第一篇：§1空間向量的坐標運算

江蘇省宿遷中學2011屆高三第一輪復習導學案編寫：栗旭審校：李愚

§1空間向量的坐標表示及基本定理

二、教學目標

1.了解空間向量的基本概念；

2.掌握空間向量的運算及性質.三、重點：空間向量的運算

難點：利用向量證明有關問題

四、知識導學 ?????1.共面向量定理：如果兩個向量a,b不共線，p與向量a,b共面的充要條件是存在實數

????2.空間向量基本定理：如果三個向量a,b,c不共面，那么對空間任一向量p，存在一個x,y使???????唯一的有序實數組x,y,z，使p?xa?yb?zc{a,b,c}叫做空間的一個基

???底，a,b,c叫做基向量，可以知道，空間任意三個不共面的向量都可以構成空間的一個基推論：設O,A,B,C是不共面的四點，則對空間任一點P，都存在唯一的三個有序實數x,y,z，使.3.空間向量的坐標表示概念

??4.設a=(a1,a2,a3), b=(b1,b2,b3),????若a、b為兩非零向量，則a?b??

五、課前自學 1．在下列命題中：①若、共線，則、所在的直線平行；②若、所在的直線是異面直線，則、一定不共面；③若、、三向量兩兩共面，則、、三向量一定也共面；④已知三向量、、，則空間任意一個向量p總可以唯一表示為?x?y?z．其中正確命題的個數為

2．在空間四邊形ABCD中，AC和BD為對角線，G為△ABC的重心，E是BD上一點，????????????????

BE＝3ED，以｛AB，AC，AD｝為基底，則GE＝．

????

3．向量a＝(1，2，-2)，b＝(-2，-4，4)，則a與b位置關系是． ??????4.m＝（8，3，a），n＝（2b,6,5），若m∥n，則a+b的值為． ????

5．a＝(2，-2，-3)，b＝(2,0,4)，則a與b的夾角為．

六、合作、探究、展示

例題OABC，其對角線OB,AC，M,N分別是對邊OA,BC的中點，????????????????

點G在線段MN上，且MG?2GN，用基底向量OA,OB,OC表示向量

例題2．已知空間四邊形ABCD的各邊和對角線的長都等于a，點M、N分別是AB、CD的中點。

（1）求證：MN?AB,MN?CD;（2）求MN的長；

（3）求異面直線AN與CM所成角的余弦值。

B

例題3.如圖所示，平行六面體ABCD?A1BC11D1的底面ABCD是菱形，且

C

N

D

M

A

?C1CB??C1CD??BCD?60

（1）求證：C1C?BD；（2）當

?

CD的值為多少時，能使AC?面C1BD？

1CC1

請給出說明。

七、當堂檢測

1．已知＝（2，－1，3），＝（－1，4，－2），＝（7，5，λ），若、、三向 量共面，則實數λ等于

?

2.若非零向量a＝｛x1，y1，z1｝，b＝｛x2，y２，z2｝,則

向的條件

xyz

??是a與b同向或反x2y2z

2?

??

3.a＝｛1,5,-2｝，b＝｛m,2,m+2｝，若a⊥b，則m的值為

????4．.已知a＝｛8,-1,4｝，b＝｛2,2,1｝，則以a、b為鄰邊的平行四邊形的面積

為.八、總結反思

第二篇：平面向量的坐標運算 教案

平面向量的坐標運算 教案

一、教學目標

1、知識與技能：

掌握平面向量的坐標運算；

2、過程與方法：

通過對共線向量坐標關系的探究，提高分析問題、解決問題的能力。3情感態度與價值觀：

學會用坐標進行向量的相關運算，理解數學內容之間的內在聯系。

二、教學重點與難點

教學重點：平面向量的坐標運算。

教學難點：向量的坐標表示的理解及運算的準確.三、教學設想

（一）導入新課

思路1.向量具有代數特征,與平面直角坐標系緊密相聯.那么我們在學習直線和圓的方程以及點、直線、平面之間的位置關系時,直線與直線的平行是一種重要的關系.關于x、y的二元一次方程Ax+By+C=0(A、B不同時為零)何時所體現的兩條直線平行？向量的共線用代數運算如何體現？

