第一篇：向量小結與復習

高中數學教案第五章平面向量（第23課時）課題：5.13向量小結與復習（2）

教學目的：

1.熟悉向量的性質及運算律；2.能根據向量性質特點構造向量；

3.熟練平面幾何性質在解題中應用；4.熟練向量求解的坐標化思路.5.認識事物之間的內在聯系；

6.認識向量的工具性作用，加強數學在實際生活中的應用意識

.教學重點：向量的坐標表示的應用；構造向量法的應用.教學難點：構造向量法的適用題型特點的把握

授課類型：復習課

課時安排：1課時

教具：多媒體、實物投影儀

教學方法:啟發引導式

針對向量坐標表示的應用，通過非坐標形式解法與坐標化解法的比較來加深學生對于向量坐標表示的認識，同時要加強學生選擇建立坐標系的意識.對于“構造向量法”的應用，本節例題選擇了本章的重點內容數量積的坐標表示，目的要使學生把握坐標表示的數量積性質的形式特點，同時增強學生的解題技巧，提高解題能力教學過程：

一、講解范例：

例1利用向量知識證明下列各式

22(1)x＋y≥

2xy

22(2)｜x｜＋｜y｜≥2x·y

分析：(1)題中的結論是大家所熟悉的重要不等式，以前可用求差法證得，而利用向量知識求證，則需構造向量，故形式上與向量的數量積產生聯系.(2)題本身含有向量形式，可根據數量積的定義式并結合三角函數性質求證.證明：(1)設a＝（x，y），b＝（y，x）則a·b＝xy＋yx＝2

xy

222222｜a｜·｜b｜＝x?y?x?y?x?y

又a·b＝｜a｜·｜b｜cosθ(其中θ為a，b夾角)

≤｜a｜·｜b

｜

22∴x＋y≥2xy

(2)設x，y的夾角為θ，則x·y＝｜x｜·｜y｜cosθ≤｜x｜·｜y｜≤

22x?y222 ∴｜x｜＋｜y｜≥2x·

y

22評述：(1)上述結論表明，重要不等式a＋b≥2ab，無論對于實數還是向量，都成立.(2)在(2)題證明過程中，由于｜x｜，｜y｜是實數，故可以應用重要不等式求證.例2利用向量知識證明

22222(a1b1＋a2b2)≤（a1＋a2）·（b1＋b2）

分析：此題形式對學生較為熟悉，在不等式證明部分常用比較法證明，若利用向量知識求證，則關鍵在于根據其形式與數量積的坐標表示產生聯系，故需要構造向量

.證明：設a＝（a1，a2），b＝（b1，b2）

則a·b＝a1b1＋a2b2，222222｜a｜＝a1＋a2，｜b｜＝b1＋b2

∵a·b＝｜a｜·｜b｜cosθ≤｜a｜·｜b｜.(其中θ為a，b夾角)

222∴（a·b）≤｜a｜·｜b｜

22222∴（a1b1＋a2b2）≤（a1＋a2）·（b1＋b2）

評述：此題證法難點在于向量的構造，若能恰當構造向量，則利用數量積的性質容易證明結論.這一技巧應要求學生注意體會.例3已知ｆ（x）＝?x2

求證：｜ｆ（a）－ｆ（b）｜＜｜a－b｜(a≠b）

分析：此題若用分析法證明，則需采用平方的手段以去掉絕對值，但由于ｆ（a）、ｆ（b）是含有根式的式子，故需再次平方才能達到去根號的目的.也可考慮構造向量法，利用向量的性質求證.下面給出兩種證法.證法一：∵ｆ（a）＝?a2，ｆ（b）＝?

b2，∴要證明｜ｆ（a）－ｆ（b）｜＜｜a－b

｜ 只需證明｜?a2－?b2｜＜｜a－b｜

2222222即1＋a＋1＋b－2(1?a)(1?b)＜a＋b－2

ab

22即(1?a)(1?b)＞1＋

ab 2222只需證明（(1?a)(1?b)）＞（1＋ab）

即1＋a＋b＋ab＞1＋2ab＋ab

22即a＋b＞2

ab

22∵a＋b≥2ab又a≠

b

22∴a＋b＞2

ab

∴｜ｆ（a）－ｆ（b）｜＜｜a－b｜

證法二：設a＝（1，a），b＝（1，b）

則｜a｜＝?a2，｜b｜＝?b2 222222

a－b＝（O，a－b）

｜a－b｜＝｜a－b

｜

由｜｜a｜－｜b｜｜≤｜a－b｜，（其中當｜a｜＝｜b｜即a＝b時，取“＝”，而a≠

b

∴｜｜a｜－｜b｜｜＜｜a－b

｜ 即｜?a2－?b2｜＜｜a－b｜

∴｜ｆ（a）－ｆ（b）｜＜｜a－b｜.評述：通過兩種證法的比較，體會“構造向量法”的特點，加深對向量工具性作用的認識.上述三個例題，主要通過“構造向量”解決問題，要求學生在體驗向量工具性作用的同時，注意解題方法的靈活性.下面，我們通過下面的例題分析，讓大家體會向量坐標運算的特點，以及“向量坐標化”思路在解題中的具體應用.例4已知：如圖所示，ABCD是菱形，AC和BD是它的兩條對角線.求證AC⊥BD.分析：對于線段的垂直，可以聯想到兩個向量垂直的充要條件，而對于這一條件的應用，可以考慮向量式的形式，也可以考慮坐標形式的充要條件.證法一：∵AC＝AB＋AD，BD＝AD－AB，∴·＝（＋）·（－）＝｜｜－｜｜＝

