第一篇：平面向量的數量積及運算律的教案說明

《平面向量的數量積及運算律》的教案說明

新疆石河子第一中學曹麗梅

一、教學內容的本質：

本教案是人教版高中數學第一冊（下）第五章平面向量的第六節內容，整個課題按照課程標準分兩個課時，這是第一課時的教案。

平面向量數量積第一課時的教學，通常要求形成數量積的概念，得出數量積運算的公式，并把培養學生的探究精神和應用意識的目標，有機地融入知識學習和技能形成的過程之中。平面向量數量積是平面向量的重點內容之一，也是難點之一，這一節主要介紹兩個向量的數量積是兩個向量之間的一種乘法，是中學代數中從未遇到過的一種新的乘法，與數的乘法有區別，同時這一節與下一節平面向量的數量積的坐標表示有著緊密聯系。由于向量既能體現“形”的直觀位置特征，又具有“數”的良好運算性質，是數形結合和轉換的橋梁。而這一切之所以能夠實現，平面向量的數量積功不可沒。通過對這一節的學習，既可以讓學生掌握平面向量的數量積，幾何意義，重要性質及運算律，又可使學生了解用平面向量的數量積可以處理有關長度，角度，和垂直問題，而且為平面向量的數量積的坐標表示的學習做了充分準備，對后面正，余弦定理的證明起到至關重要的作用，因此本節課的教學內容起著承前啟后的作用。

根據“平面向量的數量積及運算律”在高中數學中的地位與作用，并且考慮到學生已有的認知結構心理特征，我認為本節課的教學目標應以人為本注重對學生自主能力的培養，啟發引導學生發現問題，觀察問題，進而得以解決問題，在這一過程中希望能充分調動學生的積極性，不斷激發學生學數學的興趣。

二、教學內容的應用及滲透

平面向量作為一種工具，重在應用，而且今后用向量方法特別便于研究空間里涉及直線和平面的各種問題；而平面向量的數量積作為一種特殊的運算也有它不可替代的作用，如：求向量的模長，夾角，推導正、余弦定理等。

由于向量來源于物理，并且兼具“數”和“形”的特點，所以它在物理和幾何中具有廣泛的應用，眾所周知，物理與數學是密不可分的，而向量在物理中的應用比比皆是，舉不勝舉，反過來物理又可為某些數學知識作有效的解釋。比如：本課時的引入就是以物體在力的作用下所做的功為模型，事實上這也就是平面向量數量積的物理意義，這樣可以更貼近生活，使學生更容易理解平面向量數量積的概念，符合學生的認知習慣。同時解析幾何也往往將向量作為有力的解題工具。

三、教學分析

《數學課程標準》中強調：“數學課程要實現：人人學有價值的數學；人人都獲得必需的數學；不同的人在數學上得到不同的發展。”同時，她倡導的“關注過程”“強調本質”“體現數學的文化價值”“發展數學的應用意識”等都向我們昭示出高中數學課程的價值取向。

為使《數學課程標準》得以順利實施，教師理應不斷更新教學觀念，努力成為數學學習活動的組織者、引導者、合作者。通過精心設計、實踐與反思，不斷改進教學方法和教學手段??以優化課堂教學，提高課堂教學的效率。課程設計必須從學生的角度出發，要與學生的經歷和經驗相聯系，關注學生的體驗、感悟和實踐過程。

基于以上認識，對于“平面向量數量積及運算律”引入，我進行了這樣的教學設計： 首先演示一個外力作功的實驗：W=|F| |S|cosθ，并揭示這個物理模型的實質，即：力與位移的數量積。

其次，具體分析平面向量的夾角，向量的數量積、重要性質等概念，并鞏固練習。再者，基本概念均簡明有效的給出，為之后學生深入學習、探究提供了時間上的保證，從定義出發推導運算律也變得簡單易行。隨后，從特殊到一般，得出數量積的幾何表示。在教師為主導、學生為主體的教學模式中，學習活動進展順利，學生們都顯得游刃有余。在教學過程中，學生對平面向量數量積的定義及運算律的理解有些難度，總的感覺是：在核心問題上的處理不太容易把握，學生需要較多的時間去探究和體驗。

