第一篇：高中數學新課程創新教學設計案例50篇 40 平面向量的數量積
平面向量的數量積
教材分析
兩個向量的數量積是中學代數以往內容中從未遇到過的一種新的乘法，它區別于數的乘法．這篇案例從學生熟知的功的概念出發，引出平面向量數量積的概念和性質及其幾何意義，介紹向量數量積的運算律及坐標表示．向量的數量積把向量的長度和三角函數聯系在一起，這為解決三角形的有關問題提供了方便，特別是能有效解決線段的垂直等問題．這節內容是整個向量部分的重要內容之一，對它的理解與掌握將直接影響向量其他內容的學習．這節內容的教學難點是對平面向量數量積的定義及運算律的理解和對平面向量數量積的應用．
教學目標
1.理解并掌握平面向量的數量積、幾何意義和數量積的坐標表示，會初步使用平面向量的數量積來處理有關長度、角度和垂直的問題，掌握向量垂直的條件．
2.通過對數量積的引入和應用，初步體會知識發生、發展的過程和運用過程，培養學生的科學思維習慣．
任務分析
兩個向量的數量積從形式和實質上都與數的乘法有區別，這就給理解和掌握這個概念帶來了一些困難．在學習時，要充分讓學生理解、明白兩個向量的數量積是一個數量，而不是向量．兩個向量的數量積的值是這兩個向量的模與兩個向量夾角余弦的乘積，其符號由夾角余弦值的正負而確定．
兩向量的數量積“a·b”不同于兩實數之積“ab”．
通過實例理解a·b＝b·c與a＝c的關系，a·b＝0與a＝0或b＝0的關系，以及（a·b）c＝a（b·c）與（ab）c＝a（bc）的不同．
教學設計
一、問題情景
如圖40-1所示，一個力f作用于一個物體，使該物體發生了位移s，如何計算這個力所做的功．由于圖示的力f的方向與前進方向有一個夾角θ，真正使物體前進的力是f在物體前進方向上的分力，這個分力與物體位移的乘積才是力f做的功．即力f使物體位移x所做的功W可用下式計算．
W＝｜s｜｜f｜cosθ．
其中｜f｜cosθ就是f在物體前進方向上的分量，也就是力f在物體前進方向上正射影的數量．
問題：像功這樣的數量值，它由力和位移兩個向量來確定．我們能否從中得到啟發，把“功”看成這兩個向量的一種運算的結果呢？
二、建立模型
1.引導學生從“功”的模型中得到如下概念：
已知兩個非零向量a與b，把數量｜a｜｜b｜cosθ叫a與b的數量積（內積），記作a·b＝｜a｜｜b｜cosθ．其中θ是a與b夾角，｜a｜cosθ（｜b｜cosθ）叫a在b方向上（b在a方向上）的投影．
規定0與任一向量的數量積為０．
由上述定義可知，兩個向量ａ與ｂ的數量積是一個實數．
說明：向量a與b的夾角θ是指把a，b起點平移到一起所成的夾角，其中0≤θ≤π．當θ＝時，稱a和b垂直，記作a⊥b．為方便起見，a與b的夾角記作〈a，b〉． 2.引導學生思考討論
根據向量數量積的定義，可以得出
（1）設e是單位向量，a·e＝｜a｜cos〈a，e〉．（2）設a·b是非零向量，則a⊥b（3）a·a＝｜a｜2，于是｜a｜＝
a·b＝0．
.（4）cos〈a，b〉＝.（5）｜a·b｜≤｜a｜｜b｜（這與實數｜ab｜＝｜a｜｜b｜不同）．
三、解釋應用 ［例 題］
已知｜a｜＝5，｜b｜＝4，〈a，b〉＝120°，求a·b． 解：a·b＝｜a｜｜b｜cos〈a，b〉＝5×4×cos120°＝－10． ［練習］
1.已知｜a｜＝3，ｂ在ａ上的投影為－2，求：（1）a·ｂ．
（2）a在b上的投影．
2.已知：在△ABC中，a＝5，b＝8，c＝60°，求
四、建立向量數量積的運算律
·．
1.出示問題：從數學的角度考慮，我們希望向量的數量積運算，也能像數量乘法那樣滿足某些運算律，這樣數量積運算才更富有意義．回憶實數的運算律，你能類比和歸納出向量數量積的一些運算律嗎？它們成立嗎？為什么？
2.運算律及其推導
已知：向量a，b，c和λ∈R，則（1）a·b＝b·a（交換律）． 證明：左＝｜a｜｜b｜cosθ＝右．
（2）（λa）·b＝λ（a·b）＝a·（λb）（數乘結合律）． 證明：設a，b夾角為θ，當λ＞0時，λa與b的夾角為θ，∴（λa）·b＝（λa）·｜b｜cosθ＝λ｜a｜｜b｜cosθ＝λ（a·b）； 當λ＜0時，λa與b的夾角為（π－θ），∴（λa）·b＝｜λa｜｜b｜cos（π－θ）＝－λ｜a｜｜b｜（－cosθ）＝λ｜a｜｜b｜cosθ＝λ（a·b）；
當λ＝0時，（λa）·b＝0·b＝0＝λ（a·b）． 總之，（λa）·b＝λ（a·b）； 同理a·（λb）＝λ（a·b）．（3）（a＋b）·c＝a·c＋b·c（乘法對加法的分配律）．
證明：如圖40-2，任取一點O，作＝a，＝ｂ，＝c．
∵a＋b（即）在c方向上的投影等于a，b在c方向上的投影的和，即
｜a＋b｜cosθ＝｜a｜cosθ1＋｜b｜cosθ2，∴｜c｜｜a＋b｜cosθ＝｜c｜（｜a｜cosθ1＋｜b｜cosθ2）＝ ｜c｜｜a｜cosθ1＋｜c｜｜b｜cosθ2＝c·a＋c·b，∴（a＋b）·c＝a·c＋b·c．
思考：（1）向量的數量積滿足結合律，即（a·b）c＝a（b·c）嗎？（2）向量的數量積滿足消去律，即如果a·b＝c·b，那么a＝c嗎？
五、應用與深化 ［例 題］
1.對實數a，b，有（a＋b）＝a＋2ab＋b，（a＋b）（a－b）＝a－b．類似地，對任意向量a，b，也有類似結論嗎？為什么？
解：類比完全平方和公式與平方差公式，有
（a＋b）2＝a2＋2a·b＋b2，（a＋b）·（a－b）＝a2－b2． 其證明是：（a＋b）＝（a＋b）·（a＋b）＝ a·a＋a·b＋b·a＋b·b＝ a2＋2a·b＋b2，2
2（a＋b）·（a－b）＝a·a－a·b＋b·a－b·b＝ a2－b2． ∴有類似結論．
2.已知｜a｜＝6，｜b｜＝4，〈a，b〉＝60°，求（a＋2b）·（a－3b）． 解：（a＋2b）·（a－3b）＝ a2－3a·b＋2b·a－6b2＝
｜a｜－｜a｜｜b｜cos60°－6｜b｜＝－72．
3.已知｜a｜＝3，｜b｜＝4，且a與b不共線．當k為何值時，（a＋kb）⊥（a－kb）？ 解：（a＋kb）⊥（a－kb），即（a＋kb）·（a－kb）＝0，即a2－k2b2＝0，即9－k2×16＝0，k＝±． 2
2因此，當k＝±時，有（a＋kb）⊥（a－kb）．
4.已知：正方形ABCD的邊長為1，并且＝a，＝b，＝c，求｜a＋b＋c｜．
解法1：∵a＋b＋c＝＋＋＝2，∴｜a＋b＋c｜＝2＝2．
解法2：｜a＋b＋c｜2＝（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2a·c＋2b·c＝1＋1＋2＋2×1×1×cos90°＋2×1×
［練習］
1.｜a｜＝4，｜b｜＝3，（2a－3b）·（2a＋b）＝61，求a與b的夾角θ．
×
＋2×1×
×
＝8，∴｜a＋b＋c｜＝2
．
2.在邊長為2的正三角形ABC中，求
六、拓展延伸
·＋·＋·．
1.當向量a，b的夾角為銳角時，你能說明a·b的幾何意義嗎？ 如圖40-3，a·b，即以b在a上射影的長和ａ的長為兩鄰邊的矩形面積（OA＝OA1）．
2.平行四邊形是表示向量加法與減法的幾何模型，如圖40-4，＝－
＝＋，．試說明平行四邊形對角線的長度與兩條鄰邊長度之間的關系．
3.三個單位向量a，b，c有相同終點且a＋b＋c＝0，問：它們的起點連成怎樣的三角形？
解法1：如圖40-5，∵｜a｜＝｜b｜＝｜c｜＝1，a＋b＋c＝0，∴a＋b＝－c，∴（a＋b）＝（－c）2，2∴a2＋b2＋2a·b＝c2，∴2｜a｜·｜b｜cos∠AOC＝－1，cos∠AOC＝，∠AOC＝120°． 同理∠BOC＝∠AOC＝120°，故△AOB，△BOC，△BOC全等，∴AB＝AC＝BC，即該△ABC為等邊三角形．
