第一篇：平面向量基本定理及相關練習(含答案)

平面向量2 預習：

1.兩個非零向量夾角的概念：已知非零向量a和b，作OA?a,OB?b，則?AOB??(0????)叫做向量a和b的夾角。

（1）??0時，a和b同向；（2）???時，a和b反向；（3）??時，a?b； 2（4）注意兩向量的夾角定義，兩向量必須是同起點的，范圍是0????。2.兩向量共線的判定

設a?(x1,y1),b?(x2,y2)，其中b?0。3.我們都學過向量有關的哪些運算？ 4.力做的功：

W?|F|?|s|cos?,?是F與s的夾角。講授新課：

1.平面向量的數量積（內積）的定義：

已知兩個非零向量a和b，他們的夾角為?，我們把數量|a|?|b|cos?叫做a與b 的數量積（內積）。

記為：a?b，即a?b?|a||b|cos?

規定：零向量與任一向量的數量積為0，即a?0?0。2.投影的概念：

|b|co?s叫做b在a方向上的投影，投影也是一個數量，不是向量。3.向量數量積（內積）的幾何意義：

數量積a?b等于a的長度|a|與|b|在a方向上的投影|b|cos?的乘積。4.兩個向量數量積的性質：

設a、b為兩個非零向量（1）a?b??a?b=0（2）當a和b同向時，a?b=|a||b|

當a和b反向時，a?b=-|a||b| ? 1

特別地，a?a?|a|2或|a|?a?a（3）|a?b|?|a||b|（4）cos??a?b|a||b|（5）平面向量數量積的運算律：

已知向量a、b、c和實數?，則

①a?b=b?a（交換律）

②(?a)?b??(a?b)?a?(?b)(數乘結合律)

③(a?b)?c?a?c?b?c(分配律)5.平面兩向量數量積的坐標表示：

已知兩個非零向量a?(x1,y1)，b?(x2,y2)

兩個向量數量積等于他們對應坐標的乘積的和，即a?b?x1y1?x2y2。6.平面內兩點間的距離公式：

（1）設a?(x,y),則|a|2?x2?y2或|a|?x2?y2；

（2）如果表示向量a的有向線段的起點和終邊的坐標分別為(x1,y1)、(x2,y2)，|a|?(x21?x2)2?(y1?y2)（平面間兩點的距離公式）。

7.向量垂直的判定：

設a?(x1,y1)，b?(x2,y2)則a?b??x1x2?y1y2?0 8.兩向量夾角的余弦：（0????）

cos??a?b1x2?y1y2|a||b|=xx2?y222

11x2?y2例1.已知A(1,2),B(2,3),C(?2,5),試判斷?ABC的形狀，并給出證明。

那么：

例2.在?ABC中，AB?(2,3),AC?(1,k)，且?ABC的一個內角為直角，求k的值。

例3.已知a?(1,3),b?(3?1,3?1)，則a與b的夾角是多少？求與a垂直的單位向量的坐標是多少？

1例4.已知A(3,2),B(?1,?1),若點P(x,?)在線段AB的中垂線上，則x?

2例

5、已知a?(2,?1),b?(m,m?1),若a與b的夾角為銳角，求實數m的取值范圍。

同步練習：

?3??3???

1、已知a?3,b?4,向量a?b與a?b的位置關系為（）

44?A．平行 B．垂直 C．夾角為 D．不平行也不垂直

32、在?ABC中，AB?(1,1),AC?(2,k)，若?ABC為直角三角形，求實數k的值。

???????????

3、已知a?1,b?2,(1)若a∥b,求a?b；(2)若a與b的夾角為60°，求a?b；(3)若a?b與a垂 3

??直，求a與b的夾角．

4、已知a?1,b?2,(a?b)?a，則a與b的夾角是

3b)?(4a?33b),(2a?3b)?(a?

5、已知(a?

??3b),a?0,b?0，求a與b的夾角。

????????????

6、已知四邊形ABCD中AB=(6,1), BC=(x,y)，CD=(-2,-3), ????????(1)若BC∥DA,試探究 x與y間的關系式；

????????(2)滿足(1)問的同時又有AC⊥BD,試求x,y的值及四邊形ABCD的面積.答案： 1.B 2.（-2或0）3.4.45度

5.(arccos66)6.（1）x?2y?0（2）16

第二篇：平面向量基本定理教案

§2.3.1平面向量基本定理教學設計

教學目的：

（1）了解平面向量基本定理；

（2）理解平面里的任何一個向量都可以用兩個不共線的向量來表示，初步掌握應用向量解決實際問題的重要思想方法；（3）能夠在具體問題中適當地選取基底，使其他向量都能夠用基底來表達.教學重點：平面向量基本定理.教學難點：平面向量基本定理的理解與應用.授課類型：新授課 教學過程：

