第一篇：人教版高中數學教案：第4章：三角函數,教案,課時第 (39)

第三十九教時

教材：復習二倍角的正弦、余弦、正切

目的：通過梳理，突出知識間的內在聯系，培養學生綜合運用知識，分析問題、解

決問題的能力。過程：

一、復習：1．倍角公式

2．延伸至半角、萬能、積化和差、和差化積公式

二、例題：

1．化簡：2?sin8?2?2cos8

解：原式?2?2sin4cos4?2?2(2cos24?1)?2(sin4?cos4)2?2cos24= 2|sin4 + cos4| +2|cos4|

∵4?(?,3?)∴sin4 + cos4 < 0cos4 < 0

∴原式= ?2(sin4 + cos4)?2cos4 = ?2sin4 ? 4cos4

2．已知sin(?4??)sin(?4??)?1?

6,??(2,?)，求sin4?的值

解：∵sin(?4??)sin(?1??1

4??)?6∴2sin(4??)cos(4??)?3

∴sin[2(?4??)]?13∴cos2? =1

又∵??(?,?)∴2??(?, 2?)

∴sin2? = ??cos22????(122

3)2??3

∴sin4? = 2sin2?cos2? = 2?(?

223)?1423??9

3．已知3sin2? + 2sin2? = 1，3sin2? ? 2sin2? = 0，且?、?都是銳角，求?+2?的值

解：由3sin2? + 2sin2? = 1得1 ? 2sin2? = 3sin2?∴cos2? = 3sin2?

由3sin2? ? 2sin2? = 0 得sin2? =

3sin2? = 3sin?cos?

∴cos(?+2?)= cos?cos2? ?sin?sin2? = cos?3sin2? ? sin?3sin?cos? = 0 ∵0?

4．已知sin?是sin?與cos?的等差中項，sin?是sin?、cos?的等比中項，求證：cos2??2cos2(?

??)?2cos2?

證：由題意： 2sin? = sin? + cos?①sin?2 = sin?cos?②

①2?2②：4sin2? ? 2sin2? = 1

∴1 ? 2sin2? = 2 ? 4sin2?∴cos2? = 2cos2?由②：1 ? 2sin?2 = 1 ? 2sin?cos?

∴cos2? =(sin? ? cos?)2 = [2cos(??

4??)]2?2cos2(4

??)

∴cos2??2cos2(?

??)?2cos2?原命題成立

5．（《教學與測試》P129備用題）奇函數f(x)在其定義域(???

2,2)上是減函

數，并且f(1?sin?)+ f(1?sin2?)< 0，求角?的取值范圍。解：∵f(1?sin?)< f(sin2? ?1)∴1?sin? < sin2? ?1

?1<1?sin?<122

?12

解之得：??(2k?+??3?4, 2k?+2)∪(2k?+?

2, 2k?+4)(k?Z)

6．已知sin? = asin(?+?)(a>1)，求證：tan(???)?

sin?

cos??a

證：∵sin? = sin[(?+?)??] = sin(?+?)cos??cos(?+?)sin? = asin(?+?)

∴sin(?+?)(cos? ? a)= cos(?+?)sin?

∴tan(???)?

sin?

cos??a

三、作業：《導學 創新》印成講義

課外作業 P88復習參考題19—22

第二篇：人教版高中數學教案：第4章：三角函數,教案,課時第 (13)

第十三教時

教材：誘導公式(3)——綜合練習

目的：通過復習與練習，要求學生能更熟練地運用誘導公式，化簡三角函數式。過程：

一、復習：誘導公式

二、例

一、（《教學與測試》例一）計算：sin315??sin(?480?)+cos(?330?)

解：原式 = sin(360??45?)+ sin(360?+120?)+ cos(?360?+30?)

= ?sin45? + sin60? + cos30? =3?

2小結：應用誘導公式化簡三角函數的一般步驟：

1?用“? ?”公式化為正角的三角函數

2?用“2k? + ?”公式化為[0，2?]角的三角函數

3?用“?±?”或“2? ? ?”公式化為銳角的三角函數 例

二、已知cos（?6??)?

