第一篇：2012高中數學教案 2.4 等比數列(第1課時)(人教A版必修5)

2.4等比數列教案

（一）授課類型：新授

教學目標

（一）知識與技能目標 1.等比數列的定義； 2.等比數列的通項公式．

（二）過程與能力目標 1.明確等比數列的定義；

2.掌握等比數列的通項公式，會解決知道an，a1，q，n中的三個，求另一個的問題．

教學重點

1.等比數列概念的理解與掌握；

2.等比數列的通項公式的推導及應用．

教學難點

等差數列＂等比＂的理解、把握和應用．

教學過程

一、情境導入：

下面我們來看這樣幾個數列，看其又有何共同特點?（教材上的P48面）

1，2，4，8，16，…，2;① 1，6

312，14，18，…； ②

1，20,202,203，…； ③ 1.0198,1.1098,1.1098......④

23對于數列①，an=2n?1;

anan?1 =2（n≥2）．對于數列②，an=

12n?1；

anan?1?12（n≥2）．

對于數列③，an=20n?1;

anan?1=20（n≥2）．

共同特點：從第二項起，第一項與前一項的比都等于同一個常數．

二、檢查預習

1．等比數列的定義．

2.等比數列的通項公式: an?a1?qn?1(a1,q?0)，an?am?qn?m(am,q?0)，an?AB(A,B?0)

n3．｛an｝成等比數列?an?1an?q(n?N,q?0)

?4．求下面等比數列的第4項與第5項：

（1）5，－15，45，……；（2）1.2，2.4，4.8，……；（3）,.,??;(4)2,1,32821322，…….三、合作探究

（1）等比數列中有為0的項嗎？（2）公比為1的數列是什么數列？

（3）既是等差數列又是等比數列的數列存在嗎？（4）常數列都是等比數列嗎？ 四交流展示

1． 等比數列的定義：一般地，若一個數列從第二項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數,這個數列就叫做等比數列.這個常數叫等比數列的公比，用字母q表示（q≠0），即：

anan?1=q（q≠0）

注：(1)“從第二項起”與“前一項”之比為常數q； ｛an｝成等比數列?an?1an=q（n?N?，q≠0．）

(2)隱含：任一項an?0且q?0

(3)q=1時，{an}為常數數列．

（4）．既是等差又是等比數列的數列：非零常數列． 2.等比數列的通項公式1: an?a1?qn?1(a1,q均不為0)

觀察法：由等比數列的定義，有：a2?a1q；

a3?a2q?(a1q)q?a1q； a4?a3q?(a1q)q?a1q；… … … … … … … an?an?1q?a1?qn?1223(a1，q?0)．

迭乘法：由等比數列的定義，有：

a2a1?q；

a3a2?q；

a4a3?q；…；

anan?1?q

所以a2a1?a3a4an?1n?1，即an?a1?q(a1，q?0)??n?qa2a3an?1n?m(am，q?0)等比數列的通項公式2: an?am?q五精講精練

例1．一個等比數列的第3項與第4項分別是12與18，求它的第1項與第2項.解：?1812?32?q?32 ?a2?a3q?12?23?8,a1?a2q?8?23?163.點評：考察等比數列項和通項公式的理解 變式訓練一：教材第52頁第1 例2．求下列各等比數列的通項公式：

(1)a1??2,a3??8;(2)a1?5,且2an?1??3an

2解：(1)a3?a1q?q?4?q??2?an?(?2)2n?1??2或an?(?2)(?2)nn?1?(?2)

n

(2)q?an?1an??32又：a1?5?an?5?(?32)n?1

點評：求通項時，求首項和公比 變式訓練二 ：教材第52頁第2 例3．教材P50面的例1。

012n?15例4． 已知無窮數列105,105,105,??10 求證：（1）這個數列成等比數列； ,??，110（2）這個數列中的任一項是它后面第五項的；

（3）這個數列的任意兩項的積仍在這個數列中．

n?1證：（1）anan?1?10105n?251?105（常數）∴該數列成等比數列．

n?1（2）anan?5?10105n?45?10?1?110，即：an?110an?5．

p?1q?1p?q?2（3）apaq?105105?105，∵p,q?N，∴p?q?2．

∴p?q?1?1且?p?q?1??N，p?q?2∴105???10?n?15?（第p?q?1項）． ?，? 變式訓練三：教材第53頁第3、4題．

六、課堂小結：

1.等比數列的定義；

2.等比數列的通項公式及變形式

七、板書設計

八、課后作業(yè)

