第一篇：專題二向量的坐標表示和空間向量基本定理

第7課時專題二向量的坐標表示和空間向量基本定理 任務1點共面問題

例1.已知A、B、C三點不共線，對平面外一點O，在下列條件下，點P是否一定與A、B、C共面？

（1）；（2）

例2.若點M在平面ABC內，點O為空間中的任意一點，?????????

OM?xOA?1???

??1????OBOC,則x的值為3

3多少 筆記：

任務2空間向量基本定 理

例3已知矩形ABCD，P為平面ABCD外一點，且PA⊥平面ABCD，M、N分別為PC、PD上的點，且M分

成定比2，N分PD成定比1，求滿足的實數x、y、z的值。

任務3 利用空間向量證明平行、垂直問題

例4.如圖，在四棱錐

P—ABCD中，底面ABCD是正方形，側棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點，作EF⊥PB于點F。（1）證明：PA//平面EDB；（2）證明：PB

⊥平面EFD；

筆記：

【堂中精練】

1．設????

????

????

O,P,A,B為空間任意四個點，若OP?mOA?nOB,且m?n?1,則（）

A.P在直線AB上B.P,A,B三點不共線C.P有可能在直線AB上D.以上都不對

2．若點M在平面ABC內，點O為空間中的任意一點，?????????1????OM?xOA?OB?1????

OC,則x3

3的值為（）

A.1B.0C.3D.13

????????????????????????

3．設A,B,C,D為空間不共面的四點，且滿足AB?AC?0,AB?AD?0,AC?AD?0,則?BCD是

（）A.鈍角三角形B.直角三角形C.銳角三角形D.等邊三角形

4．若a,b均為單位向量，且?a,b??60?,則|a?3b

|?（）

B

CD.4點睛：點共面問題，可轉化為向量共面問題，要證明P、A、B、C四點共面，只

要

能

證

明，或

對空間任一點O，有

或

即可，以上結論是判定空間四點共面的一個充要條件，共面向量定理實際上

也是三個非零向量所在直線共面的必要條件。

點睛：結合圖形，從向量

出發，利用向量運算法則不斷進行分解，直到全部向量都

用、、表示出來，即

可求出x、y、z的值

點睛：證明線面平行的方

法：

①證 明直線的方向向量與平面的法向量垂直；

②證明能夠在平面內找到一個向量與已 知直

線的方向向量共線

【反饋測評】

1.在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，點M,N,P,Q,R,S分別為AB,BC,CC1,C1D1,D1A1,A1A的中點，則MN?PQ化簡的結果為（）A.0B.RSC.SRD.NQ

????

???

????

?????

????

10已知A(1,?1,2),B(5,?6,2),C(1,3,?1),則?ABC中AC邊上的高BD是

2．在以下命題中，不正確的命題個數是（）①對于空間中任意????

????????????的四點A,B,C,D恒有AB?

BC?C?D0D?；A②

|a?|

b|?|a|?b?|共線；③若ab

a與b共線，則a與b所在直線平行；④對空間中任意的一點O和不共線的三點

????????????????

A,B,C,若OP?xOA?yOB?zOC（x,y,z?R)，則P,A,B,C四點共面。A.1B.2C.3D.43．若點G為?ABC的重心，點O是空間中任意一點，則下列結論中（）是正確的。

????

????????

????????A.GA?GB?GC?0

B.OG?1????OA?1????OB?1OC????????????OA?O?BO

????

?????2???2????

2????C.OG?

C D.OG?3OA?3O?B3O C4．下列命題正確的是（）A.若

????1????1????OP?OA?OB,則

P,A,B

三點共線2

3B.若{a,b,c}為一個基底，則{a?b,b?c,c?a}也為一個基底

C.|(a?b)c|?|a|?|b|?|c|

????????

D.?ABC為直角三角形的充要條件是AB?AC?0

5.已知向量a?(?1,2,3),b?(1,1,1),則向量a在向量b方向上的射影向量的模為

6.已知兩點A(1,?2,3),B(2,?1,1),則直線AB與平面xOz的交點坐標為

7.如圖，在矩形ABCD中，AB?1,BC?a,PA?平面AC，且PA?1,若在BC邊上存在兩個

點Q,使得PQ?QD,則正實數a的取值范圍是8如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，底面是以?ABC為直角的等腰三角形，AC?2a,BB1?3a,D是A1C1的中點，點E在棱AA1上，要使CE?平面B1DE，則AE? 9.設A,B,C,D為空間不共面的四點，且滿足

