第一篇：高中數(shù)學(xué)知識(shí)復(fù)習(xí)要點(diǎn)掌握之平面向量

平面向量復(fù)習(xí)基本知識(shí)點(diǎn)及經(jīng)典結(jié)論總結(jié)

1、向量有關(guān)概念：

（1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和數(shù)量的區(qū)別。向量常用有向線段來表示，注意不能說向量就是有向線段，為什么？（向量可以平移）。如已知A（1,2），B（4,2），則把向量AB按向量a＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（答：（3,0））

（2）零向量：長度為0的向量叫零向量，記作：，注意零向量的方向是任意的；

（3）單位向量：長度為一個(gè)單位長度的向量叫做單位向量(與AB共線的單位向量是?AB)；

|AB|

（4）相等向量：長度相等且方向相同的兩個(gè)向量叫相等向量，相等向量有傳遞性；

（5）平行向量（也叫共線向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，記作：∥，規(guī)定零向量和任何向量平行。提醒：①相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等；②兩個(gè)向量平行與與兩條直線平行是不同的兩個(gè)概念：兩個(gè)向量平行包含兩個(gè)向量共線, 但兩條直線平行不包含兩條直線重合；③平行向量無傳遞性！（因?yàn)橛?)；④三點(diǎn)A、B、C共線?AB、AC共線；

（6）相反向量：長度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是－。如下列命題：（1）若a?b，則a?b。（2）兩個(gè)向量相等的充要條件是它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同。（3）若AB?DC，則ABCD是平行四邊形。（4）若ABCD是平行四邊形，則AB?DC。（5）若a?b,b?c，則a?c。（6）若a//b,b//c，則a//c。其中正確的是_______（答：（4）（5））

2、向量的表示方法：（1）幾何表示法：用帶箭頭的有向線段表示，如AB，注意起點(diǎn)在前，終點(diǎn)在后；（2）符號(hào)表示法：用一個(gè)小寫的英文字母來表示，如，等；（3）坐標(biāo)表示法：在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系，以與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i，j為基底，則平面內(nèi)的任一向量a可表示為a?xi?yj??x,y?，稱?x,y?為向量a的坐標(biāo)，a＝?x,y?叫做向量a的坐標(biāo)表示。如果向量的起點(diǎn)在原點(diǎn)，那么向量的坐標(biāo)與向量的終點(diǎn)坐標(biāo)相同。

3.平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)該平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)?

1、?2，使a=?1e1＋?2e2。如（1）若a?(1,1),b?

13；（2）下列向量組中，能作為平面內(nèi)所有向量基底的是 A.a?b）2

213；（3）e1?(0,0),e2?(1,?2)B.e1?(?1,2),e2?(5,7)C.e1?(3,5),e2?(6,10)D.e1?(2,?3),e2?(,?)（答：B）2

424已知AD,BE分別是?ABC的邊BC,AC上的中線,且AD?a,BE?b,則BC可用向量a,b表示為_____a?b）；33(1,?1),c?(?1,2)，則c?______（答：

（4）已知?ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，且CD?2DB，CD?rAB?sAC，則r?s的值是___（答：0）

4、實(shí)數(shù)與向量的積：實(shí)數(shù)?與向量a的積是一個(gè)向量，記作?a，它的長度和方向規(guī)定如下：?1??a??a,?2?當(dāng)?>0時(shí)，?a的方向與a的方向相同，當(dāng)?<0時(shí)，?a的方向與a的方向相反，當(dāng)?＝0時(shí)，?a?0，注意：?a≠0。

5、平面向量的數(shù)量積：

（1）兩個(gè)向量的夾角：對(duì)于非零向量，作OA?a,OB?b，?AOB??

?0?????稱為向量，的夾角，當(dāng)?＝0時(shí)，同向，當(dāng)?＝?時(shí)，反向，當(dāng)?＝2時(shí)，垂直。

（2）平面向量的數(shù)量積：如果兩個(gè)非零向量a，b，它們的夾角為?，我們把數(shù)量|a||b|cos?叫做a與b的數(shù)量積（或內(nèi)積或點(diǎn)積），記作：?，即?＝abcos?。規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積是0，注意數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，不再是一個(gè)向量。如（1）△ABC中，|AB|?3，|AC|?4，|BC|?5，則AB?BC?_________（答：－

9）；（2）已知a?(1,),b?(0,?),c?a?kb,d?a?b，c與d的夾角為?????????????????????????1212?4，則

k等于____（答：1）；（3）已知a?2,b?5,ab??3，則a?b等于____；（4）已知a,b是兩個(gè)非零向量，且a?b?a?b，則a與a?b的夾角為____（答：30）

（3）b在a上的投影為|b|cos?，它是一個(gè)實(shí)數(shù)，但不一定大于0。如已知|a|?3，|b|?5，且a?b?12，則向量a在向量b上的投影為______（答：

?

?

????

12）

5（4）?的幾何意義：數(shù)量積?等于的模|a|與在上的投影的積。（5）向量數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)兩個(gè)非零向量，其夾角為?，則： ①a?b?a?b?0；

②當(dāng)，同向時(shí)，?

＝ab，特別地，a?a?a?a,a?；當(dāng)與反向時(shí)，?＝－ab；當(dāng)?為銳角時(shí)，?＞0，且a、b不同向，a?b?0是?為銳角的必要非充分條件；當(dāng)?為鈍角時(shí)，?＜0，且a、b不反向，a?b?0是?為鈍角的必要非充分條件；

③非零向量，夾角?的計(jì)算公式：cos??

?

?

22a?bab

；④|a?b|?|a||b|。如（1）已知a?(?,2?)，b?(3?,2)，??

如果a與b的夾角為銳角，則?的取值范圍是______（答：???

??????

41或??0且??）；（2）已知?OFQ的面積為S，3

3????

????13

且OF?FQ?1，若?S?，則OF,FQ夾角?的取值范圍是_________（答：(,)）；（3）已知

432

2a?(cosx,sixnb)?,與b之間有關(guān)系式ka?b??kb,其中k?0，①用k表示a?b；②求a?b的最(cyos,ysain

1k2?1

(k?0)；②最小值為，??60）小值，并求此時(shí)a與b的夾角?的大小（答：①a?b?4k26、向量的運(yùn)算：（1）幾何運(yùn)算：

①向量加法：利用“平行四邊形法則”進(jìn)行，但“平行四邊形法則”只適用于不共線的向量，如此之外，向量加

法還可利用“三角形法則”：設(shè)AB?a,BC?b，那么向量AC叫做a與b的和，即a?b?AB?BC?AC；

②向量的減法：用“三角形法則”：設(shè)AB?a,AC?b,那么a?b?AB?AC?CA，由減向量的終點(diǎn)指向被減向量的終點(diǎn)。注意：此處減向量與被減向量的起點(diǎn)相同。如（1）化簡：①AB?BC?CD?___；②AB?AD?DC?____