O

∴⊥

證法二：以OC所在直線為x軸，以B為原點建立直角坐標系，設B(O，O)，A(a，b)，C（c，O）

222則由｜AB｜＝｜BC｜得a＋b＝c ∵AC＝BC－BA＝（c，O）－（a，b）＝（c－a，－b），22 ＝＋＝（a，b）＋（c，O）＝（c＋a，b）∴·＝c－a－b＝O 222

∴⊥即 AC⊥

BD

評述：如能熟練應用向量的坐標表示及運算，則將給解題帶來一定的方便.通過向量的坐標表示，可以把幾何問題的證明轉化成代數式的運算，體現了向量的數與形的橋梁作用，有助于提高學生對于“數形結合”解題思想的認識和掌握.例5 若非零向量a和b滿足｜a＋b｜＝｜a－b｜.證明：a⊥b

.分析：此題在綜合學習向量知識之后，解決途徑較多，可以考慮兩向量垂直的充要條件的應用，也可考慮平面圖形的幾何性質，下面給出此題的三種證法.證法一：(根據平面圖形的幾何性質)設＝a，＝b，由已知可得a與b不平行，由｜a＋b｜＝｜a－b｜得以、為鄰邊的平行四邊形OACB的對角線和相等

.所以平行四邊形OACB是矩形，∴OA⊥OB，∴a⊥

b

證法二：∵｜a＋b｜＝｜a－b

｜

22∴（a＋b）＝（a－b）

2222∴a＋2a·b＋b＝a－2a·b＋b

∴a·b＝O，∴a⊥

b

證法三：設a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），22｜a＋b｜＝(x1?x2)?(y1?y2)，22｜a－b｜＝(x1?x2)?(y1?y2)，22∴(x1?x2)?(y1?y2)22＝(x1?x2)?(y1?y2)，化簡得：x1x2＋y1y2＝O，∴a·b＝O，∴a⊥b.例6 已知向量a是以點A(3，－1)為起點，且與向量b＝（－3，4）垂直的單位向量，求a的終點坐標.分析：此題若要利用兩向量垂直的充要條件，則需假設a的終點坐標，然后表示a的坐標，再根據兩向量垂直的充要條件建立方程.解：設a的終點坐標為（ｍ，ｎ）

則a＝（ｍ－3，ｎ＋1）

由題意???3(m?3)?4(n?1)?0

22?(m?3)?(n?1)?1 ①

②

由①得：ｎ＝

21（3ｍ－13）代入②得 425ｍ－15Oｍ＋2O9＝O 19?11?m?,m?,12????55或?解得?

?n??2.?n??8.12?5?5??

∴a的終點坐標是（192118,?)或(,?)555

5評述：向量的坐標表示是終點坐標減去起始點的坐標，所以向量的坐標與點的坐標既有聯系又有區別，二者不能混淆.上述例題，主要體現了兩向量垂直的充要條件的應用，在突出本章這一重點知識的同時，應引導學生注意解題方法的靈活性，尤其是向量的坐標化思路在解題時的應用，將幾何與代數知識溝通起來.二、課堂練習：

1.已知a＝（1，O），b＝（1，1），當λ為何值時，a＋λb與a垂直

.解：a＋λb＝（1，O）＋λ（1，1）＝（1＋λ，λ）

∵（a＋λb）⊥a∴（a＋λb）·a＝

O

∴（1＋λ）＋O·λ＝O∴λ＝－

1即當λ＝－1時，a＋λb與a垂直.2.已知｜a｜＝，｜b｜＝2，a與b的夾角為3O°，求｜a＋b｜，｜a－b｜

.2222解：｜a＋b｜＝（a＋b）＝a＋2a·b＋b

22＝｜a｜＋2·｜a｜·｜b｜cos3O°＋｜b｜

＝（）＋2×3×2×232＋2＝

32∴｜a＋b｜＝，∵｜a－b｜＝（a－b)＝a－2a·b＋b

22＝｜a｜－2｜a｜·｜b｜·cos3O°＋b

＝（3）－2××2×222222＋2＝

∴｜a－b｜＝

3.已知｜a｜＝3，｜b｜＝2，a與b的夾角為6O°，c＝3a＋5b，d＝ｍa－3b.當ｍ為何值時，c與d是否垂直?

