第一篇：平面向量平行的坐標(biāo)表示教案

8.3.2平面向量平行的坐標(biāo)表示

教學(xué)目標(biāo)：復(fù)習(xí)鞏固平面向量坐標(biāo)的概念，掌握平行向量充要條件的坐標(biāo)表示，并且能用它解決向量平行（共線）的有關(guān)問題。

教學(xué)重點(diǎn)：平行向量充要條件的坐標(biāo)表示，解決向量平行（共線）的有關(guān)問題 教學(xué)難點(diǎn)：充要條件的推導(dǎo)，共線條件的判斷 教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)：1．平行向量基本定理

2．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則

??

二、1．提出問題：共線向量的充要條件是有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)λ使得a=λb（b?0），那么這個(gè)充要條件如何用坐標(biāo)來表示呢？

????2．推導(dǎo)：設(shè)a=(x1, y1)b=(x2, y2)其中b?a

??x??x2?由a=λb(x1, y1)=λ(x2, y2)??1 消去λ：x1y2-x2y1=0

?y1??y2???結(jié)論：a∥b(b?0)的充要條件是x1y2-x2y1=0

?注意：1?消去λ時(shí)不能兩式相除，∵y1, y2有可能為0，∵b?0

∴x2, y2中至少有一個(gè)不為0 2?充要條件不能寫成y1y?2 ∵x1, x2有可能為0 x1x2???a??b3?從而向量共線的充要條件有兩種形式：a∥b(b?0)?

x1y2?x2y1?0

三、應(yīng)用舉例

例一，判斷下列兩個(gè)向量是否平行

??（1）a=（-1,3），b=（5，-15）（2）AB=（2,0），CD=（0,3）

解：（1）?（-1）?（-15）=3?5 ???a與b平行（2）?2?3?0?0 ?AB與CD不平行

點(diǎn)評(píng)：利用坐標(biāo)表示可以判斷兩個(gè)向量是否平行 兩個(gè)課后練習(xí)鞏固

??例二 若向量a=(-1,x)與b=(-x, 2)共線且方向相同，求x

??解：∵a=(-1,x)與b=(-x, 2)共線

∴(-1)×2-x?(-x)=0 ∴x=±2

??∵a與b方向相同

∴x=2

定評(píng)：如果兩個(gè)向量共線 根據(jù)公式可以求出未知數(shù)

完成課后第二第三兩題

例三 已知A(-1,-1)，B(1,3)，C(2,5)，試判斷A、B、C三點(diǎn)之間的關(guān)系.解：AB??1???1?,3???1????2,4?，AC??2???1?,5???1????3,6?又2?6?3?4?0，故AB//AC，直線AB、直線AC有公共點(diǎn)A，所以A、B、C三點(diǎn)共線.同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生如何證明三點(diǎn)不共線 點(diǎn)評(píng)：如何證明三點(diǎn)共線 主要是證明兩個(gè)有公共點(diǎn)的兩個(gè)向量平行，變式．已知A(-1,-1)B(1,3)C(1,5)D(2,7)（1）向量AB與CD平行嗎？（2）直線AB與平行于直線CD嗎？

解：∵AB=(1-(-1), 3-(-1))=(2, 4)CD=(2-1,7-5)=(1,2)又：∵2×2-4-1=0 ∴AB∥CD 又：AC=(1-(-1), 5-(-1))=(2,6)AB=(2, 4)2×4-2×6?0 ∴AC與AB不平行

∴A，B，C不共線 ∴AB與CD不重合 ∴AB∥CD

四、練習(xí)：

1．已知平面向量a?(1,2)，b?(?2,m)，且a∥b，則2a?3b的坐標(biāo)為 ． ??????2.已知點(diǎn)A(0,1)B(1,0)C(1,2)D(2,1)求證：AB∥CD

五、高考鏈接

?????(1,2),b?(2,3)4,?7)共⑴（08全國2）設(shè)向量a,若向量?a?b，與向量c?(?線，求?值．

?,m)，c?(?1,2)，若(a?b)∥c，則⑵（10陜西11）已知向量a?(1,2)，b?(?1m=.五、小結(jié)：1.向量平行的充要條件（坐標(biāo)表示）? 2．利用向量共線求未知數(shù)

? 3． 利用向量思想證明點(diǎn)共線的方法

六、作業(yè)：P64 練習(xí)8-6 《同步訓(xùn)練》P38、39

七、課后反思

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??????

