第一篇：5-平面向量與復數綜合練習

5—平面向量與復數綜合練習

11111．i為虛數單位，＋＋＝()iiiiA．0B．2iC．－2iD．4i

2．設i，j是不共線的單位向量，a＝5i＋3j，b＝3i－5j，則a⊥b是i⊥j的()

A．充分不必要條件B．必要不充分條件

C．充要條件D．既非充分又非必要條件

3．若復數z＝1＋i，i為虛數單位，則(1＋z)·z＝()

A．1＋3iB．3＋3iC．3－iD．

3→→→→→4．若四邊形ABCD滿足AB＋CD＝0，(AB－AD)·AC＝0，則該四邊形一定是()

A．直角梯形B．菱形C．矩形D．正方形

5．平面向量a與b的夾角為60°，a＝(2,0)，|b|＝1，則|a＋2b|＝()

A.3B．23C．4D．1

22＋i6．數的共軛復數是()1－2i

33AB.C．－iD．i 5

57．已知向量a、b不共線，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b.如果c∥d，那么()

A．k＝1且c與d同向B．k＝1且c與d反向

C．k＝－1且c與d同向D．k＝－1且c與d反向

8．a，b為平面向量，已知a＝(4,3)，2a＋b＝(3,18)，則a，b夾角的余弦值等于()

881616A.B．－C.D．－ 6565656

5→→→→9．已知兩點M(－2,0)，N(2,0)，點P為坐標平面內的動點，滿足|MN|·|MP|＋MN·NP＝0，則動點P(x，y)的軌跡方程為()

A．y2＝8xB．y2＝－8x

C．y2＝4xD．y2＝－4x ????????????1????????10.在△ABC中，AB=a，AC=b，且BD=DC，則AD=()

241211412A．a-bB．a+bC． a-bD．a+b 3333333

311．若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)滿足條件(8a－b)·c＝30，則x＝________.12．設復數z滿足(1＋i)z＝2，其中i是虛數單位，則z＝________.13．|a|＝1，|b|＝2，且a⊥(a－b)，則向量a與向量b的夾角是________．

1→1→3→→→14．在四邊形ABCD中，AB＝DC＝(1,1)BA＋BC＝BD，則四邊形ABCD的面積為________． →→→|BA||BC||BD|

15．已知A(3,0)，B(0,3)，C(cos α，sin α)．

π→→→→→→(1)若AC·BC＝－1，求sin(α的值；(2)若|OA＋OC|＝13，且α∈(0，π)，求OB與OC的夾角．

4→→→→16．已知向量OP＝(2cos x＋1，cos 2x－sin x＋1)，OQ＝(cos x，－1)，定義f(x)＝OP·OQ.(1)求函數f(x)的最小正周期；

→→(2)若x∈(0,2π)，當OP·OQ＜－1時，求x的取值范圍．

32→→17．設O為坐標原點，已知向量OZ1，OZ2分別對應復數z1，z2，且z1＝＋(10－a2)i，z2＝(2a－a＋51－a

→→5)i(其中a∈R)，若z1＋z2可以與任意實數比較大小，求OZ1·OZ2的值．

18．已知△ABC的角A、B、C所對的邊分別是a、b、c，設向量m＝(a，b)，n＝(sin B，sin A)，p＝(b－2，a－2)．

(1)若m∥n，求證：△ABC為等腰三角形；

π(2)若m⊥p，邊長c＝2，角C＝，求△ABC的面積． 3

→→→→→→19．已知兩點M(－1,0)，N(1,0)，且點P使NM·NP，PM·PN，MP·MN成公差為非負的等差數列．

→→(1)求點P的軌跡方程；(2)若θ為PM與PN的夾角，求θ的最大值及此時點P的坐標．

答案及解析

1．【解析】 原式＝－i＋i＋(－i)＋i＝0.【答案】 A

2．【解析】 a·b＝(5i＋3j)·(3i－5j)

