第一篇：[教案精品]新課標高中數學人教A版必修四全冊教案2.3平面向量基本定理及坐標表示(二)

2．3．3平面向量的坐標運算教學目的：（1）理解平面向量的坐標的概念；（2）掌握平面向量的坐標運算；（3）會根據向量的坐標，判斷向量是否共線.教學重點：平面向量的坐標運算教學難點：向量的坐標表示的理解及運算的準確性.教學過程：

一、復習引入：1．平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任一向量a，有且只有一對實數λ1，λ2使a=λ1e1+λ2e2??(1)我們把不共線向量ｅ１、ｅ２叫做表示這一平面內所有向量的一組基底；(2)基底不惟一，關鍵是不共線；(3)由定理可將任一向量ａ在給出基底ｅ１、ｅ２的條件下進行分解；(4)基底給定時，分解形式惟一.λ1，λ2是被a，e1，e2唯一確定的數量

二、講解新課：

?1．平面向量的坐標運算

?????思考1：已知：a?(x1,y1)，b?(x2,y2)，你能得出a?b、a?b、?a的坐標嗎？設基底為i、j，則a?b?(x1i?y1j)?(x2i?y2j)?(x1?x2)i?(y1?y2)j即a?b?(x1?x2,y1?y2)，同理可得a?b?(x1?x2,y1?y2)（1）若a?(x1,y1)，b?(x2,y2)，則a?b?(x1?x2,y1?y2)，a?b?(x1?x2,y1?y2)兩個向量和與差的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和與差.（2）若a?(x,y)和實數?，則?a?(?x,?y).實數與向量的積的坐標等于用這個實數乘原來向量的相應坐標.設基底為i、j，則?a??(xi?yj)??xi??yj，即?a?(?x,?y)

實數與向量的積的坐標等于用這個實數乘原來向量的相應坐標。

?思考2：已知A(x1,y1)，B(x2,y2)，怎樣求AB的坐標？

（3）若A(x1,y1)，B(x2,y2)，則AB??x2?x1,y2?y1?

AB=OB?OA=(x2，y2)?(x1，y1)=(x2? x1，y2? y1)一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點坐標減去始點的坐標.思考3：你能標出坐標為(x2? x1，y2? y1)的P點嗎？

向量AB的坐標與以原點為始點、點P為終點的向量的坐標是相同的。

三、講解范例：

????????例1 已知a=(2，1)，b=(-3，4)，求a+b，a-b，3a+4b的坐標.例2 已知平面上三點的坐標分別為A(?2，1)，B(?1，3)，C(3，4)，求點D的坐標使這四點構成平行四邊形四個頂點.解：當平行四邊形為ABCD時，由AB?DC得D1=(2，2)當平行四邊形為ACDB時，得D2=(4，6)，當平行四邊形為DACB時，得D3=(?6，0)例3已知三個力F1(3，4)，F2(2，?5)，F3(x，y)的合力F1+F2+F3=0，求F3的坐標.解：由題設F1+F2+F3=0 得：(3，4)+(2，?5)+(x，y)=(0，0)即：??3?2?x?0?x??5 ∴? ∴F3(?5，1)?4?5?y?0?y?

1四、課堂練習：

1．若M(3，-2)N(-5，-1)且 MP?1MN，求P點的坐標 22．若A(0，1)，B(1，2)，C(3，4)，則AB?2BC=.3．已知：四點A(5，1)，B(3，4)，C(1，3)，D(5，-3)，求證：四邊形ABCD是梯形.五、小結：平面向量的坐標運算；

六、課后作業：《習案》作業二十

第二篇：[教案精品]新課標高中數學人教A版必修四全冊教案2.3平面向量基本定理及坐標表示(三)

2.3.4平面向量共線的坐標表示教學目的：（1）理解平面向量共線的坐標表示；（2）掌握平面上兩點間的中點坐標公式及定點坐標公式；（3）會根據向量的坐標，判斷向量是否共線.教學重點：平面向量公線的坐標表示及定點坐標公式，教學難點：向量的坐標表示的理解及運算的準確性教學過程：

