第一篇：29-第二章 平面向量小結(jié)與復(fù)習(xí)

第二章平面向量章末復(fù)習(xí)（第2課時(shí)）

教學(xué)目標(biāo)

重點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的定義及其坐標(biāo)表示；數(shù)量積的幾何意義、向量法在平面幾何中的應(yīng)用． 難點(diǎn)：用向量法解決平面幾何問題時(shí)，如何建立平面幾何與平面向量之間的聯(lián)系．

能力點(diǎn)：在運(yùn)用向量方法解決平面幾何問題、力學(xué)問題與其他一些實(shí)際問題過程中，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的運(yùn)

算能力和解決實(shí)際問題的能力．

教育點(diǎn)：提高學(xué)生的認(rèn)知水平，為學(xué)生塑造良好的數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)．

自主探究點(diǎn)：例題及變式的解題思路的探尋．

易錯(cuò)點(diǎn)：(1)忽視兩向量垂直的概念是針對(duì)兩非零向量的而致錯(cuò)；

(2)對(duì)兩向量夾角的定義理解不清致錯(cuò)；

(3)把數(shù)的乘法的消去律運(yùn)用在向量的數(shù)量積運(yùn)算上而致錯(cuò)；

(4)混淆點(diǎn)的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo)致錯(cuò)．

學(xué)法與教具

1．學(xué)法：講授法、討論法．2．教具：投影儀．

二、【知識(shí)梳理】

1．平面向量的數(shù)量積

(1)數(shù)量積的定義

已知兩個(gè)非零向量a與b，我們把數(shù)量abcos?叫做a與b的數(shù)量積(inner product)（或內(nèi)積），記作a?b，即a?b=abcos?，其中?是a與b的夾角．

(2)數(shù)量積的幾何意義

數(shù)量積a?b等于a的長(zhǎng)度a與b在a方向上的投影bcos?的乘積，或等于b的長(zhǎng)度b與a在b方向上的投影acos?的乘積．

(3)數(shù)量積的性質(zhì)

b?0． ①a?b?a?

②當(dāng)a與b同向時(shí)，a?b=ab；當(dāng)a與b反向時(shí)，a?b=?ab；特別地，a?a=a，所以

2a記作a2． a?a?

③a?b?ab

(4)數(shù)量積的運(yùn)算律

已知向量a、b、c和實(shí)數(shù)?，則：

b?b?a； ①a?

②(?a)?b??(a?b)?a?(?b)； ③(a?b)?c?a?c?b?c．(5)數(shù)量積的坐標(biāo)表示

已知兩個(gè)非零向量a?(x1,y1)，b?(x2,y2)，則a?b?x1x2?y1y2． 由此可得：

2①a

?x1?y1或a

②a?b?x1x2?y1y2?0； ③設(shè)?為a、b的夾角，則cos??

a?b

?

|a||b|2．平面幾何中的向量方法

用向量法解決平面幾何問題的“三步曲”：(1)建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；(2)通過向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問題；(3)把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系．

在上述步驟中，把平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題是解決問題的關(guān)鍵一步，轉(zhuǎn)化方法大致有兩種思路：第一，選取恰當(dāng)?shù)幕蛄?；第二，建立坐?biāo)系．

3．向量法在物理中的應(yīng)用

向量有豐富的物理背景，向量的物理背景是位移、力、速度等，向量的數(shù)量積的物理背景是力所做的功．因此，用向量可以解決一些物理問題．向量在物理中的應(yīng)用，實(shí)際上是把物理問題轉(zhuǎn)化為向量問題，然后通過向量運(yùn)算解決向量問題，最后再用所獲的結(jié)果解釋物理現(xiàn)象．用向量法解決物理問題時(shí)，應(yīng)作出相應(yīng)的圖形，以幫助我們建立數(shù)學(xué)模型．

三、【范例導(dǎo)航】

????????

例1（2012?天津）在△ABC中，∠A=90°，AB=1，AC=2．設(shè)點(diǎn)P，Q滿足 AP??AB，????????????????

CP??2，則?? AQ??1???AC,??R.若BQ?

????????????????????2????

2【分析】由題意可知AB?AC?0，根據(jù)BQ?CP?(??1)AC??AB??2，解方程可以求得?的值.????????????

??

c?0，【解答】如圖，設(shè)AB?b，AC?c，則b?1，c?2，b?

????????????????????????????

又BQ?BA?AQ??b?(1??)c，CP?CA?AP??c??b，????????由BQ?CP??2得，[??(1??)]?(???)?(??1??4(??1)????2，即3??2,所以??

2.3【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查兩個(gè)向量垂直的性質(zhì)，兩個(gè)向量的加減法的法則，以及其幾何意義，兩個(gè)向量的數(shù)量積的運(yùn)算，屬于中檔題.??????2

變式訓(xùn)練1(2011·江蘇卷10)已知e1,e2是夾角為?的兩個(gè)單位向量，a?e1?2e2,b?ke1?e2, 若

?

?

??

a?b?0，則k的值為

答案：

4??

????????2?????解析：a?b??e1?2e2??ke?e?ke?1?2ke?e?2e?k?1?2kcos?0，??122???12?

13????

解得k?

.4

例2(2012·江蘇9)如圖，在矩形ABCD

中，AB?，BC?2，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊CD

上，若AB?AFAE?BF的值是．【分析】根據(jù)所給的圖形，把已知向量用矩形的邊所在的向量來表示，求出要用的向量的模，表示出要求得向量的數(shù)量積，注意應(yīng)用垂直的向量的數(shù)量積等于0，得到結(jié)果.????????????????

????????????

【解答】因?yàn)锳F?AD?DF，?????????????????????????????????????????????

AB?AF?AB?AD?DF?AB?AD?AB?DF?AB?DF??

?

?

????

????DF?1CF?1.所以，????????????????????????????????????????AE?BF?AB?BE?BC?CF?AB?CF?BE?BC1)?1?2? 所以

???

?

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算.解題的關(guān)鍵是要把要用的向量表示成已知向量的和的形式.變式訓(xùn)練2(2012·湖南文15)如圖4，在平行四邊形ABCD中，AP⊥BD，垂足為P，AP?3且AP?AC=

答案：18

????????

????????????解析：設(shè)AC?BD?O，則AC?2AB?BO，??

所以，????????????????????????????????????????????????????????????2

AP?AC?AP?2AB?BO?2AP?AB?2AP?BO?2AP?AB?2AP?AP?PB?2AP?18

????

例3.證明：對(duì)于任意的a1、a2、b1、b2?R，恒有不等式?a1b1?a2b2??a1?a

2?