思路2.對于平面內的任意向量a,過定點O作向量OA=a,則點A的位置被向量a的大小和方向所唯一確定.如果以定點O為原點建立平面直角坐標系,那么點A的位置可通過其坐標來反映,從而向量a也可以用坐標來表示,這樣我就可以通過坐標來研究向量問題了.事實上,向量的坐標表示,實際是向量的代數表示.引入向量的坐標表示可使向量運算完全代數化,將數與形緊密結合起來,這就可以使很多幾何問題的解答轉化為學生熟知的數量運算.引進向量的坐標表示后,向量的線性運算可以通過坐標運算來實現,那么向量的平行、垂直,是否也能通過坐標來研究呢？

（二）推進新課、新知探究、提出問題

①我們研究了平面向量的坐標表示,現在已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),你能得出a+b,a-b,λa的坐標表示嗎? ②如圖1,已知A(x1,y1),B(x2,y2),怎樣表示AB的坐標？你能在圖中標出坐標為(x2-x1,y2-y1)的P點嗎?標出點P后,你能總結出什么結論? 活動:教師讓學生通過向量的坐標表示來進行兩個向量的加、減運算,教師可以讓學生到黑板去板書步驟.可得:

圖1 a+b=(x1ｉ+y1j)+(x2ｉ+y2j)=(x1+x2)ｉ+(y1+y2)j, 即a+b=(x1+x2,y1+y2).同理a-b=(x1-x2,y1-y2).又λa=λ(x1ｉ+y1j)=λx1ｉ+λy1j.∴λa=(λx1,λy1).教師和學生一起總結,把上述結論用文字敘述分別為: 兩個向量和(差)的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和(差);實數與向量的積的坐標等于用這個實數乘原來向量的相應坐標.教師再引導學生找出點與向量的關系:將向量AB平移,使得點A與坐標原點O重合,則平移后的B點位置就是P點.向量AB的坐標與以原點為始點,點P為終點的向量坐標是相同的,這樣就建立了向量的坐標與點的坐標之間的聯系.學生通過平移也可以發現:向量AB的模與向量OP的模是相等的.由此,我們可以得出平面內兩點間的距離公式: |AB|=|OP|=(x1?x2)2?(y1?y2)2.教師對總結完全的同學進行表揚,并鼓勵學生,只要善于開動腦筋,勇于創新,展開思維的翅膀,就一定能獲得意想不到的收獲.討論結果:①能.②AB=OB-OA=(x2,y2)-(x1,y1)=(x2-x1,y2-y1).結論:一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點的坐標減去始點的坐標.提出問題

①如何用坐標表示兩個共線向量? ②若a=(x1,y1),b=(x2,y2),那么

y1y?2是向量a、b共線的什么條件? x1x2活動:教師引導學生類比直線平行的特點來推導向量共線時的關系.此處教師要對探究困難的學生給以必要的點撥:設a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0.我們知道,a、b共線,當且僅當存在實數λ,使a=λb.如果用坐標表示,可寫為(x1,y1)=λ(x2,y2), ??x??x2,即?1消去λ后得x1y2-x2y1=0.??y1??y2.這就是說,當且僅當x1y2-x2y1=0時向量a、b(b≠0)共線.又我們知道x1y2-x2y1=0與x1y2=x2y1是等價的,但這與

y1y?2是不等價的.因x1x2為當x1=x2=0時,x1y2-x2y1=0成立,但

y1yyy?2均無意義.因此1?2是向量a、bx1x2x1x2共線的充分不必要條件.由此也看出向量的應用更具一般性,更簡捷、實用,讓學生仔細體會這點.討論結果:①x1y2-x2y1=0時,向量a、b(b≠0)共線.②充分不必要條件.提出問題