22＝15|i|－16i·j－15|j|＝－16i·j.∴a⊥b是i⊥j的充要條件．

【答案】 C

3．【解析】 ∵z＝1＋i，∴(1＋z)·z＝(2＋i)(1＋i)＝1＋3i.【答案】 A

→→→→4．【解析】 由AB＋CD＝0知，AB＝DC，∴四邊形ABCD是平行四邊形．

→→→又(AB－AD)·AC＝0，→→∴DB·AC＝0，即AC⊥BD，因此四邊形ABCD是菱形．

【答案】 B

5．【解析】 ∵|a|＝2，且|b|＝1，∴|a＋2b|2＝(a＋2b)2＝a2＋4a·b＋4b2

＝4＋4×2×1×cos 60°＋4×12＝12.∴|a＋2b|＝23.【答案】 B

2＋i2＋i1＋2i2＋i＋4i－26．【解析】 ∵＝＝＝i，51－2i1－2i1＋2i2＋i∴i.1－2i

【答案】 C

7．【解析】 ∵c∥d且a，b不共線，∴存在唯一實數λ，使c＝λd.∴ka＋b＝λa－λb，???k＝λ，?k＝－1，?∴∴? ?1＝－λ，?λ＝－1.??

【答案】 D

8．【解析】 ∵a＝(4,3)，2a＋b＝(3,18)，∴b＝(3,18)－2(4,3)＝(－5,12)，5，12?16a·b4，3?·－∴cos〈a，b〉＝＝|a|·|b|5×1365

【答案】 C

→→→9．【解析】 ∵MN＝(4,0)，MP＝(x＋2，y)，NP＝(x－2，y)，→→→→∴|MN|·|MP|＋MN·NP

＝x＋2?＋y＋4(x－2)＝0.x＋2?＋y＝2－x，化簡得y2＝－8x.【答案】 B

10.B

11．【解析】 由(8a－b)·c＝30，得18＋3x＝30，x＝4.【答案】 4

2?1－i?212．【解析】 z＝＝1－i.1＋i1＋i?1－i?

【答案】 1－i

13．【解析】 設向量a與b的夾角為θ，由a⊥(a－b)，得

a·(a－b)＝0，即|a|2－a·b＝0，∴|a||b|cos θ＝|a|2，|a|

2π∴cos θ＝，故θ＝.|b|24

π【答案】 4

14.3

→→15．【解】(1)∵AC＝(cos α－3，sin α)，BC＝(cos α，sin α－3)，→→∴AC·BC＝(cos α－3)cos α＋sin α(sin α－3)＝－1，得cos2α＋sin2α－3(cos α＋sin α)＝－1，2∴cos α＋sin α 3

π2∴sin(α＋)＝.43

→→(2)∵|OA＋OC|＝13，1∴(3＋cos α)2＋sin2α＝13，∴cos α 2

π313∵α∈(0，π)，∴α＝，sin α＝C()，3222

→→33∴OB·OC＝，2

→→設OB與OC的夾角為θ，且θ∈[0，π]，3→→2OB·OC3π則cos θ＝.故θ＝為所求． →→326|OB|·|OC|

→→16．【解】(1)f(x)＝OP·OQ

＝2cos2x＋cos x－cos 2x＋sin x－1＝sin x＋cos x

π＝2sin(x＋)，4

則f(x)的最小正周期為T＝2π.π2→→(2)由OP·OQ＜－1，得sin(x＋＜－42

又x∈(0,2π)，5ππ7π3π則x＋π＜x＜.4442

3π故x的取值范圍是(π，． 2317．【解】 依題意z1＋z2為實數，由z1－(10－a2)i，a＋5

32∴z1＋z2＝[(a2－10)＋(2a－5)]i的虛部為0，a＋51－a

∴a2＋2a－15＝0，解得a＝－5，或a＝3.又分母不為零，∴a＝3，3此時z1＝i，z2＝－1＋i，8

3→→即OZ1＝，1)，OZ2＝(－1,1)，8

5→→3∴OZ1·OZ2＝×(－1)＋1×1＝.88

18．【解】(1)證明 ∵m∥n，∴asin A＝bsin B，由正弦定理，得a2＝b2，∴a＝b.∴△ABC為等腰三角形．

(2)由題意可知m·p＝0，即a(b－2)＋b(a－2)＝0.∴a＋b＝ab.由余弦定理可知，4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，即(ab)2－3ab－4＝0，∴ab＝4(舍去ab＝－1)，11π∴S＝absin C＝×4×sin3.22319．【解】(1)設點P的坐標為(x，y)，又M(－1,0)，N(1,0)，→→→→→→則PM＝－MP＝(－1－x，－y)，PN＝－NP＝(1－x，－y)，MN＝－NM＝(2,0)． →→∴NM·NP＝2(1－x)，→→→→PM·PN＝x2＋y2－1，MP·MN＝2(1＋x)，依題意得

22?2?x2＋y2－1?＝2?1＋x＋2?1－x，?x＋y＝3，????? ??x≥0.2?1＋x－2?1－x≥0??

