第一篇：2012年高二數(shù)學(xué)第2章教案 第12課時(shí)：平面向量小結(jié)與復(fù)習(xí)

課

題：平面向量小結(jié)與復(fù)習(xí)（2）

教學(xué)目的：認(rèn)識(shí)向量的工具性作用，加強(qiáng)數(shù)學(xué)在實(shí)際生活中的應(yīng)用意識(shí) 教學(xué)重點(diǎn)：向量的坐標(biāo)表示的應(yīng)用；構(gòu)造向量法的應(yīng)用 教學(xué)難點(diǎn)：構(gòu)造向量法的適用題型特點(diǎn)的把握 授課類型：復(fù)習(xí)課 課時(shí)安排：1課時(shí)

教

具：多媒體、實(shí)物投影儀 教學(xué)方法:啟發(fā)引導(dǎo)式

針對(duì)向量坐標(biāo)表示的應(yīng)用，通過(guò)非坐標(biāo)形式解法與坐標(biāo)化解法的比較來(lái)加深學(xué)生對(duì)于向量坐標(biāo)表示的認(rèn)識(shí)，同時(shí)要加強(qiáng)學(xué)生選擇建立坐標(biāo)系的意識(shí) 教學(xué)過(guò)程：

一、講解范例：

例1利用向量知識(shí)證明下列各式(1)x2＋y2≥2xy(2)｜x｜2＋｜y｜2≥2x·y 分析：(1)題中的結(jié)論是大家所熟悉的重要不等式，以前可用求差法證得，而利用向量知識(shí)求證，則需構(gòu)造向量，故形式上與向量的數(shù)量積產(chǎn)生聯(lián)系

(2)題本身含有向量形式，可根據(jù)數(shù)量積的定義式并結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)求證

????????證明：(1)設(shè)a＝（x，y），b＝（y，x）則a·b＝xy＋yx＝2xy

??222222｜a｜·｜b｜＝x?y?x?y?x?y

????????又a·b＝｜a｜·｜b｜c(diǎn)osθ(其中θ為a，b夾角)≤｜a｜·｜b｜

∴x＋y≥2xy

(2)設(shè)x，y的夾角為θ， 22??則x·y＝｜x｜·｜y｜c(diǎn)osθ≤｜x｜·｜y｜≤∴｜x｜＋｜y｜≥2x·y 22??????x?y222

????例2利用向量知識(shí)證明(a1b1＋a2b2)≤（a1＋a2）·（b1＋b2）

分析：此題形式對(duì)學(xué)生較為熟悉，在不等式證明部分常用比較法證明，若利用向量知識(shí)求證，則關(guān)鍵在于根據(jù)其形式與數(shù)量積的坐標(biāo)表示產(chǎn)生聯(lián)系，故需要構(gòu)造向量

2222

2??證明：設(shè)a＝（a1，a2），b＝（b1，b2）

?2???22222則a·b＝a1b1＋a2b2，｜a｜＝a1＋a2，｜b｜＝b1＋b2

????????∵a·b＝｜a｜·｜b｜c(diǎn)osθ≤｜a｜·｜b｜(其中θ為a，b夾角) ?2??2?2∴（a·b）≤｜a｜·｜b｜

∴（a1b1＋a2b2）≤（a1＋a2）·（b1＋b2）

評(píng)述：此題證法難點(diǎn)在于向量的構(gòu)造，若能恰當(dāng)構(gòu)造向量，則利用數(shù)量積的性質(zhì)容易證明結(jié)論這一技巧應(yīng)要求學(xué)生注意體會(huì)

例3已知：如圖所示，ABCD是菱形，AC和BD是它的兩條對(duì)角線求證AC⊥BD分析：對(duì)于線段的垂直，可以聯(lián)想到兩個(gè)向量垂直的充要條件，而對(duì)于這一條件的應(yīng)用，可以考慮向量式的形式，也可以考慮坐標(biāo)形式的充要條件

????????????????????????證法一：∵AC＝AB＋AD，BD＝AD－AB， ????????????????????????∴AC·BD＝（AB＋AD）·（AD－AB）

????2????2＝｜AD｜－｜AB｜＝O

????????∴AC⊥BD

證法二：以O(shè)C所在直線為x軸，以B為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，設(shè)B(O，O)，A(a，b)，C（c，O）則由｜AB｜＝｜BC｜得a2＋b2＝c2