a與非零向量b為共線向量的充要條件是有且只有一個實數λ使得a=λb, 那么這個充要條件如何用坐標來表示呢？

活動:教師引導推證:設a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠a，??x1??x2,由a=λb,(x1,y1)=λ(x2,y2)??消去λ,得x1y2-x2y1=0.??y1??y2.討論結果:a∥b(b≠0)的充要條件是x1y2-x2y1=0.教師應向學生特別提醒感悟: 1°消去λ時不能兩式相除,∵y1、y2有可能為0,而b≠0,∴x2、y2中至少有一個不為0.2°充要條件不能寫成y1y?2(∵x1、x2有可能為0).x1x2?a??b3°從而向量共線的充要條件有兩種形式:a∥b(b≠0)??

?x1y2?x2y1?0.（三）應用示例

思路1 例1 已知a=(2,1),b=(-3,4),求a+b,a-b,3a+4b的坐標.活動:本例是向量代數運算的簡單應用,讓學生根據向量的線性運算進行向量的和、差及數乘的坐標運算,再根據向量的線性運算律和向量的坐標概念得出的結論.若已知表示向量的有向線段的始點和終點坐標,那么終點的坐標減去始點的坐標就是此向量的坐標,從而使得向量的坐標與點的坐標可以相互轉化.可由學生自己完成.解:a+b=(2,1)+(-3,4)=(-1,5);a-b=(2,1)-(-3,4)=(5,-3);3a+4b=3(2,1)+4(-3,4)=(6,3)+(-12,16)=(-6,19).點評:本例是平面向量坐標運算的常規題,目的是熟悉平面向量的坐標運算公式.變式訓練

131.(2007海南高考,4)已知平面向量a=(1,1),b=(1,-1),則向量a?b

22等于()A.(-2,-1)

B.(-2,1)

C.(-1,0)D.(-1,2)答案:D 2.(2007全國高考,3)已知向量a=(-5,6),b=(6,5),則a與b?()

A.垂直

B.不垂直也不平行

C.平行且同向 D.平行且反向

答案:A 3

圖2 例2 如圖2,已知ABCD的三個頂點A、B、C的坐標分別是(-2,1)、(-1,3)、(3,4),試求頂點D的坐標.活動:本例的目的仍然是讓學生熟悉平面向量的坐標運算.這里給出了兩種解法:解法一利用“兩個向量相等,則它們的坐標相等”,解題過程中應用了方程思想;解法二利用向量加法的平行四邊形法則求得向量OD的坐標,進而得到點D的坐標.解題過程中,關鍵是充分利用圖形中各線段的位置關系(主要是平行關系),數形結合地思考,將頂點D的坐標表示為已知點的坐標.解:方法一:如圖2,設頂點D的坐標為(x,y).∵AB=(-1-(-2),3-1)=(1,2),DC=(3-x,4-y).由AB=DC,得?1?3?x,(1,2)=(3-x,4-y).∴?

2?4?x.??x?2,∴? ?y?2.∴頂點D的坐標為(2,2).方法二:如圖2,由向量加法的平行四邊形法則,可知

BD?BA?AD?BA?BC=(-2-(-1),1-3)+(3-(-1),4-3)=(3,-1), 而OD=OB+BD=(-1,3)+(3,-1)=(2,2), ∴頂點D的坐標為(2,2).點評:本例的目的仍然是讓學生熟悉平面向量的坐標運算.變式訓練

