第一篇：平面向量復習題

平面 向 量

向量思想方法和平面向量問題是新考試大綱考查的重要部分，是新高考的熱點問題。題型多為選擇或填空題，數量為1-2題，均屬容易題，但是向量作為中學數學中的一個重要工具在三角、函數、導數、解幾、立幾等問題解決中處處閃光。最近幾年的考試中向量均出現在解析幾何題中，在解析幾何的框架中考查向量的概念和方法、考查向量的運算性質、考查向量幾何意義的應用，并直接與距離問題、角度問題、軌跡問題等相聯系。近年考綱又新增“平面向量在幾何中的應用”試題進一步要求我們具備多角度、多方向地分析，去探索、去發現、去研究、去創新，而不是去做大量的模仿式的解題。一個問題解決后，不能匆匆而過，回顧與反思是非常有必要的，以充分發揮每一道題目的價值。除了要重視一題多解外，更要重視一題多變，主動探索：條件和結論換一種說法如何？變換一個條件如何？反過來又會怎么樣？等等。只有這樣才能做到舉一反三，以不變應萬變。

一、高考考綱要求

1．理解向量的概念，掌握向量的幾何表示，了解共線向量的概念．

2．掌握向量的加法與減法．

3．掌握實數與向量的積，理解兩個向量共線的充要條件．

4．了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐標的概念，掌握平面向量的坐標運算．

5．掌握平面向量的數量積及其幾何意義，了解用平面向量的數量積可以處理有關長度、角度和垂直的問題，掌握向量垂直的條件．

6．掌握平面兩點間的距離公式，掌握線段的定比分點和中點公式，并且能熟練運用；掌握平移公式．

二、高考熱點分析

在高考試題中，對平面向量的考查主要有三個方面：

其一是主要考查平面向量的概念、性質和運算法則，理解和運用其直觀的幾何意義，并能正確地進行計算。其二考查向量坐標表示，向量的線性運算。

其三是和其他知識結合在一起，在知識的交匯點設計試題，考查向量與學科知識間綜合運用能力。

數學高考命題注重知識的整體性和綜合性，重視知識的交互滲透，在知識網絡的交匯點設計試題．由于向量具有代數和幾何的雙重身份，使它成為中學數學知識的一個交匯點，成為聯系多項知識的媒介．因此，平面向量與其他知識的結合特別是與解析幾何的交匯、融合仍將是高考命題的一大趨勢，同時它仍將是近幾年高考的熱點內容．

附Ⅰ、平面向量知識結構表

1.考查平面向量的基本概念和運算律

1此類題經常出現在選擇題與填空題中，主要考查平面向量的有關概念與性質，要求考生深刻理解平面向量的相關概念，能熟練進行向量的各種運算，熟悉常用公式及結論，理解并掌握兩向量共線、垂直的充要條件。1．(北京卷)| a |=1，| b |=2，c = a + b，且c⊥a，則向量a與b的夾角為

A．30°

B．60°

C．120°

D．150°

（）

2．(江西卷)已知向量

A．30°

?(1,2),(?2,?4),||?

B．60°,若(?)??

C．120°,則與的夾角為

2（）

D．150°

3．(重慶卷)已知A（3，1），B（6，1），C（4，3），D為線段BC的中點，則

A．

與的夾角為（）

444

4B．arccos C．arccos(?)D．－arccos(?)

2555

5???????

4．(浙江卷)已知向量a≠e，|e|＝1，對任意t∈R，恒有|a－te|≥|a－e|，則

?arccos

?

（）

??A．a⊥e ???B．a⊥(a－e)

?

???C．e⊥(a－e)????D．(a＋e)⊥(a－e)

????????．(上海卷)在△ABC中，若?C?90，AC?BC?4，則BA?BC? 2.考查向量的坐標運算

1．(湖北卷)已知向量a=（－2，2），b=（5，k）.若|a+b|不超過5，則k的取值范圍是

A．[－4，6]

2．(重慶卷)設向量a=（－1，2），b=（2，－1），則（a·b）（a+b）等于

A．（1，1）

B．（－4，－4）

C．－4

D．（－2，－2）

()

（）

B．[－6，4]

C．[－6，2]

D．[－2，6]

（）

????

