第一篇：人教版高中數學教案：第4章：三角函數,教案,課時第 (7)

第七教時

教材：三角函數的值在各象限的符號

目的：通過啟發讓學生根據三角函數的定義，確定三角函數的值在各象限的符號，并由此熟練地處理一些問題。

過程：

一、復習三角函數的定義；用單位圓中的線段表示三角函數值

二、提出課題然后師生共同操作：

1．第一象限：.x?0,y?0∴sin??0,cos??0,tan??0,cot??0,sec??0,csc??0第二象限：.x?0,y?0∴sin??0,cos??0,tan??0,cot??0,sec??0,csc??0第三象限：.x?0,y?0∴sin??0,cos??0,tan??0,cot??0,sec??0,csc??0第四象限：.x?0,y?0∴sin??0,cos??0,tan??0,cot??0,sec??0,csc??0記憶法則：

sin?csc?

為正全正

tan?cot?

為正cos?sec?

為正

2．由定義：sin(?+2k?)=sin?cos(?+2k?)=cos?tan(?+2k?)=tan?cot(?+2k?)=co?sec(?+2k?)=sec?csc(?+2k?)=csc?

三、例一（P18例三略）

例二（P18例四）求證角?為第三象限角的充分條件是??sin??0(1)

?tan??0(2)

證：必要性：

若?是第三象限角，則必有sin??0,tan??0

充分性：

若⑴ ⑵ 兩式成立∵若sin??0則?角的終邊可能位于第三、第四象限，也可能位于y軸的非正半軸

若tan??0，則角?的終邊可能位于第一或第三象限 ∵⑴ ⑵ 都成立∴?角的終邊只能位于第三象限∴角?為第三象限角

例三（P19 例五略）

四、練習：

1．若三角形的兩內角?，?滿足sin?cos??0，則此三角形必為…………（B）

A：銳角三角形B：鈍角三角形C：直角三角形D：以上三種情況都可能 2．若是第三象限角，則下列各式中不成立的是……………………………（B）

A：sin?+cos??0B：tan??sin??0 C：cos??cot??0D：cot?csc??0

3．已知?是第三象限角且cos?2?0，問?

是第幾象限角？

解：∵(2k?1)????(2k?1)???

(k?Z)

∴k???2??2?k??3?4(k?Z)則?

2是第二或第四象限角

又∵cos?2?0則?

是第二或第三象限角

∴?

必為第二象限角

sin2?

4．已知??1?

?2?

?

?1，則?為第幾象限角？

解： 由??1?

sin2?

?2?

?

?1∴sin2??0

∴2k??2??2k?+?(k?Z)∴k????k?+?2

∴?為第一或第三象限角

五、小結：符號法則，誘導公式

六、作業： 課本 P19練習4,5,6

P20-21習題4.36-10

第二篇：人教版高中數學教案：第4章：三角函數,教案,課時第 (16)

第十六教時

教材：兩角和與差的正弦

目的：能由兩角和的余弦公式推導出兩角和的正弦公式，并進而推得兩角和的正

弦公式，并運用進行簡單的三角函數式的化簡、求值和恒等變形。過程：

一、復習：兩角和與差的余弦練習：1．求cos75?的值

解：cos75?=cos(45?+30?)=cos45?cos30??sin45?sin30?

=

232?2?22?12?

?2

2．計算：1? cos65?cos115??cos25?sin115?2? ?cos70?cos20?+sin110?sin20?

解：原式= cos65?cos115??sin65?sin115?=cos(65?+115?)=cos180?=?1原式=?cos70?cos20?+sin70?sin20?=?cos(70?+20?)=0 3．已知銳角?,?滿足cos?=3cos(?+?)=?5

求cos?.解：∵cos?=3

∴sin?=45

又∵cos(?+?)=?

513<0∴?+?為鈍角∴sin(?+?)=12

∴cos?=cos[(?+?)??]=cos(?+?)cos?+sin(?+?)sin?

=?

513?35?1213?45?

（角變換技巧）

二、兩角和與差的正弦

1．推導sin(?+?)=cos[?2?(?+?)]=cos[(?

??)??]

=cos（?2??)cos?+sin(?

??)sin?=sin?cos?+cos?sin? 即：?+?)=sin?cos?+cos?sin?（S?+?）以??代?sin(???)=sin?cos??cos?sin?（S???）2．公式的分析，結構解剖，囑記 3．例一不查表，求下列各式的值：

1? sin75?2?sin13?cos17?+cos13?sin17? 解：1?原式= sin(30?+45?)= sin30?cos45?+cos30?sin45?

=1

?

2?32?22?2?

2?原式= sin(13?+17?)=sin30?=

1例二求證：cos?+3sin?=2sin（?

+?)證一：左邊=2(12

cos?+

sin?)=2(sin?6cos?+cos?sin?)

=2sin（?

