面向量共線的條件。

2、能力目標：會用坐標表示平面向量的加、減與數乘運算；

3、情感目標：通過對平面向量的基本定理來理解坐標，實現從圖形到坐標的轉換過程，鍛煉學生的轉化能力。

【學習過程】

、平面向量基本定理

如果、是同一平面內的兩個 的向量，那么對這一平面內的任一向量，有且只有一對實數、使，其中不共線的向量、叫做表示這一平面內所有向量的一組。

2、平面向量的正交分解及坐標表示

把一個向量分解為兩個互相 的向量，叫做把向量正交分解。在平面直角坐標系內，分別取與軸、軸正方向相同的兩個

向量、作為基底，對任一向量，有且只有一對實數、使得，則實數對（，）叫做向量的直角坐標，記作=，其中、分別叫做在軸、軸上的坐標，叫做向量的 表示。相等向量其坐標

，坐標相同的向量是

向量。

3、平面向量的坐標運算

（1）若=，=，則

=

（2）若A，B，則

（3）若=（，），則

4、平面向量共線的坐標表示

若=，=，則//的充要條件是

5、若，其中，則有：。

【典型例題】

例1

設、分別為與軸、軸正方向相同的兩個單位向量，若則向量的坐標是（）

A、（2，3）

B、（3，2）

c、（—2，—3）

D、（—3，—2）

例2

已知向量，且//則等于

A、B、—

c、D、—

分析

同共線向量的充要條件易得答案。

例3

若已知、是平面上的一組基底，則下列各組向量中不能作為基底的一組是

A、與—

B、3與2

c、+與—

D、與2

例4

已知當實數取何值時，+2與2—4平行？

【課堂練習】、已知=（1，2），=（—2，3）若

且

則____________,_________________。

2、已知點A（，1）、B（0，0）、c（，0），設∠BAc的平分線AE與Bc相交于E，那么有其中等于

A、2

B、c、—3

D、3、平面直角坐標系中，o為坐標原點，已知兩點c滿足，其中、且+則點c的軌跡方程為

A、B、c、D、4、已知A（—2，4）、B（3，—1）、c求點m、N的坐標及向量的坐標。

【課堂反思】

2.3平面向量的數量積及其運算

授課人：曾俊杰

【學習目標】

．知識與技能：

A若點3，—4）且，（—

（1）理解向量數量積的定義與性質；

（2）理解一個向量在另一個向量上的投影的定義；

（3）掌握向量數量積的運算律；

（4）理解兩個向量的夾角定義；

2．過程與方法：

（1）能用投影的定義求一個向量在另一個向量上的投影；

（2）能區別數乘向量與向量的數量積；

（3）掌握兩向量垂直、平行和反向時的數量積；

3．情感、態度與價值觀：

（1）培養學生用數形結合的思想理解向量的數量積及它的幾何意義；

（2）使學生體會周圍事物周期變化的奧秘，從而激發學生學習數學的興趣；

（3）培養數形結合的數學思想；

【學習過程】、請寫出平面向量的坐標運算公式：

（1）若=，=，則

=

（2）若A，B，則

（3）若=（，），則

2、平面向量共線的坐標表示

若=，=，則//的充要條件是

3、兩個非零向量夾角的概念 已知非零向量與，作＝，＝，則_________________________叫與的夾角.4、我們知道，如果一個物體在力F（與水平方向成θ角）的作用下產生位移s，那么力F所做的功w=

5、數量積的概念：

（1）兩個非零向量、，過o作=，=，則∠AoB叫做向量與的夾角，顯然，夾角

（2）若與的夾角為90，則稱與垂直，記作⊥

（3）、是兩個非零向量，它們的夾角為，則

叫做與的數量積（或內積），記作?。

即?=||?||?cos

規定?=0，顯然，數量積的公式與物理學中力所做功的運算密切相關。

特別提醒：

（1）

（０≤θ≤π）.并規定與任何向量的數量積為0

（2）

兩個向量的數量積的性質：

設、為兩個非零向量，)

?