一、復習引入：1．平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任一向量a，有且只有一對實數λ1，λ2使a=λ1e1+λ2e2??(1)我們把不共線向量ｅ１、ｅ２叫做表示這一平面內所有向量的一組基底；(2)基底不惟一，關鍵是不共線；(3)由定理可將任一向量ａ在給出基底ｅ１、ｅ２的條件下進行分解；(4)基底給定時，分解形式惟一.λ1，λ2是被a，e1，e2唯一確定的數量2．平面向量的坐標表示

?分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i、j作為基底.任作一個向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一對實數x、y，使得a?xi?yj把(x,y)叫做向量a的（直角）坐標，記作a?(x,y)其中x叫做a在x軸上的坐標，y叫做a在y軸上的坐標，特別地，i?(1,0)，j?(0,1)，0?(0,0).2．平面向量的坐標運算（1）若a?(x1,y1)，b?(x2,y2)，則a?b?(x1?x2,y1?y2)，a?b?(x1?x2,y1?y2)，?a?(?x,?y)兩個向量和與差的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和與差..實數與向量的積的坐標等于用這個實數乘原來向量的相應坐標。（2）若A(x1,y1)，B(x2,y2)，則AB??x2?x1,y2?y1?一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點坐標減去始點的坐標.1

向量AB的坐標與以原點為始點、點P為終點的向量的坐標是相同的。3．練習：1．若M(3，-2)N(-5，-1)且 MP?1MN，求P點的坐標22．若A(0，1)，B(1，2)，C(3，4)，則AB?2BC=.3．已知：四點A(5，1)，B(3，4)，C(1，3)，D(5，-3)，如何求證：四邊形ABCD是梯形.？

二、講解新課：

1、思考：（1）兩個向量共線的條件是什么？（2）如何用坐標表示兩個共線向量？

????設a=(x1，y1)，b=(x2，y2)其中b?a.??x1??x2?由a=λb得，(x1，y1)=λ(x2，y2)?? 消去λ，x1y2-x2y1=0

?y1??y2???a∥b(b?0)的充要條件是x1y2-x2y1=0探究：（1）消去λ時能不能兩式相除？

?（不能 ∵y1，y2有可能為0，∵b?0 ∴x2，y2中至少有一個不為0）

（2）能不能寫成y1y2 ？（不能。∵x1，x2有可能為0）?x1x2a??b

x1y2?x2y1?0???(3)向量共線有哪兩種形式？ a∥b(b?0)?

三、講解范例：

????例1已知a=(4，2)，b=(6，y)，且a∥b，求y.例2已知A(-1，-1)，B(1，3)，C(2，5)，試判斷A，B，C三點之間的位置關系.思考：你還有其它方法嗎？

??例3若向量a=(-1，x)與b=(-x，2)共線且方向相同，求x ??解：∵a=(-1，x)與b=(-x，2)共線 ∴(-1)×2-x?(-x)=0

?? ∴x=±2 ∵a與b方向相同 ∴x=2

例4 已知A(-1，-1)，B(1，3)，C(1，5)，D(2，7)，向量AB與CD平行嗎？直線AB平行于直線CD嗎？

解：∵AB=(1-(-1)，3-(-1))=(2，4)，CD=(2-1，7-5)=(1，2)又 ∵2×2-4×1=0 ∴AB∥CD

又 ∵ AC=(1-(-1)，5-(-1))=(2，6)，AB=(2，4)，2×4-2×6?0 ∴AC與AB不平行

∴A，B，C不共線 ∴AB與CD不重合 ∴AB∥CD 例5設點P是線段P1P2上的一點，P1、P2的坐標分別是(x1，y1)，(x2，y2).(1)當點P是線段P1P2的中點時，求點P的坐標；(2)當點P是線段P1P2的一個三等分點時，求點P的坐標.思考：（1）中 P1P：PP2=？（2）中P1P：PP2=？ 若P1P：PP2=?如何求點P的坐標？

四、課堂練習：P101面4、5、6、7題。

五、小結 ：（1）平面向量共線的坐標表示；

（2）平面上兩點間的中點坐標公式及定點坐標公式；（3）向量共線的坐標表示.六、課后作業：《習案》二十二。思考：

1.若a=(2，3)，b=(4，-1+y)，且a∥b，則y=（C）A.6 B.5 C.7 D.8 2.若A(x，-1)，B(1，3)，C(2，5)三點共線，則x的值為（B） A.-3 B.-1 C.1 D.3 3.若AB=i+2j，DC=(3-x)i+(4-y)j(其中i、j的方向分別與x、y軸正方向相同且為單位向量).AB與DC共線，則x、y的值可能分別為（B）A.1，2 B.2，2 C.3，2 D.2，4 4.已知a=(4，2)，b=(6，y)，且a∥b，則y= 3.3

