第一篇：平面向量基本定理(教學設計)

平面向量基本定理

教學設計

平面向量基本定理教學設計

一、教材分析

本節課是在學習了共線向量基本定理的前提下，進一步研究平面內任一向量的表示，為今后平面向量的坐標運算打下堅實的基礎。所以，本節在本章中起到承上啟下的作用。

平面向量基本定理揭示了平面向量之間的基本關系，是向量解決問題的理論基礎。平面向量基本定理提供了一種重要的數學思想—轉化思想。

二、教學目標

知識與技能: 理解平面向量基本定理，學會利用平面向量基本定理解決問題，掌握基向量表示平面上的任一向量.過程與方法：通過學習習近平面向量基本定理，讓學生體驗數學的轉化思想，培養學生發現問題的能力.情感態度與價值觀：通過學習習近平面向量基本定理，培養學生敢于實踐的創新精神，在解決問題中培養學生的應用意識。

教學重點：平面向量基本定理的應用； 教學難點：平面向量基本定理的理解.三、教學教法

1.學情分析: 學生已經學習了向量的基本知識，并且對向量的物理背景有了初步的了解.2.教學方法：采用“問題導學—討論探究—展示演練”的教學方法，完成教學目標.3.教學手段：有效使用多媒體和視頻輔助教學，直觀形象.四、學法指導

1.導學：設置問題情境，激發學生學習的求知欲，引發思考.2.探究：引導學生合作探究，解決問題，注重知識的形成過程.3.應用：在解決問題中培養學生的應用意識與學以致用的能力.五、教學過程

針對以上情況，結合我校“學本課堂”模式，我設計了如下教學過程，分為六個環節。第一環節：問題導學 自主學習

首先是課前預習，預習學案分為問題導學、典例精析、鞏固拓展三大部分。通過預習學案，可以幫助學生完成課前預習。設計意圖：通過預習學案讓學生預習新知識，發現問題，使學習更具針對性，培養學生的自學與探索能力.第二環節：創設情境 導入課題

進入新課，引入課題采用問題情境的辦法。通過導彈的飛行方向和力的分解兩個實例，將問題類比，引入本節問題-向量的分解。為了幫助學生理解，提供了兩段直觀的視頻，直觀形象。設計意圖：借助實際與物理問題設置情境，引發學生思考與想象，將問題類比，引入本節課題。

第三環節：分組討論 合作探究

提出問題，進入探究階段。采用分組討論，合作探究的方法，先讓學生回顧知識-向量加法的平行四邊形法則。進入小組討論，共同討論兩個問題。

問題1：向量a與向量e1，e2共起點，向量a是同一平面內任一向量，e1與e2不共線，探究向量a與e1，e2之間的關系.問題2：向量e1與e2是同一平面內不共線的兩個向量，向量a是同一平面內任一向量，探究向量a與e1，e2之間的關系.設計意圖：各小組成員討論交流，合作學習，共同探討問題，尋求結果，展示結果.第四環節：成果展示 歸納總結

小組討論完畢，由幾個小組展示研究成果。結合小組展示成果，借助多媒體展示，由師生共同探究向量的分解。展示過程中，要重點強調平移共起點，借助平行四邊形法則解說分解過程，加深學生的直觀映像，完成向量的分解。通過向量的分解，由學生小組討論，共同歸納本節的核心知識—平面向量基本定理。在定理中重點補充強調以下幾點說明：（1）基底e1,e2不共線，零向量不能做基底；（2）定理中向量a是任一向量，實數?1，?2唯一；（3）?1e1??e2叫做向量a關于基底e1,e2的分解式.第五環節：問題解決 鞏固訓練