一、復習引入：

??1．實數與向量的積：實數λ與向量a的積是一個向量，記作：λa

??（1）|λa|=|λ||a|；

?????（2）λ>0時λa與a方向相同；λ<0時λa與a方向相反；λ=0時λa=0

2．運算定律

??結合律：λ(μa)=(λμ)a ；

???????分配律：(λ+μ)a=λa+μa，λ(a+b)=λa+λb

??3.向量共線定理 向量b與非零向量a共線的充要條件是：有且只有一個非零??實數λ，使b=λa.二、講解新課：

1．提出問題：由平行四邊形想到：

（1）是不是每一個向量都可以分解成兩個不共線向量？且分解是唯一？（2）對于平面上兩個不共線向量e1，e2是不是平面上的所有向量都可以用它們來表示？

2．設e1，e2是不共線向量，a是平面內任一向量，e1 a

MC

N B e2

O OA=e1，OM=λ

1e2； OB=e2，ON=λe2

21OC=a=OM+ON=λ

e1+λe2，2平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對

??于這一平面內的任一向量a，有且只有一對實數λ1，λ2使a=λ1e1+λ2e2.探究：

(1)我們把不共線向量ｅ１、ｅ２叫做表示這一平面內所有向量的一組基底；(2)基底不惟一，關鍵是不共線；

(3)由定理可將任一向量a在給出基底ｅ１、ｅ２的條件下進行分解；

?(4)基底給定時，分解形式惟一.λ1，λ2是被a，e1，e2唯一確定的數量

3、兩個非零向量的夾角：

???????????? 如圖所示，已知兩個非零向量a,b，在平面上任取一點O，作OA?aO ,B?b，??則?AOB???0?????叫做向量a與b的夾角，ba BAO θbθ bAOB aa【說明】（1）研究兩個非零向量的夾角時，必須先將這兩個向量的起點移至同一個點；但是當兩個向量的終點重合時，表示向量的這兩條線段所成的?0,??范圍內的角也等于這兩個向量之間的夾角。（2）只有非零向量之間才存在夾角；

??（3）如果∠AOB=0°a與b同向；

????（4）如果∠AOB=90°，我們就說向量a與b垂直，記作：a?b；

??（5）如果∠AOB=180°a與b反向。

三、講解范例：

例1 已知向量e1，e2 求作向量?2.5e1+3e2.作法：見教材

四、課堂練習：

1.設e1、e2是同一平面內的兩個向量，則有()A.e1、e2一定平行

e2e1B.e1、e2的模相等

C.同一平面內的任一向量a都有a =λe1+μe2(λ、μ∈R)D.若e1、e2不共線，則同一平面內的任一向量a都有a =λe1+ue2(λ、u∈R)2.已知矢量a = e1-2e2，b =2e1+e2，其中e1、e2不共線，則a+b與c =6e1-2e2的關系

A.不共線 B.共線 C.相等 D.無法確定

3.已知向量e1、e2不共線，實數x、y滿足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2，則x-y的值等于()A.3 B.-3 C.0 D.2

五、小結：平面向量基本定理，其實質在于：同一平面內任一向量都可以表示為兩個不共線向量的線性組合．

六、課后作業：課本：101頁1,2 板書設計：略

第三篇：《平面向量基本定理》教案

一、教學目標：

1.知識與技能：

了解平面向量基本定理及其意義, 理解平面里的任何一個向量都可以用兩個不共線的向量來表示；能夠在具體問題中適當地選取基底,使其他向量都能夠用基底來表示。

2.過程與方法：

讓學生經歷平面向量基本定理的探索與發現的形成過程,體會由特殊到一般和數形結合的數學思想，初步掌握應用平面向量基本定理分解向量的方法，培養學生分析問題與解決問題的能力。

3.情感、態度和價值觀

通過對平面向量基本定理的學習,激發學生的學習興趣,調動學習積極性,增強學生向量的應用意識,并培養學生合作交流的意識及積極探索勇于發現的學習品質.二、教學重點：平面向量基本定理.三、教學難點：平面向量基本定理的理解與應用.四、教學方法：探究發現、講練結合五、授課類型：新授課

六、教 具：電子白板、黑板和課件

七、教學過程：

（一）情境引課，板書課題

由導彈的發射情境，引出物理中矢量的分解，進而探究我們數學中的向量是不是也可以沿兩個不同方向的向量進行分解呢？

（二）復習鋪路，漸進新課

在共線向量定理的復習中，自然地、漸進地融入到平面向量基本定理的師生互動合作的探究與發現中去，感受著從特殊到一般、分類討論和數形結合的數學思想碰撞的火花，體驗著學習的快樂。