圖3 如圖3,已知平面上三點的坐標分別為A(-2,1),B(-1,3),C(3,4),求點D的坐標使這四點構成平行四邊形四個頂點.解:當平行四邊形為ABCD時,仿例二得:D1=(2,2);當平行四邊形為ACDB時,仿例二得:D2=(4,6);當平行四邊形為DACB時,仿上得:D3=(-6,0).例3 已知A(-1,-1),B(1,3),C(2,5),試判斷A、B、C三點之間的位置關系.活動:教師引導學生利用向量的共線來判斷.首先要探究三個點組合成兩個向量,然后根據兩個向量共線的充要條件來判斷這兩個向量是否共線從而來判斷這三點是否共線.教師引導學生進一步理解并熟練地運用向量共線的坐標形式來判斷向量之間的關系.讓學生通過觀察圖象領悟先猜后證的思維方式.解:在平面直角坐標系中作出A、B、C三點,觀察圖形,我們猜想A、B、C三點共線.下面給出證明.∵AB=(1-(-1),3-(-1))=(2,4), AC=(2-(-1),5-(-1))=(3,6), 又2×6-3×4=0,∴AB∥AC,且直線AB、直線AC有公共點A, ∴A、B、C三點共線.點評:本例的解答給出了判斷三點共線的一種常用方法,其實質是從同一點出發的兩個向量共線,則這兩個向量的三個頂點共線.這是從平面幾何中判斷三點共線的方法移植過來的.變式訓練

已知a=(4,2),b=(6,y),且a∥b,求y. 解:∵a∥b,∴4y-2×6=0.∴y=3.思路2

例2 設點P是線段P1P2上的一點,P1、P2的坐標分別是(x1,y1)、(x2,y2).(1)當點P是線段P1P2的中點時,求點P的坐標;(2)當點P是線段P1P2的一個三等分點時,求點P的坐標.活動:教師充分讓學生思考,并提出這一結論可以推廣嗎?即當

P1P=λPP2時,點P的坐標是什么?師生共同討論,一起探究,可按照求中點坐標的解題思路類比推廣,有學生可能提出如下推理方法: 由P1P=λPP2,知(x-x1,y-y1)=λ(x2-x,y2-y)，?x1??x2x?,???x?x1??(x2?x)?1??即? ????y?y1??(y2?y)?y?y1??y2.?1???這就是線段的定比分點公式,教師要給予充分肯定,鼓勵學生的這種積極探索,這是學習數學的重要品質.時間允許的話,可以探索λ的取值符號對P點位置的影響,也可鼓勵學生課后探索.圖4 解:(1)如圖4,由向量的線性運算可知

x?x2y1?y21,.).OP=(OP1+OP2)=(1222所以點P的坐標是（x1?x2y1?y2,.)22(2)如圖5,當點P是線段P1P2的一個三等分點時,有兩種情況,即

P1P1=或PP22P1P=2.PP2如果P1P1=,那么 PP22

圖5 PP=OPOP=OP1+11+

1P1P2 31=OP+(OP12-OP1)312=OP+OP12 33=(2x1?x22y1?y2,).332x1?x22y1?y2,).33即點P的坐標是(同理,如果

x?2x2y1?2y2P1P,.=2,那么點P的坐標是133PP2點評:本例實際上給出了線段的中點坐標公式和線段的三等分點坐標公式.變式訓練

在△ABC中,已知點A(3,7)、B(-2,5).若線段AC、BC的中點都在坐標軸上,求點C的坐標.解:(1)若AC的中點在y軸上,則BC的中點在x軸上, 設點C的坐標為(x,y),由中點坐標公式,得

3?xy?5?0,?0, 22∴x=-3,y=-5, 即C點坐標為(-3,-5).(2)若AC的中點在x軸上,則BC的中點在y軸上,則同理可得C點坐標為(2,-7).綜合(1)(2),知C點坐標為(-3,-5)或(2,-7).例2 已知點A(1,2),B(4,5),O為坐標原點,OP=OA+tAB.若點P在第二象限,求實數t的取值范圍.活動:教師引導學生利用向量的坐標運算以及向量的相等,把已知條件轉化為含參數的方程(組)或不等式(組)再進行求解.教師以提問的方式來了解學生組織步驟的能力,或者讓學生到黑板上去板書解題過程,并對思路清晰過程正確的同學進行表揚,同時也要對組織步驟不完全的同學給與提示和鼓勵.教師要讓學生明白“化歸”思想的利用.不等式求變量取值范圍的基本觀點是,將已知條件轉化為關于變量的不等式(組),那么變量的取值范圍就是這個不等式(組)的解集.解:由已知AB=(4,5)-(1,2)=(3,3).∴OP=(1,2)+t(3,3)=(3t+1,3t+2).?3t?1?021若點P在第二象限,則????t??