3．(浙江卷)已知向量a＝(x－5，3)，b＝(2，x)，且a⊥b，則由x的值構成的集合是

A．{2，3}

B．{－1，6}

C．{2}

D．{6}

例4．(2005年高考·天津卷·理14)在直角坐標系xOy中,已知點A(0,1)和點B(－3,4)，若點C在∠AOB的平分線上且||=2,則OC=。

????????????

5．(全國卷)已知向量OA?(k,12),OB?(4,5),OC?(?k,10)，且A、B、C三點共線，則k=.6．(湖北卷)已知向量a7．(廣東卷)已知向量a

?(?2,2),b?(5,k).若|a?b|不超過5，則k的取值范圍是

?(2,3),b?(x,6),且a//b,則x.3.平面向量在平面幾何中的應用

????????

????????ABAC

?),??[0,??),則1.O是平面上一定點，A,B,C是平面上不共線的三個點，動點P滿足OP?OA??(|AB||AC|

P的軌跡一定通過△ABC

A．外心的（）B．內心

C．重心

D．垂心

????

2．（遼寧卷）已知四邊形ABCD是菱形，點P在對角線AC上（不包括端點A,C），則AP等于（）

????????????????A．?(AB?AD),??(0,1)

B.?(AB?BC),??(0,????????????????C.?(AB?AD),??(0,1)

D.?(AB?BC),??(0,??????

3．已知有公共端點的向量a，b不共線，|a|＝1，|b|=2,則與向量a，b的夾角平分線平行的單位向量是.????????????????

4．已知直角坐標系內有三個定點A(?2,?1)、B(0,10)、C(8,0)，若動點P滿足：OP?OA?t(AB?AC),t?R，則點P的軌跡方程。

4.平面向量與三角函數、函數等知識的結合當平面向量給出的形式中含有未知數時，由向量平行或垂直的充要條件可以得到關于該未知數的關系式。在此基礎上，可以設計出有關函數、不等式、三角函數、數列的綜合問題。此類題的解題思路是轉化為代數運算，其轉化途徑主要有兩種：

①利用向量平行或垂直的充要條件，②利用向量數量積的公式和性質.1．(江西卷)已知向量?(2cos

xx?x?x?,tan(?)),?(2sin(?),tan(?)),令f(x)??.224242

4求函數f(x)的最大值，最小正周期，并寫出f(x)在[0，π]上的單調區間.2．(山東卷)已知向量

??

m?(cos?,sin?)

和

?n?

sin?,cos?,????,2??

?，且

???m?n?求

????

cos???的值.?28?

3．(上海卷)已知函數

f(x)?kx?b的圖象與x,y軸分別相交于點

A、B，?2?2（,分別是與x,y軸正半

軸同方向的單位向量），函數g(x)

?x2?x?6.f(x)?g(x)時，求函數

（1）求k,b的值；（2）當x滿足

g(x)?

1的最小值.f(x)

【反思】這類問題主要是以平面向量的模、數量積、夾角等公式和相互知識為紐帶，促成與不等式知識的相互遷移，有效地考查平面向量有關知識、不等式的性質、不等式的解法、不等式的應用及綜合解題能力。

5.平面向量與解析幾何的交匯與融合由于向量既能體現“形”的直觀位置特征，又具有“數”的良好運算性質，是數形結合與轉換的橋梁和紐帶。而解析幾何也具有數形結合與轉換的特征，所以在向量與解析幾何知識的交匯處設計試題，已逐漸成為高考命題的一個新的亮點。

平面幾何與解析幾何的結合通常涉及到夾角、平行、垂直、共線、軌跡等問題的處理，解決此類問題基本思路是將幾何問題坐標化、符號化、數量化，從而將推理轉化為運算；或者考慮向量運算的幾何意義，利用其幾何意義解決有關問題。主要包括以下三種題型：

1、運用向量共線的充要條件處理解幾中有關平行、共線等問題

運用向量共線的充要條件來處理解幾中有關平行、共線等問題思路清晰,易于操作,比用斜率或定比分點公式研究這類問

題要簡捷的多。

2、運用向量的數量積處理解幾中有關長度、角度、垂直等問題

運用向量的數量積，可以把有關的長度、角度、垂直等幾何關系迅速轉化為數量關系，從而“計算”出所要求的結果。

3、運用平面向量綜合知識，探求動點軌跡方程，還可再進一步探求曲線的性質。

1．(江西卷)以下同個關于圓錐曲線的命題中 ①設A、B為兩個定點，k為非零常數，|

PA|?|PB|?k，則動點P的軌跡為雙曲線；

?

