第一篇：03 第三節 數量積 向量積 混合積

第三節 數量積 向量積 混合積

內容分布圖示

★ 兩向量的數量積

★ 數量積的運算 ★ 例

2★ 例5

★ 例3

★ 例

1★ 例4

★ 引例

★ 向量積的運算

★ 向量積的定義 ★ 例7

★ 例10

★ 混合積的幾何意義

★ 例13

★ 例8

★ 例6

★ 例9

★ 向量的混合積

★ 例11

★ 例12

★ 內容小結

★ 課堂練習

★習題7-3

★ 返回

內容要點：

一、兩向量的數量積：

定義1設有向量a、b，它們的夾角為?，乘積|a||b|cos?稱為向量a與b的數量積（或稱為內積、點積），記為a?b，即

????a?b?|a||b|cos?????????.根據數量積的定義，可以推得：

??????

（1）a?b?|b|Prjba?|a|Prjab;（2）a?a?|a|;??????（3）設a、b為兩非零向量，則 a?b的充分必要條件是 a?b?0.???2數量積滿足下列運算規律：

????（1）交換律

a?b?b?a;

（2）分配律

（3）結合律 ???????(a?b)?c?a?c?b?c;???????(a?b)?(?a)?b?a?(?b),（?為實數）.二、兩向量的向量積

???定義2 若由向量a與b所確定的一個向量c滿足下列條件：

??????（1）c的方向既垂直于a又垂直于b, c的指向按右手規則從a轉向b來確定（圖7-3-5）；

??????（2）c的模 |c|?|a||b|sin?，(其中?為a與b的夾角)，???則稱向量c為向量a與b的向量積（或稱外積、叉積），記為

???c?a?b.根據向量積的定義，即可推得

???（1）a?a?0；

??????（2）設a、b為兩非零向量，則 a//b的充分必要條件是 a?b?0.向量積滿足下列運算規律: ????（1）a?b??b?a;

???????（2）分配律(a?b)?c?a?c?b?c;

（3）結合律 ?(a?b)?(?a)?b?a?(?b),（?為實數）.三、向量的混合積 ??????例題選講：

兩向量的數量積

例1(講義例1)已知a?{1,1,?4},b?{1,?2,2}, 求 ??????(1)a?b;

(2)a與b的夾角?;(3)a與b上的投影.??例2 ?證明向量c??????與向量(a?c)b?(b?c)a垂直.例3(講義例2)試用向量方法證明三角形的余弦定理.??????????例4(講義例3)設a?3b與7a?5b垂直, a?4b與7a?2b垂直, 求a與b之間的夾角?.例5(講義例4)設液體流過平面S上面積為A的一個區域, 液體在這區域上各點處的流速均為(常向量)v.設n為垂直于S的單位向量(圖7-3-3a), 計算單位時間內經過這區域流向n所指一方的液體的質量P(液體的密度為?).兩向量的向量積

????????例6(講義例5)求與a?3i?2j?4k,b?i?j?2k都垂直的單位向量.例7(講義例6)在頂點為A(1,?1,2),B(5,?6,2)和C(1,3,?1)的三角形中, 求AC邊上的高BD.???例8 設向量m,n,p兩兩垂直, 伏隔右手規則, 且

m?4, n?2, p?3, 計算(m?n)?p.例9(講義例7)設剛體以等角速度?繞l軸旋轉, 計算剛體上一點M的線速度.例10 利用向量積證明三角形正弦定理.向量的混合積

?????????例11(講義例8)已知(a?b)?c?2, 計算[(a?b)?(b?c)]?(c?a).???????例12(講義例9)已知空間內不在同一平面上的四點

A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),C(x3,y3,z3),D(x4,y4,z4)

求四面體的體積.例13 已知a?i,b?j?2k,c?2i?2j?k, 求一單位向量?, 使??c, 且?與a,b此同時共面.課堂練習

1.已知向量a?0,b?0, 證明

???2?2??22|a?b|?|a|?|b|?(a?b).??????????2.已知a,b,c兩兩垂直, 且|a|?1,|b|?2,|c|?3,求s?a?b?c的長度與它和??????????????????????a,b,c的夾角.

第二篇：兩個向量的數量積（推薦）

8、《兩個向量的數量積》說課稿

尊敬的各位評委老師：

大家好！今天我說課的內容是《兩個向量的數量積》。現代教育理論指出學生是教學的主體，教師的教應本著從學生的認知規律出發、以學生活動為主線、在原有認知結構基礎上、建構新的知識體系。本節課的教學設計中，我將此理念貫穿于整個教學過程中。下面就從教材分析、教學目標分析、重難點分析、教法分析、學法分析、教學設計、板書設計及教學評價等方面進行說明。

一、教材分析

《兩個向量的數量積》是現行人教版高中數學第二冊下第九章第5節的內容。在本節之前，同學們已經學習了空間向量的一些知識，包括空間向量的坐標運算、共線向量和共面向量、空間向量基本定律，這些知識是學習本節的基礎。

向量概念的引入是數學學習的一個捷徑，同時也引入了一種新的解決數學問題的方法：坐標法，同時也引入了一種新的數學思想：數形結合的思想。同時，兩個向量之間的位置關系可以通過數量積來表示。因此，研究兩個向量的數量積是高中數學的一個重點知識。

二、教學目標

根據上述教材結構與內容分析，考慮到學生已有的認知結構心理特征，制定如下教學目標：

1．基礎知識目標：掌握空間向量夾角和模的概念及表示方法，掌握兩個向量數量積的概念、性質、計算方法及運算律；

2．能力訓練目標：掌握兩個向量數量積的主要用途，會用它解決立體幾何中的一些簡單問題。

3．個性品質目標：訓練學生分析問題、解決問題的能力，了解數量積在實際問題中的初步應用。

4．創新素質目標：培養學生數形結合的思想。

三、重難點分析

教學的重點是兩個向量數量積的計算方法及其應用，在此基礎上應該讓學生理解兩個向量數量積的幾何意義，這也就是本節課的難點。

下面，為了講清重點、難點，使學生能達到本節設定的教學目標，我將從教法和學法上進行講解。

四、教法

教學過程是教師和學生共同參與的過程，啟發學生自主性學習，充分調動學生的積極性、主動性；有效地滲透數學思想方法，提高學生素質。根據這樣的原則和所要完成的教學目標，并為激發學生的學習興趣，采用采用引導式、講練結合法進行講解。

