第一篇：響水中學2013-2014學年高二上學期數學學案：《第25課時 平面向量的數量積》

一．【基礎訓練】

1.在?ABC中，AB?2,BC?4,?B?60?,則AC?_________________.2.a,b,c 是?ABC的三邊，且滿足b2?c2?a2?bc.則角A=______________

3．在△ABC中，sinA:sinB:sinC=3∶5∶7，則這個三角形的最大內角為4.△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若A＝，b＝1，△ABC的面積

則a的值為____ _.π33 2

二．【重點講解】 1．余弦定理：

a2?___________________ b2?__________________c2?__________________

2． 變式：

cosA?cosB?cosC?

3.結論：

a2?b2?c2?A是直角??ABC是直角三角形

a2?b2?c2?A是鈍角??ABC是鈍角三角形

a2?b2?c2?A是銳角??ABC是銳角三角形

4.利用余弦定理，可以解決以下兩類解斜三角形的問題：

（１）已知三邊，求三個角；（２）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個角

三【例題分析】

例1.(1)已知圓內接四邊形ABCD中，AB=2，BC=6,AD=CD=4,則

SABCD=_____________________

(2)?ABC中,角A、B、C的對邊分別為a、b、c,若a2+b2=2c2,則cosC的最小值是_____________

例2.?ABC中,角A、B、C的對邊分別為a、b、c。若bcosC+ccosB=acosA 判斷?ABC的形狀

變式訓練：

(1)?ABC中，acosA=bcosB,則?ABC的形狀是_____________

(2)?ABC若sin2A+sin2B

例3.在?ABC中，已知22(sin2A?sin2C)?(a?b)sinB,?ABC的外接圓半徑為2.（1）求角C；（2）求?ABC的面積的最大值.C的對邊分別為a、b、c，變式訓練：?ABC中，角A、B、且b(b+c)=(a+c)(a-c)（1）求角A的大小；（2）若a?3，求bc的最大值。

四．【訓練鞏固】

11．在△ABC中a?2,b?c?7,cosB??,則b?___________.42、在△ABC中，若2cosBsinA＝sinC，則△ABC的形狀一定是。3在?ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c，若a2?c2?b2tanB?3ab，則角B的值為。

4．?ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且b(b+c)=(a+c)(a-c)

（1）求角A的大小；（2）若a?3，求bc的最大值。

第二篇：高三-《平面向量數量積》數學說課稿

高三-《平面向量數量積》數學說課稿

一、說教材

平面向量的數量積是兩向量之間的乘法，而平面向量的坐標表示把向量之間的運算轉化為數之間的運算。本節內容是在平面向量的坐標表示以及平面向量的數量積及其運算律的基礎上，介紹了平面向量數量積的坐標表示，平面兩點間的距離公式，和向量垂直的坐標表示的充要條件。為解決直線垂直問題，三角形邊角的有關問題提供了很好的辦法。本節內容也是全章重要內容之一。

二、說學習目標和要求

通過本節的學習，要讓學生掌握

（1）平面向量數量積的坐標表示。

（2）平面兩點間的距離公式。

（3）向量垂直的坐標表示的充要條件。

以及它們的一些簡單應用，以上三點也是本節課的重點，本節課的難點是向量垂直的坐標表示的充要條件以及它的靈活應用。

三、說教法

在教學過程中，我主要采用了以下幾種教學方法：

（1）啟發式教學法

因為本節課重點的坐標表示公式的推導相對比較容易，所以這節課我準備讓學生自行推導出兩個向量數量積的坐標表示公式，然后引導學生發現幾個重要的結論：如模的計算公式，平面兩點間的距離公式，向量垂直的坐標表示的充要條件。

（2）講解式教學法

主要是講清概念，解除學生在概念理解上的疑惑感；例題講解時，演示解題過程！

主要輔助教學的手段（powerpoint）

（3）討論式教學法

主要是通過學生之間的相互交流來加深對較難問題的理解，提高學生的自學能力和發現、分析、解決問題以及創新能力。

四、說學法

學生是課堂的主體，一切教學活動都要圍繞學生展開，借以誘發學生的學習興趣，增強課堂上和學生的交流，從而達到及時發現問題，解決問題的目的。通過精講多練，充分調動學生自主學習的積極性。如讓學生自己動手推導兩個向量數量積的坐標公式，引導學生推導4個重要的結論！并在具體的問題中，讓學生建立方程的思想，更好的解決問題！

