第一篇：高中數(shù)學(xué)新課程創(chuàng)新教學(xué)設(shè)計案例50篇 16 直線與平面平行[最終版]

直線與平面平行

教材分析

直線與平面平行是在研究了空間直線與直線平行的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，它是直線與直線平行的拓廣，也是為今后學(xué)習(xí)習(xí)近平面與平面平行作準(zhǔn)備．在直線與平面的三種位置關(guān)系中，平行關(guān)系占有重要地位，是今后學(xué)習(xí)的必備知識．所以直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理是這節(jié)的重點，難點是如何解決好直線與直線平行、直線與平面平行相互聯(lián)系的問題．突破難點的關(guān)鍵是直線與直線平行和直線與平面平行的相互轉(zhuǎn)化．

教學(xué)目標(biāo)

1.了解空間直線和平面的位置關(guān)系，理解和掌握直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理，進(jìn)一步熟悉反證法的實質(zhì)及其證題步驟．

2.通過探究線面平行的定義、判定、性質(zhì)及其應(yīng)用，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生觀察、發(fā)現(xiàn)問題的能力和空間想象能力．

3.培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維和合情推理能力，進(jìn)而使其養(yǎng)成實事求是的學(xué)習(xí)態(tài)度．

任務(wù)分析

這節(jié)的主要任務(wù)是直線與平面平行的判定定理、性質(zhì)定理的發(fā)現(xiàn)與歸納，證明與應(yīng)用．學(xué)習(xí)時，要引導(dǎo)學(xué)生觀察實物模型，分析生活中的實例，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)、歸納出數(shù)學(xué)事實，并在此基礎(chǔ)上分析和探索定理的論證過程，區(qū)分判定定理和性質(zhì)定理的條件和結(jié)論，理解定理的實質(zhì)和直線與平面平行的判定．在運用性質(zhì)時，要引導(dǎo)學(xué)生完成對“過直線———作平面———得交線———直線與直線平行”這一過程的理解和掌握．

教學(xué)設(shè)計

一、問題情境

教室內(nèi)吊在半空的日光燈管、斜靠在墻邊的拖把把柄，都可以看作直線的一部分，這些直線與地平面有何位置關(guān)系？

二、建立模型 ［問題一］

1.空間中的直線與平面有幾種位置關(guān)系？ 學(xué)生討論，得出結(jié)論： 直線與平面平行、直線與平面相交（學(xué)生可能說出直線與平面垂直的情況，教師可作解釋）及直線在平面內(nèi)．

2.在上述三種位置中，直線與平面的公共點的個數(shù)各是多少？ 學(xué)生討論，得出相關(guān)定義：

若直線a與平面α沒有公共點，則稱直線與平面α平行，記作a∥α．若直線a與平面α有且只有一個公共點，則稱直線a與平面α相交．當(dāng)直線a與平面α平行或相交時均稱直線a不在平面α內(nèi)（或稱直線a在平面α外）．若直線a與平面α有兩個公共點，依據(jù)公理1，知直線a上所有點都在平面α內(nèi)，此時稱直線a在平面α內(nèi)．

3.如何對直線與平面的位置關(guān)系的進(jìn)行分類？ 學(xué)生討論，得出結(jié)論：

方法1：按直線與平面公共點的個數(shù)分：

［探 索］

直線與平面平行、相交的畫法．

教師用直尺、紙板演示，引導(dǎo)學(xué)生說明畫法．

1.畫直線在平面內(nèi)時，要把表示直線的線段畫在表示平面的平行四邊形內(nèi)部，如圖16-1．

2.畫直線與平面相交時要畫出交點，如圖16-2．

3.畫直線與平面平行時，一般要把表示直線的線段畫在表示平面的平行四邊形外，并使它與平行四邊形的一組對邊或平面內(nèi)的一條直平行，如圖16-3．

［問題二］

1.如何判定直線與平面平行？教師演示：（1）教師先將直尺放在黑板內(nèi)，然后慢慢平移到平面外．

（2）觀察教室的門，然后教師轉(zhuǎn)動的門的一條門邊給人平行于墻面的感覺． 學(xué)生討論，歸納和總結(jié)，形成判定定理．

定理 如果不在平面內(nèi)的一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行．

已知：ａα，ｂα，ａ∥ｂ．

求證：ａ∥α． 分析：要證明直線與平面平行，根據(jù)定義，只要證明直線與平面沒有公共點，這時可考慮使用反證法．

證明：假設(shè)ａ不平行于α，由ａ若A

α，得ａ∩α＝A．若A∈ｂ，則與已知ａ∥ｂ矛盾；b，則a與b是異面直線，與a∥b矛盾．所以假設(shè)不成立，故ａ∥α．

總結(jié)：此定理有三個條件，（1）ａα，（2）ｂα，（3）ａ∥ｂ．三個條件缺少一個就不能推出ａ∥α這一結(jié)論．此定理可歸納為“若線線平行，則線面平行”．

2.當(dāng)直線與平面平行時，直線與平面內(nèi)的直線有什么位置關(guān)系？是否平行？

教師演示：教師先讓直尺平行于講桌面，再將紙板經(jīng)過直尺，慢慢繞直尺旋轉(zhuǎn)使紙板與桌面相交．

學(xué)生討論得出：直尺平行于紙板與桌面的交線． 師生共同歸納和總結(jié)，形成性質(zhì)定理．

定理 如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線就和兩平面的交線平行．

已知：l∥a，l求證：l∥m． β，α∩β＝ｍ．

證明：因為l∥α，所以l∩α＝內(nèi)，且沒有公共點，所以l∥m．

總結(jié)：此定理的條件有三個：（1）l∥α，即線面平行．（2）lβ，即過線作面．，又因為ｍα，所以l∩ｍ＝，由于l，ｍ都在β（3）β∩α＝ｍ，即面面相交．

三個條件缺一不可，此定理可簡記為“若線面平行，則線與交線平行”．

三、解釋應(yīng)用 ［例 題］ 1.已知：如圖16-5，空間四邊形ABCD，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點．求證：EF∥平面BCD．

證明：連接BD，在△ABD中，因為E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，所以EF∥BD．

又因為BD是平面ABD與平面BCD的交線，EF∥平面BCD，所以EF∥平面BCD． 2.求證：如果過一個平面內(nèi)一點的直線平行于與該平面平行的一條直線，則這條直線在這個平面內(nèi)．

已知：l∥α，點P∈α，Ｐ∈ｍ，ｍ∥l（如圖16-6）． 求證；mα．

證明：設(shè)l與P確定的平面為β，且α∩β＝ｍ′，則ｌ∥ｍ′．又知ｌ∥ｍ，ｍ∩ｍ′＝Ｐ，由平行公理可知，ｍ與ｍ′重合．所以m

α．

［練習(xí)］

1.已知：如圖16-7，長方體AC′．求證：B′D′∥平面ABCD．

2.如圖16-8，一個長方體木塊ABCD－A1B1C1D1，如果要經(jīng)過平面A1C1內(nèi)一點P和棱BC將木塊鋸開，那么應(yīng)該怎樣畫線？

四、拓展延伸

1.教室內(nèi)吊在半空中的日光燈管平行于地面，也平行于教室的一墻面，試探討它和這個墻面與地面的交線之間有什么樣的位置關(guān)系？

2.已知：如圖16-9，正方形ABCD和正方形ABEF不在同一平面內(nèi)，點M，N分別是對角線AC，BF上的點．問：當(dāng)M，N 滿足什么條件時，MN∥平面BCE．

3.如果三個平面兩兩相交于三條直線，那么這三條直線有怎樣的位置關(guān)系．

點 評

這篇案例從學(xué)生身邊的實例出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生抽象出直線與平面平行、相交的定義，又通過演示，總結(jié)和歸納出直線與平面平行的判定及性質(zhì)定理，整個過程都把學(xué)科理論和學(xué)生面臨的實際生活結(jié)合起來，使學(xué)生能較好地理解和把握學(xué)科知識．同時，培養(yǎng)了學(xué)生的探索創(chuàng)新能力和實踐能力，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣．

第二篇：高中數(shù)學(xué)新課程創(chuàng)新教學(xué)設(shè)計案例50篇 18 直線與平面垂直

直線與平面垂直

教材分析

直線與平面垂直是在研究了直線與直線垂直、直線與平面平行、平面與平面平行的基礎(chǔ)上進(jìn)行的．它是直線與直線垂直的延伸，是學(xué)習(xí)習(xí)近平面與平面垂直以及有關(guān)距離、空間角、多面體、旋轉(zhuǎn)體的基礎(chǔ)．這節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)可完善知識結(jié)構(gòu)，并對進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生觀察、發(fā)現(xiàn)問題的能力和空間想象能力，起著十分重要的作用．