??b

12?b2?．

【分析】此題形式對(duì)學(xué)生較為熟悉，在不等式證明部分常用比較法證明，若利用向量知識(shí)求證，則關(guān)

【解答】設(shè)a?(a1,a2)，b

?(b1,b2),222

則a?，b?b1?b2 b?a1b1?a2b2，a?a12?a2

因?yàn)閍?b?ab，b?a所以a?

b

所以?a1b1?a2b2??a1?a2

?

??b

2?b2?.【點(diǎn)評(píng)】

變式訓(xùn)練3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為圓心，單位長(zhǎng)度為半徑的圓上有兩點(diǎn)A(cos?,sin?)，B(cos?,sin?)，試用A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)表示?AOB的余弦值.答案：cos?AOB?cos?cos??sin?sin?

解析：因?yàn)锳(cos?,sin?),B(cos?,sin?),????????

所以O(shè)A?(cos?,sin?)，OB?(cos?,sin?)

????????OA?OB

那么，cos?AOB??cos?cos??sin?sin?.OAOB

四、【解法小結(jié)】

1．準(zhǔn)確把握平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)：設(shè)a?(x1,y1)，b?(x2,y2)

(1)a?b?a? b?0?x1x2?y1y2?0，既可以用來證明兩向量垂直，也可以由垂直進(jìn)行有關(guān)計(jì)算；

a=a2?a

與a?(2)a?

轉(zhuǎn)化．

(3)cos??

?a?b

a、b的夾角，也可用來求?

|a||b|直線的夾角(向量的夾角與向量所在直線的夾角有區(qū)別)，還可利用夾角的取值情況建立方程或不等式

用于求參數(shù)的值或范圍．

2．向量解決幾何問題就是把點(diǎn)、線、平面等幾何元素直接歸納為向量，對(duì)這些向量借助于它們之間的運(yùn)算進(jìn)行討論，然后把這些計(jì)算的結(jié)果 翻譯成關(guān)于點(diǎn)、線、平面的相應(yīng)結(jié)果，可以簡(jiǎn)單表述為“形到向量?向量的運(yùn)算?數(shù)到形”.3．明確和掌握用向量研究物理問題的相關(guān)知識(shí)：

(1)力、速度、加速度、位移的合成、力的分解就是向量的加減法，運(yùn)動(dòng)的疊加亦用到向量的合成；(2)動(dòng)量mv是數(shù)乘向量；

(3)功即是力F與所產(chǎn)生的位移s的數(shù)量積.五、【布置作業(yè)】

必做題： 1．（2012·遼寧卷）已知兩個(gè)非零向量a，b滿足|a＋b|＝|a－b|，則下面結(jié)論正確的是()A．a(chǎn)∥bB．a(chǎn)⊥bC．|a|＝|b|D．a(chǎn)＋b＝a－b

π2．（2012·上海卷）在平行四邊形ABCD中，∠AAB、AD的長(zhǎng)分別為2、1.若M、N

分別是邊

→→|BM||CN|→→

BC、CD，則AM·AN的取值范圍是________．

→→|BC||CD|

→→→→

3．（2012·北京卷）已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)E是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，則DE·CB的值為__ __.DE·DC的最大值為________．

????????????????????????4．在邊長(zhǎng)為1的正三角形ABC中，則AB?BC?BC?CA?CA?AB?________．.必做題答案：

1．因?yàn)閨a＋b|＝|a－b|?(a＋b)2＝(a－b)2?a·b＝0，所以a⊥b，答案選B.點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查向量的數(shù)量積以及性質(zhì)．解題的突破口為對(duì)于模的理解，向量的模平方就等于向量的平方．

→→→→→→→→→

2．令BM＝nBC(0≤n≤1)，則DN＝(1－n)DC，在平行四邊形ABCD中，AM＝AB＋nAD，AN＝AD＋(1－→→→→→→→n)AB，所以AM·AN＝(AB＋nAD)·[AD＋(1－n)AB]＝－n2－2n＋5，→→而函數(shù)f(n)＝－n2－2n＋5在[0,1]上是單調(diào)遞減的，其值域?yàn)閇2,5]，所以AM·AN的取值范圍是[2,5]． →→3．以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DC與DA所在直線分別為x，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，可知E(x,1)，0≤x≤1，→→→→所以DE＝(x,1)，CB＝(0,1)，可得DE·CB＝x×0＋1×1＝1.→→→→→因?yàn)镈C＝(1,0)，所以DE·DC＝x，因?yàn)?≥x≥0，所以(DE·DC)max＝1.????????????????????????

CA?CA?AB= 4．AB?BC?BC?

????????????????????????3?1??1??1?00

ABBCcos120?BCCAcos120?CAABcos1200??????????????

2?2??2??2?

點(diǎn)評(píng)：利用數(shù)量積的定義求解時(shí)，務(wù)必要注意兩向量夾角的大小.兩向量夾角的定義前提是兩向量的起

????????????????????????00

點(diǎn)要重合，對(duì)于本題要特別注意：向量AB與BC,BC與CA,CA與AB的夾角不是60，而是120.選做題：

???

1．已知向量a是以點(diǎn)A(3，－1)為起點(diǎn)，且與向量b＝（－3，4）垂直的單位向量，求a的終點(diǎn)坐標(biāo).2．如圖，在?ABC中，AD?DB，AE?EC，CD與BE交于F，證明：CF?2FD.選做題答案：

1.設(shè)a的終點(diǎn)坐標(biāo)為(m,n),則a＝(m,n),

??

??3(m?3)?4(n?1)?0由題意? 2

2?(m?3)?(n?1)?

1由①得：ｎ＝

① ②

（3ｍ－13）代入②得25ｍ－15Oｍ＋2O9＝O

419?11?m?,m?,???192118?15?2

5或?解得?∴a的終點(diǎn)坐標(biāo)是（,?)或(,?)

5555?n??2.?n??8.12?5?5??

點(diǎn)評(píng)：向量的坐標(biāo)表示是終點(diǎn)坐標(biāo)減去起始點(diǎn)的坐標(biāo)，所以向量的坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)既有聯(lián)系又有區(qū)別，2.本題選自《學(xué)生自主學(xué)習(xí)叢書·數(shù)學(xué)》P122，例2.

