第一篇:平面向量平行的坐標表示教案
8.3.2平面向量平行的坐標表示
教學目標:復習鞏固平面向量坐標的概念,掌握平行向量充要條件的坐標表示,并且能用它解決向量平行(共線)的有關問題。
教學重點:平行向量充要條件的坐標表示,解決向量平行(共線)的有關問題 教學難點:充要條件的推導,共線條件的判斷 教學過程:
一、復習:1.平行向量基本定理
2.平面向量的坐標運算法則
??
二、1.提出問題:共線向量的充要條件是有且只有一個實數λ使得a=λb(b?0),那么這個充要條件如何用坐標來表示呢?
????2.推導:設a=(x1, y1)b=(x2, y2)其中b?a
??x??x2?由a=λb(x1, y1)=λ(x2, y2)??1 消去λ:x1y2-x2y1=0
?y1??y2???結論:a∥b(b?0)的充要條件是x1y2-x2y1=0
?注意:1?消去λ時不能兩式相除,∵y1, y2有可能為0,∵b?0
∴x2, y2中至少有一個不為0 2?充要條件不能寫成y1y?2 ∵x1, x2有可能為0 x1x2???a??b3?從而向量共線的充要條件有兩種形式:a∥b(b?0)?
x1y2?x2y1?0
三、應用舉例
例一,判斷下列兩個向量是否平行
??(1)a=(-1,3),b=(5,-15)(2)AB=(2,0),CD=(0,3)
解:(1)?(-1)?(-15)=3?5 ???a與b平行(2)?2?3?0?0 ?AB與CD不平行
點評:利用坐標表示可以判斷兩個向量是否平行 兩個課后練習鞏固
??例二 若向量a=(-1,x)與b=(-x, 2)共線且方向相同,求x
??解:∵a=(-1,x)與b=(-x, 2)共線
∴(-1)×2-x?(-x)=0 ∴x=±2
??∵a與b方向相同
∴x=2
定評:如果兩個向量共線 根據公式可以求出未知數
完成課后第二第三兩題
例三 已知A(-1,-1),B(1,3),C(2,5),試判斷A、B、C三點之間的關系.解:AB??1???1?,3???1????2,4?,AC??2???1?,5???1????3,6?又2?6?3?4?0,故AB//AC,直線AB、直線AC有公共點A,所以A、B、C三點共線.同時引導學生如何證明三點不共線 點評:如何證明三點共線 主要是證明兩個有公共點的兩個向量平行,變式.已知A(-1,-1)B(1,3)C(1,5)D(2,7)(1)向量AB與CD平行嗎?(2)直線AB與平行于直線CD嗎?
解:∵AB=(1-(-1), 3-(-1))=(2, 4)CD=(2-1,7-5)=(1,2)又:∵2×2-4-1=0 ∴AB∥CD 又:AC=(1-(-1), 5-(-1))=(2,6)AB=(2, 4)2×4-2×6?0 ∴AC與AB不平行
∴A,B,C不共線 ∴AB與CD不重合 ∴AB∥CD
四、練習:
1.已知平面向量a?(1,2),b?(?2,m),且a∥b,則2a?3b的坐標為 . ??????2.已知點A(0,1)B(1,0)C(1,2)D(2,1)求證:AB∥CD
五、高考鏈接
?????(1,2),b?(2,3)4,?7)共⑴(08全國2)設向量a,若向量?a?b,與向量c?(?線,求?值.
?,m),c?(?1,2),若(a?b)∥c,則⑵(10陜西11)已知向量a?(1,2),b?(?1m=.五、小結:1.向量平行的充要條件(坐標表示)? 2.利用向量共線求未知數
? 3. 利用向量思想證明點共線的方法
六、作業:P64 練習8-6 《同步訓練》P38、39
七、課后反思
————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————
??????