∴點P的軌跡方程為x2＋y2＝3(x≥0)．

→→(2)(2)∵PM·PN＝(－1－x，－y)·(1－x，－y)

＝x2＋y2－1＝2，→→|PM|·|PN|＝?－1－x?＋?－y??1－x?＋?－y?

＝4－x.→→PM·PN1∴cos θ＝＝.→→4－x|PM|·|PN|

∵0≤x≤3，1π∴≤cos θ≤1，∴0≤θ23

π∴θ的最大值為x＝0，3

∴點P的坐標為(0，3)．

第二篇：三角函數與平面向量綜合練習范文

三角函數與平面向量綜合練習

1等邊?ABC的邊長為1,設AB?a,BC?b,AC?C,則a?b?b?c?c?a?（）

3131B．C．?D．? 222

2???2.若?是第三象限角，且?sin??cos?sin，則是（）222A．

A．第二、四象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角

3.已知P是?ABC所在平面內的一點，若???,??R。則點P一定在（）A．?ABC內部B．AC邊所在直線上

C．AB邊所在直線上D．BC邊所在直線上

4.已知?ABC中,點D在BC邊上,且?2,?r?s,則r?s的值()

24B．C．?3D．0 3

3??????5.已知平面向量a?(1,2)，b?(?2,m)，且a//b，則2a?3b＝（）A．

A、(?5,?10)B、(?4,?8)C、(?3,?6)D、(?2,?4)

6.已知向量a?(1,2)，b?(2,?3)．若向量c滿足(c?a)//b，c?(a?b)，則c?（）A．(,B．(?77

93777777,?C．(,)D．(?,?393993

7.函數y??4sin(2x??

3的單調減區間是_____________

8.在?AOB中，?(2cos?,2sin?),?(5cos?,5sin?)，若???5，則?AOB的面積為__________

?????????9.若|a|?1,|b|?2,c?a?b，且c?a，則向量a與b的夾角為．

??????010.若a?1,b?2，與的夾角為60，若(3a?5b)?(ma?b)，則m的值為．

11.已知O，A，M，B為平面上四點，則???(1??)，??(1,2)，則（）

A．點M在線段AB上B．點B在線段AM上

C．點A在線段BM上D．O，A，M，B四點共線

12.如圖，在?ABC中，?BAC?120?,AB?2,AC?1,D是邊BC上一點，DC?2BD,則A ?__________.B C

13.過?ABC的重心G任作一直線分別交AB,AC于點D,E，若?m,?n(mn?0)，求證：

14.記向量n(?)?(cos?,sin?)

（1）求兩向量的數量積()?(0)11??3． mn?

（2）令函數f(x)?(2x)?(0)?4(x)?()(x?R)，求函數f(x)的最小值及相應的x ?

15.已知函數f(x)?x??)?cos(?x??)（0???π，??0）為偶函數，且函數y?f(x)圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為

?π?（2）將函數yf??的值；

?8?π．（利用公式：sin(???)?sin?cos??cos?sin?）（1）求2π?f(x)的圖象向右平移個單位后，得到函數y?g(x)的圖象，求g(x)6的單調遞減區間．

16.利用向量證明：在△ABC中，a，b，c為A，B，C的對邊，則有

a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝c2＋a2－2cacosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.