六、【教后反思】

1．本教案的亮點(diǎn)是：(1)用結(jié)構(gòu)圖呈現(xiàn)本章知識(shí)，直觀簡(jiǎn)明；(2)知識(shí)梳理部分十分詳實(shí)且分類明晰；(3)例題具有典型性且解法總結(jié)到位，變式練習(xí)有效，講練結(jié)合教學(xué)效果明顯；(4)在作業(yè)的布置上，選擇了部分高考題，對(duì)學(xué)生理解、鞏固知識(shí)能夠起到良好的作用．

2．本教案的弱項(xiàng)是：(1)有關(guān)平面向量數(shù)量積的應(yīng)用涉及題目較少，如夾角的計(jì)算、模的計(jì)算等；(2)向量法在物理中的應(yīng)用沒有涉及到，有待于進(jìn)一步補(bǔ)充．

第二篇：向量小結(jié)與復(fù)習(xí)

高中數(shù)學(xué)教案第五章平面向量（第23課時(shí)）課題：5.13向量小結(jié)與復(fù)習(xí)（2）

教學(xué)目的：

1.熟悉向量的性質(zhì)及運(yùn)算律；2.能根據(jù)向量性質(zhì)特點(diǎn)構(gòu)造向量；

3.熟練平面幾何性質(zhì)在解題中應(yīng)用；4.熟練向量求解的坐標(biāo)化思路.5.認(rèn)識(shí)事物之間的內(nèi)在聯(lián)系；

6.認(rèn)識(shí)向量的工具性作用，加強(qiáng)數(shù)學(xué)在實(shí)際生活中的應(yīng)用意識(shí)

.教學(xué)重點(diǎn)：向量的坐標(biāo)表示的應(yīng)用；構(gòu)造向量法的應(yīng)用.教學(xué)難點(diǎn)：構(gòu)造向量法的適用題型特點(diǎn)的把握

授課類型：復(fù)習(xí)課

課時(shí)安排：1課時(shí)

教具：多媒體、實(shí)物投影儀

教學(xué)方法:啟發(fā)引導(dǎo)式

針對(duì)向量坐標(biāo)表示的應(yīng)用，通過非坐標(biāo)形式解法與坐標(biāo)化解法的比較來加深學(xué)生對(duì)于向量坐標(biāo)表示的認(rèn)識(shí)，同時(shí)要加強(qiáng)學(xué)生選擇建立坐標(biāo)系的意識(shí).對(duì)于“構(gòu)造向量法”的應(yīng)用，本節(jié)例題選擇了本章的重點(diǎn)內(nèi)容數(shù)量積的坐標(biāo)表示，目的要使學(xué)生把握坐標(biāo)表示的數(shù)量積性質(zhì)的形式特點(diǎn)，同時(shí)增強(qiáng)學(xué)生的解題技巧，提高解題能力教學(xué)過程：

一、講解范例：

例1利用向量知識(shí)證明下列各式

22(1)x＋y≥

2xy

22(2)｜x｜＋｜y｜≥2x·y

分析：(1)題中的結(jié)論是大家所熟悉的重要不等式，以前可用求差法證得，而利用向量知識(shí)求證，則需構(gòu)造向量，故形式上與向量的數(shù)量積產(chǎn)生聯(lián)系.(2)題本身含有向量形式，可根據(jù)數(shù)量積的定義式并結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)求證.證明：(1)設(shè)a＝（x，y），b＝（y，x）則a·b＝xy＋yx＝2

xy

222222｜a｜·｜b｜＝x?y?x?y?x?y

又a·b＝｜a｜·｜b｜c(diǎn)osθ(其中θ為a，b夾角)

≤｜a｜·｜b

｜

22∴x＋y≥2xy

(2)設(shè)x，y的夾角為θ，則x·y＝｜x｜·｜y｜c(diǎn)osθ≤｜x｜·｜y｜≤

22x?y222 ∴｜x｜＋｜y｜≥2x·

y

22評(píng)述：(1)上述結(jié)論表明，重要不等式a＋b≥2ab，無(wú)論對(duì)于實(shí)數(shù)還是向量，都成立.(2)在(2)題證明過程中，由于｜x｜，｜y｜是實(shí)數(shù)，故可以應(yīng)用重要不等式求證.例2利用向量知識(shí)證明

22222(a1b1＋a2b2)≤（a1＋a2）·（b1＋b2）

分析：此題形式對(duì)學(xué)生較為熟悉，在不等式證明部分常用比較法證明，若利用向量知識(shí)求證，則關(guān)鍵在于根據(jù)其形式與數(shù)量積的坐標(biāo)表示產(chǎn)生聯(lián)系，故需要構(gòu)造向量

.證明：設(shè)a＝（a1，a2），b＝（b1，b2）

則a·b＝a1b1＋a2b2，222222｜a｜＝a1＋a2，｜b｜＝b1＋b2

∵a·b＝｜a｜·｜b｜c(diǎn)osθ≤｜a｜·｜b｜.(其中θ為a，b夾角)

222∴（a·b）≤｜a｜·｜b｜

22222∴（a1b1＋a2b2）≤（a1＋a2）·（b1＋b2）

評(píng)述：此題證法難點(diǎn)在于向量的構(gòu)造，若能恰當(dāng)構(gòu)造向量，則利用數(shù)量積的性質(zhì)容易證明結(jié)論.這一技巧應(yīng)要求學(xué)生注意體會(huì).例3已知ｆ（x）＝?x2

求證：｜ｆ（a）－ｆ（b）｜＜｜a－b｜(a≠b）

分析：此題若用分析法證明，則需采用平方的手段以去掉絕對(duì)值，但由于ｆ（a）、ｆ（b）是含有根式的式子，故需再次平方才能達(dá)到去根號(hào)的目的.也可考慮構(gòu)造向量法，利用向量的性質(zhì)求證.下面給出兩種證法.證法一：∵ｆ（a）＝?a2，ｆ（b）＝?

