第一篇：人教版高中數(shù)學(xué)教案：第5章：平面向量,教案,課時(shí)第 (9)（共）

第九教時(shí)

教材：向量平行的坐標(biāo)表示

目的：復(fù)習(xí)鞏固平面向量坐標(biāo)的概念，掌握平行向量充要條件的坐標(biāo)表示，并且能

用它解決向量平行（共線）的有關(guān)問(wèn)題。

過(guò)程：

一、復(fù)習(xí)：1．向量的坐標(biāo)表示(強(qiáng)調(diào)基底不共線，《教學(xué)與測(cè)試》P145例三)2．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則練習(xí)：1．若M(3,-2)N(-5,-1)且 ?

2,求P點(diǎn)的坐標(biāo)； 解：設(shè)P(x, y)則(x-3, y+2)=11

2(-8, 1)=(-4, 2)

??x?3???14?x??1?33??y?2?∴?2??y??

∴P點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,-)222．若A(0, 1),B(1, 2),C(3, 4)則AB?2BC3．已知：四點(diǎn)A(5, 1), B(3, 4),C(1, 3),D(5,-3)求證：四邊形ABCD是梯形。

解：∵AB=(-2, 3)DC=(-4, 6)∴AB=2DC

∴∥且||?||∴四邊形ABCD是梯形

二、1．提出問(wèn)題：共線向量的充要條件是有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)λ使得b?=λa?，那么這

個(gè)充要條件如何用坐標(biāo)來(lái)表示呢？

2．推導(dǎo)：設(shè)a?

=(x?b??a?1, y1)b=(x2, y2)其中

由a?

=λb?(x1, y1)=λ(x2, y2)???x1??x2?y消去1??yλ：x1y2-x2y1=0

2結(jié)論：a?

∥b?(b??)的充要條件是x1y2-x2y1=0

注意：1?消去λ時(shí)不能兩式相除，∵y?

1, y2有可能為0，∵b?

∴x2, y2中至少有一個(gè)不為0

2?充要條件不能寫(xiě)成y1y2

x?

∵x1, x2有可能為0 1x2

3?從而向量共線的充要條件有兩種形式：a?

∥b?(b??0)?a??b

x?x

1y22y1?0

三、應(yīng)用舉例

例一（P111例四）例二（P111例五）

例三若向量a?

=(-1,x)與b?=(-x, 2)共線且方向相同，求x

解：∵a?

=(-1,x)與b?=(-x, 2)共線∴(-1)×2-x?(-x)=0

∴x=±2∵a?

與b?方向相同∴x=2

例四 已知A(-1,-1)B(1,3)C(1,5)D(2,7)向量與平行嗎？直線AB與

平行于直線CD嗎？

解：∵=(1-(-1), 3-(-1))=(2, 4)=(2-1,7-5)=(1,2)

又：∵2×2-4-1=0∴AB∥CD

又：=(1-(-1), 5-(-1))=(2,6)=(2, 4)2×4-2×6?0∴與不平行

∴A，B，C不共線∴AB與CD不重合∴AB∥CD

四、練習(xí)：1．已知點(diǎn)A(0,1)B(1,0)C(1,2)D(2,1)求證：AB∥CD2．證明下列各組點(diǎn)共線：1? A(1,2)B(-3,4)C(2,3.5)2? P(-1,2)Q(0.5,0)R(5,-6)

3．已知向量a?=(-1,3)b?=(x,-1)且a?

∥b? 求x

五、小結(jié)：向量平行的充要條件（坐標(biāo)表示）

六、作業(yè)：P112 練習(xí)4習(xí)題5.47、8、9

《教學(xué)與測(cè)試》P1464、5、6、7、8及思考題

第二篇：人教版高中數(shù)學(xué)教案：第5章：平面向量,教案,課時(shí)第 (18)

第十八教時(shí)