五、學法

教給學生方法比教給學生知識更重要，本節課注重調動學生積極思考、主動探索，盡可能地增加學生參與教學活動的時間和空間，我進行了以下學法指導：

(1)聯想法：要求學生聯想學過的向量知識，特別加深理解數學知識之間的相互滲透性。

1(2)觀察分析法：讓學生要學會觀察問題，分析問題和解決問題新。

(3)練習鞏固法：讓學生知道數學重在運用，從而檢驗知識的應用情況，找出未掌握的內容及其差距。

下面，我將具體談談這堂課的教學過程。

六、教學程序及設想

七、板書設計

板書要基本體現整堂課的內容與方法，體現課堂進程，能簡明扼要反映知識結構及其相互聯系；能指導教師的教學進程、引導學生探索知識；同時不完全按課本上的呈現方式來編

排板書。即體現系統性、程序性、概括性、指導性、啟發性、創造性的原則；（原則性）

以上就是我說課的內容，希望各位老師對本堂課的說課提出寶貴的意見。謝謝。

第三篇：向量的數量積教學設計

平面向量數量積的物理背景及其含義

教學過程

（一）創設情境、引入新課

如圖所示，一物體在力F的作用下產生位移S，力F所做的功為多少？

【師生活動】由全體學生共同回答。然后教師提問學生功、位移、力各是什么量，由此引入向量“數量積”的概念?！窘Y論】

（二）講授新課

1、向量的數量積

2、數量積的幾何意義

3、向量數量積的性質

4、向量數量積的運算律

古典概型

教材分析

本節課是高中數學3（必修）第三章概率的第二節古典概型的第一課時，是在學習隨機事件的概率之后，幾何概型之前，尚未學習排列組合的情況下教學的。古典概型是一種特殊的數學模型，也是一種最基本的概率模型，在概率論中占有相當重要的地位。

學好古典概型可以為其它概率的學習奠定基礎，同時有利于理解概率的概念，有利于計算一些簡單事件的概率，有利于解釋生活中的一些現象與問題。學情分析

學生在初中階段已經了解了頻率與概率的關系，會計算一些簡單等可能事件發生的概率，這為學習古典概型提供了一定的基礎。教學目標

1.知識與技能：

(1)通過試驗理解基本事件的概念和特點；

(2)通過具體實例分析，抽離出古典概型的兩個基本特征，并推導出古典概型下的概率計算公式；

(3)會求一些簡單的古典概率問題。

2.過程與方法：經歷探究古典概型的過程，體驗由特殊到一般的數學思想方法。

3.情感、態度與價值觀：通過具有現實意義的實例，激發學習興趣，培養勇于探索，善于發現的創新思想。教學重、難點

重點：理解古典概型的概念，利用古典概型求解隨機事件的概率。難點：如何判斷一個試驗是否為古典概型，弄清在一個古典概型中基本事件的總數和某隨機事件包含的基本事件的個數。教學過程

（一）創設情境、引入新課

有一本好書，兩位同學都想看。甲同學提議擲硬幣：正面向上甲先看，反面向上乙先看。乙同學提議擲骰子：三點以下甲先看，三點以上乙先看。這兩種方法是否公平？

【師生活動】由全體學生共同回答。教師提出公平與否實質上是概率大小問題，切入本堂課主題——利用古典概型求隨機事件的概率。

（二）溫故知新

回顧前幾節課對概率求取的方法。

【師生活動】由全體學生共同回答，進而教師提出這種求概率的方法的不足之處，提出建立概率模型的必要性?！窘Y論】大量重復試驗。

（三）講授新課

1、基本事件

問題1：（1）拋擲一枚質地均勻的硬幣，會有哪幾種可能結果？

（2）拋擲一枚質地均勻的骰子，會有哪幾種可能結果？

【師生活動】由全體學生共同回答。教師提出基本事件的概念。【結論】

定義：一次試驗中可能出現的每一個結果稱為一個基本事件。

問題2：擲一枚質地均勻的骰子

(1)在一次試驗中，會同時出現“1點”和“2點”這兩個基本事件嗎？

(2)隨機事件“出現點數小于3”與“出現點數大于3”包含哪幾個基本事件？

問題3：擲一枚質地均勻的硬幣

(1)在一次試驗中，會同時出現“正面向上”和“反面向上”這兩個基本事件嗎？

(2)“必然事件”包含哪幾個基本事件？

【師生活動】由全體學生共同回答。教師引導學生發現基本事件的共同特征?；臼录奶攸c：(1)任何兩個基本事件是互斥的;

(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和。

2、古典概型

思考:從基本事件角度來看,上述兩個試驗有何共同特征？ 【師生活動】由個別學生回答，教師輔助講解，引出古典概型的概念。古典概型的特征：

(1)試驗中所有可能出現的基本事件的個數有限；(2)每個基本事件出現的可能性相等。思考：能否列舉出一些生活實例是符合古典概型的特征的？

3、求解古典概型

思考:古典概型下,每個基本事件出現的概率是多少?隨機事件出現的概率又如何計算？(1)基本事件的概率 試驗1:擲硬幣

P(“正面向上”）= P(“反面向上”）=1/2 試驗2:擲骰子

P（“1點”）=P（“2點”）=P（“3點”）=P（“4點”）=P（“5點”）=P（“6點”）=1/6 【師生活動】由全體學生共同回答，教師板書。

【結論】古典概型中,若基本事件總數有n個,則每一個基本事件出現的概率為1/n。(2)隨機事件的概率

擲骰子試驗中，記事件A為“出現點數小于3”，事件B為“出現點數大于3”，如何求解P(A)與P(B)？

【結論】古典概型中,若基本事件總數有n個，A事件所包含的基本事件個數為m，則P（A）=m/n。

正弦函數、余弦函數的圖象

一、教材分析

本節課是在學生掌握了單位圓中的正弦函數線和誘導公式的基礎上進行的，不僅是對前面所學知識應用的考察，也是后續學習正、余弦函數性質的基礎。對函數圖像清晰而準確的掌握也為學生在解題實踐中提供了有力的工具。本小節內容是三角函數的圖象與性質，是本章知識的重點，有著承前啟后的作用。