直線與平面垂直的定義、判定定理、性質(zhì)定理是這節(jié)課的重點．

學(xué)習(xí)直線與平面垂直的性質(zhì)定理時，應(yīng)該注意引導(dǎo)學(xué)生把直線和直線的關(guān)系問題有目的地轉(zhuǎn)化為直線與平面的關(guān)系問題，這是這節(jié)課的難點．

教學(xué)目標(biāo)

1.掌握直線與直線垂直，直線與平面垂直的定義，以及直線與平面垂直的判定與性質(zhì)． 2.通過探索線面垂直的定義、判定定理和性質(zhì)定理及其證明，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生觀察問題、發(fā)現(xiàn)問題的能力和空間想象、計算能力，并且加強(qiáng)對思維能力的訓(xùn)練．

3.激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生不斷發(fā)現(xiàn)、探索新知的精神，滲透事物間相互轉(zhuǎn)化和理論聯(lián)系實際的辯證唯物主義觀點，并通過圖形的立體美，對稱美，培養(yǎng)教學(xué)審美意識．

任務(wù)分析

因為判定定理的證明有一定的難度，所以教材作為探索與研究來處理．又因為定理的論證層次多，構(gòu)圖復(fù)雜，輔助線多，運用平面幾何的知識多，所以這節(jié)課的難點是判定定理的證明．突破難點的方法是充分運用實物模型演示，以具體形象思維支持邏輯思維．

教學(xué)設(shè)計

一、問題情境

上海的標(biāo)志性建筑———東方明珠電視塔的中軸線垂直于地面，在這一點上，它與比薩斜塔完全不同．那么，直線與平面垂直如何定義和判定，又有什么性質(zhì)呢？這將是本節(jié)課要研究的問題．

二、建立模型

我們先來研究空間中兩條直線的垂直問題． 在平面內(nèi)，如果兩條直線互相垂直，則它們一定相交．在空間中，兩條互相垂直相交的直線中，如果固定其中一條，讓另一條平移到空間的某一個位置，就可能與固定的直線沒有公共點，這時兩條直線不會相交，也不會在同一平面內(nèi)（為什么），我們同樣稱它們相互垂直．下面我們給出空間任意兩條直線互相垂直的一般定義．

如果兩條直線相交于一點或經(jīng)過平移后相交于一點，并且交角為直角，則稱這兩條直線互相垂直．

有了直線與直線垂直的概念，我們就可以利用直線與直線垂直來定義直線與平面垂直了．

［問 題］

1.什么叫直線與平面垂直？

教師演示：如圖，直線l是線段AB的中垂線．固定線段AB，讓l保持與AB垂直并繞直線AB在空間旋轉(zhuǎn)．

教師讓學(xué)生討論：（1）直線l的軌跡是怎樣的圖形？（2）如何定義直線與平面垂直？

教師明晰：（1）線段AB所有垂直平分線構(gòu)成的集合是一個平面．

（2）如果一條直線（AB）和一個平面（α）相交于點O，并且和這個平面內(nèi)過交點O的任何直線都垂直，我們就說這條直線和這個平面互相垂直，這條直線叫作平面的垂線，這個平面叫作直線的垂面．交點叫作垂足．垂線上任一點到垂足間的線段，叫作這點到這個平面的垂線段．垂線段的長度叫作這個點到平面的距離．

2.如圖18-2，直線l⊥平面α，直線m

α，問l與m的關(guān)系怎樣．

學(xué)生討論后，得出結(jié)論：如果一條直線垂直于一個平面，那么它就和平面內(nèi)的任意一條直線垂直．

3.怎么畫直線與平面垂直？

學(xué)生討論后，教師總結(jié)：畫直線和平面垂直時，通常要把直線畫成和表示平面的平行四邊形的一邊垂直，如圖18-2．

4.如何判斷直線與平面垂直？

教師引導(dǎo)：根據(jù)定義判定直線與平面垂直是困難的，如何用盡可能少的線線垂直來判定線面垂直呢？

學(xué)生討論后，教師總結(jié)．

（1）因為兩條相交直線確定一平面，所以只要直線和平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，就可以判定直線和平面垂直．

（2）兩條平行直線也確定一平面，直線和這兩條平行直線垂直，不能判定直線就和平面垂直（教師作演示說明）．于是，歸納出直線和平面垂直的判定定理．

定理 如果一條直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，則這條直線與這個平面垂直． 推論 如果在兩條平行直線中，有一條垂直于平面，那么另一條直線也垂直于這個平面． 如圖18-3，如果直線l∥m，l⊥平面α，則l垂直于平面α內(nèi)任意兩條相交直線，如a，b．根據(jù)空間兩直線垂直的定義，易知m⊥a，m⊥b，所以m⊥α．

讓學(xué)生總結(jié)：判定直線與平面垂直的方法．

（1）定 義．（2）判定定理．（3）推 論．

4.在平面幾何中，同垂直于一條直線的兩條直線平行，那么，在空間幾何中，又有什么類似的結(jié)論呢？ 學(xué)生討論后，得出結(jié)論：同垂直于一個平面的兩條直線平行．于是有直線和平面垂直的性質(zhì)．

定理 如果兩條直線垂直于同一個平面，那么這兩條直線平行． 已知：如圖18-4，直線l⊥平面α，直線m⊥平面α，垂足分別為A，B．

求證：l∥m．

證明：假設(shè)直線ｍ不與直線l平行．過直線m與平面α的交點B，作直線m′∥l，由直線與平面垂直的判定定理的推論可知，m′⊥α．設(shè)ｍ和m′確定的平面為β，α與β的交線為ａ，因為直線m和m′都垂直于平面α，所以直線m和m′都垂直于交線ａ．因為在同一平面內(nèi)，通過直線上一點并與已知直線垂直的直線有且僅有一條，所以直線m和m′必重合，即l∥m．

三、解釋應(yīng)用 ［例 題］

1.過一點和已知平面垂直的直線只有一條．已知：平面α和一點P（如圖18-5）．求證：過點P與α垂直的直線只有一條．

證明：不論點P在α外或內(nèi)，設(shè)PA⊥α，垂足為A（或P）．如果過點P，除直線PA⊥α外，還有一條直線PB⊥α，設(shè)PA，PB確定的平面為β，且α∩β＝ａ，于是在平面β內(nèi)過點P有兩條直線PA，PB垂直于交線ａ，這是不可能的．所以過點P與α垂直的直線只有一條． 2.如圖18-6，有一根旗桿AB高8m，它的頂端Ａ掛著兩條長10m的繩子．拉緊繩子，并把它的下端放在地面上的兩點C，D（和旗桿腳不在同一條直線上）．如果這兩點都和旗桿腳B的距離是6m，那么旗桿就和地面垂直，為什么？

解：在△ABC和△ABD中，因為AB＝8m，BC＝BD＝6m，AC＝AD＝10m，所以AB2＋BC2＝82＋62＝102＝AC2，AB2＋BD2＝62＋82＝102＝AD2．

所以∠ABC＝∠ABD＝90°，即AB⊥BC，AB⊥BD． 又知B，C，D三點不共線，所以AB⊥平面BCD，即旗桿和地面垂直．

3.已知：直線l⊥平面α，垂足為A，直線AP⊥l（如圖18-7）． 求證：AP在α內(nèi)．

證明：設(shè)AP與l確定的平面為β．如果AP不在α內(nèi)，則可設(shè)α與β相交于直線AM，因為l⊥α，AMα，所以l⊥AM．又已知AP⊥l，于是在平面β內(nèi)，過點Ａ有兩條直線垂直于l．這是不可能的，所以AP一定在α內(nèi)．

［練習(xí)］ 1.已知：如圖18-8，在平面α內(nèi)有PA＝PC，PB＝PD．求證：PO⊥α．

ABCD，O是它對角線的交點，點P在α外，且

2.已知：空間四邊形ABCD中，AB＝AC，DB＝DC，求證：BC⊥AD．

3.已知兩個平行平面中，有一個平面與一條已知直線垂直，問：另一平面與已知直線的位置關(guān)系怎樣？

四、拓展延伸

1.如圖18-9所示，在空間，如果直線ｍ，ｎ都是線段AA′的垂直平分線，設(shè)ｍ，ｎ確定的平面為α，證明：

（1）在平面α內(nèi)，通過線段AA′中點B的所有直線都是線段AA′的垂直平分線．（2）線段AA′的任一條垂直平分線都在α內(nèi)．

2.如圖18-10（1），如果平面α通過線段AA′的中點O，且垂直于直線AA′，那么平面α叫作線段AA′的垂直平分面（或中垂面），并稱點A，A′關(guān)于平面α成鏡面對稱，平面α叫作A，A′的對稱平面．