閱讀教材第48～50頁；

第二篇：高中數學必修5人教A教案2.4等比數列

2．4等比數列

（一）教學目標

1`．知識與技能：理解等比數列的概念；掌握等比數列的通項公式；理解這種數列的模型應用．

２．過程與方法：通過豐富實例抽象出等比數列模型，經歷由發(fā)現幾個具體數列的等比關系，歸納出等比數列的定義，通過與等差數列的通項公式的推導類比，探索等比數列的通項公式．

３．情態(tài)與價值：培養(yǎng)學生從實際問題中抽象出數列模型的能力．

（二）教學重、難點

重點：等比數列的定義和通項公式

難點：等比數列與指數函數的關系

（三）學法與教學用具

學法：首先由幾個具體實例抽象出等比數列的模型，從而歸納出等比數列的定義；與等差數列通項公式的推導類比，推導等比數列通項公式。教學用具：投影儀

（四）教學設想

[創(chuàng)設情景] 分析書上的四個例子，各寫出一個數列來表示 [探索研究] 四個數列分別是①1, 2, 4, 8, ?

②1,111，，? 248

23③1,20 ,20 ,20 ,?

④10000×1.0198,10000×1.0198,10000×1.0198

510000×1.0198,10000×1.0198

觀察四個數列: 對于數列①,從第2項起,每一項與前一項的比都等于2 對于數列②,從第2項起,每一項與前一項的比都等于2對于數列③,從第2項起,每一項與前一項的比都等于20 對于數列④,從第2項起,每一項與前一項的比都等于1.0198 可知這些數列的共同特點:從第2項起, 每一項與前一項的比都等于同一常數.于是得到等比數列的定義: 一般地,如果一個數列從第2項起,每一項與它的前一項的比等于同一常數,那么這個數列叫做等比數列.這個常數叫做等比數列的公比,通常用字母q表示(q≠0)因此,以上四個數列均是等比數列,公比分別是2，1,20,1.0198.2與等差中項類似,如果在a與b中間插入一個數G,使a,G,b成等比數列,那么G叫做

2a與b的等差中項,這時,a,b一定同號,G=ab 在歸納等比數列公式時,讓學生先回憶等差數列通項公式的歸納,類比這個過程,歸納如下:a2=a1q

2a3=a2q=(a1q)q=a1q a4=a3q=(a1q)q=a1q? ?

n-1 可得 an=a1q 1 上式可整理為an=a1naxaxq而y= 1q（q≠1）是一個不為0的常數1與指數函數q的乘積,qqqa1nax

q }中的各項的點是函數 y= 1q 的圖象上的孤立點 qq從圖象上看,表示數列 {[注意幾點]

