第一篇：人教版高中數學教案：第2章：函數,教案,課時第 (21)

第二十二教時

教材： 換底公式

目的：要求學生掌握對數的換底公式，并能解決有關的化簡、求值、證明問題。過程：

一、復習：對數的運算法則

導入新課：對數的運算的前提條件是“同底”，如果底不同怎么辦？

二、換底公式：loglogmN

aN?

log(a > 0 ,a ? 1)ma

證：設 log a N = x ,則a x

= N

兩邊取以m為底的對數：logmax?logmN?xlogma?logmN從而得：x?

logmNlog∴ loglogmN

aN? malogma

兩個較為常用的推論：

1? loglognn

ab?ba?12? logamb?m

logab（a, b > 0且均不為1）證：1? logab?logba?

lgblga

lga?lgb

?1 n

2? lognamb?

lgbnlga

m

?lgbmlga?n

mlogab

三、例

一、計算：1? 51?log0.232? log43?log1 2

解：1? 原式 =

55log0.23

?

5?5

5log5

1?15 3

2? 原式 = 112log5153

23?2log32?4log22?4?4?

2例

二、已知 log 18 9 = a ,18 b = 5 ,求log 3645（用 a, b 表示）

解：∵ log 18 9 = a∴log18

182

?1?log182?a∴log182 = 1 ? a∵ 18 b= 5∴ log 18 5 = b∴log9?log185a?b

3645?

log1845log18log36?1?log?

181822?a

例

三、設3x?4y?6z?t?1求證：111

z?x?2y

證：∵3x?4y?6z?t?1∴ x?

lgtlg3，y?lgtlgt

lg4，z?

lg6

∴ 1z?1x?lg6lg3lg2lg41

lgt?lgt?lgt?2lgt?

2y

例

四、若log8 3 = p ,log3 5 = q,求 lg 5

解：∵ log8 3 = p∴log23?3p?lg3?3plg2?3p(1?lg5)又∵ loglg5

35?

lg3

?q∴ lg5?qlg3?3pq(1?lg5)∴(1?3pq)lg5?3pq∴ lg5?3pq

1?3pq

以下例題備用：

例

五、計算：(log43?log83)(log32?log92)?log1

5解：原式?(log223?log233)(log32?log322)?log12

?(1115

2log23?3log23)(log32?2log32)?4

?53556log3?2log55

232?4?4?4?

2例

六、若 log34?log48?log8m?log42求m解：由題意：

lg4lg81lg3?lg4?lgmlg8?1

∴lgm?2lg3∴m?

四、小結：換底公式及其推論

五、作業：

1．求下列各式的值：

1? log9

2? 253??3?561

log651log871(?)4(10)

13?(log25?log40.2)(log52?log250.5)()4

254? log932(log23?log49?log827?log1681?log32243)()12

72．已知 2lg(3x?2)?lgx?lg(3x?2)求log222 的值。()4

3(1?m))3．已知lg 5 = m ,lg 3 = n用 m , n表示log 30 8(1?m

1?a4．已知log2?求log 12 3(a)a

5．設a , b , c 為不等于 1 的正數，若ax?by?cz 且

求證：abc = 1

6．求值：lg5?log

7．求值：2log?49111???0xyz20?(lg2)2?3log32?1

3)3?log(2?(7?43)?102?lg2(?189)

第二篇：人教版高中數學教案：第4章：三角函數,教案,課時第 (21)

第二十一教時

教材：二倍角的正弦、余弦、正切

目的：讓學生自己由和角公式而導出倍角公式，領會從一般化歸為特殊的數學思想，體會公式所蘊涵的和諧美，激發學生學數學的興趣。過程：

一、復習兩角和與差的正弦、余弦、正切公式：

二、提出問題：若???，則得二倍角的正弦、余弦、正切公式。

讓學生板演得下述二倍角公式：

sin2??2sin?cos?

cos2??cos2??sin2??2cos2??1?1?2sin2?

tan2??

2tan?

1?tan2?

cot2??cot2??1

2cot?

剖析：1．每個公式的特點，囑記：尤其是“倍角”的意義是相對的，如：??

4是8的倍角。

2．熟悉“倍角”與“二次”的關系（升角—降次，降角—升次）3．特別注意這只公式的三角表達形式，且要善于變形：

cos2??1?cos2?2,sin2??1?cos2?2

這兩個形式今后常用

三、例題：

例

一、（公式鞏固性練習）求值：

1．sin22?30’cos22?30’=1sin45?2

2?4

2．2cos2

?8?1?cos?2

4?2

3．sin2

???28?cos28??cos4??2

4．8sin?48

cos?48

cos?24

cos?12

?4sin?24

cos?24

cos?12

?2sin?12

cos?12

?sin?6

?12

例

二、1．(sin

5?12?cos5?12)(sin5?12?cos5?5?5?5?312)?sin212?cos212??cos6?2

2．cos4

?2?sin4?2?(cos2?2?sin2?2)(cos2?2?sin2?)?cos?3．

11?tan??11?tan??2tan?

1?tan2?

?tan2?