如圖18-10（2），如果一個圖形Ｆ內(nèi)的所有點關(guān)于平面α的對稱點構(gòu)成幾何圖形F′，則稱F，F(xiàn)′關(guān)于平面α成鏡面對稱．F到F′的圖形變換稱為鏡面對稱變換．

如果一個圖形Ｆ通過鏡面對稱變換后的圖形仍是它自身，則這個圖形被稱為鏡面對稱圖形． 根據(jù)以上定義，探索與研究以下問題：（1）線段的中垂面有哪些性質(zhì)？

（2）你學(xué)過的空間圖形，有哪些是鏡面對稱圖形？

（3）寫一篇研究鏡面對稱的小論文，探索鏡面對稱的性質(zhì)和應(yīng)用．

點 評

這篇案例設(shè)計完整，構(gòu)思嚴(yán)謹(jǐn)，突出的特點是把學(xué)科灰色的理論和鮮活的實際生活相結(jié)合，使學(xué)生能較好地理解和把握學(xué)科知識．同時，這篇案例注意了美育、科學(xué)精神和人文精神的滲透，能較好地培養(yǎng)學(xué)生的探索創(chuàng)新能力和實踐能力，符合新課改精神．

第三篇：高中數(shù)學(xué)新課程創(chuàng)新教學(xué)設(shè)計案例50篇 19平面與平面垂直

平面與平面垂直

教材分析

兩個平面垂直的判定定理及性質(zhì)定理是平面與平面位置關(guān)系的重要內(nèi)容．通過這節(jié)的學(xué)習(xí)可以發(fā)現(xiàn)：直線與直線垂直、直線與平面垂直及平面與平面垂直的判定和性質(zhì)定理形成了一套完整的證明體系，而且可以實現(xiàn)利用低維位置關(guān)系推導(dǎo)高維位置關(guān)系，利用高維位置關(guān)系也能推導(dǎo)低維位置關(guān)系，充分體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想在立體幾何中的重要地位．這節(jié)課的重點是判定定理及性質(zhì)定理，難點是定理的發(fā)現(xiàn)及證明．

教學(xué)目標(biāo)

1.掌握兩平面垂直的有關(guān)概念，以及兩個平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，能運用概念和定理進(jìn)行有關(guān)計算與證明．

2.培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力，邏輯思維能力，知識遷移能力，運用數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)方法觀察、研究現(xiàn)實現(xiàn)象的能力，整理知識、解決問題的能力．

3.通過對實際問題的分析和探究，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真參與、積極交流的主體意識和樂于探索、勇于創(chuàng)新的科學(xué)精神．

任務(wù)分析

判定定理證明的難點是畫輔助線．為了突破這一難點，可引導(dǎo)學(xué)生這樣分析：在沒有得到判定定理時，只有根據(jù)兩平面互相垂直的定義來證明，那么，哪個平面與這兩個平面都垂直呢？對性質(zhì)定理的引入，不是采取平鋪直敘，而是根據(jù)數(shù)學(xué)定理的教學(xué)是由發(fā)現(xiàn)與論證這兩個過程組成的，所以應(yīng)把“引出命題”和“猜想”作為本部分的重要活動內(nèi)容．

教學(xué)設(shè)計

一、問題情境

1.建筑工人在砌墻時，常用一根鉛垂的線吊在墻角上，這是為什么？（為了使墻面與地面垂直）

2.什么叫兩個平面垂直？怎樣判定兩平面垂直，兩平面垂直有哪些性質(zhì)？

二、建立模型

如圖19-1，兩個平面α，β相交，交線為CD，在CD上任取一點B，過點B分別在α，β內(nèi)作直線BA和BE，使BA⊥CD，BE⊥CD．于是，直線CD⊥平面ABE．

容易看到，∠ABE為直角時，給我們兩平面垂直的印象，于是有定義：

如果兩個相交平面的交線與第三個平面垂直，并且這兩個平面與第三個平面相交所得的兩條交線互相垂直，就稱這兩個平面互相垂直．

平面α，β互相垂直，記作α⊥β． ［問 題］

1.建筑工人在砌墻時，鉛垂線在墻面內(nèi)，墻面與地面就垂直嗎？

如圖19-1，只要α經(jīng)過β的垂線BA，則BA⊥β，∴BA⊥BE，∠ABE＝Rt∠．依定義，知α⊥β．于是，有判定定理：

定理 如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，則兩個平面互相垂直．

2.如果交換判定定理中的條件“BA⊥β”和結(jié)論“α⊥β”．即是從平面與平面垂直出發(fā)，能否推出直線與平面垂直？，也就平面α內(nèi)滿足什么條件的直線才能垂直于平面β呢？讓學(xué)生用教科書、桌面、筆擺模型．通過模型發(fā)現(xiàn)：當(dāng)α⊥β時，只有在一個平面（如α）內(nèi)，垂直于兩平面交線的直線（如BA）才會垂直于另一個平面（如β）．

于是，有定理：

定理 如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面．

（先分析命題的條件和結(jié)論，然后畫出圖形，再結(jié)合圖形，寫出已知，求證）已知：如圖，α⊥β，α∩β＝CD，AB

α，AB⊥CD，求證：AB⊥β．

分析：要證AB⊥β，只需在β內(nèi)再找一條直線與ＡＢ 垂直，但β內(nèi)沒有這樣的直線，如何作出這條直線呢？因為α⊥β，所以可根據(jù)二面角的定義作出這個二面角的平面角．在平面β內(nèi)過點B作BE⊥CD．因為AB⊥CD，所以∠ABE是二面角α-CD-β的平面角，并且∠ABE＝90°，即AB⊥BE．又因為CD

三、解釋應(yīng)用 ［例 題］

1.已知：如圖，平面α⊥平面β，在α與β的交線上取線段AB＝4cm，AC，BD分別在平面α和平面β內(nèi)，它們都垂直于交線AB，并且AC＝3cm，BD＝12cm，求CD長．

β，BE

β，所以AB⊥β．

解：連接BC． 因為AC⊥AB，所以AC⊥β，AC⊥BD． 因為BD⊥AB，所以BD⊥α，BD⊥BC． 所以，△CBD是直角三角形．

在Rt△BAC中，BC＝＝5（cm），在Rt△CBD中，CD＝＝13（cm）． 2.已知：在Rt△ABC中，AB＝AC＝ａ，AD是斜邊BC的高，以AD為折痕使∠BDC折成直角（如圖19-4）．

求證：（1）平面ABD⊥平面BDC，平面ACD⊥平面BDC．（2）∠BAC＝60°．

證明：（1）如圖19-4（2），因為AD⊥BD，AD⊥DC，所以AD⊥平面BDC． 因為平面ABD和平面ACD都過AD，所以平面ABD⊥平面BDC，平面ACD⊥平面BDC．（2）如圖19-4（1），在Rt△BAC中，因為AB＝AC＝ａ，所以BC＝ａ，BD＝DC＝．

如圖19-4（2），△BDC是等腰直角三角形，所以BC＝BD＝2×＝ａ．

得AB＝AC＝BC．所以∠BAC＝60°． ［練習(xí)］

1.如圖19-5，有一個正三棱錐體的零件，P是側(cè)面ACD上一點．問：如何在面ACD上過點P畫一條與棱AB垂直的線段？試說明理由．

2.已知：如圖19-6，在空間四邊形ABCD中，AC＝AD，BC＝BD，E是CD 的中點． 求證：（1）平面ABE⊥平面BCD．（2）平面ABE⊥平面ACD．

四、拓展延伸

能否將平面幾何中的勾股定理推廣到立體幾何學(xué)中去？試寫一篇研究性的小論文．

點 評

這篇案例結(jié)構(gòu)完整，構(gòu)思新穎．案例開始以一個生活中常見的例子引入問題，得到了兩平面垂直的定義．還是這個例子，改變了問法又得到了兩平面垂直的判定定理．即把學(xué)科理論和學(xué)生的生活實際相結(jié)合，激起了學(xué)生探索問題的熱情．對性質(zhì)定理和判定定理的引入和證明也不是平鋪直敘，而是充分展現(xiàn)了定理的發(fā)現(xiàn)和形成過程．通過學(xué)生的認(rèn)真參與，師生之間的民主交流，培養(yǎng)了學(xué)生的主體意識和樂于探索、勇于創(chuàng)新的科學(xué)精神．

第四篇：《直線與平面平行的判定》教學(xué)設(shè)計

直線與平面平行的判定（謝永福）

一、教學(xué)目標(biāo)