教材：余弦定理

目的：要求學(xué)生掌握余弦定理及其證明，并能應(yīng)用余弦定理解斜三角形。過(guò)程：

一、復(fù)習(xí)正弦定理及正弦定理能夠解決的兩類問(wèn)題。提出問(wèn)題：1．已知兩邊和它們的夾角能否解三角形？

2．在Rt△ABC中(若C=90?)有：c2?a2?b2在斜三角形中一邊的平

方與其余兩邊平方和及其夾角還有什么關(guān)系呢？

二、提出課題：余弦定理1．余弦定理的向量證明：設(shè)△ABC三邊長(zhǎng)分別為a, b, c b

AC=AB+BC

A

B

?=(+)?(+)=2+2?+

2=| |2+2||?||cos(180?-B)+||2=c2?2accosB?a2

即：b2?a2?c2?2accosB

同理可得：a2?b2?c2?2bccosAc2?a2?b2?2abcosC

2．語(yǔ)言敘述：三角形任何一邊的平方等于其它兩邊平方的和減去這兩邊與它

們夾角的余弦的積的兩倍。

3．強(qiáng)調(diào)幾個(gè)問(wèn)題：1?熟悉定理的結(jié)構(gòu)，注意“平方”“夾角”“余弦”等2?知三求一

3?當(dāng)夾角為90?時(shí)，即三角形為直角三角形時(shí)即為勾股定理（特例）

4?變形：cosA?b2?c2?a2a2?c2?b2a2?b2?c2

2bccosB?2accosC?2ac

三、余弦定理的應(yīng)用

能解決的問(wèn)題：1．已知三邊求角

2．已知三邊和它們的夾角求第三邊

例

一、(P130例4)在△ABC中，已知a=7, b=10, c=6求A,B,C（精確到期1?）解略

例

二、(P131例5)在△ABC中，已知a=2.730, b=3.696, C=82?28’解這個(gè)三角

形（邊長(zhǎng)保留四個(gè)有效數(shù)字，角度精確到期1’）解略

例

三、設(shè)a?=(x?=(x?1, y1)b2, y2)a?

與b的夾角為?（0≤?≤?），求證：

x+ ya?||b?

121y2=||cos?

證：如圖：設(shè)a?, b?

起點(diǎn)在原點(diǎn)，終點(diǎn)為A，B

A

則A=(x=b??a?

1, y1)B=(x2, y2)在△ABC中，由余弦定理 B

a?

|b??a?|2=|a?|2+|b?|2?2|a?||b?

| cos?

b?

O

∵|b??a?|2

=|AB|2=|(x2-x1, y2-y1)|2=(x2-x1)2+(y2-y1)2 |a?|2=xb?12+y12

||2= x22+y22 ∴(x2-x1)2

+(y2-y1)

= x2+ x?

12+y122+y22?2|a

||b?

| cos?

∴xy??????

1x2+ y12=|a||b|cos?即有a?b= x1x2+ y1y2=|a||b|cos?

四、小結(jié)：余弦定理及其應(yīng)用

五、作業(yè)：P131練習(xí)P132習(xí)題5.9余下部分

x

第三篇：人教版高中數(shù)學(xué)教案：第5章：平面向量,教案,課時(shí)第 (21)

第二十二教時(shí)

教材：復(fù)習(xí)一——向量、向量的加法與減法、實(shí)數(shù)與向量的積

目的：通過(guò)復(fù)習(xí)對(duì)上述內(nèi)容作一次梳理，使學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解與應(yīng)用提高到一個(gè)

新的水平。

過(guò)程：

一、知識(shí)（概念）的梳理：

1．向量：定義、表示法、模、幾種特殊向量 2．向量的加法與減法：法則（作圖）、運(yùn)算律

3．實(shí)數(shù)與向量的積：定義、運(yùn)算律、向量共線的充要條件、平面向量的基本定義

二、例題：

1．若命題M：'=；命題N：四邊形ABB’A’是平行四邊形。則M是N的（C）(A)充分不必要條件(B)必要不充分條件

(C)充要條件(D)既不充分也不必要條件 解：若=，則 ||=||，且, 方向相同

∴AA’∥BB’從而ABB’A’是平行四邊形，即：M?N 若ABB’A’是平行四邊形，則|AA’|=|BB’|，且AA’∥BB’ ∴|'|=|'|從而'=，即：N?M 2．設(shè)A、B、C、D、O是平面上的任意五點(diǎn)，試化簡(jiǎn)：

1?AB?BC?CD2?DB?AC?BD3??OA?OC?OB?CO 解：1? 原式=(?)????

2? 原式=(?)????

3? 原式=(?)?(??)??(?)??? 3．a(chǎn) =“向東走5km”，b =“向西走12km”，試求a+b的長(zhǎng)度與方向。解：如圖：||?52?122?13(km)

O

tan?AOB =125 ,∴?AOB = arctan12

a+b a

∴a + b的長(zhǎng)為13km，方向與成arctan12

5的角。B

4．如圖：1?已知a、b、c、d，求作向量a?b、c?d。

b A

2?已知a、b、c，求作a + b c ? b

?bc

5．設(shè)x為未知向量，a、b2x?(5a+3x?4b)+

1a?3b=0

解：原方程可化為：(2x ? 3x)+(?5a +19

2a)+(4b?3b)= 0∴x =?2

a + b

6．設(shè)非零向量a、b不共線，c=ka+b，d=a+kb(k?R)，若c∥d，試求k。解：∵c∥d∴由向量共線的充要條件得：c =λd(λ?R)