33，求cos（5?6

??)的值。（《教學與測試》例三）解： cos（5?5?6

??)??cos[??（?36

??)]??cos(6

??)??

3小結：此類角變換應熟悉 例

三、求證：

cos(k???)cos(k???)sin[(k?1)???]cos[(k?1)???]

??1,k?Z

證：若k是偶數，即k = 2 n(n?Z)則：左邊?

cos(2n???)cos(2n???)sin[2n??(???)]cos[2n??(???)]

?

?sin?cos??sin?(?cos?)

??1

若k是奇數，即k = 2 n + 1(n?Z)則：

左邊?

cos[2n??(???)]cos[2n??(???)]sin?(?cos?)sin[2(n?1)???)]cos[2(n?1)???)]

?

sin?cos?

??1

∴原式成立

小結：注意討論

例

四、已知方程sin(? ? 3?)= 2cos(? ? 4?)，求

sin(???)?5cos(2???)的值。2sin（3?2

??)?sin(??)

（《精編》 38例五）

解： ∵sin(? ? 3?)= 2cos(? ? 4?)∴? sin(3? ? ?)= 2cos(4? ? ?)

∴? sin(? ? ?)= 2cos(? ?)∴sin? = ? 2cos?且cos? ? 0

∴原式?

sin??5cos??2cos??5cos?3cos??2cos??sin?

?

?2cos??2cos?

?

?4cos?

??

4例

五、已知tan(???)?a2,|cos(???)|??cos?,求

1cos(???)的值。

（《精編》P40例八）

解：由題設： tan???a2?0,|cos?|??cos?,即cos??0由此：當a ? 0時，tan? < 0,cos? < 0,?為第二象限角，?原式??

1cos?

??sec??

?tan2

??

1?a

4當a = 0時，tan? = 0,? = k?,∴cos? = ±1，∵cos??0∴cos? = ?1 ,?原式??1cos?

?1?

?a

(a?0)

綜上所述：

1cos(???)

??a

例

六、若關于x的方程2cos2(? + x)? sinx + a = 0 有實根，求實數a的取值范

解：原方程變形為：2cos2x ? sinx + a = 0即 2 ? 2sin2x ? sinx + a = 0∴a?2sin2x?sinx?2?2(sinx?1

174)2?

8∵? 1≤sinx≤1

∴當sinx??1

174時，amin??

； 當sinx?1時，amax?1

∴a的取值范圍是[?

178,1]

三、作業：《教學與測試》P1085—8，思考題

《課課練》P46—4723，25，26

圍。

第三篇：人教版高中數學教案：第4章：三角函數,教案,課時第 (20)

第二十教時

教材：兩角和與差的正弦、余弦、正切的綜合練習⑶

目的：進一步熟悉有關技巧，繼續提高學生綜合應用能力。（采用《精編》例題）

過程：

一、求值問題（續）

例一 若tan?=3x，tan?=3?x, 且???=?6，求x的值。

解：tan(???)=tan?=

363 ∵tan?=3x，tan?=3?x

∴3?tan??tan??tan??3x?3?x1?3?3?12(3x?3?x21?tan?x?x)∴3?3x?3?3?x=23 即：3?(3x)2?23?3x?3?0 ∴3x?3或3x??33(舍去)∴x?12

例二 已知銳角?, ?, ? 滿足sin?+sin?=sin?, cos??cos?=cos?, 求???的值。解： ∵sin?+sin?=sin? ∴sin? ?sin? = ?sin? <0 ①

∴sin?

同理：∵cos??cos?=cos? ∴ cos?? cos? = cos?