+?)=右邊（構造輔助角）證二：右邊=2(sin

?6cos?+cos?

sin?)=2(12cos?+2 sin?)

= cos?+sin?=左邊

例三〈精編〉P47-48例一 已知sin(?+?)=2,sin(???)=2 求tan?3

tan?的值

解： ∵sin(?+?)=2

∴sin?cos?+cos?sin?=23

①sin(???)=2∴sin?cos??cos?sin?=255

②①+②：sin?cos?=

8?

tan?sin?cos ①?②：cos?sin?=2

tan?=?

cos?sin??152 1

515?

4三、小結：兩角和與差的正弦、余弦公式及一些技巧“輔助角”“角變換”

“逆向運用公式”

P38練習2中①②3中①5中①③

P40-41習題4.62中①③3中①②⑤⑦⑧7中①④⑤ 〈精編〉P60-612、3、4

四、作業：

第三篇：人教版高中數學教案：第4章：三角函數,教案,課時第 (8)

第八教時

教材：同角三角函數的基本關系

目的：要求學生能根據三角函數的定義，導出同角三角函數的基本關系，并能正確運

用進行三角函數式的求值運算。

過程：

一、復習任意角的三角函數的定義：

計算下列各式的值：

1.sin290??cos290?2.sin230??cos230?3.tan45??cot245?

sin

?4.3si3?

5.6.ta5??co5?cos

?3

co3?66

4二、1．導入新課：引導學生觀察上述題目的結果（并像公式“方向”引導）

引導猜想： sin2??cos2??1

sin?

cos?

?tan?tan??cot??12．理論證明：（采用定義）

1??x2?y2?r2

且sin??

yr,co?s?xr

?sin2

??co2s??12?當??k???sin?2(k?Z)時，co?s?yr?xr?yr?rx?y

x

?tan?

3?當??k?且??k???2時,tan??co?t?yx

x?y

?1

3．推廣：這種關系稱為平方關系。類似的平方關系還有：sec2??tan2??1cs2c??co2t??

1sin?

cos??tan?這種關系稱為商數關系。類似的商數關系還有：

cos?

sin?

?cot?tan??cot??1這種關系稱為倒數關系。類似的倒數關系還有：csc??sin??1sec??cos??1

4．點題：三種關系，八個公式，稱為同角三角函數的基本關系。5．注意：

1?“同角”的概念與角的表達形式無關，si?

如： sin23??cos23??1?ta?co?

2?上述關系（公式）都必須在定義域允許的范圍內成立。

3?據此，由一個角的任一三角函數值可求出這個角的其余各三角函數值，且因為利用“平方關系”公式，最終需求平方根，會出現兩解，因此應盡可能少用（實際上，至多只要用一次）。

三、例題：

例

一、（課本P25例一）略

注：已知角的象限，利用平方關系，也只可能是一解。例

二、（課本P25例二）略

注：根據已知的三角函數值可以分象限討論。例

三、（課本P25例三）略

實際上：sec2??tan2??1即cos2

??11?tan2

?

?

當?為第一、四象限角

?co?s??1??

?ta2n?

???

當?為第二、三象限角

??ta2n?

而sin

??tan??cos? ?

當?為第一、四象限角

?cos???tan???

?tan2?

???

tan?當??tan2?

?為第二、三象限角

四、小結：三種關系，八個公式

五、作業：P27練習1—4

P27—28習題4．41—4

第四篇：人教版高中數學教案：第4章：三角函數,教案,課時第 (21)

第二十一教時

教材：二倍角的正弦、余弦、正切

目的：讓學生自己由和角公式而導出倍角公式，領會從一般化歸為特殊的數學思想，體會公式所蘊涵的和諧美，激發學生學數學的興趣。過程：

一、復習兩角和與差的正弦、余弦、正切公式：

二、提出問題：若???，則得二倍角的正弦、余弦、正切公式。

讓學生板演得下述二倍角公式：

sin2??2sin?cos?

cos2??cos2??sin2??2cos2??1?1?2sin2?

tan2??

2tan?

1?tan2?

cot2??cot2??1

2cot?

剖析：1．每個公式的特點，囑記：尤其是“倍角”的意義是相對的，如：??

4是8的倍角。

2．熟悉“倍角”與“二次”的關系（升角—降次，降角—升次）3．特別注意這只公式的三角表達形式，且要善于變形：

cos2??1?cos2?2,sin2??1?cos2?2

這兩個形式今后常用

三、例題：

例

一、（公式鞏固性練習）求值：

1．sin22?30’cos22?30’=1sin45?2

2?4

2．2cos2

?8?1?cos?2

4?2

3．sin2

???28?cos28??cos4??2

4．8sin?48

cos?48

cos?24

cos?12

?4sin?24

cos?24

cos?12

?2sin?12

cos?12

?sin?6

?12

例

二、1．(sin

5?12?cos5?12)(sin5?12?cos5?5?5?5?312)?sin212?cos212??cos6?2

2．cos4

?2?sin4?2?(cos2?2?sin2?2)(cos2?2?sin2?)?cos?3．

11?tan??11?tan??2tan?