二、學情分析

知識上，通過高一對函數的學習，學生已經具備了一定的繪圖技能，能夠類比推理畫出圖像，并通過觀察圖像，總結性質。心理上，具備了一定的分辨能力、語言表達能力，初步形成了辯證的思維方法。

三、教學目標

（一）知識與技能

1、會用單位圓中的線段畫出正弦函數的圖象；

2、結合正弦函數的圖像，會用誘導公式畫出余弦函數的圖象；

3、會用“五點法”畫正、余弦函數的圖象。

（二）過程與方法

1、通過將單位圓12等分，過各分點做垂線，得到對應于0、π/6...2π等角的正弦線，將其向右平移，得到函數y=sinx ,x?[0,2?]的圖象；

2、根據誘導公式，以正弦函數的圖象為基礎，通過適當的圖形變換得到余弦函數的圖象；

3、通過先描關鍵的五個點，再用光滑的曲線將其連接起來，得到正余弦函數的圖象。

（三）情感、態度與價值觀

1、通過作函數圖象，感受數形結合的思想；

2、通過各函數圖象之間的關系，學會用聯系的觀點看問題。

四、教學重、難點

重點：用“五點法”畫正弦曲線、余弦曲線。

難點：利用單位圓中的正弦線畫出函數y=sinx ,x?[0,2?]的圖象；

利用正弦曲線和誘導公式畫出余弦曲線。

五、教學過程

（一）復習引入

1、如何畫函數的圖象？有什么方法

2、回顧一下三角函數線的概念。

【師生活動】對于這兩個問題，可由個別學生回答，教師根據學生的回答進行板書，進而引出本節課的主題——繪制正余弦函數的圖象。

（二）講授新課

1、正弦函數的圖象

（1）提問：1）一般怎樣得到函數圖象上點的兩個坐標數據？

2）由于一般角的三角函數值都是近似值，作圖不夠精確，我們如何得到任意角的三角函數值并用線段長（或有向線段數值）表示x角的三角函數值。即如何在直角坐標系中準確的描出此點（x,sinx）？

【師生活動】問題1可由學生回答，學生可能會回答描點法，進而教師指出三角函數值都是近似值，作圖不夠精確，拋出問題2。對于問題2，教師可自問自答，指出可利用單位圓中的正弦線來準確描點。之后教師板書利用正弦線作正弦函數圖象的過程。（2）利用正弦線作正弦函數的圖象： 1）作直角坐標系，并在直角坐標系中y軸左側畫單位圓 2）把單位圓分成12等分（等分越多，畫出的圖象越精確），可分別在單位圓中作出對應于x的0，,?? ,2? 的正弦函數線。

3）找橫坐標：把x軸上從0到2?(2?≈6.28)這一段分成12等分。4）找縱坐標：將正弦線對應平移，即可得到相應12個點。

5）連線：用平滑的曲線將12個點依次從左至右連接起來，即得y=sinx，x∈[0,2?]的圖像。使學生明白作圖方法的來由。

2、余弦函數的圖象

思考：能根據誘導公式，以正弦函數的圖象為基礎，通過適當的圖形變換得到余弦函數的圖象？

【師生活動】教師引導學生利用誘導公式將正余弦函數聯系起來，可由個別學生回答?！窘Y論】

3、五點法作圖

（1）提問：利用正弦線作圖確實比較精確，但不太實用，我們該如何快捷地畫出正弦函數的圖象呢？

追問：請同學們仔細觀察：是否可看出，在函數y=sinx，x∈[0,2?]的圖象上，起關鍵作用的點只有五個：（哪五個？）

【師生活動】由全體學生共同回答，進而教師指出在精確度不高的情況下，常常先找出這五個關鍵點，然后用光滑曲線將它們連接起來，就可以得到函數的簡圖?！窘Y論】

（2）提問：類似于正弦函數圖象的五個關鍵點，能否找出余弦函數的五個關鍵點？作出簡圖。

【師生活動】由學生自主探索用五點法作圖，教師可請一位學生上來板演，之后進行一定的講解。

（三）例題講解

兩角差的余弦公式

教材分析

三角恒等變換處于三角函數與數學變換的結合點和交匯點上，是前面所學三角函數知識的繼續與發展，是培養學生推理能力和運算能力的重要素材．兩角差的余弦公式是《三角恒等變換》這一章的基礎和出發點，公式的發現和證明是本節課的重點，也是難點。由于和與差內在的聯系性與統一性，我們可以在獲得其中一個公式的基礎上，通過角的變換得到另一個公式．我們可以用“隨機、自然進入”的方式選擇其中的一個作為突破口．教材選擇兩角差的余弦公式作為基礎，其基本出發點是使公式的證明過程盡量簡潔明了，易于學生理解和掌握，同時也有利于提高學生運用向量解決相關問題的意識和能力．

教材沒有直接給出兩角差的余弦公式，而是分探求結果、證明結果兩步進行探究，并從簡單情況入手得出結果．這樣的安排不僅使探究更加真實，也有利于學生學會探究、思維發展。教學過程