②

①2+②2: 1+1?2cos（???）=1 ∴cos（???）=12 ∵0??????2 0????2 ∴?2?????0 ∴???=?3

二、關于最值問題

例三 已知tan?，tan?是關于x的方程mx2?2x7m?3?2m?0的兩個實根，求tan(?+?)的取值范圍。

解：∵tan?，tan?是方程mx2?2x7m?3?2m?0的兩個實根

∴△=4(7m-3)-8m2≥0 ∴2m2-7m+3≤0 解之：12≤m≤3

又：???tan??tan??27m?3 ∴tan(???)??27m?3 ??tan??2m?tan?m2 為求范圍：tan(???)??27?1117?49m?3(m)2??2?3???(m)?6???1

2∵1≤m≤3 ∴123≤m≤2 ∴當117?m?76時，?3???(m)?6???494912有最大值12 2 當1m?2或1m?13時，?3???(1m)?7?6???4912有最小值2 2∴?733??2?3???(1m)?7?6???4912??22 即：tan(???)?????73,?22??3?? ?∴p?q+1=0 例四 若??2?x??2，求f(x)=3sinx+cosx的最大值和最小值，并求出此時的x值。

解： f(x)=3sinx+cosx=2??3?sinx?1???22cosx???2sin(x?)

?6∵?????2?2?x?2 ∴?3?x?6?3 ∴?32?sin(x??6)?1 ?3?2sin(x??6)?2

即：?3?f(x)?2 當且僅當x????6??3，x??2時 f(x)min=?3

當且僅當x????62，x?

?

3時 f(x)max=2

例五

已知f(x)=-acos2x-3asin2x+2a+b，其中a>0，x?[0,≤1，設

?]時，-5≤f(x)2g(t)=at2+bt-3，t?[-1,0]，求g(t)的最小值。

13sin2x+cos2x]+2a+b 解： f(x)=-acos2x-3asin2x+2a+b=-2a[ =-2asin(2x+)+2a+b ∵x?[0,?6???7?1?] ∴?2x?? ∴??sin(2x?)?1 266626 又： a>0 ∴-2a<0 ∴?2a??2asin(2x?)?a

6? ∴b??2asin(2x?)?2a?b?3a?b ∴b?f(x)?3a?b

6? ∵-5≤f(x)≤1 ∴??b??5?b??5??

3a?b?1a?2?? ∴g(t)=at2+bt-3=2t2-5t-3=2(t-)2-∴當t=0時，g(t)min=g(0)=-3

三、作業：《精編》 P61 6、7、11

P62 20、22、23、25 P63 30

5449 ∵t?[-1,0] 8

第四篇：人教版高中數學教案：第4章：三角函數,教案,課時第 (16)

第十六教時

教材：兩角和與差的正弦

目的：能由兩角和的余弦公式推導出兩角和的正弦公式，并進而推得兩角和的正

弦公式，并運用進行簡單的三角函數式的化簡、求值和恒等變形。過程：

一、復習：兩角和與差的余弦練習：1．求cos75?的值

解：cos75?=cos(45?+30?)=cos45?cos30??sin45?sin30?

=

232?2?22?12?

?2

2．計算：1? cos65?cos115??cos25?sin115?2? ?cos70?cos20?+sin110?sin20?

解：原式= cos65?cos115??sin65?sin115?=cos(65?+115?)=cos180?=?1原式=?cos70?cos20?+sin70?sin20?=?cos(70?+20?)=0 3．已知銳角?,?滿足cos?=3cos(?+?)=?5

求cos?.解：∵cos?=3

∴sin?=45

又∵cos(?+?)=?

513<0∴?+?為鈍角∴sin(?+?)=12

∴cos?=cos[(?+?)??]=cos(?+?)cos?+sin(?+?)sin?

=?

513?35?1213?45?

（角變換技巧）

二、兩角和與差的正弦

1．推導sin(?+?)=cos[?2?(?+?)]=cos[(?

??)??]

=cos（?2??)cos?+sin(?

??)sin?=sin?cos?+cos?sin? 即：?+?)=sin?cos?+cos?sin?（S?+?）以??代?sin(???)=sin?cos??cos?sin?（S???）2．公式的分析，結構解剖，囑記 3．例一不查表，求下列各式的值：

1? sin75?2?sin13?cos17?+cos13?sin17? 解：1?原式= sin(30?+45?)= sin30?cos45?+cos30?sin45?

