第一篇：平面向量平行的坐標表示教案

8.3.2平面向量平行的坐標表示

教學目標：復習鞏固平面向量坐標的概念，掌握平行向量充要條件的坐標表示，并且能用它解決向量平行（共線）的有關問題。

教學重點：平行向量充要條件的坐標表示，解決向量平行（共線）的有關問題 教學難點：充要條件的推導，共線條件的判斷 教學過程：

一、復習：1．平行向量基本定理

2．平面向量的坐標運算法則

??

二、1．提出問題：共線向量的充要條件是有且只有一個實數λ使得a=λb（b?0），那么這個充要條件如何用坐標來表示呢？

????2．推導：設a=(x1, y1)b=(x2, y2)其中b?a

??x??x2?由a=λb(x1, y1)=λ(x2, y2)??1 消去λ：x1y2-x2y1=0

?y1??y2???結論：a∥b(b?0)的充要條件是x1y2-x2y1=0

?注意：1?消去λ時不能兩式相除，∵y1, y2有可能為0，∵b?0

∴x2, y2中至少有一個不為0 2?充要條件不能寫成y1y?2 ∵x1, x2有可能為0 x1x2???a??b3?從而向量共線的充要條件有兩種形式：a∥b(b?0)?

x1y2?x2y1?0

三、應用舉例

例一，判斷下列兩個向量是否平行

??（1）a=（-1,3），b=（5，-15）（2）AB=（2,0），CD=（0,3）

解：（1）?（-1）?（-15）=3?5 ???a與b平行（2）?2?3?0?0 ?AB與CD不平行

點評：利用坐標表示可以判斷兩個向量是否平行 兩個課后練習鞏固

??例二 若向量a=(-1,x)與b=(-x, 2)共線且方向相同，求x

??解：∵a=(-1,x)與b=(-x, 2)共線

∴(-1)×2-x?(-x)=0 ∴x=±2

??∵a與b方向相同

∴x=2

定評：如果兩個向量共線 根據公式可以求出未知數

完成課后第二第三兩題

例三 已知A(-1,-1)，B(1,3)，C(2,5)，試判斷A、B、C三點之間的關系.解：AB??1???1?,3???1????2,4?，AC??2???1?,5???1????3,6?又2?6?3?4?0，故AB//AC，直線AB、直線AC有公共點A，所以A、B、C三點共線.同時引導學生如何證明三點不共線 點評：如何證明三點共線 主要是證明兩個有公共點的兩個向量平行，變式．已知A(-1,-1)B(1,3)C(1,5)D(2,7)（1）向量AB與CD平行嗎？（2）直線AB與平行于直線CD嗎？

解：∵AB=(1-(-1), 3-(-1))=(2, 4)CD=(2-1,7-5)=(1,2)又：∵2×2-4-1=0 ∴AB∥CD 又：AC=(1-(-1), 5-(-1))=(2,6)AB=(2, 4)2×4-2×6?0 ∴AC與AB不平行

∴A，B，C不共線 ∴AB與CD不重合 ∴AB∥CD

四、練習：

1．已知平面向量a?(1,2)，b?(?2,m)，且a∥b，則2a?3b的坐標為 ． ??????2.已知點A(0,1)B(1,0)C(1,2)D(2,1)求證：AB∥CD

五、高考鏈接

?????(1,2),b?(2,3)4,?7)共⑴（08全國2）設向量a,若向量?a?b，與向量c?(?線，求?值．

?,m)，c?(?1,2)，若(a?b)∥c，則⑵（10陜西11）已知向量a?(1,2)，b?(?1m=.五、小結：1.向量平行的充要條件（坐標表示）? 2．利用向量共線求未知數

? 3． 利用向量思想證明點共線的方法

六、作業：P64 練習8-6 《同步訓練》P38、39

七、課后反思

————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————

??????