（三）歸納總結，形成定理

讓學生在發現學習的過程中歸納總結出平面向量基本定理，并給出基底的定義。

（四）反思定理，解讀要點

反思平面向量基本定理的實質即向量分解，思考基底的不共線、不惟一和非零性及實數對的存在性和唯一性。

（五）跟蹤練習，反饋測試

及時跟蹤練習，反饋測試定理的理解程度。

（六）講練結合，鞏固理解

即講即練定理的應用，講練結合，進一步鞏固理解平面向量基本定理。

（七）夾角概念，順勢得出

不共線向量的不同方向的位置關系怎么表示，夾角概念順勢得出。然后數形結合，講清本質：夾角共起點。再結合例題鞏固加深。

（八）課堂小結，畫龍點睛

回顧本節的學習過程，小結學習要點及數學思想方法，老師的“教 ”與學生的“學”渾然一體，一氣呵成。

（九）作業布置，回味思考。

布置課后作業，檢驗教學效果。回味思考，更加理解定理的實質。

七、板書設計：

1.平面向量基本定理：如果

是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任意向量，有且只有一對實數，使

.2.基底：

(1)不共線向量

叫做表示這一平面內所有向量的一組基底；

(2)基底：不共線，不唯一，非零

(3)基底給定，分解形式唯一，實數對

存在且唯一；

(4)基底不同，分解形式不唯一，實數對

可同可異。

例1 例2

3.夾角

：

（1）兩向量共起點；

（2）夾角范圍：

例3

4.小結

5.作業

第四篇：平面向量基本定理(教學設計)

平面向量基本定理

教學設計

平面向量基本定理教學設計

一、教材分析

本節課是在學習了共線向量基本定理的前提下，進一步研究平面內任一向量的表示，為今后平面向量的坐標運算打下堅實的基礎。所以，本節在本章中起到承上啟下的作用。

平面向量基本定理揭示了平面向量之間的基本關系，是向量解決問題的理論基礎。平面向量基本定理提供了一種重要的數學思想—轉化思想。

二、教學目標

知識與技能: 理解平面向量基本定理，學會利用平面向量基本定理解決問題，掌握基向量表示平面上的任一向量.過程與方法：通過學習習近平面向量基本定理，讓學生體驗數學的轉化思想，培養學生發現問題的能力.情感態度與價值觀：通過學習習近平面向量基本定理，培養學生敢于實踐的創新精神，在解決問題中培養學生的應用意識。

教學重點：平面向量基本定理的應用； 教學難點：平面向量基本定理的理解.三、教學教法

1.學情分析: 學生已經學習了向量的基本知識，并且對向量的物理背景有了初步的了解.2.教學方法：采用“問題導學—討論探究—展示演練”的教學方法，完成教學目標.3.教學手段：有效使用多媒體和視頻輔助教學，直觀形象.四、學法指導

1.導學：設置問題情境，激發學生學習的求知欲，引發思考.2.探究：引導學生合作探究，解決問題，注重知識的形成過程.3.應用：在解決問題中培養學生的應用意識與學以致用的能力.五、教學過程

針對以上情況，結合我校“學本課堂”模式，我設計了如下教學過程，分為六個環節。第一環節：問題導學 自主學習

首先是課前預習，預習學案分為問題導學、典例精析、鞏固拓展三大部分。通過預習學案，可以幫助學生完成課前預習。設計意圖：通過預習學案讓學生預習新知識，發現問題，使學習更具針對性，培養學生的自學與探索能力.第二環節：創設情境 導入課題

進入新課，引入課題采用問題情境的辦法。通過導彈的飛行方向和力的分解兩個實例，將問題類比，引入本節問題-向量的分解。為了幫助學生理解，提供了兩段直觀的視頻，直觀形象。設計意圖：借助實際與物理問題設置情境，引發學生思考與想象，將問題類比，引入本節課題。

第三環節：分組討論 合作探究

提出問題，進入探究階段。采用分組討論，合作探究的方法，先讓學生回顧知識-向量加法的平行四邊形法則。進入小組討論，共同討論兩個問題。

問題1：向量a與向量e1，e2共起點，向量a是同一平面內任一向量，e1與e2不共線，探究向量a與e1，e2之間的關系.問題2：向量e1與e2是同一平面內不共線的兩個向量，向量a是同一平面內任一向量，探究向量a與e1，e2之間的關系.設計意圖：各小組成員討論交流，合作學習，共同探討問題，尋求結果，展示結果.第四環節：成果展示 歸納總結

小組討論完畢，由幾個小組展示研究成果。結合小組展示成果，借助多媒體展示，由師生共同探究向量的分解。展示過程中，要重點強調平移共起點，借助平行四邊形法則解說分解過程，加深學生的直觀映像，完成向量的分解。通過向量的分解，由學生小組討論，共同歸納本節的核心知識—平面向量基本定理。在定理中重點補充強調以下幾點說明：（1）基底e1,e2不共線，零向量不能做基底；（2）定理中向量a是任一向量，實數?1，?2唯一；（3）?1e1??e2叫做向量a關于基底e1,e2的分解式.第五環節：問題解決 鞏固訓練