????????????????????????AB?AC?0,AB?AD?0,AC?AD?0,則?BCD是何三角形

11.若a,b均為單位向量，且?a,b??60?,則|a?3b|? 多少

12.如圖所示，邊長為a的正方形ABC是D和正方形ABEF相交于AB,?E

BD,AE上的動點，且AN?DM,試用向量解決：（1）證明：

求|MN|的最小值。

答案

例1.(1)P

與A、B、C共面。(2)P與A、B、C三點不共面

例2.1/3 例3

例4.連接AC，AC交BD于G，連接EG。

依題意得。∵底面ABCD是正方形。∴G是此正方形的中心，故點G的坐標為，∴則

【堂中精練】5.A6.D7.C8.C 【反饋測評】1.C.2.A3.A4.B.5.6.C(,0,).7.a?(2,??).8.?AE?a或2a。

9.銳角三角形

12.(1)

由

C|a?3b|?(a?3b)?1?3?9?13.題意，設

BBD

?

MEA

E

?x(?x?0

N

則1),?????????????????????????????????BM?xBD?x(BA?BC),EN?xEA?x(BA?BE),???????????????????????MN?BN?BM?BE?EN?BM?

?????????????????????????????????

.B(?Ex?B)A(B?Ex?)?B(A1?xB)BCE?xBC

?MN//面EBC，?MN?面EBC，?MN//面EBC。

(2)|MN|max?asin

?

2.?????

第二篇：3.1.2空間向量基本定理學案范文

3．1．2空間向量的基本定理

一．自學達標： 1．共線向量定理：

2．共面向量定理：

3．空間向量分解定理:

?,b?,?

4．ac可作空間的基底的充要條件是：

5．已知平行六面ABCD-A??????????a,AD???b,????AA?

1B1C1D1,AB1?c，試用基底{a?,b?,?c}表示如下向量???AC???????????????1,BD1,CA1,DB

1二．例題精選：

例1．已知三棱柱ABC-A1B1C1，設

???AB???????a,AC??b?,????AA?

1?c，M,N分別為AC1 ,BC中點，證明：（1）????MN?，??a,?

c共面

（2〕證明：????MN??????

A1B

例2：空間四邊形中，???OA???a????,OB???b,???OC???

c，M,N分別

為OA,BC中點，G在MN上，NG?2GM，用基底

{a?,b?,?c}表示????MN?，???OG?

三．達標練習：

1．下列命題正確的是（）?

???

??A．若a與b共線，b與c共線，則a與ca?共線

??

B．向量、b、c共面即它們所在的直線共面

Ｃ．零向量沒有確定的方向??b?

Ｄ．若a，則存在唯一的實數?，使?a????b?

2.設空間四點O、A、B、P，滿足???OP??mOA?????nOB????，其中

m?n?1，則（）

A.P在直線AB上B.P不在直線AB上 C.點P不一定在直線AB上D.以上都不對

3.①任意給出三個不共面的向量都可以作為一個基底②已知?

a?b?，則?a，b?

與任何向量都不能構成空間一個基底③A,B,M,N是空間四點，若???BA?,????BM?,???BN?

不能構成空

???

間的一個基底，則A,B,M,N共面。④已知{a,b,c}是空

?????

c?????間的一個基底，若m?a，則{a,b,c,m}

也是空間的一個基底。其中正確的個數是（）A.1B.2C.3D.4

{a?,b?,?

4．若c}是一組基底，則x?y?z?0是

xa??yb??zc?的（）

A.必要不充分條件B.充分不必要條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件 5．如圖，已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，E,F分別在B和D?11

1B1D上，且BE3B1B，DF?3

D1D。

（1）證明A,E,C1,F四點共面；

（2）若???EF??xAB?????y???AD??z????

AA1，求x?y?z

自助餐：對于空間任一點O和不共線的三點A、B、C，且有???OP??xOA?????yOB?????zOC????

(x,y,z?R)，x?y?z?1，證明A,B,C,P四點共面

第三篇：平面向量的坐標表示教案范文

平面向量共線的坐標表示

教學目的：

（1）理解平面向量的坐標的概念；（2）掌握平面向量的坐標運算；

（3）會根據向量的坐標，判斷向量是否共線.教學重點：平面向量的坐標運算

教學難點：向量的坐標表示的理解及運算的準確性 授課類型：新授課 教具：多媒體、實物投影儀 教學過程：

一、復習引入： 1．平面向量的坐標表示

分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量、j作為基底.任作一個向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一對實數x、y，使得a?xi?yj

把(x,y)叫做向量a的（直角）坐標，記作a?(x,y)

其中x叫做a在x軸上的坐標，y叫做a在y軸上的坐標，特別地，i?(1,0)，j?(0,1)，0?(0,0).2．平面向量的坐標運算 若a?(x1,y1)，b?(x2,y2)，則a?b?(x1?x2,y1?y2)，a?b?(x1?x2,y1?y2)，?a?(?x,?y).若A(x1,y1)，B(x2,y2)，則AB??x2?x1,y2?y1?