第三篇：復數+平面向量+三角函數(解析版)

【高中文科數學專題復習之___】

復數+平面向量+三角函數

一、要點梳理

1、復數的有關概念

（1）復數的概念

形如a+bi(a,b∈R)的數叫做復數，其中a,b分別是它的實部和虛部。若b=0,則a+bi為實數，若b≠0,則a+bi為虛數，若a=0且b≠0，則a+bi為純虛數。

（2）復數相等：a+bi=c+di?a=c且b=d(a,b,c,d∈R).（3）共軛復數：a+bi與c+di共軛?a=c，b=-d(a,b,c,d∈R).。

（4）復平面

建立直角坐標系來表示復數的平面，叫做復平面。x軸叫做實軸，y軸叫做虛軸。實軸上的點表示實數；除原點外，虛軸上的點都表示純虛數；各象限內的點都表示非純虛數。

（5）復數的模

向量OZ的模r叫做復數z=a+bi的模，記為|z|或|a+bi|，即

2、復數的幾何意義 ?復平面內的點Z（a,b）(a,b∈R);（1）復數z=a+bi????

?平面向量OZ（a,b∈R）（2）復數z=a+bi????。

3、復數的運算

（1）復數的加、減、乘、除運算法則

設z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),則

①加法：z1+ z2=（a+bi）+（c+di）=(a+c)+(b+d)i;

②減法：z1-z2=（a+bi）-（c+di）=(a-c)+(b-d)i;

③乘法：z1· z2=(a+bi)·(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i;④除法：一一對應一一對應z1a?bi(a?bi)(c?di)(ac?bd)?(bc?ad)i???(c?di?0)z2c?di(c?di)(c?di)c2?d

2(2)復數加法的運算定律

復數的加法滿足交換律、結合律，即對任何z1、z2、z3∈C，有z1+z2=z2+z1，（z1+z2）+z3=z1+（z2+z3）。

注：任意兩個復數不一定能比較大小，只有這兩個復數全是實數時才能比較大小。

4.向量的坐標運算

（1）A(x1,y1)，B(x2,y2),則AB?(x2?x1,y2?y1)

（2）設i,j為x,y軸正向單位向量，若AB?xi?yj，則記AB?(x,y)

x?xy?yx?xy?y（3）若a?(x1,y1)，b?(x2,y2)則a?b?(1a?b?(1 2,12)2,12)

?a?(?x1,?y1)a?b?x1x2?y1y

2a?a//b?

二、習題精練

x1y

1??x1y2?x2y1a?b?x1x2?y1y2?0 x2y．（2013年新課標Ⅱ卷）設復數z滿足(1?i)z?2i,則z?

A．?1?i

B．?1?i

C．1?i

D．1?i

（A）．（2013年山東）若復數z滿足(z?3)(2?i)?5(i為虛數單位),則z的共軛復數為（D）

A．2?i

B．2?i

C．5?i

D．5?i

（C）．（2013年廣東）若復數z滿足iz?2?4i,則在復平面內,z對應的點的坐標是

A.?2,4? B．?2,?4? C．?4,?2? D．?4,2?

（B）．（2013年遼寧）復數的Z?

模為 i?1

CD．2

A．2

B

5．（2013年高考四川）如圖,在復平面內,點A表示復數z,則圖中表示z的共軛復數的點是（B）

A．A B．B C．C D．D 6 ．（2013年新課標1）若復數z滿足(3?4i)z?|4?3i|,則z的虛部為

A．?

4B．?

（D）

C．4 D．

5（B）

7．（2013年浙江）已知i是虛數單位,則(?1?i)(2?i)?

A．?3?i

B．?1?3i

C．?3?3i

D．?1?i

??8.把函數y＝sin2x的圖象按向量→a＝(－，－3)平移后，得到函數y＝Asin(ωx＋?)(A＞0，ω＞0，|?|＝62的圖象，則?和B的值依次為

?

A．

312

?

C．3

（B）?D．－3

?B．，3

9.已知A、B、C為三個銳角，且A＋B＋C＝π.若向量→p＝(2－2sinA，cosA＋sinA)與向量→q＝(cosA－sinA，1＋sinA)是共線向量.（Ⅰ）求角A；

C－3B（Ⅱ）求函數y＝2sin2B＋cos的最大值.3→【解】（Ⅰ）∵p、→q共線，∴(2－2sinA)(1＋sinA)＝(cosA＋sinA)(cosA－sinA)，則sin2A＝，4又A為銳角，所以sinA＝

3?A＝2

3?

(π－B)－3B

3C－3B

（Ⅱ）y＝2sin2B＋cos＝2sin2B＋cos

213?

＝2sin2B＋cos(2B)＝1－cos2B＋sin2B

322

31?