第二篇:平面向量的坐標表示教案范文
平面向量共線的坐標表示
教學目的:
(1)理解平面向量的坐標的概念;(2)掌握平面向量的坐標運算;
(3)會根據向量的坐標,判斷向量是否共線.教學重點:平面向量的坐標運算
教學難點:向量的坐標表示的理解及運算的準確性 授課類型:新授課 教具:多媒體、實物投影儀 教學過程:
一、復習引入: 1.平面向量的坐標表示
分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量、j作為基底.任作一個向量a,由平面向量基本定理知,有且只有一對實數x、y,使得a?xi?yj
把(x,y)叫做向量a的(直角)坐標,記作a?(x,y)
其中x叫做a在x軸上的坐標,y叫做a在y軸上的坐標,特別地,i?(1,0),j?(0,1),0?(0,0).2.平面向量的坐標運算 若a?(x1,y1),b?(x2,y2),則a?b?(x1?x2,y1?y2),a?b?(x1?x2,y1?y2),?a?(?x,?y).若A(x1,y1),B(x2,y2),則AB??x2?x1,y2?y1?
二、講解新課:
???a∥b(b?0)的充要條件是x1y2-x2y1=0
????設a=(x1,y1),b=(x2,y2)其中b?a.??x1??x2?由a=λb得,(x1,y1)=λ(x2,y2)??消去λ,x1y2-x2y1=0
y??y2?1?探究:(1)消去λ時不能兩式相除,∵y1,y2有可能為0,∵b?0∴x2,y2中至少有一個不為0(2)充要條件不能寫成y1y2∵x1,x2有可能為0 ?x1x2??(3)從而向量共線的充要條件有兩種形式:a∥b ?(b?0)?a??b
x1y2?x2y1?0
三、講解范例:
????例1已知a=(4,2),b=(6,y),且a∥b,求y.例2已知A(-1,-1),B(1,3),C(2,5),試判斷A,B,C三點之間的位置關系.例3設點P是線段P1P2上的一點,P1、P2的坐標分別是(x1,y1),(x2,y2).(1)當點P是線段P1P2的中點時,求點P的坐標;(2)當點P是線段P1P2的一個三等分點時,求點P的坐標.??例4若向量a=(-1,x)與b=(-x,2)共線且方向相同,求x
??解:∵a=(-1,x)與b=(-x,2)共線∴(-1)×2-x?(-x)=0 ??a∴x=±2∵與b方向相同∴x=2
例5已知A(-1,-1),B(1,3),C(1,5),D(2,7),向量AB與CD平行嗎?直線AB與平行于直線CD嗎?
解:∵AB=(1-(-1),3-(-1))=(2,4),CD=(2-1,7-5)=(1,2)又∵2×2-4×1=0 ∴AB∥CD
又∵AC=(1-(-1),5-(-1))=(2,6),AB=(2,4),2×4-2×6?0 ∴AC與AB不平行
∴A,B,C不共線∴AB與CD不重合∴AB∥CD
四、課堂練習:
1.若a=(2,3),b=(4,-1+y),且a∥b,則y=()A.6 B.5 C.7 D.8 2.若A(x,-1),B(1,3),C(2,5)三點共線,則x的值為()
A.-3 B.-1 C.1 D.3 3.若AB=i+2j,DC=(3-x)i+(4-y)j(其中i、j的方向分別與x、y軸正方向相同且為單位向量).AB與DC共線,則x、y的值可能分別為()A.1,2 B.2,2 C.3,2 D.2,4 4.已知a=(4,2),b=(6,y),且a∥b,則y=.5.已知a=(1,2),b=(x,1),若a+2b與2a-b平行,則x的值為.6.已知□ABCD四個頂點的坐標為A(5,7),B(3,x),C(2,3),D(4,x),則x=.五、小結
第三篇:平面向量概念教案
平面向量概念教案
一.課題:平面向量概念
二、教學目標
1、使學生了解向量的物理實際背景,理解平面向量的一些基本概念,能正確進行平面向量的幾何表示。
2、讓學生經歷類比方法學習向量及其幾何表示的過程,體驗對比理解向量基本概念的簡易性,從而養成科學的學習方法。
3、通過本節的學習,讓學生感受向量的概念方法源于現實世界,從而激發學生學習數學的熱情,培養學生學習數學的興趣
三.教學類型:新知課
四、教學重點、難點
1、重點:向量及其幾何表示,相等向量、平行向量的概念。
2、難點:向量的概念及對平行向量的理解。
五、教學過程
(一)、問題引入
1、在物理中,位移與距離是同一個概念嗎?為什么?
2、在物理中,我們學到位移是既有大小、又有方向的量,你還能舉出一些這樣的量嗎?
