第一篇：人教版高中數學教案：第5章：平面向量,教案,課時第 (24)

第二十五教時

教材：復習四——平面向量的數量積及運算律

目的：要求學生對平面向量的數量積的概念理解更清晰，并能教熟練地應用于平

行、垂直等問題。

過程：

一、復習：

1．定義、其結果是一個數量。

2．a?b>0?0≤?<90?；a?b=0?=?=90? 即a?b；a?b<0?90?

二、例題：

1．已知|a| = 5，|b| = 8，a 與b的夾角為60?，求 |a + b |

解：a?b = |a||b|cos60? = 5×8×

1= 20

∴|a + b |2 =(a + b)2 = |a|2 + |b|2 + 2a?b = 129

∴|a + b | =

2．求證：|a + b |≤|a| + |b|

證：|a + b |2 =(a + b)2 = |a|2 + |b|2 + 2a?b = |a|2 + |b|2 + 2|a||b|cos?

≤ |a|2 + |b|2 + 2|a||b| =(|a| + |b|)2

即：|a + b |≤|a| + |b|

3．設非零向量a、b、c、d，滿足d =(a?c)b ?(a?b)c，求證：a?d

證：內積a?c與a?b均為實數，∴a?d = a?[(a?c)b ?(a?b)c] = a?[(a?c)b] ? a?[(a?b)c]

=(a?b)(a?c)?(a?c)(a?b)= 0

∴a?d

4．已知非零向量a、b，滿足a ?±b，求證：b?a垂直于a+b的充要條件是|a| = |b| 證：由題設：b?a與a+b均為非零向量

必要性：設b?a垂直于a+b，則(b?a)(a+b)= 0

又：(b?a)(a+b)= b2 ? a2 = |b|2 ? |a|2∴|b|2 ? |a|2 = 0即：|a| = |b|

充分性：設|a| = |b|，則(b?a)(a+b)= b2 ? a2 = |b|2 ? |a|2 = 0

即：(b?a)(a+b)= 0∴(b?a)?(a+b)

5．已知a、b都是非零向量，且a + 3b與7a ? 5b垂直，a ? 4b與7a ? 2b垂直，求a與b的夾角。

解：由(a + 3b)(7a ? 5b)= 0 ? 7a2 + 16a?b ?15b2 = 0①(a ? 4b)(7a ? 2b)= 0 ? 7a2 ? 30a?b + 8b2 = 0②兩式相減：2a?b = b2代入①或②得：a2 = b2

設a、b的夾角為?，則cos? =a?bb21

|a||b|?2|b|2

?2

∴? = 60?

D

6．用向量方法證明：菱形對角線互相垂直。證：設== a , == b A

C

a

∵ABCD為菱形∴|a| = |b|

b B

∴AC?BD=(b + a)(b ? a)= b2 ? a2 = |b|2 ? |a|2 = 0∴?

7．如圖，AD、BE、CF是△ABC的三條高，求證：AD、BE、CF相交于一點。證：設BE、CF交于一點H，A

= a, = b, = h,E

F

則BH= h ? a , CH= h ? b , BC= b ? aH

∵BH?AC,CH?AB B

D

C

∴

(h?a)?b?0?

(h?a)?a?0??

?(h?a)?b?(h?b)?a?h?(b?a)?0

∴AH?

又∵點D在AH的延長線上，∴AD、BE、CF相交于一點

三、作業：《導學?創新》§5.6

第二篇：人教版高中數學教案：第5章：平面向量,教案,課時第 (18)