＝＋1＝sin(2B－)＋1.226

???5????

∵B∈(0，)，∴2B－∈(－)，∴2B－＝B＝ymax＝2.2666623

3?→10.已知向量→a＝(3sinα,cosα)，→b＝(2sinα，5sinα－4cosα)，α∈(，2π)，且→a⊥b． 2（Ⅰ）求tanα的值；

α?（Ⅱ）求cos(＋的值．

23→→→→解：（Ⅰ）∵a⊥b，∴a·b＝0．而→a＝（3sinα，cosα），→b＝(2sinα, 5sinα－4cosα)，→故→a·b＝6sin2α＋5sinαcosα－4cos2α＝0．

41由于cosα≠0，∴6tan2α＋5tanα－4＝0．解之，得tanα＝－，或tanα

3?14

∵α∈，2π），tanα＜0，故tanα＝（舍去）．∴tanα＝－．

223

3?α3?

（Ⅱ）∵α∈（2π）∈（π）．

2244α1αα5α2

5由tanα，求得tan，tan＝2（舍去）．∴sincos，32222525

α?α?α?25153

∴cos(＝cossinsin＝－

232323525210

→11.設函數f(x)＝→a·b.其中向量→a＝(m，cosx)，→b＝(1＋sinx，1)，x∈R，且f()＝2.2（Ⅰ）求實數m的值；（Ⅱ）求函數f(x)的最小值.→解：（Ⅰ）f(x)＝→a·b＝m(1＋sinx)＋cosx，由f(＝2，得m(1＋sin＋cos＝2，解得m＝1.222?(Ⅱ)由（Ⅰ）得f(x)＝sinx＋cosx＋12sin(x＋)＋1，4?

當sin(x＋)＝－1時，f(x)的最小值為12.AA→A

12.已知角A、B、C為△ABC的三個內角，其對邊分別為a、b、c，若→m＝(－，sin)，n＝，222A1→sin，a＝23，且→m·n＝．

（Ⅰ）若△ABC的面積S＝3，求b＋c的值．（Ⅱ）求b＋c的取值范圍．

AAAA1→→【解】（Ⅰ）∵m＝(－，sin)，→n＝(cos，sin，且→m·n＝ 22222

AA11

∴－cos2＋sin2，即－cosA＝

2222

2?

又A∈(0，π)，∴A＝3

又由S△ABC＝bcsinA＝3，所以bc＝4，2?

由余弦定理得：a2＝b2＋c2－2bc·cosb2＋c2＋bc，∴16＝(b＋c)2，故b＋c＝4.bca2?

（Ⅱ）由正弦定理得：＝4，又B＋C＝?－A＝

sinBsinCsinA32?

sin3

??

∴b＋c＝4sinB＋4sinC＝4sinB＋4sin(B)＝4sin(B)，333???2??

∵0＜B＜，則＜B＋＜sin(B，即b＋c的取值范圍是?，4?.333323

第四篇：平面向量基本定理及相關練習(含答案)

平面向量2 預習：

1.兩個非零向量夾角的概念：已知非零向量a和b，作OA?a,OB?b，則?AOB??(0????)叫做向量a和b的夾角。

（1）??0時，a和b同向；（2）???時，a和b反向；（3）??時，a?b； 2（4）注意兩向量的夾角定義，兩向量必須是同起點的，范圍是0????。2.兩向量共線的判定

設a?(x1,y1),b?(x2,y2)，其中b?0。3.我們都學過向量有關的哪些運算？ 4.力做的功：

W?|F|?|s|cos?,?是F與s的夾角。講授新課：

1.平面向量的數量積（內積）的定義：

已知兩個非零向量a和b，他們的夾角為?，我們把數量|a|?|b|cos?叫做a與b 的數量積（內積）。

記為：a?b，即a?b?|a||b|cos?