b2，∴要證明｜ｆ（a）－ｆ（b）｜＜｜a－b

｜ 只需證明｜?a2－?b2｜＜｜a－b｜

2222222即1＋a＋1＋b－2(1?a)(1?b)＜a＋b－2

ab

22即(1?a)(1?b)＞1＋

ab 2222只需證明（(1?a)(1?b)）＞（1＋ab）

即1＋a＋b＋ab＞1＋2ab＋ab

22即a＋b＞2

ab

22∵a＋b≥2ab又a≠

b

22∴a＋b＞2

ab

∴｜ｆ（a）－ｆ（b）｜＜｜a－b｜

證法二：設(shè)a＝（1，a），b＝（1，b）

則｜a｜＝?a2，｜b｜＝?b2 222222

a－b＝（O，a－b）

｜a－b｜＝｜a－b

｜

由｜｜a｜－｜b｜｜≤｜a－b｜，（其中當(dāng)｜a｜＝｜b｜即a＝b時(shí)，取“＝”，而a≠

b

∴｜｜a｜－｜b｜｜＜｜a－b

｜ 即｜?a2－?b2｜＜｜a－b｜

∴｜ｆ（a）－ｆ（b）｜＜｜a－b｜.評(píng)述：通過兩種證法的比較，體會(huì)“構(gòu)造向量法”的特點(diǎn)，加深對(duì)向量工具性作用的認(rèn)識(shí).上述三個(gè)例題，主要通過“構(gòu)造向量”解決問題，要求學(xué)生在體驗(yàn)向量工具性作用的同時(shí)，注意解題方法的靈活性.下面，我們通過下面的例題分析，讓大家體會(huì)向量坐標(biāo)運(yùn)算的特點(diǎn)，以及“向量坐標(biāo)化”思路在解題中的具體應(yīng)用.例4已知：如圖所示，ABCD是菱形，AC和BD是它的兩條對(duì)角線.求證AC⊥BD.分析：對(duì)于線段的垂直，可以聯(lián)想到兩個(gè)向量垂直的充要條件，而對(duì)于這一條件的應(yīng)用，可以考慮向量式的形式，也可以考慮坐標(biāo)形式的充要條件.證法一：∵AC＝AB＋AD，BD＝AD－AB，∴·＝（＋）·（－）＝｜｜－｜｜＝

O

∴⊥

證法二：以O(shè)C所在直線為x軸，以B為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，設(shè)B(O，O)，A(a，b)，C（c，O）

222則由｜AB｜＝｜BC｜得a＋b＝c ∵AC＝BC－BA＝（c，O）－（a，b）＝（c－a，－b），22 ＝＋＝（a，b）＋（c，O）＝（c＋a，b）∴·＝c－a－b＝O 222

∴⊥即 AC⊥

BD

評(píng)述：如能熟練應(yīng)用向量的坐標(biāo)表示及運(yùn)算，則將給解題帶來一定的方便.通過向量的坐標(biāo)表示，可以把幾何問題的證明轉(zhuǎn)化成代數(shù)式的運(yùn)算，體現(xiàn)了向量的數(shù)與形的橋梁作用，有助于提高學(xué)生對(duì)于“數(shù)形結(jié)合”解題思想的認(rèn)識(shí)和掌握.例5 若非零向量a和b滿足｜a＋b｜＝｜a－b｜.證明：a⊥b

.分析：此題在綜合學(xué)習(xí)向量知識(shí)之后，解決途徑較多，可以考慮兩向量垂直的充要條件的應(yīng)用，也可考慮平面圖形的幾何性質(zhì)，下面給出此題的三種證法.證法一：(根據(jù)平面圖形的幾何性質(zhì))設(shè)＝a，＝b，由已知可得a與b不平行，由｜a＋b｜＝｜a－b｜得以、為鄰邊的平行四邊形OACB的對(duì)角線和相等

.所以平行四邊形OACB是矩形，∴OA⊥OB，∴a⊥

b

證法二：∵｜a＋b｜＝｜a－b

｜

22∴（a＋b）＝（a－b）

2222∴a＋2a·b＋b＝a－2a·b＋b

∴a·b＝O，∴a⊥

b

證法三：設(shè)a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），22｜a＋b｜＝(x1?x2)?(y1?y2)，22｜a－b｜＝(x1?x2)?(y1?y2)，22∴(x1?x2)?(y1?y2)22＝(x1?x2)?(y1?y2)，化簡(jiǎn)得：x1x2＋y1y2＝O，∴a·b＝O，∴a⊥b.例6 已知向量a是以點(diǎn)A(3，－1)為起點(diǎn)，且與向量b＝（－3，4）垂直的單位向量，求a的終點(diǎn)坐標(biāo).分析：此題若要利用兩向量垂直的充要條件，則需假設(shè)a的終點(diǎn)坐標(biāo)，然后表示a的坐標(biāo)，再根據(jù)兩向量垂直的充要條件建立方程.解：設(shè)a的終點(diǎn)坐標(biāo)為（ｍ，ｎ）

則a＝（ｍ－3，ｎ＋1）

由題意???3(m?3)?4(n?1)?0

22?(m?3)?(n?1)?1 ①

②

由①得：ｎ＝

21（3ｍ－13）代入②得 425ｍ－15Oｍ＋2O9＝O 19?11?m?,m?,12????55或?解得?

?n??2.?n??8.12?5?5??

∴a的終點(diǎn)坐標(biāo)是（192118,?)或(,?)555

5評(píng)述：向量的坐標(biāo)表示是終點(diǎn)坐標(biāo)減去起始點(diǎn)的坐標(biāo)，所以向量的坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)既有聯(lián)系又有區(qū)別，二者不能混淆.上述例題，主要體現(xiàn)了兩向量垂直的充要條件的應(yīng)用，在突出本章這一重點(diǎn)知識(shí)的同時(shí)，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生注意解題方法的靈活性，尤其是向量的坐標(biāo)化思路在解題時(shí)的應(yīng)用，將幾何與代數(shù)知識(shí)溝通起來.二、課堂練習(xí)：

1.已知a＝（1，O），b＝（1，1），當(dāng)λ為何值時(shí)，a＋λb與a垂直

.解：a＋λb＝（1，O）＋λ（1，1）＝（1＋λ，λ）

∵（a＋λb）⊥a∴（a＋λb）·a＝

O

∴（1＋λ）＋O·λ＝O∴λ＝－

1即當(dāng)λ＝－1時(shí)，a＋λb與a垂直.2.已知｜a｜＝，｜b｜＝2，a與b的夾角為3O°，求｜a＋b｜，｜a－b｜

.2222解：｜a＋b｜＝（a＋b）＝a＋2a·b＋b

22＝｜a｜＋2·｜a｜·｜b｜c(diǎn)os3O°＋｜b｜

＝（）＋2×3×2×232＋2＝

32∴｜a＋b｜＝，∵｜a－b｜＝（a－b)＝a－2a·b＋b

22＝｜a｜－2｜a｜·｜b｜·cos3O°＋b

＝（3）－2××2×222222＋2＝

∴｜a－b｜＝

3.已知｜a｜＝3，｜b｜＝2，a與b的夾角為6O°，c＝3a＋5b，d＝ｍa－3b.當(dāng)ｍ為何值時(shí)，c與d是否垂直?