解法2：如圖40-6，．
＝c，＝－a，＝－b，由a＋b＋c＝0，即＝＋
∵｜a｜＝｜b｜＝1，∴OADB為菱形．
又｜｜＝1，∴∠AOB＝120°．
同理∠AOC＝∠BOC＝120°，…
4.在△ABC中，·＝·＝·，問：O點在△ABC的什么位置？
解：由同理⊥·，＝⊥
·，即·（－）＝0，即·＝0，∴⊥，．故O是△ABC的垂心．
點 評
這篇案例的一個突出特點是使用類比方法，即在研究向量的數量積的性質及運算律時，經常以實數為對象進行類比．以物理學中的力對物體做功的實例，引入數量積的過程比較自然，學生容易接受．在“拓展延伸”中，較多地展示了向量的綜合應用．這都充分體現了向量是數形結合的重要載體．運用向量方法解決與向量有關的綜合問題，越來越成為考查學生數學思維能力的一個重要方面．認識向量并會使用向量是這一部分的基礎，也是重點．總之，這篇案例較好地實現了教學目標，同時，關注類比方法的運用，以及學生數學思維水平的提高．美中不足的是，對學生的自主探究的引導似乎有所欠缺．
第二篇：高中數學新課程創新教學設計案例50篇__40-43平面向量
平面向量的數量積
教材分析
兩個向量的數量積是中學代數以往內容中從未遇到過的一種新的乘法，它區別于數的乘法．這篇案例從學生熟知的功的概念出發，引出平面向量數量積的概念和性質及其幾何意義，介紹向量數量積的運算律及坐標表示．向量的數量積把向量的長度和三角函數聯系在一起，這為解決三角形的有關問題提供了方便，特別是能有效解決線段的垂直等問題．這節內容是整個向量部分的重要內容之一，對它的理解與掌握將直接影響向量其他內容的學習．這節內容的教學難點是對平面向量數量積的定義及運算律的理解和對平面向量數量積的應用．
教學目標
1.理解并掌握平面向量的數量積、幾何意義和數量積的坐標表示，會初步使用平面向量的數量積來處理有關長度、角度和垂直的問題，掌握向量垂直的條件．
2.通過對數量積的引入和應用，初步體會知識發生、發展的過程和運用過程，培養學生的科學思維習慣．
任務分析
兩個向量的數量積從形式和實質上都與數的乘法有區別，這就給理解和掌握這個概念帶來了一些困難．在學習時，要充分讓學生理解、明白兩個向量的數量積是一個數量，而不是向量．兩個向量的數量積的值是這兩個向量的模與兩個向量夾角余弦的乘積，其符號由夾角余弦值的正負而確定．
兩向量的數量積“a·b”不同于兩實數之積“ab”．
通過實例理解a·b＝b·c與a＝c的關系，a·b＝0與a＝0或b＝0的關系，以及（a·b）c＝a（b·c）與（ab）c＝a（bc）的不同．
教學設計
一、問題情景
如圖40-1所示，一個力f作用于一個物體，使該物體發生了位移s，如何計算這個力所做的功．由于圖示的力f的方向與前進方向有一個夾角θ，真正使物體前進的力是f在物體前進方向上的分力，這個分力與物體位移的乘積才是力f做的功．即力f使物體位移x所做的功W可用下式計算．
W＝｜s｜｜f｜cosθ．
其中｜f｜cosθ就是f在物體前進方向上的分量，也就是力f在物體前進方向上正射影的數量．
問題：像功這樣的數量值，它由力和位移兩個向量來確定．我們能否從中得到啟發，把“功”看成這兩個向量的一種運算的結果呢？
二、建立模型
1.引導學生從“功”的模型中得到如下概念：
已知兩個非零向量a與b，把數量｜a｜｜b｜cosθ叫a與b的數量積（內積），記作a·b＝｜a｜｜b｜cosθ．其中θ是a與b夾角，｜a｜cosθ（｜b｜cosθ）叫a在b方向上（b在a方向上）的投影．
規定0與任一向量的數量積為０．
由上述定義可知，兩個向量ａ與ｂ的數量積是一個實數．
說明：向量a與b的夾角θ是指把a，b起點平移到一起所成的夾角，其中0≤θ≤π．當θ＝時，稱a和b垂直，記作a⊥b．為方便起見，a與b的夾角記作〈a，b〉． 2.引導學生思考討論
根據向量數量積的定義，可以得出
（1）設e是單位向量，a·e＝｜a｜cos〈a，e〉．（2）設a·b是非零向量，則a⊥b（3）a·a＝｜a｜2，于是｜a｜＝
a·b＝0．
.（4）cos〈a，b〉＝.（5）｜a·b｜≤｜a｜｜b｜（這與實數｜ab｜＝｜a｜｜b｜不同）．
三、解釋應用 ［例 題］
已知｜a｜＝5，｜b｜＝4，〈a，b〉＝120°，求a·b． 解：a·b＝｜a｜｜b｜cos〈a，b〉＝5×4×cos120°＝－10． ［練習］
1.已知｜a｜＝3，ｂ在ａ上的投影為－2，求：（1）a·ｂ．
（2）a在b上的投影．
2.已知：在△ABC中，a＝5，b＝8，c＝60°，求
四、建立向量數量積的運算律
·．
1.出示問題：從數學的角度考慮，我們希望向量的數量積運算，也能像數量乘法那樣滿足某些運算律，這樣數量積運算才更富有意義．回憶實數的運算律，你能類比和歸納出向量數量積的一些運算律嗎？它們成立嗎？為什么？
2.運算律及其推導
已知：向量a，b，c和λ∈R，則（1）a·b＝b·a（交換律）． 證明：左＝｜a｜｜b｜cosθ＝右．
（2）（λa）·b＝λ（a·b）＝a·（λb）（數乘結合律）． 證明：設a，b夾角為θ，當λ＞0時，λa與b的夾角為θ，∴（λa）·b＝（λa）·｜b｜cosθ＝λ｜a｜｜b｜cosθ＝λ（a·b）； 當λ＜0時，λa與b的夾角為（π－θ），∴（λa）·b＝｜λa｜｜b｜cos（π－θ）＝－λ｜a｜｜b｜（－cosθ）＝λ｜a｜｜b｜cosθ＝λ（a·b）；
當λ＝0時，（λa）·b＝0·b＝0＝λ（a·b）． 總之，（λa）·b＝λ（a·b）； 同理a·（λb）＝λ（a·b）．（3）（a＋b）·c＝a·c＋b·c（乘法對加法的分配律）．
證明：如圖40-2，任取一點O，作＝a，＝ｂ，＝c．
∵a＋b（即）在c方向上的投影等于a，b在c方向上的投影的和，即
｜a＋b｜cosθ＝｜a｜cosθ1＋｜b｜cosθ2，∴｜c｜｜a＋b｜cosθ＝｜c｜（｜a｜cosθ1＋｜b｜cosθ2）＝ ｜c｜｜a｜cosθ1＋｜c｜｜b｜cosθ2＝c·a＋c·b，∴（a＋b）·c＝a·c＋b·c．
思考：（1）向量的數量積滿足結合律，即（a·b）c＝a（b·c）嗎？（2）向量的數量積滿足消去律，即如果a·b＝c·b，那么a＝c嗎？
五、應用與深化 ［例 題］
1.對實數a，b，有（a＋b）＝a＋2ab＋b，（a＋b）（a－b）＝a－b．類似地，對任意向量a，b，也有類似結論嗎？為什么？
解：類比完全平方和公式與平方差公式，有
（a＋b）2＝a2＋2a·b＋b2，（a＋b）·（a－b）＝a2－b2． 其證明是：（a＋b）＝（a＋b）·（a＋b）＝ a·a＋a·b＋b·a＋b·b＝ a2＋2a·b＋b2，2
2（a＋b）·（a－b）＝a·a－a·b＋b·a－b·b＝ a2－b2． ∴有類似結論．
2.已知｜a｜＝6，｜b｜＝4，〈a，b〉＝60°，求（a＋2b）·（a－3b）． 解：（a＋2b）·（a－3b）＝ a2－3a·b＋2b·a－6b2＝
｜a｜－｜a｜｜b｜cos60°－6｜b｜＝－72．
3.已知｜a｜＝3，｜b｜＝4，且a與b不共線．當k為何值時，（a＋kb）⊥（a－kb）？ 解：（a＋kb）⊥（a－kb），即（a＋kb）·（a－kb）＝0，即a2－k2b2＝0，即9－k2×16＝0，k＝±． 2
2因此，當k＝±時，有（a＋kb）⊥（a－kb）．
4.已知：正方形ABCD的邊長為1，并且＝a，＝b，＝c，求｜a＋b＋c｜．