?

=0

2)

當與同向時，=||||；當與反向時，=?||||

特別的 =||2或.3)

cos?= ；

4)

|

|≤||||

6、“投影”的概念：如圖

定義：_____

_______叫做向量b在a方向上的投影

特別提醒：

投影也是一個數量，不是向量；當?為銳角時投影為正值；當?為鈍角時投影為負值；當?為直角時投影為0；當?=0?時投影為|b|；當?=180?時投影為?|b|

3、平面向量數量積的運算律

交換律：=______

數乘結合律：=_________=__________

分配律：=_____________

【典型例題】

例1邊長為的正三角形ABc中，設，則

=

例2已知△ABc中，，ABc的面積，且||=3，||=5，則與的夾角為

例3

已知=（1，2），=（6，—8）則在上的投影為

【課堂練習】、已知、均為單位向量，它們的夾角為那么=

2、已知單位向量與的夾角為，且，求及與的夾角。

3、若，且向量與垂直，則一定有

A、B、c、D、且

4、設是任意的非零平面向量，且它們相互不共線，下列命題

①

②

③

不與垂直

④

其中正確的有（）

A、①②

B、②③

c、③④

D、②④

5、已知平面上三點A、B、c滿足，則

的值等于____

______

【課后反思】

2.4平面向量的應用

授課人：劉曉聰

【學習目標】

一、知識與技能

.經歷用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題、力學問題與其他一些實際問題的過程，體會向量是一種處理幾何問題、物理問題等的工具，發展運算能力

2.運用向量的有關知識對物理中的問題進行相關分析和計算，并在這個過程中培養學生探究問題和解決問題的能力

二、過程與方法

.通過例題，研究利用向量知識解決物理中有關“速度的合成與分解”等問題

2.通過本節課的學習，讓學生體會應用向量知識處理平面幾何問題、力學問題與其它一些實際問題是一種行之有效的工具；和同學一起總結方法，鞏固強化.[:學科網]

三、情感、態度與價值觀

.以學生為主體，通過問題和情境的設置，充分調動和激發學生的學習興趣，培養學生解決實際問題的能力.2.通過本節的學習，使同學們對用向量研究幾何以及其它學科有了一個初步的認識；提高學生遷移知識的能力、運算能力和解決實際問題的能力.【學習過程】