解：若c⊥d，則c·d＝

O

∴（3a＋5b）（ｍa－3b)＝

O

22∴3ｍ｜a｜＋（5ｍ－9）a·b－15｜b｜＝

O

22∴3ｍ｜a｜＋（5ｍ－9）｜a｜｜b｜cos6O°－15｜b｜＝

O

即27ｍ＋3（5ｍ－9）－6O＝O，解得ｍ＝29.1

44.已知a＋b＝c，a－b＝

d

求證：｜a｜＝｜b｜?c⊥

d

證明：(1)c⊥

d

22（a－b）＝O? a－b＝

O ?（a＋b）

? a2＝b2? ｜a｜＝｜b

｜，(2)｜a｜＝｜b｜

（a－b）＝O? c⊥d

.? a2＝b2? a2－b2＝O?（a＋b）

三、小結通過本節學習，要求大家進一步熟悉向量的性質及運算律，熟悉平面幾何性質在解題中的應用，能夠掌握向量坐標化的思路求解問題，掌握構造向量并利用向量性質解題、證題的方法

.四、課后作業：

五、課后記及備用資料：

1.三角形內角和性質

定理：在△ABC中，A、B、C分別為三個內角，則A＋B＋C＝18O°

推論(1)B＝6O°?2B＝A＋C

推論(2)若A＜9O°，則有

sinB＞cosC，cosB＜sinC，tanB＞cotC，cotB＜tanC

.推論(3)sin（A＋B）＝sinC，cos（A＋B）＝－cosC，tan（A＋B）＝－tanC，cot（A＋B）＝－cotC.A?BCA?BC?cos,cos?sin,2222推論(4)A?BCA?BCtan?cot,cot?tan.2222sin

2.三角形內角和性質應用舉例

例1△ABC中，若tanB?tanCa?c?,求證：A、B、C成等差數列

.tanB?tanCa

證明：由條件得sin(B?C)sinA?sinC，?sin(B?C)sinA

由推論(3)得sin（B＋C）＝sinA.∴sin（B－C）＝sinA－sinC

∴sin（B－C）－sin（B＋C）＝－sinC，即2cosBsinC＝sin

C

∵sinC≠O，∴cosB＝1?，∴B＝.2

3故由推論(1)得2B＝A＋C.所以A、B、C成等差數列

.例2在銳角△ABC中，求證：sinA＋sinB＋sinC＞cosA＋cosB＋cosC

證明：∵△ABC是銳角三角形，∴A＜9O°，根據推論(2)有：sinB＞cosC ①

B＜9O°，根據推論(2)有：sinC＞cosA

②

C＜9O°，根據推論(2)有sinA＞cosB ③ ∴①＋②＋③得：sinA＋sinB＋sinC＞cosA＋cosB＋cosC

.例3已知△ABC，求證(a－b)cotCAB＋(b－c)cot＋(c－a)cot＝

O.222

證明：根據正弦定理和推論(4)，有

CA?BA?BA?B＝2Ｒ(sinA－sinB)tan＝4Ｒsinsin，2222

C∴（a－b）cot＝2Ｒ（cosB－cosA）2

A同理，（b－c）cot＝2Ｒ（cosC－cosB）； 2

B（c－a）cot＝2Ｒ（cosA－cosC).2

CAB三式相加可得（a－b）cot＋（b－c）cot＋（c－a）cot＝O.222(a－b)cot

第二篇：29-第二章平面向量小結與復習

第二章平面向量章末復習（第2課時）

教學目標

重點：平面向量數量積的定義及其坐標表示；數量積的幾何意義、向量法在平面幾何中的應用． 難點：用向量法解決平面幾何問題時，如何建立平面幾何與平面向量之間的聯系．

能力點：在運用向量方法解決平面幾何問題、力學問題與其他一些實際問題過程中，進一步發展學生的運

算能力和解決實際問題的能力．

教育點：提高學生的認知水平，為學生塑造良好的數學認識結構．

自主探究點：例題及變式的解題思路的探尋．

易錯點：(1)忽視兩向量垂直的概念是針對兩非零向量的而致錯；

(2)對兩向量夾角的定義理解不清致錯；

(3)把數的乘法的消去律運用在向量的數量積運算上而致錯；

(4)混淆點的坐標與向量的坐標致錯．

學法與教具

1．學法：講授法、討論法．2．教具：投影儀．

二、【知識梳理】

1．平面向量的數量積

(1)數量積的定義

已知兩個非零向量a與b，我們把數量abcos?叫做a與b的數量積(inner product)（或內積），記作a?b，即a?b=abcos?，其中?是a與b的夾角．

(2)數量積的幾何意義

數量積a?b等于a的長度a與b在a方向上的投影bcos?的乘積，或等于b的長度b與a在b方向上的投影acos?的乘積．

(3)數量積的性質

b?0． ①a?b?a?

②當a與b同向時，a?b=ab；當a與b反向時，a?b=?ab；特別地，a?a=a，所以

2a記作a2． a?a?

③a?b?ab

(4)數量積的運算律

已知向量a、b、c和實數?，則：

b?b?a； ①a?

②(?a)?b??(a?b)?a?(?b)； ③(a?b)?c?a?c?b?c．(5)數量積的坐標表示

已知兩個非零向量a?(x1,y1)，b?(x2,y2)，則a?b?x1x2?y1y2． 由此可得：

2①a

?x1?y1或a

②a?b?x1x2?y1y2?0； ③設?為a、b的夾角，則cos??

a?b

?

|a||b|2．平面幾何中的向量方法

用向量法解決平面幾何問題的“三步曲”：(1)建立平面幾何與向量的聯系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉化為向量問題；(2)通過向量運算，研究幾何元素之間的關系，如距離、夾角等問題；(3)把運算結果“翻譯”成幾何關系．

在上述步驟中，把平面幾何問題轉化為向量問題是解決問題的關鍵一步，轉化方法大致有兩種思路：第一，選取恰當的基向量；第二，建立坐標系．

3．向量法在物理中的應用

向量有豐富的物理背景，向量的物理背景是位移、力、速度等，向量的數量積的物理背景是力所做的功．因此，用向量可以解決一些物理問題．向量在物理中的應用，實際上是把物理問題轉化為向量問題，然后通過向量運算解決向量問題，最后再用所獲的結果解釋物理現象．用向量法解決物理問題時，應作出相應的圖形，以幫助我們建立數學模型．

三、【范例導航】

????????

