第一篇：人教版高中數學教案：第4章：三角函數,教案,課時第 (20)

第二十教時

教材：兩角和與差的正弦、余弦、正切的綜合練習⑶

目的：進一步熟悉有關技巧，繼續提高學生綜合應用能力。（采用《精編》例題）

過程：

一、求值問題（續）

例一 若tan?=3x，tan?=3?x, 且???=?6，求x的值。

解：tan(???)=tan?=

363 ∵tan?=3x，tan?=3?x

∴3?tan??tan??tan??3x?3?x1?3?3?12(3x?3?x21?tan?x?x)∴3?3x?3?3?x=23 即：3?(3x)2?23?3x?3?0 ∴3x?3或3x??33(舍去)∴x?12

例二 已知銳角?, ?, ? 滿足sin?+sin?=sin?, cos??cos?=cos?, 求???的值。解： ∵sin?+sin?=sin? ∴sin? ?sin? = ?sin? <0 ①

∴sin?

同理：∵cos??cos?=cos? ∴ cos?? cos? = cos?

②

①2+②2: 1+1?2cos（???）=1 ∴cos（???）=12 ∵0??????2 0????2 ∴?2?????0 ∴???=?3

二、關于最值問題

例三 已知tan?，tan?是關于x的方程mx2?2x7m?3?2m?0的兩個實根，求tan(?+?)的取值范圍。

解：∵tan?，tan?是方程mx2?2x7m?3?2m?0的兩個實根

∴△=4(7m-3)-8m2≥0 ∴2m2-7m+3≤0 解之：12≤m≤3

又：???tan??tan??27m?3 ∴tan(???)??27m?3 ??tan??2m?tan?m2 為求范圍：tan(???)??27?1117?49m?3(m)2??2?3???(m)?6???1

2∵1≤m≤3 ∴123≤m≤2 ∴當117?m?76時，?3???(m)?6???494912有最大值12 2 當1m?2或1m?13時，?3???(1m)?7?6???4912有最小值2 2∴?733??2?3???(1m)?7?6???4912??22 即：tan(???)?????73,?22??3?? ?∴p?q+1=0 例四 若??2?x??2，求f(x)=3sinx+cosx的最大值和最小值，并求出此時的x值。

解： f(x)=3sinx+cosx=2??3?sinx?1???22cosx???2sin(x?)

?6∵?????2?2?x?2 ∴?3?x?6?3 ∴?32?sin(x??6)?1 ?3?2sin(x??6)?2

即：?3?f(x)?2 當且僅當x????6??3，x??2時 f(x)min=?3

當且僅當x????62，x?

?

3時 f(x)max=2

例五

已知f(x)=-acos2x-3asin2x+2a+b，其中a>0，x?[0,≤1，設

?]時，-5≤f(x)2g(t)=at2+bt-3，t?[-1,0]，求g(t)的最小值。

13sin2x+cos2x]+2a+b 解： f(x)=-acos2x-3asin2x+2a+b=-2a[ =-2asin(2x+)+2a+b ∵x?[0,?6???7?1?] ∴?2x?? ∴??sin(2x?)?1 266626 又： a>0 ∴-2a<0 ∴?2a??2asin(2x?)?a

6? ∴b??2asin(2x?)?2a?b?3a?b ∴b?f(x)?3a?b

6? ∵-5≤f(x)≤1 ∴??b??5?b??5??

3a?b?1a?2?? ∴g(t)=at2+bt-3=2t2-5t-3=2(t-)2-∴當t=0時，g(t)min=g(0)=-3

三、作業：《精編》 P61 6、7、11

P62 20、22、23、25 P63 30

5449 ∵t?[-1,0] 8

第二篇：人教版高中數學教案：第4章：三角函數,教案,課時第 (13)

第十三教時

教材：誘導公式(3)——綜合練習

目的：通過復習與練習，要求學生能更熟練地運用誘導公式，化簡三角函數式。過程：

一、復習：誘導公式

二、例

一、（《教學與測試》例一）計算：sin315??sin(?480?)+cos(?330?)

解：原式 = sin(360??45?)+ sin(360?+120?)+ cos(?360?+30?)

= ?sin45? + sin60? + cos30? =3?

2小結：應用誘導公式化簡三角函數的一般步驟：

1?用“? ?”公式化為正角的三角函數

2?用“2k? + ?”公式化為[0，2?]角的三角函數

3?用“?±?”或“2? ? ?”公式化為銳角的三角函數 例

二、已知cos（?6??)?

33，求cos（5?6

??)的值。（《教學與測試》例三）解： cos（5?5?6

??)??cos[??（?36

??)]??cos(6

??)??

3小結：此類角變換應熟悉 例

三、求證：

cos(k???)cos(k???)sin[(k?1)???]cos[(k?1)???]

??1,k?Z

證：若k是偶數，即k = 2 n(n?Z)則：左邊?

cos(2n???)cos(2n???)sin[2n??(???)]cos[2n??(???)]

?

?sin?cos??sin?(?cos?)