5.已知a=(1，2)，b=(x，1)，若a+2b與2a-b平行，則x的值為26.已知□ABCD四個頂點的坐標為A(5，7)，B(3，x)，C(2，3)，D(4，x)，則x= 5

第三篇：高中數學 2.3平面向量的基本定理及坐標表示教學設計 新人教A版必修4

2.3《平面向量的基本定理及坐標表示》教學設計

【教學目標】

1．了解平面向量基本定理；

2．理解平面里的任何一個向量都可以用兩個不共線的向量來表示，初步掌握應用向量解決實際問題的重要思想方法；

3．能夠在具體問題中適當地選取基底，使其他向量都能夠用基底來表達.【導入新課】 復習引入： 1． 實數與向量的積

實數λ與向量a的積是一個向量，記作：λa.（1）|λa|=|λ||a|；（2）λ>0時，λa與a方向相同；λ<0時，λa與a方向相反；λ=0時，λa=0.2．運算定律 ?????????????????aaaaaa結合律：λ(μ)=(λμ)；分配律：(λ+μ)=λ+μ，λ(+b)=λa+λ?b.3.向量共線定理

????向量b與非零向量a共線的充要條件是：有且只有一個非零實數λ，使b=λa.新授課階段

一、平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任一向量a，有且只有一對實數λ1，λ2使a=λ1e1+λ2e2.探究：

(1)我們把不共線向量ｅ１、ｅ２叫做表示這一平面內所有向量的一組基底；(2)基底不惟一，關鍵是不共線；

(3)由定理可將任一向量a在給出基底ｅ１、ｅ２的條件下進行分解；(4)基底給定時，分解形式惟一.λ1，λ2是被a，e1，e2唯一確定的數量.二、平面向量的坐標表示

如圖，在直角坐標系內，我們分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i、j作為??? 1

基底.任作一個向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一對實數x、y，使得 a?xi?yj…………○1○我們把(x,y)叫做向量a的（直角）坐標，記作 2 a?(x,y)…………○2○

2其中x叫做a在x軸上的坐標，y叫做a在y軸上的坐標，○2○式叫做向量的坐標表示.與．a相等的向量的坐標也為．．．．．．．．．．(x,y).特別地，i?(1,0)，j?(0,1)，0?(0,0).如圖，在直角坐標平面內，以原點O為起點作OA?a，則點A的位置由a唯一確定.設OA?xi?yj，則向量OA的坐標(x,y)就是點A的坐標；反過來，點A的坐標(x,y)也就是向量OA的坐標.因此，在平面直角坐標系內，每一個平面向量都是可以用一對實數唯一表示.三、平面向量的坐標運算

（1）若a?(x1,y1)，b?(x2,y2)，則a?b?(x1?x2,y1?y2)，a?b?(x1?x2,y1?y2).兩個向量和與差的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和與差.設基底為i、j，則a?b?(x1i?y1j)?(x2i?y2j)?(x1?x2)i?(y1?y2)j，即a?b?(x1?x2,y1?y2)，同理可得a?b?(x1?x2,y1?y2).（2）若A(x1,y1)，B(x2,y2)，則AB??x2?x1,y2?y1?.一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點坐標減去始點的坐標.AB=OB?OA=(x2，y2)-(x1，y1)=(x2? x1，y2? y1).（3）若a?(x,y)和實數?，則?a?(?x,?y).實數與向量的積的坐標等于用這個實數乘原來向量的相應坐標.設基底為i、j，則?a??(xi?yj)??xi??yj，即?a?(?x,?y).2