(?),則動點P的軌跡為橢圓； 2

②設定圓C上一定點A作圓的動點弦AB，O為坐標原點，若③方程2x

?5x?2?0的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；

x2y2x2

??1與橢圓?y2?1有相同的焦點.④雙曲線

25935

其中真命題的序號為（寫出所有真命題的序號）

???????????

2．平面直角坐標系中，O為坐標原點，已知A(3,1),B(?1,3)，若點C滿足OC??0A??OB，其中?,??R，且?

???1，則點C的軌跡方程為()

A.C.3x?2y?11?0B.(x?1)2?(y?2)2?5 2x?y?0D.x?2y?5?0

2．已知平面上一個定點C（－1，0）和一條定直線l：x＝－4，P為該平面上一動點，作PQ⊥l，垂足為Q，????????????????

（PQ＋2PC）?（PQ－2PC）＝0.（1）求點P的軌跡方程；

????????

PC的取值范圍．（2）求PQ·

第二篇：平面向量說課稿

平面向量說課稿

我說課的內容是《平面向量的實際背景及基本概念》的教學,所用的教材是人民教育出版社出版的普通高中課程標準實驗教科書數學必修四,教學內容為第74頁至76頁.下面我從教材分析, 重點難點突破,教學方法和教學過程設計四個方面來說明我對這節課的教學設想.一 教材分析

1地位和作用

向量是近代數學中重要和基本的概念之一,有著深刻的幾何背景,是解決幾何問題的有力工具.向量概念引入后,全等和平行(平移),相似,垂直,勾股定理等就可以轉化為向量的加(減)法,數乘向量,數量積運算(運算率),從而把圖形的基本性質轉化為向量的運算體系.向量是溝通代數,幾何與三角函數的一種工具,有著極其豐富的實際背景,在數學和物理學科中具有廣泛的應用.平面向量的基本概念是在學生了解了物理學中的有關力,位移等矢量的概念的基礎上進一步對向量的深入學習.為學習向量的知識體系奠定了知識和方法基礎.2教學結構

課本在這一部分內容的教學為一課時,首先從實際例子出發,抽象出向量的概念,并重點說明了向量與數量的區別.然后介紹了向量的幾何表示,向量的長度,零向量,單位向量,平行向量,共線向量,相

等向量等基本概念.為使學生更好地掌握這些基本概念,同時深化其認知過程和探究過程.在教學中我將這樣安排教學:將本節教學中認知過程的教學內容適當集中,以突出這節課的主題;例題,習題部分主要由學生依照概念自行分析,獨立完成.3教學目標

根據本課教材的特點,新大綱對本節課的教學要求,學生身心發展的合理需要,我從三個方面確定了以下教學目標:(1)基礎知識目標:理解向量,零向量,單位向量,共線向量,平行向量,相等向量的概念,會用字母表示向量,能讀寫已知圖中的向量.會根據圖形判定向量是否平行,共線,相等.(2)能力訓練目標： 培養學生觀察、歸納、類比、聯想等發現規律的一般方法,培養學生觀察問題,分析問題,解決問題的能力。(3)情感目標：讓學生在民主、和諧的共同活動中感受學習的樂趣。

二

重點難點突破

由于本節課是本章內容的第一節課，是學生學習本章的基礎.為了本章后面知識的學習，首先必須掌握向量的概念，要抓住向量的本質:大小與方向.所以向量,相等向量的概念,向量的幾何表示是這節課的重點.本節課是為高一后半學期學生設計的,盡管此時的學生已經有了一定的學習方法和習慣,但根據以往的教學經驗,多數學生對向量的認識還比較單一,僅僅考慮其大小,忽略其方向,這對學生的理解能力要求比較高,所以我認為向量概念也是這節課的難點.而解決這一難點的關鍵是多用復雜的幾何圖形中相等的有向線段讓學生進

行辨認,加深對向量的理解.三 教學方法

本節課我采用了“啟發探究式”的教學方法,根據本課教材的特點和學生的實際情況在教學中突出以下兩點:(1)由教材的特點確立類比思維為教學的主線.從教材內容看平面向量無論從形式還是內容都與物理學中的有向線段,矢量的概念類似.因此在教學中運用類比作為思維的主線進行教學.讓學生充分體會數學知識與其他學科之間的聯系以及發生與發展的過程.(2)由學生的特點確立自主探索式的學習方法