??1

若k是奇數，即k = 2 n + 1(n?Z)則：

左邊?

cos[2n??(???)]cos[2n??(???)]sin?(?cos?)sin[2(n?1)???)]cos[2(n?1)???)]

?

sin?cos?

??1

∴原式成立

小結：注意討論

例

四、已知方程sin(? ? 3?)= 2cos(? ? 4?)，求

sin(???)?5cos(2???)的值。2sin（3?2

??)?sin(??)

（《精編》 38例五）

解： ∵sin(? ? 3?)= 2cos(? ? 4?)∴? sin(3? ? ?)= 2cos(4? ? ?)

∴? sin(? ? ?)= 2cos(? ?)∴sin? = ? 2cos?且cos? ? 0

∴原式?

sin??5cos??2cos??5cos?3cos??2cos??sin?

?

?2cos??2cos?

?

?4cos?

??

4例

五、已知tan(???)?a2,|cos(???)|??cos?,求

1cos(???)的值。

（《精編》P40例八）

解：由題設： tan???a2?0,|cos?|??cos?,即cos??0由此：當a ? 0時，tan? < 0,cos? < 0,?為第二象限角，?原式??

1cos?

??sec??

?tan2

??

1?a

4當a = 0時，tan? = 0,? = k?,∴cos? = ±1，∵cos??0∴cos? = ?1 ,?原式??1cos?

?1?

?a

(a?0)

綜上所述：

1cos(???)

??a

例

六、若關于x的方程2cos2(? + x)? sinx + a = 0 有實根，求實數a的取值范

解：原方程變形為：2cos2x ? sinx + a = 0即 2 ? 2sin2x ? sinx + a = 0∴a?2sin2x?sinx?2?2(sinx?1

174)2?

8∵? 1≤sinx≤1

∴當sinx??1

174時，amin??

； 當sinx?1時，amax?1

∴a的取值范圍是[?

178,1]

三、作業：《教學與測試》P1085—8，思考題

《課課練》P46—4723，25，26

圍。

第三篇：人教版高中數學教案：第4章：三角函數,教案,課時第 (16)

第十六教時

教材：兩角和與差的正弦

目的：能由兩角和的余弦公式推導出兩角和的正弦公式，并進而推得兩角和的正

弦公式，并運用進行簡單的三角函數式的化簡、求值和恒等變形。過程：

一、復習：兩角和與差的余弦練習：1．求cos75?的值

解：cos75?=cos(45?+30?)=cos45?cos30??sin45?sin30?

=

232?2?22?12?

?2

2．計算：1? cos65?cos115??cos25?sin115?2? ?cos70?cos20?+sin110?sin20?

解：原式= cos65?cos115??sin65?sin115?=cos(65?+115?)=cos180?=?1原式=?cos70?cos20?+sin70?sin20?=?cos(70?+20?)=0 3．已知銳角?,?滿足cos?=3cos(?+?)=?5

求cos?.解：∵cos?=3

∴sin?=45

又∵cos(?+?)=?

513<0∴?+?為鈍角∴sin(?+?)=12

∴cos?=cos[(?+?)??]=cos(?+?)cos?+sin(?+?)sin?

=?

513?35?1213?45?

（角變換技巧）

二、兩角和與差的正弦

1．推導sin(?+?)=cos[?2?(?+?)]=cos[(?

??)??]

=cos（?2??)cos?+sin(?

??)sin?=sin?cos?+cos?sin? 即：?+?)=sin?cos?+cos?sin?（S?+?）以??代?sin(???)=sin?cos??cos?sin?（S???）2．公式的分析，結構解剖，囑記 3．例一不查表，求下列各式的值：

1? sin75?2?sin13?cos17?+cos13?sin17? 解：1?原式= sin(30?+45?)= sin30?cos45?+cos30?sin45?

=1

?

2?32?22?2?

2?原式= sin(13?+17?)=sin30?=

1例二求證：cos?+3sin?=2sin（?

+?)證一：左邊=2(12

cos?+

sin?)=2(sin?6cos?+cos?sin?)

=2sin（?

+?)=右邊（構造輔助角）證二：右邊=2(sin

?6cos?+cos?

sin?)=2(12cos?+2 sin?)

= cos?+sin?=左邊

例三〈精編〉P47-48例一 已知sin(?+?)=2,sin(???)=2 求tan?3

tan?的值

解： ∵sin(?+?)=2

∴sin?cos?+cos?sin?=23

①sin(???)=2∴sin?cos??cos?sin?=255

②①+②：sin?cos?=

8?

tan?sin?cos ①?②：cos?sin?=2

tan?=?

cos?sin??152 1

515?

4三、小結：兩角和與差的正弦、余弦公式及一些技巧“輔助角”“角變換”

“逆向運用公式”

P38練習2中①②3中①5中①③

P40-41習題4.62中①③3中①②⑤⑦⑧7中①④⑤ 〈精編〉P60-612、3、4

四、作業：

第四篇：人教版高中數學教案：第4章：三角函數,教案,課時第 (21)

第二十一教時

教材：二倍角的正弦、余弦、正切

目的：讓學生自己由和角公式而導出倍角公式，領會從一般化歸為特殊的數學思想，體會公式所蘊涵的和諧美，激發學生學數學的興趣。過程：

一、復習兩角和與差的正弦、余弦、正切公式：

二、提出問題：若???，則得二倍角的正弦、余弦、正切公式。

讓學生板演得下述二倍角公式：

sin2??2sin?cos?

cos2??cos2??sin2??2cos2??1?1?2sin2?

tan2??