第二篇：平面向量的坐標表示教案范文

平面向量共線的坐標表示

教學目的：

（1）理解平面向量的坐標的概念；（2）掌握平面向量的坐標運算；

（3）會根據向量的坐標，判斷向量是否共線.教學重點：平面向量的坐標運算

教學難點：向量的坐標表示的理解及運算的準確性 授課類型：新授課 教具：多媒體、實物投影儀 教學過程：

一、復習引入： 1．平面向量的坐標表示

分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量、j作為基底.任作一個向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一對實數x、y，使得a?xi?yj

把(x,y)叫做向量a的（直角）坐標，記作a?(x,y)

其中x叫做a在x軸上的坐標，y叫做a在y軸上的坐標，特別地，i?(1,0)，j?(0,1)，0?(0,0).2．平面向量的坐標運算 若a?(x1,y1)，b?(x2,y2)，則a?b?(x1?x2,y1?y2)，a?b?(x1?x2,y1?y2)，?a?(?x,?y).若A(x1,y1)，B(x2,y2)，則AB??x2?x1,y2?y1?

二、講解新課：

???a∥b(b?0)的充要條件是x1y2-x2y1=0

????設a=(x1，y1)，b=(x2，y2)其中b?a.??x1??x2?由a=λb得，(x1，y1)=λ(x2，y2)??消去λ，x1y2-x2y1=0

y??y2?1?探究：（1）消去λ時不能兩式相除，∵y1，y2有可能為0，∵b?0∴x2，y2中至少有一個不為0（2）充要條件不能寫成y1y2∵x1，x2有可能為0 ?x1x2??(3)從而向量共線的充要條件有兩種形式：a∥b ?(b?0)?a??b

x1y2?x2y1?0

三、講解范例：

????例1已知a=(4，2)，b=(6，y)，且a∥b，求y.例2已知A(-1，-1)，B(1，3)，C(2，5)，試判斷A，B，C三點之間的位置關系.例3設點P是線段P1P2上的一點，P1、P2的坐標分別是(x1，y1)，(x2，y2).(1)當點P是線段P1P2的中點時，求點P的坐標；(2)當點P是線段P1P2的一個三等分點時，求點P的坐標.??例4若向量a=(-1，x)與b=(-x，2)共線且方向相同，求x

??解：∵a=(-1，x)與b=(-x，2)共線∴(-1)×2-x?(-x)=0 ??a∴x=±2∵與b方向相同∴x=2

例5已知A(-1，-1)，B(1，3)，C(1，5)，D(2，7)，向量AB與CD平行嗎？直線AB與平行于直線CD嗎？

解：∵AB=(1-(-1)，3-(-1))=(2，4)，CD=(2-1，7-5)=(1，2)又∵2×2-4×1=0 ∴AB∥CD

又∵AC=(1-(-1)，5-(-1))=(2，6)，AB=(2，4)，2×4-2×6?0 ∴AC與AB不平行

∴A，B，C不共線∴AB與CD不重合∴AB∥CD

四、課堂練習：

1.若a=(2，3)，b=(4，-1+y)，且a∥b，則y=（）A.6 B.5 C.7 D.8 2.若A(x，-1)，B(1，3)，C(2，5)三點共線，則x的值為（）

A.-3 B.-1 C.1 D.3 3.若AB=i+2j，DC=(3-x)i+(4-y)j(其中i、j的方向分別與x、y軸正方向相同且為單位向量).AB與DC共線，則x、y的值可能分別為（）A.1，2 B.2，2 C.3，2 D.2，4 4.已知a=(4，2)，b=(6，y)，且a∥b，則y=.5.已知a=(1，2)，b=(x，1)，若a+2b與2a-b平行，則x的值為.6.已知□ABCD四個頂點的坐標為A(5，7)，B(3，x)，C(2，3)，D(4，x)，則x=.五、小結