例1 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，求AB的坐標.例2 已知a=(2，1)，b=(-3，4)，求a+b，a-b，3a+4b的坐標.例3 已知平面上三點的坐標分別為A(?2，1)，B(?1，3)，C(3，4)，求點D的坐標使這四點構成平行四邊形四個頂點.解：當平行四邊形為ABCD時，由AB?DC，得D1=(2，2).當平行四邊形為ACDB時，得D2=(4，6)，當平行四邊形為DACB時，得D3=(?6，0).例4 已知三個力F1(3，4)，F2(2，?5)，F3(x，y)的合力F1+F2+F3=0，求F3的坐標.解：由題設F1+F2+F3=0，得：(3，4)+(2，?5)+(x，y)=(0，0)，即：??3?2?x?0,?x??5, ∴? ∴F3(?5，1).4?5?y?0,y?1.??????????例5 已知a=(2,1), b=(－3,4),求a＋b，a－b，3a＋4b的坐標.??解：a＋b＝（2,1）+（-3,4）=(－1，5)，??a－b＝（2,1）-（-3,4）=(5，－3)，??3a＋4b＝3（2,1）+4（-3,4）=（6,3）+（-12,16）=(－6，19).點評：利用平面向量的坐標運算法則直接求解.例6 已知平行四邊形ABCD的三個頂點A、B、C的坐標分別為（-2，1）、（-1，3）（3，4），求頂點D的坐標.解：設點D的坐標為（x,y）, AB?(?1,3)?(?2,1)?(1,2)，DC?(3,4)?(x,y)?(3?x,4?y)，且AB?DC,?(1,2)?(3?x,4? y).即 3-x=1,4-y=2.解得x=2,y=2.所以頂點D的坐標為（2，2）.3

另解：由平行四邊形法則可得

BD?BA?BC

?(?2?(?1),1?3)?(3?(?1),4?3)

?(3,?1), OD?OB?BD ?(?1,3)?(3,?1)?(2,2).例7 經過點M(?2,3)的直線分別交x軸、y軸于點A,B，且|AB|?3|AM|，求點A,B的坐標.解：由題設知，A,B,M三點共線，且|AB|?3|AM|，設A(x,0),B(0,y)，①點M在A,B之間，則有AB?3AM，∴(?x,y)?3(?2?x,3).解之得：x??3,y?3，點A,B的坐標分別為(?3,0),(0,3).②點M不在A,B之間，則有AB??3AM，同理，可求得點A,B的坐標分別為(?3,0)，2(0,?9).綜上，點A,B的坐標分別為(?3,0),(0,3)或(?3,0)，(0,?9).2例8.已知三點A(2,3),B(5,4),C(7,10)，若AM??AB?AC，試求實數?的取值范圍，使M落在第四象限.解：設點M(x,y)，由題設得(x?2,y?3)?(3?,?)?(5,7)?(3??5,??7)，∴x?3??3,y???4，要使M落在第四象限，則x?3??3?0,y???4?0，解之得1???4.例8 已知向量a?(8,2),b?(3,3),c?(6,12),p?(6,4)，問是否存在實數x,y,z同時滿足兩個條件：(1)p?xa?yb?zc;(2)x?y?z?1？如果存在，求出x,y,z的值；如果不存在，請說明理由.4

1?x?,?2?8x?3y?6z?6,?1??解：假設滿足條件的實數x,y,z存在，則有?2x?3y?12z?4,解之得：?y?，3?x?y?z?1.??1?z?.?6?∴滿足條件的實數x?課堂小結

（1）理解平面向量的坐標的概念；（2）掌握平面向量的坐標運算；

（3）會根據向量的坐標，判斷向量是否共線.作業 見同步練習拓展提升

1.設e1,e2是同一平面內兩個不共線的向量，不能以下各組向量中作為基底的是（）A.e1，e2 B.e1+e2，e2 C.e1，2e2 D.e1，e1+e2 2.設e1,e2是同一平面內所有向量的一組基底，則以下各組向量中，不能作為基底的是（）

A.e1+e2和e1-e2 B.3e1-2e2和4e1-6e2 C.e1+2e2和2e1+e2 D.e1+e2和e2

111,y?,z?.236???????????????????????????????????????3.已知e1,e2不共線，a =?1e1+e2，b=4 e1+2e2，并且a，b共線，則下列各式正確的是（）

A.?1=1，B.?1=2，C.?1=3，D.?1=4 ??????4.設AB=a+5b，BC=-2a+8b，CD=3a-3b，那么下列各組的點中三點一定共線的是（）