33?3t?2?021,?).33點評:此題通過向量的坐標運算,將點P的坐標用t表示,由點P在第二象限可得到一個關于t的不等式組,這個不等式組的解集就是t的取值范圍.變式訓練 故t的取值范圍是(?已知OA=(cosθ,sinθ),OB=(1+sinθ,1+cosθ),其中0≤θ≤π,求|AB|的取值范圍.解:∵AB=OB-OA=(1+sinθ,1+cosθ)-(cosθ,sinθ)=(1+sinθ-cosθ,1+cosθ-sinθ).∴|AB|=(1+sinθ-cosθ)+(1+cosθ-sinθ)=［1+(sinθ-cosθ)］2+［1-(sinθ-cosθ)］2 =2+2(sinθ-cosθ)2 =2+2(1-2sinθcosθ)=4-4sinθcosθ=4-2sin2θ.∵0≤θ≤π,∴0≤2θ≤2π.從而-1≤sin2θ≤1.∴4-2sin2θ∈［2,6］.故|AB|的取值范圍是［2,6］.222 7

（四）課堂小結

1.先由學生回顧本節都學習了哪些數學知識:平面向量的和、差、數乘的坐標運算,兩個向量共線的坐標表示.2.教師與學生一起總結本節學習的數學方法,定義法、歸納、整理、概括的思想,強調在今后的學習中,要善于培養自己不斷探索、善于發現、勇于創新的科學態度和求實開拓的精神,為將來的發展打下良好基礎.（五）作業

第三篇：平面向量的坐標運算教案

“平面向量的坐標運算”教學方案

教學目標：

1.知識與技能：

理解平面向量坐標的概念，掌握平面向量坐標的運算。2.過程與方法：

在對平面向量坐標表示及坐標運算的學習過程中使學生的演繹、歸納、猜想、類比的能力得到發展，利用圖形解決問題，也讓學生體會到數形結合的思想方法解決問題的能力的重要性。3.情感、態度與價值觀：

通過本節課的學習，使學生感受到數學與實際生產、生活的密切聯系，體會客觀世界中事物之間普遍聯系的辯證唯物主義觀點。教學重點：

平面向量的坐標表示及坐標運算。教學難點：

平面向量坐標表示的意義。教學方法：

結合本節課的目標要求、重難點的確定以及學生實際思維水平，教學設計中采取啟發引導、類比歸納、合作探究、實踐操作等教學方法。教學手段：

投影儀、多媒體軟件 教學過程 1.情境創設

教師借助多媒體動畫演示人站在高處拋擲硬物的過程作為本節課的問題情境引入課題，引導學生注意觀察硬物下落軌跡，提出問題：結合同學們的生活常識及物理學知識，想一想硬物的速度可做怎樣的分解？

學生回答：速度可按豎直和水平兩個方向進行分解

設計目的：情境與生活聯系，激發學生學習興趣，同時為下面展開的知識做

好鋪墊。

2.展開探究

問題一：平面向量的基本定理內容是什么？ 教師請一學生回答，同時投影出示其內容。問題二：向量能不能象平面坐標系中點一樣給出坐標表示呢？我們如何表示更加

合理呢？

組織學生談論，給出各種想法，教師做點評歸納。投影展示：將一任意向量a置于直角坐標系中，給出向量的起點、終點坐標，并 提出問題 問題三：既然向量的起點和終點的坐標是確定的，那么向量也可以用一對實數來表示嗎？