五、說教學過程

這節課我準備這樣進行：

首先提出問題：要算出兩個非零向量的數量積，我們需要知道哪些量？

繼續提出問題：假如知道兩個非零向量的坐標，是不是可以用這兩個向量的坐標來表示這兩個向量的數量積呢？

引導學生自己推導平面向量數量積的坐標表示公式，在此公式基礎上還可以引導學生得到以下幾個重要結論：

（1）模的計算公式

（2）平面兩點間的距離公式。

（3）兩向量夾角的余弦的坐標表示

（4）兩個向量垂直的標表示的充要條件

第二部分是例題講解，通過例題講解，使學生更加熟悉公式并會加以應用。

例題1是書上122頁例1，此題是直接用平面向量數量積的坐標公式的題，目的是讓學生熟悉這個公式，并在此題基礎上，求這兩個向量的夾角？目的是讓學生熟悉兩向量夾角的余弦的坐標表示公式例題2是直接證明直線垂直的題，雖然比較簡單，但體現了一種重要的證明方法，這種方法要讓學生掌握，其實這一例題也是兩個向量垂直坐標表示的充要條件的一個應用：即兩個向量的數量積是否為零是判斷相應的兩條直線是否垂直的重要方法之一。

例題3是在例2的基礎上稍微作了一下改變，目的是讓學生會應用公式來解決問題，并讓學生在這要有建立方程的思想。

再配以練習，讓學生能熟練的應用公式，掌握今天所學內容。

第三篇：平面向量的數量積教案

2.4.2平面向量數量積的坐標表示、模、夾角

教學目標：

1、知識目標:推導并掌握平面向量數量積的坐標表達式，會利用數量積求解向量的模、夾角及判定垂直等問題.2、能力目標:通過自主互助探究式學習,培養學生的自學能力,啟發學生用多角度去思考和解決問題的能力,促進學生對知識的掌握和靈活運用.3、情感目標:通過自主學習,增強學生的成就感,提高學生學習的積極性和自信心.教學重點:利用數量積的坐標表示解決模、夾角、垂直等問題.教學難點:平面向量數量積的坐標表達式的推導.教法:啟發式教學,講練結合 學法:自主互助探究式 教學用具:多媒體 教學過程設計:

一、復習引入

(教師提問,學生回答)

二、知識探究

1.平面向量數量積的坐標表示

????b?(x,y)a?b?x1x2?y1y2 a?(x,y)已知非零向量,22,則11(找學生到黑板上推導)結論:兩個向量數量積等于它們對應坐標的乘積的和.思考:向量數量積的坐標表示與前面所學的向量的坐標運算有什么聯系和區別?

(學生討論回答,教師歸納)例

???1.已知a?(2,3),b?(?2,4),c?(?1,?2),求: ??(1)a?b;(2)???a?(b?c);(3)

????(a?b)?(a?b);(4)??2(a?b).(教師講前兩問,學生做后兩問)

2.平面向量數量積的應用

(1)求模問題:

(讓學生自己推導)?i)a?(x,y),a??x?y22.(x2?x1)?(y2?y1)22ii)A(x,y1),B(x2,y2)1,AB?(平面上兩點間距離公式).?a1????iii)求a的單位向量e,e????aaa??,其中e??1.??例2.(1)已知a?(3,4),e是a的單位向量,求a,e.?(2)已知A(1,2),B(3,4),求

鞏固練習:P107練習1 ???已知a?(?3,4),b?(5,2),求aAB.,?b??,a?b

(2)判定向量的垂直關系:(讓學生自己推導)????a?b?a?b?0?x1x2?y1y2?0

??a//b?x1y2?x2y1?0

(對比記憶)例3.已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5),試判斷?ABC的形狀,并給出證明.(3)求向量的夾角:(讓學生自己推導)思考:i)?的范圍?

ii)由cos?能確定?嗎?為什么?