即：ka+b=λ(a+kb)∴(k?λ)a +(1?λk)b = 0

又∵a、b不共線∴由平面向量的基本定理：??k???0

?1?k??0?k??1

7．如圖：已知在ABCD中，AH=HD，BF=MC=1

BC，設(shè)=a，=b，試用a、b分別表示、、。D F

M

C

解：∵ABCD中，BF=MC=

BC,a

∴FM=

12BC=

1AD=AH ∴FMAH A H b B

∴四邊形AHMF也是平行四邊形，∴AF=HM

又：BM?34BC?3311

4AD?4a ,而FB??4BC??4

b

∴AM?AB?BM= a +31

4b ,MH?FA?FB?BA= ?4b ? a

AF??FA??(?11

4b ? a)= 4

b + a

三、作業(yè)： 《導(dǎo)學(xué)?創(chuàng)新》§5.1§5.2

第四篇：人教版高中數(shù)學(xué)教案：第5章：平面向量,教案,課時(shí)第 (13)

第十三教時(shí)

教材：平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示

目的：要求學(xué)生掌握平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，掌握向量垂直的坐標(biāo)表示的充要條件。

過(guò)程：

一、復(fù)習(xí)：

1．平面向量的坐標(biāo)表示及加、減、實(shí)數(shù)與向量的乘積的坐標(biāo)表示 2．平面向量數(shù)量積的運(yùn)算 3．兩平面向量垂直的充要條件 4．兩向量共線的坐標(biāo)表示：

二、課題：平面兩向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示

1．設(shè)a =(x1, y1)，b =(x2, y2)，x軸上單位向量i，y軸上單位向量j，則：i?i = 1，j?j = 1，i?j = j?i = 0 2．推導(dǎo)坐標(biāo)公式：

∵a = x1i + y1j,b = x2i + y2j

∴a?b =(x1i + y1j)(x2i + y2j)= x1x2i2 + x1y1i?j + x2y1i?j + y1y2j2= x1x2 + y1y2

從而獲得公式：a?b = x1x2 + y1y2

例

一、設(shè)a =(5, ?7)，b =(?6, ?4)，求a?b

解：a?b = 5×(?6)+(?7)×(?4)= ?30 + 28 = ?2 3．長(zhǎng)度、角度、垂直的坐標(biāo)表示

1?a =(x, y)?|a|2 = x2 + y2?|a| =x2?y2

2?若A =(x1, y1)，B =(x2, y2)，則=(x1?x2)2?(y1?y22)

3? cos? =

a?b

?x1x2?y1y2|a|?|b|

x

21?y1

x2

?y2

4?∵a?b ? a?b = 0 即x1x2 + y1y2 = 0（注意與向量共線的坐標(biāo)表示原則）

4．例

二、已知A(1, 2)，B(2, 3)，C(?2, 5)，求證：△ABC是直角三角形。

證：∵=(2?1, 3?2)=(1, 1),=(?2?1, 5?2)=(?3, 3)∴?=1×(?3)+ 1×3 = 0∴?

∴△ABC是直角三角形

三、補(bǔ)充例題：處理《教學(xué)與測(cè)試》P153第73課

例

三、已知a =(3, ?1)，b =(1, 2)，求滿足x?a = 9與x?b = ?4的向量x。解：設(shè)x =(t, s)，由x?a = 9 ? 3t ? s = 9由x?a = 9 ? 3t ? s = 9?t =

2s = ?3∴x =(2, ?3)

例

四、如圖，以原點(diǎn)和A(5, 2)為頂點(diǎn)作等腰直角△OAB，使?B = 90?，求點(diǎn)B和向量AB的坐標(biāo)。

B

A

解：設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)(x, y)，則=(x, y)，=(x?5, y?2)O∵?∴x(x?5)+ y(y?2)= 0即：x2 + y2 ?5x ? 2y = 0又∵|| = ||∴x2 + y2 =(x?5)2 +(y?2)2即：10x + 4y = 29

由???x?y?5x?2y?0???x7?31??10x?4y?29?2x?或?2?3?27

??

y1??2??y2?

2∴B點(diǎn)坐標(biāo)(72,?32)或(32,7)；=(?32,?7732)或(?2,2)

例

五、在△ABC中，AB=(2, 3)，AC=(1, k)，且△ABC的一個(gè)內(nèi)角為直角，求k值。

解：當(dāng)A = 90?時(shí)，?= 0，∴2×1 +3×k = 0∴k =?