規定：零向量與任一向量的數量積為0，即a?0?0。2.投影的概念：

|b|co?s叫做b在a方向上的投影，投影也是一個數量，不是向量。3.向量數量積（內積）的幾何意義：

數量積a?b等于a的長度|a|與|b|在a方向上的投影|b|cos?的乘積。4.兩個向量數量積的性質：

設a、b為兩個非零向量（1）a?b??a?b=0（2）當a和b同向時，a?b=|a||b|

當a和b反向時，a?b=-|a||b| ? 1

特別地，a?a?|a|2或|a|?a?a（3）|a?b|?|a||b|（4）cos??a?b|a||b|（5）平面向量數量積的運算律：

已知向量a、b、c和實數?，則

①a?b=b?a（交換律）

②(?a)?b??(a?b)?a?(?b)(數乘結合律)

③(a?b)?c?a?c?b?c(分配律)5.平面兩向量數量積的坐標表示：

已知兩個非零向量a?(x1,y1)，b?(x2,y2)

兩個向量數量積等于他們對應坐標的乘積的和，即a?b?x1y1?x2y2。6.平面內兩點間的距離公式：

（1）設a?(x,y),則|a|2?x2?y2或|a|?x2?y2；

（2）如果表示向量a的有向線段的起點和終邊的坐標分別為(x1,y1)、(x2,y2)，|a|?(x21?x2)2?(y1?y2)（平面間兩點的距離公式）。

7.向量垂直的判定：

設a?(x1,y1)，b?(x2,y2)則a?b??x1x2?y1y2?0 8.兩向量夾角的余弦：（0????）

cos??a?b1x2?y1y2|a||b|=xx2?y222

11x2?y2例1.已知A(1,2),B(2,3),C(?2,5),試判斷?ABC的形狀，并給出證明。

那么：

例2.在?ABC中，AB?(2,3),AC?(1,k)，且?ABC的一個內角為直角，求k的值。

例3.已知a?(1,3),b?(3?1,3?1)，則a與b的夾角是多少？求與a垂直的單位向量的坐標是多少？

1例4.已知A(3,2),B(?1,?1),若點P(x,?)在線段AB的中垂線上，則x?

2例

5、已知a?(2,?1),b?(m,m?1),若a與b的夾角為銳角，求實數m的取值范圍。

同步練習：

?3??3???

1、已知a?3,b?4,向量a?b與a?b的位置關系為（）

44?A．平行 B．垂直 C．夾角為 D．不平行也不垂直

32、在?ABC中，AB?(1,1),AC?(2,k)，若?ABC為直角三角形，求實數k的值。

???????????

3、已知a?1,b?2,(1)若a∥b,求a?b；(2)若a與b的夾角為60°，求a?b；(3)若a?b與a垂 3

??直，求a與b的夾角．

4、已知a?1,b?2,(a?b)?a，則a與b的夾角是

3b)?(4a?33b),(2a?3b)?(a?

5、已知(a?

??3b),a?0,b?0，求a與b的夾角。

????????????

6、已知四邊形ABCD中AB=(6,1), BC=(x,y)，CD=(-2,-3), ????????(1)若BC∥DA,試探究 x與y間的關系式；

????????(2)滿足(1)問的同時又有AC⊥BD,試求x,y的值及四邊形ABCD的面積.答案： 1.B 2.（-2或0）3.4.45度

5.(arccos66)6.（1）x?2y?0（2）16

第五篇：平面向量復習題

平面 向 量

向量思想方法和平面向量問題是新考試大綱考查的重要部分，是新高考的熱點問題。題型多為選擇或填空題，數量為1-2題，均屬容易題，但是向量作為中學數學中的一個重要工具在三角、函數、導數、解幾、立幾等問題解決中處處閃光。最近幾年的考試中向量均出現在解析幾何題中，在解析幾何的框架中考查向量的概念和方法、考查向量的運算性質、考查向量幾何意義的應用，并直接與距離問題、角度問題、軌跡問題等相聯系。近年考綱又新增“平面向量在幾何中的應用”試題進一步要求我們具備多角度、多方向地分析，去探索、去發現、去研究、去創新，而不是去做大量的模仿式的解題。一個問題解決后，不能匆匆而過，回顧與反思是非常有必要的，以充分發揮每一道題目的價值。除了要重視一題多解外，更要重視一題多變，主動探索：條件和結論換一種說法如何？變換一個條件如何？反過來又會怎么樣？等等。只有這樣才能做到舉一反三，以不變應萬變。