解法1：∵a＋b＋c＝＋＋＝2，∴｜a＋b＋c｜＝2＝2．
解法2：｜a＋b＋c｜2＝（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2a·c＋2b·c＝1＋1＋2＋2×1×1×cos90°＋2×1×
［練習］
1.｜a｜＝4，｜b｜＝3，（2a－3b）·（2a＋b）＝61，求a與b的夾角θ．
×
＋2×1×
×
＝8，∴｜a＋b＋c｜＝2
．
2.在邊長為2的正三角形ABC中，求
六、拓展延伸
·＋·＋·．
1.當向量a，b的夾角為銳角時，你能說明a·b的幾何意義嗎？ 如圖40-3，a·b，即以b在a上射影的長和ａ的長為兩鄰邊的矩形面積（OA＝OA1）．
2.平行四邊形是表示向量加法與減法的幾何模型，如圖40-4，＝－
＝＋，．試說明平行四邊形對角線的長度與兩條鄰邊長度之間的關系．
3.三個單位向量a，b，c有相同終點且a＋b＋c＝0，問：它們的起點連成怎樣的三角形？
解法1：如圖40-5，∵｜a｜＝｜b｜＝｜c｜＝1，a＋b＋c＝0，∴a＋b＝－c，∴（a＋b）＝（－c）2，2∴a2＋b2＋2a·b＝c2，∴2｜a｜·｜b｜cos∠AOC＝－1，cos∠AOC＝，∠AOC＝120°． 同理∠BOC＝∠AOC＝120°，故△AOB，△BOC，△BOC全等，∴AB＝AC＝BC，即該△ABC為等邊三角形．
解法2：如圖40-6，．
＝c，＝－a，＝－b，由a＋b＋c＝0，即＝＋
∵｜a｜＝｜b｜＝1，∴OADB為菱形．
又｜｜＝1，∴∠AOB＝120°．
同理∠AOC＝∠BOC＝120°，…
4.在△ABC中，·＝·＝·，問：O點在△ABC的什么位置？
解：由同理⊥·，＝⊥
·，即·（－）＝0，即·＝0，∴⊥，．故O是△ABC的垂心．
兩角和與差的余弦
教材分析
這節內容是在掌握了任意角的三角函數的概念、向量的坐標表示以及向量數量積的坐標表示的基礎上，進一步研究用單角的三角函數表示的兩角和與差的三角函數．這些內容在高等數學、電功學、力學、機械設計與制造等方面有著廣泛的應用，因此要求學生切實學好，并能熟練的應用，以便為今后的學習打下良好的基礎． “兩角差的余弦公式”在教科書中采用了一種易于教學的推導方法，即先借助于單位圓中的三角函數線，推出α，β，α－β均為銳角時成立．對于α，β為任意角的情況，教材運用向量的知識進行了探究．同時，補充了用向量的方法推導過程中的不嚴謹之處，這樣，兩角差的余弦公式便具有了一般性．
這節課的重點是兩角差的余弦公式的推導，難點是把公式中的α，β角推廣到任意角．
教學目標
1.通過對兩角差的余弦公式的探究過程，培養學生通過交流，探索，發現和獲得新知識的能力．
2.通過兩角差的余弦公式的推導，體會知識的發生、發展的過程和初步的應用過程，培養學生科學的思維方法和勇于探索的科學精神．
3.能正確運用兩角差的余弦公式進行簡單的三角函數式的化簡、求值和恒等式證明．
任務分析
這節內容以問題情景中的問題作為教學的出發點，利用單位圓中的三角函數線和平面向量的數量積的概念推導出結論，并不斷補充推導過程中的不嚴謹之處．推導過程采用了從特殊到一般逐層遞進的思維方法，學生易于接受．整個過程始終結合單位圓，以強調其直觀性．對于公式中的α和β角要強調其任意性．數學中要注意運用啟發式，切忌把結果直接告訴學生，盡量讓學生通過觀察、思考和探索，自己發現公式，使學生充分體會到成功的喜悅，進一步激發學生的學習興趣，調動他們學習的積極性，從而使其自覺主動地學習．
教學過程
一、問題情景
我們已經學過誘導公式，如
可以這樣來認識以上公式：把角α轉動，則所得角α＋的正弦、余弦分別等于cosα和－sinα．把角α轉動π，則所得角α＋π的正弦、余弦分別等于－sinα和－cosα． 由此，使我們想到一個一般性的問題：如果把角α的終邊轉動β（度或弧度），那么所得角α＋β的正弦、余弦如何用α或β的正弦、余弦來表示呢？ 出示一個實際問題：
右圖41-1是架在小河邊的一座吊橋的示意圖．吊橋長AB＝ａ（m），A是支點，在河的左岸．點C在河的右岸，地勢比A點高．AD表示水平線，∠DAC＝α，α為定值．∠CAB＝β，β隨吊橋的起降而變化．在吊橋起降的過程中，如何確定點B離開水平線AD的高度BE？
由圖可知BE＝asin（α＋β）．
我們的問題是：如何用α和β的三角函數來表示sin（α＋β）．如果α＋β為銳角，你能由α，β的正弦、余弦求出sin（α＋β）嗎？
引導學生分析：事實上，我們在研究三角函數的變形或計算時，經常提出這樣的問題：能否用α，β的三角函數去表示α±β的三角函數？為了解決這類問題，本節首先來探索α－β的余弦與α，β的函數關系式．
更一般地說，對于任意角α，β，能不能用α，β的三角函數值把α＋β或α－β的三角函數值表示出來呢？
二、建立模型 1.探 究
（1）猜想：cos（α－β）＝cosα－cosβ．（2）引導學生通過特例否定這一猜想．
例如，α＝60°，β＝30°，可以發現，左邊＝cos（60°－30°）＝cos30°＝－cos30°＝－，右邊＝cos60°．顯然，對任意角α，β，cos（α－β）＝cosα－cosβ不成立．
（3）再引導學生從道理上否定這一猜想．
不妨設α，β，α－β均為銳角，則α－β＜α，則cos（α－β）＞cosα．又cosβ＞０，所以cos（α－β）＞cosα－cosβ． 2.分析討論
（1）如何把α，β，α－β角的三角函數值之間建立起關系？要獲得相應的表達式需要哪些已學過的知識？
（2）由三角函數線的定義可知，這些角的三角函數值都與單位圓中的某些有向線段有關系，那么，這些有向線段之間是否有關系呢？
3.教師明晰
通過學生的討論，教師引導學生作出以下推理：
設角α的終邊與單位圓的交點為P1，∠POP1＝β，則∠POx＝α－β．
過點P作PM⊥x軸，垂足為M，那么，OM即為α－β角的余弦線，這里要用表示α，β的正弦、余弦的線段來表示OM．
過點P作PA⊥OP1，垂足為A，過點A作AB⊥x軸，垂足為B，再過點P作PC⊥AB，垂足為C，那么cosβ＝OA，sinβ＝AP，并且∠PAC＝∠P1Ox＝α，于是
OM＝OB＋BM＝OB＋CP＝OAcosα＋APsinα＝ cosβcosα＋sinβsinα． 4.提出問題，組織學生討論
（1）當α，β，α－β為任意角時，上述推導過程還能成立嗎？
若要說明此結果是否對任意角α，β都成立，還要做不少推廣工作，可引導學生獨立思考．
事實上，根據誘導公式，總可以把α，β的三角函數化為（0，）內的三角函數，再根據cos（－β）＝cosβ，把α－β的余弦，化為銳角的余弦．因此，三、解釋應用
［例 題］
1.求cos15°及cos105°的值．
分析：本題關鍵是將15°角分成45°與30°的差或者分解成60°與45°的差，再利用兩角差的余弦公式即可求解．對于cos105°，可進行類似地處理，cos105°＝cos（60°＋45°）．
2.已知sinα＝的值．，α∈（，π），cosβ＝－，且β是第三象限的角，求cos（α＋β）分析：觀察公式Cα＋β與本題已知條件應先計算出cosα，cosβ，再代入公式求值．求cosα，cosβ的值可借助于同角三角函數的平方關系，并注意α，β的取值范圍來求解．
［練習］
1.（1）求sin75°的值．
（2）求cos75°cos105°＋sin75°sin105°的值．（3）化簡cos（A＋B）cosB＋sin（A＋B）sinB．（4）求cos215°－sin215°的值．