結合多年教學發現學生對數量積的結果是數量重視不夠，解題中往往忽略，?學生容易忽略；書寫中符號“?”學生容易省略不寫，教學和作業中發現問題教師應時常提醒學生及時糾正，避免重復錯誤；運算律中消去律和結合律不能亂用，要給學生講清楚一定不能與實數的運算律混淆，這些地方應反復給學生強調。

最后，在有效落實教學目標的同時，如何讓學生的“學”更輕松些，讓教師的“教”更順暢些，使“數量積”的概念形成更具一般性，更能揭示“數量積”的本質內含就顯得尤為重要。

四、教法及教學反思

教學過程中采用啟發引導式與講練相結合，并借助多媒體教學手段，使學生理解平面向量數量積的定義，理解定義之后引導學生推導數量積的性質，通過例題和練習加深學生對平面向量數量積定義的認識，初步掌握平面向量數量積定義的運用。這一切主要是通過課堂教學來實現的，因此，要精于課堂教學設計，并在實踐中進行反思和再設計，形成一系列適合學生認知、發展的教學方案。同時，在教學中要注意引導學生不斷增強自主性、探索性、合作性和思辨性，促使他們成為學習的主人。而貫徹數形結合思想是克服難點的有效舉措．通過例題、練習的分析講評和學生積極主動的解題實踐，運用知識解決問題的能力將得到提高。由于課堂教學準備的較充分，基本能達到預定目標。

教學反思，是教師對自身教學工作的檢查與評定，是整理教學中的反饋信息，適時總結經驗教訓、找出教學的成功與不足的重要過程。因此教學后適時的反思有利于促進教學，以上就是我對本節課的理解和反思。

第二篇：12022-向量數量積的運算律

向量數量積的運算律

制作人：張明娟審核人：葉付國使用時間：2012-5-8編號：12022 學習目標：

1、掌握平面向量數量積的運算律及其運算；

2、通過向量數量積分配律的學習，體會類比、猜想、證明的探索性學習方法；

3、通過解題實踐，體會向量數量積的運算方法.學習重點：向量數量積的運算律及其應用.學習難點：向量數量積分配律的證明.重點知識回顧：

1、兩個向量的夾角的范圍是：；

2、向量在軸上的正射影

正射影的數量為；

??

3、向量的數量積（內積）：a·b=；

4、兩個向量的數量積的性質：

??（1）a?b?；

（2）a?aa

（3）cos?=；

向量數量積的運算律

1（）a?b?b?a;

(2)(?

(3)(a???a)?b?a?(?b)??(a?b)??a?b;?b)?c?a?c?b?c平面向量數量積的常用公式

(1)(a

2(2)(a?b)(a

證明：（1）

（2）

?b)?a?2a?b?b?b)?a?b22

典例剖析：

例????

1、已知a=6，b=4，a與b的夾角為600，??求：（1）b在a方向上的投影；

??（2）a在b方向上的投影；

（3）a ?2b?a?3b??

例????02、已知a與b的夾角為120，a=2，b=3，求：（）a?b；（2）a?

b；（3）（2a

1（4?

5? ?b）（?a?3b）

??1,a與b夾角為120，問t取何值0

?t

例

????????a3、已知=3，b=4，（且a與b不共線），當且僅當k為何值時，向量a?kb與a?kb 互相垂直？

???????變式：已知a=1, b=2, a與a?b垂直.求a與b的夾角.練習題:求證菱形的對角線互相垂直.例

???????04、已知a=2，b=4，a,b?120，求a與a?b的夾角.課堂小結：

跟蹤練習：

1、下列運算不正確的是（）

A.??a??b??c??a????b?c??B.???a?b??c??a??c???b?c?

C.m???a???b?ma??mbD.?a???b??c??a????b?c??

2、設e?、e?，則?2e????