????????????∵AC＝BC－BA＝（c，O）－（a，b）＝（c－a，－b）， ????????????BD＝BA＋BC＝（a，b）＋（c，O）＝（c＋a，b）

????????222∴AC·BD＝c－a－b＝O ????????∴AC⊥BD 即 AC⊥BD

評(píng)述：如能熟練應(yīng)用向量的坐標(biāo)表示及運(yùn)算，則將給解題帶來(lái)一定的方便通過(guò)向量的坐標(biāo)表示，可以把幾何問(wèn)題的證明轉(zhuǎn)化成代數(shù)式的運(yùn)算，體現(xiàn)了向量的數(shù)與形的橋梁作用，有助于提高學(xué)生對(duì)于“數(shù)形結(jié)合”解題思想的認(rèn)識(shí)和掌握

????????例4 若非零向量a和b滿足｜a＋b｜＝｜a－b｜證明：a⊥b

分析：此題在綜合學(xué)習(xí)向量知識(shí)之后，解決途徑較多，可以考慮兩向量垂直的充要條件的應(yīng)用，也可考慮平面圖形的幾何性質(zhì)，下面給出此題的三種證法 證法一：(根據(jù)平面圖形的幾何性質(zhì))

????????????設(shè)OA＝a，OB＝b，由已知可得a與b不平行，

????????????由｜a＋b｜＝｜a－b｜得以O(shè)A、OB為鄰邊的平行四邊形OACB的對(duì)角線OC和BA相等

所以平行四邊形OACB是矩形，??????????∴OA⊥OB，∴a⊥b

??????2??2證法二：∵｜a＋b｜＝｜a－b｜ ∴（a＋b）＝（a－b）

?2???2?2???2∴a＋2a·b＋b＝a－2a·b＋b

????∴a·b＝O，∴a⊥b

??證法三：設(shè)a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），

??22｜a＋b｜＝(x1?x2)?(y1?y2)，??22｜a－b｜＝(x1?x2)?(y1?y2)，2222∴(x1?x2)?(y1?y2)＝(x1?x2)?(y1?y2)，化簡(jiǎn)得：x1x2＋y1y2＝O，

????∴a·b＝O，∴a⊥b

???例5 已知向量a是以點(diǎn)A(3，－1)為起點(diǎn)，且與向量b＝（－3，4）垂直的單位向量，求a的終點(diǎn)坐標(biāo)

??分析：此題若要利用兩向量垂直的充要條件，則需假設(shè)a的終點(diǎn)坐標(biāo)，然后表示a的坐標(biāo)，再根據(jù)兩向量垂直的充要條件建立方程

??解：設(shè)a的終點(diǎn)坐標(biāo)為（ｍ，ｎ）,則a＝（ｍ－3，ｎ＋1）

??3(m?3)?4(n?1)?0由題意? 22?(m?3)?(n?1)?1由①得：ｎ＝

① ②

12（3ｍ－13）代入②得25ｍ－15Oｍ＋2O9＝O 419?11?m?,m?,??192118?15?25或?解得? ∴a的終點(diǎn)坐標(biāo)是（,?)或(,?)

5555?n??2.?n??8.12?5?5??評(píng)述：向量的坐標(biāo)表示是終點(diǎn)坐標(biāo)減去起始點(diǎn)的坐標(biāo)，所以向量的坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)既有聯(lián)系又有區(qū)別，二者不能混淆

上述例題，主要體現(xiàn)了兩向量垂直的充要條件的應(yīng)用，在突出本章這一重點(diǎn)知識(shí)的同時(shí)，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生注意解題方法的靈活性，尤其是向量的坐標(biāo)化思路在解題時(shí)的應(yīng)用，將幾何與代數(shù)知識(shí)溝通起來(lái)

二、課堂練習(xí)：

三、小結(jié) 通過(guò)本節(jié)學(xué)習(xí)，要求大家進(jìn)一步熟悉向量的性質(zhì)及運(yùn)算律，熟悉平面幾何性質(zhì)在解題中的應(yīng)用，能夠掌握向量坐標(biāo)化的思路求解問(wèn)題，掌握構(gòu)造向量并利用向量性質(zhì)解題、證題的方法