；③(AB?CD)?(AC?BD)?_____（答：①AD；②CB；③0）；（2）若正方形ABCD的邊長為1，；（3）若O是ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足AB?a,BC?b,AC?c，則|a?b?c|＝_____（答：）

?ABCOB?OC?OB?OC?2OA，則ABC的形狀為____（答：直角三角形）；（4）若D為?ABC的邊BC的中點(diǎn)，|AP|

；（5）若點(diǎn)O是△ABC的外??，則?的值為___（答：2）

|PD|

心，且OA?OB?CO?0，則△ABC的內(nèi)角C為____（答：120）；

（2）坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)a?(x1,y1),b?(x2,y2)，則：

所在平面內(nèi)有一點(diǎn)P，滿足PA?BP?CP?0，設(shè)

①向量的加減法運(yùn)算：a?b?(x1?x2，y1?y2)。如（1）已知點(diǎn)A(2,3),B(5,4)，C(7,10)，若

1；（2）已知AP?AB??AC(??R)，則當(dāng)?＝____時(shí)，點(diǎn)P在第一、三象限的角平分線上（答：）2?1???

；（3）已知作用在點(diǎn)A(1,1)A(2,3),B(1,4),且AB?(sinx,cosy)，x,y?(?,)，則x?y?或?）22226的三個(gè)力F1?(3,4),F2?(2,?5),F3?(3,1)，則合力F?F1?F2?F3的終點(diǎn)坐標(biāo)是（答：（9,1））

②實(shí)數(shù)與向量的積：?a???x1,y1????x1,?y1?。

③若A(x1,y1),B(x2,y2)，則AB??x2?x1,y2?y1?，即一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)。如設(shè)A(2,3),B(?1,5)，且AC?

AB，AD?3AB，則C、D的坐標(biāo)分別是__________（答：

3(1,1

1；),(?7,9)）

④平面向量數(shù)量積：a?b?x1x2?y1y2。如已知向量a＝（sinx，cosx）, b＝（sinx，sinx）, c＝（－1，0）。（1）

?3??11,]，求向量、的夾角；（2）若x∈[?函數(shù)f(x)???的最大值為，求?的值（答：(1)150;(2)842

2或1）；

若x＝

⑤向量的模

：|a|?_____；

⑥兩點(diǎn)間的距離：若A?x

1,y1?,Bx?2y,a?|a|2?x2?y2。如已知

a,b均為單位向量，它們的夾角為60，那么|a?3b|＝

?，則|AB|?如如圖，在平面斜坐標(biāo)系xOy中，?xOy?60，平面上任一點(diǎn)P關(guān)于斜坐標(biāo)系的斜坐標(biāo)是這樣定義的：若OP?xe1?ye2，其中

（1）若點(diǎn)P的斜坐標(biāo)為（2，e1,e2分別為與x軸、y軸同方向的單位向量，則P點(diǎn)斜坐標(biāo)為(x,y)。－2），求P到O的距離｜PO｜；（2）求以O(shè)為圓心，1為半徑的圓在斜坐標(biāo)系xOy中的方程。（答：（1）2；（2）x2?y2?xy?1?0）；

??

?b??a???ab?律：a?b?c??a??,b?ca?c?，??bc???a?b??a???b?；（3）分配律：

?????a??a??a,??a?b???a??b，?a?b??c?a?c?b?c。如下列命題中：① a?(b?c)?a?b?a?c；②

7、向量的運(yùn)算律：（1）交換律：a?b?b?a，??a?????a，a?b?b?a；(2)結(jié)合?

?

?

??

??

?

a?(b?c)?(a?b)?c；③(a?b)?|a|

2?

?

?

??

?

?

????????

?2|a|?|b|?|b|；④ 若a?b?0，則a?0或b?0；⑤若a?b?c?b,則a?c；⑥a?a；⑦

a?ba

?

ba；

⑧(a?b)2?a?b；⑨(a?b)2?a?2a?b?b。其中正確的是______（答：①⑥⑨）提醒：（1）向量運(yùn)算和實(shí)數(shù)運(yùn)算有類似的地方也有區(qū)別：對(duì)于一個(gè)向量等式，可以移項(xiàng)，兩邊平方、兩邊同乘以一個(gè)實(shí)數(shù)，兩邊同時(shí)取模，兩邊同乘以一個(gè)向量，但不能兩邊同除以一個(gè)向量，即兩邊不能約去一個(gè)向量，切記兩向量不能相除(相約)；（2）向量的“乘法”不滿足結(jié)合律，即(?)?(?)，為什么？

8、向量平行(共線)的充要條件：a//b?a??b?(a?b)2?(|a||b|)2?x1y2?y1x2＝0。如(1)若向量

u?a?2b，v?2a?b，當(dāng)x＝_____時(shí)a與b共線且方向相同（答：2）；（2）已知a?(1,1),b?(4,x)，a?(x,1),b?(4,x)，且u//v，則x＝______（答：4）；（3）設(shè)PA?(k,12),PB?(4,5),PC?(10,k)，則k＝_____時(shí)，A,B,C共線（答：－2或11）

9、向量垂直的充要條件：a?b?a?b?0?|a?b|?|a?b|

?x1x2?y1y2?0.特別地

（ABAB

?

ACAC)?（ABAB

?

AC

3；（2）)。如(1)已知OA?(?1,2),OB?(3,m)，若OA?OB，則m?）2AC

以原點(diǎn)O和A(4,2)為兩個(gè)頂點(diǎn)作等腰直角三角形OAB，?B?90?，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是________（答：(1,3)或（3，－1））；（3）已知n?(a,b),向量n?m，且n?m，則m的坐標(biāo)是________（答：(b,?a)或(?b,a)）

10.線段的定比分點(diǎn)：

（1）定比分點(diǎn)的概念：設(shè)點(diǎn)P是直線P1P2上異于P1、P2的任意一點(diǎn)，若存在一個(gè)實(shí)數(shù)?，使PP??PP2，則

1?叫做點(diǎn)P分有向線段PP?的定比分點(diǎn)； 12所成的比，P點(diǎn)叫做有向線段PP12的以定比為

（2）?的符號(hào)與分點(diǎn)P的位置之間的關(guān)系：當(dāng)P點(diǎn)在線段 P1P2上時(shí)??>0；當(dāng)P點(diǎn)在線段 P1P2的延長線上?，則點(diǎn)P分有時(shí)??<－1；當(dāng)P點(diǎn)在線段P2P1的延長線上時(shí)??1??

?0；若點(diǎn)P分有向線段PP12所成的比為

向線段P2P1所成的比為

?

。如若點(diǎn)P分AB所成的比為

37，則A分BP所成的比為_______（答：?）

43?x???