第十八教時

教材：余弦定理

目的：要求學生掌握余弦定理及其證明，并能應用余弦定理解斜三角形。過程：

一、復習正弦定理及正弦定理能夠解決的兩類問題。提出問題：1．已知兩邊和它們的夾角能否解三角形？

2．在Rt△ABC中(若C=90?)有：c2?a2?b2在斜三角形中一邊的平

方與其余兩邊平方和及其夾角還有什么關系呢？

二、提出課題：余弦定理1．余弦定理的向量證明：設△ABC三邊長分別為a, b, c b

AC=AB+BC

A

B

?=(+)?(+)=2+2?+

2=| |2+2||?||cos(180?-B)+||2=c2?2accosB?a2

即：b2?a2?c2?2accosB

同理可得：a2?b2?c2?2bccosAc2?a2?b2?2abcosC

2．語言敘述：三角形任何一邊的平方等于其它兩邊平方的和減去這兩邊與它

們夾角的余弦的積的兩倍。

3．強調幾個問題：1?熟悉定理的結構，注意“平方”“夾角”“余弦”等2?知三求一

3?當夾角為90?時，即三角形為直角三角形時即為勾股定理（特例）

4?變形：cosA?b2?c2?a2a2?c2?b2a2?b2?c2

2bccosB?2accosC?2ac

三、余弦定理的應用

能解決的問題：1．已知三邊求角

2．已知三邊和它們的夾角求第三邊

例

一、(P130例4)在△ABC中，已知a=7, b=10, c=6求A,B,C（精確到期1?）解略

例

二、(P131例5)在△ABC中，已知a=2.730, b=3.696, C=82?28’解這個三角

形（邊長保留四個有效數字，角度精確到期1’）解略

例

三、設a?=(x?=(x?1, y1)b2, y2)a?

與b的夾角為?（0≤?≤?），求證：

x+ ya?||b?

121y2=||cos?

證：如圖：設a?, b?

起點在原點，終點為A，B

A

則A=(x=b??a?

1, y1)B=(x2, y2)在△ABC中，由余弦定理 B

a?

|b??a?|2=|a?|2+|b?|2?2|a?||b?

| cos?

b?

O

∵|b??a?|2

=|AB|2=|(x2-x1, y2-y1)|2=(x2-x1)2+(y2-y1)2 |a?|2=xb?12+y12

||2= x22+y22 ∴(x2-x1)2

+(y2-y1)

= x2+ x?

12+y122+y22?2|a

||b?

| cos?

∴xy??????

1x2+ y12=|a||b|cos?即有a?b= x1x2+ y1y2=|a||b|cos?

四、小結：余弦定理及其應用

五、作業：P131練習P132習題5.9余下部分

x

第三篇：人教版高中數學教案：第5章：平面向量,教案,課時第 (21)

第二十二教時

教材：復習一——向量、向量的加法與減法、實數與向量的積

目的：通過復習對上述內容作一次梳理，使學生對知識的理解與應用提高到一個

新的水平。

過程：

一、知識（概念）的梳理：

1．向量：定義、表示法、模、幾種特殊向量 2．向量的加法與減法：法則（作圖）、運算律

3．實數與向量的積：定義、運算律、向量共線的充要條件、平面向量的基本定義

二、例題：

1．若命題M：'=；命題N：四邊形ABB’A’是平行四邊形。則M是N的（C）(A)充分不必要條件(B)必要不充分條件

(C)充要條件(D)既不充分也不必要條件 解：若=，則 ||=||，且, 方向相同

∴AA’∥BB’從而ABB’A’是平行四邊形，即：M?N 若ABB’A’是平行四邊形，則|AA’|=|BB’|，且AA’∥BB’ ∴|'|=|'|從而'=，即：N?M 2．設A、B、C、D、O是平面上的任意五點，試化簡：

1?AB?BC?CD2?DB?AC?BD3??OA?OC?OB?CO 解：1? 原式=(?)????

2? 原式=(?)????

3? 原式=(?)?(??)??(?)??? 3．a =“向東走5km”，b =“向西走12km”，試求a+b的長度與方向。解：如圖：||?52?122?13(km)

O

tan?AOB =125 ,∴?AOB = arctan12

a+b a

∴a + b的長為13km，方向與成arctan12

5的角。B

4．如圖：1?已知a、b、c、d，求作向量a?b、c?d。

b A

2?已知a、b、c，求作a + b c ? b

?bc

5．設x為未知向量，a、b2x?(5a+3x?4b)+

1a?3b=0

解：原方程可化為：(2x ? 3x)+(?5a +19

2a)+(4b?3b)= 0∴x =?2

a + b

6．設非零向量a、b不共線，c=ka+b，d=a+kb(k?R)，若c∥d，試求k。解：∵c∥d∴由向量共線的充要條件得：c =λd(λ?R)