1.會找出平行的直線和平面

2.會應(yīng)用判定定理證明線面平行

3.逐步學(xué)會逆向思維

4.歸納證明線線平行的方法：中位線，相似，平行四邊形

二、教學(xué)重點：應(yīng)用判定定理證明線面平行（給學(xué)生足夠時間練習(xí)板書）

教學(xué)難點：利用中位線作輔助線（詳細(xì)分析板書）

三、教學(xué)方法：討論式，講練結(jié)合

四、教學(xué)過程

（一）引入：課前提醒大家不要翻書。老師拿一本書一支筆（筆稍微斜一點點）問：筆所在直線與書本所在平面什么關(guān)系？ 老師：有人說平行，有人說相交。其實都有道理，因為平行向下偏一點點肉眼分辨不出來的，那么怎么判斷線面平行更可靠呢？這就是這節(jié)課咱們要探尋的奧秘。

（二）新課：

1.實例感受：請大家觀察門框的一邊和門板什么關(guān)系？書本封面邊緣和書本面什么關(guān)系？長方體下底邊與上底面什么關(guān)系？這三個實例有個共同點，有同學(xué)發(fā)現(xiàn)了嗎？

（10秒后提示：門框?qū)吰叫校?/p>

所以，可以怎么判斷線面平行呢？同桌之間互相討論一下。

2.定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)一條直線平行，則該直線與此平面平行。

（給大家1分鐘時間，嘗試用符號表示此定理）

畫圖表示

請大家齊聲朗讀定理3遍，嘗試背誦

練習(xí)1：判斷正誤：

（1）若直線a與平面α內(nèi)無數(shù)條直線平行，則a∥α

（2）若平面外的直線a與平面α內(nèi)無數(shù)條直線平行，則a∥α

練習(xí)2：如圖，長方體中

（1）與AB平行的平面是？

（2）與平面ABCD平行的直線是？

通過這個練習(xí)咱們應(yīng)該初步感受逆向思維。

練習(xí)3：在長方體中，,可得哪條直線平行哪個平面？（同樣體現(xiàn)了逆向思維）

3.用定理證明線面平行

例：如圖，空間四邊形ABCD中，E,F分別是AB，AD的中點。求證：EF∥平面BCD

思考：為什么想到連接BD？

答：因為E是AB中點，故A,B是三角形的頂點；F是AD中點，故A,D是三角形的頂點，所以EF是△ABD的中位線。故連接BD

練習(xí)：如圖所示，在正方體中，S,E,G分別是,BC,SC的中點，求證：

思考：書本56頁練習(xí)2如何做輔助線？

備用練習(xí)1:大本61頁基礎(chǔ)小測（只說思路，不用寫過程）

備用練習(xí)2：如圖，長方體中，已知E,F分別為AB,CD的中點，求證（只說思路，不用寫過程）

思考：由以上練習(xí)總結(jié)，證明線線平行的方法有哪些：中位線，平行線分線段成比例，平行四邊形

小結(jié)：本節(jié)課學(xué)習(xí)了線面平行的判定。還學(xué)習(xí)了逆向思維，是做立體幾何綜合問題的利劍。最后學(xué)習(xí)了證明線面平行，注意板書，做輔助線。如果滿分為5顆星，你給自己打幾顆星呢？

作業(yè)布置：書本56頁練習(xí)2

五、板書設(shè)計：

六、教學(xué)反思：

第五篇：高中數(shù)學(xué)新課程創(chuàng)新教學(xué)設(shè)計案例50篇__40-43平面向量

平面向量的數(shù)量積

教材分析

兩個向量的數(shù)量積是中學(xué)代數(shù)以往內(nèi)容中從未遇到過的一種新的乘法，它區(qū)別于數(shù)的乘法．這篇案例從學(xué)生熟知的功的概念出發(fā)，引出平面向量數(shù)量積的概念和性質(zhì)及其幾何意義，介紹向量數(shù)量積的運算律及坐標(biāo)表示．向量的數(shù)量積把向量的長度和三角函數(shù)聯(lián)系在一起，這為解決三角形的有關(guān)問題提供了方便，特別是能有效解決線段的垂直等問題．這節(jié)內(nèi)容是整個向量部分的重要內(nèi)容之一，對它的理解與掌握將直接影響向量其他內(nèi)容的學(xué)習(xí)．這節(jié)內(nèi)容的教學(xué)難點是對平面向量數(shù)量積的定義及運算律的理解和對平面向量數(shù)量積的應(yīng)用．

教學(xué)目標(biāo)

1.理解并掌握平面向量的數(shù)量積、幾何意義和數(shù)量積的坐標(biāo)表示，會初步使用平面向量的數(shù)量積來處理有關(guān)長度、角度和垂直的問題，掌握向量垂直的條件．

2.通過對數(shù)量積的引入和應(yīng)用，初步體會知識發(fā)生、發(fā)展的過程和運用過程，培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)思維習(xí)慣．

任務(wù)分析

兩個向量的數(shù)量積從形式和實質(zhì)上都與數(shù)的乘法有區(qū)別，這就給理解和掌握這個概念帶來了一些困難．在學(xué)習(xí)時，要充分讓學(xué)生理解、明白兩個向量的數(shù)量積是一個數(shù)量，而不是向量．兩個向量的數(shù)量積的值是這兩個向量的模與兩個向量夾角余弦的乘積，其符號由夾角余弦值的正負(fù)而確定．

兩向量的數(shù)量積“a·b”不同于兩實數(shù)之積“ab”．

通過實例理解a·b＝b·c與a＝c的關(guān)系，a·b＝0與a＝0或b＝0的關(guān)系，以及（a·b）c＝a（b·c）與（ab）c＝a（bc）的不同．

教學(xué)設(shè)計

一、問題情景

如圖40-1所示，一個力f作用于一個物體，使該物體發(fā)生了位移s，如何計算這個力所做的功．由于圖示的力f的方向與前進(jìn)方向有一個夾角θ，真正使物體前進(jìn)的力是f在物體前進(jìn)方向上的分力，這個分力與物體位移的乘積才是力f做的功．即力f使物體位移x所做的功W可用下式計算．

W＝｜s｜｜f｜cosθ．

其中｜f｜cosθ就是f在物體前進(jìn)方向上的分量，也就是力f在物體前進(jìn)方向上正射影的數(shù)量．

問題：像功這樣的數(shù)量值，它由力和位移兩個向量來確定．我們能否從中得到啟發(fā)，把“功”看成這兩個向量的一種運算的結(jié)果呢？

二、建立模型

1.引導(dǎo)學(xué)生從“功”的模型中得到如下概念：

已知兩個非零向量a與b，把數(shù)量｜a｜｜b｜cosθ叫a與b的數(shù)量積（內(nèi)積），記作a·b＝｜a｜｜b｜cosθ．其中θ是a與b夾角，｜a｜cosθ（｜b｜cosθ）叫a在b方向上（b在a方向上）的投影．

規(guī)定0與任一向量的數(shù)量積為０．

由上述定義可知，兩個向量ａ與ｂ的數(shù)量積是一個實數(shù)．

說明：向量a與b的夾角θ是指把a(bǔ)，b起點平移到一起所成的夾角，其中0≤θ≤π．當(dāng)θ＝時，稱a和b垂直，記作a⊥b．為方便起見，a與b的夾角記作〈a，b〉． 2.引導(dǎo)學(xué)生思考討論

根據(jù)向量數(shù)量積的定義，可以得出

（1）設(shè)e是單位向量，a·e＝｜a｜cos〈a，e〉．（2）設(shè)a·b是非零向量，則a⊥b（3）a·a＝｜a｜2，于是｜a｜＝

a·b＝0．

.（4）cos〈a，b〉＝.（5）｜a·b｜≤｜a｜｜b｜（這與實數(shù)｜ab｜＝｜a｜｜b｜不同）．

三、解釋應(yīng)用 ［例 題］

已知｜a｜＝5，｜b｜＝4，〈a，b〉＝120°，求a·b． 解：a·b＝｜a｜｜b｜cos〈a，b〉＝5×4×cos120°＝－10． ［練習(xí)］

1.已知｜a｜＝3，ｂ在ａ上的投影為－2，求：（1）a·ｂ．

（2）a在b上的投影．

2.已知：在△ABC中，a＝5，b＝8，c＝60°，求

四、建立向量數(shù)量積的運算律

·．

1.出示問題：從數(shù)學(xué)的角度考慮，我們希望向量的數(shù)量積運算，也能像數(shù)量乘法那樣滿足某些運算律，這樣數(shù)量積運算才更富有意義．回憶實數(shù)的運算律，你能類比和歸納出向量數(shù)量積的一些運算律嗎？它們成立嗎？為什么？

2.運算律及其推導(dǎo)