n① 不要把an錯誤地寫成an=a1q

② 對于公比q,要強調它是“從第2項起,每一項與它的前一項的比”防止把相鄰兩項的比的次序顛倒

③ 公比q是任意常數,可正可負 ④ 首項和公比均不為0 [例題分析] 例1 某種放射性物質不斷變化為其他物質,每經過一年剩留的這種物質是原來的84％.這種物質的半衰期為多長(精確到1年)? 評注:要幫助學生發(fā)現實際問題中數列的等比關系,抽象出數學模型;通項公式反映了數列的n-1 本質特征,因此關于等比數列的問題首先應想到它的通項公式an=a1q例2 根據圖2.4-2中的框圖,寫出所打印數列的前5項,并建立數列的遞推公式.這個數列是等比數列嗎? 評注:要證明一個數列是等比數列,只需證明對于任意正整數n,an?1是一個常數就行了 an例3 一個等比數列的第3項和第4項分別是12和18,求它的第1項和第2項.評注:幫助學生再次體會通項公式的作用及其與方程之間的聯(lián)系 例4 已知{an}{bn}是項數相同的等比數列,仿照下表中的例子填寫表格,從中你能得出什么結論?證明你的結論.評注:兩個等比數列的積仍然是等比數列 [隨堂練習]第1、2、3題 [課堂小結]（1）首項和公比都不為0（2）分別從定義、通項公式、相應圖象的角度類比等差數列和等比數列

（五）評價設計

（1）課后思考：課本 [探究]（2）課后作業(yè)：第1、2、6題

第三篇：2012高中數學 2.4等比數列(第2課時)教案 新人教A版必修5

2.4等比數列教案

（二）教學目標

（一）知識與技能目標

進一步熟練掌握等比數列的定義及通項公式；

（二）過程與能力目標

利用等比數列通項公式尋找出等比數列的一些性質

（三）方法與價值觀 培養(yǎng)學生應用意識． 教學重點，難點

（1）等比數列定義及通項公式的應用；

（2）靈活應用等比數列定義及通項公式解決一些相關問題． 教學過程

二．問題情境

221．情境：在等比數列{an}中，（1）a5?a1a9是否成立？a5?a3a7是否成立？ 2（2）an?an?2an?2(n?2)是否成立？

2．問題：由情境你能得到等比數列更一般的結論嗎？ 三．學生活動

2822對于（1）∵a5?a1q4，a9?a1q8，∴a1a9?a1，a5q?(a1q4)2?a5?a1a9成立． 2同理 ：a5?a3a7成立．

對于（2）an?a1qn?1，an?2?a1qn?3，an?2?a1qn?1，22n?222∴an?2an?2?a1qn?3?a1qn?1?a1，anq?(a1qn?1)2?an?an?2an?2(n?2)成立．

一般地：若m?n?p?q(m,n,q,p?N?)，則am?an?ap?aq． 四．建構數學

1．若{an}為等比數列，m?n?p?q(m,n,q,p?N?)，則am?an?ap?aq． 由等比數列通項公式得：am?a1qm?1 , an?a1qn?1，ap?a1q故am?an?a1q2m?n?22p?1 ,aq?a1?qq?1，且ap?aq?a1qp?q?2，∵m?n?p?q，∴am?an?ap?aq．

am?qm?n． ana由等比數列的通項公式知：，則m?qm?n ．

an2．若{an}為等比數列，則五．數學運用 1．例題：

2例1．（1）在等比數列{an}中，是否有an?an?1?an?1（n?2）？（2）在數列{an}中，對于任意的正整數n（n?2），都有an?an?1?an?1，那么數列{an}一定是等比數列．

解：（1）∵等比數列的定義和等比數列的通項公式數列{an}是等比數列，∴2即an?an?1?an?1（n?2）成立．

an?1an?，anan?1用心 愛心 專心 1

2（2）不一定．例如對于數列0,0,0,?，總有an?an?1?an?1，但這個數列不是等比數列．

例2． 已知{an}為GP，且a5?8,a7?2，該數列的各項都為正數，求{an}的通項公式。解：設該數列的公比為q，由

211a7 ?q7?5得q2??，又數列的各項都是正數，故q?，842a5n?5n?8則an?8?()?()． 1212例3．已知三個數成等比數列，它們的積為27，它們的平方和為91，求這三個數。解：由題意可以設這三個數分別為

a,a,aq，得： q?aa?3??q?a?aq?27?? ??21?22a(?1?q)?91?a?a2?a2q2?91?q2?2??q12∴9q4?82q2?9?0，即得q2?9或q?，91∴q??3或q??，3故該三數為：1，3，9或?1，3，?9或9，3，1或?9，3，?1．

a說明：已知三數成等比數列，一般情況下設該三數為,a,aq．

q例4． 如圖是一個邊長為1的正三角形，將每邊三等分，以中間一段為邊向形外作正三角形，并擦去中間一段，得圖形（2），如此繼續(xù)下去，得圖形（3）……求第n個圖形的邊長和周長．