分析：對于（1），可先用誘導公式化sin75°為cos15°，再用例題1中的結果即可．對于（2），逆向使用公式Cα-β，即可將原式化為cos30°．對于（3），可以把A＋B角看成一個整體，去替換Cα-β中的α角，用B角替換β角．
2.（1）求證：cos（－α）＝sinα．
（2）已知sinθ＝，且θ為第二象限角，求cos（θ－）的值．
（3）已知sin（30°＋α）＝，60°＜α＜150°，求cosα．
分析：（1）和（差）公式可看成誘導公式的推廣，誘導公式是和（差）公式的特例．（2）在三角函數求值問題中，變角是一種常用的技巧，α＝（30°＋α）－30°，這樣可充分利用題中已知的三角函數值．
3.化簡cos（36°＋α）cos（α－54°）＋sin（36°＋α）sin（α－54°）．
分析：這里可以把角36°＋α與α－54°均看成單角，進而直接運用公式Cα-β，不必將各式展開后再計算．
分析：本題是一道綜合題，由于cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ，欲求cos（α－β）的值，只須將已知兩式平方相加求出cosαcosβ＋sinαsinβ即可．
四、拓展延伸
1.由任意角三角函數定義，可知角α，β的終邊與單位圓交點的坐標均可用α，β的三角函數表示，即α－β角與導公式Cα-β呢？
教師引導學生分析：在平面直角坐標系xOy內作單位圓O，以Ox為始邊作角α，β，它們的終邊與單位圓的交點為A，B，則由向量數量積的概念，有
＝（cosα，sinα），＝（cosβ，sinβ）．，兩向量的夾角有關，那么能否用向量的有關知識來推·＝｜｜｜｜cos（α－β）＝cos（α－β）．
由向量的數量積的坐標表示，有
·＝cosαcosβ＋sinαsinβ．
于是，有
cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ．
依據向量數量積的概念，角α－β必須符合０≤α－β≤π，即在此條件下，以上推導才是正確的．
由于α，β都是任意角，α－β也是任意角，因此，須研究α－β為任意角時，以上推導是否正確．
當α－β為任意角時，由誘導公式總可以找到一個角θ，θ∈［0，2π），使cosθ＝cos（α－β）．
若θ∈［0，π］，則·＝cosθ＝cos（α－β）；
若θ∈［π，2π］，則2π－θ∈［0，π］，且 ·＝cos（2π－θ）＝cosθ＝cos（α－β）．
于是，對于任意角α，β都有
2.教師提出進一步拓展性問題：本節問題情景中，涉及如何用sinα，sinβ，cosα，cosβ來表示sin（α＋β）的問題，試探索與研究sin（α＋β）的表達式．
兩角和與差的正弦
教材分析
在這節內容中，公式較多，一旦處理不當，將成為學生學習的一種負擔．針對這個特點，應充分揭示公式的內在聯系，使學生理解公式的形成過程及其使用條件，在公式體系中掌握相關的公式．同時，通過練習使學生能夠熟練地運用這些公式．當然，這些公式的基礎是兩角和差的余弦公式．通過誘導公式sin（－α）＝sinα，sinπ（－α）＝cosα（α為任意
－（α＋β）］角），可以實現正、余弦函數間的轉換，也可推廣為sin（α＋β）＝ｃｏｓ［＝cos［（－α）－β］，sin（α－β）＝［
－（α－β）］＝cos［（－α）＋β］.借助于Cα+β和Cα-β即可推導出公式Sα+β和Sα-β．Cα+β，Cα-β，Sα+β和Sα-β四個公式的左邊均為兩角和與差的正、余弦，右邊均為單角α，β的正、余弦形式．不同點為公式Sα+β，Sα-β兩邊的運算符號相同，Cα+β與Cα-β兩邊的運算符號相反．Sα+β與Sα-β中右邊是兩單角異名三角函數的乘積，而Cα-β與Cα+β的右邊是兩單角同名三角函數的乘積．
任務分析
這節課計劃采用啟發引導和講練結合的教學方式，對三角函數中的每一個公式要求學生會推導，會使用，要求不但掌握公式的原形，還應掌握它們的變形公式，會把“asinｘ＋bcosｘ”類型的三角函數化成一個角的三角函數．在課堂教學中，將采用循序漸進的原則，設計有一定梯度的題目，以利于培養學生通過觀察、類比的方法去分析問題和解決問題的能力，培養學生良好的思維習慣．在教學中，及時提醒學生分析、探索、化歸、換元、類比等常用的基本方法在三角變換中的作用．這節課的重點是準確、熟練、靈活地運用兩角和差的正、余弦公式進行三角函數式的求值、化簡和證明，難點是公式的變形使用和逆向使用．
教學目標 1.能用兩角差的余弦公式導出兩角和的余弦公式，兩角和差的正弦公式，并了解各個公式之間的內在聯系．
2.能運用兩角和差的正、余弦公式進行三角函數式的化簡、求值和證明．
3.通過公式的推導過程，培養學生的邏輯思維能力，同時滲透數學中常用的換元、整體代換等思想方法．
教學過程
一、問題情景
如圖42-1，為了保持在道路拐彎處的電線桿OB的穩固性，要加一根固定鋼絲繩，要求鋼絲繩與地面成75°角．已知電線桿的高度為5m，問：至少要準備多長的鋼絲繩？
設電線桿與地面接觸點為B，頂端為O，鋼絲繩與地面接觸點為A． 在Rt△AOB中，如果能求出sin75°的值，那么即可求出鋼絲繩的長度．75°角可表示成兩個特殊角45°與30°的和，那么sin75°的值能否用這兩特殊角的三角函數值來表示呢？
二、建立模型 1.探 究
已知cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ，則sin（α＋β），sin（α－β）中的角及函數名與cos（α＋β）和cos（α－β）有何關系？ 通過誘導公式可實現正、余弦函數的轉換，即sin（α＋β）＝推導以上公式的方法并不是唯一的，其他推導方法由學生課后自己探索． 3.分析公式的結構特征
Sα+β與Sα-β中兩邊的加減運算符號相同，右邊為α與β角的異名三角函數的乘積．應特別注意公式兩邊符號的差異．
三、解釋應用 ［例題一］
已知sinα＝－，且α為第四象限角，求sin（－α）cos（＋α）的值．
分析：本題主要訓練公式Sα-β與Sα+β的使用．
由sinα＝－及α為第四象限角，可求出cosα＝，再代入公式求值．
［練習一］
分析：1.（1）強調公式的直接運用，尋找所求角與已知角之間的關系，α＝（30°＋α）－30°，再利用已知條件求出cos（30°＋α）．
2.應注意三角形的內角之間的關系，C＝π－（A＋B），再由誘導公式cos（π－α）＝－cosα，要求cosＣ即轉化為求－cos（A＋B）．
3.應注意分析角之間的關系，2β＝（α＋β）－（α－β），因此，求cos2β還應求出sin（α－β）和cos（α＋β）．解此題時，先把α＋β與α－β看成單角，然后把2β用這兩個單角來表示．
4.該題是在已有知識的基礎上進一步深化，引導學生分三步進行：（1）求出α＋β角的某個三角函數值．（2）確定角的范圍．（3）確定角的值．其中，求α＋β的某個三角函數值時，應分清是求cos（α－β）還是求sin（α－β）．
已知向量的坐標． ＝（3，4），若將其繞原點旋轉45°到′→的位置，求點P′（x′，y′）解：設∠ｘOP＝α，∵｜OP｜＝5，∴cosα＝，sinα＝．
∵x′＝5cos（α＋45°）＝5（cosαcos45°－sinαsin45°）＝－，y′＝5sin（α＋45°）＝5（sinαcos45°＋cosαsin45°）＝，∴P′ －，．
已知向量＝（4，3），若將其繞原點旋轉60°，－135°到
1，2的位置，求點P1，P2的坐標．
［例題三］
求下列函數的最大值和最小值．
（1）y＝cosｘ－sinx．
（2）y＝3sinx＋4cosx．