解：若c⊥d，則c·d＝

O

∴（3a＋5b）（ｍa－3b)＝

O

22∴3ｍ｜a｜＋（5ｍ－9）a·b－15｜b｜＝

O

22∴3ｍ｜a｜＋（5ｍ－9）｜a｜｜b｜c(diǎn)os6O°－15｜b｜＝

O

即27ｍ＋3（5ｍ－9）－6O＝O，解得ｍ＝29.1

44.已知a＋b＝c，a－b＝

d

求證：｜a｜＝｜b｜?c⊥

d

證明：(1)c⊥

d

22（a－b）＝O? a－b＝

O ?（a＋b）

? a2＝b2? ｜a｜＝｜b

｜，(2)｜a｜＝｜b｜

（a－b）＝O? c⊥d

.? a2＝b2? a2－b2＝O?（a＋b）

三、小結(jié)通過本節(jié)學(xué)習(xí)，要求大家進(jìn)一步熟悉向量的性質(zhì)及運(yùn)算律，熟悉平面幾何性質(zhì)在解題中的應(yīng)用，能夠掌握向量坐標(biāo)化的思路求解問題，掌握構(gòu)造向量并利用向量性質(zhì)解題、證題的方法

.四、課后作業(yè)：

五、課后記及備用資料：

1.三角形內(nèi)角和性質(zhì)

定理：在△ABC中，A、B、C分別為三個(gè)內(nèi)角，則A＋B＋C＝18O°

推論(1)B＝6O°?2B＝A＋C

推論(2)若A＜9O°，則有

sinB＞cosC，cosB＜sinC，tanB＞cotC，cotB＜tanC

.推論(3)sin（A＋B）＝sinC，cos（A＋B）＝－cosC，tan（A＋B）＝－tanC，cot（A＋B）＝－cotC.A?BCA?BC?cos,cos?sin,2222推論(4)A?BCA?BCtan?cot,cot?tan.2222sin

2.三角形內(nèi)角和性質(zhì)應(yīng)用舉例

例1△ABC中，若tanB?tanCa?c?,求證：A、B、C成等差數(shù)列

.tanB?tanCa

證明：由條件得sin(B?C)sinA?sinC，?sin(B?C)sinA

由推論(3)得sin（B＋C）＝sinA.∴sin（B－C）＝sinA－sinC

∴sin（B－C）－sin（B＋C）＝－sinC，即2cosBsinC＝sin

C

∵sinC≠O，∴cosB＝1?，∴B＝.2

3故由推論(1)得2B＝A＋C.所以A、B、C成等差數(shù)列

.例2在銳角△ABC中，求證：sinA＋sinB＋sinC＞cosA＋cosB＋cosC

證明：∵△ABC是銳角三角形，∴A＜9O°，根據(jù)推論(2)有：sinB＞cosC ①

B＜9O°，根據(jù)推論(2)有：sinC＞cosA

②

C＜9O°，根據(jù)推論(2)有sinA＞cosB ③ ∴①＋②＋③得：sinA＋sinB＋sinC＞cosA＋cosB＋cosC

.例3已知△ABC，求證(a－b)cotCAB＋(b－c)cot＋(c－a)cot＝

O.222

證明：根據(jù)正弦定理和推論(4)，有

CA?BA?BA?B＝2Ｒ(sinA－sinB)tan＝4Ｒsinsin，2222

C∴（a－b）cot＝2Ｒ（cosB－cosA）2

A同理，（b－c）cot＝2Ｒ（cosC－cosB）； 2

B（c－a）cot＝2Ｒ（cosA－cosC).2

CAB三式相加可得（a－b）cot＋（b－c）cot＋（c－a）cot＝O.222(a－b)cot

第三篇：2014高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：平面向量

高考數(shù)學(xué)內(nèi)部交流資料【1--4】

2014高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：平面向量

一選擇題（每題5分，共50分）

1.向量????﹒化簡(jiǎn)后等于（）

A.AMB.0C.0D.AC

2.下面給出的關(guān)系式中，正確的個(gè)數(shù)是（）

10·=0○2 ·=·○

3?○4○2??5?a?b ????a??

A.0B.1C.2D.3 3.對(duì)于非零向量a.b,下列命題中正確的是（）

A.a?b?0 ?a?0或b?0B//?在上的投

影為。C.?????D.a?c?b?c?a?b

4.已知=?5,?2?,=??4,?3?,=?x,y?.若-2+3=.則等于()A.?1,?B.??2?8?

?3??138??134??134?,?C.?,?D.??,?? ?33??33??33?

1AB?()25已知???2,4?,??2,6?,A.(0,5)B.(0,1)C.(2,5)D.(2,1)6e1.e2是平面內(nèi)的一組基底，則下列四組向量中，不能作為一組基底的是（）

A.e1 和e1?e2B.e1—2e2和e2?2e1 C.e1—2e2和4e2?2e1 D.e1?e2和e1—e2 7已知?ABC中AB?AC>0,則?ABC的形狀是（）

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.不能確定 8已知??1,0?,??1,1?，且?k恰好與垂直，則實(shí)數(shù)k的值是（）

A.1B.—1C.1或—1D.以上都不對(duì)

9.已知=??,2?,???3,5?，且與的夾角是鈍角，則?的范圍是（）

A.??10101010B.??C.??D.?? 3333

10.已知,是夾角為60的兩個(gè)單位向量，則?2?,??3?的夾角是（）A.30B.60C.120D.150

二．填空題（每題5分,共25分）

11.若a??6,?8?，則與a平行的單位向量是12.若向量,?1?2且與的夾角為13.?

1?

2，???0，則與的夾角為

?

?

?=3

14．設(shè)e1.e2為兩個(gè)不共線的向量，若?e1??e2與??2e1?3e2與共線，則??15已知平面內(nèi)三點(diǎn)A.B.C?3?4

?5,則?????的值等于三．解答題（共75分）

16(12分)已知向量a?3e1?2e2,b?4e1?e2其中e1??1,0?,e2??0,1?求：（1）?，（2）與夾角的余弦值。

17(12分).已知向量??3,?4?,??2,x?,??2,y?且//,?求：（1）x,y的值；（2的值

??