引入定理后，應用定理解決學案例題與練習。例題1重在考查基底的概念，引導學生思考向量作為基底的條件，將問題轉化為兩個向量的共線問題。講解完例題1之后，通過一個練習，鞏固所學。通過兩個問題，讓學生認識理解基底的概念，把握基底的本質，突出重點——平面向量基本定理的應用。在例題2中繼續強化對基底概念的理解，采用分組討論，合作探究的教學方法，共同探討解法，并由小組板演解題過程，最后強調解題步驟；此后，給出例2的一個變式題，讓學生進一步深刻理解基底，體會基底的重要作用。解決本節難點——平面向量基本定理的理解，通過例題3對平面向量基本定理綜合應用，解決三點共線問題。采用先啟發引導后學生探究的方法，解決學生的困惑。例題講解完畢后，對本題結論適當拓展，得到“當t?11，點P是AB的中點，OP=（OA?OB）”的重要結論。通過探究22本題，可以使學生深化對平面向量基本定理的理解，培養學生綜合運用知識的能力.為了加強對定理的應用，在學案中設計了幾個鞏固練習，在課堂上當場完成，并及時糾錯，鞏固本節所學。

第六環節：拓展演練 反饋檢測

為了攻克難點，檢測效果，最后設計了幾道課后習題進行拓展延伸，培養學生的綜合能力。通過這些設計，可以增強教學的針對性，提高教學效果。在本節尾聲，讓學生回顧本節主要內容，完成小結，并在小結中強調轉化的數學思想及方法。最后是布置課后作業及時間分配與板書設計。

六、評價感悟

本節教學設計在“學本課堂”的教學模式下，采用“問題導學—討論探究—展示演練”的教學方法，引導學生自主學習，發現問題，小組討論，合作探究，解決問題。在教學過程中，學生處于主體地位，教師充分發揮學生的積極性，力求打造高效課堂。

以平面向量基本定理為主題，從預習知識到探究定理，學生始終參與學習，參與探究，主觀性與積極性得到了充分發揮，學習與探求知識的能力得到了極大的提升；應用定理解決問題，培養了學生的應用意識；通過學習定理，讓學生體會了轉化思想，提高了學習的綜合能力。

第二篇：平面向量基本定理(教學設計)

平面向量基本定理

教學設計

教材分析：

分析基本定理在教材中的作用，讓學生有目標性地學習． 教學目標：

1．通過作圖法理解并掌握平面向量基本定理的內容及含義．

2．深刻理解向量的基底表示的意義及作用，會將平面內的任意一個向量用一組基底表示． 2．理解平面上兩個向量的夾角的概念及范圍，掌握平面內兩個向量的位置關系． 3．會用平面向量基本定理解決向量相互表示的問題． 教學重難點：

重點：平面向量基本定理的內容，向量基底的意義及應用； 難點：平面向量基本定理的應用．

教學方法：CAI課件、圖形模擬法、形成性歸納與總結． 課時安排：1課時． 教學過程： Ⅰ 新課導入

【回顧】：向量數乘運算．（重點回顧幾何意義及作圖方法）【圖片】：

幻燈片1

（展示生活中許多結構與矢量的聯系）

【引入】：物理中力的合成與分解．

幻燈片2

（展示物理學中力的合成與分解）

?【問題】：力是物理學中的矢量，矢量也就是數學中的向量，那么平面內的任一向量a能否都可?????以表示成?1e1??2e2的形式呢？

Ⅱ 新課講授

一、知識點精講 1．作圖分析

幻燈片3 幻燈片4 2．形成結論

幻燈片5 幻燈片6 3．練習

幻燈片7 Ⅲ 課時小結

本節課學習了平面向量的基本定理，注意基本定理的應用與向量的互相表示，這是重點，也是難點，同時還是以后學習向量坐標運算以及空間向量的基礎． Ⅳ 課后作業

（兩個例題，鞏固練習）

（歸納整理向量夾角的定義）

（動態展示向量的合成與分解）

（學生訓練）

（歸納整理平面向量基本定理的內容）

T3． 課本P102-Ⅴ 教學反思

第三篇：平面向量基本定理教案

§2.3.1平面向量基本定理教學設計

教學目的：

（1）了解平面向量基本定理；

（2）理解平面里的任何一個向量都可以用兩個不共線的向量來表示，初步掌握應用向量解決實際問題的重要思想方法；（3）能夠在具體問題中適當地選取基底，使其他向量都能夠用基底來表達.教學重點：平面向量基本定理.教學難點：平面向量基本定理的理解與應用.授課類型：新授課 教學過程：