第二篇：平面向量的坐標(biāo)表示教案范文

平面向量共線的坐標(biāo)表示

教學(xué)目的：

（1）理解平面向量的坐標(biāo)的概念；（2）掌握平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算；

（3）會(huì)根據(jù)向量的坐標(biāo)，判斷向量是否共線.教學(xué)重點(diǎn)：平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

教學(xué)難點(diǎn)：向量的坐標(biāo)表示的理解及運(yùn)算的準(zhǔn)確性 授課類型：新授課 教具：多媒體、實(shí)物投影儀 教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)引入： 1．平面向量的坐標(biāo)表示

分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量、j作為基底.任作一個(gè)向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一對實(shí)數(shù)x、y，使得a?xi?yj

把(x,y)叫做向量a的（直角）坐標(biāo)，記作a?(x,y)

其中x叫做a在x軸上的坐標(biāo)，y叫做a在y軸上的坐標(biāo)，特別地，i?(1,0)，j?(0,1)，0?(0,0).2．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 若a?(x1,y1)，b?(x2,y2)，則a?b?(x1?x2,y1?y2)，a?b?(x1?x2,y1?y2)，?a?(?x,?y).若A(x1,y1)，B(x2,y2)，則AB??x2?x1,y2?y1?

二、講解新課：

???a∥b(b?0)的充要條件是x1y2-x2y1=0

????設(shè)a=(x1，y1)，b=(x2，y2)其中b?a.??x1??x2?由a=λb得，(x1，y1)=λ(x2，y2)??消去λ，x1y2-x2y1=0

y??y2?1?探究：（1）消去λ時(shí)不能兩式相除，∵y1，y2有可能為0，∵b?0∴x2，y2中至少有一個(gè)不為0（2）充要條件不能寫成y1y2∵x1，x2有可能為0 ?x1x2??(3)從而向量共線的充要條件有兩種形式：a∥b ?(b?0)?a??b

x1y2?x2y1?0

三、講解范例：

????例1已知a=(4，2)，b=(6，y)，且a∥b，求y.例2已知A(-1，-1)，B(1，3)，C(2，5)，試判斷A，B，C三點(diǎn)之間的位置關(guān)系.例3設(shè)點(diǎn)P是線段P1P2上的一點(diǎn)，P1、P2的坐標(biāo)分別是(x1，y1)，(x2，y2).(1)當(dāng)點(diǎn)P是線段P1P2的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(2)當(dāng)點(diǎn)P是線段P1P2的一個(gè)三等分點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).??例4若向量a=(-1，x)與b=(-x，2)共線且方向相同，求x

??解：∵a=(-1，x)與b=(-x，2)共線∴(-1)×2-x?(-x)=0 ??a∴x=±2∵與b方向相同∴x=2

例5已知A(-1，-1)，B(1，3)，C(1，5)，D(2，7)，向量AB與CD平行嗎？直線AB與平行于直線CD嗎？

解：∵AB=(1-(-1)，3-(-1))=(2，4)，CD=(2-1，7-5)=(1，2)又∵2×2-4×1=0 ∴AB∥CD

又∵AC=(1-(-1)，5-(-1))=(2，6)，AB=(2，4)，2×4-2×6?0 ∴AC與AB不平行

∴A，B，C不共線∴AB與CD不重合∴AB∥CD

四、課堂練習(xí)：

1.若a=(2，3)，b=(4，-1+y)，且a∥b，則y=（）A.6 B.5 C.7 D.8 2.若A(x，-1)，B(1，3)，C(2，5)三點(diǎn)共線，則x的值為（）

A.-3 B.-1 C.1 D.3 3.若AB=i+2j，DC=(3-x)i+(4-y)j(其中i、j的方向分別與x、y軸正方向相同且為單位向量).AB與DC共線，則x、y的值可能分別為（）A.1，2 B.2，2 C.3，2 D.2，4 4.已知a=(4，2)，b=(6，y)，且a∥b，則y=.5.已知a=(1，2)，b=(x，1)，若a+2b與2a-b平行，則x的值為.6.已知□ABCD四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為A(5，7)，B(3，x)，C(2，3)，D(4，x)，則x=.五、小結(jié)

第三篇：平面向量概念教案

平面向量概念教案

一．課題：平面向量概念

二、教學(xué)目標(biāo)