例1（2012?天津）在△ABC中，∠A=90°，AB=1，AC=2．設點P，Q滿足 AP??AB，????????????????

CP??2，則?? AQ??1???AC,??R.若BQ?

????????????????????2????

2【分析】由題意可知AB?AC?0，根據BQ?CP?(??1)AC??AB??2，解方程可以求得?的值.????????????

??

c?0，【解答】如圖，設AB?b，AC?c，則b?1，c?2，b?

????????????????????????????

又BQ?BA?AQ??b?(1??)c，CP?CA?AP??c??b，????????由BQ?CP??2得，[??(1??)]?(???)?(??1??4(??1)????2，即3??2,所以??

2.3【點評】本題主要考查兩個向量垂直的性質，兩個向量的加減法的法則，以及其幾何意義，兩個向量的數量積的運算，屬于中檔題.??????2

變式訓練1(2011·江蘇卷10)已知e1,e2是夾角為?的兩個單位向量，a?e1?2e2,b?ke1?e2, 若

?

?

??

a?b?0，則k的值為

答案：

4??

????????2?????解析：a?b??e1?2e2??ke?e?ke?1?2ke?e?2e?k?1?2kcos?0，??122???12?

13????

解得k?

.4

例2(2012·江蘇9)如圖，在矩形ABCD

中，AB?，BC?2，點E為BC的中點，點F在邊CD

上，若AB?AFAE?BF的值是．【分析】根據所給的圖形，把已知向量用矩形的邊所在的向量來表示，求出要用的向量的模，表示出要求得向量的數量積，注意應用垂直的向量的數量積等于0，得到結果.????????????????

????????????

【解答】因為AF?AD?DF，?????????????????????????????????????????????

AB?AF?AB?AD?DF?AB?AD?AB?DF?AB?DF??

?

?

????

????DF?1CF?1.所以，????????????????????????????????????????AE?BF?AB?BE?BC?CF?AB?CF?BE?BC1)?1?2? 所以

???

?

【點評】本題主要考查平面向量的數量積的運算.解題的關鍵是要把要用的向量表示成已知向量的和的形式.變式訓練2(2012·湖南文15)如圖4，在平行四邊形ABCD中，AP⊥BD，垂足為P，AP?3且AP?AC=

答案：18

????????

????????????解析：設AC?BD?O，則AC?2AB?BO，??

所以，????????????????????????????????????????????????????????????2

AP?AC?AP?2AB?BO?2AP?AB?2AP?BO?2AP?AB?2AP?AP?PB?2AP?18

????

例3.證明：對于任意的a1、a2、b1、b2?R，恒有不等式?a1b1?a2b2??a1?a

2?

??b

12?b2?．

【分析】此題形式對學生較為熟悉，在不等式證明部分常用比較法證明，若利用向量知識求證，則關

【解答】設a?(a1,a2)，b

?(b1,b2),222

則a?，b?b1?b2 b?a1b1?a2b2，a?a12?a2

因為a?b?ab，b?a所以a?

b

所以?a1b1?a2b2??a1?a2

?

??b

2?b2?.【點評】

變式訓練3.如圖，在平面直角坐標系中，以原點為圓心，單位長度為半徑的圓上有兩點A(cos?,sin?)，B(cos?,sin?)，試用A、B兩點的坐標表示?AOB的余弦值.答案：cos?AOB?cos?cos??sin?sin?

解析：因為A(cos?,sin?),B(cos?,sin?),????????

所以OA?(cos?,sin?)，OB?(cos?,sin?)

????????OA?OB

那么，cos?AOB??cos?cos??sin?sin?.OAOB

四、【解法小結】

1．準確把握平面向量數量積的重要性質：設a?(x1,y1)，b?(x2,y2)

(1)a?b?a? b?0?x1x2?y1y2?0，既可以用來證明兩向量垂直，也可以由垂直進行有關計算；

a=a2?a

與a?(2)a?

轉化．

(3)cos??