18.（12分）已知向量??sinx,1?,??cosx,1?（1）當(dāng)a//b時(shí)，求cosx?sinxcosx的值；（2）求f(x)=?的最小正周期及最值。

19.（12分）已知??2,?2?4,?3?6（其中,是任意兩個(gè)不共線

向量），證明：A.B.C三點(diǎn)共線。

20．（13分）已知?ABC中，A?5,?1?，B??1,7?,C?1,2.?求（1）BC邊上的中線AM的長(zhǎng);（2）cos?ABC的值

21.（14

?3?2,的夾角為60，c?3a?5b,d?ma?3b；（1）當(dāng)m為何值時(shí)，c與d垂直？（2）當(dāng)m為何值時(shí)，c與d共線？

第四篇：平面向量復(fù)習(xí)課教案

平面向量復(fù)習(xí)課

一．考試要求：

1、理解向量的概念，掌握向量的幾何表示，了解共線向量的概念。

2、掌握向量的加法和減法。

3、掌握實(shí)數(shù)與向量的積，理解兩個(gè)向量共線的充要條件。

4、了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐標(biāo)的概念，掌握平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算。

5、掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義。了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關(guān)長(zhǎng)度，角度和垂直的問題，掌握向量垂直的條件。二．知識(shí)梳理

1．向量的概念：

向量，零向量，單位向量，平行向量（共線向量），相等向量，向量的模等。

2．向量的基本運(yùn)算（1）向量的加減運(yùn)算

幾何運(yùn)算：向量的加減法按平行四邊行法則或三角形法則進(jìn)行。坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)a =(x1,y1), b =(x2,y2)則a+b=(x1+x2,y1+y2)a-b=(x1-x2,y1-y2)

(2)平面向量的數(shù)量積 ： a?b=abcos?

設(shè)a =(x1,y1), b =(x2,y2)則a?b=x1x2+y1y2（3）兩個(gè)向量平行的充要條件 ∥ 若 =(x1,y1), =(x2,y2)，則 ∥ 3．兩個(gè)非零向量垂直的充要條件是 ⊥

=λ

x1y2-x2y1=0

· =0 設(shè) =(x1,y1)，=(x2,y2)，則 ⊥ x1x2+y1y2=0 三．教學(xué)過程

（一）基礎(chǔ)知識(shí)訓(xùn)練

1.下列命題正確的是（）

(A)單位向量都相等(B)任一向量與它的相反向量不相等(C)平行向量不一定是共線向量(D)模為0的向量與任意向量共線 2.已知正六邊形ABCDEF中，若AB?a，F(xiàn)A?b，則BC?（）

(A)12(a?b)(B)12(a?b)(C)a?b(D)12a?b

3.已知向量e1?0,??R，a?e1??e2,b=2e1若向量a與b共線，則下列關(guān)系一定成立是（）

(A)??0(B)e2?0(C)e1∥e2(D)e1∥e2或??0 4.若向量a?(?1,x)，b?(?x,2)共線且方向相同，x=__________。

（二）．典例分析

??例1：（1）設(shè)a與b為非零向量，下列命題：

???? ①若a與b平行，則a?與b?向量的方向相同或相反；

?? ②若AB?a,CD?b, a與b共線，則A、B、C、D四點(diǎn)必在一條直線上；

?????????a??③若a與b共線，則a?b?a?b；④若a與b反向，則a???b

b其中正確命題的個(gè)數(shù)有（A）1個(gè)（B）2個(gè)（C）3個(gè)（D）4個(gè)

（2）下列結(jié)論正確的是（）

??????????????（A）a?b?ab（B）a?b?a?b（C）若(a?b)c?(c?a)b?0

????????（D）若a與b都是非零向量，則a?b的充要條件為a?b?a?b

錯(cuò)解：（1）有學(xué)生認(rèn)為①②③④全正確，答案為4；也有學(xué)生認(rèn)為①或④是錯(cuò)的，答案為2或3；（2）A或B或C。

分析：學(xué)生對(duì)向量基礎(chǔ)知識(shí)理解不正確、與實(shí)數(shù)有關(guān)性質(zhì)運(yùn)算相混淆，致使選擇錯(cuò)誤。

??第（1）小題中，正確的應(yīng)該是①④，答案為2。共線向量（a與b共

?線）的充要條件中所存在的常數(shù)?可看作為向量b作伸縮變換成為另一個(gè)向量???????a所作的伸縮量；若a，b為非零向量，則共線的a與b滿足a與b同向時(shí)??????b??ba?a?，a與b反向時(shí)a??a?。

bb第（2）小題中，正確答案為（D）。學(xué)生的錯(cuò)誤多為與實(shí)數(shù)運(yùn)算相混淆所致。選擇支D同時(shí)要求學(xué)生明確向量垂直、兩個(gè)向量的數(shù)量積、向量的模之間互化方法，并進(jìn)行正確互化。

例2 設(shè)a、b是兩個(gè)不共線向量。AB=2a+kb BC=a+b CD=a-2b A、B、D共線則k=_____(k∈R)解：BD=BC+CD=a+b+a-2b=2a-b 2a+kb=λ(2a-b)=2λa-λb

∴ 2=2λ且 k=-λ

∴ k=-1 例3 梯形ABCD，且|AB|=2|DC|,M、N分別為DC、AB中點(diǎn)。AB=a AD=b 用a，b來標(biāo)DC、BC、MN。解：DC= 12AB=12a BC=BD+DC=(AD-AB)+DC =b-a+ a=b-a

2211MN=DN-DM=12a-b-a= a-b 4411例4 |a|=10 b=(3,-4)且a∥b求a

22解：設(shè)a=(x,y)則 x+y=100（1）

由a∥b得-4x-3y=0（2）

解（1）（2）得 x=6 y=-8?；?x=-6 y=8 ∴ a=(6,-8)或(-6,8)四． 歸納小結(jié)

1． 向量有代數(shù)與幾何兩種形式，要理解兩者的內(nèi)在聯(lián)系，善于從圖形中發(fā)現(xiàn)向量間的關(guān)系。

2． 對(duì)于相等向量，平行向量，共線向量等概念要區(qū)分清楚，特別注意零向量與任何向量共線這一情況。要善于運(yùn)用待定系數(shù)法。

五．作業(yè)：

1、下列命題正確的是（）

A．若|a|?0，則a?0 B．若|a|?|b|，則a?b或a??b

C．若a||b，則|a|?|b| D．若a?0，則?a?0

2、已知平行四邊形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A(?2,1)、B(?1,3)、C(3,4)，則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（）

A．(1,2)B．(2,2)C．(2,1)D．(?2,?2)

3、設(shè)|a|?m(m?0)，與a反向的單位向量是b0，則a用b0表示為

A．a(chǎn)?mb0 B．a(chǎn)??mb0 C．a(chǎn)?1mb01m D．a(chǎn)??b0

4、D、E、F分別為?ABC的邊BC、CA、AB上的中點(diǎn)，且BC?a，CA?b，下列命題中正確命題的個(gè)數(shù)是（）①AD??12a?b；②BE?a?12b；③CF??12a?12b；

④AD?BE?CF?0。

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)

5、化簡(jiǎn)：CE?AC?DE?AD=__________。

?????a?ba?3,b?(1,2)

6、已知向量，且，則a的坐標(biāo)_____________。

????2???