一、復習引入：

??1．實數與向量的積：實數λ與向量a的積是一個向量，記作：λa

??（1）|λa|=|λ||a|；

?????（2）λ>0時λa與a方向相同；λ<0時λa與a方向相反；λ=0時λa=0

2．運算定律

??結合律：λ(μa)=(λμ)a ；

???????分配律：(λ+μ)a=λa+μa，λ(a+b)=λa+λb

??3.向量共線定理 向量b與非零向量a共線的充要條件是：有且只有一個非零??實數λ，使b=λa.二、講解新課：

1．提出問題：由平行四邊形想到：

（1）是不是每一個向量都可以分解成兩個不共線向量？且分解是唯一？（2）對于平面上兩個不共線向量e1，e2是不是平面上的所有向量都可以用它們來表示？

2．設e1，e2是不共線向量，a是平面內任一向量，e1 a

MC

N B e2

O OA=e1，OM=λ

1e2； OB=e2，ON=λe2

21OC=a=OM+ON=λ

e1+λe2，2平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對

??于這一平面內的任一向量a，有且只有一對實數λ1，λ2使a=λ1e1+λ2e2.探究：

(1)我們把不共線向量ｅ１、ｅ２叫做表示這一平面內所有向量的一組基底；(2)基底不惟一，關鍵是不共線；

(3)由定理可將任一向量a在給出基底ｅ１、ｅ２的條件下進行分解；

?(4)基底給定時，分解形式惟一.λ1，λ2是被a，e1，e2唯一確定的數量

3、兩個非零向量的夾角：

???????????? 如圖所示，已知兩個非零向量a,b，在平面上任取一點O，作OA?aO ,B?b，??則?AOB???0?????叫做向量a與b的夾角，ba BAO θbθ bAOB aa【說明】（1）研究兩個非零向量的夾角時，必須先將這兩個向量的起點移至同一個點；但是當兩個向量的終點重合時，表示向量的這兩條線段所成的?0,??范圍內的角也等于這兩個向量之間的夾角。（2）只有非零向量之間才存在夾角；

??（3）如果∠AOB=0°a與b同向；

????（4）如果∠AOB=90°，我們就說向量a與b垂直，記作：a?b；

??（5）如果∠AOB=180°a與b反向。

三、講解范例：

例1 已知向量e1，e2 求作向量?2.5e1+3e2.作法：見教材

四、課堂練習：

1.設e1、e2是同一平面內的兩個向量，則有()A.e1、e2一定平行

e2e1B.e1、e2的模相等

C.同一平面內的任一向量a都有a =λe1+μe2(λ、μ∈R)D.若e1、e2不共線，則同一平面內的任一向量a都有a =λe1+ue2(λ、u∈R)2.已知矢量a = e1-2e2，b =2e1+e2，其中e1、e2不共線，則a+b與c =6e1-2e2的關系

A.不共線 B.共線 C.相等 D.無法確定

3.已知向量e1、e2不共線，實數x、y滿足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2，則x-y的值等于()A.3 B.-3 C.0 D.2

五、小結：平面向量基本定理，其實質在于：同一平面內任一向量都可以表示為兩個不共線向量的線性組合．

六、課后作業：課本：101頁1,2 板書設計：略

第四篇：《平面向量基本定理》教案

一、教學目標：

1.知識與技能：

了解平面向量基本定理及其意義, 理解平面里的任何一個向量都可以用兩個不共線的向量來表示；能夠在具體問題中適當地選取基底,使其他向量都能夠用基底來表示。

2.過程與方法：

讓學生經歷平面向量基本定理的探索與發現的形成過程,體會由特殊到一般和數形結合的數學思想，初步掌握應用平面向量基本定理分解向量的方法，培養學生分析問題與解決問題的能力。