解：設第n個圖形的邊長為an，周長為cn．

由題知，從第二個圖形起，每一個圖形的邊長均為上一個圖形的邊長的等比數列，首項為1，公比為

1，∴數列{an}是31． 31n?1∴an?()．

3要計算第n個圖形的周長，只要計算第n個圖形的邊數． 第一個圖形的邊數為3，從第二個圖形起，每一個圖形的邊數均為上一個圖形的邊數的4倍，∴第n個圖形的邊數為3?4n?1．

14cn?()n?1?(3?4n?1)?3?()n?1．

332．練習：

1．已知{an}是等比數列且an?0，a5a6?9，則log3a1?log3a2???log3a10? ．

2．已知{an}是等比數列，a4?a7??512，a3?a8?124，且公比為整數，則a10? ．

3．已知在等比數列中，a3??4，a6?54，則a9? ． 五．回顧小結：

1．等比數列的性質（要和等差數列的性質進行類比記憶）．

用心 愛心 專心

題，習題第6，8，9，10題． 用心 愛心 專心 3 六．課外作業(yè)：書練習第1，2七板書設計

第四篇：2.4第2課時 等比數列的性質教案(人教A版必修5)

§2.4等比數列

授課類型：新授課

（第２課時）

教學目標

知識與技能：靈活應用等比數列的定義及通項公式；深刻理解等比中項概念；熟悉等比數列的有關性質，并系統(tǒng)了解判斷數列是否成等比數列的方法

過程與方法：通過自主探究、合作交流獲得對等比數列的性質的認識。

情感態(tài)度與價值觀：充分感受數列是反映現實生活的模型，體會數學是來源于現實生活，并應用于現實生活的，數學是豐富多彩的而不是枯燥無味的，提高學習的興趣。

教學重點

等比中項的理解與應用

教學難點

靈活應用等比數列定義、通項公式、性質解決一些相關問題

教學過程 Ⅰ.課題導入

首先回憶一下上一節(jié)課所學主要內容：

1．等比數列：如果一個數列從第二項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數，那么這個數列就叫做等比數列.這個常數叫做等比數列的公比；公比通常用字母q表示（q≠0），即：an=q（q≠0）an?12.等比數列的通項公式: an?a1?qn?1(a1?q?0)，an?am?qn?m(am?q?0)3．｛an｝成等比數列?列的必要非充分條件

4．既是等差又是等比數列的數列：非零常數列 Ⅱ.講授新課

1．等比中項：如果在a與b中間插入一個數G，使a,G，b成等比數列，那么稱這個數G為a與b的等比中項.即G=±ab（a,b同號）

如果在a與b中間插入一個數G，使a,G，b成等比數列，則

an?1?=q（n?N,q≠0）

“an≠0”是數列｛an｝成等比數anGb??G2?ab?G??ab，aG反之，若G=ab,則≠0）

[范例講解] 課本P58例4 證明：設數列?an?的首項是a1，公比為q1;?bn?的首項為b1，公比為q2，那么數列?an?bn?的第n項與第n+1項分別為： 2Gb2b?，即a,G,b成等比數列。∴a,G,b成等比數列?G=ab（a·

aGa1?q1n?1?b1?q2與a1?q1?b1?q2即為a1b1(q1q2)n?1與a1b1(q1q2)nn?1nnan?1?bn?1a1b1(q1q2)n???q1q2.n?1an?bna1b1(q1q2)它是一個與n無關的常數，所以?an?bn?是一個以q1q2為公比的等比數列 拓展探究：