?a?b

a、b的夾角，也可用來求?

|a||b|直線的夾角(向量的夾角與向量所在直線的夾角有區別)，還可利用夾角的取值情況建立方程或不等式

用于求參數的值或范圍．

2．向量解決幾何問題就是把點、線、平面等幾何元素直接歸納為向量，對這些向量借助于它們之間的運算進行討論，然后把這些計算的結果 翻譯成關于點、線、平面的相應結果，可以簡單表述為“形到向量?向量的運算?數到形”.3．明確和掌握用向量研究物理問題的相關知識：

(1)力、速度、加速度、位移的合成、力的分解就是向量的加減法，運動的疊加亦用到向量的合成；(2)動量mv是數乘向量；

(3)功即是力F與所產生的位移s的數量積.五、【布置作業】

必做題： 1．（2012·遼寧卷）已知兩個非零向量a，b滿足|a＋b|＝|a－b|，則下面結論正確的是()A．a∥bB．a⊥bC．|a|＝|b|D．a＋b＝a－b

π2．（2012·上海卷）在平行四邊形ABCD中，∠AAB、AD的長分別為2、1.若M、N

分別是邊

→→|BM||CN|→→

BC、CD，則AM·AN的取值范圍是________．

→→|BC||CD|

→→→→

3．（2012·北京卷）已知正方形ABCD的邊長為1，點E是AB邊上的動點，則DE·CB的值為__ __.DE·DC的最大值為________．

????????????????????????4．在邊長為1的正三角形ABC中，則AB?BC?BC?CA?CA?AB?________．.必做題答案：

1．因為|a＋b|＝|a－b|?(a＋b)2＝(a－b)2?a·b＝0，所以a⊥b，答案選B.點評：本小題主要考查向量的數量積以及性質．解題的突破口為對于模的理解，向量的模平方就等于向量的平方．

→→→→→→→→→

2．令BM＝nBC(0≤n≤1)，則DN＝(1－n)DC，在平行四邊形ABCD中，AM＝AB＋nAD，AN＝AD＋(1－→→→→→→→n)AB，所以AM·AN＝(AB＋nAD)·[AD＋(1－n)AB]＝－n2－2n＋5，→→而函數f(n)＝－n2－2n＋5在[0,1]上是單調遞減的，其值域為[2,5]，所以AM·AN的取值范圍是[2,5]． →→3．以D為坐標原點，DC與DA所在直線分別為x，y軸建立平面直角坐標系，如圖所示，可知E(x,1)，0≤x≤1，→→→→所以DE＝(x,1)，CB＝(0,1)，可得DE·CB＝x×0＋1×1＝1.→→→→→因為DC＝(1,0)，所以DE·DC＝x，因為1≥x≥0，所以(DE·DC)max＝1.????????????????????????

CA?CA?AB= 4．AB?BC?BC?

????????????????????????3?1??1??1?00

ABBCcos120?BCCAcos120?CAABcos1200??????????????

2?2??2??2?

點評：利用數量積的定義求解時，務必要注意兩向量夾角的大小.兩向量夾角的定義前提是兩向量的起

????????????????????????00

點要重合，對于本題要特別注意：向量AB與BC,BC與CA,CA與AB的夾角不是60，而是120.選做題：

???

1．已知向量a是以點A(3，－1)為起點，且與向量b＝（－3，4）垂直的單位向量，求a的終點坐標.2．如圖，在?ABC中，AD?DB，AE?EC，CD與BE交于F，證明：CF?2FD.選做題答案：

1.設a的終點坐標為(m,n),則a＝(m,n),

??

??3(m?3)?4(n?1)?0由題意? 2

2?(m?3)?(n?1)?

1由①得：ｎ＝

① ②

（3ｍ－13）代入②得25ｍ－15Oｍ＋2O9＝O

419?11?m?,m?,???192118?15?2

5或?解得?∴a的終點坐標是（,?)或(,?)

5555?n??2.?n??8.12?5?5??

點評：向量的坐標表示是終點坐標減去起始點的坐標，所以向量的坐標與點的坐標既有聯系又有區別，2.本題選自《學生自主學習叢書·數學》P122，例2.

六、【教后反思】

1．本教案的亮點是：(1)用結構圖呈現本章知識，直觀簡明；(2)知識梳理部分十分詳實且分類明晰；(3)例題具有典型性且解法總結到位，變式練習有效，講練結合教學效果明顯；(4)在作業的布置上，選擇了部分高考題，對學生理解、鞏固知識能夠起到良好的作用．

2．本教案的弱項是：(1)有關平面向量數量積的應用涉及題目較少，如夾角的計算、模的計算等；(2)向量法在物理中的應用沒有涉及到，有待于進一步補充．

第三篇：空間向量復習

高中數學選修2—1空間向量 期末復習

（基本知識點與典型題舉例）

為右手直角坐標系（立體幾何中建立的均為右手系）。

2、空間直角坐標系中的坐標運算：

一、空間向量的線性運算：

1、空間向量的概念：

空間向量的概念包括空間向量、相等向量、零向量、向量的長度（模）、共線向量等．

2、空間向量的加法、減法和數乘運算：

平面向量中的三角形法則和平行四邊形法則同樣適用于空間向量的加（減）法運算． 三個不共面的向量的和等于以這三個向量為鄰邊的平行六面體的對角線所表示的向量．

3、加法和數乘運算滿足運算律：

①交換律，即a+b=b+a；②結合律，即(a(a+b)?c?a?(b+c)；

③分配律，即(???)a=?a+?a及?(a+b)??a??b（其中?，?均為實數）．

4、空間向量的基本定理：

（1）共線向量定理：對空間向量a，b(b?0)，a∥b的充要條件是存在實數?，使a=?b．（2）共面向量定理：如果空間向量a，b不共線，則向量c與向量a,b共面的充要條件是，存在惟一的一對實數x，y，使c=xa+yb。

推論：①空間一點?位于平面??C內的充要條件是存在有序實數對x，y，使???????x???????y????C?；

②空間一點?位于平面??C內的充要條件是存在有序實數對x，y或對空間任一定點?，有??????????????x???????y????C?；

③若四點?，?，?，C共面，則???????x???????y???????z????C?