=1

?

2?32?22?2?

2?原式= sin(13?+17?)=sin30?=

1例二求證：cos?+3sin?=2sin（?

+?)證一：左邊=2(12

cos?+

sin?)=2(sin?6cos?+cos?sin?)

=2sin（?

+?)=右邊（構造輔助角）證二：右邊=2(sin

?6cos?+cos?

sin?)=2(12cos?+2 sin?)

= cos?+sin?=左邊

例三〈精編〉P47-48例一 已知sin(?+?)=2,sin(???)=2 求tan?3

tan?的值

解： ∵sin(?+?)=2

∴sin?cos?+cos?sin?=23

①sin(???)=2∴sin?cos??cos?sin?=255

②①+②：sin?cos?=

8?

tan?sin?cos ①?②：cos?sin?=2

tan?=?

cos?sin??152 1

515?

4三、小結：兩角和與差的正弦、余弦公式及一些技巧“輔助角”“角變換”

“逆向運用公式”

P38練習2中①②3中①5中①③

P40-41習題4.62中①③3中①②⑤⑦⑧7中①④⑤ 〈精編〉P60-612、3、4

四、作業：

第五篇：人教版高中數學教案：第4章：三角函數,教案,課時第 (21)

第二十一教時

教材：二倍角的正弦、余弦、正切

目的：讓學生自己由和角公式而導出倍角公式，領會從一般化歸為特殊的數學思想，體會公式所蘊涵的和諧美，激發學生學數學的興趣。過程：

一、復習兩角和與差的正弦、余弦、正切公式：

二、提出問題：若???，則得二倍角的正弦、余弦、正切公式。

讓學生板演得下述二倍角公式：

sin2??2sin?cos?

cos2??cos2??sin2??2cos2??1?1?2sin2?

tan2??

2tan?

1?tan2?

cot2??cot2??1

2cot?

剖析：1．每個公式的特點，囑記：尤其是“倍角”的意義是相對的，如：??

4是8的倍角。

2．熟悉“倍角”與“二次”的關系（升角—降次，降角—升次）3．特別注意這只公式的三角表達形式，且要善于變形：

cos2??1?cos2?2,sin2??1?cos2?2

這兩個形式今后常用

三、例題：

例

一、（公式鞏固性練習）求值：

1．sin22?30’cos22?30’=1sin45?2

2?4

2．2cos2

?8?1?cos?2

4?2

3．sin2

???28?cos28??cos4??2

4．8sin?48

cos?48

cos?24

cos?12

?4sin?24

cos?24

cos?12

?2sin?12

cos?12

?sin?6

?12

例

二、1．(sin

5?12?cos5?12)(sin5?12?cos5?5?5?5?312)?sin212?cos212??cos6?2

2．cos4

?2?sin4?2?(cos2?2?sin2?2)(cos2?2?sin2?)?cos?3．

11?tan??11?tan??2tan?

1?tan2?

?tan2?

4．1?2cos2??cos2??1?2cos2??2cos2??1?2

例

三、若tan ? = 3，求sin2? ? cos2? 的值。

解：sin2? ? cos2? =

2sincos??sin2??cos2?2tan??tan2??1sin2??cos2??1?tan2?

?7

5例

四、條件甲：?sin??a，條件乙：sin?2?cos?

?a，那么甲是乙的什么條件？

解：?sin??(sin?2?cos?

??2)2?a即|sin2?cos2|?a

當?在第三象限時，甲乙；當a > 0時，乙甲

∴甲既不是乙的充分條件,也不是乙的必要條件。

例

五、（P43 例一）已知sin??513,??(?,?)，求sin2?，cos2?，tan2?的值。解：∵sin??513,??(?12

2,?)∴cos????sin2???1

3∴sin2? = 2sin?cos? = ?120

169

cos2? = 1?2sin2??119

169

tan2? = ?120

119

四、小結：公式，應用

五、作業：課本P44練習

P47習題4.71，2