四、課后作業(yè)：

五、板書設(shè)計(jì)（略）

六、課后記

第二篇：29-第二章平面向量小結(jié)與復(fù)習(xí)

第二章平面向量章末復(fù)習(xí)（第2課時(shí)）

教學(xué)目標(biāo)

重點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的定義及其坐標(biāo)表示；數(shù)量積的幾何意義、向量法在平面幾何中的應(yīng)用． 難點(diǎn)：用向量法解決平面幾何問(wèn)題時(shí)，如何建立平面幾何與平面向量之間的聯(lián)系．

能力點(diǎn)：在運(yùn)用向量方法解決平面幾何問(wèn)題、力學(xué)問(wèn)題與其他一些實(shí)際問(wèn)題過(guò)程中，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的運(yùn)

算能力和解決實(shí)際問(wèn)題的能力．

教育點(diǎn)：提高學(xué)生的認(rèn)知水平，為學(xué)生塑造良好的數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)．

自主探究點(diǎn)：例題及變式的解題思路的探尋．

易錯(cuò)點(diǎn)：(1)忽視兩向量垂直的概念是針對(duì)兩非零向量的而致錯(cuò)；

(2)對(duì)兩向量夾角的定義理解不清致錯(cuò)；

(3)把數(shù)的乘法的消去律運(yùn)用在向量的數(shù)量積運(yùn)算上而致錯(cuò)；

(4)混淆點(diǎn)的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo)致錯(cuò)．

學(xué)法與教具

1．學(xué)法：講授法、討論法．2．教具：投影儀．

二、【知識(shí)梳理】

1．平面向量的數(shù)量積

(1)數(shù)量積的定義

已知兩個(gè)非零向量a與b，我們把數(shù)量abcos?叫做a與b的數(shù)量積(inner product)（或內(nèi)積），記作a?b，即a?b=abcos?，其中?是a與b的夾角．

(2)數(shù)量積的幾何意義

數(shù)量積a?b等于a的長(zhǎng)度a與b在a方向上的投影bcos?的乘積，或等于b的長(zhǎng)度b與a在b方向上的投影acos?的乘積．

(3)數(shù)量積的性質(zhì)

b?0． ①a?b?a?

②當(dāng)a與b同向時(shí)，a?b=ab；當(dāng)a與b反向時(shí)，a?b=?ab；特別地，a?a=a，所以

2a記作a2． a?a?

③a?b?ab

(4)數(shù)量積的運(yùn)算律

已知向量a、b、c和實(shí)數(shù)?，則：

b?b?a； ①a?

②(?a)?b??(a?b)?a?(?b)； ③(a?b)?c?a?c?b?c．(5)數(shù)量積的坐標(biāo)表示

已知兩個(gè)非零向量a?(x1,y1)，b?(x2,y2)，則a?b?x1x2?y1y2． 由此可得：

2①a

?x1?y1或a

②a?b?x1x2?y1y2?0； ③設(shè)?為a、b的夾角，則cos??

a?b

?

|a||b|2．平面幾何中的向量方法

用向量法解決平面幾何問(wèn)題的“三步曲”：(1)建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問(wèn)題中涉及的幾何元素，將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題；(2)通過(guò)向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問(wèn)題；(3)把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系．

在上述步驟中，把平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題是解決問(wèn)題的關(guān)鍵一步，轉(zhuǎn)化方法大致有兩種思路：第一，選取恰當(dāng)?shù)幕蛄浚坏诙⒆鴺?biāo)系．

3．向量法在物理中的應(yīng)用

向量有豐富的物理背景，向量的物理背景是位移、力、速度等，向量的數(shù)量積的物理背景是力所做的功．因此，用向量可以解決一些物理問(wèn)題．向量在物理中的應(yīng)用，實(shí)際上是把物理問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題，然后通過(guò)向量運(yùn)算解決向量問(wèn)題，最后再用所獲的結(jié)果解釋物理現(xiàn)象．用向量法解決物理問(wèn)題時(shí)，應(yīng)作出相應(yīng)的圖形，以幫助我們建立數(shù)學(xué)模型．

三、【范例導(dǎo)航】

????????