對于例4中的等比數列{an}與{bn}，數列{

an}也一定是等比數列嗎？ bnana，則cn?1?n?1 bnbn?1探究：設數列{an}與{bn}的公比分別為q1和q2，令cn??cn?1bn?1abaq??(n?1)?(n?1)?1，所以，數列{n}也一定是等比數列。ancnanbnq2bnbnan?1課本P59的練習4

22已知數列{an}是等比數列，（1）a5?a3a7是否成立？a5?a1a9成立嗎？為什么？

2（2）an?an?1an?1(n?1)是否成立？你據此能得到什么結論？

2an?an?kan?k(n?k?0)是否成立？你又能得到什么結論？

結論：2．等比數列的性質：若m+n=p+k，則aman?apak 在等比數列中，m+n=p+q，am,an,ap,ak有什么關系呢？ 由定義得：am?a1qm?1 an?a1qn?

1ap?a1q2p?1k?1 a k ?a1?qam?an?a1qm?n?

2，ap?ak?a1qp?k?2則aman?apak

Ⅲ.課堂練習

課本P59-60的練習3、5 Ⅳ.課時小結

1、若m+n=p+q，am?an?ap?aq

2、若?an??,bn?是項數相同的等比數列，則?an?bn?、{Ⅴ.課后作業(yè)

課本P60習題2.4A組的3、5題

2an}也是等比數列 bn

第五篇：高中數學《2.4等比數列》第1課時評估訓練 新人教A版必修5

2.4 等比數列

第1課時

等比數列的概念及通項公式

雙基達標 限時20分鐘

1，3，63，則它的第四項是

A．1B.83C.93D.123解析 a＝aa2643q＝a3a＝3×＝＝30＝1.13

答案 A

2．已知等比數列{an}滿足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，則a7等于

A．64B．81C．128D．243

解析 由???a1＋a1q＝3，得??a1＝1，??aa2

1q＋1q＝6，??q＝2，?

∴a6

7＝a1q＝64，選A.答案 A

3．如果－1，a，b，c，－9成等比數列，那么

A．b＝3，ac＝9B．b＝－3，ac＝9

C．b＝3，ac＝－9D．b＝－3，ac＝－9

解析 ∵b2＝(－1)×(－9)＝9且b與首項－1同號，∴b＝－3，且a，c必同號．

∴ac＝b2＝9.答案 B

4．在等比數列{an}中，若2a4＝a6－a5，則公比q是________．

解析 法一 由已知得2a1q3＝a1q5－a1q4，即2＝q2－q，∴q＝－1或q＝2.法二 ∵a5＝a4q，a6＝a4q2，∴由已知條件得2a2

4＝a4q－a4q，即2＝q2－q，∴q＝－1或q＝2.答案 －1或2

5．已知等比數列{an}的前三項依次為a－1，a＋1，a＋4，則an＝________.()．)．()． 1（解析 由已知(a＋1)2＝(a－1)(a＋4)，633得a＝5，則a1＝4，qan＝4·?n－1.42?2?

3答案 4·??n－1 ?2?

6．設Sn為數列{an}的前n項和，Sn＝kn＋n，n∈N，其中k是常數．

(1)求a1及an；

(2)若對于任意的m∈N，am，a2m，a4m成等比數列，求k的值．

解(1)由Sn＝kn2＋n，得a1＝S1＝k＋1，*2*

an＝Sn－Sn－1＝2kn－k＋1(n≥2)．

a1＝k＋1也滿足上式，所以an＝2kn－k＋1，n∈N.(2)由am，a2m，a4m成等比數列，得(4mk－k＋1)2＝(2km－k＋1)(8km－k＋1)，將上式化簡，得2km(k－1)＝0，因為m∈N，所以m≠0，故k＝0或k＝1.綜合提高