A.A，B，C B.A，C，D C.A，B，D D.Ｂ，Ｃ，Ｄ ５．下列說法中，正確的是（）

①一個平面內只有一對不共線的向量可作為表示該平面內所有向量的基底；

②一個平面內有無數多對不共線的向量可作為表示該平面內所有向量的基底；

③零向量不可作為基底中的向量.Ａ．①②

Ｂ．①③

Ｃ．②③

Ｄ①②③

６．已知e1,e2是同一平面內兩個不共線的向量，那么下列兩個結論中正確的是（）①?1e1+?2e2（?1，?2為實數）可以表示該平面內所有向量；

???????②若有實數?1，?2使?1e1+?2e2＝0，則?1＝?2＝０.Ａ．①

Ｂ．②

Ｃ．①②

Ｄ．以上都不對

??７．已知ＡＭ＝△ＡＢＣ的ＢＣ邊上的中線，若AB＝a，AC＝b，則AM＝（）????11aaＡ．（－ b）

Ｂ． －（－ b）22????11Ｃ．－（a＋b）

Ｄ．（a＋b）

22??８．已知ＡＢＣＤＥＦ是正六邊形，AB＝a，AE＝b，則BC＝（）????11Ａ．（a－ b）

Ｂ． －（a－ b）

22?1???1Ｃ．a＋b

Ｄ．（a＋b）

22?????????９．如果３e1+４e2＝a，２e1+３e2＝b，其中a，b為已知向量，則e1＝，?e2＝

.１０．已知e1,e2是同一平面內兩個不共線的向量，且AB＝２e1+ｋe2，CB＝e1+３e2，CD＝２e1－e2，如果Ａ，Ｂ，Ｄ三點共線，則ｋ的值為

.????????????????１１．當ｋ為何值時，向量a＝４e1+２e2，b＝ｋe1＋e2共線，其中e1、e2是同一平面內兩個不共線的向量.???????１２．已知：e1、e2是不共線的向量，當ｋ為何值時，向量a＝ｋe1+e2與b＝e1＋ｋe2共線？ ? 6

參考答案

1．C 2.B 3.B 4.C 5．C 6.C 7.D 8.D 9.－2a?3b,11．②③⑤ 12.k=2

79a?b 10.－8 44 8

第四篇：[教案精品]新課標高中數學人教A版必修四全冊教案2.4.1平面向量數量積的物理背景及含義

2.4.1平面向量的數量積的物理背景及其含義教學目的：1.掌握平面向量的數量積及其幾何意義；2.掌握平面向量數量積的重要性質及運算律；3.了解用平面向量的數量積可以處理垂直的問題；4.掌握向量垂直的條件.教學重點：平面向量的數量積定義教學難點：平面向量數量積的定義及運算律的理解和平面向量數量積的應用教學過程：

一、復習引入：（1）兩個非零向量夾角的概念：已知非零向量ａ與ｂ，作OA＝ａ，OB＝ｂ，則∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ與ｂ的夾角.說明：（1）當θ＝０時，ａ與ｂ同向；（2）當θ＝π時，ａ與ｂ反向；（3）當θ＝?時，ａ與ｂ垂直，記ａ⊥ｂ；2（4）注意在兩向量的夾角定義，兩向量必須是同起點的.范圍0?≤?≤180?（2）兩向量共線的判定（3）練習

1.若a=(2，3)，b=(4，-1+y)，且a∥b，則y=（C）A.6 B.5 C.7 D.82.若A(x，-1)，B(1，3)，C(2，5)三點共線，則x的值為（B）A.-3 B.-1 C.1 D.3（4）力做的功：W = |F|?|s|cos?，?是F與s的夾角.二、講解新課：1．平面向量數量積（內積）的定義：已知兩個非零向量ａ與ｂ，它們的夾角是θ，則數量|a||b|cos?叫ａ與ｂ的數量積，記作a?b，即有a?b = |a||b|cos?，（０≤θ≤π）.并規定0向量與任何向量的數量積為0.?探究：

1、向量數量積是一個向量還是一個數量？它的符號什么時候為正？什么時候為負？

2、兩個向量的數量積與實數乘向量的積有什么區別？（1）兩個向量的數量積是一個實數，不是向量，符號由cos?的符號所決定.（2）兩個向量的數量積稱為內積，寫成a?b；今后要學到兩個向量的外積a×b，而a?b是兩個向量的數量的積，書寫時要嚴格區分.符號“· ”在向量運算中不是乘號，既不能省略，1 也不能用“×”代替.（3）在實數中，若a?0，且a?b=0，則b=0；但是在數量積中，若a?0，且a?b=0，不能推出b=0.因為其中cos?有可能為0.（4）已知實數a、b、c(b?0)，則ab=bc ? a=c.但是a?b = b?c a = c

