第一篇：湖北李智勇 何濤瀾 向量數量積問題再探討（寫寫幫推薦）

作者：李智勇

何濤瀾

電話：*** 單位地址：湖北省紅安縣第一中學（湖北省紅安縣城關鎮邊街3號）

郵編：438400

平面向量數量積最值問題的再探討

李智勇

何濤瀾

（湖北省紅安縣第一中學

438400）

近幾年,平面向量數量積的最值問題又再次頻頻出現在各地的高考卷上,成為新課改地區高考中的一個熱點問題,現以兩例具體問題來闡述此類問題的解決途徑.例

1、（05年江蘇高考試題)在?ABC中,O為中線AM上一個動點,若AM?2,則OA?(OB?OC)的最小值是__________.分析:(如圖)本題的突破口關鍵在于AM為?ABC的中線,故易知

OB?OC?2OM,所以:OA?(OB?OC)?OA?(2OM)?2(OA?OM)

從而把不共線向量數量積的問題轉化為共線向量數量積的問題.方法一:借助基本的向量運算降低問題難度

應用向量的基本運算把不共線的數量積問題轉化為共線的或者是易求的數量積問題,從而達到解決問題的目的 解:AM為?ABC的中線?OB?OC?2OM

?OA?(OB?OC)?OA?(2OM)?2(OA?OM)?2|OA|?|OM|cos???2|OA|?|OM|

|OA|?|OM|2|AM|2)??1?OA?(OB?OC)??2 又|OA|?|OM|?(24方法

二、建立直角坐標系降低問題門檻

從純幾何的角度出發,對學生的思維層次要求較高,對于此類問題我們還可以借助建立直角坐標系的方法,降低問題的難度.解:以M點為圓心,AM所在直線為y軸,建立如圖所示的直角坐標系.設A(0,2),B(x,y),O(0,z),則C(?x,?y)

?OA?(0,2?z),OB?(x,y?z),OC?(?x,?y?z)OB?OC?(0,?2z)(0?z?2)

?OA?(OB?OC)?(2?z)(?2z)?2(z?1)2?2

故OA?(OB?OC)的最小值為?2

例

2、（04年湖北高考試題)在Rt?ABC中,BC?a,若長為2a的線段PQ以A點為中點,問PQ與BC的夾角?取何值時BP?CQ的值最大?并求出這個最大值.方法一：解:

11BP?CQ?(BA?AP)?(CA?AQ)?(BA?PQ)?(CA?PQ)

2221111?BP?CQ?BA?CA?PQ?(BA?CA)?PQ?BA?CA?PQ?BC?|PQ|2

2424又BA?CA,|PQ|?2a,|BC|?a

11PQ?BC?a2?|PQ||BC|cos??a2?a2cos??a2 22?BP?CQ??當cos??1,即??0(PQ與BC同向)時,BP?CQ取到最大值0.方法二：以A點為原點,AB邊所在直線為x軸,建立如圖所示的直角坐標系.設?CAB??,PQ與AB的夾角為?,則B(acos?,0),C(0,asin?)

P(?acos?,?asin?),Q(acos?,asin?)

?BP?(?acos??acos?,?asin?),CQ?(acos?,asin??asin?)

?BP?CQ??a2cos2??a2cos?cos??a2sin2??a2sin?sin???a[1?cos(???)]2

?當cos(???)??1即?????(PQ與BC同向)時,BP?CQ的最大值為0

點評:通過建立適當的直角坐標系,將向量的數量積坐標化,從而轉化常見的求函數最值問題.讀者可以試著用上述的兩種方法來完成下面的練習.練習:如圖,已知等邊?ABC的邊長為2,又以A為圓心,半徑為1作圓,PQ是直徑,試求

BP?CQ的最大值,并指明此時四邊形BCQP的形狀.答案:BP?CQ的最大值為3,此時四邊形BCQP為矩形.作者：李智勇

何濤瀾

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