例1（2012?天津）在△ABC中，∠A=90°，AB=1，AC=2．設(shè)點(diǎn)P，Q滿足 AP??AB，????????????????

CP??2，則?? AQ??1???AC,??R.若BQ?

????????????????????2????

2【分析】由題意可知AB?AC?0，根據(jù)BQ?CP?(??1)AC??AB??2，解方程可以求得?的值.????????????

??

c?0，【解答】如圖，設(shè)AB?b，AC?c，則b?1，c?2，b?

????????????????????????????

又BQ?BA?AQ??b?(1??)c，CP?CA?AP??c??b，????????由BQ?CP??2得，[??(1??)]?(???)?(??1??4(??1)????2，即3??2,所以??

2.3【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查兩個(gè)向量垂直的性質(zhì)，兩個(gè)向量的加減法的法則，以及其幾何意義，兩個(gè)向量的數(shù)量積的運(yùn)算，屬于中檔題.??????2

變式訓(xùn)練1(2011·江蘇卷10)已知e1,e2是夾角為?的兩個(gè)單位向量，a?e1?2e2,b?ke1?e2, 若

?

?

??

a?b?0，則k的值為

答案：

4??

????????2?????解析：a?b??e1?2e2??ke?e?ke?1?2ke?e?2e?k?1?2kcos?0，??122???12?

13????

解得k?

.4

例2(2012·江蘇9)如圖，在矩形ABCD

中，AB?，BC?2，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊CD

上，若AB?AFAE?BF的值是．【分析】根據(jù)所給的圖形，把已知向量用矩形的邊所在的向量來(lái)表示，求出要用的向量的模，表示出要求得向量的數(shù)量積，注意應(yīng)用垂直的向量的數(shù)量積等于0，得到結(jié)果.????????????????

????????????

【解答】因?yàn)锳F?AD?DF，?????????????????????????????????????????????

AB?AF?AB?AD?DF?AB?AD?AB?DF?AB?DF??

?

?

????

????DF?1CF?1.所以，????????????????????????????????????????AE?BF?AB?BE?BC?CF?AB?CF?BE?BC1)?1?2? 所以

???

?

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算.解題的關(guān)鍵是要把要用的向量表示成已知向量的和的形式.變式訓(xùn)練2(2012·湖南文15)如圖4，在平行四邊形ABCD中，AP⊥BD，垂足為P，AP?3且AP?AC=

答案：18

????????

????????????解析：設(shè)AC?BD?O，則AC?2AB?BO，??

所以，????????????????????????????????????????????????????????????2

AP?AC?AP?2AB?BO?2AP?AB?2AP?BO?2AP?AB?2AP?AP?PB?2AP?18

????

例3.證明：對(duì)于任意的a1、a2、b1、b2?R，恒有不等式?a1b1?a2b2??a1?a

2?

??b

12?b2?．

【分析】此題形式對(duì)學(xué)生較為熟悉，在不等式證明部分常用比較法證明，若利用向量知識(shí)求證，則關(guān)

【解答】設(shè)a?(a1,a2)，b

?(b1,b2),222

則a?，b?b1?b2 b?a1b1?a2b2，a?a12?a2

因?yàn)閍?b?ab，b?a所以a?

b

所以?a1b1?a2b2??a1?a2

?

??b

2?b2?.【點(diǎn)評(píng)】

變式訓(xùn)練3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為圓心，單位長(zhǎng)度為半徑的圓上有兩點(diǎn)A(cos?,sin?)，B(cos?,sin?)，試用A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)表示?AOB的余弦值.答案：cos?AOB?cos?cos??sin?sin?

解析：因?yàn)锳(cos?,sin?),B(cos?,sin?),????????

所以O(shè)A?(cos?,sin?)，OB?(cos?,sin?)

????????OA?OB

那么，cos?AOB??cos?cos??sin?sin?.OAOB

四、【解法小結(jié)】

1．準(zhǔn)確把握平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)：設(shè)a?(x1,y1)，b?(x2,y2)

(1)a?b?a? b?0?x1x2?y1y2?0，既可以用來(lái)證明兩向量垂直，也可以由垂直進(jìn)行有關(guān)計(jì)算；

a=a2?a

與a?(2)a?