如右圖：a?b = |a||b|cos? = |b||OA|，b?c = |b||c|cos? = |b||OA|? a?b = b?c 但a ? c(5)在實數中，有(a?b)c = a(b?c)，但是(a?b)c ? a(b?c)顯然，這是因為左端是與c共線的向量，而右端是與a共線的向量，而一般a與c不共線.2．“投影”的概念：作圖

定義：|b|cos?叫做向量b在a方向上的投影.投影也是一個數量，不是向量；當?為銳角時投影為正值； 當?為鈍角時投影為負值； 當?為直角時投影為0； 當? = 0?時投影為 |b|； 當? = 180?時投影為 ?|b|.3．向量的數量積的幾何意義：

數量積a?b等于a的長度與b在a方向上投影|b|cos?的乘積.探究：兩個向量的數量積的性質：設a、b為兩個非零向量，1、a?b ? a?b = 0

2、當a與b同向時，a?b = |a||b|； 當a與b反向時，a?b = ?|a||b|.特別的a?a = |a|或|a|?a?a |a?b| ≤ |a||b| cos? =探究：平面向量數量積的運算律 1．交換律：a ? b = b ? a

證：設a，b夾角為?，則a ? b = |a||b|cos?，b ? a = |b||a|cos? ∴a ? b = b ? a

2．數乘結合律：(?a)?b =?(a?b)= a?(?b)證：若?> 0，(?a)?b =?|a||b|cos?，?(a?b)=?|a||b|cos?，a?(?b)=?|a||b|cos?，2a?b

|a||b| 2 若?< 0，(?a)?b =|?a||b|cos(???)= ??|a||b|(?cos?)=?|a||b|cos?，?(a?b)=?|a||b|cos?，a?(?b)=|a||?b|cos(???)= ??|a||b|(?cos?)=?|a||b|cos?.3．分配律：(a + b)?c = a?c + b?c

在平面內取一點O，作OA= a，AB= b，OC= c，∵a + b（即OB）在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和，即 |a + b| cos? = |a| cos?1 + |b| cos?

2∴| c | |a + b| cos? =|c| |a| cos?1 + |c| |b| cos?2，∴c?(a + b)= c?a + c?b 即：(a + b)?c = a?c + b?c

說明：（1）一般地，(ａ·ｂ)с≠ａ（ｂ·с）

（2）ａ·с＝ｂ·с，с≠0

２

ａ＝ｂ

２（3）有如下常用性質：ａ＝｜ａ｜，（ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａ·с＋ａ·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ

三、講解范例：

例1．證明：(ａ＋ｂ)＝ａ＋２ａ·ｂ＋ｂ ２

２

２

????例2．已知|a|=12，|b|=9，a?b??542，求a與b的夾角。

例3．已知|a|=6，|b|=4，a與b的夾角為60求：（1）(a+2b)·(a-3b).（2）|a+b|與|a-b|.（利用 |a|?oa?a）

例4．已知|a|=3，|b|=4，且a與b不共線，k為何值時，向量a+kb與a-kb互相垂直.四、課堂練習：

1．P106面1、2、3題。

2．下列敘述不正確的是（）

A.向量的數量積滿足交換律 B.向量的數量積滿足分配律 C.向量的數量積滿足結合律 D.a·b是一個實數 3．|a|=3，|b|=4，向量a+

33b與a-b的位置關系為（）44A.平行 B.垂直 C.夾角為

? D.不平行也不垂直 3 4．已知|a|=8，|b|=10，|a+b|=16，求a與b的夾角.五、小結：

1．平面向量的數量積及其幾何意義； 2．平面向量數量積的重要性質及運算律； 3．向量垂直的條件.六、作業：《習案》作業二十三。

第五篇：高中數學必修4教案平面向量基本定理、平面向量的正交分解和坐標表示及運算

平面向量基本定理、平面向量的正交分解和坐標表示及運算

教學目的：

（1）了解平面向量基本定理；理解平面向量的坐標的概念；

（2）理解平面里的任何一個向量都可以用兩個不共線的向量來表示，初步掌握應用向量解決實際問題的重要思想方法；

（3）能夠在具體問題中適當地選取基底，使其他向量都能夠用基底來表達.教學重點：平面向量基本定理.教學難點：平面向量基本定理的理解與應用.向量的坐標表示的理解及運算的準確性.教學過程： 復習引入：