?，（3）線段的定比分點(diǎn)公式：設(shè)P則?x1,y1)、P2(x2,y2)，P(x,y)分有向線段PP1(12所成的比為

?y???

x1??x

21??，y1??y21??

x1?x2?x???2?特別地，當(dāng)?＝1時(shí)，就得到線段P1P2的中點(diǎn)公式。在使用定比分點(diǎn)的坐標(biāo)公式時(shí)，應(yīng)明確(x,y)，?y?y1?y2??2(x1,y1)、(x2,y2)的意義，即分別為分點(diǎn)，起點(diǎn)，終點(diǎn)的坐標(biāo)。在具體計(jì)算時(shí)應(yīng)根據(jù)題設(shè)條件，靈活地確定起點(diǎn)，分

???1???

點(diǎn)和終點(diǎn)，并根據(jù)這些點(diǎn)確定對(duì)應(yīng)的定比?。如（1）若M（-3，-2），N（6，-1），且MP??MN，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為

1_______（答：(?6,?)）；（2）已知A(a,0),B(3,2?a)，直線y?ax與線段AB交于M，且AM?2MB，則a等于

32_______（答：２或－４）

x??x?h

11.平移公式：如果點(diǎn)P(x,y)按向量a??h,k?平移至P(x?,y?)，則?；曲線f(x,y)?0按向量a??h,k??

k?y??y?

平移得曲線f(x?h,y?k)?0.注意：（1）函數(shù)按向量平移與平常“左加右減”有何聯(lián)系？（2）向量平移具有坐標(biāo)不

變性，可別忘了啊！如（1）按向量a把(2,?3)平移到(1,?2)，則按向量a把點(diǎn)(?7,2)平移到點(diǎn)______（答：（－８，(?３））；（2）函數(shù)y?sin2x的圖象按向量a平移后，所得函數(shù)的解析式是y?cos2x?1，則a＝________（答：

12、向量中一些常用的結(jié)論：

（1）一個(gè)封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量，要注意運(yùn)用；

（2）||a|?|b||?|a?b|?|a|?|b|，特別地，當(dāng)a、b同向或有0?|a?b|?|a|?|b|

??

?,1)）

；當(dāng)a、b反向或有0?|a?b|?|a? b不共線?||a|?|b||?|a?b|；當(dāng)a、|b|?|a|?|b|?|a|?|b).?|a|?|b|?|a|?|b?a|?|(這些和實(shí)數(shù)比較類似b

?x?x2?x3y1?y2?y3?

（3）在?ABC中，①若A?x1,y1?,B?x2,y2?,C?x3,y3?，則其重心的坐標(biāo)為G?1,?。如

33??若⊿ABC的三邊的中點(diǎn)分別為（2，1）、（-3，4）、（-1，-1），則⊿ABC的重心的坐標(biāo)為_______（答：(?

4,)）； 3

3②PG?(PA?PB?PC)?G為?ABC的重心，特別地PA?PB?PC?0?P為?ABC的重心；

③PA?PB?PB?PC?PC?PA?P為?ABC的垂心；

④向量?(AB?AC)(??0)所在直線過?ABC的內(nèi)心(是?BAC的角平分線所在直線)；

|AB||AC|

⑤|AB|PC?|BC|PA?|CA|PB?0?P?ABC的內(nèi)心；

?，點(diǎn)M為平面內(nèi)的任一點(diǎn)，則MP?MP1??MP2，特別地P為PP（3）若P分有向線段PP12的中12所成的比為

1??

1?MP2； 點(diǎn)?MP?MP

2（4）向量PA、PB、PC中三終點(diǎn)A、B、C共線?存在實(shí)數(shù)?、?使得PA??PB??PC且????1.如平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知兩點(diǎn)A(3,1),B(?1,3),若點(diǎn)C滿足OC?

???

?1OA??2OB,其中?1,?2?R且

??????

?1??2?1,則點(diǎn)C的軌跡是_______（答：直線AB）

第二篇：2014高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：平面向量

高考數(shù)學(xué)內(nèi)部交流資料【1--4】

2014高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：平面向量

一選擇題（每題5分，共50分）

1.向量????﹒化簡后等于（）

A.AMB.0C.0D.AC

2.下面給出的關(guān)系式中，正確的個(gè)數(shù)是（）

10·=0○2 ·=·○

3?○4○2??5?a?b ????a??

A.0B.1C.2D.3 3.對(duì)于非零向量a.b,下列命題中正確的是（）

A.a?b?0 ?a?0或b?0B//?在上的投

影為。C.?????D.a?c?b?c?a?b

4.已知=?5,?2?,=??4,?3?,=?x,y?.若-2+3=.則等于()A.?1,?B.??2?8?

?3??138??134??134?,?C.?,?D.??,?? ?33??33??33?

1AB?()25已知???2,4?,??2,6?,A.(0,5)B.(0,1)C.(2,5)D.(2,1)6e1.e2是平面內(nèi)的一組基底，則下列四組向量中，不能作為一組基底的是（）

A.e1 和e1?e2B.e1—2e2和e2?2e1 C.e1—2e2和4e2?2e1 D.e1?e2和e1—e2 7已知?ABC中AB?AC>0,則?ABC的形狀是（）

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.不能確定 8已知??1,0?,??1,1?，且?k恰好與垂直，則實(shí)數(shù)k的值是（）

A.1B.—1C.1或—1D.以上都不對(duì)

9.已知=??,2?,???3,5?，且與的夾角是鈍角，則?的范圍是（）

A.??10101010B.??C.??D.?? 3333

10.已知,是夾角為60的兩個(gè)單位向量，則?2?,??3?的夾角是（）A.30B.60C.120D.150

二．填空題（每題5分,共25分）

11.若a??6,?8?，則與a平行的單位向量是12.若向量,?1?2且與的夾角為13.?

1?

2，???0，則與的夾角為

?

?

?=3

14．設(shè)e1.e2為兩個(gè)不共線的向量，若?e1??e2與??2e1?3e2與共線，則??15已知平面內(nèi)三點(diǎn)A.B.C?3?4

?5,則?????的值等于三．解答題（共75分）

16(12分)已知向量a?3e1?2e2,b?4e1?e2其中e1??1,0?,e2??0,1?求：（1）?，（2）與夾角的余弦值。

17(12分).已知向量??3,?4?,??2,x?,??2,y?且//,?求：（1）x,y的值；（2的值

??

18.（12分）已知向量??sinx,1?,??cosx,1?（1）當(dāng)a//b時(shí)，求cosx?sinxcosx的值；（2）求f(x)=?的最小正周期及最值。

19.（12分）已知??2,?2?4,?3?6（其中,是任意兩個(gè)不共線

向量），證明：A.B.C三點(diǎn)共線。

20．（13分）已知?ABC中，A?5,?1?，B??1,7?,C?1,2.?求（1）BC邊上的中線AM的長;（2）cos?ABC的值

21.（14

?3?2,的夾角為60，c?3a?5b,d?ma?3b；（1）當(dāng)m為何值時(shí)，c與d垂直？（2）當(dāng)m為何值時(shí)，c與d共線？

第三篇：2013高中文科平面向量習(xí)題精選

2013高中文科平面向量習(xí)題精選

一、證明三點(diǎn)共線

例1 如圖，在空間四邊形ABCD中，E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，G、H分別在BC、CD上，且BG : GC＝DH: HC＝1: 2.設(shè)EG和HF交于點(diǎn)P，求證P、A、C三點(diǎn)共線.?????????????????????????????