? x?y?z?1?。

（3）空間向量基本定理：如果三個向量a，b，c不共面，那么對空間任一向量p，存在有序實數組

x，y，z，使p=xa+yb+zc．其中{a，b，c}是空間的一個基底，a，b，c都叫做基向量，該定理可簡述為：空間任一向量p都可以用一個基底{a，b，c}惟一線性表示（線性組合）。

5、兩個向量的數量積：

（1）兩個向量的數量積是a?

b=abcos?a，b?，數量積有如下性質：①a?e=acos?a，e?（e為單位向量）；②a⊥b?a?b=0；③a?a=a

2；④a?b≤ab。

（2）數量積運算滿足運算律：①交換律，即a?b=b?a；②與數乘的結合律，即(?a)?

b=?(a?b)；③分配律，即(a+b)?c=a?c+b?c．

二、空間向量的直角坐標運算：

1、空間直角坐標系：

若一個基底的三個基向量是互相垂直的單位向量，叫單位正交基底，用{i，jk}表示；在空間

選定一點O和一個單位正交基底{i，jk}，可建立一個空間直角坐標系O?xyz，作空間直角 坐標系O?xyz時，一般使∠xOy=135°（或45°），∠yOz=90°；在空間直角坐標系中，讓右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，如果中指指向z軸的正方向，稱這個坐標系

（1）定義：給定空間直角坐標系O－xyz和向量a，存在惟一的有序實數組使a=a1i+a2j+a3k，則(a1，a2，a3)叫作向量a在空間的坐標，記作a=(a1，a2，a對空間任一點A，存在惟一的???3)。

OA?

?xi+yj+zk，點Ａ的坐標，記作A(x，y，z)，x，y，z 分別叫Ａ的橫坐標、縱坐標、豎坐標。

（2）若A(x????

1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，則AB?(x2?x1，y2?y1，z2?z1)；

（3）空間兩點的距離公式：

d???????

???

3、空間向量的直角坐標運算律：已知a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3)，則：a+b?(a1?b1，a2?b2，a3?b3)，a?b?(a1?b1，a2?b2，a3?b3)；

?a?(?a1，?a2，?a3)，a?b=(a1b1，a2b?

2，?a3b3)；

a∥b?a1??b1，a

2??bcos???a?b

ab2，a3a?,b???b3|a|?|b|?1?212a2b2?a3b3222?0；

空間兩個向量的夾角公式：

a1?a2?a3?b12?b2?b

3。

4、直線的方向向量與向量方程：

（1）位置向量：已知向量a，在空間固定一個基點O，作向量???OA?

?a，則點A在空間的位置被a

所

惟一確定，a稱為位置向量。

（2）方向向量與向量方程：給定一個定點???Ａ和一個向量a，再任給一個實數t，以A為起點作向量

AP?

?ta，則此方程為直線l上點P對應的向量方程，向量a稱為直線l的方向向量。

5、平面的法向量：

（1）如果表示向量a的有向線段所在直線垂直于平面?，則稱這個向量垂直于平面?

（記作a⊥?），向量a叫做平面?的法向量。法向量有兩個相反的方向。

三、空間向量在立體幾何中的應用：

1、空間向量在位置關系證明中的具體應用：

1）空間的線線、線面、面面垂直關系，都可以轉化為空間兩個向量的垂直問題來解決：①設a、b分別為直線a，b的一個方向向量，那么a⊥b?a⊥b?a?b=0；②設a、b分別為平面?，?的一個法向量，那么?⊥??a⊥b?a?b=0；③設直線l的方向向量為a，平面的法向量為b，那么l⊥??a∥b。

2）空間直線與直線平行，直線與平面平行，平面與平面平行，都可以用向量方法來研究：①設a、b是兩條不重合的直線，它們的方向向量分別為a、b，那么a∥b?a∥b；②直線與平面平行可轉化為直線的方向向量與平面的法向量垂直，也可用共面向量定理來

證明線面平行問題；

③平面與平面平行可轉化為兩個平面的法向量平行。

2、空間向量在立體幾何的計算問題中的應用：

1）空間角的計算：

①線線角：異面直線所成角轉化為兩條直線所在向量的夾角；

②線面角：直線AB與平面?所成角為，其中n是平面?的法向量；

③面面角：二面角的大小為，其中m，n是兩個半平面的法向量。2）距離的計算：

①點面距：設n是平面?的法向量，A??，則B到?的距離為；

②線線距：設n是兩條異面直線l1，l2的公垂線的向量，若A，B分別是在l1，l2上的任意一點，則l1，l2的距離為；

③線面距、面面距，與前面求法相同。

四、例題分析：

例

1、如圖，在四棱錐P—ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD

為正方形，PD=DC，E、F分別是AB，PB的中點.（1）求證：EF⊥CD；（2）在平面PAD內求一點G，使GF⊥平面PCB，并證明你的結論.（3）求DB與平面DEF所成角的大小。

例

2、如圖所示的多面體是由底面為ABCD的長方體被截面AEC1F所截面而得到的，其中

AB?4,BC?2,CC1?3,BE?1，（1）求BF的長；（2）求點C到平面AEC1F的距離。

例

3、已知四棱錐P?ABCD的底面為直角梯形，AB//DC，?DAB?90?,PA?底面ABCD，且PA?AD?D

1，AB?1，M是PB的中點。

（1）證明：面PAD?面PCD；（2）求AC與PB所成的角；

（3）求面AMC與面BMC所成二面角的大小。

例

4、如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為矩形，PD?底面ABCD，E是AB上

一點，PF?EC.已知PD?