（3）y＝asinx＋bcosx，（ａｂ≠０）． 注：（1），（2）為一般性問題，是為（3）作鋪墊，推導時，要關注解題過程，以便讓學生充分理解輔助角φ滿足的條件．
（3）解：考查以（ａ，ｂ）為坐標的點P（ａ，ｂ），設以OP為終邊的一個角為φ，則
［練習三］
求下列函數的最大值和最小值．（1）y＝cosx－sinx．
（2）y＝sinx－sin（x＋）
（3）已知兩個電流瞬時值函數式分別是I1＝12sin（ωt－45°），I2＝10sin（ωt＋30°），求合成的正弦波I＝I1＋I2的函數式．
四、拓展延伸
出示兩道延伸性問題，引導學生獨立思考，然后師生共同解決．
1.已知三個電流瞬時值的函數式分別為I1＝5sinωt，I2＝6sin（ωt－60°），I3＝10sin（ωt＋60°），求它們合成后的電流瞬時值的函數式I＝I1＋I2＋I3，并指出這個函數的振幅、初相和周期．
2.已知點P（x，y），與原點的距離保持不變繞原點旋轉θ角到點P′（x′，y′）（如圖42-2），求證：
三角形邊和角關系的探索
教材分析
初中已研究過解直角三角形，這節所研究的正、余弦定理是解直角三角形知識的延伸與推廣，它們都反映了三角形邊、角之間的等量關系，并且應用正、余弦定理和三角形內角和定理，可以解斜三角形．正弦定理的推證運用了從特殊到一般的方法，把直角三角形中得到的邊角關系式推廣到銳角三角形，再推廣到鈍角三角形，進而得出一般性的結論．余弦定理的推證采用向量的數量積做工具，將向量的長度與三角形的邊長、向量的夾角與三角形的內角聯系起來．對于正、余弦定理的推論，除了這節課的證法之外，還有其他的一些推證方法．教材中還要求，在證明了正、余弦定理之后，讓學生嘗試用文字語言敘述兩個定理，以便理解其實質．當然，就知識而言，正弦定理有三個等式，可視為三個方程；余弦定理的三個式子也可看成三個方程，每個方程中均有四個量，知道其中任意三個量便可求第四個量．
這節課的重點是正、余弦定理的證明，以及用正、余弦定理解斜三角形，難點是發現定理、推證定理以及用定理解決實際問題．
任務分析
這節內容是在初中對三角形有了初步認識的基礎上，進一步研究三角形的邊、角之間的等量關系．對正弦定理的推導，教材中采用了從特殊到一般的方法，逐層遞進，學生易于接受，而余弦定理的證明采用了向量的方法．應用兩個定理解三角形時，要分清它們的使用條件．將正、余弦定理結合起來應用，經常能很好地解決三角形中的有關問題．
教學目標
1.理解正、余弦定理的推證方法，并掌握兩個定理． 2.能運用正、余弦定理解斜三角形．
3.理解并初步運用數學建模的思想，結合解三角形的知識，解決生產、生活中的簡單問題．
教學設計
一、問題情景
1.A，B兩地相距2558m，從A，B兩處發出的兩束探照燈光照射在上方一架飛機的機身上（如圖43-1），問：飛機離兩探照燈的距離分別是多少？
2.如圖43-2，自動卸貨汽車的車廂采用液壓機構，設計時應計算油泵頂桿BC的長度．已知車廂的最大仰角為60°，油泵頂點B與車廂支點A之間的距離為1.95m，AB與水平的夾角為6°20′，AC長為1.40m，計算BC的長．（精確到0.01m）
問題：（1）圖中涉及怎樣的三角形？（2）在三角形中已知什么？求什么？
二、建立模型
1.教師引導學生分析討論
在問題情景（1）中，已知在△ABC中，∠A＝72.3°，∠B＝76.5°，AB＝2558m．求AC，BC的長．
組織學生討論如何利用已知條件求出AC，BC的長度．（讓學生思考，允許有不同的解法）
結論：如圖40-3，作AD⊥BC，垂足為D．由三角函數的定義，知AD＝AC·sinC，AD＝AB·sinB．
由此可得AC·sinC＝AB·sinB．
又由∠A，∠B的度數可求∠C的度數，代入上式即可求出AC的長度，同理可求BC的長度．
教師明晰：
（1）當△ABC為直角三角形時，由正弦函數的定義，得
（2）當△ABC為銳角三角形時，設AB邊上的高為CD，根據三角函數的定義，得CD＝asinB＝bsinA，所以，同理
.（3）當△ABC為鈍角三角形時，結論是否仍然成立？引導學生自己推出．（詳細給出解答過程）
事實上，當∠A為鈍角時，由（2）易知設BC邊上的高為CD，則由三角函數的定義，得 CD＝asinB＝bsin（180°－A）．
根據誘導公式，知sin（180°－A）＝sinA，.∴asinB＝bsinA，即.正弦定理 在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即
.正弦定理指出了任意三角形中三條邊與它對應角的正弦之間的一個關系式，描述了任意三角形中邊、角之間的一種數量關系．
思考：正弦定理可以解決有關三角形的哪些問題？ 2.組織學生討論問題情景（2）
這一實際問題可化歸為：已知△ABC的邊AB＝1.95，AC＝1.4，夾角為6°20′，求BC的長． 組織學生討論：能用什么方法求出BC？（學生有可能有多種不同的解法）
教師明晰：如果已知三角形的兩邊和夾角，這個三角形為確定的三角形，那么怎樣去計算它的第三邊呢？由于涉及邊長及夾角的問題，故可以考慮用平面向量的數量積．（也可用兩點間的距離公式）
如圖，設＝a，＝b，＝c，則c＝a－b．
∵｜c｜2＝c·c＝（a－b）·（a－b）＝ａ2＋ｂ2－2abcosC，∴c＝ａ＋b－2abcosC．
同理a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝c2＋a2－2accosB． 于是得到以下定理：
余弦定理 三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍．即
a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝c2＋a2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC．
思考：余弦定理可以解決一些怎樣的解三角形問題？ 3.進一步的問題
勾股定理指出了直角三角形中三邊之間的等量關系，余弦定理則指出了一般三角形三邊之間的等量關系，那么這兩個定理之間存在怎樣的關系？如何利用余弦定理來判斷三角形是銳角三角形還是鈍角三角形？
三、解釋應用 ［例 題］ 2221.（1）已知：在△ABC中，A＝32.0°，B＝81.8°，ａ＝42.9cm，解三角形．
（2）已知：在△ABC中，ａ＝20cm，ｂ＝28cm，A＝40°，解三角形．（角精確到1°，邊長精確到1cm）
分析：（1）本題為給出三角形的兩角和一邊解三角形問題，可由三角形內角和定理先求出第三個角，再兩次利用正弦定理分別求出另兩邊．
（2）本題給出了三角形的兩邊及其中一邊的對角，于是可用正弦定理求出b邊的對角B的正弦，sinB≈0.8999，但0＜B＜π，故Ｂ角有兩個值（如圖43-8），從而C角與c邊的取值也有兩種可能．學生在解題時容易丟掉一組解，應引導學生從圖形上尋找漏掉的解．
2.（1）已知：在△ABC中，已知b＝60cm，c＝34cm，A＝41°，解三角形．（角精確到1°，邊長精確到1cm）
（2）已知：在△ABC中，ａ＝134.6cm，ｂ＝87.8cm，ｃ＝161.7cm，解三角形．（角精確到1′）．
分析：本例中的（1）題，給出了兩邊及其夾角，可先用余弦定理求出第三邊，求其他兩角時既可用余弦定理也可用正弦定理．（2）題給出了三邊長，可先用余弦定理求出其中一角，然后同樣既可用正弦定理，也可用余弦定理求出其他兩角．