通常學生對于概念課學起來很枯燥,不感興趣,因此要考慮學生的情感需要,找一些學生感興趣的題材來激發學生的學習興趣,另外,學生都有表現自己的欲望,希望得到老師和其他同學的認可,要多表揚,多肯定來激勵他們的學習熱情.考慮到學生思維較為活躍,對自主探索式的學習方法也有一定的認識,所以在教學中我通過創設問題情境,啟發引導學生運用科學的思維方法進行自主探究.將學生的獨立思考,自主探究,交流討論等探索活動貫穿于課堂教學的全過程,突出學生的主體作用.四 教學過程設計

Ⅰ知識引入階段---提出學習課題,明確學習目標(1)創設情境——引入概念

數學學習應該與學生的生活融合起來，從學生的生活經驗和已有的

知識背景出發，讓他們在生活中去發現數學、探究數學、認識并掌握數學。

由生活中具體的向量的實例引入:大海中船只的航線,中國象棋中”馬”,”象”的走法等.這些符合高中學生思維活躍,想象力豐富的特點,有利于激發學生的學習興趣.(2)觀察歸納——形成概念

由實例得出有向線段的概念,有向線段的三個要素:起點,方向,長度.明確知道了有向線段的起點,方向和長度,它的終點就唯一確定.再有目的的進行設計,引導學生概括總結出本課新的知識點：向量的概念及其幾何表示。(3)討論研究——深化概念

在得到概念后進行歸納,深化,之后向學生提出以下三個問題: ①向量的要素是什么? ②向量之間能否比較大小? ③向量與數量的區別是什么? 同時指出這就是本節課我們要研究和學習的主題.Ⅱ知識探索階段---探索平面向量的平行向量.相等向量等概念(1)總結反思——提高認識

方向相同或相反的非零向量叫平行向量，也即共線向量，并且規定0與任一向量平行．長度相等且方向相同的向量叫相等向量，規定零向量與零向量相等．平行向量不一定相等，但相等向量一定是平行向量，即向量平行是向量相等的必要條件.(2)即時訓練—鞏固新知

為了使學生達到對知識的深化理解，從而達到鞏固提高的效果，我特地設計了一道即時訓練題，通過學生的觀察嘗試，討論研究，教師引導來鞏固新知識。下列命題正確的是()

A．a與b共線，b與c共線，則a與c也共線

B．任意兩個相等的非零向量的始點與終點是一平行四邊形的四頂點

C．向量a與b不共線，則a與b都是非零向量

D．有相同起點的兩個非零向量不平行 III 知識應用階段---分析解決問題，歸納解題方法（1）分析解決問題

先引導學生分析解決問題.包括向量的概念,:向量相等的概念.抓住相等向量概念的實質:兩個向量只有當它們的模相等,同時方向又相同時,才能稱它們相等.進而進行正確的辨認,直至最終解決問題.（2）歸納解題方法

主要引導學生歸納以下兩個問題:①零向量的方向是任意的,它只與零向量相等;②兩個向量只要它們的模相等,方向相同就是相等向量.一個向量只要不改變它的大小和方向,是可以任意平行移動的,即向量是自由的.Ⅳ 學習,小結階段---歸納知識方法,布置課后作業

本階段通過學習小結進行課堂教學的反饋,組織和指導學生歸納知識,技能,方法的一般規律,為后續學習打好基礎.(1)知識方法小結 在知識層面上我首先引導學生回顧本節課的主要內容,提醒學生要抓住向量的本質:大小與方向,對它們進行類比,加深對每個概念的理解.在方法層面上我將帶領學生回顧探索過程中用到的思維方法和數學方法如:類比,數形結合,等價轉化等.(2)布置課后作業

整理課堂筆記,習題2.1第1,2,3題.