3.情感、態度和價值觀

通過對平面向量基本定理的學習,激發學生的學習興趣,調動學習積極性,增強學生向量的應用意識,并培養學生合作交流的意識及積極探索勇于發現的學習品質.二、教學重點：平面向量基本定理.三、教學難點：平面向量基本定理的理解與應用.四、教學方法：探究發現、講練結合五、授課類型：新授課

六、教 具：電子白板、黑板和課件

七、教學過程：

（一）情境引課，板書課題

由導彈的發射情境，引出物理中矢量的分解，進而探究我們數學中的向量是不是也可以沿兩個不同方向的向量進行分解呢？

（二）復習鋪路，漸進新課

在共線向量定理的復習中，自然地、漸進地融入到平面向量基本定理的師生互動合作的探究與發現中去，感受著從特殊到一般、分類討論和數形結合的數學思想碰撞的火花，體驗著學習的快樂。

（三）歸納總結，形成定理

讓學生在發現學習的過程中歸納總結出平面向量基本定理，并給出基底的定義。

（四）反思定理，解讀要點

反思平面向量基本定理的實質即向量分解，思考基底的不共線、不惟一和非零性及實數對的存在性和唯一性。

（五）跟蹤練習，反饋測試

及時跟蹤練習，反饋測試定理的理解程度。

（六）講練結合，鞏固理解

即講即練定理的應用，講練結合，進一步鞏固理解平面向量基本定理。

（七）夾角概念，順勢得出

不共線向量的不同方向的位置關系怎么表示，夾角概念順勢得出。然后數形結合，講清本質：夾角共起點。再結合例題鞏固加深。

（八）課堂小結，畫龍點睛

回顧本節的學習過程，小結學習要點及數學思想方法，老師的“教 ”與學生的“學”渾然一體，一氣呵成。

（九）作業布置，回味思考。

布置課后作業，檢驗教學效果。回味思考，更加理解定理的實質。

七、板書設計：

1.平面向量基本定理：如果

是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任意向量，有且只有一對實數，使

.2.基底：

(1)不共線向量

叫做表示這一平面內所有向量的一組基底；

(2)基底：不共線，不唯一，非零

(3)基底給定，分解形式唯一，實數對

存在且唯一；

(4)基底不同，分解形式不唯一，實數對

可同可異。

例1 例2

3.夾角

：

（1）兩向量共起點；

（2）夾角范圍：

例3

4.小結

5.作業

第五篇：《平面向量基本定理》教學設計

《平面向量基本定理》教學設計

一、內容和內容解析 內容：平面向量基本定理。

內容解析：向量不僅是溝通代數與幾何的橋梁，還是解決許多實際問題的重要工具。從問題中抽象出向量模型，再通過向量的代數運算獲得問題的解決方案或結果，是利用向量解決問題的基本特征。（平面向量的概念、向量的運算、平面向量基本定理、平面向量的坐標表示是平面向量的主要內容。）平面向量基本定理是向量進行坐標表示，進而將向量的運算（向量的加、減法，向量的數乘、向量的數量積等）轉化為坐標的數量運算的重要基礎，同時，它還是用基本要素（基底、元）表達和研究事物（向量空間、具有某種性質的對象的集合）的典型范例，對于人們掌握認識事物的方法，提高研究事物的水平，有著難以替代的重要作用。

二、目標和目標解析

1．理解平面向量的基底的意義與作用，利用平面向量的幾何表示，正確地將平面上的向量用基底表示出來。

2．通過不同向量用同一基底表示的探究過程，得出并證明平面向量基本定理。

3．通過平面向量基本定理，認識平面向量的“二維”性，并由此進一步體會“某一方向上的向量的一維性”，培養“維數”的基本觀念。

4．平面向量基本定理建立了平面上的向量集合與二元有序數組的集合之間的對應關系（這種對應關系建立了非數對象與數（或數組）之間的一種映射），通過這種對應關系，我們可以將向量的運算轉化為數的運算，由此達到簡化向量的運算，這是數學的一種基本方法。