（一）創設情境、引入新課 問題1：我們知道cos30??13，cos60??，cos30?又可寫成cos(60?-30?)，那么

22cos(60?-30?)是不是就等于cos60?-cos30?呢？

【師生活動】可由教師直接在黑板上板書，與學生共同驗證結論的錯誤，進而引出本節課所要探討的兩角差的余弦公式。

（二）講授新課

兩角差的余弦公式：cos(?-?)?cos?cos??sin?sin? 思考：如何證明上述公式？

追問：求一個角的余弦值的最原始的方法是什么？

【師生活動】教師引導學生從單位元上的三角函數出發，在單位元中構造直角三角形和角α、β，將cos?、cos?、sin?、sin?表示出來，找出它們之間的等量關系?？上瓤紤]簡單的情形，即α、β是銳角的情況?！窘Y論】通過單位元中的三角函數線?！咀C明】

提問：對于α、β是任意角的情況，如何將公式進行推廣呢？

【師生活動】此項推廣工作比較繁難，教師在課堂上可提示有興趣的學生回去自行研究一下。提問：上個單元我們學習了向量的知識，在證明兩角差的余弦公式時能否利用向量的知識來證明呢？

【師生活動】教師提示學生可在單位元中取兩個向量，通過計算向量的數量積得到公式，但要提醒學生注意考慮角的范圍，通過觀察討論搞清?-??2k????！咀C明】

正弦定理

一、教材分析

正弦定理選自《普通高中課程標準實驗教科書·數學必修5（人教A版）》，主要學習正弦定理及其應用。本節課作為本章的起始課，既是初中解直角三角形的延拓，也是對三角函數和平面向量等知識在三角形中的運用。本節內容是解任意三角形的基礎，同時為后續學習余弦定理打下了一定的基礎。

二、學情分析

學生在初中已經學習了解直角三角形的內容，這為學習正弦定理打下了良好的基礎。但本節內容涉及代數推理，定理的推導和證明中可能涉及多方面的知識方法，綜合性強，因此學生在學習過程中難免會有困難。

四、教學重點、難點

教學重點： 1.正弦定理的推導.2.正弦定理的運用

教學難點：1.正弦定理的推導.2.正弦定理的運用.五、教學過程

（一）創設情境、引入新課

我們知道，在任意三角形中有大邊對大角，小邊對小角的邊角關系，我們是否能得到這個邊、角關系的準確量化呢？

【師生活動】教師指出在一個?ABC中，如果已知。。，我們要研究。。由此，引出本節課的主題——正弦定理。

（二）講授新課

1、特殊入手，探究證明

直角三角形中角與邊的等式關系：

【師生活動】教師引導學生根據正弦函數的定義，得到三邊與對應的角的正弦值的關系。【證明】

2、推廣拓展，探究證明

銳角三角形中角與邊的等式關系：

問題1：在銳角三角形ABC中，如何構造、表示 “a與sinA、b與sinB”的關系呢？ 追問：能否構造直角三角形，將問題化歸為已知問題？

【學情預設】此處，學生可能出現以下答案情形。學生對直角三角形中證明定理的方法記憶猶新，可能通過以下兩種方法構造直角三角形。

生1：過 C作BC邊上的線CD，交BA的延長線于D，得到直角三角形DBC。生2：過A作BC邊上的高線AD，化歸為兩個直角三角形問題?！編熒顒印靠捎蓚€別學生回答，教師根據學生的回答進行板書證明?！咀C明】

問題3：鈍角三角形中如何推導正弦定理？

【師生活動】教師引導學生對于鈍角三角形的情況，類別銳角三角形，構造直角三角形，留給學生課后回去思考。

3、正弦定理的理解 正弦定理：

問題4：定理從結構上看有什么特征？有哪些變形式？

【師生活動】教師引導學生觀察定理的結構，用方程的觀點看問題，每個方程含有四個量，知三求一。

【結論】（1）從結構看：各邊與其對角的正弦嚴格對應，成正比例，體現了數學的和諧美。

（2）從方程的觀點看：每個方程含有四個量，知三求一。從而知正弦定理的基本作用為：

① 已知三角形的任意兩角及其一邊可以求其他邊；

②已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對角可以求其他角的正弦值。

余弦定理

教材分析

余弦定理是初中勾股定理的直接延拓，也是解任意三角形的基礎，是三角函數和平面向量知識在三角形中的具體運用，具有廣泛的應用價值。同時，它也是學習后續知識的基礎?！緦W情分析】

學生已經會用正弦定理解決三角形相關問題，了解三角形邊角之間存在著一定的數量關系，這為本節課的學習奠定了基礎。對于正弦定理解決已知兩邊及夾角問題學生有一定的求知欲，這就促使學生去探索如何求解該類問題。

【教學重點】 余弦定理推導

【教學難點】 余弦定理推導及應用 教學過程

（一）創設情境、引入新課

如果已知一個三角形的兩邊及其所夾的角，根據三角形全等的判定方法，這個三角形是大小、形狀完全確定的三角形。怎樣在這樣的已知三角形的兩邊及其夾角的條件下解三角形呢？

【師生活動】教師引導學生先用數學符號表示上述問題：如果已知三角形的兩邊a，b和角C，如何解出c，B，A？先考慮怎樣計算出c的大小。即要研究如何用已知的兩條邊及其所夾的角來表示第三條邊的問題，由此引出本節課的主題——余弦定理。