27、若a?1,b?2,?a?b??a?0，則a與b的夾角為______________。

???????

8、已知向量a?3e1?2e2,b?4e1?e2,其中e1?(1,0),e2?(0,1)????求（1）a?b;a?b??的值；（2）a與b的夾角。

9、如果向量a與b，c的夾角都是60?，而b?c，且|a|?|b|?|c|?1，求(a?2c)?(b?c)的值。

PQBC10、如圖，設(shè)O為?ABC內(nèi)一點(diǎn)，PQ∥BC，且OB?b?t，OA?a，OC?c，試用a，b，c表示OP,OQ．

答案

基礎(chǔ)知識(shí)訓(xùn)練：D，C，D，2

達(dá)標(biāo)練習(xí)： D，B，B，D，5，0； 6，（655655，—

355），（—，355）

102217，450，8，(1)a?b=10, a?b=52(2)?=arccos9,-1 10,OP=(1-t)a+tb, OQ=(1-t)a+tb

第五篇：平面向量復(fù)習(xí)題

平面 向 量

向量思想方法和平面向量問題是新考試大綱考查的重要部分，是新高考的熱點(diǎn)問題。題型多為選擇或填空題，數(shù)量為1-2題，均屬容易題，但是向量作為中學(xué)數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要工具在三角、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、解幾、立幾等問題解決中處處閃光。最近幾年的考試中向量均出現(xiàn)在解析幾何題中，在解析幾何的框架中考查向量的概念和方法、考查向量的運(yùn)算性質(zhì)、考查向量幾何意義的應(yīng)用，并直接與距離問題、角度問題、軌跡問題等相聯(lián)系。近年考綱又新增“平面向量在幾何中的應(yīng)用”試題進(jìn)一步要求我們具備多角度、多方向地分析，去探索、去發(fā)現(xiàn)、去研究、去創(chuàng)新，而不是去做大量的模仿式的解題。一個(gè)問題解決后，不能匆匆而過，回顧與反思是非常有必要的，以充分發(fā)揮每一道題目的價(jià)值。除了要重視一題多解外，更要重視一題多變，主動(dòng)探索：條件和結(jié)論換一種說法如何？變換一個(gè)條件如何？反過來又會(huì)怎么樣？等等。只有這樣才能做到舉一反三，以不變應(yīng)萬(wàn)變。

一、高考考綱要求

1．理解向量的概念，掌握向量的幾何表示，了解共線向量的概念．

2．掌握向量的加法與減法．

3．掌握實(shí)數(shù)與向量的積，理解兩個(gè)向量共線的充要條件．

4．了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐標(biāo)的概念，掌握平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算．

5．掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義，了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關(guān)長(zhǎng)度、角度和垂直的問題，掌握向量垂直的條件．

6．掌握平面兩點(diǎn)間的距離公式，掌握線段的定比分點(diǎn)和中點(diǎn)公式，并且能熟練運(yùn)用；掌握平移公式．

二、高考熱點(diǎn)分析

在高考試題中，對(duì)平面向量的考查主要有三個(gè)方面：

其一是主要考查平面向量的概念、性質(zhì)和運(yùn)算法則，理解和運(yùn)用其直觀的幾何意義，并能正確地進(jìn)行計(jì)算。其二考查向量坐標(biāo)表示，向量的線性運(yùn)算。

其三是和其他知識(shí)結(jié)合在一起，在知識(shí)的交匯點(diǎn)設(shè)計(jì)試題，考查向量與學(xué)科知識(shí)間綜合運(yùn)用能力。

數(shù)學(xué)高考命題注重知識(shí)的整體性和綜合性，重視知識(shí)的交互滲透，在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的交匯點(diǎn)設(shè)計(jì)試題．由于向量具有代數(shù)和幾何的雙重身份，使它成為中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的一個(gè)交匯點(diǎn)，成為聯(lián)系多項(xiàng)知識(shí)的媒介．因此，平面向量與其他知識(shí)的結(jié)合特別是與解析幾何的交匯、融合仍將是高考命題的一大趨勢(shì)，同時(shí)它仍將是近幾年高考的熱點(diǎn)內(nèi)容．

附Ⅰ、平面向量知識(shí)結(jié)構(gòu)表

1.考查平面向量的基本概念和運(yùn)算律

1此類題經(jīng)常出現(xiàn)在選擇題與填空題中，主要考查平面向量的有關(guān)概念與性質(zhì)，要求考生深刻理解平面向量的相關(guān)概念，能熟練進(jìn)行向量的各種運(yùn)算，熟悉常用公式及結(jié)論，理解并掌握兩向量共線、垂直的充要條件。1．(北京卷)| a |=1，| b |=2，c = a + b，且c⊥a，則向量a與b的夾角為

A．30°

B．60°

C．120°

D．150°

（）

2．(江西卷)已知向量

A．30°

?(1,2),(?2,?4),||?

B．60°,若(?)??

C．120°,則與的夾角為

2（）

D．150°

3．(重慶卷)已知A（3，1），B（6，1），C（4，3），D為線段BC的中點(diǎn)，則

A．

與的夾角為（）

444

4B．a(chǎn)rccos C．a(chǎn)rccos(?)D．－arccos(?)

2555

5???????

4．(浙江卷)已知向量a≠e，|e|＝1，對(duì)任意t∈R，恒有|a－te|≥|a－e|，則

?arccos

?

（）

??A．a(chǎn)⊥e ???B．a(chǎn)⊥(a－e)

?

???C．e⊥(a－e)????D．(a＋e)⊥(a－e)

????????．(上海卷)在△ABC中，若?C?90，AC?BC?4，則BA?BC? 2.考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算

1．(湖北卷)已知向量a=（－2，2），b=（5，k）.若|a+b|不超過5，則k的取值范圍是

A．[－4，6]

2．(重慶卷)設(shè)向量a=（－1，2），b=（2，－1），則（a·b）（a+b）等于

A．（1，1）

B．（－4，－4）

C．－4

D．（－2，－2）

()

（）

B．[－6，4]

C．[－6，2]

D．[－2，6]

（）

????