12是兩個單位向量，它們的夾角為6001?e2????3e1?2e2??（A.?99

2B.2C.?8D.83、已知?a??7, ?b?7，a???b?7，則a?與b的夾角為（）；

4、已知：向量a?與?b的夾角為1200，且a??4，?b?2，求：

（1）a???b；（2）3a???4b；（3）?a???b???a???2b）

第三篇：平面向量的數量積教案

2.4.2平面向量數量積的坐標表示、模、夾角

教學目標：

1、知識目標:推導并掌握平面向量數量積的坐標表達式，會利用數量積求解向量的模、夾角及判定垂直等問題.2、能力目標:通過自主互助探究式學習,培養學生的自學能力,啟發學生用多角度去思考和解決問題的能力,促進學生對知識的掌握和靈活運用.3、情感目標:通過自主學習,增強學生的成就感,提高學生學習的積極性和自信心.教學重點:利用數量積的坐標表示解決模、夾角、垂直等問題.教學難點:平面向量數量積的坐標表達式的推導.教法:啟發式教學,講練結合 學法:自主互助探究式 教學用具:多媒體 教學過程設計:

一、復習引入

(教師提問,學生回答)

二、知識探究

1.平面向量數量積的坐標表示

????b?(x,y)a?b?x1x2?y1y2 a?(x,y)已知非零向量,22,則11(找學生到黑板上推導)結論:兩個向量數量積等于它們對應坐標的乘積的和.思考:向量數量積的坐標表示與前面所學的向量的坐標運算有什么聯系和區別?

(學生討論回答,教師歸納)例

???1.已知a?(2,3),b?(?2,4),c?(?1,?2),求: ??(1)a?b;(2)???a?(b?c);(3)

????(a?b)?(a?b);(4)??2(a?b).(教師講前兩問,學生做后兩問)

2.平面向量數量積的應用

(1)求模問題:

(讓學生自己推導)?i)a?(x,y),a??x?y22.(x2?x1)?(y2?y1)22ii)A(x,y1),B(x2,y2)1,AB?(平面上兩點間距離公式).?a1????iii)求a的單位向量e,e????aaa??,其中e??1.??例2.(1)已知a?(3,4),e是a的單位向量,求a,e.?(2)已知A(1,2),B(3,4),求

鞏固練習:P107練習1 ???已知a?(?3,4),b?(5,2),求aAB.,?b??,a?b

(2)判定向量的垂直關系:(讓學生自己推導)????a?b?a?b?0?x1x2?y1y2?0

??a//b?x1y2?x2y1?0

(對比記憶)例3.已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5),試判斷?ABC的形狀,并給出證明.(3)求向量的夾角:(讓學生自己推導)思考:i)?的范圍?

ii)由cos?能確定?嗎?為什么?

(找學生回答)例4.鞏固練習.P107 練習3

????已知a?(3,2),b?(5,?7),求a與b????設a?(5,?7),b?(?6,?4),求a?b??a?bcos?????abx1x2?y1y2x?y2121x?y222

2?及a?與b的夾角(精確到1).0的夾角(精確到1).0

思考:不使用計算器,結合上面的例題,能求出?的值嗎?(找學生回答)

三、能力提升

??已知a?(cos?,sin?),b?(cos?,sin?),證明

????(a?b)?(a?b).四、小結

這節課咱們一起學習了: 1.平面向量數量積的坐標表示 2.平面向量數量積的應用(1)求模;(2)判定垂直;(3)求夾角.希望大家在掌握的基礎上加以靈活應用.五、作業

P108 A組5(1),(2),(3)任選一個、9、11.六、課后探索題: ??已知a?(?2,?1),b?(x,1)

??(1)若a與b??(2)若a與b??(3)若a與b的夾角?為45,則實數x的值是_____;

0的夾角為銳角,則實數x的取值范圍是_____;的夾角為鈍角,則實數x的取值范圍是_____.