二、講解新課：

???a∥b(b?0)的充要條件是x1y2-x2y1=0

????設a=(x1，y1)，b=(x2，y2)其中b?a.??x1??x2?由a=λb得，(x1，y1)=λ(x2，y2)??消去λ，x1y2-x2y1=0

y??y2?1?探究：（1）消去λ時不能兩式相除，∵y1，y2有可能為0，∵b?0∴x2，y2中至少有一個不為0（2）充要條件不能寫成y1y2∵x1，x2有可能為0 ?x1x2??(3)從而向量共線的充要條件有兩種形式：a∥b ?(b?0)?a??b

x1y2?x2y1?0

三、講解范例：

????例1已知a=(4，2)，b=(6，y)，且a∥b，求y.例2已知A(-1，-1)，B(1，3)，C(2，5)，試判斷A，B，C三點之間的位置關系.例3設點P是線段P1P2上的一點，P1、P2的坐標分別是(x1，y1)，(x2，y2).(1)當點P是線段P1P2的中點時，求點P的坐標；(2)當點P是線段P1P2的一個三等分點時，求點P的坐標.??例4若向量a=(-1，x)與b=(-x，2)共線且方向相同，求x

??解：∵a=(-1，x)與b=(-x，2)共線∴(-1)×2-x?(-x)=0 ??a∴x=±2∵與b方向相同∴x=2

例5已知A(-1，-1)，B(1，3)，C(1，5)，D(2，7)，向量AB與CD平行嗎？直線AB與平行于直線CD嗎？

解：∵AB=(1-(-1)，3-(-1))=(2，4)，CD=(2-1，7-5)=(1，2)又∵2×2-4×1=0 ∴AB∥CD

又∵AC=(1-(-1)，5-(-1))=(2，6)，AB=(2，4)，2×4-2×6?0 ∴AC與AB不平行

∴A，B，C不共線∴AB與CD不重合∴AB∥CD

四、課堂練習：

1.若a=(2，3)，b=(4，-1+y)，且a∥b，則y=（）A.6 B.5 C.7 D.8 2.若A(x，-1)，B(1，3)，C(2，5)三點共線，則x的值為（）

A.-3 B.-1 C.1 D.3 3.若AB=i+2j，DC=(3-x)i+(4-y)j(其中i、j的方向分別與x、y軸正方向相同且為單位向量).AB與DC共線，則x、y的值可能分別為（）A.1，2 B.2，2 C.3，2 D.2，4 4.已知a=(4，2)，b=(6，y)，且a∥b，則y=.5.已知a=(1，2)，b=(x，1)，若a+2b與2a-b平行，則x的值為.6.已知□ABCD四個頂點的坐標為A(5，7)，B(3，x)，C(2，3)，D(4，x)，則x=.五、小結

第四篇：平面向量基本定理教案

§2.3.1平面向量基本定理教學設計

教學目的：

（1）了解平面向量基本定理；

（2）理解平面里的任何一個向量都可以用兩個不共線的向量來表示，初步掌握應用向量解決實際問題的重要思想方法；（3）能夠在具體問題中適當地選取基底，使其他向量都能夠用基底來表達.教學重點：平面向量基本定理.教學難點：平面向量基本定理的理解與應用.授課類型：新授課 教學過程：

一、復習引入：

??1．實數與向量的積：實數λ與向量a的積是一個向量，記作：λa

??（1）|λa|=|λ||a|；

?????（2）λ>0時λa與a方向相同；λ<0時λa與a方向相反；λ=0時λa=0

2．運算定律

??結合律：λ(μa)=(λμ)a ；

???????分配律：(λ+μ)a=λa+μa，λ(a+b)=λa+λb

??3.向量共線定理 向量b與非零向量a共線的充要條件是：有且只有一個非零??實數λ，使b=λa.二、講解新課：

1．提出問題：由平行四邊形想到：

（1）是不是每一個向量都可以分解成兩個不共線向量？且分解是唯一？（2）對于平面上兩個不共線向量e1，e2是不是平面上的所有向量都可以用它們來表示？

2．設e1，e2是不共線向量，a是平面內任一向量，e1 a

MC

N B e2

O OA=e1，OM=λ

1e2； OB=e2，ON=λe2

21OC=a=OM+ON=λ

e1+λe2，2平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對

??于這一平面內的任一向量a，有且只有一對實數λ1，λ2使a=λ1e1+λ2e2.探究：

(1)我們把不共線向量ｅ１、ｅ２叫做表示這一平面內所有向量的一組基底；(2)基底不惟一，關鍵是不共線；

(3)由定理可將任一向量a在給出基底ｅ１、ｅ２的條件下進行分解；

?(4)基底給定時，分解形式惟一.λ1，λ2是被a，e1，e2唯一確定的數量

3、兩個非零向量的夾角：

???????????? 如圖所示，已知兩個非零向量a,b，在平面上任取一點O，作OA?aO ,B?b，??則?AOB???0?????叫做向量a與b的夾角，ba BAO θbθ bAOB aa【說明】（1）研究兩個非零向量的夾角時，必須先將這兩個向量的起點移至同一個點；但是當兩個向量的終點重合時，表示向量的這兩條線段所成的?0,??范圍內的角也等于這兩個向量之間的夾角。（2）只有非零向量之間才存在夾角；