3.AB是底部B不可到達的建筑物，A為建筑物的最高點．設計一種測量建筑物高度AB的方法． 分析：由于建筑物的底部B是不可到達的，所以不能直接測量出建筑物的高．由解直角三角形的知識，只要能知道一點C到建筑物頂部A的距離CA，并能測出由點C觀察A的仰角，就可以計算出建筑物的高．為了求出CA的長，可選擇一條水平基線HG（如圖43-9），使H，G，B三點在同一條直線上．在G，H兩點用測角儀器測得A的仰角分別為α，β，設CD＝ａ，測角儀器的高為ｈ，則在△ACD中，由正弦定理，得－β），從而可求得AB＝AE＋h＝ACsinα＋h＝［練習］
1.在△ABC中，已知下列條件，解三角形．（角精確到1°，邊長精確到1cm）（1）A＝45°，C＝30°，ｃ＝10cm．（2）A＝60°，B＝45°，ｃ＝20cm．（3）ａ＝20cm，ｂ＝11cm，B＝30°．（4）ｃ＝54cm，ｂ＝39cm，ｃ＝115°．
2.在△ABC中，已知下列條件，解三角形．（角精確到0.1°，邊長精確到0.1cm）（1）ａ＝2.7cm，ｂ＝3.696cm，C＝82.2°．（2）ｂ＝12.9cm，ｃ＝15.4cm，A＝42.3°．（3）ａ＝7cm，ｂ＝10cm，ｃ＝6cm．
四、拓展延伸
1.在△ABC中，有正弦定理
＋h．，sin（α
這涉及比值的連等式．請探索并研究是一個什么樣的量，并加以證明．
2.在△ABC中，已知三邊的長為ａ，ｂ，ｃ，如何判定△ABC的形狀？ 3.已知：在△ABC中，ａ＝60，ｂ＝50，Ａ＝38°，求B．（精確到1°）
分析：.∵0°＜B＜180°，∴B≈31°或B≈149°，但當B≈149°時，A＋B＝187°，這與A，B為三角形內角矛盾，故B角只能取31°． 由此題與例1中的（2）題的分析可以發現，在已知三角形兩邊及其一邊對角解三角形時，在某些條件下會出現一解或兩解的情形，那么會不會出現無解的情形呢？
（1）當A為鈍角或直角，必須滿足ａ＞ｂ才有解（ａ≤ｂ無解），并且由sinB＝計算B時，只能取銳角，因此，只有一解，如圖43-10．
（2）當A為銳角時，①若ａ＞ｂ或ａ＝ｂ，則由sinB＝解，如圖40-11．
計算B時，只能取銳角的值，因此，只有一②若ａ＜ｂsinA，則由sinB＝，得sinB＞1，因此，無解．如圖43-12．
③若ａ＝bsinA，則由sinB＝，得sinB＝1，即Ｂ為直角，故只有一解，如圖43-13．
④若ｂ＞ａ＞bsinA，則sinB＜1，故B可取一個銳角和一個鈍角的值，如圖43-14．
思考：若已知三角形的兩角和一邊、三邊、兩邊及其夾角來解三角形時，它們的解會是怎樣的？
第三篇：平面向量的數量積及應用教學設計[推薦]
高效課堂教學模式探討公開課
平面向量的數量積及應用教學設計
華羅庚中學 袁勁竹
一、教材分析
向量作為一種基本工具，在數學解題中有著極其重要的地位和作用。利用向量知識，可以解決不少復雜的的代數幾何問題。《平面向量的數量積及應用》，計劃安排兩個課時，本節課是第2課時。也就是，在復習了平面向量數的有關概念，坐標表示，以及平面向量數量積的基礎知識之后，本節課是進一步去認識、掌握平面向量數量積及平面向量的相關應用。
二、課標要求
1、平面向量的數量積
①通過物理中“功”等實例，理解平面向量數量積的含義及其物理意義； ②體會平面向量的數量積與向量投影的關系；
③掌握數量積的坐標表達式，會進行平面向量數量積的運算；
④能運用數量積表示兩個向量的夾角，會用數量積判斷兩個平面向量的垂直關系。
2、向量的應用
經歷用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題、力學問題與其他一些實際問題的過程，體會向量是一種處理幾何問題、物理問題等的工具，發展運算能力和解決實際問題的能力。
三、命題走向及高考預測
通過對近幾年廣東高考試題的分析，向量的數量積及運算律一直是高考數學的熱點內容之一，對向量的數量積及運算律的考查多為一個小題；另外作為工具在考查三角函數、立體幾何、平面解析幾何等內容時經常用到．整個命題過程緊扣課本，重點突出，有時考查單一知識點；有時通過知識的交匯與鏈接，全面考查向量的數量積及運算律等內容。
預測高考：
預測2012年廣東高考仍將以向量的數量積的運算、向量的平行、垂直為主要考點，以與三角、解析幾何知識交匯命題為考向。
四、學情分析
學生已復習了向量的相關概念、線性運算、數量積及初步應用，已較好地理解了向量的概念，比較熟練地掌握向量的運算和性質，已初步體會研究向量運算的一般方法，具有一定的觀察、探究能力，這為學生進一步復習數量積數量積及應用做了鋪墊。由于本班是普通班，受實數乘法運算的影響，造成不少學生對數量積理解上的偏差，從而出現錯誤。
五、教學目標
知識目標：
1、掌握平面向量的數量積公式及向量的夾角公式；
2、運用平面向量的知識解決有關問題。
能力目標：
1、通過本節課的學習培養學生觀察、分析、化歸轉化的能力；
2、提高學生分析問題、解決問題的能力。
六、教學重點、難點
重點：平面向量數量積公式及平面向量的應用。
難點：如何將有關問題等價轉化為向量問題。
七、教法、學法分析
教法：采取啟發引導、反饋評價等方式；
學法：引導學生積極參與、自主探索，培養探究能力。
八、教學過程
【 基本知識點回顧 】
1、向量的數量積的概念
高效課堂教學模式探討公開課
?b的數量積。
2、數量積的性質(e是單位向量，〈a，e〉＝θ)???????已知兩個非零向量a與b，它們的夾角為?，則a·b=︱a︱·︱b︱cos?叫做a與
(1)e·a＝a·e＝__________.(2)當a與b同向時，a·b＝_____；當a與b反向時，a·b＝__________.特別
地，有a·a＝_______或|a|＝________(3)a⊥b?__________.(4)cos〈a，b〉＝________.3、數量積的坐標運算(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a·b＝______________.2(2)若a＝(x，y)，則|a|＝_______，|a|＝________.→(3)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝|BA|＝____________________.(4)設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a⊥b?_____________________.4、向量的應用
（1）平面向量數量積的運算
（2）利用平面向量數量積解決平行與垂直問題（3）利用平面向量數量積解決夾角問題
（4）平面向量的綜合運用
注：本節課是第2課時，重點學習（3）利用平面向量數量積解決夾角問題和（4）平面向量的綜合運用，其中平面向量的綜合運用主要是在三角函數中的應用，在立體幾何、解析幾何等方面的應用放在后面學習。
【典例剖析】
應用3：利用平面向量數量積解決夾角問題
???1????1例
1、(2011年廣州調研)已知a?1，a?b?，(a?b)?(a?b)?，求： 22??????（1）a與b的夾角的大小;(2)a?b與a?b夾角的余弦值
思路分析（先提問學生，然后板演解題過程）：利用向量夾角的余弦公式求解
設計意圖：讓學生分析解題思路以培養學生的口頭表達能力，歸納概括能力。讓學生上臺板演可以暴露學生存在的問題，老師及時予以糾正，并呈現標準的解答格式，促使學生自我反思，以加強學生答題的規范性，做到“會做的題目得滿分，不會做的題目不得零分”。
【鞏固練習】
（1）（09重慶理）已知A、6
???????a?