設計目的：此問題引發學生聯想，對平面向量坐標表示方法具有指導性作用。教師講授：在直角坐標系內，我們分別取與 x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i,j作為基底.任作一個向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一對實數x,y，使得a=xi+yj ,我們把 叫做向量a的（直角）坐標，記作a=(x,y),其中x叫做a在x軸上的坐標,y叫做a在y軸上的坐標，(x,y)式叫做向量的坐標表示。

3.深化理解

一.平面向量坐標表示的的理解 提出問題：

(1)、如果以原點O作為起點作一向量OA=a（投影動畫同步演示），那么點A的位置是否可以唯一確定呢？

(2)、點A的坐標與向量OA的坐標之間有什么關系？(3)、兩個向量相等的充要條件利用坐標如何進行表示呢？

(4)、如果我們將一個平面向量在直角坐標系中作任意平移（不該表大小和方向），那么它的坐標會改變嗎？

組織學生以小組為單位展開探究交流活動，在討論后回答上述問題，可師生共同完善答案，歸納如下:

(1)、點A的位置受向量OA決定，唯一確定。

(2)、以原點O為起點的向量OA的坐標和終點A的坐標事完全相同的。(3)、兩個平面向量相等的充要條件是兩個向量的坐標相同。

(4)、在直角坐標系中平面向量在大小和方向不變的前提下自由移動，它們的坐標就是相同的。

設計目的：讓學生在合作探究中去主動學習，不僅鍛煉了解決問題的能力，還培養了探究協作的能力。

出示練習：用基底i、j分別表示向量a、b、c、d，并求出它們的坐標（圖略）。教師讓學生獨立完成，之后借助投影讓 個別學生展示完成情況，教師點評。設計目的：增進了所學新知的內化。

二、平面向量的坐標運算

提出問題：通過以上研究，我們了解了平面向量的坐標表示，向量是可以進行運

算的，如何運用所學的知識進行兩個向量的和與差的坐標表示及實數 與向量積的坐標表示呢？

投影出示：已知向量a=（s，t），b=(m,n)，求向量a+b，a-b, λa的坐標

學生展開討論，可能給出多種推導方法，教師要耐心給與點評，并做最后歸納。（1）向量加減法的坐標等于向量坐標的加減法。

（2）實數與向量的積的坐標等于是屬于向量坐標的積。

（3）一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點的坐標減去起點坐標 教師提問：設AB是表示向量a的有向線段，點A(s,t)，B(m,n)，那么向量a的坐標如何表示？

學生結合向量坐標運算可得出答案，a=(m-s,n-t)，教師強調

一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點的坐標減去始點的坐標。設計目的 ：此環節教師充當引導者，以學生為主體，讓學生在討論思考中享受成功的快樂。

4.例題剖析

例

1、已知平行四邊形ABCD的三個頂點A、B、C的坐標分別為（-2，1）、（-1，3）、（3，4），求頂點D的坐標。

變式：已知平面上三點的坐標分別為A(?2, 1), B(?1, 3), C(3, 4)，求點D的坐標，使這四點成為平行四邊形的四個頂點。

教師給學生充足時間獨立思考，適當時可提示作圖理解，而變式對學生來說

難度增大，要鼓勵學生大膽嘗試，獨立求解，并提示要考慮圖形的多種畫法。設計目的：通過例題和變式綜合考查學生對本節所學知識的理解和掌握程度，也促進學生應用知識解決問題的能力。

5.課堂小結

請學生對本節課內容作歸納，不足之處師生補充完善，最后教師作總結式說明。1.向量的坐標表示是向量的另一種表示形式，也可以稱之為向量的代數表示，其背景是平面向量的基本定理。