3、在物理中,像這種既有大小、又有方向的量叫做矢量。在數學中,我們把這種既有大小、又有方向的量叫做向量。而把那些只有大小,沒有方向的量叫數量。
(二)講授新課
1、向量的概念
練習1 對于下列各量:
①質量 ② 速度 ③位移 ④力 ⑤加速度 ⑥路程 ⑦密度 ⑧功 ⑨體積 ⑩溫度
其中,是向量的有:②③④⑤
2、向量的幾何表示
請表示一個豎直向下、大小為5N的力,和一個水平向左、大小為8N的力(1厘米表示1N)。思考一下物理學科中是如何表示力這一向量的?
(1)有向線段及有向線段的三要素(2)向量的模
(4)零向量,記作____;(5)單位向量
練習2 邊長為6的等邊△ABC中,=__,與 相等的還有哪些?
總結向量的表示方法: 1)、用有向線段表示。
2)、用字母表示。
3、相等向量與共線向量(1)相等向量的定義(2)共線向量的定義
六.教具:黑板 七.作業 八.教學后記
第四篇:平面向量教案
平面向量教案
課
件www.tmdps.cn
二、復習要求
、向量的概念;
2、向量的線性運算:即向量的加減法,實數與向量的乘積,兩個向量的數量積等的定義,運算律;
3、向量運算的運用
三、學習指導、向量是數形結合的典范。向量的幾何表示法--有向線段表示法是運用幾何性質解決向量問題的基礎。在向量的運算過程中,借助于圖形性質不僅可以給抽象運算以直觀解釋,有時甚至更簡捷。
向量運算中的基本圖形:①向量加減法則:三角形或平行四邊形;②實數與向量乘積的幾何意義--共線;③定比分點基本圖形--起點相同的三個向量終點共線等。
2、向量的三種線性運算及運算的三種形式。
向量的加減法,實數與向量的乘積,兩個向量的數量積都稱為向量的線性運算,前兩者的結果是向量,兩個向量數量積的結果是數量。每一種運算都可以有三種表現形式:圖形、符號、坐標語言。
主要內容列表如下:
運算圖形語言符號語言坐標語言
加法與減法
=
-=
記=,=
則=
-==
實數與向量
的乘積
=λ
λ∈R記=
則λ=兩個向量
的數量積
·=||||
cos<,>
記=,=
則·=x1x2y1y2
3、運算律
加法:=,=
實數與向量的乘積:λ=λλ;=λμ,λ=
兩個向量的數量積:·=·;·=·=λ,·=··
說明:根據向量運算律可知,兩個向量之間的線性運算滿足實數多項式乘積的運算法則,正確遷移實數的運算性質可以簡化向量的運算,例如2=
4、重要定理、公式
平面向量基本定理;如果是同一平面內的兩個不共線向量,那么對于該平面內任一向量,有且只有一對數數λ1,λ2,滿足=λ1λ2,稱λ1λλ2為,的線性組合。
根據平面向量基本定理,任一向量與有序數對一一對應,稱為在基底{,}下的坐標,當取{,}為單位正交基底{,}時定義為向量的平面直角坐標。
向量坐標與點坐標的關系:當向量起點在原點時,定義向量坐標為終點坐標,即若A,則=;當向量起點不在原點時,向量坐標為終點坐標減去起點坐標,即若A,B,則=
兩個向量平行的充要條件
符號語言:若∥,≠,則=λ
坐標語言為:設=,=,則∥=λ,即,或x1y2-x2y1=0
在這里,實數λ是唯一存在的,當與同向時,λ>0;當與異向時,λ<0。
|λ|=,λ的大小由及的大小確定。因此,當,確定時,λ的符號與大小就確定了。這就是實數乘向量中λ的幾何意義。
兩個向量垂直的充要條件
符號語言:⊥·=0
坐標語言:設=,=,則⊥x1x2y1y2=0
線段定比分點公式
如圖,設
則定比分點向量式:
定比分點坐標式:設P,P1,P2
則
特例:當λ=1時,就得到中點公式: ,實際上,對于起點相同,終點共線三個向量,,總有=uv,uv=1,即總可以用其中兩個向量的線性組合表示第三個向量,且系數和為1。
平移公式:
①點平移公式,如果點P按=平移至P',則
分別稱,為舊、新坐標,為平移法則
在點P新、舊坐標及平移法則三組坐標中,已知兩組坐標,一定可以求第三組坐標
②圖形平移:設曲線c:y=f按=平移,則平移后曲線c'對應的解析式為y-k=f
當h,k中有一個為零時,就是前面已經研究過的左右及上下移
利用平移變換可以化簡函數解析式,從而便于研究曲線的幾何性質
正弦定理,余弦定理