3當(dāng)B = 90?時(shí)，AB?BC= 0，BC=AC?AB=(1?2, k?3)=(?1, k?3)

∴2×(?1)+3×(k?3)= 0∴k =

113

當(dāng)C = 90?時(shí)，AC?BC= 0，∴?1 + k(k?3)= 0∴k =3?2

四、小結(jié)：兩向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示長(zhǎng)度、夾角、垂直的坐標(biāo)表示

五、作業(yè)： P121練習(xí)及習(xí)題5.7

《教學(xué)與測(cè)試》P1545、6、7、8，思考題

第五篇：人教版高中數(shù)學(xué)教案：第5章：平面向量,教案,課時(shí)第 (15)

第十五教時(shí)

教材：平面向量的數(shù)量積平移的綜合練習(xí)課

目的：使學(xué)生對(duì)平面向量數(shù)量積的意義、運(yùn)算有更深的理解，并能較熟練地處理

有關(guān)長(zhǎng)度、角度、垂直的問(wèn)題。

過(guò)程：

一、復(fù)習(xí)：

1．平面向量數(shù)量積的定義、運(yùn)算、運(yùn)算律

2．平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，有關(guān)長(zhǎng)度、角度、垂直的處理方法 3．平移的有關(guān)概念、公式

二、例題

例

一、a、b均為非零向量，則 |a+b| = |a?b| 是 的………………（C）A．充分不必要條件B．必要不充分條件

C．充要條件D．既不充分也不必要條件

解：若|a+b| = |a?b| ? |a+b|2 = |a?b|2 ? |a|2 + 2a?b + |b|2 = |a|2 ? 2a?b + |b|2? a?b = 0 ? a?b

例

二、向量a與b夾角為?

3，|a| = 2，|b| = 1，求|a+b|?|a?b|的值。

解：|a+b|2 = |a|2 + 2a?b + |b|2 = 4 + 2×2×1×cos?

+ 1 = 7

∴|a+b| =7,同理：|a?b|2 = 3, |a?b| =3∴|a+b|?|a?b| =21 中，= a，= b，= c，= d，且a?b = b?c = c?d = d?a，問(wèn)ABCD是怎樣的四邊形？解：由題設(shè)：|a|?|b|cosB = |b|?|c|cosC = |c|?|d|cosD = |d|?|a|cosA∵|a| = |c| , |b| = |d|∴cosA = cosB = cosC = cosD = 0是矩形 例

四、如圖△ABC中，= c，BC= a，CA= b，則下列推導(dǎo)不正確的是……………（D）A．若a ?b < 0，則△ABC為鈍角三角形。B．若a ?b = 0，則△ABC為直角三角形。

C．若a ?b = b?c，則△ABC為等腰三角形。A D．若c?(a + b + c)= 0，則△ABC為正三角形。

a

解：A．a(chǎn)?b = |a||b|cos? < 0，則cos? < 0，?為鈍角B．顯然成立

C．由題設(shè)：|a|cosC = |c|cosA，即a、c在b上的投影相等

D．∵a + b + c = 0, ∴上式必為0，∴不能說(shuō)明△ABC為正三角形

例

五、已知：|a| =2，|b| = 3，a與b夾角為45?，求使a+?b與?a+b夾

角為銳角的?的取值范圍。

解：由題設(shè)：a?b = |a||b|cos? = 3×2×

2= 3(a+?b)?(?a+b)=?|a|2 +?|b|2 +(?

2+ 1)a?b = 3?2 + 11? + 3∵夾角為銳角∴必得3?2 + 11? + 3 > 0∴ ??

?11??11?6或??6

例

六、i、j是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)x軸、y軸正方向上的兩個(gè)單位向量，且AB= 4i + 2j，AC=3i + 4j，證明：△ABC是直角三角形，并求它的面積。

解：=(4, 2), =(3, 4), 則=(3?4, 4?2)=(?1, 2), =(?4, ?2),∴BA?BC=(?1)×(?4)+(?2)×2 = 0∴BA?BC即△ABC是直角三角形

|| =42?22?2,|| =(?1)2?(?2)2?,且?B = 90?,∴S1△ABC = D 2

?25?5?5 例

七、用向量方法證明：菱形對(duì)角線互相垂直。證：設(shè)AB=DC= a , AD=BC= b A

C

∵ABCD為菱形∴|a| = |b|

a

∴AC?BD=(b + a)(b ? a)= b2

? a2

= |b|2

? |a|2

b= 0

B

∴AC?

例

八、已知a、b都是非零向量，且a + 3b與7a ? 5b垂直，a ? 4b與7a ? 2b垂直，求a與b的夾角。

解：由(a + 3b)(7a ? 5b)= 0 ? 7a2 + 16a?b ?15b2 = 0①(a ? 4b)(7a ? 2b)= 0 ? 7a2 ? 30a?b + 8b2 = 0②兩式相減：2a?b = b2代入①或②得：a2 = b2

設(shè)a、b的夾角為?，則cos? =a?bb21

|a||b|?2|b|2?

∴? = 60?

三、作業(yè)： P150復(fù)習(xí)參考五A組19—26B組1—6