（二）講授新課

1、余弦定理

問題1：聯系所學過的知識，從什么途徑來解決上述問題呢？

【師生活動】由于涉及到邊長問題，教師引導學生從向量的角度出發考慮，利用向量的數量積求解。【證明】 余弦定理：

2、余弦定理的推論 問題2：

【師生活動】教師引導學生將余弦定理進行變形，可以通過三邊計算出三角形的三個角?！窘Y論】

3、余弦定理和勾股定理的關系

問題3：余弦定理與以前的關于三角形的什么定理在形式上非常接近？

【師生活動】由個別學生回答，教師由此引進就三種不同情形探究兩個定理之間的聯系?！窘Y論】

（三）例題講解

等差數列

（一）創設情境、引入新課

情境1：在現實生活中，我們經常這樣數數，從0開始，每隔5數一次，可以得到數列：0，5，10,15,20...情境2： 情境3 情境4：

思考：同學們觀察一下上面的這四個數列： 0，5，10，15，20，?? ① 48，53，58，63 ②

18，15.5，13，10.5，8，5.5 ③ 072，10 144，10 216，10 288，10 360 ④ 看這些數列有什么共同特點呢？

【師生活動】教師引導學生觀察每個數列相鄰兩項之間的關系，由此引出等差數列的概念。【結論】

（二）講授新課

1、等差數列的概念

問題1：對于以上幾組數列我們稱它們為等差數列。請同學們根據我們剛才分析等差數列的特征，嘗試著給等差數列下個定義。

【師生活動】由個別學生回答，教師輔助講解?！窘Y論】

問題2：如果在與中間插入一個數A，使a，A，b成等差數列，那么A應滿足什么條件？ 【師生活動】由個別學生回答，教師由此引入等差中項的概念?！窘Y論】

2、等差數列的通項公式

問題3：對于以上的等差數列，我們能不能用通項公式將它們表示出來呢？

【師生活動】教師引導學生根據等差數列的定義，先得到相鄰兩項之間的關系，再將每一項用首項及公差表示出來，即可發現一定的規律，得到通項公式?！窘Y論】

等差數列的前n項和

教材分析

等差數列的前n項和是數列與等差數列的概念的延續，是進一步學習數列知識的重要基礎和有力工具。同時，它也為后續學習等比數列的前n項和打下了一定的基礎，與數學中的函數、三角函數、不等式等都有密切的聯系。

（一）創設情境、引入新課

等差數列在現實生活中比較常見，因此等差數列求和就成為我們在實際生活中經常遇到的問題。在200多年前，歷史上最偉大的數學家之一，被譽為“數學王子”的高斯就曾經上演了迅速求出等差數列這么一出好戲。那時，高斯的數學老師提出了下面的問題：1+2+3+??+100=？當時，當其他同學忙于把100個數逐項相加時，10歲的高斯卻用下面的方法迅速算出了正確答案：（1+100）+（2+99）+??+（50+51）=101×50=5050。高斯的算法解決了1+2+3+??+n中前100項之和的問題。

【師生活動】教師通過講述這個故事，因此本節課的主題——等差數列的前n項和，并讓學生思考高斯的算法妙在哪里。

（二）講授新課

問題1：能否嘗試用高斯的方法計算出1+2+3+??+n的結果？ 【師生活動】先由學生自主思考，再請個別學生回答，教師輔助講解?！窘Y論】

問題2：有沒有更巧妙的方法呢？

【師生活動】教師指出數學家們從高斯那里受到啟發，于是用下面的這個方法計算1，2，3，?，n，?的前n項的和：

由 1 + 2 + ? + n-1 + n n + n-1 +? + 2 + 1（n+1）+（n+1）+ ? +（n+1）+（n+1）

可知

這種方法叫“倒序相加法”。

問題3：對于一般的等差數列求和，能否用倒序相加法來求解？

【師生活動】教師設出一個一般的等差數列，引導學生用倒序相加法求和，將Sn用兩種方式表示出來，同樣將兩式相加，得到等差數列前n項和的公式?！就茖н^程】

問題4：如果不知道末項，如何求前n項和？

【師生活動】教師引導學生可利用等差數列的通項公式，將an用首項及公差表示，得到公式2?！窘Y論】

等比數列的前n項和

一、教學內容分析

本節課選自《普通高中課程標準數學教科書·數學（5）》（人教版）第二章第5節第一課時。從在教材中的地位與作用來：看《等比數列的前n項和》是數列這一章中的一個重要內容，它不僅在現實生活中有著廣泛的實際應用，如儲蓄、分期付款的有關計算等等，而且公式推導過程中所滲透的類比、化歸、分類討論、整體變換和方程等思想方法，都是學生今后學習和工作中必備的數學素養。學情分析

從學生的思維特點看，很容易把本節內容與等差數列前n項和從公式的形成、特點等方面進行類比，這是積極因素，應因勢利導。不利因素是：本節公式的推導與等差數列前n項和公式的推導有著本質的不同，這對學生的思維是一個突破，另外，對于q = 1這一特殊情況，學生往往容易忽視，尤其是在后面使用的過程中容易出錯。教學對象是剛進入高中的學生，雖然具有一定的分析問題和解決問題的能力，邏輯思維能力也初步形成，但由于年齡的原因，思維盡管活躍、敏捷，卻缺乏冷靜、深刻，因此片面、不嚴謹。教學過程

（三）創設情境、引入新課

國際象棋起源于古代印度。相傳國王要獎賞國際象棋的發明者，問他想要什么。發明者說：請在棋盤的第一個格子里放上1顆麥粒，第2個格子里放上2顆麥粒，第三格放4粒，往后每一格都是前一格的兩倍，直至第64格。國王令宮廷數學家計算，結果出來后，國王大吃一驚。為什么呢？

【師生活動】教師引導學生將各格所放的麥粒數看成一個數列，可得到一個等比數列。該問題即是求這個等比數列前64項的和。提問：如何對上式進行求解呢？

【師生活動】教師引導學生對上式進行觀察，進而發現后一項均是前一項的2倍，用2乘以上式，得到一個新的式子，再引導學生觀察兩個式子的關系，將兩式相減，從而得到最終結果?！厩蠼膺^程】

（四）講授新課

問題1：對于一般的等比數列。，它的前n項和是。。，如何求前n項和呢？ 【師生活動】教師引導學生類比求麥粒的過程，自主探究等比數列的前n項和的公式，可請個別學生上來板演?！就茖н^程】 【注意點】q?1