第三篇：平面向量概念教案

平面向量概念教案

一．課題：平面向量概念

二、教學目標

1、使學生了解向量的物理實際背景，理解平面向量的一些基本概念，能正確進行平面向量的幾何表示。

2、讓學生經歷類比方法學習向量及其幾何表示的過程，體驗對比理解向量基本概念的簡易性，從而養成科學的學習方法。

3、通過本節的學習，讓學生感受向量的概念方法源于現實世界，從而激發學生學習數學的熱情，培養學生學習數學的興趣

三．教學類型：新知課

四、教學重點、難點

1、重點：向量及其幾何表示，相等向量、平行向量的概念。

2、難點：向量的概念及對平行向量的理解。

五、教學過程

（一）、問題引入

1、在物理中，位移與距離是同一個概念嗎？為什么？

2、在物理中，我們學到位移是既有大小、又有方向的量，你還能舉出一些這樣的量嗎？

3、在物理中，像這種既有大小、又有方向的量叫做矢量。在數學中，我們把這種既有大小、又有方向的量叫做向量。而把那些只有大小，沒有方向的量叫數量。

（二）講授新課

1、向量的概念

練習1 對于下列各量：

①質量 ② 速度 ③位移 ④力 ⑤加速度 ⑥路程 ⑦密度 ⑧功 ⑨體積 ⑩溫度

其中，是向量的有：②③④⑤

2、向量的幾何表示

請表示一個豎直向下、大小為5N的力，和一個水平向左、大小為8N的力（1厘米表示1N）。思考一下物理學科中是如何表示力這一向量的？

（1）有向線段及有向線段的三要素（2）向量的模

（4）零向量，記作＿＿＿＿；（5）單位向量

練習2 邊長為6的等邊△ABC中，＝＿＿，與 相等的還有哪些？

總結向量的表示方法： 1）、用有向線段表示。

2）、用字母表示。

3、相等向量與共線向量（1）相等向量的定義（2）共線向量的定義

六．教具：黑板 七．作業 八．教學后記

第四篇：平面向量教案

平面向量教案

課

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二、復習要求

、向量的概念;

2、向量的線性運算:即向量的加減法,實數與向量的乘積,兩個向量的數量積等的定義,運算律;

3、向量運算的運用

三、學習指導、向量是數形結合的典范。向量的幾何表示法--有向線段表示法是運用幾何性質解決向量問題的基礎。在向量的運算過程中,借助于圖形性質不僅可以給抽象運算以直觀解釋,有時甚至更簡捷。

向量運算中的基本圖形:①向量加減法則:三角形或平行四邊形;②實數與向量乘積的幾何意義--共線;③定比分點基本圖形--起點相同的三個向量終點共線等。

2、向量的三種線性運算及運算的三種形式。

向量的加減法,實數與向量的乘積,兩個向量的數量積都稱為向量的線性運算,前兩者的結果是向量,兩個向量數量積的結果是數量。每一種運算都可以有三種表現形式:圖形、符號、坐標語言。

主要內容列表如下:

運算圖形語言符號語言坐標語言

加法與減法

=

-=

記=,=

則=

-==

實數與向量

的乘積

=λ

λ∈R記=

則λ=兩個向量

的數量積

·=||||

cos<,>

記=,=

則·=x1x2y1y2

3、運算律

加法:=,=

實數與向量的乘積:λ=λλ;=λμ,λ=

兩個向量的數量積:·=·;·=·=λ,·=··

說明:根據向量運算律可知,兩個向量之間的線性運算滿足實數多項式乘積的運算法則,正確遷移實數的運算性質可以簡化向量的運算,例如2=

4、重要定理、公式

平面向量基本定理;如果是同一平面內的兩個不共線向量,那么對于該平面內任一向量,有且只有一對數數λ1,λ2,滿足=λ1λ2,稱λ1λλ2為,的線性組合。

根據平面向量基本定理,任一向量與有序數對一一對應,稱為在基底{,}下的坐標,當取{,}為單位正交基底{,}時定義為向量的平面直角坐標。

向量坐標與點坐標的關系:當向量起點在原點時,定義向量坐標為終點坐標,即若A,則=;當向量起點不在原點時,向量坐標為終點坐標減去起點坐標,即若A,B,則=

兩個向量平行的充要條件

符號語言:若∥,≠,則=λ

坐標語言為:設=,=,則∥=λ,即,或x1y2-x2y1=0

在這里,實數λ是唯一存在的,當與同向時,λ>0;當與異向時,λ<0。

|λ|=,λ的大小由及的大小確定。因此,當,確定時,λ的符號與大小就確定了。這就是實數乘向量中λ的幾何意義。

兩個向量垂直的充要條件

符號語言:⊥·=0

坐標語言:設=,=,則⊥x1x2y1y2=0

線段定比分點公式

如圖,設

則定比分點向量式:

定比分點坐標式:設P,P1,P2

則

特例:當λ=1時,就得到中點公式: ，實際上,對于起點相同,終點共線三個向量，,總有=uv,uv=1,即總可以用其中兩個向量的線性組合表示第三個向量,且系數和為1。

平移公式:

①點平移公式,如果點P按=平移至P',則

分別稱,為舊、新坐標,為平移法則

在點P新、舊坐標及平移法則三組坐標中,已知兩組坐標,一定可以求第三組坐標

②圖形平移:設曲線c:y=f按=平移,則平移后曲線c'對應的解析式為y-k=f

當h,k中有一個為零時,就是前面已經研究過的左右及上下移

利用平移變換可以化簡函數解析式,從而便于研究曲線的幾何性質

正弦定理,余弦定理

正弦定理:

余弦定理:a2=b2c2-2cbcosA

b2=c2a2-2cacosB

c2=a2b2-2abcosc

定理變形:cosA=,cosB=,cosc=

正弦定理及余弦定理是解決三角形的重要而又基本的工具。通過閱讀課本,理解用向量法推導正、余弦定理的重要思想方法。

5、向量既是重要的數學概念,也是有力的解題工具。利用向量可以證明線線垂直,線線平行,求夾角等,特別是直角坐標系的引入,體現了向量解決問題的“程序性”特點。

四、典型例題

例

1、如圖，為單位向量,與夾角為1200,與的夾角為450,||=5,用,表示。

分析:

以,為鄰邊,為對角線構造平行四邊形

把向量在,方向上進行分解,如圖,設=λ,=μ,λ>0,μ>0

則=λμ

∵||=||=1

∴λ=||,μ=||

△oEc中,∠E=600,∠ocE=750,由得:

∴

∴

說明:用若干個向量的線性組合表示一個向量,是向量中的基本而又重要的問題,通常通過構造平行四邊形來處理

例

2、已知△ABc中,A,B,c,Bc邊上的高為AD,求點D和向量坐標。

分析:

用解方程組思想

設D,則=

∵=,·=0

∴-6-3=0,即2xy-3=0①

∵=,∥

∴-6=-3,即x-2y1=0②

由①②得:

∴D,=

例

3、求與向量=,-1)和=夾角相等,且模為的向量的坐標。

分析:

用解方程組思想

法一:設=,則·=x-y,·=xy

∵<,>=<,>

∴&nb ∴

即①

又||=

∴x2y2=2②

由①②得或

∴=

法二:從分析形的特征著手

∵||=||=2

·=0

∴△AoB為等腰直角三角形,如圖

∵||=,∠Aoc=∠Boc

∴c為AB中點

∴c

說明:數形結合是學好向量的重要思想方法,分析圖中的幾何性質可以簡化計算。

例

4、在△oAB的邊oA、oB上分別取點m、N,使||∶||=1∶3,||∶||=1∶4,設線段AN與Bm交于點P,記=,=,用,表示向量。

分析:

∵B、P、m共線

∴記=s

∴①

同理,記

∴=②

∵,不共線

∴由①②得解之得:

∴

說明:從點共線轉化為向量共線,進而引入參數是常用技巧之一。平面向量基本定理是向量重要定理之一,利用該定理唯一性的性質得到關于s,t的方程。

例

5、已知長方形ABcD,AB=3,Bc=2,E為Bc中點,P為AB上一點

利用向量知識判定點P在什么位置時,∠PED=450;

若∠PED=450,求證:P、D、c、E四點共圓。

分析:

利用坐標系可以確定點P位置

如圖,建立平面直角坐標系

則c,D,E

設P

∴=,=

∴

·=3y-1

代入cos450=

解之得,或y=2

∴點P為靠近點A的AB三等分處

當∠PED=450時,由知P

∴=,=

∴·=0

∴∠DPE=900

又∠DcE=900

∴D、P、E、c四點共圓

說明:利用向量處理幾何問題一步要驟為:①建立平面直角坐標系;②設點的坐標;③求出有關向量的坐標;④利用向量的運算計算結果;⑤得到結論。

同步練習

選擇題、平面內三點A,B,c,若∥,則x的值為:

A、-5B、-1c、1D、5

2、平面上A,B,D,c點滿足,連Dc并延長至E,使||=||,則點E坐標為:

A、B、c、D、或

2、點沿向量平移到,則點沿平移到:

3、A、B、c、D、4、△ABc中,2cosB·sinc=sinA,則此三角形是:

A、直角三角形B、等腰三角形c、等邊三角形D、以上均有可能

5、設，是任意的非零平面向量,且相互不共線,則:

①-=0

②||-||<|-|

③-不與垂直

④·=9||2-4|2中，真命題是:

A、①②B、②③c、③④D、②④

6、△ABc中,若a4b4c4=2c2,則∠c度數是:

A、600B、450或1350c、1200D、300

7、△oAB中,=,=,=,若=,t∈R,則點P在

A、∠AoB平分線所在直線上B、線段AB中垂線上

c、AB邊所在直線上D、AB邊的中線上

8、正方形PQRS對角線交點為m,坐標原點o不在正方形內部,且=,=,則=

A、B、c、D、填空題

9、已知{,|是平面上一個基底,若=λ,=-2λ-,若,共線,則λ=__________。

0、已知||=,||=1,·=-9,則與的夾角是________。

1、設,是兩個單位向量,它們夾角為600，則·=____________。

2、把函數y=cosx圖象沿平移,得到函數___________的圖象。

解答題

3、設=,=,⊥,∥,試求滿足=的的坐

14、若=,-=,求、及與夾角θ的余弦值。

5、已知||=,||=3,和夾角為450,求當向量λ與λ夾角為銳角時,λ的取值范圍。

參考答案

1、c2、B3、D4、B5、D6、B7、A8、9、10、11、12、y=sinx1 13、4、=,=，5、λ<,或λ>且λ≠ 課

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A

第五篇：平面向量的應用

平面向量的應用

平面向量是一個解決數學問題的很好工具，它具有良好的運算和清晰的幾何意義。在數學的各個分支和相關學科中有著廣泛的應用。下面舉例說明。

一、用向量證明平面幾何定理

例1.用向量法證明：直徑所對的圓周角是直角。

已知：如圖1，AB是⊙O的直徑，點P是⊙O上任一點（不與A、B重合），求證：∠APB＝90°。

??????證明：聯結OP，設向量OA?a，OP?b，則OB??a且PA?OA?OP?a?b，???PB?OB?OP?a?b ???PA?PB?b2?a2?|b|2?|a|2?0

???PA?PB，即∠APB＝90°。

二、用向量求三角函數值

例2.求值：cos圖

1?解：如圖2，將邊長為1的正七邊形ABCDEFO放進直角坐標系中，則OA?(1，0)，?

??2?2?4?4?6?6?AB?(cos，sin)，BC?(cos，sin)，CD?(cos，sin)，777777 ???8?8?10?10?12?12?DE?(cos，sin)，EF?(cos，sin)，FO?(cos，sin)7777772?4?6??cos?cos 777

???????又OA?AB?BC?CD?DE?EF?FO?0

圖

2?1?cos2?4?6?8?10?12??cos?cos?cos?cos?cos?0 777777

8?6?10?4?12?2??cos，cos?cos，cos?cos又cos 777777

2?4?6??1?2(cos?cos?cos)?0777 2?4?6?1?cos?cos?cos??7772

三、用向量證明不等式

222例3.證明不等式(a1b1?a2b2)2?(a1?a2)(b?b212)

證明：設向量a?(a1，a2)，b?(b1，b2)，則|a|?

與b的夾角為θ，cos??

又|cos?|?

1222則(a1b1?a2b2)2?(a1?a

22)(b1?b2)22a1?a2|b|?b1?b22，2，設aa?b?|a||b|a1b1?a2b2a?a2122b?b2122

當且僅當a、b共線時取等號。

四、用向量解物理題 ?????例4.如圖3所示，正六邊形PABCDE的邊長為b，有五個力PA、PB、PC、PD、PE作用于同一點P，求五個力的合力。

?????解：所求五個力的合力為PA?PB?PC?PD?PE，如圖3所示，以PA、PE為邊作平?????行四邊形PAOE，則PO?PA?PE，由正六邊形的性質可知|PO|?|PA|?b，且O點在???PC上，以PB、PD為邊作平行四邊形PBFD，則PF?PB?PD，由正六邊形的性質可知?|PF|?3b，且F點在PC的延長線上。

?由正六邊形的性質還可求得|PC|?2b

?故由向量的加法可知所求五個力的合力的大小為b?2b?3b?6b，方向與PC的方向

相同。

圖3