1?tan2?

?tan2?

4．1?2cos2??cos2??1?2cos2??2cos2??1?2

例

三、若tan ? = 3，求sin2? ? cos2? 的值。

解：sin2? ? cos2? =

2sincos??sin2??cos2?2tan??tan2??1sin2??cos2??1?tan2?

?7

5例

四、條件甲：?sin??a，條件乙：sin?2?cos?

?a，那么甲是乙的什么條件？

解：?sin??(sin?2?cos?

??2)2?a即|sin2?cos2|?a

當?在第三象限時，甲乙；當a > 0時，乙甲

∴甲既不是乙的充分條件,也不是乙的必要條件。

例

五、（P43 例一）已知sin??513,??(?,?)，求sin2?，cos2?，tan2?的值。解：∵sin??513,??(?12

2,?)∴cos????sin2???1

3∴sin2? = 2sin?cos? = ?120

169

cos2? = 1?2sin2??119

169

tan2? = ?120

119

四、小結：公式，應用

五、作業：課本P44練習

P47習題4.71，2

第五篇：人教版高中數學教案：第4章：三角函數,教案,課時第 (20)

第二十教時

教材：兩角和與差的正弦、余弦、正切的綜合練習⑶

目的：進一步熟悉有關技巧，繼續提高學生綜合應用能力。（采用《精編》例題）

過程：

一、求值問題（續）

例一 若tan?=3x，tan?=3?x, 且???=?6，求x的值。

解：tan(???)=tan?=

363 ∵tan?=3x，tan?=3?x

∴3?tan??tan??tan??3x?3?x1?3?3?12(3x?3?x21?tan?x?x)∴3?3x?3?3?x=23 即：3?(3x)2?23?3x?3?0 ∴3x?3或3x??33(舍去)∴x?12

例二 已知銳角?, ?, ? 滿足sin?+sin?=sin?, cos??cos?=cos?, 求???的值。解： ∵sin?+sin?=sin? ∴sin? ?sin? = ?sin? <0 ①

∴sin?

同理：∵cos??cos?=cos? ∴ cos?? cos? = cos?

②

①2+②2: 1+1?2cos（???）=1 ∴cos（???）=12 ∵0??????2 0????2 ∴?2?????0 ∴???=?3

二、關于最值問題

例三 已知tan?，tan?是關于x的方程mx2?2x7m?3?2m?0的兩個實根，求tan(?+?)的取值范圍。

解：∵tan?，tan?是方程mx2?2x7m?3?2m?0的兩個實根

∴△=4(7m-3)-8m2≥0 ∴2m2-7m+3≤0 解之：12≤m≤3

又：???tan??tan??27m?3 ∴tan(???)??27m?3 ??tan??2m?tan?m2 為求范圍：tan(???)??27?1117?49m?3(m)2??2?3???(m)?6???1

2∵1≤m≤3 ∴123≤m≤2 ∴當117?m?76時，?3???(m)?6???494912有最大值12 2 當1m?2或1m?13時，?3???(1m)?7?6???4912有最小值2 2∴?733??2?3???(1m)?7?6???4912??22 即：tan(???)?????73,?22??3?? ?∴p?q+1=0 例四 若??2?x??2，求f(x)=3sinx+cosx的最大值和最小值，并求出此時的x值。

解： f(x)=3sinx+cosx=2??3?sinx?1???22cosx???2sin(x?)

?6∵?????2?2?x?2 ∴?3?x?6?3 ∴?32?sin(x??6)?1 ?3?2sin(x??6)?2

即：?3?f(x)?2 當且僅當x????6??3，x??2時 f(x)min=?3

當且僅當x????62，x?

?

3時 f(x)max=2

例五

已知f(x)=-acos2x-3asin2x+2a+b，其中a>0，x?[0,≤1，設

?]時，-5≤f(x)2g(t)=at2+bt-3，t?[-1,0]，求g(t)的最小值。

13sin2x+cos2x]+2a+b 解： f(x)=-acos2x-3asin2x+2a+b=-2a[ =-2asin(2x+)+2a+b ∵x?[0,?6???7?1?] ∴?2x?? ∴??sin(2x?)?1 266626 又： a>0 ∴-2a<0 ∴?2a??2asin(2x?)?a

6? ∴b??2asin(2x?)?2a?b?3a?b ∴b?f(x)?3a?b

6? ∵-5≤f(x)≤1 ∴??b??5?b??5??

3a?b?1a?2?? ∴g(t)=at2+bt-3=2t2-5t-3=2(t-)2-∴當t=0時，g(t)min=g(0)=-3

三、作業：《精編》 P61 6、7、11

P62 20、22、23、25 P63 30

5449 ∵t?[-1,0] 8