請認真思考后，回答下列問題：

、判斷：

（1）若四點共線，則向量（）

（2）若向量，則四點共線（）

（3）若，則向量

（）

（4）只要向量滿足，就有

（）

2、提問：

（1）兩個非零向量平行的充要條件是什么？（你能寫出幾種表達形式）

（2）兩個非零向量垂直的充要條件是什么？（你能寫出幾種表達形式）

【典型例題】

例1

已知⊿ABc中，∠BAc＝60o，AB＝4，Ac＝3，求Bc長．

變式

已知⊿ABc中，∠BAc＝60o，AB＝4，Ac＝3，點D在線段Bc

上，且BD=2Dc求AD長．

例２

如圖，已知Rt⊿oAB中，∠AoB＝90o，oA＝3，oB＝2，m在oB上，且om=1，N在oA上，且oN=1，P為Am與BN的交點，求∠mPN．

【課堂練習】

⊿ABc中，AD，BE是中線，AD，BE相交于點G

（1）求證：AG=2GD

（2）若F為AB中點，求證G、F、c三點共線．

第五篇：平面向量概念教學設計

篇一：平面向量概念教案

平面向量概念教案

一．課題：平面向量概念

二、教學目標

1、使學生了解向量的物理實際背景，理解平面向量的一些基本概念，能正確進行平面向量的幾何表示。

2、讓學生經歷類比方法學習向量及其幾何表示的過程，體驗對比理解向量基本概念的簡易性，從而養成科學的學習方法。

3、通過本節的學習，讓學生感受向量的概念方法源于現實世界，從而激發學生學習數學的熱情，培養學生學習數學的興趣

三．教學類型：新知課

四、教學重點、難點

1、重點：向量及其幾何表示，相等向量、平行向量的概念。

2、難點：向量的概念及對平行向量的理解。

五、教學過程

（一）、問題引入

1、在物理中，位移與距離是同一個概念嗎？為什么？

2、在物理中，我們學到位移是既有大小、又有方向的量，你還能舉出一些這樣的量嗎？

3、在物理中，像這種既有大小、又有方向的量叫做矢量。

在數學中，我們把這種既有大小、又有方向的量叫做向量。而把那些只有大小，沒有方向的量叫數量。

（二）講授新課

1、向量的概念

練習1 對于下列各量：

①質量② 速度③位移④力⑤加速度⑥路程⑦密度⑧功⑨體積⑩溫度

其中，是向量的有：②③④⑤

2、向量的幾何表示

請表示一個豎直向下、大小為5n的力，和一個水平向左、大小為8n的力（1厘米表示1n）。思考一下物理學科中是如何表示力這一向量的？

（1）有向線段及有向線段的三要素

（2）向量的模

（4）零向量，記作＿＿＿＿；

（5）單位向量

練習2 邊長為6的等邊△abc中，＝＿＿，與 相等的還有哪些？ 總結向量的表示方法： 1）、用有向線段表示。2）、用字母表示。

3、相等向量與共線向量

（1）相等向量的定義

（2）共線向量的定義

六．教具：黑板

七．作業

八．教學后記

篇二：平面向量的實際背景及基本概念教學設計

平面向量的實際背景及基本概念教學設計 本節課的內容是數學必修4，第二章《平面向量》的引言和第一節平面向量的實際背景及基本概念兩部分，所需課時為1課時。

一 教材分析

向量是近代數學最重要和最基本的數學概念之一，它是溝通代數、幾何與三角函數的橋梁，對更新和完善中學數學知識結構起著重要的作用。向量集數與形于一身，有著極其豐富的實際背景，在現實生活中隨處可見的位移、速度、力等既有大小又有方向的量是它的物理背景，有向線段是它的幾何背景。向量就是從這些實際對象中抽象概括出來的數學概念，經過研究，建立起完整的知識體系之后，向量又作為數學模型，廣泛地應用于解決數學、物理學科及實際生活中的問題，因此它在整個高中數學的地位是不言而喻的。

本課是“平面向量”的起始課，具有“統領全局”的作用。本節概念課，重要的不是向量的形式化定義及幾個相關概念，而是能讓學生去體會認識與研究數學新對象的方法和基本思路，進而提高提出問題，解決問題的能

二 學情分析

在學生的已有經驗中，與本課內容相關的有：數的抽象過程、實數的絕對值（線段的長度）、數的相等、單位長度、0和1的特殊性、線段的平行與共線等。

三 目標定位

根據以上的分析，本節課的教學目標定位： 1）、知識目標

? 通過對位移、速度、力等實例的分析，形成平面向量的概念；

? 學會平面向量的表示方法，理解向量集形與數于一身的基本特征；

? 理解零向量、單位向量、相等向量、平行向量的含義。2）、能力目標培養用聯系的觀點，類比的方法研究向量；獲得研究數學新問題的基本思路，學會概念思維； 3）、情感目標使學生自然的、水到渠成的實現“概念的形成”；讓學生積極參與到概念本質特征的概括活動中，享受寓教于樂。

重點：向量概念、向量的幾何表示、以及相等向量概念；

難點：讓學生感受向量、平行或共線向量等概念形成過程；

四、教學過程概述： 4.1 向量概念的形成

4.1.1 讓學生感受引入概念的必要性

引子：章節 引言

意圖：向量概念不是憑空產生的。用這一簡單直觀的問題讓學生感受“既有大小又有方向的量”的客觀存在，自然引出學習內容，學生會有親切感，有助于激發學習興趣。

問題1 你能否再舉出一些既有大小又有方向的量？

意圖：激活學生的已有相關經驗。

進一步直觀演示，加深印象。

追問：生活中有沒有只有大小沒有方向的量?請舉例。

類比數的概念獲得向量概念的定義（板書）。4.1.2 向量的表示方法

問題2 數學中，定義概念后，通常要用符號表示它。怎樣把你舉例中的向量表示出來呢

意圖：讓學生先練習力的表示，讓錯誤呈現，激發認知沖突，最后自覺接受用帶有箭頭的線段（有向線段）來表示向量。（教師引導學生進一步完善）幾何表示法： 記作a b |a b|為ab的長度(又稱模)。