已知：向量a，b，c和λ∈R，則（1）a·b＝b·a（交換律）． 證明：左＝｜a｜｜b｜cosθ＝右．

（2）（λa）·b＝λ（a·b）＝a·（λb）（數(shù)乘結(jié)合律）． 證明：設(shè)a，b夾角為θ，當(dāng)λ＞0時，λa與b的夾角為θ，∴（λa）·b＝（λa）·｜b｜cosθ＝λ｜a｜｜b｜cosθ＝λ（a·b）； 當(dāng)λ＜0時，λa與b的夾角為（π－θ），∴（λa）·b＝｜λa｜｜b｜cos（π－θ）＝－λ｜a｜｜b｜（－cosθ）＝λ｜a｜｜b｜cosθ＝λ（a·b）；

當(dāng)λ＝0時，（λa）·b＝0·b＝0＝λ（a·b）． 總之，（λa）·b＝λ（a·b）； 同理a·（λb）＝λ（a·b）．（3）（a＋b）·c＝a·c＋b·c（乘法對加法的分配律）．

證明：如圖40-2，任取一點O，作＝a，＝ｂ，＝c．

∵a＋b（即）在c方向上的投影等于a，b在c方向上的投影的和，即

｜a＋b｜cosθ＝｜a｜cosθ1＋｜b｜cosθ2，∴｜c｜｜a＋b｜cosθ＝｜c｜（｜a｜cosθ1＋｜b｜cosθ2）＝ ｜c｜｜a｜cosθ1＋｜c｜｜b｜cosθ2＝c·a＋c·b，∴（a＋b）·c＝a·c＋b·c．

思考：（1）向量的數(shù)量積滿足結(jié)合律，即（a·b）c＝a（b·c）嗎？（2）向量的數(shù)量積滿足消去律，即如果a·b＝c·b，那么a＝c嗎？

五、應(yīng)用與深化 ［例 題］

1.對實數(shù)a，b，有（a＋b）＝a＋2ab＋b，（a＋b）（a－b）＝a－b．類似地，對任意向量a，b，也有類似結(jié)論嗎？為什么？

解：類比完全平方和公式與平方差公式，有

（a＋b）2＝a2＋2a·b＋b2，（a＋b）·（a－b）＝a2－b2． 其證明是：（a＋b）＝（a＋b）·（a＋b）＝ a·a＋a·b＋b·a＋b·b＝ a2＋2a·b＋b2，2

2（a＋b）·（a－b）＝a·a－a·b＋b·a－b·b＝ a2－b2． ∴有類似結(jié)論．

2.已知｜a｜＝6，｜b｜＝4，〈a，b〉＝60°，求（a＋2b）·（a－3b）． 解：（a＋2b）·（a－3b）＝ a2－3a·b＋2b·a－6b2＝

｜a｜－｜a｜｜b｜cos60°－6｜b｜＝－72．

3.已知｜a｜＝3，｜b｜＝4，且a與b不共線．當(dāng)k為何值時，（a＋kb）⊥（a－kb）？ 解：（a＋kb）⊥（a－kb），即（a＋kb）·（a－kb）＝0，即a2－k2b2＝0，即9－k2×16＝0，k＝±． 2

2因此，當(dāng)k＝±時，有（a＋kb）⊥（a－kb）．

4.已知：正方形ABCD的邊長為1，并且＝a，＝b，＝c，求｜a＋b＋c｜．

解法1：∵a＋b＋c＝＋＋＝2，∴｜a＋b＋c｜＝2＝2．

解法2：｜a＋b＋c｜2＝（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2a·c＋2b·c＝1＋1＋2＋2×1×1×cos90°＋2×1×

［練習(xí)］

1.｜a｜＝4，｜b｜＝3，（2a－3b）·（2a＋b）＝61，求a與b的夾角θ．

×

＋2×1×

×

＝8，∴｜a＋b＋c｜＝2

．

2.在邊長為2的正三角形ABC中，求

六、拓展延伸

·＋·＋·．

1.當(dāng)向量a，b的夾角為銳角時，你能說明a·b的幾何意義嗎？ 如圖40-3，a·b，即以b在a上射影的長和ａ的長為兩鄰邊的矩形面積（OA＝OA1）．

2.平行四邊形是表示向量加法與減法的幾何模型，如圖40-4，＝－

＝＋，．試說明平行四邊形對角線的長度與兩條鄰邊長度之間的關(guān)系．

3.三個單位向量a，b，c有相同終點且a＋b＋c＝0，問：它們的起點連成怎樣的三角形？

解法1：如圖40-5，∵｜a｜＝｜b｜＝｜c｜＝1，a＋b＋c＝0，∴a＋b＝－c，∴（a＋b）＝（－c）2，2∴a2＋b2＋2a·b＝c2，∴2｜a｜·｜b｜cos∠AOC＝－1，cos∠AOC＝，∠AOC＝120°． 同理∠BOC＝∠AOC＝120°，故△AOB，△BOC，△BOC全等，∴AB＝AC＝BC，即該△ABC為等邊三角形．

解法2：如圖40-6，．

＝c，＝－a，＝－b，由a＋b＋c＝0，即＝＋

∵｜a｜＝｜b｜＝1，∴OADB為菱形．

又｜｜＝1，∴∠AOB＝120°．

同理∠AOC＝∠BOC＝120°，…

4.在△ABC中，·＝·＝·，問：O點在△ABC的什么位置？

解：由同理⊥·，＝⊥

·，即·（－）＝0，即·＝0，∴⊥，．故O是△ABC的垂心．

兩角和與差的余弦

教材分析

這節(jié)內(nèi)容是在掌握了任意角的三角函數(shù)的概念、向量的坐標(biāo)表示以及向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究用單角的三角函數(shù)表示的兩角和與差的三角函數(shù)．這些內(nèi)容在高等數(shù)學(xué)、電功學(xué)、力學(xué)、機(jī)械設(shè)計與制造等方面有著廣泛的應(yīng)用，因此要求學(xué)生切實學(xué)好，并能熟練的應(yīng)用，以便為今后的學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ)． “兩角差的余弦公式”在教科書中采用了一種易于教學(xué)的推導(dǎo)方法，即先借助于單位圓中的三角函數(shù)線，推出α，β，α－β均為銳角時成立．對于α，β為任意角的情況，教材運用向量的知識進(jìn)行了探究．同時，補(bǔ)充了用向量的方法推導(dǎo)過程中的不嚴(yán)謹(jǐn)之處，這樣，兩角差的余弦公式便具有了一般性．

這節(jié)課的重點是兩角差的余弦公式的推導(dǎo)，難點是把公式中的α，β角推廣到任意角．

教學(xué)目標(biāo)

1.通過對兩角差的余弦公式的探究過程，培養(yǎng)學(xué)生通過交流，探索，發(fā)現(xiàn)和獲得新知識的能力．

2.通過兩角差的余弦公式的推導(dǎo)，體會知識的發(fā)生、發(fā)展的過程和初步的應(yīng)用過程，培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)的思維方法和勇于探索的科學(xué)精神．

3.能正確運用兩角差的余弦公式進(jìn)行簡單的三角函數(shù)式的化簡、求值和恒等式證明．

任務(wù)分析

這節(jié)內(nèi)容以問題情景中的問題作為教學(xué)的出發(fā)點，利用單位圓中的三角函數(shù)線和平面向量的數(shù)量積的概念推導(dǎo)出結(jié)論，并不斷補(bǔ)充推導(dǎo)過程中的不嚴(yán)謹(jǐn)之處．推導(dǎo)過程采用了從特殊到一般逐層遞進(jìn)的思維方法，學(xué)生易于接受．整個過程始終結(jié)合單位圓，以強(qiáng)調(diào)其直觀性．對于公式中的α和β角要強(qiáng)調(diào)其任意性．?dāng)?shù)學(xué)中要注意運用啟發(fā)式，切忌把結(jié)果直接告訴學(xué)生，盡量讓學(xué)生通過觀察、思考和探索，自己發(fā)現(xiàn)公式，使學(xué)生充分體會到成功的喜悅，進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動他們學(xué)習(xí)的積極性，從而使其自覺主動地學(xué)習(xí)．

教學(xué)過程

一、問題情景

我們已經(jīng)學(xué)過誘導(dǎo)公式，如

可以這樣來認(rèn)識以上公式：把角α轉(zhuǎn)動，則所得角α＋的正弦、余弦分別等于cosα和－sinα．把角α轉(zhuǎn)動π，則所得角α＋π的正弦、余弦分別等于－sinα和－cosα． 由此，使我們想到一個一般性的問題：如果把角α的終邊轉(zhuǎn)動β（度或弧度），那么所得角α＋β的正弦、余弦如何用α或β的正弦、余弦來表示呢？ 出示一個實際問題：