2.向量的坐標表示為我們進行向量的運算提供了方便。

3.向量的坐標表示使得我們借助數的運算對圖形的幾何性質展開研究，體現了數形結合思想方法的應用。

前面我們還學習了這留待我們下一 節再來研究。

6.布置作業（1）.課后習題

（2）如何運用向量坐標來表示和判定共線向量呢？讓學生預習下節內容。

7.板書設計

平面向量的坐標運算

1.平面向量的坐標

例1

變式 定義

解：

解：（1）

（2）

（3）

2.平面向量的坐標運算

第四篇：《空間向量》專題3 非坐標運算 學案（Word版含答案）

《空間向量》專題3-1

非坐標運算

（4套，4頁，含答案）

知識點：

非坐標運算：

（1）加減與數乘運算：

定義：與平面向量運算一樣，空間向量的加法、減法與數乘向量運算如下

；；；

（2）運算律：

⑴加法交換律：；

⑵加法結合律：；

⑶數乘分配律：；

（3）

用行路法分解向量，會比較簡單，容易理解。

具體操作方法：假設自己行路，繞路行，如果行路方向與向量方向一致，則向量為正，否則為負；把行

路經過的向量相加即為該向量分解的結果。

（4）向量的數量積：

．

已知向量和軸，是上與同方向的單位向量，作點在上的射影，作點在上的射影，則叫做向量在軸上或在上的正射影.可以證明的長度．

（5）空間向量數量積的性質：

（1）．（2）．（3）．

（6）空間向量數量積運算律：

（1）．

（2）（交換律）（3）（分配律）．

典型例題：

1.在空間四邊形OABC中，＋－等于（答案：C；

解析：　＋－＝O－＝＋＝.)

A．

B．

C．

D．

2.如圖所示，已知平行六面體OABC－O′A′B′C′，＝a，＝c，′＝b，D是四邊形OABC的中心，則（答案：D；

解析：　＝＋＝＋＝＋(＋)＝a－b＋c.)

A.＝－a＋b＋c

B.＝－b－a－c

C.＝a－b－c

D.＝a－b＋c

3.如圖所示，已知正三棱錐A－BCD的側棱長和底面邊長都是a，點E，F，G是AB，AD，DC上的點，且AE∶EB＝AF∶FD＝CG∶GD＝1∶2，求下列向量的數量積：

(1)A·D；(2)A·B；(3)G·A；(4)E·B.答案：－a2，0，－a2，a2；

解析：(1)|A|＝a，||＝a，〈A，D〉＝120°，所以A·D＝|||D|cos

120°＝－a2.(2)因為B＝A－A，所以A·B＝A·(A－A)＝A·A－A·A，又因為|A|＝a，||＝a，〈A，A〉＝〈A，A〉＝60°，所以A·B＝a2－a2＝0.(3)因為點F，G是AD，DC上的點，所以G＝＝－A，所以G·A＝－，因為＝a2，所以G·A＝－a2.(4)因為點E，F分別是AB，AD上的點，所以E＝B，所以E·B＝B·B，結合圖形可知〈B，B〉＝60°，所以E·B＝B·B＝×a×a×cos

60°＝a2.隨堂練習：

1.如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，下列各式中運算結果為向量的是（答案：D；

解析：　①(＋)＋＝＋＝；

②(＋)＋＝＋＝；

③(＋)＋＝＋＝；

④(＋)＋＝＋＝.)

①(＋)＋；

②(＋)＋；

③(＋)＋；

④(＋)＋.A．①③

B．②④

C．③④

D．①②③④

2.在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是正方形，E為PD中點，若＝a，＝b，＝c.試用a，b，c表示向量.答案：a－b＋c；

解析：　＝(＋)＝(＋＋)

＝(－＋－－)

＝－＋

＝a－b＋c.3.在空間四邊形ABCD中，A·C＋B·A＋C·B＝___

答案：0；

解析：　設A＝b，A＝c，A＝d，則C＝d－c，B＝d－b，＝c－b.原式＝0._____.《空間向量》專題3-2

非坐標運算

1.在平行六面休ABCD－A′B′C′D′中，若＝x＋2y＋3z，則x＋y＋z等于（答案：B；

解析：　如圖，＝＋＋

＝＋－，所以x＝1，2y＝1，3z＝－1，所以x＝1，y＝，z＝－，因此x＋y＋z＝1＋－＝.)