2tan?

1?tan2?

cot2??cot2??1

2cot?

剖析：1．每個公式的特點，囑記：尤其是“倍角”的意義是相對的，如：??

4是8的倍角。

2．熟悉“倍角”與“二次”的關系（升角—降次，降角—升次）3．特別注意這只公式的三角表達形式，且要善于變形：

cos2??1?cos2?2,sin2??1?cos2?2

這兩個形式今后常用

三、例題：

例

一、（公式鞏固性練習）求值：

1．sin22?30’cos22?30’=1sin45?2

2?4

2．2cos2

?8?1?cos?2

4?2

3．sin2

???28?cos28??cos4??2

4．8sin?48

cos?48

cos?24

cos?12

?4sin?24

cos?24

cos?12

?2sin?12

cos?12

?sin?6

?12

例

二、1．(sin

5?12?cos5?12)(sin5?12?cos5?5?5?5?312)?sin212?cos212??cos6?2

2．cos4

?2?sin4?2?(cos2?2?sin2?2)(cos2?2?sin2?)?cos?3．

11?tan??11?tan??2tan?

1?tan2?

?tan2?

4．1?2cos2??cos2??1?2cos2??2cos2??1?2

例

三、若tan ? = 3，求sin2? ? cos2? 的值。

解：sin2? ? cos2? =

2sincos??sin2??cos2?2tan??tan2??1sin2??cos2??1?tan2?

?7

5例

四、條件甲：?sin??a，條件乙：sin?2?cos?

?a，那么甲是乙的什么條件？

解：?sin??(sin?2?cos?

??2)2?a即|sin2?cos2|?a

當?在第三象限時，甲乙；當a > 0時，乙甲

∴甲既不是乙的充分條件,也不是乙的必要條件。

例

五、（P43 例一）已知sin??513,??(?,?)，求sin2?，cos2?，tan2?的值。解：∵sin??513,??(?12

2,?)∴cos????sin2???1

3∴sin2? = 2sin?cos? = ?120

169

cos2? = 1?2sin2??119

169

tan2? = ?120

119

四、小結：公式，應用

五、作業：課本P44練習

P47習題4.71，2

第五篇：人教版高中數學教案：第4章：三角函數,教案,課時第 (8)

第八教時

教材：同角三角函數的基本關系

目的：要求學生能根據三角函數的定義，導出同角三角函數的基本關系，并能正確運

用進行三角函數式的求值運算。

過程：

一、復習任意角的三角函數的定義：

計算下列各式的值：

1.sin290??cos290?2.sin230??cos230?3.tan45??cot245?

sin

?4.3si3?

5.6.ta5??co5?cos

?3

co3?66

4二、1．導入新課：引導學生觀察上述題目的結果（并像公式“方向”引導）

引導猜想： sin2??cos2??1

sin?

cos?

?tan?tan??cot??12．理論證明：（采用定義）

1??x2?y2?r2

且sin??

yr,co?s?xr

?sin2

??co2s??12?當??k???sin?2(k?Z)時，co?s?yr?xr?yr?rx?y

x

?tan?

3?當??k?且??k???2時,tan??co?t?yx

x?y

?1

3．推廣：這種關系稱為平方關系。類似的平方關系還有：sec2??tan2??1cs2c??co2t??

1sin?

cos??tan?這種關系稱為商數關系。類似的商數關系還有：

cos?

sin?

?cot?tan??cot??1這種關系稱為倒數關系。類似的倒數關系還有：csc??sin??1sec??cos??1

4．點題：三種關系，八個公式，稱為同角三角函數的基本關系。5．注意：

1?“同角”的概念與角的表達形式無關，si?

如： sin23??cos23??1?ta?co?

2?上述關系（公式）都必須在定義域允許的范圍內成立。

3?據此，由一個角的任一三角函數值可求出這個角的其余各三角函數值，且因為利用“平方關系”公式，最終需求平方根，會出現兩解，因此應盡可能少用（實際上，至多只要用一次）。

三、例題：

例

一、（課本P25例一）略

注：已知角的象限，利用平方關系，也只可能是一解。例

二、（課本P25例二）略

注：根據已知的三角函數值可以分象限討論。例

三、（課本P25例三）略

實際上：sec2??tan2??1即cos2

??11?tan2

?

?

當?為第一、四象限角

?co?s??1??

?ta2n?

???

當?為第二、三象限角

??ta2n?

而sin

??tan??cos? ?

當?為第一、四象限角

?cos???tan???

?tan2?

???

tan?當??tan2?

?為第二、三象限角

四、小結：三種關系，八個公式

五、作業：P27練習1—4

P27—28習題4．41—4