7．下列數列為等比數列的是

A．2,22,222，…限時25分鐘()． **111B.23，… aaaC．s－1，(s－1)2，(s－1)3，…D．0,0,0，…

22211解析 A項中，≠2，∴A不是；B項是首項為C項中，當s22aa

＝1時，數列為0,0,0，…，∴不是；D項顯然不是．

答案 B

8．設x∈R，記不超過x

()．

A．是等差數列但不是等比數列

B．是等比數列但不是等差數列

C．既是等差數列又是等比數列

D．既不是等差數列也不是等比數列

解析 可分別求得??5＋1?＝?2??5＋1??5＋1?＋1，?的最大整數為[x]，令{x}＝x－[x]，則?，2?2??222－15＋1?－15＋1，?＝1，＝1，由等比中項易222?2?＋1??＋1?5＋1?，?得?，2?2??2 2

答案 B

9．數列{an}中，a1＝1且an＋1＝3an＋2，則an＝________.解析 由an＋1＝3an＋2得an＋1＋1＝3(an＋1)，令an＋1＝bn則bn＋1＝3bn且b1＝a1＋1＝2，∴{bn}是以2為首項，以3為公比的等比數列，∴bn＝2·3n－1，∴an＝bn－1＝2·3

－1 n－1－1.答案 2·3n－1

10．已知f(1,1)＝1，f(m，n)∈N*(m，n∈N*)，且對任何m，n∈N*，都有：①f(m，n＋1)＝

f(m，n)＋2，②f(m＋1,1)＝2f(m,1)，給出以下三個結論：(1)f(1,5)＝9；(2)f(5,1)＝16；(3)f(5,6)＝26，其中正確的個數是________個．

解析 ∵f(1,1)＝1且f(m＋1,1)＝2f(m,1)，∴數列{f(m,1)}構成以1為首項以2為公比的等比數列，∴f(5,1)＝1·2＝16，∴(2)正確；

當m＝1時，條件①變?yōu)閒(1，n＋1)＝f(1，n)＋2，又f(1,1)＝1，∴數列{f(1，n)}是以1為首項，以2為公差的等差數列，∴f(1,5)＝f(1,1)＋4×2＝9.故(1)正確．

∵f(5,1)＝16，f(5，n＋1)＝f(5，n)＋2，∴{f(5，n)}也成等差數列．

∴f(5,6)＝16＋(6－1)·2＝26，∴(3)正確，故有3個正確．

答案 3

11．數列{an}滿足a1＝－1，且an＝3an－1－2n＋3(n＝2,3，…)．

(1)求a2，a3，并證明數列{an－n}是等比數列；

(2)求an.解(1)a2＝3a1－2×2＋3＝－4，4

a3＝3a2－2×3＋3＝－15.下面證明{an－n}是等比數列：

證明

an＋1－n＋13an－2n＋1＋3－n＋1＝ an－nan－n3an－3n＝3(n＝1,2,3，…)． an－n

又a1－1＝－2，∴{an－n}是以－2為首項，以3為公比的等比數列．

(2)由(1)知an－n＝－2·3

∴an＝n－2·3n－1.n－1，12．(創(chuàng)新拓展)已知數列{an}的前n項之和為Sn，Sn與an滿足關系Sn＝2(1)求an＋1與an的關系式，并求a1的值；

(2)證明：數列??是等比數列，并求{an}的通項公式； ?n??an?n＋2n(n∈N*)． n

(3)是否存在常數p使數列{an＋1－pan}為等比數列？若存在，請求出常數p的值；若不存在，請說明理由．

(1)解 ∵Sn＋2n＝2－nan①

∴Sn＋1＝2－n＋3n＋1an＋1②

②－①得an＋2n＋1＝nan＋3

n－n＋1an＋1，即2n＋2

n＋1n＋2n＋1＝nn，即2

n＋1a11＋21n＋1＝nn.而a1＝2－1a1，∴a12.(2)證明 由(1)知an＋1a

n＋1nn12，而a11＝12

∴??an?

?n?是以1122

∴an1?1?n－1?1?n

n2?2?＝?2?，∴an

n2n.(3)解 ∵a＋1pn1－2pn＋1

n＋1－pann

2n＋12n＝2n＋1由等比數列的通項公式知若{an＋1－pan}是等比數列，則1－2p＝0，∴p＝12.