??aa1．實數與向量的積：實數λ與向量的積是一個向量，記作：λ ??aa（1）|λ|=|λ|||；

?????aaaaa（2）λ>0時λ與方向相同；λ<0時λ與方向相反；λ=0時λ=0

2．運算定律

????????aaaaaaab結合律：λ(μ)=(λμ)；分配律：(λ+μ)=λ+μ，λ(+)=λ+λ

???3.向量共線定理

向量b與非零向量a共線則：有且只有一個非零實數λ，使b=λ

二、講解新課：

1．思考：（1）給定平面內兩個向量e1，e2，請你作出向量3e1+2e2，e1-2e2，（2）同一平面內的任一向量是否都可以用形如λ1e1+λ2e2的向量表示？

?b

?a.平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的??aa任一向量，有且只有一對實數λ1，λ2使=λ1e1+λ2e2.2．探究：

(1)我們把不共線向量ｅ１、ｅ２叫做表示這一平面內所有向量的一組基底；(2)基底不惟一，關鍵是不共線；

(3)由定理可將任一向量a在給出基底ｅ１、ｅ２的條件下進行分解；

?a(4)基底給定時，分解形式惟一.λ1，λ2是被，e1，e2唯一確定的數量

3．講解范例：

例1 已知向量e1，e

2求作向量?2.5e1+3e2 例2 如圖，OA、OB 不共線,且

AP?t AB(t?R), 用 OA，OB 表示 OP.本題實質是 已知O、A、B三點不共線，P B O

A 若點 P 在直線 AB 上，則 OP?mOA?nOB, 且 m?n?1.4．練習1：

1.設e1、e2是同一平面內的兩個向量，則有(D)A.e1、e2一定平行

B.e1、e2的模相等

C.同一平面內的任一向量a都有a ＝λe1+μe2(λ、μ∈R)D.若e1、e2不共線，則同一平面內的任一向量a都有a =λe1+ue2(λ、u∈R)2.已知向量a ＝ e1-2e2，b ＝2e1+e2，其中e1、e2不共線，則a+b與c ＝6e1-2e2的關系（Ｂ）

A.不共線

B.共線

C.相等

D.無法確定

３.已知λ1＞0，λ2＞0，e1、e2是一組基底，且a ＝λ1e1+λ2e2，則a與e1不共線，a與e2不共線．

(填共線或不共線).???????aa?bOA?aOB?b5．向量的夾角:已知兩個非零向量、，作，則∠AOB＝，叫向量、???????b的夾角，當?=0°，a、b同向，當?=180°，a、b反向，當?=90°，a與b垂直，記作??a⊥b。

6．平面向量的坐標表示

（1）正交分解：把向量分解為兩個互相垂直的向量。

（2）思考：在平面直角坐標系中，每一個點都可以用一對有序實數表示，平面內的每一個向量，如何表示呢？

如圖，在直角坐標系內，我們分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i、j作為基

y底.任作一個向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一對實數x、，使得a?xi?yj…………○1

我們把(x,y)叫做向量a的（直角）坐標，記作a?(x,y)…………○2

其中x的坐標，叫做a在x軸上y叫做a在y軸上的坐標，○

2式叫做向量的坐標表示.與a相等的向量的坐標也為(x,y).特別地，i?(1,0)，j?(0,1)，0?(0,0).如圖，在直角坐標平面內，以原點O為起點作OA?a，則點A的位置由a唯一確定.設OA?xi?yj，則向量OA的坐標(x,y)就是點A的坐標；反過來，點A的坐標(x,y)也就是向量OA的坐標.因此，在平面直角坐標系內，每一個平面向量都是可以用一對實數唯一表示.7．講解范例：

例2．教材P96面的例2。

8．課堂練習：P100面第3題。

三、小結：（1）平面向量基本定理；

（2）平面向量的坐標的概念；

四、課后作業：《習案》作業二十一