第四篇：高中數學重點中學 第9課時平面向量的數量積及運算律教案 湘教版必修2

平面向量的數量積及運算律（1）

教學目的：

1掌握平面向量的數量積及其幾何意義； 2掌握平面向量數量積的重要性質及運算律；

3了解用平面向量的數量積可以處理有關長度、角度和垂直的問題； 4掌握向量垂直的條件

教學重點：平面向量的數量積定義

教學難點：平面向量數量積的定義及運算律的理解和平面向量數量積的應用 授課類型：新授課 課時安排：1課時

教 具：多媒體、實物投影儀 內容分析：

本節學習的關鍵是啟發學生理解平面向量數量積的定義，理解定義之后便可引導學生推導數量積的運算律，然后通過概念辨析題加深學生對于平面向量數量積的認識主要知識點：平面向量數量積的定義及幾何意義；平面向量數量積的5個重要性質；平面向量數量積的運算律

教學過程：

一、復習引入：

???a1． 向量共線定理 向量b與非零向量共線的充要條件是：有且只有一個非零實數λ，使b=?λa

2．平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任一向量a，有且只有一對實數λ1，λ2使a=λ1e1+λ2e2

3．平面向量的坐標表示

分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i、j作為基底任作一個向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一對實數x、y，使得a?xi?yj 把(x,y)叫做向量a的（直角）坐標，記作a?(x,y)4．平面向量的坐標運算 若a?(x1,y1)，b?(x2,y2)，則a?b?(x1?x2,y1?y2)，a?b?(x1?x2,y1?y2)，?a?(?x,?y)若A(x1,y1)，B(x2,y2)，則AB??x2?x1,y2?y1? ?????5．a∥b(b0)的充要條件是x1y2-x2y1=0

6．線段的定比分點及λ

P1, P2是直線l上的兩點，P是l上不同于P1, P2的任一點，存在實數λ，使 P1P=λ叫做點P分PPP2，λ1P2所成的比，有三種情況：

λ>0(內分)(外分)λ<0(λ<-1)(外分)λ<0(-1<λ<0)

7定比分點坐標公式：

若點P１(x1,y1)，Ｐ２(x2,y2)，λ為實數，且P1P＝λPP2，則點P的坐標為（x1??x2y1??y2,），我們稱λ為點P分P1P2所成的比

1??1??8點P的位置與λ的范圍的關系：

①當λ＞０時，P1P與PP2同向共線，這時稱點P為P1P2的內分點

②當λ＜０(???1)時，P1P與PP2反向共線，這時稱點P為P1P2的外分點 9線段定比分點坐標公式的向量形式：

在平面內任取一點O，設OP1＝ａ，OP2＝ｂ，可得OP=a??b1??a?b

1??1??1??10．力做的功：W = |F|?|s|cos，是F與s的夾角

二、講解新課：

1．兩個非零向量夾角的概念

已知非零向量ａ與ｂ，作OA＝ａ，OB＝ｂ，則∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ與ｂ的夾角 說明：（1）當θ＝０時，ａ與ｂ同向；

（2）當θ＝π時，ａ與ｂ反向；

（3）當θ＝?時，ａ與ｂ垂直，記ａ⊥ｂ； 2≤≤180

（4）注意在兩向量的夾角定義，兩向量必須是同起點的范圍0

2．平面向量數量積（內積）的定義：已知兩個非零向量ａ與ｂ，它們的夾角是θ，則數量|a||b|cos叫ａ與ｂ的數量積，記作a?b，即有a?b = |a||b|cos，（０≤θ≤π）并規定0與任何向量的數量積為0 ?探究：兩個向量的數量積與向量同實數積有很大區別

C（1）兩個向量的數量積是一個實數，不是向量，符號由cos的符號所決定

（2）兩個向量的數量積稱為內積，寫成a?b；今后要學到兩個向量的外積a×b，而a?b是兩個向量的數量的積，書寫時要嚴格區分符號“· ”在向量運算中不是乘號，既不能省略，也不能用“×”代替

（3）在實數中，若a0，且a?b=0，則b=0；但是在數量積中，若a0，且a?b=0，不能推出b=0因為其中cos有可能為0（4）已知實數a、b、c(b0)，則ab=bc ? a=c但是a?b = b?c a = c