2,CD?2,AE?

2, 求（Ⅰ）異面直線PD與EC的距離；（Ⅱ）二面角E?PC?D的大小。

例

2、如圖4，在長方體ABCD?A1B1C1D1中，AD?AA1?1，AB?2，點E在棱AB上移動，問AE等于何值時，二面角D1?EC?D的大小為

π

4．19．（本小題滿分12分）

如圖，在四棱錐P—ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD 為正方形，PD=DC，E、F分別 是AB，PB的中點.（1）求證：EF⊥CD；

（2）在平面PAD內求一點G，使GF⊥平面PCB，并證明你的結論.（3）求DB與平面DEF所成角的大小.19．以DA，DC，DP所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，如圖，設AD=a，則

D(0?,?0?,?0)?,?A(a?,?0?,?0)，B(a?,a?,?0)?,C?

(0?,?a?,?0)?,E?

(a?,a

?,?0)?,F?(a2

2?,a2?,a2)?,P?(0?,?0?,a)

（1）??????a

a?2?,?0?,2??

?,?(0?,?a?,?0)?0?,?

∴EF

?DC?.（2）設G(x?,?0?,?z)，則G∈平面PAD.FG??

?aaa??

x?2?,??2?,?z?2??，????a?x?2,???a2?,?z?a?2???(a?,?0?,?0)?a??a?a?

x?2???0，則x?2； ???

?a?

x?2?,??a2?,?z?a?2???(0?,??a?,?a)?a2a2?a(z?2)?0，則z=0.∴G是坐標為（a，0，0），即G為AD的中點.（3）（只理科做）設平面DEF的法向量為n?(x?,y?,z)?.??由??n??0?,?(x,?y,?z)???a,?a?,a?

??0?,?得??DE?0???222??n.???(x?,y,?z)?(a,?a,??0)?0?.?a

(x?y?z)?即??0?,?2取x=1，則y=-2，z=1, ???ax?a2

y?0?.∴ n=(1，-2，1).cos〈BD?,?n〉a3

?

2a?6

?

?, ∴DB與平面DEF所成角大小為

?2?arccos3

（即arcsin3

6）.19．如圖4，在長方體ABCD?A1B1C1D1中，AD?AA1?1，AB?2，點E在棱AB上移動，問AE等于何值時，二面角D1?EC?D的大小為

π4

． 解：設AE?x，以D為原點，直線DA，DC，DD1所在直線

分別為

x，y，z軸建立空間直角坐標系，則A1(1，01)，D1(0，01)，E(1，x，0)A(1，0，0)C(0，2，0)． ∴???CE??(1，x?2，0)????D?1)，????DD?1C?(0，2，?1?(0，0，1)．

設平面D1EC的法向量為n?(a，b，c)，??????·D1C?0，?2b?c?0，?n

??由???? ?

a?b(x?2)?0，·CE?0???n

?????

又CC1?(0，0，3)，設CC1與n1的夾角為?，?????

CC1·n則cos??． 1?

CC1n

令b?1，∴c?2，a?2?x．

∴n?(2?x，1，2)．

?????n·DD1π依題意cos?．

??

4nDD1．

∴

x?2x?2∴AE?2．

????? ∴C到平面AEC1F的距離d?CC1cos??

20．如圖5所示的多面體是由底面為ABCD的長方體被截面AEC1F所截而得到的，其中AB?4，BC?2，CC1?3，BE?1．

????

（1）求BF；

（2）求點C到平面AEC1F的距離．

解：（1）以D為原點，DAF，DC，DF所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系D?xyz，D(0，0，0)B(2，4，0)A(2，0，0)C(0，4，0)E(2，41)，C1(0，4，3)，設F(0，0，z)． ?????????

由AF?EC1，得(?2，0，z)?(?2，0，2)，∴z?2．

????∴F(0，0，2)BF?(?2，?4，2)．

????

∴BF?

?????·AE?0，?n1

（2）設n1為平面AEC1F的法向量，n1?(x，y，1)，由?????

·AF?0，??n1，?x?1

?4y?1?0，?得?∴?1

?2x?2?0．y??．???4

第四篇：72向量單元復習

2009——2010高一數學學案NO.68編制王軍成審定： 高一數學組

平面向量的綜合應用

【典例練講】

?????????????????????