正弦定理:
余弦定理:a2=b2c2-2cbcosA
b2=c2a2-2cacosB
c2=a2b2-2abcosc
定理變形:cosA=,cosB=,cosc=
正弦定理及余弦定理是解決三角形的重要而又基本的工具。通過閱讀課本,理解用向量法推導正、余弦定理的重要思想方法。
5、向量既是重要的數學概念,也是有力的解題工具。利用向量可以證明線線垂直,線線平行,求夾角等,特別是直角坐標系的引入,體現了向量解決問題的“程序性”特點。
四、典型例題
例
1、如圖,為單位向量,與夾角為1200,與的夾角為450,||=5,用,表示。
分析:
以,為鄰邊,為對角線構造平行四邊形
把向量在,方向上進行分解,如圖,設=λ,=μ,λ>0,μ>0
則=λμ
∵||=||=1
∴λ=||,μ=||
△oEc中,∠E=600,∠ocE=750,由得:
∴
∴
說明:用若干個向量的線性組合表示一個向量,是向量中的基本而又重要的問題,通常通過構造平行四邊形來處理
例
2、已知△ABc中,A,B,c,Bc邊上的高為AD,求點D和向量坐標。
分析:
用解方程組思想
設D,則=
∵=,·=0
∴-6-3=0,即2xy-3=0①
∵=,∥
∴-6=-3,即x-2y1=0②
由①②得:
∴D,=
例
3、求與向量=,-1)和=夾角相等,且模為的向量的坐標。
分析:
用解方程組思想
法一:設=,則·=x-y,·=xy
∵<,>=<,>
∴&nb ∴
即①
又||=
∴x2y2=2②
由①②得或
∴=
法二:從分析形的特征著手
∵||=||=2
·=0
∴△AoB為等腰直角三角形,如圖
∵||=,∠Aoc=∠Boc
∴c為AB中點
∴c
說明:數形結合是學好向量的重要思想方法,分析圖中的幾何性質可以簡化計算。
例
4、在△oAB的邊oA、oB上分別取點m、N,使||∶||=1∶3,||∶||=1∶4,設線段AN與Bm交于點P,記=,=,用,表示向量。
分析:
∵B、P、m共線
∴記=s
∴①
同理,記
∴=②
∵,不共線
∴由①②得解之得:
∴
說明:從點共線轉化為向量共線,進而引入參數是常用技巧之一。平面向量基本定理是向量重要定理之一,利用該定理唯一性的性質得到關于s,t的方程。
例
5、已知長方形ABcD,AB=3,Bc=2,E為Bc中點,P為AB上一點
利用向量知識判定點P在什么位置時,∠PED=450;
若∠PED=450,求證:P、D、c、E四點共圓。
分析:
利用坐標系可以確定點P位置
如圖,建立平面直角坐標系
則c,D,E
設P
∴=,=
∴
·=3y-1
代入cos450=
解之得,或y=2
∴點P為靠近點A的AB三等分處
當∠PED=450時,由知P
∴=,=
∴·=0
∴∠DPE=900
又∠DcE=900
∴D、P、E、c四點共圓
說明:利用向量處理幾何問題一步要驟為:①建立平面直角坐標系;②設點的坐標;③求出有關向量的坐標;④利用向量的運算計算結果;⑤得到結論。
同步練習
選擇題、平面內三點A,B,c,若∥,則x的值為:
A、-5B、-1c、1D、5
2、平面上A,B,D,c點滿足,連Dc并延長至E,使||=||,則點E坐標為:
A、B、c、D、或
2、點沿向量平移到,則點沿平移到:
3、A、B、c、D、4、△ABc中,2cosB·sinc=sinA,則此三角形是:
A、直角三角形B、等腰三角形c、等邊三角形D、以上均有可能
5、設,是任意的非零平面向量,且相互不共線,則:
①-=0
②||-||<|-|
③-不與垂直
④·=9||2-4|2中,真命題是:
A、①②B、②③c、③④D、②④
6、△ABc中,若a4b4c4=2c2,則∠c度數是:
A、600B、450或1350c、1200D、300
7、△oAB中,=,=,=,若=,t∈R,則點P在
A、∠AoB平分線所在直線上B、線段AB中垂線上
c、AB邊所在直線上D、AB邊的中線上
8、正方形PQRS對角線交點為m,坐標原點o不在正方形內部,且=,=,則=
A、B、c、D、填空題
9、已知{,|是平面上一個基底,若=λ,=-2λ-,若,共線,則λ=__________。