如右圖：a?b = |a||b|cos = |b||OA|，b?c = |b||c|cos = |b||OA| ? a?b = b?c 但a

c

(5)在實數中，有(a?b)c = a(b?c)，但是(a?b)c

a(b?c)顯然，這是因為左端是與c共線的向量，而右端是與a共線的向量，而一般a與c不共線 3．“投影”的概念：作圖

定義：|b|cos叫做向量b在a方向上的投影

投影也是一個數量，不是向量；當為銳角時投影為正值；當為鈍角時投影為負值；當為直角時投影為0；當 = 0時投影為 |b|；當 = 180時投影為 |b| 4．向量的數量積的幾何意義：

數量積a?b等于a的長度與b在a方向上投影|b|cos的乘積 5．兩個向量的數量積的性質：

設a、b為兩個非零向量，e是與b同向的單位向量 1e?a = a?e =|a|cos 2ab

a?b = 0 3當a與b同向時，a?b = |a||b|；當a與b反向時，a?b = |a||b| 特別的a?a = |a|或|a|?a?a 45cos =2a?b

|a||b||a?b| ≤ |a||b|

三、講解范例：

例1 判斷正誤，并簡要說明理由

①ａ·0＝0；②0·ａ＝０；③0－AB＝BA；④｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜｜ｂ｜；⑤若ａ≠0，則對任一非零ｂ有ａ·ｂ≠０；⑥ａ·ｂ＝０，則ａ與ｂ中至少有一個為0；⑦對任意向

２２量ａ，ｂ，с都有（ａ·ｂ）с＝ａ（ｂ·с）；⑧ａ與ｂ是兩個單位向量，則ａ＝ｂ 解：上述8個命題中只有③⑧正確；

對于①：兩個向量的數量積是一個實數，應有0·ａ＝０； 對于②：應有０·ａ＝0；

對于④：由數量積定義有｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜·｜ｂ｜·｜cosθ｜≤｜ａ｜｜ｂ｜，這里θ是ａ與ｂ的夾角，只有θ＝０或θ＝π時，才有｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜·｜ｂ｜；

對于⑤：若非零向量ａ、ｂ垂直，有ａ·ｂ＝０； 對于⑥：由ａ·ｂ＝０可知ａ⊥ｂ可以都非零； 對于⑦：若ａ與с共線，記ａ＝λс 則ａ·ｂ＝（λс）·ｂ＝λ（с·ｂ）＝λ（ｂ·с），∴（ａ·ｂ）·с＝λ（ｂ·с）с＝（ｂ·с）λс＝（ｂ·с）ａ 若ａ與с不共線，則(ａ·ｂ)с≠（ｂ·с）ａ

評述：這一類型題，要求學生確實把握好數量積的定義、性質、運算律

例2 已知｜ａ｜＝３，｜ｂ｜＝６，當①ａ∥ｂ，②ａ⊥ｂ，③ａ與ｂ的夾角是60°時，分別求ａ·ｂ

解：①當ａ∥ｂ時，若ａ與ｂ同向，則它們的夾角θ＝０°，∴ａ·ｂ＝｜ａ｜·｜ｂ｜cos0°＝3×6×1＝18； 若ａ與ｂ反向，則它們的夾角θ＝180°，∴ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos180°＝3×6×（-1）＝－18； ②當ａ⊥ｂ時，它們的夾角θ＝90°，∴ａ·ｂ＝０；

③當ａ與ｂ的夾角是60°時，有

ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos60°＝3×6×

1＝9 2評述：兩個向量的數量積與它們的夾角有關，其范圍是［0°，180°］，因此，當ａ∥ｂ時，有0°或180°兩種可能

四、課堂練習：

五、小結 通過本節學習，要求大家掌握平面向量的數量積的定義、重要性質、運算律，并能運用它們解決相關的問題

六、課后作業：

七、板書設計（略）

八、課后記及備用資料：

1概念辨析：正確理解向量夾角定義

對于兩向量夾角的定義，兩向量的夾角指從同一點出發的兩個所構成的較小的非負角，因對向量夾角定義理解不清而造成解題錯一些易見的錯誤，如：

1已知△ABC中，ａ＝５，ｂ＝８，Ｃ＝６０°，求BC·CA

對此題，有同學求解如下：

解：如圖，∵｜BC｜＝ａ＝５，｜CA｜＝ｂ＝８，Ｃ＝６０°，∴BC·CA＝｜BC｜·｜CA｜cosＣ＝5×8cos60°＝20 分析：上述解答，乍看正確，但事實上確實有錯誤，原因就在于沒能正確理解向量夾角的定義，即上例中BC與CA兩向量的起點并不同，因此，Ｃ并不是它們的夾角，而正確的夾角應當是C的補角120°