轉(zhuǎn)化．

(3)cos??

?a?b

a、b的夾角，也可用來(lái)求?

|a||b|直線的夾角(向量的夾角與向量所在直線的夾角有區(qū)別)，還可利用夾角的取值情況建立方程或不等式

用于求參數(shù)的值或范圍．

2．向量解決幾何問(wèn)題就是把點(diǎn)、線、平面等幾何元素直接歸納為向量，對(duì)這些向量借助于它們之間的運(yùn)算進(jìn)行討論，然后把這些計(jì)算的結(jié)果 翻譯成關(guān)于點(diǎn)、線、平面的相應(yīng)結(jié)果，可以簡(jiǎn)單表述為“形到向量?向量的運(yùn)算?數(shù)到形”.3．明確和掌握用向量研究物理問(wèn)題的相關(guān)知識(shí)：

(1)力、速度、加速度、位移的合成、力的分解就是向量的加減法，運(yùn)動(dòng)的疊加亦用到向量的合成；(2)動(dòng)量mv是數(shù)乘向量；

(3)功即是力F與所產(chǎn)生的位移s的數(shù)量積.五、【布置作業(yè)】

必做題： 1．（2012·遼寧卷）已知兩個(gè)非零向量a，b滿足|a＋b|＝|a－b|，則下面結(jié)論正確的是()A．a(chǎn)∥bB．a(chǎn)⊥bC．|a|＝|b|D．a(chǎn)＋b＝a－b

π2．（2012·上海卷）在平行四邊形ABCD中，∠AAB、AD的長(zhǎng)分別為2、1.若M、N

分別是邊

→→|BM||CN|→→

BC、CD，則AM·AN的取值范圍是________．

→→|BC||CD|

→→→→

3．（2012·北京卷）已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)E是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，則DE·CB的值為__ __.DE·DC的最大值為________．

????????????????????????4．在邊長(zhǎng)為1的正三角形ABC中，則AB?BC?BC?CA?CA?AB?________．.必做題答案：

1．因?yàn)閨a＋b|＝|a－b|?(a＋b)2＝(a－b)2?a·b＝0，所以a⊥b，答案選B.點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查向量的數(shù)量積以及性質(zhì)．解題的突破口為對(duì)于模的理解，向量的模平方就等于向量的平方．

→→→→→→→→→

2．令BM＝nBC(0≤n≤1)，則DN＝(1－n)DC，在平行四邊形ABCD中，AM＝AB＋nAD，AN＝AD＋(1－→→→→→→→n)AB，所以AM·AN＝(AB＋nAD)·[AD＋(1－n)AB]＝－n2－2n＋5，→→而函數(shù)f(n)＝－n2－2n＋5在[0,1]上是單調(diào)遞減的，其值域?yàn)閇2,5]，所以AM·AN的取值范圍是[2,5]． →→3．以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DC與DA所在直線分別為x，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，可知E(x,1)，0≤x≤1，→→→→所以DE＝(x,1)，CB＝(0,1)，可得DE·CB＝x×0＋1×1＝1.→→→→→因?yàn)镈C＝(1,0)，所以DE·DC＝x，因?yàn)?≥x≥0，所以(DE·DC)max＝1.????????????????????????

CA?CA?AB= 4．AB?BC?BC?

????????????????????????3?1??1??1?00

ABBCcos120?BCCAcos120?CAABcos1200??????????????

2?2??2??2?

點(diǎn)評(píng)：利用數(shù)量積的定義求解時(shí)，務(wù)必要注意兩向量夾角的大小.兩向量夾角的定義前提是兩向量的起

????????????????????????00

點(diǎn)要重合，對(duì)于本題要特別注意：向量AB與BC,BC與CA,CA與AB的夾角不是60，而是120.選做題：

???

1．已知向量a是以點(diǎn)A(3，－1)為起點(diǎn)，且與向量b＝（－3，4）垂直的單位向量，求a的終點(diǎn)坐標(biāo).2．如圖，在?ABC中，AD?DB，AE?EC，CD與BE交于F，證明：CF?2FD.選做題答案：

1.設(shè)a的終點(diǎn)坐標(biāo)為(m,n),則a＝(m,n),

??