0、已知||=,||=1,·=-9,則與的夾角是________。
1、設,是兩個單位向量,它們夾角為600,則·=____________。
2、把函數y=cosx圖象沿平移,得到函數___________的圖象。
解答題
3、設=,=,⊥,∥,試求滿足=的的坐
14、若=,-=,求、及與夾角θ的余弦值。
5、已知||=,||=3,和夾角為450,求當向量λ與λ夾角為銳角時,λ的取值范圍。
參考答案
1、c2、B3、D4、B5、D6、B7、A8、9、10、11、12、y=sinx1 13、4、=,=,5、λ<,或λ>且λ≠ 課
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A
第五篇:平面向量教案
平面向量的綜合應用 執教人: 執教人:易燕子
考綱要求: “從學科的整體高度和思維價值的高度考慮問題,在知識網絡交匯點設計試題,使 考綱要求:
對數學基礎知識的考查達到必要的深度”。向量以其獨特的數形結合和坐標運算,成為銜接代數與幾何的最佳紐帶,故以向量知識與三角函數、解析幾何、數列、不等式等多項內容的交匯作為設計綜合性試題考查考生的綜合能力,是高考的一 個熱點,也是重點。教學目標(1)進一步理解平面向量的有關知識; 教學目標:(2)了解在平面向量與其他知識交匯點設計試題的幾種形式;(3)能綜合運用平面向量和相關知識解決問題。教學重點: 教學重點:平面向量與其他知識的相互聯系。教學難點: 教學難點:平面向量與其他知識的相互轉化。
評述:通過平面向量的運算得出二次不等式,利用恒成立解決。
“ 訓練:(2010 北京)a、b 為非零向量,a ⊥ b ”是“函數 f(x)=(xa + b)? xb ? a)為一次(函數”的()A.充分而不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件 四.與三角知識的交匯 例 4.(2009 湖北)已知向量 a =(cos α , sin α), b =(cos β , sin β), c =(? 1,0)(1)求向量 b + c 的長度的最大值;(2)設 a =
r
r
r
r
r
r
r r
r r
π
4
,且 a ⊥(b + c),求 cos β 的值.
r
r r
教學設計: 教學設計:
一.與集合的交匯 例 1.(2009 湖北)已知 P = {a | a =(1, 0)+ m(0,1), m ∈ R},Q = {b | b =(1,1)+ n(?1,1), n ∈ R} 是兩個向量集合,則 P I Q = A.〔1,1〕 { }(B.{ 〔-1,1〕 })C.{ 〔1,0〕 }
r r
r r
評述:以平面向量(三角函數)為載體,與三角函數(平面向量)的交叉與綜合,是高考命題的一個 重要考點,其解法是利用向量的數量積和模的概念等脫去向量的“外衣”,轉化為三角函數問 題,即可解決。訓練:(2009 江蘇)設向量 a =(4 cos α ,sin α), b =(sin β , 4 cos β), c =(cos β , ?4 sin β)(1)若 a 與 b ? 2c 垂直,求 tan(α + β)的值;(2)求 | b + c | 的最大值;
r
r
r
D.{ 〔0,1〕 }
r
r
r
r r uuu uuu uuur uuu uuu uuur r r r uuu uuu uuu uuu uuu uuu r r r r r r | OA |=| OB |=| OC |, NA + NB + NC = 0,且 PA ? PB = PB ? PC = PC ? PA, 則點 O,N,P 依 次是 ?ABC 的()
A.重心 外心 垂心 C.外心 重心 垂心 B.重心 外心 內心 D.外心 重心 內心
變式:若將 Q 集合中的 n 改為 m,結果又如何呢? 評述:借助平面向量的坐標運算,把集合的交集運算轉化為向量相等,考查了方程思想和等價 轉化的思想。二.與平面幾何的交匯 例 2.(2009 寧夏海南)已知 O,N,P 在 ?ABC 所在平面內,且
r r
(3