解設(shè)DA?a,DB?b,DC?c，則AC?DC?DA?c?a, F PFEF

3??，∴ PF?3FH ?????????????????????????1??????????????∴PA?3FH?DF?3DH?DF?DF?3?DC?DF??DF

?3?

???????????????????DC?2DF?DC?DA?c?a????????

∴ PA?AC且A為PA、AC公共點(diǎn)，故P、A、C三點(diǎn)共線

∵

??

B G

二、證明直線平行平面

D

A

M

A1??????????

向量a平行平面ABC的充要條件是a?xAB?yAC

例2 直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，M、N分別是AB1與BC1上的點(diǎn)，且

CN C

1AMBN，求證MN∥平面ABCD.?

11???????????????AMBN解 設(shè)AB?a,AD?b,AA1?c,???，則

AB1BC1

??????????????????????????????????????∵ MN?AN?AM?AB?BN?AM?a??BC1??AB1

????????????????????????

?a??BB1?B1C1??AA1?A1B1?a??c?b???c?a?

????

??1???a??1???b，且a與b不共線

??????

?????

∴ MN∥平面ABCD，而MN?平面ABCD，故MN∥平面ABCD.三、證明直線垂直直線（或直線垂直平面）????a?b?a?b?0

例3 如圖，在四面體ABCD中，M是AB的中點(diǎn)，N是CD的中點(diǎn)，求證：MN是異面直線AB，CD的公垂線的充要條件是：AC＝BD，BC＝AD.?????????????????

證明 設(shè)AM?a,MN?b,CN?c

????

b?0,b?c?0 必要性 若MN是異面直線AB，CD的公垂線，則a????????????????????????????????

∵AC?AM?MC?AM?MN?NC?a?b?c，N

?????????????????????

同樣的可得 BD??a?b?c，BC??a?b?c,AD?a?b?c ????2???∴ AC?a?b?c

??

?2?2?2?2????????

?a?b?c?2a?c，BD??a?b?c

??

?2?2?2??

?a?b?c?2a?c

因此，AC＝BD，同理BC＝AD.???

充分性 由AC＝BD，得a?b?c

???

?????a?b?c

?

?????a?b?b?c ①

???

由BC＝AD，得?a?b?c

???

????a?b?c

?

????

?a?b??b?c ②

??

b?0 故MN⊥AM，同理MN⊥CN，即 MN是異面直線AB，CD的公垂①＋②得 a?

線.四、求異面直線的夾角

例4 在正四面體ABCD中，M、P分別為棱AD、CD的中點(diǎn)，N、Q分別是面BCD、面ABC的中心，求MN與PQ的夾角.???????????????

解 設(shè)正四面體的棱長為2，O為BC中點(diǎn)，AB?a,AC?b,AD?c，則

?????????a?b?c?2，a?b?b?c?c?a?2，??????????????????????1????????1????1????

∵ MN?AN?AM?AO?ON?AD?AO?OD?AD

32????1????????1????2????1????1??1? ?AO?AD?AO?AD?AO?AD?a?b?c

QB????????????2????1????????1??1?

PQ?AQ?AP?AO?AC?AD?2a?b?c

O

M

????

????

?????2?1??1??2

∴ MN??a?b?c??1，即|MN|＝|PQ|＝1，6??3

??

?????????

???????????????????1??1???1??1??MN?PQ1

1MN?PQ??a?b?c???2a?b?c???，cosMN,PQ???

6??62?1818?3MNPQ

????

?1?因此，MN與PQ的夾角為arccos???

?18?

空間向量的基底的應(yīng)用恰恰是教學(xué)中的薄弱環(huán)節(jié),如果不注意及時(shí)補(bǔ)上這一課,久而久之,應(yīng)用向量的思維會(huì)鈍化,甚至?xí)壞厩篝~.向量回路與基底

例：如圖1，在平行四邊形ABCD中E，F(xiàn)分別為AD，CD中點(diǎn)，連接BE，BF交AC于點(diǎn)R，T，求證R，T分別為AC三等分點(diǎn)。

圖1

基底法證明：第一步，建立平面幾何與向量的關(guān)系，用向量表示問題中的幾何元素，將平面

????????????????????

幾何問題轉(zhuǎn)化成向量問題：設(shè)AB?a，AD?b，AR?r，AT?t，則AC?a?b。

????????

第二步，通過向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系：由于AR與AC共線，所以，我們?cè)O(shè)

????????????????????1

r?n(a?b)，n?R，又因?yàn)镋B?AB?AE?a?b，ER與EB共線，所以我們?cè)O(shè)

????????????????????111ER?mEB?m(a?b)。因?yàn)锳R?AE?E，R所以r?b?m(a?b)。因此

222

11m?1

n(a?b)?b?m(a?b)，即(n?m)a?(n?b?0。由于向量a，b不共線，要

222

?n?m?0????1????????2????1?

使上式為0，必須?。解得n?m?。所以AR?AC，AT?AC。m?1

333n??0??2

第三步，把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系：AR?RT?TC。

???????????????????????????

回路法證明：由題意得AB?DC?2FC，即AT?TB?2FT?2TC。根據(jù)平面向量的基????????

本定理，可得AT?2TC，故點(diǎn)T為AC三等分點(diǎn)。同理點(diǎn)R為AC三等分點(diǎn)。

從學(xué)生已有的知識(shí)儲(chǔ)備來考慮，學(xué)生已經(jīng)學(xué)過三角形相似，很容易證明?ATB??CTF，從而

ATAB

??2，而學(xué)了教材上的新方法反而更復(fù)雜了。CTCF

基底法常見的作法是：一上來就設(shè)基底，然后將其他向量用基底表示，接下來只要計(jì)算就行了。而回路法則是：先充分利用題目已知條件列出等式，再逐步轉(zhuǎn)化。

????????

譬如上面的例題，一遇到平行四邊形ABCD，基底法馬上就設(shè)“AB?a，AD?b”，根本????????

不管題目中的另外已知條件。這樣設(shè)基底，用處不大，通過“AB?a，AD?b”連AB、????????????