例

1、（1）在?ABC中，AB?c,BC?a,CA?b，且c?a?a?b?b?c,判斷?ABC的形狀。

????????????????????（2）若O為△ABC所在平面內一點，且滿足(OB?OC)?(OB?OC?2OA)?0判斷△ABC的形狀；

?????????????例

2、（1）若O 為?ABC內一點，OA?OB?OC?0，則O 是?ABC 的心

????????????????（2）若OP=OA+?(AB?AC)，??0則點P必過?ABC的心（外心，垂心，內心，重心）。

????2????2????2????2????2????2（3）若|OA|?|BC|?|OB|?|CA|?|OC|?|AB|則O是?ABC的心（外心，垂心，內心，重心）。

???????例

3、（1）已知OA?OB?OC?0，且|OA|?|OB|?|OC|，則△ABC為_________三角形。

????????????????????????OC?CO?CO?OA?BC?0，判斷△ABC（2）若O為△ABC所在平面內一點，且滿足OB?的形狀。

例

4、（1）在四邊形ABCD中，設?,?,?,?，若

???????，判斷四邊形ABCD的形狀，并加以證明

?????????????（2）設點O在?ABC內部，且有3OA?OB?OC?0，求?ABC的面積與?OBC的面積的比。

第五篇：集合復習與小結

集合復習與小結 教學目標

鞏固集合、子、交、并、補的概念、性質和記號及它們之間的關系．

教學重點

正確應用其概念和性質做題．

教學難點

正確應用其概念和性質做題．

教學過程 復備欄

本單元主要介紹了以下三個問題： 1．集合的含義與特征； 2．集合的表示與轉化； 3．集合的基本運算．

一、集合的含義與表示（含分類）

1．具有共同特征的對象的全體,稱一個集合．

2．集合按元素的個數分為:有限集和無窮集兩類． 3．集合的表示．

二、集合表示法間的轉化

高中數學解題的關鍵也是看“四化” ．

三、集合的基本運算

1．子集：AB定義為，對任意x∈A，有x∈B.表現圖為A在B中包含著.2．補集：CSA={x|x∈S,且x A}.表現圖為整體中去掉A余下的部分.3．交集：A∩B={x|x∈A,且x∈B}.表現圖示為A與B的公共部分.4．并集：A∪B={x|x∈A,或x∈B}.表現圖示為A與B合加在一起部分

附表：集合的三種運算： 運算類型 交

集 并

集 補

集 定

義

由所有屬于A且屬于B的元素所組成的集合,叫做A,B的交集．記作AB（讀作‘A交B’），即AB=｛x|xA，且xB｝．

由所有屬于集合A或屬于集合B的元素所組成的集合，叫做A,B的并集．記作：AB（讀作‘A并B’），即AB ={x|xA，或xB})．

設S是一個集合，A是S的一個子集，由S中所有不屬于A的元素組成的集合，叫做S中子集A的補集（或余集）記作，即 CSA=

韋 恩 圖 示

性 質 AA=A AΦ=Φ AB=BA ABA ABB AA=A AΦ=A AB=BA ABＡ ABB(CSA)(CSB)=CS(AB)(CSA)(CSB)=CS(AB)A(CSA)=U A(CSA)=Φ．

容斥原理有限集A的元素個數記作card(A).對于兩個有限集A，B，有card(A∪B)= card(A)+card(B)-card(A∩B)．

四、例題選講

例1 定義集合A-B={x|x∈A,且xB}，則當A∩B=時，A-B=_________；A∩B不空時呢？ 解：（1）A；（2）CU(A∩B).例2 給出下列說法：

（1）方程+|y+2|=0的解集為{-2,2}；

（2）集合{y|y=x2-1,x∈R}與集合{y|y=x-1,x∈R}的公共元組成的集合為{0，-1}；（3）區間（-∞，1）與（a，+∞）無公共元素.其中正確的個數為___________.解：對于（1），解集應為有序實數對，錯； 對于（2）{y|y=x2-1,x∈R}=與集合

{y|y=x-1,x∈R}=R，公共元素不只0與-1兩個，錯；

對于（3）區間（-∞，1）與（a，+∞）無公共元素取決于1與a的大小，錯.故正確的個數是0.例3 已知集合M={x|x=3m+1,m∈Z}，N={y|y=3n+2,n∈Z},若x0∈M,y0∈N，則x0，y0與集合M、N的關系是

.解：方法一：變為文字描述法

M={被3除余數為1的整數}，N={被3除余數為2的整數}，余數為1×余數為2→余數為2，故x0y0∈N,x0y0M．

方法二：變為列舉法M={?,-2,1,4,7,10,13,},N={?,-1,2,5,8,11,?} M中一個元素與N中一個元素相乘一定在N中，故x0y0∈N,x0y0M 方法三：直接驗證）

設x0=3m+1,y0=3n+2,則x0y0=9mn+6m+3n+2=3(3mn+2m+n)+2, 故x0y0∈N,x0y0M．

例4 已知集合A={x|=1}是單元素集，用列舉法表示a的取值集合B 解：集合B表示方程=1有等根或僅有一個實數根時a的取值集合． ⑴有等根時有：x2-x-2-a=0①且x2-2≠0②；

①△=1-4(-a-2)=0, a=-9/4,此時x=1/2適合條件②，故a=-9/4滿足條件； ⑵僅有一個實數根時，x+a是x2-2的因式，而 =，∴a=±.當a=時,x=1+,滿足條件； 當a=時,x=1也滿足條件． 綜上，．

五、回顧小結

本節課對集合一章進行了總結，要在理解集合相關概念的基礎上學會運用集合語言描述數學對象，更為清晰地表達數學思想.六．布置作業

教后反思