右圖41-1是架在小河邊的一座吊橋的示意圖．吊橋長AB＝ａ（m），A是支點，在河的左岸．點C在河的右岸，地勢比A點高．AD表示水平線，∠DAC＝α，α為定值．∠CAB＝β，β隨吊橋的起降而變化．在吊橋起降的過程中，如何確定點B離開水平線AD的高度BE？

由圖可知BE＝asin（α＋β）．

我們的問題是：如何用α和β的三角函數(shù)來表示sin（α＋β）．如果α＋β為銳角，你能由α，β的正弦、余弦求出sin（α＋β）嗎？

引導(dǎo)學(xué)生分析：事實上，我們在研究三角函數(shù)的變形或計算時，經(jīng)常提出這樣的問題：能否用α，β的三角函數(shù)去表示α±β的三角函數(shù)？為了解決這類問題，本節(jié)首先來探索α－β的余弦與α，β的函數(shù)關(guān)系式．

更一般地說，對于任意角α，β，能不能用α，β的三角函數(shù)值把α＋β或α－β的三角函數(shù)值表示出來呢？

二、建立模型 1.探 究

（1）猜想：cos（α－β）＝cosα－cosβ．（2）引導(dǎo)學(xué)生通過特例否定這一猜想．

例如，α＝60°，β＝30°，可以發(fā)現(xiàn)，左邊＝cos（60°－30°）＝cos30°＝－cos30°＝－，右邊＝cos60°．顯然，對任意角α，β，cos（α－β）＝cosα－cosβ不成立．

（3）再引導(dǎo)學(xué)生從道理上否定這一猜想．

不妨設(shè)α，β，α－β均為銳角，則α－β＜α，則cos（α－β）＞cosα．又cosβ＞０，所以cos（α－β）＞cosα－cosβ． 2.分析討論

（1）如何把α，β，α－β角的三角函數(shù)值之間建立起關(guān)系？要獲得相應(yīng)的表達(dá)式需要哪些已學(xué)過的知識？

（2）由三角函數(shù)線的定義可知，這些角的三角函數(shù)值都與單位圓中的某些有向線段有關(guān)系，那么，這些有向線段之間是否有關(guān)系呢？

3.教師明晰

通過學(xué)生的討論，教師引導(dǎo)學(xué)生作出以下推理：

設(shè)角α的終邊與單位圓的交點為P1，∠POP1＝β，則∠POx＝α－β．

過點P作PM⊥x軸，垂足為M，那么，OM即為α－β角的余弦線，這里要用表示α，β的正弦、余弦的線段來表示OM．

過點P作PA⊥OP1，垂足為A，過點A作AB⊥x軸，垂足為B，再過點P作PC⊥AB，垂足為C，那么cosβ＝OA，sinβ＝AP，并且∠PAC＝∠P1Ox＝α，于是

OM＝OB＋BM＝OB＋CP＝OAcosα＋APsinα＝ cosβcosα＋sinβsinα． 4.提出問題，組織學(xué)生討論

（1）當(dāng)α，β，α－β為任意角時，上述推導(dǎo)過程還能成立嗎？

若要說明此結(jié)果是否對任意角α，β都成立，還要做不少推廣工作，可引導(dǎo)學(xué)生獨立思考．

事實上，根據(jù)誘導(dǎo)公式，總可以把α，β的三角函數(shù)化為（0，）內(nèi)的三角函數(shù)，再根據(jù)cos（－β）＝cosβ，把α－β的余弦，化為銳角的余弦．因此，三、解釋應(yīng)用

［例 題］

1.求cos15°及cos105°的值．

分析：本題關(guān)鍵是將15°角分成45°與30°的差或者分解成60°與45°的差，再利用兩角差的余弦公式即可求解．對于cos105°，可進(jìn)行類似地處理，cos105°＝cos（60°＋45°）．

2.已知sinα＝的值．，α∈（，π），cosβ＝－，且β是第三象限的角，求cos（α＋β）分析：觀察公式Cα＋β與本題已知條件應(yīng)先計算出cosα，cosβ，再代入公式求值．求cosα，cosβ的值可借助于同角三角函數(shù)的平方關(guān)系，并注意α，β的取值范圍來求解．

［練習(xí)］

1.（1）求sin75°的值．

（2）求cos75°cos105°＋sin75°sin105°的值．（3）化簡cos（A＋B）cosB＋sin（A＋B）sinB．（4）求cos215°－sin215°的值．

分析：對于（1），可先用誘導(dǎo)公式化sin75°為cos15°，再用例題1中的結(jié)果即可．對于（2），逆向使用公式Cα-β，即可將原式化為cos30°．對于（3），可以把A＋B角看成一個整體，去替換Cα-β中的α角，用B角替換β角．

2.（1）求證：cos（－α）＝sinα．

（2）已知sinθ＝，且θ為第二象限角，求cos（θ－）的值．

（3）已知sin（30°＋α）＝，60°＜α＜150°，求cosα．

分析：（1）和（差）公式可看成誘導(dǎo)公式的推廣，誘導(dǎo)公式是和（差）公式的特例．（2）在三角函數(shù)求值問題中，變角是一種常用的技巧，α＝（30°＋α）－30°，這樣可充分利用題中已知的三角函數(shù)值．

3.化簡cos（36°＋α）cos（α－54°）＋sin（36°＋α）sin（α－54°）．

分析：這里可以把角36°＋α與α－54°均看成單角，進(jìn)而直接運用公式Cα-β，不必將各式展開后再計算．

分析：本題是一道綜合題，由于cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ，欲求cos（α－β）的值，只須將已知兩式平方相加求出cosαcosβ＋sinαsinβ即可．

四、拓展延伸

1.由任意角三角函數(shù)定義，可知角α，β的終邊與單位圓交點的坐標(biāo)均可用α，β的三角函數(shù)表示，即α－β角與導(dǎo)公式Cα-β呢？

教師引導(dǎo)學(xué)生分析：在平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)作單位圓O，以O(shè)x為始邊作角α，β，它們的終邊與單位圓的交點為A，B，則由向量數(shù)量積的概念，有

＝（cosα，sinα），＝（cosβ，sinβ）．，兩向量的夾角有關(guān)，那么能否用向量的有關(guān)知識來推·＝｜｜｜｜cos（α－β）＝cos（α－β）．

由向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，有

·＝cosαcosβ＋sinαsinβ．

于是，有

cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ．

依據(jù)向量數(shù)量積的概念，角α－β必須符合０≤α－β≤π，即在此條件下，以上推導(dǎo)才是正確的．

由于α，β都是任意角，α－β也是任意角，因此，須研究α－β為任意角時，以上推導(dǎo)是否正確．

當(dāng)α－β為任意角時，由誘導(dǎo)公式總可以找到一個角θ，θ∈［0，2π），使cosθ＝cos（α－β）．

若θ∈［0，π］，則·＝cosθ＝cos（α－β）；

若θ∈［π，2π］，則2π－θ∈［0，π］，且 ·＝cos（2π－θ）＝cosθ＝cos（α－β）．

于是，對于任意角α，β都有

2.教師提出進(jìn)一步拓展性問題：本節(jié)問題情景中，涉及如何用sinα，sinβ，cosα，cosβ來表示sin（α＋β）的問題，試探索與研究sin（α＋β）的表達(dá)式．

兩角和與差的正弦

教材分析

在這節(jié)內(nèi)容中，公式較多，一旦處理不當(dāng)，將成為學(xué)生學(xué)習(xí)的一種負(fù)擔(dān)．針對這個特點，應(yīng)充分揭示公式的內(nèi)在聯(lián)系，使學(xué)生理解公式的形成過程及其使用條件，在公式體系中掌握相關(guān)的公式．同時，通過練習(xí)使學(xué)生能夠熟練地運用這些公式．當(dāng)然，這些公式的基礎(chǔ)是兩角和差的余弦公式．通過誘導(dǎo)公式sin（－α）＝sinα，sinπ（－α）＝cosα（α為任意

－（α＋β）］角），可以實現(xiàn)正、余弦函數(shù)間的轉(zhuǎn)換，也可推廣為sin（α＋β）＝ｃｏｓ［＝cos［（－α）－β］，sin（α－β）＝［

－（α－β）］＝cos［（－α）＋β］.借助于Cα+β和Cα-β即可推導(dǎo)出公式Sα+β和Sα-β．Cα+β，Cα-β，Sα+β和Sα-β四個公式的左邊均為兩角和與差的正、余弦，右邊均為單角α，β的正、余弦形式．不同點為公式Sα+β，Sα-β兩邊的運算符號相同，Cα+β與Cα-β兩邊的運算符號相反．Sα+β與Sα-β中右邊是兩單角異名三角函數(shù)的乘積，而Cα-β與Cα+β的右邊是兩單角同名三角函數(shù)的乘積．