問題2：如果不知道數列總共有多少項，如何求第一項至最后一項的總和？

【師生活動】教師引導學生如果不知道n具體為多少時，該如何求解前n項和，引導學生回顧。，可將公式進行變化得到另一公式?！窘Y論】

問題3：若q=1，則是什么數列？

【師生活動】由全體學生共同回答，教師進行板書，將特殊情況羅列出來?！窘Y論】常數數列。

平行線的判定

1、教材分析

圖形的判定與圖形的性質，是研究圖形時必須要解決的兩類問題，判定兩條直線平行，是指根據直線具備的某個條件，就可以得到這兩條直線平行的結論。而性質是一種事物區別于其它事物的根本屬性。研究平行線的性質，平行線是已知的前提條件。因此二者的不同之處在于平行線是條件還是結論。教科書通過學生已學過的平行線的畫法中，有同位角相等畫出的兩直線就平行這一數學事實，得出“同位角相等，兩直線平行”的判定方法。這一方法是判定兩直線平行的基本方法，利用這一方法，通過對頂角和鄰補角關系分別推出平行線的另外兩種判定方法。教科書p36上端提出的問題可用反證法的思想加以說明。假設CD與EF不平行，那么CD與EF相交，設交點為O，那么過O點就可畫兩條直線與AB平行，這與“經過直線外一點能畫并且只能畫一條直線與已知直線平行”的已知事實矛盾，所以CD∥EF。在平行線判定的教學中，應充分體現一條主線索：“充分實驗—仔細觀察—形成猜想—實踐檢驗—明確條件和結論．”

2、學生分析

以前學生接觸的是一步推理，而且因果關系比較明顯。判定定理的推導需要先通過角的關系，找符合判定公理的條件，涉及兩步推理，學生需要思考的問題復雜了一些，可能一時適應不了問題的思考方法。教學時注意引導，隨時歸納總給使學生逐漸學會思考和分析。根據以前經驗，多數學生能積極思考、探究，敢于發表自己的見解；在前面的教學中，曾開展過探究實踐活動，全班同學具有初步的小組合作交流的經驗。

3、學習目標

知識與技能目標：經歷觀察、操作、推理、交流等活動，探索并掌握平行線的三個判定方法，并會正確識別圖中的同位角、內錯角和同旁內角。

能力與方法目標：經歷探索直線平行的條件的過程，發展空間觀念和有條理的表達能力。

情感與態度目標：在自己獨立思考的基礎上，積極參與小組活動對直線平行條件的討論，敢于表達自已的觀點，并從中受益。

重點難點分析：本節的重點是：平行線的判定公理及兩個判定定理．一般的定義與第一個判定定理是等價的．都可以做判定的方法．但平行線的定義不好用來判定兩直線相交還是不相交．這樣，有必要借助兩條直線被第三條直線截成的角來判定．因此，這一個判定公理和兩個判定定理就顯得尤為重要了．它們是判斷兩直線平行的依據，也為下一節，學習習近平行線的性質打下了基礎．本節內容的難點是：理解由判定公理推出判定定理的過程．學生剛剛接觸演繹推理方法，對幾何說理還不太理解．有些同學甚至認為從直觀圖形即可辨認出的性質，沒必要再進行證明．這些都使幾何的入門教學困難重重．因此，教學中要有直觀的演示和操作，也要有嚴格推理板書示范．創設情境，不斷滲透，使學生初步理解說理的步驟和基本方法．

勾股定理

教材分析：

這節課是九年制義務教育初級中學教材浙教版八年級第二章第六節《探索勾股定理》第一課時，勾股定理是幾何中幾個重要定理之一，它揭示的是直角三角形中三邊的數量關系。它在數學的發展中起到重要的作用，在現時世界中也有著廣泛的作用。學生通過對勾股定理的學習，可以在原有的基礎上對直角三角形有進一步的認識和理解。

學情分析

八年級學生已經具有了一定的幾何圖形的觀察能力，同時他們的抽象思維能力、邏輯推理能力也有了一定的發展。學生已經學過了三角形，全等三角形，等腰三角形以及簡單多邊形的相關性質，對本節課的學習有很大幫助。本節內容思維量較大，對思維的嚴謹、歸納推理等能力有較高要求，學生學習起來有一定難度。

多邊形的內角和

一、教材分析：

從教材的編排上，本節課作為第三章的第三節。從三角形的內角和到四邊形的內角和至多邊形的內角和，環環相扣。同時，對今后學習的鑲嵌，正多邊形和圓等都是非常重要的。知識的聯系性比較強。因此，本節課具在承上啟下的作用，符合學生的認知規律。再從本節的教學理念看，編者從簡單的幾何圖形入手，蘊含了把復雜問題轉化為簡單問題，化未知為已知的思想。充分體現了人人學有價值的數學，這一新課程標準精神。

二、學情分析：

學生剛學完三角形的內角和，對內角和的問題有了一定的認識，加上七年級的學生具有好奇心，求知欲強，互相評價，互相提問的積極性高。因此對于學習本節課內容的知識條件已經成熟。學生參加探索活動的熱情已經具備。因此把這節課設計成一節探索活動課是必要的。

三、教學目標的確定：

新課程標準注重教學內容與現實生活的聯系，注重學生經歷觀察、操作、推理、想像等探索過程。根據學生現有的知識水平，依據課程標準的要求，我確定了以下的教學目標。

知識技能：掌握多邊形的內角和公式

數學思考：

1、通過動手實踐，自主探索，交流互 動，能夠將多邊形的問題轉化為三角形的問題。從而深刻理解多邊形的內角和，并會加以應用。

2、通過活動，發展學生的合情推理能力，積累數學活動經驗，在探索中學會交流自己的思想和方法。

3、通過探索多邊形內角和公式，讓學生逐步從實驗幾何過渡到論證幾何。

解決問題：通過探索多邊形的內角和公式，使學生嘗試從不同的角度尋求解決問題的方法并能有效的解決問題。

情感態度：讓學生體驗猜想得到證實的成功喜悅和成就感。在解題中感受數學就在我們身邊。

四、重難點的確立：

既然是多邊形內角和具有承上啟下的作用。因此確定本節課的重點是探究多邊形的內角和的公式。由于七年級學生初學幾何，所以學生在幾何的邏輯推理上感到有難度。所以我確定本節課的難點是探究多邊形內角和公式推導的基本思想，而解決問題的關鍵是教師恰當的引導。