一、高考考綱要求

1．理解向量的概念，掌握向量的幾何表示，了解共線向量的概念．

2．掌握向量的加法與減法．

3．掌握實數與向量的積，理解兩個向量共線的充要條件．

4．了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐標的概念，掌握平面向量的坐標運算．

5．掌握平面向量的數量積及其幾何意義，了解用平面向量的數量積可以處理有關長度、角度和垂直的問題，掌握向量垂直的條件．

6．掌握平面兩點間的距離公式，掌握線段的定比分點和中點公式，并且能熟練運用；掌握平移公式．

二、高考熱點分析

在高考試題中，對平面向量的考查主要有三個方面：

其一是主要考查平面向量的概念、性質和運算法則，理解和運用其直觀的幾何意義，并能正確地進行計算。其二考查向量坐標表示，向量的線性運算。

其三是和其他知識結合在一起，在知識的交匯點設計試題，考查向量與學科知識間綜合運用能力。

數學高考命題注重知識的整體性和綜合性，重視知識的交互滲透，在知識網絡的交匯點設計試題．由于向量具有代數和幾何的雙重身份，使它成為中學數學知識的一個交匯點，成為聯系多項知識的媒介．因此，平面向量與其他知識的結合特別是與解析幾何的交匯、融合仍將是高考命題的一大趨勢，同時它仍將是近幾年高考的熱點內容．

附Ⅰ、平面向量知識結構表

1.考查平面向量的基本概念和運算律

1此類題經常出現在選擇題與填空題中，主要考查平面向量的有關概念與性質，要求考生深刻理解平面向量的相關概念，能熟練進行向量的各種運算，熟悉常用公式及結論，理解并掌握兩向量共線、垂直的充要條件。1．(北京卷)| a |=1，| b |=2，c = a + b，且c⊥a，則向量a與b的夾角為

A．30°

B．60°

C．120°

D．150°

（）

2．(江西卷)已知向量

A．30°

?(1,2),(?2,?4),||?

B．60°,若(?)??

C．120°,則與的夾角為

2（）

D．150°

3．(重慶卷)已知A（3，1），B（6，1），C（4，3），D為線段BC的中點，則

A．

與的夾角為（）

444

4B．arccos C．arccos(?)D．－arccos(?)

2555

5???????

4．(浙江卷)已知向量a≠e，|e|＝1，對任意t∈R，恒有|a－te|≥|a－e|，則

?arccos

?

（）

??A．a⊥e ???B．a⊥(a－e)

?

???C．e⊥(a－e)????D．(a＋e)⊥(a－e)

????????．(上海卷)在△ABC中，若?C?90，AC?BC?4，則BA?BC? 2.考查向量的坐標運算

1．(湖北卷)已知向量a=（－2，2），b=（5，k）.若|a+b|不超過5，則k的取值范圍是

A．[－4，6]

2．(重慶卷)設向量a=（－1，2），b=（2，－1），則（a·b）（a+b）等于

A．（1，1）

B．（－4，－4）

C．－4

D．（－2，－2）

()

（）

B．[－6，4]

C．[－6，2]

D．[－2，6]

（）

????

3．(浙江卷)已知向量a＝(x－5，3)，b＝(2，x)，且a⊥b，則由x的值構成的集合是

A．{2，3}

B．{－1，6}

C．{2}

D．{6}

例4．(2005年高考·天津卷·理14)在直角坐標系xOy中,已知點A(0,1)和點B(－3,4)，若點C在∠AOB的平分線上且||=2,則OC=。

????????????

5．(全國卷)已知向量OA?(k,12),OB?(4,5),OC?(?k,10)，且A、B、C三點共線，則k=.6．(湖北卷)已知向量a7．(廣東卷)已知向量a

?(?2,2),b?(5,k).若|a?b|不超過5，則k的取值范圍是

?(2,3),b?(x,6),且a//b,則x.3.平面向量在平面幾何中的應用

????????

????????ABAC

?),??[0,??),則1.O是平面上一定點，A,B,C是平面上不共線的三個點，動點P滿足OP?OA??(|AB||AC|

P的軌跡一定通過△ABC

A．外心的（）B．內心

C．重心

D．垂心

????

2．（遼寧卷）已知四邊形ABCD是菱形，點P在對角線AC上（不包括端點A,C），則AP等于（）

????????????????A．?(AB?AD),??(0,1)

B.?(AB?BC),??(0,????????????????C.?(AB?AD),??(0,1)

D.?(AB?BC),??(0,??????