AD是平行四邊形ABCD的兩鄰邊都看不出來。而回路法的“AB?DC?2FC”，短短一行

式子，就將平行四邊形、中點(diǎn)兩個(gè)基本信息包含在內(nèi)了。解題，是從已知條件出發(fā)，利用推理規(guī)則，到達(dá)結(jié)論的彼岸。

面對(duì)一個(gè)題目，可用的方法、定理、公式，何其多矣，并不一定要用向量法，把大把可用的方法、定理、公式排除在外，結(jié)果只會(huì)是自我束縛，難以施展。

即使確定要用向量法，也沒必要一上來就設(shè)基底，因?yàn)槠矫嫔先我鈨蓚€(gè)不共線的向量都可以選擇成為基底，那么我們完全用不著事先設(shè)定，而是走著瞧，誰用著方便就選誰。而題目的已知條件則是必須用到的，一個(gè)題目如果不是條件冗余，那么解題者必須把每個(gè)

條件至少用上一遍，才有可能解答出來。既然已知條件是必須用上的，就好比我們?cè)谏钪械挠行┦率潜仨氉龅哪菢樱覀兒尾话堰@件事擺在首位呢？

向量回路法先充分利用題目條件列出等式，而不確定誰為基底，有點(diǎn)打游擊戰(zhàn)的感覺；筆者承認(rèn)，回路法是比基底法更靈活，但我們教學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，不就是要教給學(xué)生靈活運(yùn)用的能力么？回路法的靈活會(huì)激發(fā)學(xué)生的思考，遠(yuǎn)勝過基底法的生搬硬套帶來的繁瑣計(jì)算。數(shù)學(xué)教學(xué)，絕不是培養(yǎng)死套公式的解題機(jī)器。

解題不從題目已知條件出發(fā)，而總想生搬硬套。即使題目被解出來了，也缺少靈氣。

向量解題，選擇基底是必須的，就好比坐標(biāo)法需要建立坐標(biāo)系一樣，否則就沒法用平面向量基本定理，但筆者認(rèn)為向量法的好處就在于不必像坐標(biāo)法那樣首先建坐標(biāo)系。稍有經(jīng)驗(yàn)的解題者就知道：坐標(biāo)系的選取不同很大程度上決定了接下來的運(yùn)算是否輕松。

本文例題涉及交點(diǎn)分線段比例，解析法求交點(diǎn)相當(dāng)于解聯(lián)立方程，解題人思路往往被導(dǎo)向解方程，以致走向彎路。向量回路法處理涉及交點(diǎn)的問題，其訣竅在于從一個(gè)涉及解題目標(biāo)的回路等式出發(fā)，利用題設(shè)條件和回路等式代換盡量把等式中的向量都化到相交的線段上，從而應(yīng)用基本定理獲取關(guān)鍵信息。心中只要有了這個(gè)主見，相當(dāng)多的幾何問題可以迎刃而解。

平面向量基本定理同步訓(xùn)練題

1．下面給出三種說法，其中正確的說法是()

①一個(gè)平面只有一對(duì)不共線的向量可作為表示該平面所有向量的基底；②一個(gè)平面內(nèi)有無數(shù)對(duì)不共線的向量可作為表示該平面所有向量的基底；③零向量不能作為基底中的向量．

A．①②B．②③C．①③D．①②③

2．如果e1,e2是平面α內(nèi)所有向量的一組基底，那么，下列命題中正確的是()

A、若實(shí)數(shù)?1,?2使?e1??e2?0，則?1??2?0

B、空間任一向量a都可以表示為a??1e1??2e2，其中?

1、?2?R C、?1e1??2e2一定不在平面?內(nèi)，?

1、?2?R

D、對(duì)于平面?內(nèi)任一向量a,使a??1e1??2e2的實(shí)數(shù)?1?2有無數(shù)對(duì)

3、設(shè)點(diǎn)O是平行四邊形ABCD的兩對(duì)角線的交點(diǎn)，下列向量組：①AD與AB；②DA與BC；③CA與DC；④OD與OB，可作為該平面其他向量基底的是（）A、①②B、①③C、①④D、③④

4、已知e1,e2是平面內(nèi)兩不共線向量a?3e1?2e2,b??2e1?e2，若c?7e1?4e2，試用a和b表示c。

5、如圖2—3—1，平行四邊形ABCD中，M、N分別為DC、BC的中點(diǎn)，已知AM?c,AN?d，試用c、d表示AB和AD。

6、若OP1?a,OP2?b,P1P??PP2，則OP?（）

A、a??b

B、?a?b

C、?a?(1??)b

D、1?a?b 1??1??

7、已知平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)E，O是平面內(nèi)任意一點(diǎn)。

8、如圖2—3—2，在△OAB中，延長BA到C，使AC=BA，在OB

上取

求證：OA?OB?OC?OD?4OE

點(diǎn)D，使DB?OB,DC與OA交于E,設(shè)OA?a,OB?b，用a、b表示向量、。

9、已知a與b不共線，實(shí)數(shù)x、y滿足等式3xa?(10?y)b?(4y?7)a?2xb，則

3x?__________，y=________。

10、如圖2—3—3在△ABC中，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N在邊AC上，且AN=2NC，AM與BN相交于點(diǎn)P，求AP：PM的值。

【參考答案】

1、B2、A3、B4、解：∵a,b不共線，設(shè)c?xa?yb，則

c?x(3e1?2e2)?y(?2e1?e2)

?(3x?2y)e1?(?2x?y)e

2又∵c?7e1?4e2，∴7e1?4e2?(3x?2y)e1?(?2x?y)e2 ∵e1,e2不共線，?3x?2y?7,∴?

?2x?y??4,??x?1∴?,?c?a?2b。

y??2?

5、解：設(shè)?a,?b，則由M、N分別為DC、BC的中點(diǎn)，可得BN?

從△ABN和△ADM中可得，1?a?b?d①??2 ?

1?b?a?c②?2?

1b，DM?a。

2(2d?c)。32

②?2?①，得b?(2c?d)。

即AB?(2d?c),AD?(2c?d)

3①?2?②，得a?

OP1??OP21?

?a?b。

1??1??1??

7、證明：∵在△OAC中，OE為中線，∴?(?)

21同理OE?(OB?OD)

∴????4。

8、解：∵A是BC中點(diǎn)，∴OA?(OB?OC)

即OC?2OA?OB?2a?b

5DC?OC?OD?OC?OB?2a?b?b?2a?b。

333?3x?4y?747169、點(diǎn)撥：? ,10?y?2x1111?

6、D 點(diǎn)撥：?

10、解：設(shè)?e1,?e2，則????3e2?e1,?2e1?e2，∵A、P、M和B、P、N分別共線，∴存在實(shí)數(shù)?、u，使AP??AM???e1?3?e2，?u?2ue1?ue2，而BA?BP?AP?(??2u)e1?(3??u)e2，又∵???2e1?3e2，4???

???2u?2??5∴? ,??

3??u?33??u?

?5?