(找學生回答)例4.鞏固練習.P107 練習3

????已知a?(3,2),b?(5,?7),求a與b????設a?(5,?7),b?(?6,?4),求a?b??a?bcos?????abx1x2?y1y2x?y2121x?y222

2?及a?與b的夾角(精確到1).0的夾角(精確到1).0

思考:不使用計算器,結合上面的例題,能求出?的值嗎?(找學生回答)

三、能力提升

??已知a?(cos?,sin?),b?(cos?,sin?),證明

????(a?b)?(a?b).四、小結

這節課咱們一起學習了: 1.平面向量數量積的坐標表示 2.平面向量數量積的應用(1)求模;(2)判定垂直;(3)求夾角.希望大家在掌握的基礎上加以靈活應用.五、作業

P108 A組5(1),(2),(3)任選一個、9、11.六、課后探索題: ??已知a?(?2,?1),b?(x,1)

??(1)若a與b??(2)若a與b??(3)若a與b的夾角?為45,則實數x的值是_____;

0的夾角為銳角,則實數x的取值范圍是_____;的夾角為鈍角,則實數x的取值范圍是_____.

第四篇：《平面向量的數量積》教學設計及反思

《平面向量的數量積》教學設計及反思

交口第一中學

趙云鵬

平面向量的數量積是繼向量的線性運算之后的又一重要運算，也是高中數學的一個重要概念，它是溝通代數、幾何與三角函數的一種重要工具，在每年高考中也是重點考查的內容。向量作為一種運算工具，其知識體系是從實際的物理問題中抽象出來的，它在解決幾何問題中的三點共線、垂直、求夾角和線段長度、確定定比分點坐標以及平移等問題中顯示出了它的易理解和易操作的特點。

一、總體設想：

本節課的設計有兩條暗線：一是圍繞物理中物體做功，引入數量積的概念和幾何意義；二是圍繞數量積的概念通過變形和限定衍生出新知識――垂直的判斷、求夾角和線段長度的公式。教學方案可從三方面加以設計：一是數量積的概念；二是幾何意義和運算律；三是兩個向量的模與夾角的計算。

二、教學目標：

1.了解向量的數量積的抽象根源。

2.了解平面的數量積的概念、向量的夾角

3.數量積與向量投影的關系及數量積的幾何意義

4.理解掌握向量的數量積的性質和運算律，并能進行相關的判斷和計算

三、重、難點：

【重點】1.平面向量數量積的概念和性質

2.平面向量數量積的運算律的探究和應用 【難點】平面向量數量積的應用

四、課時安排：

2課時

五、教學方案及其設計意圖： 1．平面向量數量積的物理背景

平面向量的數量積，其源自對受力物體在其運動方向上做功等物理問題的抽象。首先說明放置在水平面上的物體受力F的作用在水平方向上的位移是s，此問題中出現了兩個矢量，即數學中所謂的向量，這時物體力F的所做的功為W?F?s?cos?，這里的?是矢量F和s的夾角，也即是兩個向量夾角的定義基礎，在定義兩個向量的夾角時，要使學生明確“把向量的起點放在同一點上”這一重要條件，并理解向量夾角的范圍。這給我們一個啟示：功是否是兩個向量某種運算的結果呢？以此為基礎引出了兩非零向量a, b的數量積的概念。2．平面向量數量積（內積）的定義

已知兩個非零向量ａ與ｂ，它們的夾角是θ，則數量|a||b|cos?叫ａ與ｂ的數量積，記作a?b，即有a?b = |a||b|cos?，（０≤θ≤π）.并規定0與任何向量的數量積為0.零向量的方向是任意的，它與任意向量的夾角是不確定的，按數量積的定義a?b = |a||b|cos?無法得到，因此另外進行了規定。3.兩個非零向量夾角的概念

已知非零向量ａ與ｂ，作OA＝ａ，則∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）OB＝ｂ，叫ａ與ｂ的夾角.a?b?a?bco?s，a?b是記法，a?bcos?是定義的實質――它是一個實數。按照推理，當0???2?2時，數量積為正數；當???時，數量積為零；

2當?????時，數量積為負。

4.“投影”的概念

定義：|b|cos?叫做向量b在a方向上的投影。

投影也是一個數量，它的符號取決于角?的大小。當?為銳角時投影為正值；當?為鈍角時投影為負值；當?為直角時投影為0；當? = 0?時投影為 |b|；當? = 180?時投影為 ?|b|.因此投影可正、可負，還可為零。

根據數量積的定義，向量b在a方向上的投影也可以寫成a?b a

注意向量a在b方向上的投影和向量b在a方向上的投影是不同的，應結合圖形加以區分。5．向量的數量積的幾何意義：

數量積a?b等于a的長度與b在a方向上投影|b|cos?的乘積.向量數量積的幾何意義在證明分配律方向起著關鍵性的作用。其幾何意義實質上是將乘積拆成兩部分：a和b?cos?。此概念也以物體做功為基礎給出。b?cos?是向量b在a的方向上的投影。6．兩個向量的數量積的性質： 設a、b為兩個非零向量，則