即：ka+b=λ(a+kb)∴(k?λ)a +(1?λk)b = 0

又∵a、b不共線∴由平面向量的基本定理：??k???0

?1?k??0?k??1

7．如圖：已知在ABCD中，AH=HD，BF=MC=1

BC，設=a，=b，試用a、b分別表示、、。D F

M

C

解：∵ABCD中，BF=MC=

BC,a

∴FM=

12BC=

1AD=AH ∴FMAH A H b B

∴四邊形AHMF也是平行四邊形，∴AF=HM

又：BM?34BC?3311

4AD?4a ,而FB??4BC??4

b

∴AM?AB?BM= a +31

4b ,MH?FA?FB?BA= ?4b ? a

AF??FA??(?11

4b ? a)= 4

b + a

三、作業： 《導學?創新》§5.1§5.2

第四篇：人教版高中數學教案：第5章：平面向量,教案,課時第 (13)

第十三教時

教材：平面向量的數量積的坐標表示

目的：要求學生掌握平面向量數量積的坐標表示，掌握向量垂直的坐標表示的充要條件。

過程：

一、復習：

1．平面向量的坐標表示及加、減、實數與向量的乘積的坐標表示 2．平面向量數量積的運算 3．兩平面向量垂直的充要條件 4．兩向量共線的坐標表示：

二、課題：平面兩向量數量積的坐標表示

1．設a =(x1, y1)，b =(x2, y2)，x軸上單位向量i，y軸上單位向量j，則：i?i = 1，j?j = 1，i?j = j?i = 0 2．推導坐標公式：

∵a = x1i + y1j,b = x2i + y2j

∴a?b =(x1i + y1j)(x2i + y2j)= x1x2i2 + x1y1i?j + x2y1i?j + y1y2j2= x1x2 + y1y2

從而獲得公式：a?b = x1x2 + y1y2

例

一、設a =(5, ?7)，b =(?6, ?4)，求a?b

解：a?b = 5×(?6)+(?7)×(?4)= ?30 + 28 = ?2 3．長度、角度、垂直的坐標表示

1?a =(x, y)?|a|2 = x2 + y2?|a| =x2?y2

2?若A =(x1, y1)，B =(x2, y2)，則=(x1?x2)2?(y1?y22)

3? cos? =

a?b

?x1x2?y1y2|a|?|b|

x

21?y1

x2

?y2

4?∵a?b ? a?b = 0 即x1x2 + y1y2 = 0（注意與向量共線的坐標表示原則）

4．例

二、已知A(1, 2)，B(2, 3)，C(?2, 5)，求證：△ABC是直角三角形。

證：∵=(2?1, 3?2)=(1, 1),=(?2?1, 5?2)=(?3, 3)∴?=1×(?3)+ 1×3 = 0∴?

∴△ABC是直角三角形

三、補充例題：處理《教學與測試》P153第73課

例

三、已知a =(3, ?1)，b =(1, 2)，求滿足x?a = 9與x?b = ?4的向量x。解：設x =(t, s)，由x?a = 9 ? 3t ? s = 9由x?a = 9 ? 3t ? s = 9?t =

2s = ?3∴x =(2, ?3)

例

四、如圖，以原點和A(5, 2)為頂點作等腰直角△OAB，使?B = 90?，求點B和向量AB的坐標。

B

A

解：設B點坐標(x, y)，則=(x, y)，=(x?5, y?2)O∵?∴x(x?5)+ y(y?2)= 0即：x2 + y2 ?5x ? 2y = 0又∵|| = ||∴x2 + y2 =(x?5)2 +(y?2)2即：10x + 4y = 29

由???x?y?5x?2y?0???x7?31??10x?4y?29?2x?或?2?3?27

??

y1??2??y2?

2∴B點坐標(72,?32)或(32,7)；=(?32,?7732)或(?2,2)

例

五、在△ABC中，AB=(2, 3)，AC=(1, k)，且△ABC的一個內角為直角，求k值。

解：當A = 90?時，?= 0，∴2×1 +3×k = 0∴k =?