對數的概念

一、教材分析

本節課選自《普通高中課程標準實驗教科書·數學必修一（人教A版）》第二章2.2.1，主要學習對數的概念及其運算。對數與對數運算是學生在學習了指數與指數冪后的又一重要運算，對數與指數的互化是對指數函數及其性質的鞏固，也是后續學習對數函數的基礎。因此，本節課起著承上啟下的重要作用。

二、學情分析

本節內容面向高一學生，學生在此之前已經學習了指數與指數冪的運算及指數函數，而對數是由指數轉化過來的，所以前面的學習為本節課的學習做了一定的鋪墊。學生已經初步具備運用所學知識解決問題的能力，但本節內容的學習對學生的遷移轉化能力有較高的要求。因此，教師要加以一定的指導。

三、教學目標

四、教學過程

（一）創設情境、引入新課

根據上一節的例8我們能從中，算出任意一個年頭x的人口總數，那么哪一年的人口達到18億，20億，30億？

【師生活動】由學生根據問題得出計算公式，進而教師引導學生觀察3個式子，都是已知底數和冪的值，求指數。由此，教師引出本節課所要學習的對數問題。

（二）講授新課

1、對數的定義

一般地。。

思考：利用對數寫出上述3個問題的答案。

【師生活動】全體學生共同回答，教師根據學生的回答板書，幫助學生掌握對數的概念?！窘Y論】

提問：為什么對數的定義中要求a>0且不等于1？

2、兩個重要的對數

3、對數與指數間的關系

4、對數的性質

提問：是否所有實數都有對數？

【師生活動】教師引導學生將對數式先轉化為指數式，再進行思考?！窘Y論】

（三）課堂例題

直線的傾斜角與斜率

教材分析

本節內容選自《普通高中課程標準實驗教科書·數學必修2（人教A版）》第三章3.1，主要學習直線的傾斜角與斜率。直線的傾斜角與斜率是解析幾何的重要概念之一，是刻畫直線傾斜程度的幾何要素與代數表示，是平面直角坐標系內以坐標法的方式來研究直線及其幾何性質的基礎。本節課是第三章的第一節，該節是學生學習用坐標法研究圖形，研究幾何問題的初步知識，這些知識是初步滲透解析幾何的基本思想和基本研究方法。本節也是后續學習直線的方程、圓錐曲線的基礎。學情分析

學生在初中已經學習了一次函數，對直線的表示有一定的了解，這為本節內容的學習打下了一定的基礎。由于這是學生第一次接觸直線的傾斜角和斜率，對于兩者之間的轉換也有一定的難度，對學生的問題探究能力也有一定的要求。因此，在課堂中要讓學生好好理解直線的傾斜角與斜率的概念。教學過程

（一）創設情境、引入新課

在平面直角坐標系中，點用坐標表示，直線如何表示呢？

（二）講授新課

問題1：對于平面直角坐標系內的一條直線l，它的位置由哪些條件確定呢？ 【師生活動】教師引導學生發現兩點可以確定一條直線，一點不能確定一條直線。問題2：如圖，在直角坐標系中，過點P的不同直線的區別在哪里？ 【師生活動】教師引導學生發現過定點的不同直線，其傾斜程度不同。

圓的標準方程

教材分析

本節內容選自《普通高中課程標準實驗教科書·數學必修2（人教A版）》第四章4.1.1，主要學習圓的標準方程。圓作為常見的簡單幾何圖形，在實際生活和生產實踐中有著廣泛的應用。圓的方程屬于解析幾何學的基礎知識，是研究二次曲線的開始，是后續學習直線與圓的位置關系、圓錐曲線等內容的基礎。學情分析

學生在初中階段已經學習了圓的概念和基本性質，在前一階段的學習中又掌握了求直線方程的一般方法，為本節的學習打下了一定的基礎。但由于學生以往更注重從幾何的角度理解圓的性質，而且學習解析幾何的時間還不長，尚未牢固建立數形結合的思想，對坐標法的運用還不夠熟練，在學習過程中難免會出現困難。教學過程

（一）創設情境、引入新課

在初中，我們已經學習了圓的定義，圓是怎么定義的呢？確定一個圓需要哪些條件？ 【師生活動】教師引導學生回顧圓的定義，讓學生明確確定一個圓的幾何要素是半徑和圓心。

（二）講授新課

問題1：在平面直角坐標系中，圓心在原點，半徑為r的圓如何表示呢？

【師生活動】教師引導學生利用圓的定義，設出圓上的任意點的坐標，利用圓上的任意點到圓心的距離等于半徑的關系求出圓的方程?！窘Y論】

問題2：在平面直角坐標系中，如果圓心不在原點，圓的方程應該如何表示呢？ 【師生活動】 【結論】

直線與平面平行的判定

教材分析

本節內容。。本節課是在前面學習點、線、面的位置關系基礎上，進一步研究直線與平面的位置關系。平行關系是本章的重要內容，線面平行是平行關系的初步，也是面面平行判定的基礎，還映射著線面垂直的關系。學情分析

學生通過對點、線、面位置關系的學習，初步理解了空間中點、線、面的位置關系，基本熟悉了直觀感知、操作確認這一研究方法，但對學生的空間想象能力有一定的要求。

a??，b??，且a//b?a//?.證明：由a??得

a//?或者a???A.下證a???A不可能.若a???A，由a//b，b??，得

A?b.則過點A做c//b，則a//c.又a?c?A，矛盾.?a//?.