(1)a?b ? a?b = 0；

(2)當a與b同向時，a?b = |a||b|；當a與b反向時，a?b = ?|a||b|.特別的a?a = |a|2或|a|?a?a

(3)|a?b| ≤ |a||b|

(4)cos??a?b，其中?為非零向量a和b的夾角。a?b例1.(1)已知向量a ,b，滿足b?2,a與b的夾角為600,則b在a上的投影為______

(2)若b?4,a?b?6,則a在b方向上投影為 _______ 例2.已知a?3，b?4，按下列條件求a?b

(1)a//b

(2)a?b(3)a與b的夾角為 1500 7.平面向量數量積的運算律 1．交換律：a ? b = b ? a

證：設a，b夾角為?，則a ? b = |a||b|cos?，b ? a = |b||a|cos?

∴a ? b = b ? a

2．數乘結合律：(?a)?b =?(a?b)= a?(?b)證：若?> 0，(?a)?b =?|a||b|cos?，?(a?b)=?|a||b|cos?，a?(?b)=?|a||b|cos?，若?< 0，(?a)?b =|?a||b|cos(???)= ??|a||b|(?cos?)=?|a||b|cos?，?(a?b)=?|a||b|cos?，a?(?b)=|a||?b|cos(???)= ??|a||b|(?cos?)=?|a||b|cos?.3．分配律：(a + b)?c = a?c + b?c

在平面內取一點O，作OA= a，AB= b，OC= c，∵a + b（即OB）在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和，即

|a + b| cos? = |a| cos?1 + |b| cos?2

∴| c | |a + b| cos? =|c| |a| cos?1 + |c| |b| cos?2，∴c?(a + b)= c?a + c?b

即：(a + b)?c = a?c + b?c

說明：（1）一般地，(ａ·ｂ)с≠ａ（ｂ·с）

（2）ａ·с＝ｂ·с，с≠0

ａ＝ｂ

（3）有如下常用性質：ａ２＝｜ａ｜２，（ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａ·с＋ａ·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ(ａ＋ｂ)２＝ａ２＋２ａ·ｂ＋ｂ２

例3 已知a、b都是非零向量，且a + 3b與7a ? 5b垂直，a ? 4b與7a ? 2b垂直，求a與b的夾角.解：由(a + 3b)(7a ? 5b)= 0 ? 7a2 + 16a?b ?15b2 = 0

①

(a ? 4b)(7a ? 2b)= 0 ? 7a2 ? 30a?b + 8b2 = 0

② 兩式相減：2a?b = b2 代入①或②得：a2 = b2

a?bb21設a、b的夾角為?，則cos? =

∴? = 60? ??|a||b|2|b|225 評述：(1)在四邊形中，AB，BC，CD，DA是順次首尾相接向量，則其和向量是零向量，即ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0，應注意這一隱含條件應用；

(2)由已知條件產生數量積的關鍵是構造數量積，因為數量積的定義式中含有邊、角兩種關系.例4若記a?a?a2，求證：(1)(a?b)2?a2?2a?b?b2;(2)(a?b)(a?b)?a2?b2.以此作為今后求模的基礎。

圍繞向量的數量積的定義，可開發出解決幾何問題中有用的知識：垂直的判斷，夾角的計算和線段長度的計算。根據教學實際，有的數學知識可提出問題讓學生解決，并總結、概括出一般的結論或規律，但有些知識學生聽講時，理解起來都比較困難，就需要老師的講解，此時恰當的處理方式是：先讓學生學會，再說明道理。這里，兩個向量垂直的判斷和夾角的計算，可通過讓學生自己做題后總結出來；而計算模則需要老師講解并加以強化：由a2?a?a?a?a?c0o?sa2a?b?a?bcos?，當b = a時，?a?a2.接著演示例題并練習。

〖例2〗已知a?2,b?3,且a, b夾角是60?，求a?(a?b);a?b.小結與反思：

以問題的形式，來反饋一節課的重點是否突出，難點是否突破。

問題一：關于向量的數量積的概念包括哪些主要內容？如何引入的？

問題二：說出向量數量積的幾何意義及運算律。

問題三：用向量的數量積可解決幾何中的哪三大問題？如何解決？ ? 數量積的概念包括兩個非零向量的夾角的定義和范圍、數量積的定義。? 向量數量積的幾何意義是：a ? b是向量a的模與向量b在向量a方向上的投影的乘積；運算律有三條：??。