第三篇：平面向量概念教案

平面向量概念教案

一．課題：平面向量概念

二、教學目標

1、使學生了解向量的物理實際背景，理解平面向量的一些基本概念，能正確進行平面向量的幾何表示。

2、讓學生經歷類比方法學習向量及其幾何表示的過程，體驗對比理解向量基本概念的簡易性，從而養成科學的學習方法。

3、通過本節的學習，讓學生感受向量的概念方法源于現實世界，從而激發學生學習數學的熱情，培養學生學習數學的興趣

三．教學類型：新知課

四、教學重點、難點

1、重點：向量及其幾何表示，相等向量、平行向量的概念。

2、難點：向量的概念及對平行向量的理解。

五、教學過程

（一）、問題引入

1、在物理中，位移與距離是同一個概念嗎？為什么？

2、在物理中，我們學到位移是既有大小、又有方向的量，你還能舉出一些這樣的量嗎？

3、在物理中，像這種既有大小、又有方向的量叫做矢量。在數學中，我們把這種既有大小、又有方向的量叫做向量。而把那些只有大小，沒有方向的量叫數量。

（二）講授新課

1、向量的概念

練習1 對于下列各量：

①質量 ② 速度 ③位移 ④力 ⑤加速度 ⑥路程 ⑦密度 ⑧功 ⑨體積 ⑩溫度

其中，是向量的有：②③④⑤

2、向量的幾何表示

請表示一個豎直向下、大小為5N的力，和一個水平向左、大小為8N的力（1厘米表示1N）。思考一下物理學科中是如何表示力這一向量的？

（1）有向線段及有向線段的三要素（2）向量的模

（4）零向量，記作＿＿＿＿；（5）單位向量

練習2 邊長為6的等邊△ABC中，＝＿＿，與 相等的還有哪些？

總結向量的表示方法： 1）、用有向線段表示。

2）、用字母表示。

3、相等向量與共線向量（1）相等向量的定義（2）共線向量的定義

六．教具：黑板 七．作業 八．教學后記

第四篇：平面向量教案

平面向量教案

課

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二、復習要求

、向量的概念;

2、向量的線性運算:即向量的加減法,實數與向量的乘積,兩個向量的數量積等的定義,運算律;

3、向量運算的運用

三、學習指導、向量是數形結合的典范。向量的幾何表示法--有向線段表示法是運用幾何性質解決向量問題的基礎。在向量的運算過程中,借助于圖形性質不僅可以給抽象運算以直觀解釋,有時甚至更簡捷。

向量運算中的基本圖形:①向量加減法則:三角形或平行四邊形;②實數與向量乘積的幾何意義--共線;③定比分點基本圖形--起點相同的三個向量終點共線等。

2、向量的三種線性運算及運算的三種形式。

向量的加減法,實數與向量的乘積,兩個向量的數量積都稱為向量的線性運算,前兩者的結果是向量,兩個向量數量積的結果是數量。每一種運算都可以有三種表現形式:圖形、符號、坐標語言。

主要內容列表如下:

運算圖形語言符號語言坐標語言

加法與減法

=

-=

記=,=

則=

-==

實數與向量

的乘積

=λ

λ∈R記=

則λ=兩個向量

的數量積

·=||||

cos<,>

記=,=

則·=x1x2y1y2

3、運算律

加法:=,=

實數與向量的乘積:λ=λλ;=λμ,λ=

兩個向量的數量積:·=·;·=·=λ,·=··

說明:根據向量運算律可知,兩個向量之間的線性運算滿足實數多項式乘積的運算法則,正確遷移實數的運算性質可以簡化向量的運算,例如2=

4、重要定理、公式

平面向量基本定理;如果是同一平面內的兩個不共線向量,那么對于該平面內任一向量,有且只有一對數數λ1,λ2,滿足=λ1λ2,稱λ1λλ2為,的線性組合。

根據平面向量基本定理,任一向量與有序數對一一對應,稱為在基底{,}下的坐標,當取{,}為單位正交基底{,}時定義為向量的平面直角坐標。

向量坐標與點坐標的關系:當向量起點在原點時,定義向量坐標為終點坐標,即若A,則=;當向量起點不在原點時,向量坐標為終點坐標減去起點坐標,即若A,B,則=

兩個向量平行的充要條件

符號語言:若∥,≠,則=λ

坐標語言為:設=,=,則∥=λ,即,或x1y2-x2y1=0

在這里,實數λ是唯一存在的,當與同向時,λ>0;當與異向時,λ<0。

|λ|=,λ的大小由及的大小確定。因此,當,確定時,λ的符號與大小就確定了。這就是實數乘向量中λ的幾何意義。

兩個向量垂直的充要條件

符號語言:⊥·=0

坐標語言:設=,=,則⊥x1x2y1y2=0

線段定比分點公式

如圖,設

則定比分點向量式:

定比分點坐標式:設P,P1,P2

則

特例:當λ=1時,就得到中點公式: ，實際上,對于起點相同,終點共線三個向量，,總有=uv,uv=1,即總可以用其中兩個向量的線性組合表示第三個向量,且系數和為1。

平移公式:

①點平移公式,如果點P按=平移至P',則

分別稱,為舊、新坐標,為平移法則

在點P新、舊坐標及平移法則三組坐標中,已知兩組坐標,一定可以求第三組坐標

②圖形平移:設曲線c:y=f按=平移,則平移后曲線c'對應的解析式為y-k=f

當h,k中有一個為零時,就是前面已經研究過的左右及上下移

利用平移變換可以化簡函數解析式,從而便于研究曲線的幾何性質

正弦定理,余弦定理

正弦定理:

余弦定理:a2=b2c2-2cbcosA

b2=c2a2-2cacosB

c2=a2b2-2abcosc

定理變形:cosA=,cosB=,cosc=

正弦定理及余弦定理是解決三角形的重要而又基本的工具。通過閱讀課本,理解用向量法推導正、余弦定理的重要思想方法。

5、向量既是重要的數學概念,也是有力的解題工具。利用向量可以證明線線垂直,線線平行,求夾角等,特別是直角坐標系的引入,體現了向量解決問題的“程序性”特點。

四、典型例題

例

1、如圖，為單位向量,與夾角為1200,與的夾角為450,||=5,用,表示。

分析:

以,為鄰邊,為對角線構造平行四邊形

把向量在,方向上進行分解,如圖,設=λ,=μ,λ>0,μ>0

則=λμ

∵||=||=1

∴λ=||,μ=||

△oEc中,∠E=600,∠ocE=750,由得:

∴

∴

說明:用若干個向量的線性組合表示一個向量,是向量中的基本而又重要的問題,通常通過構造平行四邊形來處理

例

2、已知△ABc中,A,B,c,Bc邊上的高為AD,求點D和向量坐標。

分析:

用解方程組思想

設D,則=

∵=,·=0

∴-6-3=0,即2xy-3=0①

∵=,∥

∴-6=-3,即x-2y1=0②

由①②得:

∴D,=

例

3、求與向量=,-1)和=夾角相等,且模為的向量的坐標。

分析:

用解方程組思想

法一:設=,則·=x-y,·=xy

∵<,>=<,>

∴&nb ∴

即①

又||=

∴x2y2=2②

由①②得或

∴=

法二:從分析形的特征著手

∵||=||=2

·=0

∴△AoB為等腰直角三角形,如圖

∵||=,∠Aoc=∠Boc

∴c為AB中點

∴c

說明:數形結合是學好向量的重要思想方法,分析圖中的幾何性質可以簡化計算。

例

4、在△oAB的邊oA、oB上分別取點m、N,使||∶||=1∶3,||∶||=1∶4,設線段AN與Bm交于點P,記=,=,用,表示向量。

分析:

∵B、P、m共線

∴記=s

∴①

同理,記

∴=②

∵,不共線

∴由①②得解之得:

∴

說明:從點共線轉化為向量共線,進而引入參數是常用技巧之一。平面向量基本定理是向量重要定理之一,利用該定理唯一性的性質得到關于s,t的方程。

例

5、已知長方形ABcD,AB=3,Bc=2,E為Bc中點,P為AB上一點

利用向量知識判定點P在什么位置時,∠PED=450;

若∠PED=450,求證:P、D、c、E四點共圓。

分析:

利用坐標系可以確定點P位置

如圖,建立平面直角坐標系

則c,D,E

設P

∴=,=

∴

·=3y-1

代入cos450=

解之得,或y=2

∴點P為靠近點A的AB三等分處

當∠PED=450時,由知P

∴=,=

∴·=0

∴∠DPE=900

又∠DcE=900

∴D、P、E、c四點共圓

說明:利用向量處理幾何問題一步要驟為:①建立平面直角坐標系;②設點的坐標;③求出有關向量的坐標;④利用向量的運算計算結果;⑤得到結論。

同步練習

選擇題、平面內三點A,B,c,若∥,則x的值為:

A、-5B、-1c、1D、5

2、平面上A,B,D,c點滿足,連Dc并延長至E,使||=||,則點E坐標為:

A、B、c、D、或

2、點沿向量平移到,則點沿平移到:

3、A、B、c、D、4、△ABc中,2cosB·sinc=sinA,則此三角形是:

A、直角三角形B、等腰三角形c、等邊三角形D、以上均有可能

5、設，是任意的非零平面向量,且相互不共線,則:

①-=0

②||-||<|-|

③-不與垂直

④·=9||2-4|2中，真命題是:

A、①②B、②③c、③④D、②④

6、△ABc中,若a4b4c4=2c2,則∠c度數是:

A、600B、450或1350c、1200D、300

7、△oAB中,=,=,=,若=,t∈R,則點P在

A、∠AoB平分線所在直線上B、線段AB中垂線上

c、AB邊所在直線上D、AB邊的中線上

8、正方形PQRS對角線交點為m,坐標原點o不在正方形內部,且=,=,則=

A、B、c、D、填空題

9、已知{,|是平面上一個基底,若=λ,=-2λ-,若,共線,則λ=__________。

0、已知||=,||=1,·=-9,則與的夾角是________。

1、設,是兩個單位向量,它們夾角為600，則·=____________。

2、把函數y=cosx圖象沿平移,得到函數___________的圖象。

解答題

3、設=,=,⊥,∥,試求滿足=的的坐

14、若=,-=,求、及與夾角θ的余弦值。

5、已知||=,||=3,和夾角為450,求當向量λ與λ夾角為銳角時,λ的取值范圍。

參考答案

1、c2、B3、D4、B5、D6、B7、A8、9、10、11、12、y=sinx1 13、4、=,=，5、λ<,或λ>且λ≠ 課

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A

第五篇：平面向量教案

平面向量的綜合應用 執教人： 執教人：易燕子
考綱要求： “從學科的整體高度和思維價值的高度考慮問題，在知識網絡交匯點設計試題，使 考綱要求：
對數學基礎知識的考查達到必要的深度”。向量以其獨特的數形結合和坐標運算，成為銜接代數與幾何的最佳紐帶，故以向量知識與三角函數、解析幾何、數列、不等式等多項內容的交匯作為設計綜合性試題考查考生的綜合能力，是高考的一 個熱點，也是重點。教學目標（1）進一步理解平面向量的有關知識； 教學目標：（2）了解在平面向量與其他知識交匯點設計試題的幾種形式；（3）能綜合運用平面向量和相關知識解決問題。教學重點： 教學重點：平面向量與其他知識的相互聯系。教學難點： 教學難點：平面向量與其他知識的相互轉化。

評述：通過平面向量的運算得出二次不等式，利用恒成立解決。

“ 訓練：（2010 北京）a、b 為非零向量，a ⊥ b ”是“函數 f(x)=(xa + b)? xb ? a)為一次(函數”的（）A.充分而不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件 四．與三角知識的交匯 例 4．（2009 湖北）已知向量 a =(cos α , sin α), b =(cos β , sin β), c =(? 1,0)（1）求向量 b + c 的長度的最大值；（2）設 a =

r

r

r

r

r

r

r r

r r

π

4

，且 a ⊥(b + c)，求 cos β 的值.

r

r r

教學設計： 教學設計：
一．與集合的交匯 例 1.(2009 湖北)已知 P = {a | a =(1, 0)+ m(0,1), m ∈ R}，Q = {b | b =(1,1)+ n(?1,1), n ∈ R} 是兩個向量集合，則 P I Q = A．〔1，1〕 ｛ ｝(B.｛ 〔-1，1〕 ｝)C.｛ 〔1，0〕 ｝

r r

r r

評述：以平面向量(三角函數)為載體，與三角函數(平面向量)的交叉與綜合，是高考命題的一個 重要考點，其解法是利用向量的數量積和模的概念等脫去向量的“外衣”，轉化為三角函數問 題，即可解決。訓練：（2009 江蘇）設向量 a =(4 cos α ,sin α), b =(sin β , 4 cos β), c =(cos β , ?4 sin β)（1）若 a 與 b ? 2c 垂直，求 tan(α + β)的值；（2）求 | b + c | 的最大值；

r

r

r

D.｛ 〔0，1〕 ｝

r

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r

r r uuu uuu uuur uuu uuu uuur r r r uuu uuu uuu uuu uuu uuu r r r r r r | OA |=| OB |=| OC |, NA + NB + NC = 0，且 PA ? PB = PB ? PC = PC ? PA, 則點 O，N，P 依 次是 ?ABC 的()
A.重心 外心 垂心 C.外心 重心 垂心 B.重心 外心 內心 D.外心 重心 內心

變式：若將 Q 集合中的 n 改為 m，結果又如何呢？ 評述：借助平面向量的坐標運算，把集合的交集運算轉化為向量相等，考查了方程思想和等價 轉化的思想。二．與平面幾何的交匯 例 2.（2009 寧夏海南）已知 O，N，P 在 ?ABC 所在平面內，且

r r

（3