∴?,?AP:PM?4:1

第四篇：平面向量復(fù)習(xí)課教案

平面向量復(fù)習(xí)課

一．考試要求：

1、理解向量的概念，掌握向量的幾何表示，了解共線向量的概念。

2、掌握向量的加法和減法。

3、掌握實(shí)數(shù)與向量的積，理解兩個(gè)向量共線的充要條件。

4、了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐標(biāo)的概念，掌握平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算。

5、掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義。了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關(guān)長度，角度和垂直的問題，掌握向量垂直的條件。二．知識(shí)梳理

1．向量的概念：

向量，零向量，單位向量，平行向量（共線向量），相等向量，向量的模等。

2．向量的基本運(yùn)算（1）向量的加減運(yùn)算

幾何運(yùn)算：向量的加減法按平行四邊行法則或三角形法則進(jìn)行。坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)a =(x1,y1), b =(x2,y2)則a+b=(x1+x2,y1+y2)a-b=(x1-x2,y1-y2)

(2)平面向量的數(shù)量積 ： a?b=abcos?

設(shè)a =(x1,y1), b =(x2,y2)則a?b=x1x2+y1y2（3）兩個(gè)向量平行的充要條件 ∥ 若 =(x1,y1), =(x2,y2)，則 ∥ 3．兩個(gè)非零向量垂直的充要條件是 ⊥

=λ

x1y2-x2y1=0

· =0 設(shè) =(x1,y1)，=(x2,y2)，則 ⊥ x1x2+y1y2=0 三．教學(xué)過程

（一）基礎(chǔ)知識(shí)訓(xùn)練

1.下列命題正確的是（）

(A)單位向量都相等(B)任一向量與它的相反向量不相等(C)平行向量不一定是共線向量(D)模為0的向量與任意向量共線 2.已知正六邊形ABCDEF中，若AB?a，F(xiàn)A?b，則BC?（）

(A)12(a?b)(B)12(a?b)(C)a?b(D)12a?b

3.已知向量e1?0,??R，a?e1??e2,b=2e1若向量a與b共線，則下列關(guān)系一定成立是（）

(A)??0(B)e2?0(C)e1∥e2(D)e1∥e2或??0 4.若向量a?(?1,x)，b?(?x,2)共線且方向相同，x=__________。

（二）．典例分析

??例1：（1）設(shè)a與b為非零向量，下列命題：

???? ①若a與b平行，則a?與b?向量的方向相同或相反；

?? ②若AB?a,CD?b, a與b共線，則A、B、C、D四點(diǎn)必在一條直線上；

?????????a??③若a與b共線，則a?b?a?b；④若a與b反向，則a???b

b其中正確命題的個(gè)數(shù)有（A）1個(gè)（B）2個(gè)（C）3個(gè)（D）4個(gè)

（2）下列結(jié)論正確的是（）

??????????????（A）a?b?ab（B）a?b?a?b（C）若(a?b)c?(c?a)b?0

????????（D）若a與b都是非零向量，則a?b的充要條件為a?b?a?b

錯(cuò)解：（1）有學(xué)生認(rèn)為①②③④全正確，答案為4；也有學(xué)生認(rèn)為①或④是錯(cuò)的，答案為2或3；（2）A或B或C。

分析：學(xué)生對(duì)向量基礎(chǔ)知識(shí)理解不正確、與實(shí)數(shù)有關(guān)性質(zhì)運(yùn)算相混淆，致使選擇錯(cuò)誤。

??第（1）小題中，正確的應(yīng)該是①④，答案為2。共線向量（a與b共

?線）的充要條件中所存在的常數(shù)?可看作為向量b作伸縮變換成為另一個(gè)向量???????a所作的伸縮量；若a，b為非零向量，則共線的a與b滿足a與b同向時(shí)??????b??ba?a?，a與b反向時(shí)a??a?。

bb第（2）小題中，正確答案為（D）。學(xué)生的錯(cuò)誤多為與實(shí)數(shù)運(yùn)算相混淆所致。選擇支D同時(shí)要求學(xué)生明確向量垂直、兩個(gè)向量的數(shù)量積、向量的模之間互化方法，并進(jìn)行正確互化。

例2 設(shè)a、b是兩個(gè)不共線向量。AB=2a+kb BC=a+b CD=a-2b A、B、D共線則k=_____(k∈R)解：BD=BC+CD=a+b+a-2b=2a-b 2a+kb=λ(2a-b)=2λa-λb

∴ 2=2λ且 k=-λ

∴ k=-1 例3 梯形ABCD，且|AB|=2|DC|,M、N分別為DC、AB中點(diǎn)。AB=a AD=b 用a，b來標(biāo)DC、BC、MN。解：DC= 12AB=12a BC=BD+DC=(AD-AB)+DC =b-a+ a=b-a

2211MN=DN-DM=12a-b-a= a-b 4411例4 |a|=10 b=(3,-4)且a∥b求a

22解：設(shè)a=(x,y)則 x+y=100（1）

由a∥b得-4x-3y=0（2）

解（1）（2）得 x=6 y=-8。或 x=-6 y=8 ∴ a=(6,-8)或(-6,8)四． 歸納小結(jié)

1． 向量有代數(shù)與幾何兩種形式，要理解兩者的內(nèi)在聯(lián)系，善于從圖形中發(fā)現(xiàn)向量間的關(guān)系。

2． 對(duì)于相等向量，平行向量，共線向量等概念要區(qū)分清楚，特別注意零向量與任何向量共線這一情況。要善于運(yùn)用待定系數(shù)法。

五．作業(yè)：

1、下列命題正確的是（）

A．若|a|?0，則a?0 B．若|a|?|b|，則a?b或a??b

C．若a||b，則|a|?|b| D．若a?0，則?a?0

2、已知平行四邊形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A(?2,1)、B(?1,3)、C(3,4)，則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（）

A．(1,2)B．(2,2)C．(2,1)D．(?2,?2)

3、設(shè)|a|?m(m?0)，與a反向的單位向量是b0，則a用b0表示為

A．a(chǎn)?mb0 B．a(chǎn)??mb0 C．a(chǎn)?1mb01m D．a(chǎn)??b0

4、D、E、F分別為?ABC的邊BC、CA、AB上的中點(diǎn)，且BC?a，CA?b，下列命題中正確命題的個(gè)數(shù)是（）①AD??12a?b；②BE?a?12b；③CF??12a?12b；

④AD?BE?CF?0。

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)

5、化簡：CE?AC?DE?AD=__________。

?????a?ba?3,b?(1,2)

6、已知向量，且，則a的坐標(biāo)_____________。

????2???

27、若a?1,b?2,?a?b??a?0，則a與b的夾角為______________。

???????