? 用向量的數量積可解決幾何中三大問題：垂直的判斷、夾角的計算和求線段長度。⑴a?b?a?b?0； ⑵cos??a?b2a?a ⑶。a?b；板書設計：整個板面分成三列，把重點知識數量積的定義放在中間顯著位置。由其衍生出來的幾何意義、運算律放在其下面，再把后面的三大問題放在中間一列的中間位置；左邊一列，是兩個向量夾角的相關概念；右列集中放例題。

教學記：本節課的設計注重教學目標的明確；注重根據學生的認知規律而科學地進行知識序列的呈現；注重調動學生參與教學活動；注重課堂效果的實效性。高中數學教學應體現知識的來龍去脈，創設問題情景，建立數學模型，讓學生經歷數學知識的形成與應用，可以更好的理解數學概念、結論的形成過程，體會蘊含在其中的思想方法，增強學好數學的愿望和信心。對于抽象數學概念的教學，要關注概念的實際背景與形成過程，幫助學生克服機械記憶概念的學習方式。教師是學生學習的引導者、組織者，教師在教學中的作用必須以確定學生主體地位為前提，教學過程中要發揚民主，要鼓勵學生質疑，提倡獨立思考、動手實踐、自主探索、閱讀自學等學習方式。對于教學中問題情境的設計、教學過程的展開、練習的安排等，要盡可能地讓所有學生都能主動參與，提出各自解決問題的方案，并引導學生在與他人的交流中選擇合適的策略，使學生切實體會到自主探索數學的規律和問題解決是學好數學的有效途徑。

第五篇：平面向量的數量積及其應用教學設計說明

平面向量的數量積及其應用設計立意及思路

平面向量在教材中獨立成章，它既反映了現實世界的數量關系，又體現了幾何圖形的位置關系，具有代數形式和幾何形式的“雙重身份”，它將數和形有機地結合起來，是中學數學知識網絡的一個“交匯點”，成為聯系眾多知識內容的媒介。特別是在處理解析幾何的有關度量、角度、平行、垂直、共線等問題時，運用向量知識，可以使幾何問題直觀化、符號化、數量化，從而把“定性”研究推向“定量”研究。

由于向量具有“雙重性”，所以，向量成為了“在知識網絡交匯處設計試題”的很好載體。而在知識交匯點處命題，既是當今高考的熱點，又是重點。從近幾年高考試卷來看，對向量的考查除了直接考查平面向量外，還將向量與解析幾何、向量與三角等內容相結合，以平面向量的相關知識為載體，以數形轉化思想為主線，在知識網絡交匯點處設計創新力度大，綜合性強的問題。因此，研究向量與其它內容的綜合運用，對培養學生的綜合能力（尤其是培養學生從學科整體的高度解決問題的綜合能力）和數學素養，把握高考命題趨勢，都有著重要的意義。，本節課復習目標是在回顧和梳理基礎知識的基礎上，突出平面向量的數量與其他知識的綜合運用，滲透用向量解決問題的思想方法，從而提高學生分析問題與綜合運用知識解決問題的能力，使學生站在新的高度來認識和理解向量。在知識點4.平面向量數量積運算律的回顧中安排“思考討論：????????????????????????a?b?a?c,乙:b?c,則 以及在雙基訓練3．甲：(a?b)c與a(b?c)是否相等?”甲是乙的什么條件的判斷。目的是讓學生通過通討論和練習，深刻認識到向量數量積運算中“結合律”及“消去律”是不成立的。

例

1、是以平面向量的知識為平臺，與三角函數的有關運算綜合。第（1）小題目的是讓學生理解并掌握體向量垂直問題的多種證明方法，常用的方法有三種，一是根據數量積的定義證明，二是利用數量積的坐標運算來證明，三是利用

????向量運算的幾何意義來證。第（2）小題目的是讓學生掌握a?b?|a|?|b|，但反之不成立，并將向量相等問題轉化為模相等問題，建立等量關系。

例2是函數的最值與向量綜合問題，用兩種方法建立函數關系式，體現向量具有代數形式和幾何形式“雙重性”，培養學生的綜合應用能力。