3．(浙江卷)已知向量a＝(x－5，3)，b＝(2，x)，且a⊥b，則由x的值構(gòu)成的集合是

A．{2，3}

B．{－1，6}

C．{2}

D．{6}

例4．(2005年高考·天津卷·理14)在直角坐標(biāo)系xOy中,已知點(diǎn)A(0,1)和點(diǎn)B(－3,4)，若點(diǎn)C在∠AOB的平分線上且||=2,則OC=。

????????????

5．(全國(guó)卷)已知向量OA?(k,12),OB?(4,5),OC?(?k,10)，且A、B、C三點(diǎn)共線，則k=.6．(湖北卷)已知向量a7．(廣東卷)已知向量a

?(?2,2),b?(5,k).若|a?b|不超過5，則k的取值范圍是

?(2,3),b?(x,6),且a//b,則x.3.平面向量在平面幾何中的應(yīng)用

????????

????????ABAC

?),??[0,??),則1.O是平面上一定點(diǎn)，A,B,C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足OP?OA??(|AB||AC|

P的軌跡一定通過△ABC

A．外心的（）B．內(nèi)心

C．重心

D．垂心

????

2．（遼寧卷）已知四邊形ABCD是菱形，點(diǎn)P在對(duì)角線AC上（不包括端點(diǎn)A,C），則AP等于（）

????????????????A．?(AB?AD),??(0,1)

B.?(AB?BC),??(0,????????????????C.?(AB?AD),??(0,1)

D.?(AB?BC),??(0,??????

3．已知有公共端點(diǎn)的向量a，b不共線，|a|＝1，|b|=2,則與向量a，b的夾角平分線平行的單位向量是.????????????????

4．已知直角坐標(biāo)系內(nèi)有三個(gè)定點(diǎn)A(?2,?1)、B(0,10)、C(8,0)，若動(dòng)點(diǎn)P滿足：OP?OA?t(AB?AC),t?R，則點(diǎn)P的軌跡方程。

4.平面向量與三角函數(shù)、函數(shù)等知識(shí)的結(jié)合當(dāng)平面向量給出的形式中含有未知數(shù)時(shí)，由向量平行或垂直的充要條件可以得到關(guān)于該未知數(shù)的關(guān)系式。在此基礎(chǔ)上，可以設(shè)計(jì)出有關(guān)函數(shù)、不等式、三角函數(shù)、數(shù)列的綜合問題。此類題的解題思路是轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算，其轉(zhuǎn)化途徑主要有兩種：

①利用向量平行或垂直的充要條件，②利用向量數(shù)量積的公式和性質(zhì).1．(江西卷)已知向量?(2cos

xx?x?x?,tan(?)),?(2sin(?),tan(?)),令f(x)??.224242

4求函數(shù)f(x)的最大值，最小正周期，并寫出f(x)在[0，π]上的單調(diào)區(qū)間.2．(山東卷)已知向量

??

m?(cos?,sin?)

和

?n?

sin?,cos?,????,2??

?，且

???m?n?求

????

cos???的值.?28?

3．(上海卷)已知函數(shù)

f(x)?kx?b的圖象與x,y軸分別相交于點(diǎn)

A、B，?2?2（,分別是與x,y軸正半

軸同方向的單位向量），函數(shù)g(x)

?x2?x?6.f(x)?g(x)時(shí)，求函數(shù)

（1）求k,b的值；（2）當(dāng)x滿足

g(x)?

1的最小值.f(x)

【反思】這類問題主要是以平面向量的模、數(shù)量積、夾角等公式和相互知識(shí)為紐帶，促成與不等式知識(shí)的相互遷移，有效地考查平面向量有關(guān)知識(shí)、不等式的性質(zhì)、不等式的解法、不等式的應(yīng)用及綜合解題能力。

5.平面向量與解析幾何的交匯與融合由于向量既能體現(xiàn)“形”的直觀位置特征，又具有“數(shù)”的良好運(yùn)算性質(zhì)，是數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)換的橋梁和紐帶。而解析幾何也具有數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)換的特征，所以在向量與解析幾何知識(shí)的交匯處設(shè)計(jì)試題，已逐漸成為高考命題的一個(gè)新的亮點(diǎn)。

平面幾何與解析幾何的結(jié)合通常涉及到夾角、平行、垂直、共線、軌跡等問題的處理，解決此類問題基本思路是將幾何問題坐標(biāo)化、符號(hào)化、數(shù)量化，從而將推理轉(zhuǎn)化為運(yùn)算；或者考慮向量運(yùn)算的幾何意義，利用其幾何意義解決有關(guān)問題。主要包括以下三種題型：

1、運(yùn)用向量共線的充要條件處理解幾中有關(guān)平行、共線等問題

運(yùn)用向量共線的充要條件來處理解幾中有關(guān)平行、共線等問題思路清晰,易于操作,比用斜率或定比分點(diǎn)公式研究這類問

題要簡(jiǎn)捷的多。

2、運(yùn)用向量的數(shù)量積處理解幾中有關(guān)長(zhǎng)度、角度、垂直等問題

運(yùn)用向量的數(shù)量積，可以把有關(guān)的長(zhǎng)度、角度、垂直等幾何關(guān)系迅速轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系，從而“計(jì)算”出所要求的結(jié)果。

3、運(yùn)用平面向量綜合知識(shí)，探求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程，還可再進(jìn)一步探求曲線的性質(zhì)。

1．(江西卷)以下同個(gè)關(guān)于圓錐曲線的命題中 ①設(shè)A、B為兩個(gè)定點(diǎn)，k為非零常數(shù)，|

PA|?|PB|?k，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為雙曲線；

?

(?),則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為橢圓； 2

②設(shè)定圓C上一定點(diǎn)A作圓的動(dòng)點(diǎn)弦AB，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若③方程2x

?5x?2?0的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；

x2y2x2

??1與橢圓?y2?1有相同的焦點(diǎn).④雙曲線

25935

其中真命題的序號(hào)為（寫出所有真命題的序號(hào)）

???????????

2．平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知A(3,1),B(?1,3)，若點(diǎn)C滿足OC??0A??OB，其中?,??R，且?

???1，則點(diǎn)C的軌跡方程為()

A.C.3x?2y?11?0B.(x?1)2?(y?2)2?5 2x?y?0D.x?2y?5?0

2．已知平面上一個(gè)定點(diǎn)C（－1，0）和一條定直線l：x＝－4，P為該平面上一動(dòng)點(diǎn)，作PQ⊥l，垂足為Q，????????????????

（PQ＋2PC）?（PQ－2PC）＝0.（1）求點(diǎn)P的軌跡方程；

????????

PC的取值范圍．（2）求PQ·