2向量的數量積不滿足結合律 分析：若有（ａ·ｂ）с＝ａ·（ｂ·с），設ａ、ｂ夾角為α，ｂ、с夾角為β，則(ａ·ｂ)

向量

誤是с＝｜ａ｜·｜ｂ｜cosα·с，ａ·(ｂ·с)＝ａ·｜ｂ｜｜с｜cosβ

∴若ａ＝с，α＝β，則｜ａ｜＝｜с｜，進而有：（ａ·ｂ）с＝ａ·(ｂ·с)這是一種特殊情形，一般情況則不成立舉反例如下：

已知｜ａ｜＝１，｜ｂ｜＝１，｜с｜＝2，ａ與ｂ夾角是60°，ｂ與с夾角是45°，則：

(ａ·ｂ)·с＝（｜ａ｜·｜ｂ｜cos60°）с＝

1с，2ａ·(ｂ·с)＝（｜ｂ｜·｜с｜cos45°）ａ＝ａ

而1с≠ａ，故（ａ·ｂ）·с≠ａ·（ｂ·с）2

第五篇：平面向量的數量積及其應用教學設計說明

平面向量的數量積及其應用設計立意及思路

平面向量在教材中獨立成章，它既反映了現實世界的數量關系，又體現了幾何圖形的位置關系，具有代數形式和幾何形式的“雙重身份”，它將數和形有機地結合起來，是中學數學知識網絡的一個“交匯點”，成為聯系眾多知識內容的媒介。特別是在處理解析幾何的有關度量、角度、平行、垂直、共線等問題時，運用向量知識，可以使幾何問題直觀化、符號化、數量化，從而把“定性”研究推向“定量”研究。

由于向量具有“雙重性”，所以，向量成為了“在知識網絡交匯處設計試題”的很好載體。而在知識交匯點處命題，既是當今高考的熱點，又是重點。從近幾年高考試卷來看，對向量的考查除了直接考查平面向量外，還將向量與解析幾何、向量與三角等內容相結合，以平面向量的相關知識為載體，以數形轉化思想為主線，在知識網絡交匯點處設計創新力度大，綜合性強的問題。因此，研究向量與其它內容的綜合運用，對培養學生的綜合能力（尤其是培養學生從學科整體的高度解決問題的綜合能力）和數學素養，把握高考命題趨勢，都有著重要的意義。，本節課復習目標是在回顧和梳理基礎知識的基礎上，突出平面向量的數量與其他知識的綜合運用，滲透用向量解決問題的思想方法，從而提高學生分析問題與綜合運用知識解決問題的能力，使學生站在新的高度來認識和理解向量。在知識點4.平面向量數量積運算律的回顧中安排“思考討論：????????????????????????a?b?a?c,乙:b?c,則 以及在雙基訓練3．甲：(a?b)c與a(b?c)是否相等?”甲是乙的什么條件的判斷。目的是讓學生通過通討論和練習，深刻認識到向量數量積運算中“結合律”及“消去律”是不成立的。

例

1、是以平面向量的知識為平臺，與三角函數的有關運算綜合。第（1）小題目的是讓學生理解并掌握體向量垂直問題的多種證明方法，常用的方法有三種，一是根據數量積的定義證明，二是利用數量積的坐標運算來證明，三是利用

????向量運算的幾何意義來證。第（2）小題目的是讓學生掌握a?b?|a|?|b|，但反之不成立，并將向量相等問題轉化為模相等問題，建立等量關系。

例2是函數的最值與向量綜合問題，用兩種方法建立函數關系式，體現向量具有代數形式和幾何形式“雙重性”，培養學生的綜合應用能力。