??3(m?3)?4(n?1)?0由題意? 2

2?(m?3)?(n?1)?

1由①得：ｎ＝

① ②

（3ｍ－13）代入②得25ｍ－15Oｍ＋2O9＝O

419?11?m?,m?,???192118?15?2

5或?解得?∴a的終點(diǎn)坐標(biāo)是（,?)或(,?)

5555?n??2.?n??8.12?5?5??

點(diǎn)評(píng)：向量的坐標(biāo)表示是終點(diǎn)坐標(biāo)減去起始點(diǎn)的坐標(biāo)，所以向量的坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)既有聯(lián)系又有區(qū)別，2.本題選自《學(xué)生自主學(xué)習(xí)叢書·數(shù)學(xué)》P122，例2.

六、【教后反思】

1．本教案的亮點(diǎn)是：(1)用結(jié)構(gòu)圖呈現(xiàn)本章知識(shí)，直觀簡(jiǎn)明；(2)知識(shí)梳理部分十分詳實(shí)且分類明晰；(3)例題具有典型性且解法總結(jié)到位，變式練習(xí)有效，講練結(jié)合教學(xué)效果明顯；(4)在作業(yè)的布置上，選擇了部分高考題，對(duì)學(xué)生理解、鞏固知識(shí)能夠起到良好的作用．

2．本教案的弱項(xiàng)是：(1)有關(guān)平面向量數(shù)量積的應(yīng)用涉及題目較少，如夾角的計(jì)算、模的計(jì)算等；(2)向量法在物理中的應(yīng)用沒有涉及到，有待于進(jìn)一步補(bǔ)充．

第三篇：人教版高中數(shù)學(xué)教案：第5章：平面向量,教案,課時(shí)第 (18)

第十八教時(shí)

教材：余弦定理

目的：要求學(xué)生掌握余弦定理及其證明，并能應(yīng)用余弦定理解斜三角形。過(guò)程：

一、復(fù)習(xí)正弦定理及正弦定理能夠解決的兩類問(wèn)題。提出問(wèn)題：1．已知兩邊和它們的夾角能否解三角形？

2．在Rt△ABC中(若C=90?)有：c2?a2?b2在斜三角形中一邊的平

方與其余兩邊平方和及其夾角還有什么關(guān)系呢？

二、提出課題：余弦定理1．余弦定理的向量證明：設(shè)△ABC三邊長(zhǎng)分別為a, b, c b

AC=AB+BC

A

B

?=(+)?(+)=2+2?+

2=| |2+2||?||cos(180?-B)+||2=c2?2accosB?a2

即：b2?a2?c2?2accosB

同理可得：a2?b2?c2?2bccosAc2?a2?b2?2abcosC

2．語(yǔ)言敘述：三角形任何一邊的平方等于其它兩邊平方的和減去這兩邊與它

們夾角的余弦的積的兩倍。

3．強(qiáng)調(diào)幾個(gè)問(wèn)題：1?熟悉定理的結(jié)構(gòu)，注意“平方”“夾角”“余弦”等2?知三求一

3?當(dāng)夾角為90?時(shí)，即三角形為直角三角形時(shí)即為勾股定理（特例）

4?變形：cosA?b2?c2?a2a2?c2?b2a2?b2?c2

2bccosB?2accosC?2ac

三、余弦定理的應(yīng)用

能解決的問(wèn)題：1．已知三邊求角

2．已知三邊和它們的夾角求第三邊

例

一、(P130例4)在△ABC中，已知a=7, b=10, c=6求A,B,C（精確到期1?）解略

例

二、(P131例5)在△ABC中，已知a=2.730, b=3.696, C=82?28’解這個(gè)三角

形（邊長(zhǎng)保留四個(gè)有效數(shù)字，角度精確到期1’）解略

例

三、設(shè)a?=(x?=(x?1, y1)b2, y2)a?

與b的夾角為?（0≤?≤?），求證：

x+ ya?||b?

121y2=||cos?

證：如圖：設(shè)a?, b?