1、使學(xué)生了解向量的物理實(shí)際背景，理解平面向量的一些基本概念，能正確進(jìn)行平面向量的幾何表示。

2、讓學(xué)生經(jīng)歷類比方法學(xué)習(xí)向量及其幾何表示的過程，體驗(yàn)對比理解向量基本概念的簡易性，從而養(yǎng)成科學(xué)的學(xué)習(xí)方法。

3、通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生感受向量的概念方法源于現(xiàn)實(shí)世界，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣

三．教學(xué)類型：新知課

四、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

1、重點(diǎn)：向量及其幾何表示，相等向量、平行向量的概念。

2、難點(diǎn)：向量的概念及對平行向量的理解。

五、教學(xué)過程

（一）、問題引入

1、在物理中，位移與距離是同一個(gè)概念嗎？為什么？

2、在物理中，我們學(xué)到位移是既有大小、又有方向的量，你還能舉出一些這樣的量嗎？

3、在物理中，像這種既有大小、又有方向的量叫做矢量。在數(shù)學(xué)中，我們把這種既有大小、又有方向的量叫做向量。而把那些只有大小，沒有方向的量叫數(shù)量。

（二）講授新課

1、向量的概念

練習(xí)1 對于下列各量：

①質(zhì)量 ② 速度 ③位移 ④力 ⑤加速度 ⑥路程 ⑦密度 ⑧功 ⑨體積 ⑩溫度

其中，是向量的有：②③④⑤

2、向量的幾何表示

請表示一個(gè)豎直向下、大小為5N的力，和一個(gè)水平向左、大小為8N的力（1厘米表示1N）。思考一下物理學(xué)科中是如何表示力這一向量的？

（1）有向線段及有向線段的三要素（2）向量的模

（4）零向量，記作＿＿＿＿；（5）單位向量

練習(xí)2 邊長為6的等邊△ABC中，＝＿＿，與 相等的還有哪些？

總結(jié)向量的表示方法： 1）、用有向線段表示。

2）、用字母表示。

3、相等向量與共線向量（1）相等向量的定義（2）共線向量的定義

六．教具：黑板 七．作業(yè) 八．教學(xué)后記

第四篇：平面向量教案

平面向量教案

課

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二、復(fù)習(xí)要求

、向量的概念;

2、向量的線性運(yùn)算:即向量的加減法,實(shí)數(shù)與向量的乘積,兩個(gè)向量的數(shù)量積等的定義,運(yùn)算律;

3、向量運(yùn)算的運(yùn)用

三、學(xué)習(xí)指導(dǎo)、向量是數(shù)形結(jié)合的典范。向量的幾何表示法--有向線段表示法是運(yùn)用幾何性質(zhì)解決向量問題的基礎(chǔ)。在向量的運(yùn)算過程中,借助于圖形性質(zhì)不僅可以給抽象運(yùn)算以直觀解釋,有時(shí)甚至更簡捷。

向量運(yùn)算中的基本圖形:①向量加減法則:三角形或平行四邊形;②實(shí)數(shù)與向量乘積的幾何意義--共線;③定比分點(diǎn)基本圖形--起點(diǎn)相同的三個(gè)向量終點(diǎn)共線等。

2、向量的三種線性運(yùn)算及運(yùn)算的三種形式。

向量的加減法,實(shí)數(shù)與向量的乘積,兩個(gè)向量的數(shù)量積都稱為向量的線性運(yùn)算,前兩者的結(jié)果是向量,兩個(gè)向量數(shù)量積的結(jié)果是數(shù)量。每一種運(yùn)算都可以有三種表現(xiàn)形式:圖形、符號(hào)、坐標(biāo)語言。

主要內(nèi)容列表如下:

運(yùn)算圖形語言符號(hào)語言坐標(biāo)語言

加法與減法

=

-=

記=,=

則=

-==

實(shí)數(shù)與向量

的乘積

=λ

λ∈R記=

則λ=兩個(gè)向量

的數(shù)量積

·=||||

cos<,>

記=,=

則·=x1x2y1y2

3、運(yùn)算律

加法:=,=

實(shí)數(shù)與向量的乘積:λ=λλ;=λμ,λ=

兩個(gè)向量的數(shù)量積:·=·;·=·=λ,·=··

說明:根據(jù)向量運(yùn)算律可知,兩個(gè)向量之間的線性運(yùn)算滿足實(shí)數(shù)多項(xiàng)式乘積的運(yùn)算法則,正確遷移實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可以簡化向量的運(yùn)算,例如2=