5．體會用基本要素（元）表示事物，或將事物分解成基本要素（元），由此達到將對事物的研究轉化為對基本要素（元）的研究，通過對基本要素的內在聯系的研究達到理解并把握事物的思想方法（例如全等）。

三、教學問題診斷分析

1．如何處理共線向量定理與平面向量定理之間的同異點及聯系是教學平面向量基本定理時的關鍵問題，也是理解不同維數的“向量空間”，體會高維空間向低維空間轉化的重要機會與途徑。因此，教學時應該從共線向量定理的意義與作用入手，探求平面向量用相同向量（基底）統一表示的方法。

2．利用向量加法的平行四邊形法則，將平面上任一向量用兩個不平行的確定向量（即基底）表示出來是教學中應該關注的另一個關鍵問題。教學時，讓學生聽教師講解是一種處理方法，如果能結合力的分解，啟發學生聯想到用平行四邊形的加法法則進行向量分解，可能會有更大的收獲。當然，在進行這個關鍵問題的教學時，可能會涉及平行投影等知識與方法，可根據不同的學生對象進行取舍。

四、學生學習行為分析

1．學生對向量加、減法及數乘等運算的意義與作用認識不夠，容易將向量的運算與數的運算混淆。

2．對于向量的加法、數乘等運算停留在幾何直觀的理解上，缺乏從代數運算的角度理解向量運算特征的感受，容易將平面向量基本定理的作用僅僅理解為形式上的變換。

3．如果不加啟發與引導，學生是不會從“基底”、“元”、“維數”這些角度去理解平面向量基本定理的深刻內涵，也難以認識這個定理在今后用向量方法解決問題中的重要作用。

五、教學支持條件分析

1．學生的認知基礎：對平面向量與數量的“同異點及聯系”有一個基本認識，會用有向線段表示向量，掌握了向量的加法運算與數乘運算。

2．教學設備：能反映向量加法與數乘運算的計算機軟件或圖形計算器，盡可能準備實物投影設備。

六、教學過程設計 問題1：

任意找一首用簡譜譜寫的歌曲，你能找到用阿拉伯數字“8”表示的音符嗎？為什么？

意圖：關注依附于平面向量基本定理上的重要數學思想，讓學生明白任何一首曲子都可以用1~7這七個阿拉伯數字作為音符來譜寫，為用基底表示向量作鋪墊，并由此感受用“元”表達事物的思想。提出這個與數學知識聯系不緊密的問題讓學生思考的另一個目的，是將將要學習的知識與思想寓于學生感興趣的問題中，從而激發他們的學習欲望與熱情。

師生活動：教師給出一些用簡譜譜寫的歌曲，提出問題讓學生思考，歸納總結出如下結論：任何一首用簡譜譜寫的曲子都找不出用阿拉伯數字“8”表示的音符，但都可以用1~7這七個阿拉伯數字作為音符譜寫出來。

問題2：

兩個三角形的三條邊對應相等，那么這兩個三角形之間有什么關系？你是如何得出這個關系的？你能從這個問題中得到一個怎樣的結論？

意圖：由此，使學生形成三角形的三條邊是三角形這個數學對象的三個類似于向量的“基底”的元認知，明確有關三角形（忽略了位置）的問題均可以轉化為關于三角形的三條邊的問題。希望能將問題1中“事物元分解”的觀點遷移到數學對象的認識中來，并由此引出向量的分解與基底表示的探討。

師生活動：讓學生思考討論，教師幫助學生總結出結論：“如果只考慮形狀大小，任何三角形都可由它的邊來確定，因此我們可以說邊是構成三角形的要素（元），而三角形是三元對象”。任何數學對象都有確定它的基本要素（元），可以通過探究如何用這些要素表示數學對象，達到理解并把握這些數學對象的目的。