4．1?2cos2??cos2??1?2cos2??2cos2??1?2

例

三、若tan ? = 3，求sin2? ? cos2? 的值。

解：sin2? ? cos2? =

2sincos??sin2??cos2?2tan??tan2??1sin2??cos2??1?tan2?

?7

5例

四、條件甲：?sin??a，條件乙：sin?2?cos?

?a，那么甲是乙的什么條件？

解：?sin??(sin?2?cos?

??2)2?a即|sin2?cos2|?a

當?在第三象限時，甲乙；當a > 0時，乙甲

∴甲既不是乙的充分條件,也不是乙的必要條件。

例

五、（P43 例一）已知sin??513,??(?,?)，求sin2?，cos2?，tan2?的值。解：∵sin??513,??(?12

2,?)∴cos????sin2???1

3∴sin2? = 2sin?cos? = ?120

169

cos2? = 1?2sin2??119

169

tan2? = ?120

119

四、小結：公式，應用

五、作業：課本P44練習

P47習題4.71，2

第三篇：人教版高中數學教案：第2章：函數,教案,課時第 (27)

第二十八教時

教材： 函數的應用舉例二

目的： 要求學生熟悉屬于“增長率”、“利息”一類應用問題，并能掌握其解法。過程：

一、新授：

例

一、（《教學與測試》 P69 第34課）

某工廠今年1月、2月、3月生產某產品分別為1萬件、1.2萬件、1.3萬件，為估計以后每月的產量，以這三個月的產量為依據，用一個函數模擬該產品的月產量y與月份x的關系，模擬函數可選用二次函數

或y?a?bx?c(a,b,c為常數)，已知四月份該產品的產量為1.37萬件，請問：用以上那個函數作模擬函數較好？說明理由。

解：設二次函數為： y?px2?qx?r

?p?q?r?1?p??0.05由已知得：??4p?2q?r?1.2??

?q?0.35

??9p?3q?r?1.3??

r?0.7∴y??0.05x2?0.35x?0.7

當 x = 4時，y1??0.05?42?0.35?4?0.7?1.3又對于函數y?a?bx?c

?ab?c?1?a??0.8

由已知得：??ab2?c?1.2??

?b?0.5∴y??0.8?(1??ab3?c?1.3??c?1.4

2)x?1.4當 x = 4時，y1

2??0.8?(2)4?1.4?1.35

由四月份的實際產量為1.37萬件,|y2?1.37|?0.02?0.07?|y1?1.37|

∴選用函數y??0.8?（1)x?1.4 作模擬函數較好。

例

二、（《教學與測試》 P69 第34課）

已知某商品的價格每上漲x%，銷售的數量就減少mx%，其中m為

正常數。

1．當m?

時，該商品的價格上漲多少，就能使銷售的總金額最大？2．如果適當的漲價，能使銷售總金額增加，求m的取值范圍。

解：1．設商品現在定價a元，賣出的數量為b個。

由題設：當價格上漲x%時，銷售總額為y?a(1?x%)?b(1?mx%)

即 y?

ab

10000

[?mx2?100(1?m)x?10000]取m?1ab

2得：y?

20000

[?(x?50)2?22500]當 x = 50時，y9

max?8

ab

即該商品的價格上漲50%時，銷售總金額最大。

2．∵二次函數y?

ab

[?mx210000?100(1?m)x?10000]在(?x,50(1?m)m]上遞增，在[50(1?m)

m,??)上遞減∴適當地漲價，即 x > 0 , 即

50(1?m)

m

?0就是 0 < m <1 ,能使銷售總金額增加。例

三、（課本91 例二）

按復利計算利息的一種儲蓄，本金為a元，每期利率為r，設本利和為y，存期為x，寫出本利和y 隨存期x 變化的函數關系式。如果存入本金1000元，每期利率為2.25%，試計算5期后本利和是多少？“復利”：即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再計算下一期利息。

分析：1期后 y1?a?a?r?a(1?r)2期后 y2?a(1?r)2??

∴ x 期后，本利和為：y?a(1?r)x

將 a = 1000元，r = 2.25%，x = 5 代入上式：y?1000?(1?2.25%)5?100?01.02255

由計算器算得：y = 1117.68（元）

二、如有時間多余，則可處理《課課練》 P101“例題推薦”3

三、作業：《教學與測試》 P70 第7題

《課課練》 “例題推薦” P1001，2P1017，8

第四篇：人教版高中數學教案：第2章：函數,教案,課時第 (23)

第二十四教時

教材： 對數函數的定義、圖象、性質

目的：要求學生了解對數函數的定義、圖象及其性質以及它與指數函數間的關

系，會求對數函數的定義域。過程：

一、復習： 指數函數的定義、圖象、性質

二、從實例導入：回憶學習指數函數時用的實例。

細胞分裂問題：細胞的個數是分裂次數的指數函數y?2x反之，細胞分裂的次數是細胞個數的函數

由對數定義：x?log2y即：次數y是個數x的函數 y?log2x

定義：函數 y?logax(a?0且a?1)叫做對數函數；它是指數函數y?ax

(a?0且a?1)的反函數。

對數函數y?logax(a?0且a?1)的定義域為(0,??)，值域為(??,??)。例

一、（P87例一）略

x

x2?1

例

二、求函數y???1?