字母表示法：a、b、c??或a、b、c 4.1.3 單位向量、零向量的概念：

問題3用有向線段表示向量，學生演板，提出問題，大家畫得線段長度長短不一怎么回事？如何解決這問題？由單位長度引入單位向量

意圖：這樣過渡學生不會感覺新的概念是從天而降，而是進一步學習的需要

歸納小結：單位向量——長度等于1個單位長度并與a同向的向量叫做a方向上的單位向量． 讓演板學生回到座位之后利用這個情境提出問題，他位移的大小是什么？ 歸納小結：零向量——長度（模）為0的向量，記作0 提問：你們認為零向量和單位向量特殊嗎？它們的特殊性體現在哪？類比實數集合中的0和1.4.2 相等向量、平行(共線)向量概念的形成

設計活動：傳花游戲，游戲中將呈現通過學生之間傳遞花朵所產生的位移向量，讓他們從大小和方向兩個方面展開思考，教師適時介入，強化本質特征、規范概念表達，與學生一起完成概念的定義。

意圖：通過游戲調動學生的興趣和積極性，讓學生通過親身經歷去體會相等向量與平行向量的本質特征。歸納：

1、從“方向”角度看，有方向相同或相反的非零向量就是平行向量。

記作：a ∥b ∥ c 任一組平行向量都可移到同一條直線上，所以平行向量也叫共線向量。

2、從“長度”角度看，有模相等的向量，︱a︱ =︱ b︱

3、既關注方向有又關注長度有相等向量：記作：a = b a 規定： 0 與任一向量都平行或（共線）。

教師通過動畫演示深化上述兩個概念

問題4 由相等向量的概念知道，向量完全有它的方向和大小確定。由此，你能說說數學中的向量與物理中的矢量的異同嗎？另外，向量的平行、共線與線段的平行、共線有什么區別與聯系？

意圖：讓學生注意把向量概念與物理背景、幾何背景明確區分，真正抓住向量的本質特征，完成“數學化”的過程。4.3 課堂練習：

概念辨析

兩個長度相等的向量一定相等．

相等向量的起點必定相同．

平行向量就是共線向量．

若 ab 與 cd 共線，則 a、b、c、d 四點必在同一條直線上．

向量 a 與 b平行，則向量 a 與 b 的方向相同或相反．

教材例題

3、教材第79頁，b組第一題(選擇此題，可以進一步理解位移概念，又能為后一步的學習做好鋪墊)4.4 課堂小結（引導學生小結）

問題5 欣賞一首關于向量的詩，布置任務能否用擬人的方式把你對向量的認識做個概述呢？

結束語：略

板書設計

5.5明確零向量的意義和作用，不過分糾纏于細節。

首先，規定零向量與任何向量平行是完善概念系統的需要。其次，就像數零的作用在于運算一樣，零向量的作用在于運算及其表達的幾何意義。因此孤立地討論零向量與任何向量平行沒有多少意義，也不必耗費過多時間。總之，作為現代數學重要標志之一的向量引入中學數學以后，給中學數學帶來了無限生機。這節“概念課”，概念的理解無疑是重點，也是難點。概念的教學應在概念的發生發展過程中揭示它的本來面目。要讓學生參與概念本質特征的概括活動過程，這也是培養學生創新精神和實踐能力的必由之路！