起點(diǎn)在原點(diǎn)，終點(diǎn)為A，B

A

則A=(x=b??a?

1, y1)B=(x2, y2)在△ABC中，由余弦定理 B

a?

|b??a?|2=|a?|2+|b?|2?2|a?||b?

| cos?

b?

O

∵|b??a?|2

=|AB|2=|(x2-x1, y2-y1)|2=(x2-x1)2+(y2-y1)2 |a?|2=xb?12+y12

||2= x22+y22 ∴(x2-x1)2

+(y2-y1)

= x2+ x?

12+y122+y22?2|a

||b?

| cos?

∴xy??????

1x2+ y12=|a||b|cos?即有a?b= x1x2+ y1y2=|a||b|cos?

四、小結(jié)：余弦定理及其應(yīng)用

五、作業(yè)：P131練習(xí)P132習(xí)題5.9余下部分

x

第四篇：人教版高中數(shù)學(xué)教案：第5章：平面向量,教案,課時(shí)第 (21)

第二十二教時(shí)

教材：復(fù)習(xí)一——向量、向量的加法與減法、實(shí)數(shù)與向量的積

目的：通過(guò)復(fù)習(xí)對(duì)上述內(nèi)容作一次梳理，使學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解與應(yīng)用提高到一個(gè)

新的水平。

過(guò)程：

一、知識(shí)（概念）的梳理：

1．向量：定義、表示法、模、幾種特殊向量 2．向量的加法與減法：法則（作圖）、運(yùn)算律

3．實(shí)數(shù)與向量的積：定義、運(yùn)算律、向量共線的充要條件、平面向量的基本定義

二、例題：

1．若命題M：'=；命題N：四邊形ABB’A’是平行四邊形。則M是N的（C）(A)充分不必要條件(B)必要不充分條件

(C)充要條件(D)既不充分也不必要條件 解：若=，則 ||=||，且, 方向相同

∴AA’∥BB’從而ABB’A’是平行四邊形，即：M?N 若ABB’A’是平行四邊形，則|AA’|=|BB’|，且AA’∥BB’ ∴|'|=|'|從而'=，即：N?M 2．設(shè)A、B、C、D、O是平面上的任意五點(diǎn)，試化簡(jiǎn)：

1?AB?BC?CD2?DB?AC?BD3??OA?OC?OB?CO 解：1? 原式=(?)????

2? 原式=(?)????

3? 原式=(?)?(??)??(?)??? 3．a(chǎn) =“向東走5km”，b =“向西走12km”，試求a+b的長(zhǎng)度與方向。解：如圖：||?52?122?13(km)

O

tan?AOB =125 ,∴?AOB = arctan12

a+b a

∴a + b的長(zhǎng)為13km，方向與成arctan12

5的角。B

4．如圖：1?已知a、b、c、d，求作向量a?b、c?d。

b A

2?已知a、b、c，求作a + b c ? b

?bc

5．設(shè)x為未知向量，a、b2x?(5a+3x?4b)+

1a?3b=0

解：原方程可化為：(2x ? 3x)+(?5a +19

2a)+(4b?3b)= 0∴x =?2

a + b

6．設(shè)非零向量a、b不共線，c=ka+b，d=a+kb(k?R)，若c∥d，試求k。解：∵c∥d∴由向量共線的充要條件得：c =λd(λ?R)

即：ka+b=λ(a+kb)∴(k?λ)a +(1?λk)b = 0

又∵a、b不共線∴由平面向量的基本定理：??k???0

?1?k??0?k??1

7．如圖：已知在ABCD中，AH=HD，BF=MC=1

BC，設(shè)=a，=b，試用a、b分別表示、、。D F

M

C

解：∵ABCD中，BF=MC=

BC,a

∴FM=

12BC=

1AD=AH ∴FMAH A H b B

∴四邊形AHMF也是平行四邊形，∴AF=HM

又：BM?34BC?3311

4AD?4a ,而FB??4BC??4

b

∴AM?AB?BM= a +31

4b ,MH?FA?FB?BA= ?4b ? a

AF??FA??(?11

4b ? a)= 4

b + a

三、作業(yè)： 《導(dǎo)學(xué)?創(chuàng)新》§5.1§5.2

第五篇：人教版高中數(shù)學(xué)教案：第5章：平面向量,教案,課時(shí)第 (13)