3．已知有公共端點的向量a，b不共線，|a|＝1，|b|=2,則與向量a，b的夾角平分線平行的單位向量是.????????????????

4．已知直角坐標系內有三個定點A(?2,?1)、B(0,10)、C(8,0)，若動點P滿足：OP?OA?t(AB?AC),t?R，則點P的軌跡方程。

4.平面向量與三角函數、函數等知識的結合當平面向量給出的形式中含有未知數時，由向量平行或垂直的充要條件可以得到關于該未知數的關系式。在此基礎上，可以設計出有關函數、不等式、三角函數、數列的綜合問題。此類題的解題思路是轉化為代數運算，其轉化途徑主要有兩種：

①利用向量平行或垂直的充要條件，②利用向量數量積的公式和性質.1．(江西卷)已知向量?(2cos

xx?x?x?,tan(?)),?(2sin(?),tan(?)),令f(x)??.224242

4求函數f(x)的最大值，最小正周期，并寫出f(x)在[0，π]上的單調區間.2．(山東卷)已知向量

??

m?(cos?,sin?)

和

?n?

sin?,cos?,????,2??

?，且

???m?n?求

????

cos???的值.?28?

3．(上海卷)已知函數

f(x)?kx?b的圖象與x,y軸分別相交于點

A、B，?2?2（,分別是與x,y軸正半

軸同方向的單位向量），函數g(x)

?x2?x?6.f(x)?g(x)時，求函數

（1）求k,b的值；（2）當x滿足

g(x)?

1的最小值.f(x)

【反思】這類問題主要是以平面向量的模、數量積、夾角等公式和相互知識為紐帶，促成與不等式知識的相互遷移，有效地考查平面向量有關知識、不等式的性質、不等式的解法、不等式的應用及綜合解題能力。

5.平面向量與解析幾何的交匯與融合由于向量既能體現“形”的直觀位置特征，又具有“數”的良好運算性質，是數形結合與轉換的橋梁和紐帶。而解析幾何也具有數形結合與轉換的特征，所以在向量與解析幾何知識的交匯處設計試題，已逐漸成為高考命題的一個新的亮點。

平面幾何與解析幾何的結合通常涉及到夾角、平行、垂直、共線、軌跡等問題的處理，解決此類問題基本思路是將幾何問題坐標化、符號化、數量化，從而將推理轉化為運算；或者考慮向量運算的幾何意義，利用其幾何意義解決有關問題。主要包括以下三種題型：

1、運用向量共線的充要條件處理解幾中有關平行、共線等問題

運用向量共線的充要條件來處理解幾中有關平行、共線等問題思路清晰,易于操作,比用斜率或定比分點公式研究這類問

題要簡捷的多。

2、運用向量的數量積處理解幾中有關長度、角度、垂直等問題

運用向量的數量積，可以把有關的長度、角度、垂直等幾何關系迅速轉化為數量關系，從而“計算”出所要求的結果。

3、運用平面向量綜合知識，探求動點軌跡方程，還可再進一步探求曲線的性質。

1．(江西卷)以下同個關于圓錐曲線的命題中 ①設A、B為兩個定點，k為非零常數，|

PA|?|PB|?k，則動點P的軌跡為雙曲線；

?

(?),則動點P的軌跡為橢圓； 2

②設定圓C上一定點A作圓的動點弦AB，O為坐標原點，若③方程2x

?5x?2?0的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；

x2y2x2

??1與橢圓?y2?1有相同的焦點.④雙曲線

25935

其中真命題的序號為（寫出所有真命題的序號）

???????????

2．平面直角坐標系中，O為坐標原點，已知A(3,1),B(?1,3)，若點C滿足OC??0A??OB，其中?,??R，且?

???1，則點C的軌跡方程為()

A.C.3x?2y?11?0B.(x?1)2?(y?2)2?5 2x?y?0D.x?2y?5?0

2．已知平面上一個定點C（－1，0）和一條定直線l：x＝－4，P為該平面上一動點，作PQ⊥l，垂足為Q，????????????????

（PQ＋2PC）?（PQ－2PC）＝0.（1）求點P的軌跡方程；

????????

PC的取值范圍．（2）求PQ·