三、教學診斷分析

本節是平面向量的第一堂課，屬于“概念課”，概念的理解無疑是重點，也是難點。為了幫助學生建立向量的概念，與數、形的相關概念類比與聯系是值得重視的。在學生的已有經驗中，與本課內容相關的有：數的抽象過程、實數的絕對值（線段的長度）、數的相等、單位長度、0和1的特殊性、線段的平行與共線等。具體教學中，要設計一個能讓學生開展概括活動的過程，引導他們經歷從具體事例中領悟向量概念的本質特征，類比數的概念獲得向量概念的定義及表示，類比數的集合認識向量的集合，類比直線的基本關系認識向量的基本關系。使學生從中體會到認識一個數學概念的基本思路，而不是停留在某個具體的概念學習上。這也是本堂課的核心目標。由于數學概念的高度抽象性，學生往往要費很多周折才能理解，教師應從學生的認知水平出發，針對學生的理解困難來展開教學，保證學生參與概念本質特征的概括活動，確保學生有自己想明白的機會和時間，這是至關重要的。

本課的教學，我們力求使學生理了解向量概念的背景和形成過程，了解為什么要引入這個概念，怎樣定義這個概念，怎樣入手研究一個新的問題。因此，在教學中教師應注意從宏觀上為學生勾勒研究框架和總體思路，使學生能“抬頭看路”，知道往哪里走，這是起始課的重要任務；微觀上，引導學生通過類比，有序地給出向量的定義、討論向量的表示、定義特殊向量、研究特殊向量的關系。在引導學生展開對向量及其相關概念的學習過程中，應強調“讓學生參與到定義概念的活動中來”，不輕易打斷學生的思維和活動，恰如其分地“以問題引導學習”，在質疑——反思的過程中深化概念的理解，使概念的理解成為學生自己主動思維的結果。

本課中出現的特殊向量——零向量，很多教師都會在“零向量與任意向量平行上”花太多時間，原因是“這是考試中的一個陷阱”。這其實是對零向量的意義和作用理解不到位的表現：首先，規定零向量與任何向量平行是完善概念系統的需要；其次，就像數零的作用在于運算一樣，零向量的作用在于運算及其表達的幾何意義。因此孤立地討論零向量與任何向量平行沒有多少意義，也不必耗費過多時間。

四、本課教學特點及預期效果分析

在學生建立向量的概念之初，與數、形的相關概念類比與聯系是值得重視的。在學生的已有經驗中，與本課內容相關的有：數的抽象過程、實數的絕對值（線段的長度）、數的相等、單位長度、0和1的特殊性、線段的平行與共線等。因此在具體教學中，我設計了一個能讓學生開展概括活動的過程，引導他們經歷從具體事例中領悟向量概念的本質特征，類比數的概念獲得向量概念的定義及表示，類比數的集合認識向量的集合，類比直線的基本關系認識向量的基本關系。使學生從中體會到認識一個數學概念的基本思路，而不是停留在某個具體的概念學習上。

在向量的幾何表示中，我讓學生大膽探索，而不是“全包全攬”，教師引導，學生補充改進，最終明確向量幾何表示的正確方法。整個過程全體同學熱情參與，自我教育，互幫互學，課堂氣氛生動活潑。

當同學們能將向量正確的幾何表示時，我又適時地提出問題：大家畫出的線段長短不一，怎么解決？由此自然過渡到單位長度上，使得單位向量的引入也就順理成章了。

為了幫助學生學習相等向量、平行（共線）向量的概念，本課設計了“傳花游戲”，通過學生之間傳遞花朵所產生的位移向量，讓學生積極參與，仔細觀察，自己概括出概念的本質特征，將課堂氣氛推向一個新的高潮。在結束本課之前，為了讓同學對向量加深印象，我讓學生先欣賞一首關于向量的詩歌，再讓學生在課外動筆寫出自己對向量的感受。

本節課是從現實世界的常見實例出發，以學生自主探究的教學方式為主。在課堂上，創建了一個以全班學生共同參與的向量游戲平臺，讓學生在輕松愉悅的課堂環境中，共同參與，共同討論，共同分析，讓學生自然地、水到渠成的完成本節內容的學習。