第十三教時(shí)

教材：平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示

目的：要求學(xué)生掌握平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，掌握向量垂直的坐標(biāo)表示的充要條件。

過(guò)程：

一、復(fù)習(xí)：

1．平面向量的坐標(biāo)表示及加、減、實(shí)數(shù)與向量的乘積的坐標(biāo)表示 2．平面向量數(shù)量積的運(yùn)算 3．兩平面向量垂直的充要條件 4．兩向量共線的坐標(biāo)表示：

二、課題：平面兩向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示

1．設(shè)a =(x1, y1)，b =(x2, y2)，x軸上單位向量i，y軸上單位向量j，則：i?i = 1，j?j = 1，i?j = j?i = 0 2．推導(dǎo)坐標(biāo)公式：

∵a = x1i + y1j,b = x2i + y2j

∴a?b =(x1i + y1j)(x2i + y2j)= x1x2i2 + x1y1i?j + x2y1i?j + y1y2j2= x1x2 + y1y2

從而獲得公式：a?b = x1x2 + y1y2

例

一、設(shè)a =(5, ?7)，b =(?6, ?4)，求a?b

解：a?b = 5×(?6)+(?7)×(?4)= ?30 + 28 = ?2 3．長(zhǎng)度、角度、垂直的坐標(biāo)表示

1?a =(x, y)?|a|2 = x2 + y2?|a| =x2?y2

2?若A =(x1, y1)，B =(x2, y2)，則=(x1?x2)2?(y1?y22)

3? cos? =

a?b

?x1x2?y1y2|a|?|b|

x

21?y1

x2

?y2

4?∵a?b ? a?b = 0 即x1x2 + y1y2 = 0（注意與向量共線的坐標(biāo)表示原則）

4．例

二、已知A(1, 2)，B(2, 3)，C(?2, 5)，求證：△ABC是直角三角形。

證：∵=(2?1, 3?2)=(1, 1),=(?2?1, 5?2)=(?3, 3)∴?=1×(?3)+ 1×3 = 0∴?

∴△ABC是直角三角形

三、補(bǔ)充例題：處理《教學(xué)與測(cè)試》P153第73課

例

三、已知a =(3, ?1)，b =(1, 2)，求滿足x?a = 9與x?b = ?4的向量x。解：設(shè)x =(t, s)，由x?a = 9 ? 3t ? s = 9由x?a = 9 ? 3t ? s = 9?t =

2s = ?3∴x =(2, ?3)

例

四、如圖，以原點(diǎn)和A(5, 2)為頂點(diǎn)作等腰直角△OAB，使?B = 90?，求點(diǎn)B和向量AB的坐標(biāo)。

B

A

解：設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)(x, y)，則=(x, y)，=(x?5, y?2)O∵?∴x(x?5)+ y(y?2)= 0即：x2 + y2 ?5x ? 2y = 0又∵|| = ||∴x2 + y2 =(x?5)2 +(y?2)2即：10x + 4y = 29

由???x?y?5x?2y?0???x7?31??10x?4y?29?2x?或?2?3?27

??

y1??2??y2?

2∴B點(diǎn)坐標(biāo)(72,?32)或(32,7)；=(?32,?7732)或(?2,2)

例

五、在△ABC中，AB=(2, 3)，AC=(1, k)，且△ABC的一個(gè)內(nèi)角為直角，求k值。

解：當(dāng)A = 90?時(shí)，?= 0，∴2×1 +3×k = 0∴k =?

3當(dāng)B = 90?時(shí)，AB?BC= 0，BC=AC?AB=(1?2, k?3)=(?1, k?3)

∴2×(?1)+3×(k?3)= 0∴k =

113

當(dāng)C = 90?時(shí)，AC?BC= 0，∴?1 + k(k?3)= 0∴k =3?2

四、小結(jié)：兩向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示長(zhǎng)度、夾角、垂直的坐標(biāo)表示

五、作業(yè)： P121練習(xí)及習(xí)題5.7

《教學(xué)與測(cè)試》P1545、6、7、8，思考題