8、已知向量a?3e1?2e2,b?4e1?e2,其中e1?(1,0),e2?(0,1)????求（1）a?b;a?b??的值；（2）a與b的夾角。

9、如果向量a與b，c的夾角都是60?，而b?c，且|a|?|b|?|c|?1，求(a?2c)?(b?c)的值。

PQBC10、如圖，設(shè)O為?ABC內(nèi)一點(diǎn)，PQ∥BC，且OB?b?t，OA?a，OC?c，試用a，b，c表示OP,OQ．

答案

基礎(chǔ)知識(shí)訓(xùn)練：D，C，D，2

達(dá)標(biāo)練習(xí)： D，B，B，D，5，0； 6，（655655，—

355），（—，355）

102217，450，8，(1)a?b=10, a?b=52(2)?=arccos9,-1 10,OP=(1-t)a+tb, OQ=(1-t)a+tb

第五篇：29-第二章平面向量小結(jié)與復(fù)習(xí)

第二章平面向量章末復(fù)習(xí)（第2課時(shí)）

教學(xué)目標(biāo)

重點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的定義及其坐標(biāo)表示；數(shù)量積的幾何意義、向量法在平面幾何中的應(yīng)用． 難點(diǎn)：用向量法解決平面幾何問題時(shí)，如何建立平面幾何與平面向量之間的聯(lián)系．

能力點(diǎn)：在運(yùn)用向量方法解決平面幾何問題、力學(xué)問題與其他一些實(shí)際問題過程中，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的運(yùn)

算能力和解決實(shí)際問題的能力．

教育點(diǎn)：提高學(xué)生的認(rèn)知水平，為學(xué)生塑造良好的數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)．

自主探究點(diǎn)：例題及變式的解題思路的探尋．

易錯(cuò)點(diǎn)：(1)忽視兩向量垂直的概念是針對(duì)兩非零向量的而致錯(cuò)；

(2)對(duì)兩向量夾角的定義理解不清致錯(cuò)；

(3)把數(shù)的乘法的消去律運(yùn)用在向量的數(shù)量積運(yùn)算上而致錯(cuò)；

(4)混淆點(diǎn)的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo)致錯(cuò)．

學(xué)法與教具

1．學(xué)法：講授法、討論法．2．教具：投影儀．

二、【知識(shí)梳理】

1．平面向量的數(shù)量積

(1)數(shù)量積的定義

已知兩個(gè)非零向量a與b，我們把數(shù)量abcos?叫做a與b的數(shù)量積(inner product)（或內(nèi)積），記作a?b，即a?b=abcos?，其中?是a與b的夾角．

(2)數(shù)量積的幾何意義

數(shù)量積a?b等于a的長度a與b在a方向上的投影bcos?的乘積，或等于b的長度b與a在b方向上的投影acos?的乘積．

(3)數(shù)量積的性質(zhì)

b?0． ①a?b?a?

②當(dāng)a與b同向時(shí)，a?b=ab；當(dāng)a與b反向時(shí)，a?b=?ab；特別地，a?a=a，所以

2a記作a2． a?a?

③a?b?ab

(4)數(shù)量積的運(yùn)算律

已知向量a、b、c和實(shí)數(shù)?，則：

b?b?a； ①a?

②(?a)?b??(a?b)?a?(?b)； ③(a?b)?c?a?c?b?c．(5)數(shù)量積的坐標(biāo)表示

已知兩個(gè)非零向量a?(x1,y1)，b?(x2,y2)，則a?b?x1x2?y1y2． 由此可得：

2①a

?x1?y1或a

②a?b?x1x2?y1y2?0； ③設(shè)?為a、b的夾角，則cos??

a?b

?

|a||b|2．平面幾何中的向量方法

用向量法解決平面幾何問題的“三步曲”：(1)建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；(2)通過向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問題；(3)把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系．

在上述步驟中，把平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題是解決問題的關(guān)鍵一步，轉(zhuǎn)化方法大致有兩種思路：第一，選取恰當(dāng)?shù)幕蛄浚坏诙⒆鴺?biāo)系．

3．向量法在物理中的應(yīng)用

向量有豐富的物理背景，向量的物理背景是位移、力、速度等，向量的數(shù)量積的物理背景是力所做的功．因此，用向量可以解決一些物理問題．向量在物理中的應(yīng)用，實(shí)際上是把物理問題轉(zhuǎn)化為向量問題，然后通過向量運(yùn)算解決向量問題，最后再用所獲的結(jié)果解釋物理現(xiàn)象．用向量法解決物理問題時(shí)，應(yīng)作出相應(yīng)的圖形，以幫助我們建立數(shù)學(xué)模型．

三、【范例導(dǎo)航】

????????

例1（2012?天津）在△ABC中，∠A=90°，AB=1，AC=2．設(shè)點(diǎn)P，Q滿足 AP??AB，????????????????

CP??2，則?? AQ??1???AC,??R.若BQ?

????????????????????2????

2【分析】由題意可知AB?AC?0，根據(jù)BQ?CP?(??1)AC??AB??2，解方程可以求得?的值.????????????

??

c?0，【解答】如圖，設(shè)AB?b，AC?c，則b?1，c?2，b?

????????????????????????????

又BQ?BA?AQ??b?(1??)c，CP?CA?AP??c??b，????????由BQ?CP??2得，[??(1??)]?(???)?(??1??4(??1)????2，即3??2,所以??

2.3【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查兩個(gè)向量垂直的性質(zhì)，兩個(gè)向量的加減法的法則，以及其幾何意義，兩個(gè)向量的數(shù)量積的運(yùn)算，屬于中檔題.??????2

變式訓(xùn)練1(2011·江蘇卷10)已知e1,e2是夾角為?的兩個(gè)單位向量，a?e1?2e2,b?ke1?e2, 若

?

?

??

a?b?0，則k的值為

答案：

4??

????????2?????解析：a?b??e1?2e2??ke?e?ke?1?2ke?e?2e?k?1?2kcos?0，??122???12?

13????

解得k?

.4

例2(2012·江蘇9)如圖，在矩形ABCD

中，AB?，BC?2，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊CD

上，若AB?AFAE?BF的值是．【分析】根據(jù)所給的圖形，把已知向量用矩形的邊所在的向量來表示，求出要用的向量的模，表示出要求得向量的數(shù)量積，注意應(yīng)用垂直的向量的數(shù)量積等于0，得到結(jié)果.????????????????

????????????

【解答】因?yàn)锳F?AD?DF，?????????????????????????????????????????????

AB?AF?AB?AD?DF?AB?AD?AB?DF?AB?DF??

?

?

????

????DF?1CF?1.所以，????????????????????????????????????????AE?BF?AB?BE?BC?CF?AB?CF?BE?BC1)?1?2? 所以

???

?

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算.解題的關(guān)鍵是要把要用的向量表示成已知向量的和的形式.變式訓(xùn)練2(2012·湖南文15)如圖4，在平行四邊形ABCD中，AP⊥BD，垂足為P，AP?3且AP?AC=

答案：18

????????

????????????解析：設(shè)AC?BD?O，則AC?2AB?BO，??

所以，????????????????????????????????????????????????????????????2

AP?AC?AP?2AB?BO?2AP?AB?2AP?BO?2AP?AB?2AP?AP?PB?2AP?18

????

例3.證明：對(duì)于任意的a1、a2、b1、b2?R，恒有不等式?a1b1?a2b2??a1?a

2?