任務(wù)分析

這節(jié)課計劃采用啟發(fā)引導(dǎo)和講練結(jié)合的教學(xué)方式，對三角函數(shù)中的每一個公式要求學(xué)生會推導(dǎo)，會使用，要求不但掌握公式的原形，還應(yīng)掌握它們的變形公式，會把“asinｘ＋bcosｘ”類型的三角函數(shù)化成一個角的三角函數(shù)．在課堂教學(xué)中，將采用循序漸進(jìn)的原則，設(shè)計有一定梯度的題目，以利于培養(yǎng)學(xué)生通過觀察、類比的方法去分析問題和解決問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生良好的思維習(xí)慣．在教學(xué)中，及時提醒學(xué)生分析、探索、化歸、換元、類比等常用的基本方法在三角變換中的作用．這節(jié)課的重點是準(zhǔn)確、熟練、靈活地運用兩角和差的正、余弦公式進(jìn)行三角函數(shù)式的求值、化簡和證明，難點是公式的變形使用和逆向使用．

教學(xué)目標(biāo) 1.能用兩角差的余弦公式導(dǎo)出兩角和的余弦公式，兩角和差的正弦公式，并了解各個公式之間的內(nèi)在聯(lián)系．

2.能運用兩角和差的正、余弦公式進(jìn)行三角函數(shù)式的化簡、求值和證明．

3.通過公式的推導(dǎo)過程，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，同時滲透數(shù)學(xué)中常用的換元、整體代換等思想方法．

教學(xué)過程

一、問題情景

如圖42-1，為了保持在道路拐彎處的電線桿OB的穩(wěn)固性，要加一根固定鋼絲繩，要求鋼絲繩與地面成75°角．已知電線桿的高度為5m，問：至少要準(zhǔn)備多長的鋼絲繩？

設(shè)電線桿與地面接觸點為B，頂端為O，鋼絲繩與地面接觸點為A． 在Rt△AOB中，如果能求出sin75°的值，那么即可求出鋼絲繩的長度．75°角可表示成兩個特殊角45°與30°的和，那么sin75°的值能否用這兩特殊角的三角函數(shù)值來表示呢？

二、建立模型 1.探 究

已知cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ，則sin（α＋β），sin（α－β）中的角及函數(shù)名與cos（α＋β）和cos（α－β）有何關(guān)系？ 通過誘導(dǎo)公式可實現(xiàn)正、余弦函數(shù)的轉(zhuǎn)換，即sin（α＋β）＝推導(dǎo)以上公式的方法并不是唯一的，其他推導(dǎo)方法由學(xué)生課后自己探索． 3.分析公式的結(jié)構(gòu)特征

Sα+β與Sα-β中兩邊的加減運算符號相同，右邊為α與β角的異名三角函數(shù)的乘積．應(yīng)特別注意公式兩邊符號的差異．

三、解釋應(yīng)用 ［例題一］

已知sinα＝－，且α為第四象限角，求sin（－α）cos（＋α）的值．

分析：本題主要訓(xùn)練公式Sα-β與Sα+β的使用．

由sinα＝－及α為第四象限角，可求出cosα＝，再代入公式求值．

［練習(xí)一］

分析：1.（1）強(qiáng)調(diào)公式的直接運用，尋找所求角與已知角之間的關(guān)系，α＝（30°＋α）－30°，再利用已知條件求出cos（30°＋α）．

2.應(yīng)注意三角形的內(nèi)角之間的關(guān)系，C＝π－（A＋B），再由誘導(dǎo)公式cos（π－α）＝－cosα，要求cosＣ即轉(zhuǎn)化為求－cos（A＋B）．

3.應(yīng)注意分析角之間的關(guān)系，2β＝（α＋β）－（α－β），因此，求cos2β還應(yīng)求出sin（α－β）和cos（α＋β）．解此題時，先把α＋β與α－β看成單角，然后把2β用這兩個單角來表示．

4.該題是在已有知識的基礎(chǔ)上進(jìn)一步深化，引導(dǎo)學(xué)生分三步進(jìn)行：（1）求出α＋β角的某個三角函數(shù)值．（2）確定角的范圍．（3）確定角的值．其中，求α＋β的某個三角函數(shù)值時，應(yīng)分清是求cos（α－β）還是求sin（α－β）．

已知向量的坐標(biāo)． ＝（3，4），若將其繞原點旋轉(zhuǎn)45°到′→的位置，求點P′（x′，y′）解：設(shè)∠ｘOP＝α，∵｜OP｜＝5，∴cosα＝，sinα＝．

∵x′＝5cos（α＋45°）＝5（cosαcos45°－sinαsin45°）＝－，y′＝5sin（α＋45°）＝5（sinαcos45°＋cosαsin45°）＝，∴P′ －，．

已知向量＝（4，3），若將其繞原點旋轉(zhuǎn)60°，－135°到

1，2的位置，求點P1，P2的坐標(biāo)．

［例題三］

求下列函數(shù)的最大值和最小值．

（1）y＝cosｘ－sinx．

（2）y＝3sinx＋4cosx．

（3）y＝asinx＋bcosx，（ａｂ≠０）． 注：（1），（2）為一般性問題，是為（3）作鋪墊，推導(dǎo)時，要關(guān)注解題過程，以便讓學(xué)生充分理解輔助角φ滿足的條件．

（3）解：考查以（ａ，ｂ）為坐標(biāo)的點P（ａ，ｂ），設(shè)以O(shè)P為終邊的一個角為φ，則

［練習(xí)三］

求下列函數(shù)的最大值和最小值．（1）y＝cosx－sinx．

（2）y＝sinx－sin（x＋）

（3）已知兩個電流瞬時值函數(shù)式分別是I1＝12sin（ωt－45°），I2＝10sin（ωt＋30°），求合成的正弦波I＝I1＋I(xiàn)2的函數(shù)式．

四、拓展延伸

出示兩道延伸性問題，引導(dǎo)學(xué)生獨立思考，然后師生共同解決．

1.已知三個電流瞬時值的函數(shù)式分別為I1＝5sinωt，I2＝6sin（ωt－60°），I3＝10sin（ωt＋60°），求它們合成后的電流瞬時值的函數(shù)式I＝I1＋I(xiàn)2＋I(xiàn)3，并指出這個函數(shù)的振幅、初相和周期．

2.已知點P（x，y），與原點的距離保持不變繞原點旋轉(zhuǎn)θ角到點P′（x′，y′）（如圖42-2），求證：

三角形邊和角關(guān)系的探索

教材分析

初中已研究過解直角三角形，這節(jié)所研究的正、余弦定理是解直角三角形知識的延伸與推廣，它們都反映了三角形邊、角之間的等量關(guān)系，并且應(yīng)用正、余弦定理和三角形內(nèi)角和定理，可以解斜三角形．正弦定理的推證運用了從特殊到一般的方法，把直角三角形中得到的邊角關(guān)系式推廣到銳角三角形，再推廣到鈍角三角形，進(jìn)而得出一般性的結(jié)論．余弦定理的推證采用向量的數(shù)量積做工具，將向量的長度與三角形的邊長、向量的夾角與三角形的內(nèi)角聯(lián)系起來．對于正、余弦定理的推論，除了這節(jié)課的證法之外，還有其他的一些推證方法．教材中還要求，在證明了正、余弦定理之后，讓學(xué)生嘗試用文字語言敘述兩個定理，以便理解其實質(zhì)．當(dāng)然，就知識而言，正弦定理有三個等式，可視為三個方程；余弦定理的三個式子也可看成三個方程，每個方程中均有四個量，知道其中任意三個量便可求第四個量．

這節(jié)課的重點是正、余弦定理的證明，以及用正、余弦定理解斜三角形，難點是發(fā)現(xiàn)定理、推證定理以及用定理解決實際問題．

任務(wù)分析

這節(jié)內(nèi)容是在初中對三角形有了初步認(rèn)識的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究三角形的邊、角之間的等量關(guān)系．對正弦定理的推導(dǎo)，教材中采用了從特殊到一般的方法，逐層遞進(jìn)，學(xué)生易于接受，而余弦定理的證明采用了向量的方法．應(yīng)用兩個定理解三角形時，要分清它們的使用條件．將正、余弦定理結(jié)合起來應(yīng)用，經(jīng)常能很好地解決三角形中的有關(guān)問題．

教學(xué)目標(biāo)