A．1

B.C.D.2.如圖，空間四邊形OABC中，點M、N分別OA、BC上，OM=2MA，BN=CN，則MN=（答案：B；）

A．12OA?23OB+12OC

B．?23OA+12OB+12OC

C．12OA+12OB?12OC

D．23OA+23OB?12OC

3.如圖，平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，則AC1的長為（答案：D；

解析：　∵＝A＋A＋，∴||＝＝

∵AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，∴〈A，A〉＝90°，〈A，〉＝〈A，〉＝60°.∴|A|＝＝.)

A.B.C.D.《空間向量》專題3-3

非坐標運算

1.如圖所示，在平行六面體A1B1C1D1－ABCD中，M是AC與BD的交點，若＝a，＝b，＝c，則下列向量中與

相等的向量是（答案：A；

解析：　＝＋＝＋(＋)＝c＋(－a＋b)＝－a＋b＋c.)

A．－a＋b＋c

B.a＋b＋c

C.a－b＋c

D．－a－b＋c

2.如圖所示，四棱錐P－OABC的底面為一矩形，PO⊥平面OABC，設O＝a，O＝b，O＝c，E、F分別是PC和PB的中點，試用a，b，c表示：B、B、A、E.答案：B＝－a－b＋c，B＝－a－b＋c，A＝－a＋b＋c，E＝a；

解析：　連結BO，則B＝B＝(B＋O)＝(c－b－a)＝－a－b＋c.B＝B＋C＝－a＋C＝－a＋(C＋O)＝－a－b＋c.A＝A＋P＝A＋O＋(P＋O)＝－a＋c＋(－c＋b)＝－a＋b＋c.E＝C＝O＝a.3.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，若＝a，＝b，＝c，則＝____

答案：－a＋b－c；

解析：　＝－＝－(＋)＝－a＋b－c.____.(用a，b，c表示)

《空間向量》專題3-4

非坐標運算

1.已知矩形ABCD，P為平面ABCD外一點，M、N分別為BC、PD的中點，求滿足M＝x＋y＋z的實數x，y，z的值．

答案：x＝－1，y＝0，z＝；

解析：　＝＋＋＝＋＋＝－＋(－)＝－＋，∴x＝－1，y＝0，z＝.2.如圖所示，已知ABCD－A1B1C1D1是平行六面體．

(1)化簡＋＋，并在圖上標出結果；

(2)設M是底面ABCD的中心，N是側面BCC1B1對角線BC1上的分點，設＝α＋β＋γ，試求α、β、γ的值．

答案：作圖略，α＝，β＝，γ＝；

解析：

(1)如圖所示，取AA1的中點E，在D1C1上取一點F，使得D1F＝2FC1，則＝＋＋.(2)＝＋＝＋＝(＋)＋(＋)＝＋＋.∴α＝，β＝，γ＝.3.在正四面體ABCD中，棱長為a，M，N分別是棱AB，CD上的點，且|MB|＝2|AM|，|CN|＝|ND|，求|MN|.答案：a；

解析：　∵M＝M＋B＋C＝A＋(A－A)＋(A－A)＝－A＋A＋A.∴M·M＝(－A＋A＋)·(－A＋A＋A)

＝－A·A－A·A＋A·A＋2＋

＝a2－a2－a2＋a2＋a2＋a2＝a2.故|M|＝＝a.即|MN|＝a.

第五篇：空間向量及其運算第二課時

空間向量及其運算第二課時——空間向量的數乘運算

復習：平面向量共線的充要條件是什么？如何判斷平面內三點共線？

1.向量的數乘的定義：

2.數乘運算滿足那些定律？

3.認識一些特殊向量，何為共線向量，平面向量？

4.三個向量共面的充要條件是什么？如何判斷平面內四點共面？

練習：

P89:1,2,3

P88例1