??b

12?b2?．

【分析】此題形式對(duì)學(xué)生較為熟悉，在不等式證明部分常用比較法證明，若利用向量知識(shí)求證，則關(guān)

【解答】設(shè)a?(a1,a2)，b

?(b1,b2),222

則a?，b?b1?b2 b?a1b1?a2b2，a?a12?a2

因?yàn)閍?b?ab，b?a所以a?

b

所以?a1b1?a2b2??a1?a2

?

??b

2?b2?.【點(diǎn)評(píng)】

變式訓(xùn)練3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為圓心，單位長度為半徑的圓上有兩點(diǎn)A(cos?,sin?)，B(cos?,sin?)，試用A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)表示?AOB的余弦值.答案：cos?AOB?cos?cos??sin?sin?

解析：因?yàn)锳(cos?,sin?),B(cos?,sin?),????????

所以O(shè)A?(cos?,sin?)，OB?(cos?,sin?)

????????OA?OB

那么，cos?AOB??cos?cos??sin?sin?.OAOB

四、【解法小結(jié)】

1．準(zhǔn)確把握平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)：設(shè)a?(x1,y1)，b?(x2,y2)

(1)a?b?a? b?0?x1x2?y1y2?0，既可以用來證明兩向量垂直，也可以由垂直進(jìn)行有關(guān)計(jì)算；

a=a2?a

與a?(2)a?

轉(zhuǎn)化．

(3)cos??

?a?b

a、b的夾角，也可用來求?

|a||b|直線的夾角(向量的夾角與向量所在直線的夾角有區(qū)別)，還可利用夾角的取值情況建立方程或不等式

用于求參數(shù)的值或范圍．

2．向量解決幾何問題就是把點(diǎn)、線、平面等幾何元素直接歸納為向量，對(duì)這些向量借助于它們之間的運(yùn)算進(jìn)行討論，然后把這些計(jì)算的結(jié)果 翻譯成關(guān)于點(diǎn)、線、平面的相應(yīng)結(jié)果，可以簡單表述為“形到向量?向量的運(yùn)算?數(shù)到形”.3．明確和掌握用向量研究物理問題的相關(guān)知識(shí)：

(1)力、速度、加速度、位移的合成、力的分解就是向量的加減法，運(yùn)動(dòng)的疊加亦用到向量的合成；(2)動(dòng)量mv是數(shù)乘向量；

(3)功即是力F與所產(chǎn)生的位移s的數(shù)量積.五、【布置作業(yè)】

必做題： 1．（2012·遼寧卷）已知兩個(gè)非零向量a，b滿足|a＋b|＝|a－b|，則下面結(jié)論正確的是()A．a(chǎn)∥bB．a(chǎn)⊥bC．|a|＝|b|D．a(chǎn)＋b＝a－b

π2．（2012·上海卷）在平行四邊形ABCD中，∠AAB、AD的長分別為2、1.若M、N

分別是邊

→→|BM||CN|→→

BC、CD，則AM·AN的取值范圍是________．

→→|BC||CD|

→→→→

3．（2012·北京卷）已知正方形ABCD的邊長為1，點(diǎn)E是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，則DE·CB的值為__ __.DE·DC的最大值為________．

????????????????????????4．在邊長為1的正三角形ABC中，則AB?BC?BC?CA?CA?AB?________．.必做題答案：

1．因?yàn)閨a＋b|＝|a－b|?(a＋b)2＝(a－b)2?a·b＝0，所以a⊥b，答案選B.點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查向量的數(shù)量積以及性質(zhì)．解題的突破口為對(duì)于模的理解，向量的模平方就等于向量的平方．

→→→→→→→→→

2．令BM＝nBC(0≤n≤1)，則DN＝(1－n)DC，在平行四邊形ABCD中，AM＝AB＋nAD，AN＝AD＋(1－→→→→→→→n)AB，所以AM·AN＝(AB＋nAD)·[AD＋(1－n)AB]＝－n2－2n＋5，→→而函數(shù)f(n)＝－n2－2n＋5在[0,1]上是單調(diào)遞減的，其值域?yàn)閇2,5]，所以AM·AN的取值范圍是[2,5]． →→3．以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DC與DA所在直線分別為x，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，可知E(x,1)，0≤x≤1，→→→→所以DE＝(x,1)，CB＝(0,1)，可得DE·CB＝x×0＋1×1＝1.→→→→→因?yàn)镈C＝(1,0)，所以DE·DC＝x，因?yàn)?≥x≥0，所以(DE·DC)max＝1.????????????????????????

CA?CA?AB= 4．AB?BC?BC?

????????????????????????3?1??1??1?00

ABBCcos120?BCCAcos120?CAABcos1200??????????????

2?2??2??2?

點(diǎn)評(píng)：利用數(shù)量積的定義求解時(shí)，務(wù)必要注意兩向量夾角的大小.兩向量夾角的定義前提是兩向量的起

????????????????????????00

點(diǎn)要重合，對(duì)于本題要特別注意：向量AB與BC,BC與CA,CA與AB的夾角不是60，而是120.選做題：

???

1．已知向量a是以點(diǎn)A(3，－1)為起點(diǎn)，且與向量b＝（－3，4）垂直的單位向量，求a的終點(diǎn)坐標(biāo).2．如圖，在?ABC中，AD?DB，AE?EC，CD與BE交于F，證明：CF?2FD.選做題答案：

1.設(shè)a的終點(diǎn)坐標(biāo)為(m,n),則a＝(m,n),

??

??3(m?3)?4(n?1)?0由題意? 2

2?(m?3)?(n?1)?

1由①得：ｎ＝

① ②

（3ｍ－13）代入②得25ｍ－15Oｍ＋2O9＝O

419?11?m?,m?,???192118?15?2

5或?解得?∴a的終點(diǎn)坐標(biāo)是（,?)或(,?)

5555?n??2.?n??8.12?5?5??

點(diǎn)評(píng)：向量的坐標(biāo)表示是終點(diǎn)坐標(biāo)減去起始點(diǎn)的坐標(biāo)，所以向量的坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)既有聯(lián)系又有區(qū)別，2.本題選自《學(xué)生自主學(xué)習(xí)叢書·數(shù)學(xué)》P122，例2.

六、【教后反思】

1．本教案的亮點(diǎn)是：(1)用結(jié)構(gòu)圖呈現(xiàn)本章知識(shí)，直觀簡明；(2)知識(shí)梳理部分十分詳實(shí)且分類明晰；(3)例題具有典型性且解法總結(jié)到位，變式練習(xí)有效，講練結(jié)合教學(xué)效果明顯；(4)在作業(yè)的布置上，選擇了部分高考題，對(duì)學(xué)生理解、鞏固知識(shí)能夠起到良好的作用．

2．本教案的弱項(xiàng)是：(1)有關(guān)平面向量數(shù)量積的應(yīng)用涉及題目較少，如夾角的計(jì)算、模的計(jì)算等；(2)向量法在物理中的應(yīng)用沒有涉及到，有待于進(jìn)一步補(bǔ)充．