?5??

?2和函數y???1??2?

??2(x?0)的反函數。

x

解：1???1?

??y?2∴f?1(x)?log1(?5?x?2)(x??2)

5?x2

?1

2??1?

?2?

?

?y?2∴f?1(x)??2)(2?x?5

1(x?)

2三、對數函數的圖象

由于對數函數是指數函數的反函數，所以對數函數的圖象只須由相應的指數函數圖象作關于y?x的對稱圖形，即可獲得。同樣：也分a?1與0?a?1兩種情況歸納

以y?log2x與y?log1x為例

y

y

y=x y=xy=log2xo

x

o

x

y=log1x2

例

三、作出下列對數函數的圖象：

1．y?log2x2．y?log1(x?2)

y y1

?1 o

x

o

x

四、對數函數的性質

由對數函數的圖象，觀察得出對數函數的性質。見P87 表（從略）定義域：(0,??)值域：R過點(1,0)即當x?1時y?0 當a?1時 單調遞增當0?a?1時單調遞減

由圖：a?1時x?(0,1)時 y?0x?(1,??)時 y?00?a?1時 x?(0,1)時y?0x?(1,??)時y?0 例

四、例五（見P88例

二、例三）

五、小結：對數函數定義、圖象、性質

六、作業： P89練習2、3習題2．81、2、3

第五篇：人教版高中數學教案：第2章：函數,教案,課時第 (30)

第三十一教時

教材：單元復習之二——續單元復習之一

目的：通處理一些未了的例題（《教學與測試》備用題），加深學生對概念的理解 過程：

1．某產品的總成本 y萬元與產量 x臺之間的函數關系式是 y?3000?20x?0.1x2 x?(0,240)，若每臺產品的售價為25萬元，則生產者不虧本的最低產量為多少？

解：25x?3000?20x?0.1x2即：x2?50x?300?

00∴x≥150(x≤?120舍去)即：最低產量為150臺2．已知函數 f(x)?ax2

?a2

x?2b?a

31? 當x?(?2，6)時，其值為正；x?(??,?2)?(6,??)時，其值為負，求a, b的值及f(x)的表達式2? 設F(x)??k

f(x)?4(k?1)x?2(6k?1)，k為何值時，函數F(x)的值恒為負值

解：1? 由已知 ??f(?2)?4a?2a2?2b?a3?00

解得：32a?8a2

?0（a < 0）?f(6)?36a?6a2?2b?a3

?∴a = ? 4從而 b = ? 8∴f(x)??4x2?16x?48

2? F(x)??k4

(?4x2?16x?48)?4(k?1)x?2(6k?1)?kx2?4x?2欲 F(x)?0則 ?

?k?0???16?8k?0得k < ? 2

3．已知 a > 0，且a

3x

?a

?3x

?52，求 a x的值。

解：設t?ax?a?x則a3x?a?3x?(ax?a?x)(a2x?axa?x?a?2x)?t(t2?3)?52∴t3?3t?52?0?(t?4)(t2?4t?13)?0∵t2?4t?13?(t?2)2?9?0∴t = 4即 ax

?a

?x

?4∴(ax)2

?4ax

?1?0∴ax

?2?2

4．已知 a > 0，a ? 1，x?12

(an

?a?n)2 , 求(x?x2?1)n的值。

112211

解：?x2

?1?1(an?a?n）2?1?1(an?a?n

?2)?1?1(an?a?n)244

4111(a?1)?(x?x2

?1)n

?[1n?1?1n

??a2(a?an)?2(an?an)]??1

??a

(0?a?1)

5．已知n?N*，f(n)?n?0.9n 比較 f(n)與 f(n+1)大小，并求 f(n)的最大值。解：f(n?1)?f(n)?(n?1)?0.9n?1?n?0.9n?0.9n(0.9n?0.9?n)?

9?n

?0.9n10

當1?n?9時，f(n?1)?f(n)

∵0.9n?0∴當n?9時，f(n?1)?f(n)即f(10)?f(9)

當n?9時，f(n?1)?f(n)綜上：f(0)< f(1)< ??< f(9)= f(10)> f(11)> f(12)>??∴ 當 n = 9 或 n = 10時，f(n)最大，最大值為 f(9)= 9×0.9 9

6．已知 9x?4y?1，求 3x?1?22y?1的最大值。

解：∵

3x?1?22y?1?1?3x?1(1?9x)??1(3x125322?3)?9∴當3x?1 即 x = ? 1時，3x?1?22y?153有最大值 9

7．畫出函數 y?|(12)|x|?12|的圖象，并利用圖象回答：k為何值時，方程 |(1)|x|1

2?2|?k無解？有一解？有兩解？ 解：當 k<0或k>1

時，無解。1

2當 k?

時，方程有唯一解(x = 0)。當 k = 0時，方程有兩解(x =±1)。

當 0?k?

時，方程有四個不同解。作業：《課課練》P76—77“例題推薦” 1、2練習：4、5、6、7、8