第四篇：平面向量的數量積教案

2.4.2平面向量數量積的坐標表示、模、夾角

教學目標：

1、知識目標:推導并掌握平面向量數量積的坐標表達式，會利用數量積求解向量的模、夾角及判定垂直等問題.2、能力目標:通過自主互助探究式學習,培養學生的自學能力,啟發學生用多角度去思考和解決問題的能力,促進學生對知識的掌握和靈活運用.3、情感目標:通過自主學習,增強學生的成就感,提高學生學習的積極性和自信心.教學重點:利用數量積的坐標表示解決模、夾角、垂直等問題.教學難點:平面向量數量積的坐標表達式的推導.教法:啟發式教學,講練結合 學法:自主互助探究式 教學用具:多媒體 教學過程設計:

一、復習引入

(教師提問,學生回答)

二、知識探究

1.平面向量數量積的坐標表示

????b?(x,y)a?b?x1x2?y1y2 a?(x,y)已知非零向量,22,則11(找學生到黑板上推導)結論:兩個向量數量積等于它們對應坐標的乘積的和.思考:向量數量積的坐標表示與前面所學的向量的坐標運算有什么聯系和區別?

(學生討論回答,教師歸納)例

???1.已知a?(2,3),b?(?2,4),c?(?1,?2),求: ??(1)a?b;(2)???a?(b?c);(3)

????(a?b)?(a?b);(4)??2(a?b).(教師講前兩問,學生做后兩問)

2.平面向量數量積的應用

(1)求模問題:

(讓學生自己推導)?i)a?(x,y),a??x?y22.(x2?x1)?(y2?y1)22ii)A(x,y1),B(x2,y2)1,AB?(平面上兩點間距離公式).?a1????iii)求a的單位向量e,e????aaa??,其中e??1.??例2.(1)已知a?(3,4),e是a的單位向量,求a,e.?(2)已知A(1,2),B(3,4),求

鞏固練習:P107練習1 ???已知a?(?3,4),b?(5,2),求aAB.,?b??,a?b

(2)判定向量的垂直關系:(讓學生自己推導)????a?b?a?b?0?x1x2?y1y2?0

??a//b?x1y2?x2y1?0

(對比記憶)例3.已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5),試判斷?ABC的形狀,并給出證明.(3)求向量的夾角:(讓學生自己推導)思考:i)?的范圍?

ii)由cos?能確定?嗎?為什么?

(找學生回答)例4.鞏固練習.P107 練習3

????已知a?(3,2),b?(5,?7),求a與b????設a?(5,?7),b?(?6,?4),求a?b??a?bcos?????abx1x2?y1y2x?y2121x?y222

2?及a?與b的夾角(精確到1).0的夾角(精確到1).0

思考:不使用計算器,結合上面的例題,能求出?的值嗎?(找學生回答)

三、能力提升

??已知a?(cos?,sin?),b?(cos?,sin?),證明

????(a?b)?(a?b).四、小結

這節課咱們一起學習了: 1.平面向量數量積的坐標表示 2.平面向量數量積的應用(1)求模;(2)判定垂直;(3)求夾角.希望大家在掌握的基礎上加以靈活應用.五、作業

P108 A組5(1),(2),(3)任選一個、9、11.六、課后探索題: ??已知a?(?2,?1),b?(x,1)

??(1)若a與b??(2)若a與b??(3)若a與b的夾角?為45,則實數x的值是_____;

0的夾角為銳角,則實數x的取值范圍是_____;的夾角為鈍角,則實數x的取值范圍是_____.

第五篇：12022-向量數量積的運算律

向量數量積的運算律

制作人：張明娟審核人：葉付國使用時間：2012-5-8編號：12022 學習目標：

1、掌握平面向量數量積的運算律及其運算；

2、通過向量數量積分配律的學習，體會類比、猜想、證明的探索性學習方法；

3、通過解題實踐，體會向量數量積的運算方法.學習重點：向量數量積的運算律及其應用.學習難點：向量數量積分配律的證明.重點知識回顧：

1、兩個向量的夾角的范圍是：；

2、向量在軸上的正射影

正射影的數量為；

??

3、向量的數量積（內積）：a·b=；

4、兩個向量的數量積的性質：

??（1）a?b?；

（2）a?aa

（3）cos?=；

向量數量積的運算律

1（）a?b?b?a;

(2)(?

(3)(a???a)?b?a?(?b)??(a?b)??a?b;?b)?c?a?c?b?c平面向量數量積的常用公式

(1)(a

2(2)(a?b)(a

證明：（1）

（2）

?b)?a?2a?b?b?b)?a?b22

典例剖析：

例????

1、已知a=6，b=4，a與b的夾角為600，??求：（1）b在a方向上的投影；

??（2）a在b方向上的投影；

（3）a ?2b?a?3b??

例????02、已知a與b的夾角為120，a=2，b=3，求：（）a?b；（2）a?

b；（3）（2a

1（4?

5? ?b）（?a?3b）

??1,a與b夾角為120，問t取何值0

?t

例

????????a3、已知=3，b=4，（且a與b不共線），當且僅當k為何值時，向量a?kb與a?kb 互相垂直？

???????變式：已知a=1, b=2, a與a?b垂直.求a與b的夾角.練習題:求證菱形的對角線互相垂直.例

???????04、已知a=2，b=4，a,b?120，求a與a?b的夾角.課堂小結：

跟蹤練習：

1、下列運算不正確的是（）

A.??a??b??c??a????b?c??B.???a?b??c??a??c???b?c?

C.m???a???b?ma??mbD.?a???b??c??a????b?c??

2、設e?、e?，則?2e????

12是兩個單位向量，它們的夾角為6001?e2????3e1?2e2??（A.?99

2B.2C.?8D.83、已知?a??7, ?b?7，a???b?7，則a?與b的夾角為（）；

4、已知：向量a?與?b的夾角為1200，且a??4，?b?2，求：

（1）a???b；（2）3a???4b；（3）?a???b???a???2b）