1、b?6且a?(b?a)?2，則向量a與b的夾角是（）
? B、C、D、4???322
高效課堂教學模式探討公開課
(2（）2010年高考課標全國卷）??則a，b夾角的余弦值等于（）816168 C、D、A、B、??65656565??a，b為平面向量，已知???a?(4,3)，2a?b?(3,18)，答案：（1）C；（2）C；
設計意圖：選用的兩道題中，一道題向量是非坐標形式的，另一道題向量是坐標形式的，通過練習，讓學生學會選用適當的公式解題，鞏固所學知識。同時，讓學生多參與、多思考、多活動，改變教師大段講解的傾向，使師生活動交替進行，調節學生的注意力，促進學生各方面的發展。
題后小結：
(1)當a，b是非坐標形式時，求a與b的夾角，需求得a·b及|a|，|b|或得出它們的關系．(2)若已知a與b的坐標，則可直接利用公式 x1x2＋y1y2cosθ＝.2222 x1＋y1·x2＋y2
應用四：平面向量的綜合運用
???sin?)，c?(?1，例
2、(2009 湖北理)已知向量a?(cos?，b?(cos?，sin?)，0)．??（1）求向量b+c的長度的最大值；
（2）設?? π4???，且a⊥(b?c)，求cos?的值．
設計意圖：通過典例精講，一方面使學生加深對知識的認識，完善知識結構，另一方面使學生由簡單地模仿和接受，變為對知識的主動認識，從而進一步提高分析、解決問題的能力。
【自主探究、共同提高】
?????
1、(06天津理)設向量a與b的夾角為?，a?(3,3)，2b?a?(?1,1)，則cos?_____
??????????02、已知兩單位向量a與b的夾角為120，若c?2a?b，d?b?a，試求c與d的夾角的余弦值
3、設0???2?，已知兩個向量則向量p1p2長度的最大值是op1?(cos?,sin?)，op2?(2?sin?,2?cos?)，______ 答案： 1、31010；
2、?92142；
3、32
設計意圖：要求每位學生自己先做練習，然后對照答案進行自主的學習、同座之間互相探討，然后聽老師或學生進行講解。本環節盡量留出時間讓學生充分地比較，互相學習，共同提高。
高效課堂教學模式探討公開課
【課堂小結】：
1、向量知識，向量觀點有著廣泛的應用，本節課主要學習了兩方面的應用： 利用平面向量數量積解決夾角問題和平面向量的綜合應用（在三角函數中應用）
2、本節課主要學習了化歸轉化的思想方法
向量的數量積公式，溝通了向量與實數間的轉化關系
設計意圖：課堂小結由師生共同進行，以此培養學生的口頭表達能力，歸納概括能力。同時要引導學生學會總結：做完一道題目的總結，學完一課、一章的總結，有總結才有提高，通過：練習—總結—再練習，提高學習效率。
【課堂小測】
A、300?????????
1、(05北京)a?1，b?2，c?a?b，且c?a，則向量a與b的夾角為（）??
2、已知a?1，b?
000 B、60 C、120 D、150
?????2，且a?(a?b)，則向量a與b的夾角是_______.????
3、已知向量a?(sin?,1),b?(1,cos?)，且????22????（2）.求a?b的最大值(1).若a?b,求?
答案：
1、C
2、?4
3、（1）??4，（2）2?1
設計意圖：通過課堂小測快速反饋，既可以把學生取得的進步變成有形的事實，使之受到鼓勵，樂于接受下一個任務，又可以及時發現學生存在的問題，及時矯正乃至調節教學的進度，從而有效地提高課堂教學的效率。
思考題、設向量??m?(cos?,sin?)和n?(2?sin?,cos?),??(?,2?)??82??且m?n?,求cos(?)的值528
【課后作業，分層練習】
必做： 《課時作業本》第4章第3課時
選做：(2009·江蘇)設向量a＝(4cos α，sin α)，b＝(sin β，4cos β)，c＝(cos β，－4sin β)．
(1)若a與b－2c垂直，求tan(α＋β)的值；
(2)求|b＋c|的最大值；
(3)若tan αtan β＝16，求證：a∥b.設計意圖：出選做題的目的是注意分層教學和因材施教，為學有余力的學生提供思考空間。
【教學反思】 待寫??
第四篇：《平面向量的數量積》教學設計及反思
《平面向量的數量積》教學設計及反思
交口第一中學
趙云鵬
平面向量的數量積是繼向量的線性運算之后的又一重要運算，也是高中數學的一個重要概念，它是溝通代數、幾何與三角函數的一種重要工具，在每年高考中也是重點考查的內容。向量作為一種運算工具，其知識體系是從實際的物理問題中抽象出來的，它在解決幾何問題中的三點共線、垂直、求夾角和線段長度、確定定比分點坐標以及平移等問題中顯示出了它的易理解和易操作的特點。
一、總體設想：
本節課的設計有兩條暗線：一是圍繞物理中物體做功，引入數量積的概念和幾何意義；二是圍繞數量積的概念通過變形和限定衍生出新知識――垂直的判斷、求夾角和線段長度的公式。教學方案可從三方面加以設計：一是數量積的概念；二是幾何意義和運算律；三是兩個向量的模與夾角的計算。
二、教學目標：
1.了解向量的數量積的抽象根源。
2.了解平面的數量積的概念、向量的夾角
3.數量積與向量投影的關系及數量積的幾何意義
4.理解掌握向量的數量積的性質和運算律，并能進行相關的判斷和計算
三、重、難點：
【重點】1.平面向量數量積的概念和性質
2.平面向量數量積的運算律的探究和應用 【難點】平面向量數量積的應用
四、課時安排：
2課時
五、教學方案及其設計意圖： 1．平面向量數量積的物理背景
平面向量的數量積，其源自對受力物體在其運動方向上做功等物理問題的抽象。首先說明放置在水平面上的物體受力F的作用在水平方向上的位移是s，此問題中出現了兩個矢量，即數學中所謂的向量，這時物體力F的所做的功為W?F?s?cos?，這里的?是矢量F和s的夾角，也即是兩個向量夾角的定義基礎，在定義兩個向量的夾角時，要使學生明確“把向量的起點放在同一點上”這一重要條件，并理解向量夾角的范圍。這給我們一個啟示：功是否是兩個向量某種運算的結果呢？以此為基礎引出了兩非零向量a, b的數量積的概念。2．平面向量數量積（內積）的定義
已知兩個非零向量ａ與ｂ，它們的夾角是θ，則數量|a||b|cos?叫ａ與ｂ的數量積，記作a?b，即有a?b = |a||b|cos?，（０≤θ≤π）.并規定0與任何向量的數量積為0.零向量的方向是任意的，它與任意向量的夾角是不確定的，按數量積的定義a?b = |a||b|cos?無法得到，因此另外進行了規定。3.兩個非零向量夾角的概念
已知非零向量ａ與ｂ，作OA＝ａ，則∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）OB＝ｂ，叫ａ與ｂ的夾角.a?b?a?bco?s，a?b是記法，a?bcos?是定義的實質――它是一個實數。按照推理，當0???2?2時，數量積為正數；當???時，數量積為零；
2當?????時，數量積為負。
4.“投影”的概念
定義：|b|cos?叫做向量b在a方向上的投影。
投影也是一個數量，它的符號取決于角?的大小。當?為銳角時投影為正值；當?為鈍角時投影為負值；當?為直角時投影為0；當? = 0?時投影為 |b|；當? = 180?時投影為 ?|b|.因此投影可正、可負，還可為零。
根據數量積的定義，向量b在a方向上的投影也可以寫成a?b a
注意向量a在b方向上的投影和向量b在a方向上的投影是不同的，應結合圖形加以區分。5．向量的數量積的幾何意義：
數量積a?b等于a的長度與b在a方向上投影|b|cos?的乘積.向量數量積的幾何意義在證明分配律方向起著關鍵性的作用。其幾何意義實質上是將乘積拆成兩部分：a和b?cos?。此概念也以物體做功為基礎給出。b?cos?是向量b在a的方向上的投影。6．兩個向量的數量積的性質： 設a、b為兩個非零向量，則
(1)a?b ? a?b = 0；
(2)當a與b同向時，a?b = |a||b|；當a與b反向時，a?b = ?|a||b|.特別的a?a = |a|2或|a|?a?a
(3)|a?b| ≤ |a||b|
(4)cos??a?b，其中?為非零向量a和b的夾角。a?b例1.(1)已知向量a ,b，滿足b?2,a與b的夾角為600,則b在a上的投影為______
(2)若b?4,a?b?6,則a在b方向上投影為 _______ 例2.已知a?3，b?4，按下列條件求a?b
(1)a//b
(2)a?b(3)a與b的夾角為 1500 7.平面向量數量積的運算律 1．交換律：a ? b = b ? a
證：設a，b夾角為?，則a ? b = |a||b|cos?，b ? a = |b||a|cos?