??（3）如果∠AOB=0°a與b同向；

????（4）如果∠AOB=90°，我們就說向量a與b垂直，記作：a?b；

??（5）如果∠AOB=180°a與b反向。

三、講解范例：

例1 已知向量e1，e2 求作向量?2.5e1+3e2.作法：見教材

四、課堂練習：

1.設e1、e2是同一平面內的兩個向量，則有()A.e1、e2一定平行

e2e1B.e1、e2的模相等

C.同一平面內的任一向量a都有a =λe1+μe2(λ、μ∈R)D.若e1、e2不共線，則同一平面內的任一向量a都有a =λe1+ue2(λ、u∈R)2.已知矢量a = e1-2e2，b =2e1+e2，其中e1、e2不共線，則a+b與c =6e1-2e2的關系

A.不共線 B.共線 C.相等 D.無法確定

3.已知向量e1、e2不共線，實數x、y滿足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2，則x-y的值等于()A.3 B.-3 C.0 D.2

五、小結：平面向量基本定理，其實質在于：同一平面內任一向量都可以表示為兩個不共線向量的線性組合．

六、課后作業：課本：101頁1,2 板書設計：略

第五篇：《平面向量基本定理》教案

一、教學目標：

1.知識與技能：

了解平面向量基本定理及其意義, 理解平面里的任何一個向量都可以用兩個不共線的向量來表示；能夠在具體問題中適當地選取基底,使其他向量都能夠用基底來表示。

2.過程與方法：

讓學生經歷平面向量基本定理的探索與發現的形成過程,體會由特殊到一般和數形結合的數學思想，初步掌握應用平面向量基本定理分解向量的方法，培養學生分析問題與解決問題的能力。

3.情感、態度和價值觀

通過對平面向量基本定理的學習,激發學生的學習興趣,調動學習積極性,增強學生向量的應用意識,并培養學生合作交流的意識及積極探索勇于發現的學習品質.二、教學重點：平面向量基本定理.三、教學難點：平面向量基本定理的理解與應用.四、教學方法：探究發現、講練結合五、授課類型：新授課

六、教 具：電子白板、黑板和課件

七、教學過程：

（一）情境引課，板書課題

由導彈的發射情境，引出物理中矢量的分解，進而探究我們數學中的向量是不是也可以沿兩個不同方向的向量進行分解呢？

（二）復習鋪路，漸進新課

在共線向量定理的復習中，自然地、漸進地融入到平面向量基本定理的師生互動合作的探究與發現中去，感受著從特殊到一般、分類討論和數形結合的數學思想碰撞的火花，體驗著學習的快樂。

（三）歸納總結，形成定理

讓學生在發現學習的過程中歸納總結出平面向量基本定理，并給出基底的定義。

（四）反思定理，解讀要點

反思平面向量基本定理的實質即向量分解，思考基底的不共線、不惟一和非零性及實數對的存在性和唯一性。

（五）跟蹤練習，反饋測試

及時跟蹤練習，反饋測試定理的理解程度。

（六）講練結合，鞏固理解

即講即練定理的應用，講練結合，進一步鞏固理解平面向量基本定理。

（七）夾角概念，順勢得出

不共線向量的不同方向的位置關系怎么表示，夾角概念順勢得出。然后數形結合，講清本質：夾角共起點。再結合例題鞏固加深。

（八）課堂小結，畫龍點睛

回顧本節的學習過程，小結學習要點及數學思想方法，老師的“教 ”與學生的“學”渾然一體，一氣呵成。

（九）作業布置，回味思考。

布置課后作業，檢驗教學效果。回味思考，更加理解定理的實質。

七、板書設計：

1.平面向量基本定理：如果

是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任意向量，有且只有一對實數，使

.2.基底：

(1)不共線向量

叫做表示這一平面內所有向量的一組基底；

(2)基底：不共線，不唯一，非零

(3)基底給定，分解形式唯一，實數對

存在且唯一；

(4)基底不同，分解形式不唯一，實數對

可同可異。

例1 例2

3.夾角

：

（1）兩向量共起點；

（2）夾角范圍：

例3

4.小結

5.作業