1.理解正、余弦定理的推證方法，并掌握兩個定理． 2.能運用正、余弦定理解斜三角形．

3.理解并初步運用數(shù)學(xué)建模的思想，結(jié)合解三角形的知識，解決生產(chǎn)、生活中的簡單問題．

教學(xué)設(shè)計

一、問題情景

1.A，B兩地相距2558m，從A，B兩處發(fā)出的兩束探照燈光照射在上方一架飛機(jī)的機(jī)身上（如圖43-1），問：飛機(jī)離兩探照燈的距離分別是多少？

2.如圖43-2，自動卸貨汽車的車廂采用液壓機(jī)構(gòu)，設(shè)計時應(yīng)計算油泵頂桿BC的長度．已知車廂的最大仰角為60°，油泵頂點B與車廂支點A之間的距離為1.95m，AB與水平的夾角為6°20′，AC長為1.40m，計算BC的長．（精確到0.01m）

問題：（1）圖中涉及怎樣的三角形？（2）在三角形中已知什么？求什么？

二、建立模型

1.教師引導(dǎo)學(xué)生分析討論

在問題情景（1）中，已知在△ABC中，∠A＝72.3°，∠B＝76.5°，AB＝2558m．求AC，BC的長．

組織學(xué)生討論如何利用已知條件求出AC，BC的長度．（讓學(xué)生思考，允許有不同的解法）

結(jié)論：如圖40-3，作AD⊥BC，垂足為D．由三角函數(shù)的定義，知AD＝AC·sinC，AD＝AB·sinB．

由此可得AC·sinC＝AB·sinB．

又由∠A，∠B的度數(shù)可求∠C的度數(shù)，代入上式即可求出AC的長度，同理可求BC的長度．

教師明晰：

（1）當(dāng)△ABC為直角三角形時，由正弦函數(shù)的定義，得

（2）當(dāng)△ABC為銳角三角形時，設(shè)AB邊上的高為CD，根據(jù)三角函數(shù)的定義，得CD＝asinB＝bsinA，所以，同理

.（3）當(dāng)△ABC為鈍角三角形時，結(jié)論是否仍然成立？引導(dǎo)學(xué)生自己推出．（詳細(xì)給出解答過程）

事實上，當(dāng)∠A為鈍角時，由（2）易知設(shè)BC邊上的高為CD，則由三角函數(shù)的定義，得 CD＝asinB＝bsin（180°－A）．

根據(jù)誘導(dǎo)公式，知sin（180°－A）＝sinA，.∴asinB＝bsinA，即.正弦定理 在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即

.正弦定理指出了任意三角形中三條邊與它對應(yīng)角的正弦之間的一個關(guān)系式，描述了任意三角形中邊、角之間的一種數(shù)量關(guān)系．

思考：正弦定理可以解決有關(guān)三角形的哪些問題？ 2.組織學(xué)生討論問題情景（2）

這一實際問題可化歸為：已知△ABC的邊AB＝1.95，AC＝1.4，夾角為6°20′，求BC的長． 組織學(xué)生討論：能用什么方法求出BC？（學(xué)生有可能有多種不同的解法）

教師明晰：如果已知三角形的兩邊和夾角，這個三角形為確定的三角形，那么怎樣去計算它的第三邊呢？由于涉及邊長及夾角的問題，故可以考慮用平面向量的數(shù)量積．（也可用兩點間的距離公式）

如圖，設(shè)＝a，＝b，＝c，則c＝a－b．

∵｜c｜2＝c·c＝（a－b）·（a－b）＝ａ2＋ｂ2－2abcosC，∴c＝ａ＋b－2abcosC．

同理a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝c2＋a2－2accosB． 于是得到以下定理：

余弦定理 三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍．即

a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝c2＋a2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC．

思考：余弦定理可以解決一些怎樣的解三角形問題？ 3.進(jìn)一步的問題

勾股定理指出了直角三角形中三邊之間的等量關(guān)系，余弦定理則指出了一般三角形三邊之間的等量關(guān)系，那么這兩個定理之間存在怎樣的關(guān)系？如何利用余弦定理來判斷三角形是銳角三角形還是鈍角三角形？

三、解釋應(yīng)用 ［例 題］ 2221.（1）已知：在△ABC中，A＝32.0°，B＝81.8°，ａ＝42.9cm，解三角形．

（2）已知：在△ABC中，ａ＝20cm，ｂ＝28cm，A＝40°，解三角形．（角精確到1°，邊長精確到1cm）

分析：（1）本題為給出三角形的兩角和一邊解三角形問題，可由三角形內(nèi)角和定理先求出第三個角，再兩次利用正弦定理分別求出另兩邊．

（2）本題給出了三角形的兩邊及其中一邊的對角，于是可用正弦定理求出b邊的對角B的正弦，sinB≈0.8999，但0＜B＜π，故Ｂ角有兩個值（如圖43-8），從而C角與c邊的取值也有兩種可能．學(xué)生在解題時容易丟掉一組解，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生從圖形上尋找漏掉的解．

2.（1）已知：在△ABC中，已知b＝60cm，c＝34cm，A＝41°，解三角形．（角精確到1°，邊長精確到1cm）

（2）已知：在△ABC中，ａ＝134.6cm，ｂ＝87.8cm，ｃ＝161.7cm，解三角形．（角精確到1′）．

分析：本例中的（1）題，給出了兩邊及其夾角，可先用余弦定理求出第三邊，求其他兩角時既可用余弦定理也可用正弦定理．（2）題給出了三邊長，可先用余弦定理求出其中一角，然后同樣既可用正弦定理，也可用余弦定理求出其他兩角．

3.AB是底部B不可到達(dá)的建筑物，A為建筑物的最高點．設(shè)計一種測量建筑物高度AB的方法． 分析：由于建筑物的底部B是不可到達(dá)的，所以不能直接測量出建筑物的高．由解直角三角形的知識，只要能知道一點C到建筑物頂部A的距離CA，并能測出由點C觀察A的仰角，就可以計算出建筑物的高．為了求出CA的長，可選擇一條水平基線HG（如圖43-9），使H，G，B三點在同一條直線上．在G，H兩點用測角儀器測得A的仰角分別為α，β，設(shè)CD＝ａ，測角儀器的高為ｈ，則在△ACD中，由正弦定理，得－β），從而可求得AB＝AE＋h＝ACsinα＋h＝［練習(xí)］

1.在△ABC中，已知下列條件，解三角形．（角精確到1°，邊長精確到1cm）（1）A＝45°，C＝30°，ｃ＝10cm．（2）A＝60°，B＝45°，ｃ＝20cm．（3）ａ＝20cm，ｂ＝11cm，B＝30°．（4）ｃ＝54cm，ｂ＝39cm，ｃ＝115°．

2.在△ABC中，已知下列條件，解三角形．（角精確到0.1°，邊長精確到0.1cm）（1）ａ＝2.7cm，ｂ＝3.696cm，C＝82.2°．（2）ｂ＝12.9cm，ｃ＝15.4cm，A＝42.3°．（3）ａ＝7cm，ｂ＝10cm，ｃ＝6cm．

四、拓展延伸

1.在△ABC中，有正弦定理

＋h．，sin（α

這涉及比值的連等式．請?zhí)剿鞑⒀芯渴且粋€什么樣的量，并加以證明．

2.在△ABC中，已知三邊的長為ａ，ｂ，ｃ，如何判定△ABC的形狀？ 3.已知：在△ABC中，ａ＝60，ｂ＝50，Ａ＝38°，求B．（精確到1°）

分析：.∵0°＜B＜180°，∴B≈31°或B≈149°，但當(dāng)B≈149°時，A＋B＝187°，這與A，B為三角形內(nèi)角矛盾，故B角只能取31°． 由此題與例1中的（2）題的分析可以發(fā)現(xiàn)，在已知三角形兩邊及其一邊對角解三角形時，在某些條件下會出現(xiàn)一解或兩解的情形，那么會不會出現(xiàn)無解的情形呢？

（1）當(dāng)A為鈍角或直角，必須滿足ａ＞ｂ才有解（ａ≤ｂ無解），并且由sinB＝計算B時，只能取銳角，因此，只有一解，如圖43-10．

（2）當(dāng)A為銳角時，①若ａ＞ｂ或ａ＝ｂ，則由sinB＝解，如圖40-11．

計算B時，只能取銳角的值，因此，只有一②若ａ＜ｂsinA，則由sinB＝，得sinB＞1，因此，無解．如圖43-12．

③若ａ＝bsinA，則由sinB＝，得sinB＝1，即Ｂ為直角，故只有一解，如圖43-13．

④若ｂ＞ａ＞bsinA，則sinB＜1，故B可取一個銳角和一個鈍角的值，如圖43-14．

思考：若已知三角形的兩角和一邊、三邊、兩邊及其夾角來解三角形時，它們的解會是怎樣的？