3當B = 90?時，AB?BC= 0，BC=AC?AB=(1?2, k?3)=(?1, k?3)

∴2×(?1)+3×(k?3)= 0∴k =

113

當C = 90?時，AC?BC= 0，∴?1 + k(k?3)= 0∴k =3?2

四、小結：兩向量數量積的坐標表示長度、夾角、垂直的坐標表示

五、作業： P121練習及習題5.7

《教學與測試》P1545、6、7、8，思考題

第五篇：人教版高中數學教案：第5章：平面向量,教案,課時第 (15)

第十五教時

教材：平面向量的數量積平移的綜合練習課

目的：使學生對平面向量數量積的意義、運算有更深的理解，并能較熟練地處理

有關長度、角度、垂直的問題。

過程：

一、復習：

1．平面向量數量積的定義、運算、運算律

2．平面向量數量積的坐標表示，有關長度、角度、垂直的處理方法 3．平移的有關概念、公式

二、例題

例

一、a、b均為非零向量，則 |a+b| = |a?b| 是 的………………（C）A．充分不必要條件B．必要不充分條件

C．充要條件D．既不充分也不必要條件

解：若|a+b| = |a?b| ? |a+b|2 = |a?b|2 ? |a|2 + 2a?b + |b|2 = |a|2 ? 2a?b + |b|2? a?b = 0 ? a?b

例

二、向量a與b夾角為?

3，|a| = 2，|b| = 1，求|a+b|?|a?b|的值。

解：|a+b|2 = |a|2 + 2a?b + |b|2 = 4 + 2×2×1×cos?

+ 1 = 7

∴|a+b| =7,同理：|a?b|2 = 3, |a?b| =3∴|a+b|?|a?b| =21 中，= a，= b，= c，= d，且a?b = b?c = c?d = d?a，問ABCD是怎樣的四邊形？解：由題設：|a|?|b|cosB = |b|?|c|cosC = |c|?|d|cosD = |d|?|a|cosA∵|a| = |c| , |b| = |d|∴cosA = cosB = cosC = cosD = 0是矩形 例

四、如圖△ABC中，= c，BC= a，CA= b，則下列推導不正確的是……………（D）A．若a ?b < 0，則△ABC為鈍角三角形。B．若a ?b = 0，則△ABC為直角三角形。

C．若a ?b = b?c，則△ABC為等腰三角形。A D．若c?(a + b + c)= 0，則△ABC為正三角形。

a

解：A．a?b = |a||b|cos? < 0，則cos? < 0，?為鈍角B．顯然成立

C．由題設：|a|cosC = |c|cosA，即a、c在b上的投影相等

D．∵a + b + c = 0, ∴上式必為0，∴不能說明△ABC為正三角形

例

五、已知：|a| =2，|b| = 3，a與b夾角為45?，求使a+?b與?a+b夾

角為銳角的?的取值范圍。

解：由題設：a?b = |a||b|cos? = 3×2×

2= 3(a+?b)?(?a+b)=?|a|2 +?|b|2 +(?

2+ 1)a?b = 3?2 + 11? + 3∵夾角為銳角∴必得3?2 + 11? + 3 > 0∴ ??

?11??11?6或??6

例

六、i、j是平面直角坐標系內x軸、y軸正方向上的兩個單位向量，且AB= 4i + 2j，AC=3i + 4j，證明：△ABC是直角三角形，并求它的面積。

解：=(4, 2), =(3, 4), 則=(3?4, 4?2)=(?1, 2), =(?4, ?2),∴BA?BC=(?1)×(?4)+(?2)×2 = 0∴BA?BC即△ABC是直角三角形

|| =42?22?2,|| =(?1)2?(?2)2?,且?B = 90?,∴S1△ABC = D 2

?25?5?5 例

七、用向量方法證明：菱形對角線互相垂直。證：設AB=DC= a , AD=BC= b A

C

∵ABCD為菱形∴|a| = |b|

a

∴AC?BD=(b + a)(b ? a)= b2

? a2

= |b|2

? |a|2

b= 0

B

∴AC?

例

八、已知a、b都是非零向量，且a + 3b與7a ? 5b垂直，a ? 4b與7a ? 2b垂直，求a與b的夾角。

解：由(a + 3b)(7a ? 5b)= 0 ? 7a2 + 16a?b ?15b2 = 0①(a ? 4b)(7a ? 2b)= 0 ? 7a2 ? 30a?b + 8b2 = 0②兩式相減：2a?b = b2代入①或②得：a2 = b2

設a、b的夾角為?，則cos? =a?bb21

|a||b|?2|b|2?

∴? = 60?

三、作業： P150復習參考五A組19—26B組1—6