引入定理后，應用定理解決學案例題與練習。例題1重在考查基底的概念，引導學生思考向量作為基底的條件，將問題轉化為兩個向量的共線問題。講解完例題1之后，通過一個練習，鞏固所學。通過兩個問題，讓學生認識理解基底的概念，把握基底的本質，突出重點——平面向量基本定理的應用。在例題2中繼續強化對基底概念的理解，采用分組討論，合作探究的教學方法，共同探討解法，并由小組板演解題過程，最后強調解題步驟；此后，給出例2的一個變式題，讓學生進一步深刻理解基底，體會基底的重要作用。解決本節難點——平面向量基本定理的理解，通過例題3對平面向量基本定理綜合應用，解決三點共線問題。采用先啟發引導后學生探究的方法，解決學生的困惑。例題講解完畢后，對本題結論適當拓展，得到“當t?11，點P是AB的中點，OP=（OA?OB）”的重要結論。通過探究22本題，可以使學生深化對平面向量基本定理的理解，培養學生綜合運用知識的能力.為了加強對定理的應用，在學案中設計了幾個鞏固練習，在課堂上當場完成，并及時糾錯，鞏固本節所學。

第六環節：拓展演練 反饋檢測

為了攻克難點，檢測效果，最后設計了幾道課后習題進行拓展延伸，培養學生的綜合能力。通過這些設計，可以增強教學的針對性，提高教學效果。在本節尾聲，讓學生回顧本節主要內容，完成小結，并在小結中強調轉化的數學思想及方法。最后是布置課后作業及時間分配與板書設計。

六、評價感悟

本節教學設計在“學本課堂”的教學模式下，采用“問題導學—討論探究—展示演練”的教學方法，引導學生自主學習，發現問題，小組討論，合作探究，解決問題。在教學過程中，學生處于主體地位，教師充分發揮學生的積極性，力求打造高效課堂。

以平面向量基本定理為主題，從預習知識到探究定理，學生始終參與學習，參與探究，主觀性與積極性得到了充分發揮，學習與探求知識的能力得到了極大的提升；應用定理解決問題，培養了學生的應用意識；通過學習定理，讓學生體會了轉化思想，提高了學習的綜合能力。

第五篇：2.3.1平面向量基本定理教案

2.3.1平面向量的基本定理

教學目的：

要求學生掌握平面向量的基本定理，能用兩個不共線向量表示一個向量；或一個向量分解為兩個向量．

教學重點：

平面向量的基本定理及其應用．

教學難點：

平面向量的基本定理．

教學過程：

一．復習引入：

1．實數與向量的積：實數λ與向量a的積是一個向量，記作：λa

（1）|λa|=|λ||a|；（2）λ>0時λa與a方向相同；λ<0時λa與a方向相反；λ=0時λ

?????????a=0

2．運算定律

?????????結合律：λ(μa)=(λμ)a ；分配律：(λ+μ)a=λa+μa，λ(a+b)=λa+λb

??3.向量共線定理

向量b與非零向量a共線的充要條件是：有且只有一個非零實數λ，??使b=λa.二、新課：

1．提出問題：由平行四邊形想到：

（1）是不是每一個向量都可以分解成兩個不共線向量？且分解是唯一？（2）對于平面上兩個不共線向量e1，e2是不是平面上的所有向量都可以用它們來表示？ 2．新課

e1，e2是不共線向量，a是平面內任一向量，e1 a

MC

N

1e2

1O B 2OA=e1，OM=λe2，OC=a=OM+ON=λe1+λe2，e2． OB=e2，ON=λ

2得平面向量基本定理：

如果1，e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任一向量a，有且只有一對實數λ1，λ2使a＝λ

1ee1+λe2．

2注意幾個問題：

（1）e1,e2必須不共線，且它是這一平面內所有向量的一組基底；（2）這個定理也叫共面向量定理；

（3）λ1，λ2是被a，e1，e2唯一確定的數量． 例1

已知向量e1,e2，求作向量?2.5e1+3e2． 作法：（1）取點O，作OA=?2.5e1，OB=3e2，（2）作平行四邊形OACB，OC即為所求．

已知兩個非零向量a、b，作OA?a，OB?b，則∠AOB＝θ（0°?θ?180°），叫做向量a與b的夾角．

當θ＝0°，a與b同向；當θ＝180°時，a與b反向，如果a與b的夾角為90°，我們說a與b垂直，記作：a⊥b．

三、小結：

平面向量基本定理，其實質在于：同一平面內任一向量都可以表示為兩個不共線向量的線性組合．

e2 e1