4、重要定理、公式

平面向量基本定理;如果是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量,那么對于該平面內(nèi)任一向量,有且只有一對數(shù)數(shù)λ1,λ2,滿足=λ1λ2,稱λ1λλ2為,的線性組合。

根據(jù)平面向量基本定理,任一向量與有序數(shù)對一一對應(yīng),稱為在基底{,}下的坐標(biāo),當(dāng)取{,}為單位正交基底{,}時(shí)定義為向量的平面直角坐標(biāo)。

向量坐標(biāo)與點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系:當(dāng)向量起點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí),定義向量坐標(biāo)為終點(diǎn)坐標(biāo),即若A,則=;當(dāng)向量起點(diǎn)不在原點(diǎn)時(shí),向量坐標(biāo)為終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo),即若A,B,則=

兩個(gè)向量平行的充要條件

符號(hào)語言:若∥,≠,則=λ

坐標(biāo)語言為:設(shè)=,=,則∥=λ,即,或x1y2-x2y1=0

在這里,實(shí)數(shù)λ是唯一存在的,當(dāng)與同向時(shí),λ>0;當(dāng)與異向時(shí),λ<0。

|λ|=,λ的大小由及的大小確定。因此,當(dāng),確定時(shí),λ的符號(hào)與大小就確定了。這就是實(shí)數(shù)乘向量中λ的幾何意義。

兩個(gè)向量垂直的充要條件

符號(hào)語言:⊥·=0

坐標(biāo)語言:設(shè)=,=,則⊥x1x2y1y2=0

線段定比分點(diǎn)公式

如圖,設(shè)

則定比分點(diǎn)向量式:

定比分點(diǎn)坐標(biāo)式:設(shè)P,P1,P2

則

特例:當(dāng)λ=1時(shí),就得到中點(diǎn)公式: ，實(shí)際上,對于起點(diǎn)相同,終點(diǎn)共線三個(gè)向量，,總有=uv,uv=1,即總可以用其中兩個(gè)向量的線性組合表示第三個(gè)向量,且系數(shù)和為1。

平移公式:

①點(diǎn)平移公式,如果點(diǎn)P按=平移至P',則

分別稱,為舊、新坐標(biāo),為平移法則

在點(diǎn)P新、舊坐標(biāo)及平移法則三組坐標(biāo)中,已知兩組坐標(biāo),一定可以求第三組坐標(biāo)

②圖形平移:設(shè)曲線c:y=f按=平移,則平移后曲線c'對應(yīng)的解析式為y-k=f

當(dāng)h,k中有一個(gè)為零時(shí),就是前面已經(jīng)研究過的左右及上下移

利用平移變換可以化簡函數(shù)解析式,從而便于研究曲線的幾何性質(zhì)

正弦定理,余弦定理

正弦定理:

余弦定理:a2=b2c2-2cbcosA

b2=c2a2-2cacosB

c2=a2b2-2abcosc

定理變形:cosA=,cosB=,cosc=

正弦定理及余弦定理是解決三角形的重要而又基本的工具。通過閱讀課本,理解用向量法推導(dǎo)正、余弦定理的重要思想方法。

5、向量既是重要的數(shù)學(xué)概念,也是有力的解題工具。利用向量可以證明線線垂直,線線平行,求夾角等,特別是直角坐標(biāo)系的引入,體現(xiàn)了向量解決問題的“程序性”特點(diǎn)。

四、典型例題

例

1、如圖，為單位向量,與夾角為1200,與的夾角為450,||=5,用,表示。

分析:

以,為鄰邊,為對角線構(gòu)造平行四邊形

把向量在,方向上進(jìn)行分解,如圖,設(shè)=λ,=μ,λ>0,μ>0

則=λμ

∵||=||=1

∴λ=||,μ=||

△oEc中,∠E=600,∠ocE=750,由得:

∴

∴

說明:用若干個(gè)向量的線性組合表示一個(gè)向量,是向量中的基本而又重要的問題,通常通過構(gòu)造平行四邊形來處理

例

2、已知△ABc中,A,B,c,Bc邊上的高為AD,求點(diǎn)D和向量坐標(biāo)。

分析:

用解方程組思想

設(shè)D,則=

∵=,·=0

∴-6-3=0,即2xy-3=0①

∵=,∥

∴-6=-3,即x-2y1=0②

由①②得:

∴D,=

例

3、求與向量=,-1)和=夾角相等,且模為的向量的坐標(biāo)。

分析:

用解方程組思想

法一:設(shè)=,則·=x-y,·=xy

∵<,>=<,>

∴&nb ∴

即①

又||=

∴x2y2=2②

由①②得或

∴=

法二:從分析形的特征著手

∵||=||=2

·=0

∴△AoB為等腰直角三角形,如圖

∵||=,∠Aoc=∠Boc

∴c為AB中點(diǎn)

∴c

說明:數(shù)形結(jié)合是學(xué)好向量的重要思想方法,分析圖中的幾何性質(zhì)可以簡化計(jì)算。

例

4、在△oAB的邊oA、oB上分別取點(diǎn)m、N,使||∶||=1∶3,||∶||=1∶4,設(shè)線段AN與Bm交于點(diǎn)P,記=,=,用,表示向量。

分析:

∵B、P、m共線

∴記=s

∴①

同理,記

∴=②

∵,不共線

∴由①②得解之得:

∴

說明:從點(diǎn)共線轉(zhuǎn)化為向量共線,進(jìn)而引入?yún)?shù)是常用技巧之一。平面向量基本定理是向量重要定理之一,利用該定理唯一性的性質(zhì)得到關(guān)于s,t的方程。

例

5、已知長方形ABcD,AB=3,Bc=2,E為Bc中點(diǎn),P為AB上一點(diǎn)

利用向量知識(shí)判定點(diǎn)P在什么位置時(shí),∠PED=450;

若∠PED=450,求證:P、D、c、E四點(diǎn)共圓。

分析:

利用坐標(biāo)系可以確定點(diǎn)P位置

如圖,建立平面直角坐標(biāo)系

則c,D,E

設(shè)P

∴=,=

∴

·=3y-1

代入cos450=

解之得,或y=2

∴點(diǎn)P為靠近點(diǎn)A的AB三等分處

當(dāng)∠PED=450時(shí),由知P

∴=,=

∴·=0

∴∠DPE=900

又∠DcE=900

∴D、P、E、c四點(diǎn)共圓

說明:利用向量處理幾何問題一步要驟為:①建立平面直角坐標(biāo)系;②設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo);③求出有關(guān)向量的坐標(biāo);④利用向量的運(yùn)算計(jì)算結(jié)果;⑤得到結(jié)論。

同步練習(xí)

選擇題、平面內(nèi)三點(diǎn)A,B,c,若∥,則x的值為:

A、-5B、-1c、1D、5

2、平面上A,B,D,c點(diǎn)滿足,連Dc并延長至E,使||=||,則點(diǎn)E坐標(biāo)為:

A、B、c、D、或

2、點(diǎn)沿向量平移到,則點(diǎn)沿平移到:

3、A、B、c、D、4、△ABc中,2cosB·sinc=sinA,則此三角形是:

A、直角三角形B、等腰三角形c、等邊三角形D、以上均有可能

5、設(shè)，是任意的非零平面向量,且相互不共線,則:

①-=0

②||-||<|-|

③-不與垂直

④·=9||2-4|2中，真命題是:

A、①②B、②③c、③④D、②④

6、△ABc中,若a4b4c4=2c2,則∠c度數(shù)是:

A、600B、450或1350c、1200D、300

7、△oAB中,=,=,=,若=,t∈R,則點(diǎn)P在

A、∠AoB平分線所在直線上B、線段AB中垂線上

c、AB邊所在直線上D、AB邊的中線上

8、正方形PQRS對角線交點(diǎn)為m,坐標(biāo)原點(diǎn)o不在正方形內(nèi)部,且=,=,則=

A、B、c、D、填空題

9、已知{,|是平面上一個(gè)基底,若=λ,=-2λ-,若,共線,則λ=__________。

0、已知||=,||=1,·=-9,則與的夾角是________。

1、設(shè),是兩個(gè)單位向量,它們夾角為600，則·=____________。

2、把函數(shù)y=cosx圖象沿平移,得到函數(shù)___________的圖象。

解答題

3、設(shè)=,=,⊥,∥,試求滿足=的的坐

14、若=,-=,求、及與夾角θ的余弦值。

5、已知||=,||=3,和夾角為450,求當(dāng)向量λ與λ夾角為銳角時(shí),λ的取值范圍。

參考答案

1、c2、B3、D4、B5、D6、B7、A8、9、10、11、12、y=sinx1 13、4、=,=，5、λ<,或λ>且λ≠ 課

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A

第五篇：平面向量教案

平面向量的綜合應(yīng)用 執(zhí)教人： 執(zhí)教人：易燕子
考綱要求： “從學(xué)科的整體高度和思維價(jià)值的高度考慮問題，在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)交匯點(diǎn)設(shè)計(jì)試題，使 考綱要求：
對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的考查達(dá)到必要的深度”。向量以其獨(dú)特的數(shù)形結(jié)合和坐標(biāo)運(yùn)算，成為銜接代數(shù)與幾何的最佳紐帶，故以向量知識(shí)與三角函數(shù)、解析幾何、數(shù)列、不等式等多項(xiàng)內(nèi)容的交匯作為設(shè)計(jì)綜合性試題考查考生的綜合能力，是高考的一 個(gè)熱點(diǎn)，也是重點(diǎn)。教學(xué)目標(biāo)（1）進(jìn)一步理解平面向量的有關(guān)知識(shí)； 教學(xué)目標(biāo)：（2）了解在平面向量與其他知識(shí)交匯點(diǎn)設(shè)計(jì)試題的幾種形式；（3）能綜合運(yùn)用平面向量和相關(guān)知識(shí)解決問題。教學(xué)重點(diǎn)： 教學(xué)重點(diǎn)：平面向量與其他知識(shí)的相互聯(lián)系。教學(xué)難點(diǎn)： 教學(xué)難點(diǎn)：平面向量與其他知識(shí)的相互轉(zhuǎn)化。

評(píng)述：通過平面向量的運(yùn)算得出二次不等式，利用恒成立解決。

“ 訓(xùn)練：（2010 北京）a、b 為非零向量，a ⊥ b ”是“函數(shù) f(x)=(xa + b)? xb ? a)為一次(函數(shù)”的（）A.充分而不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件 四．與三角知識(shí)的交匯 例 4．（2009 湖北）已知向量 a =(cos α , sin α), b =(cos β , sin β), c =(? 1,0)（1）求向量 b + c 的長度的最大值；（2）設(shè) a =

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π

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，且 a ⊥(b + c)，求 cos β 的值.

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教學(xué)設(shè)計(jì)： 教學(xué)設(shè)計(jì)：
一．與集合的交匯 例 1.(2009 湖北)已知 P = {a | a =(1, 0)+ m(0,1), m ∈ R}，Q = {b | b =(1,1)+ n(?1,1), n ∈ R} 是兩個(gè)向量集合，則 P I Q = A．〔1，1〕 ｛ ｝(B.｛ 〔-1，1〕 ｝)C.｛ 〔1，0〕 ｝

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評(píng)述：以平面向量(三角函數(shù))為載體，與三角函數(shù)(平面向量)的交叉與綜合，是高考命題的一個(gè) 重要考點(diǎn)，其解法是利用向量的數(shù)量積和模的概念等脫去向量的“外衣”，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問 題，即可解決。訓(xùn)練：（2009 江蘇）設(shè)向量 a =(4 cos α ,sin α), b =(sin β , 4 cos β), c =(cos β , ?4 sin β)（1）若 a 與 b ? 2c 垂直，求 tan(α + β)的值；（2）求 | b + c | 的最大值；

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D.｛ 〔0，1〕 ｝

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r r uuu uuu uuur uuu uuu uuur r r r uuu uuu uuu uuu uuu uuu r r r r r r | OA |=| OB |=| OC |, NA + NB + NC = 0，且 PA ? PB = PB ? PC = PC ? PA, 則點(diǎn) O，N，P 依 次是 ?ABC 的()
A.重心 外心 垂心 C.外心 重心 垂心 B.重心 外心 內(nèi)心 D.外心 重心 內(nèi)心

變式：若將 Q 集合中的 n 改為 m，結(jié)果又如何呢？ 評(píng)述：借助平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，把集合的交集運(yùn)算轉(zhuǎn)化為向量相等，考查了方程思想和等價(jià) 轉(zhuǎn)化的思想。二．與平面幾何的交匯 例 2.（2009 寧夏海南）已知 O，N，P 在 ?ABC 所在平面內(nèi)，且

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