∴a ? b = b ? a
2．數乘結合律：(?a)?b =?(a?b)= a?(?b)證：若?> 0，(?a)?b =?|a||b|cos?，?(a?b)=?|a||b|cos?，a?(?b)=?|a||b|cos?，若?< 0，(?a)?b =|?a||b|cos(???)= ??|a||b|(?cos?)=?|a||b|cos?，?(a?b)=?|a||b|cos?，a?(?b)=|a||?b|cos(???)= ??|a||b|(?cos?)=?|a||b|cos?.3．分配律：(a + b)?c = a?c + b?c
在平面內取一點O，作OA= a，AB= b，OC= c，∵a + b（即OB）在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和，即
|a + b| cos? = |a| cos?1 + |b| cos?2
∴| c | |a + b| cos? =|c| |a| cos?1 + |c| |b| cos?2，∴c?(a + b)= c?a + c?b
即：(a + b)?c = a?c + b?c
說明：（1）一般地，(ａ·ｂ)с≠ａ（ｂ·с）
（2）ａ·с＝ｂ·с，с≠0
ａ＝ｂ
（3）有如下常用性質：ａ２＝｜ａ｜２，（ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａ·с＋ａ·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ(ａ＋ｂ)２＝ａ２＋２ａ·ｂ＋ｂ２
例3 已知a、b都是非零向量，且a + 3b與7a ? 5b垂直，a ? 4b與7a ? 2b垂直，求a與b的夾角.解：由(a + 3b)(7a ? 5b)= 0 ? 7a2 + 16a?b ?15b2 = 0
①
(a ? 4b)(7a ? 2b)= 0 ? 7a2 ? 30a?b + 8b2 = 0
② 兩式相減：2a?b = b2 代入①或②得：a2 = b2
a?bb21設a、b的夾角為?，則cos? =
∴? = 60? ??|a||b|2|b|225 評述：(1)在四邊形中，AB，BC，CD，DA是順次首尾相接向量，則其和向量是零向量，即ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0，應注意這一隱含條件應用；
(2)由已知條件產生數量積的關鍵是構造數量積，因為數量積的定義式中含有邊、角兩種關系.例4若記a?a?a2，求證：(1)(a?b)2?a2?2a?b?b2;(2)(a?b)(a?b)?a2?b2.以此作為今后求模的基礎。
圍繞向量的數量積的定義，可開發出解決幾何問題中有用的知識：垂直的判斷，夾角的計算和線段長度的計算。根據教學實際，有的數學知識可提出問題讓學生解決，并總結、概括出一般的結論或規律，但有些知識學生聽講時，理解起來都比較困難，就需要老師的講解，此時恰當的處理方式是：先讓學生學會，再說明道理。這里，兩個向量垂直的判斷和夾角的計算，可通過讓學生自己做題后總結出來；而計算模則需要老師講解并加以強化：由a2?a?a?a?a?c0o?sa2a?b?a?bcos?，當b = a時，?a?a2.接著演示例題并練習。
〖例2〗已知a?2,b?3,且a, b夾角是60?，求a?(a?b);a?b.小結與反思：
以問題的形式，來反饋一節課的重點是否突出，難點是否突破。
問題一：關于向量的數量積的概念包括哪些主要內容？如何引入的？
問題二：說出向量數量積的幾何意義及運算律。
問題三：用向量的數量積可解決幾何中的哪三大問題？如何解決？ ? 數量積的概念包括兩個非零向量的夾角的定義和范圍、數量積的定義。? 向量數量積的幾何意義是：a ? b是向量a的模與向量b在向量a方向上的投影的乘積；運算律有三條：??。
? 用向量的數量積可解決幾何中三大問題：垂直的判斷、夾角的計算和求線段長度。⑴a?b?a?b?0； ⑵cos??a?b2a?a ⑶。a?b；板書設計：整個板面分成三列，把重點知識數量積的定義放在中間顯著位置。由其衍生出來的幾何意義、運算律放在其下面，再把后面的三大問題放在中間一列的中間位置；左邊一列，是兩個向量夾角的相關概念；右列集中放例題。
教學記：本節課的設計注重教學目標的明確；注重根據學生的認知規律而科學地進行知識序列的呈現；注重調動學生參與教學活動；注重課堂效果的實效性。高中數學教學應體現知識的來龍去脈，創設問題情景，建立數學模型，讓學生經歷數學知識的形成與應用，可以更好的理解數學概念、結論的形成過程，體會蘊含在其中的思想方法，增強學好數學的愿望和信心。對于抽象數學概念的教學，要關注概念的實際背景與形成過程，幫助學生克服機械記憶概念的學習方式。教師是學生學習的引導者、組織者，教師在教學中的作用必須以確定學生主體地位為前提，教學過程中要發揚民主，要鼓勵學生質疑，提倡獨立思考、動手實踐、自主探索、閱讀自學等學習方式。對于教學中問題情境的設計、教學過程的展開、練習的安排等，要盡可能地讓所有學生都能主動參與，提出各自解決問題的方案，并引導學生在與他人的交流中選擇合適的策略，使學生切實體會到自主探索數學的規律和問題解決是學好數學的有效途徑。
第五篇：平面向量的數量積教案
2.4.2平面向量數量積的坐標表示、模、夾角
教學目標：
1、知識目標:推導并掌握平面向量數量積的坐標表達式，會利用數量積求解向量的模、夾角及判定垂直等問題.2、能力目標:通過自主互助探究式學習,培養學生的自學能力,啟發學生用多角度去思考和解決問題的能力,促進學生對知識的掌握和靈活運用.3、情感目標:通過自主學習,增強學生的成就感,提高學生學習的積極性和自信心.教學重點:利用數量積的坐標表示解決模、夾角、垂直等問題.教學難點:平面向量數量積的坐標表達式的推導.教法:啟發式教學,講練結合 學法:自主互助探究式 教學用具:多媒體 教學過程設計:
一、復習引入
(教師提問,學生回答)
二、知識探究
1.平面向量數量積的坐標表示
????b?(x,y)a?b?x1x2?y1y2 a?(x,y)已知非零向量,22,則11(找學生到黑板上推導)結論:兩個向量數量積等于它們對應坐標的乘積的和.思考:向量數量積的坐標表示與前面所學的向量的坐標運算有什么聯系和區別?
(學生討論回答,教師歸納)例
???1.已知a?(2,3),b?(?2,4),c?(?1,?2),求: ??(1)a?b;(2)???a?(b?c);(3)
????(a?b)?(a?b);(4)??2(a?b).(教師講前兩問,學生做后兩問)
2.平面向量數量積的應用
(1)求模問題:
(讓學生自己推導)?i)a?(x,y),a??x?y22.(x2?x1)?(y2?y1)22ii)A(x,y1),B(x2,y2)1,AB?(平面上兩點間距離公式).?a1????iii)求a的單位向量e,e????aaa??,其中e??1.??例2.(1)已知a?(3,4),e是a的單位向量,求a,e.?(2)已知A(1,2),B(3,4),求
鞏固練習:P107練習1 ???已知a?(?3,4),b?(5,2),求aAB.,?b??,a?b
(2)判定向量的垂直關系:(讓學生自己推導)????a?b?a?b?0?x1x2?y1y2?0
??a//b?x1y2?x2y1?0
(對比記憶)例3.已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5),試判斷?ABC的形狀,并給出證明.(3)求向量的夾角:(讓學生自己推導)思考:i)?的范圍?
ii)由cos?能確定?嗎?為什么?
(找學生回答)例4.鞏固練習.P107 練習3
????已知a?(3,2),b?(5,?7),求a與b????設a?(5,?7),b?(?6,?4),求a?b??a?bcos?????abx1x2?y1y2x?y2121x?y222
2?及a?與b的夾角(精確到1).0的夾角(精確到1).0
思考:不使用計算器,結合上面的例題,能求出?的值嗎?(找學生回答)
三、能力提升
??已知a?(cos?,sin?),b?(cos?,sin?),證明
????(a?b)?(a?b).四、小結
這節課咱們一起學習了: 1.平面向量數量積的坐標表示 2.平面向量數量積的應用(1)求模;(2)判定垂直;(3)求夾角.希望大家在掌握的基礎上加以靈活應用.五、作業
P108 A組5(1),(2),(3)任選一個、9、11.六、課后探索題: ??已知a?(?2,?1),b?(x,1)
??(1)若a與b??(2)若a與b??(3)若a與b的夾角?為45,則實數x的值是_____;
0的夾角為銳角,則實數x的取值范圍是_____;的夾角為鈍角,則實數x的取值范圍是_____.
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