問題3：

取一個與數軸方向相同的向量記為a，那么與數軸平行的所有向量與向量a有什么關系？

意圖：回顧共線向量定理，體會共線向量的“基底”及用基底表示共線向量的方法，明確平行向量形成“一維空間”，形成對“一元數學對象”的認識，并為探究平面向量基本定理作鋪墊。

師生活動：引導學生回顧共線向量定理，教師重新解析共線向量定理的意義與作用。

問題4：

取一個與數軸不平行的向量記為b，那么向量b可以表示怎樣的向量？ 意圖：明確任意一個方向上的全體向量均構成“一維向量空間”，為探究選取兩個不同方向的向量作平面向量的基底作準備。

師生活動：學生思考問題4與問題3的同異點與聯系，教師解析這個問題的意義與作用。

問題5：

對平滑的斜坡上受重力下滑的物體，你能將引起下滑的重力分解成哪幾個力？

意圖：由重力可以分解為下滑方向的力與垂直斜坡向里的力的和，體會向量的分解，向探究任意向量的分解（即基底表示）過渡。

師生活動：學生說，教師引導并表述結論。

問題6：

取一個與向量a和b都不平行的向量c，那么向量c可以用向量a和b表示出來嗎？

意圖：得出平面向量基本定理的內容。

師生活動：教師引導，學生獨立探究，教師在學生的探究所獲得的結論的基礎上，總結出平面向量基本定理。

問題7：

利用平面向量基本定理，你能解決下面問題嗎？

如圖在中, , 與相交于, 求證:.解析：設向量的終點共線，故有，則，同時，由三個

。所以，從而

所以。

意圖：這個問題是一個相當簡單的問題，用相似三角形之間的比例關系就可以解決。這里的目的，是以這個熟悉而且簡單的問題，讓學生感受平面向量基本定理的重要作用，體會向量的應用，加深對平面向量基本定理的認識。

師生活動：教師啟發引導學生思考，給出解決這一問題的嚴謹過程，給學生一個利用向量解決問題的示范。

教師引導學生總結上述解決問題的方法的步驟，一方面使學生明確這一方法與平面幾何方法的差異：由于數量及其運算的引進，使得我們的算法更容易表達和操作了；另一方面為今后學習算法留下案例，引導學生從算法的角度思考并解決問題。

此處要再配一些題目，訓練學生以學會用基底表示非基底向量。

問題8：

如果一個問題中沒有向量（結合問題7中的平面幾何問題考慮），但可以考慮用向量來解決它，你會按怎樣的步驟來實現？

意圖：加深對平面向量基本定理的理解，將向量方法總結為一個算法。師生活動：學生先思考，讓學生發表意見，教師總結出向量方法的算法步驟。

問題9：

你能結合問題

1、問題2與平面向量基本定理，談談你的認識嗎？ 意圖：進行本節課的小結。

師生活動：學生先談，教師給出總結：

世界上具有某種共同屬性的事物總有決定它的基本要素，如果我們能找出這些要素并用它來表示這一類事物，那么我們就能通過研究這些基本要素來研究這一類事物，這是一種基本方法。平面向量基本定理為我們建立了一個示范，它告訴我們，今后利用向量研究問題，我們關注更多的是基底是什么，如何將有關向量用基底表示出來。當向量用基底表示后，一個向量與其它向量的區別就在于基底前的系數的區別，這使問題中的各種關系在轉化為向量間的關系后，又進一步地轉化為有序數組之間的關系，從而可以利用數量的運算來研究問題，使問題的解決更容易，更徹底。

七、評價設計：

1．如圖所示，D、E、F分別是的重心，請將有什么關系？ 的邊BC、CA、AB的中點，G是表示出來，并探究、、之間、、用、2．請用向量的方法，探究三角形內部的其它一些特殊點的性質