第一篇：22.4.1平面向量的數(shù)量積的物理背景及其含義(第二課時(shí))

鄂旗高級中學(xué)高一數(shù)學(xué)必修4導(dǎo)學(xué)案§2.4.2平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角（第二課時(shí)）2012年6月

2.4.1平面向量的數(shù)量積的物理背景及其含義（第二課時(shí)）

課前預(yù)習(xí)學(xué)案

一、預(yù)習(xí)目標(biāo)：

平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)及運(yùn)算律；

二、預(yù)習(xí)內(nèi)容：

1．兩個(gè)向量的數(shù)量積的性質(zhì)：

1?a?b?_________2? cos? =3?當(dāng)a與同向時(shí)，a?=_______;當(dāng)a與b反向時(shí)，a? b =______

4?特別的a?a= ______________或︱a︱= _____________

5? |a?b| __________ |a||b| 2.數(shù)量積的運(yùn)算律:

已知向量a、、c和實(shí)數(shù)λ，則：

（1）交換律:a·=

（2）結(jié)合律:（λa）·b==c

（3）分配律:（a +）·=_

課內(nèi)探究學(xué)案

一、學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.學(xué)會用平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)及運(yùn)算律；

2.了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關(guān)長度、角度和垂直的問題； 學(xué)習(xí)重難點(diǎn)：。平面向量的數(shù)量積及其幾何意義

二、學(xué)習(xí)過程

例2.試證明：（1）(a+b)2

=a2

+2a·b+b2

（2）(a+b)·(a-b)= a2

—b

2例3.已知|a|=6，|b|=4，a與b的夾角為60o求(a+2b)·(a-3b)

變式訓(xùn)練

1.已知|a|=3，|b|=4，且a與b的夾角為150°，則(a+b)２

＝.2.已知|a|=2，|b|=5，a·b=-3，則|a+b|=______，|a-b|=.3.已知?a?5，?b?2，a?與b?的夾角為120?，求(2a+)·(a-)的值.例4.已知|a|=3，||=4，且a與不共線，k為何值時(shí)，向量a+k與a-k互相垂直.變式訓(xùn)練：1.若?a?5，?b?4，且a?與b?夾角為60?，則當(dāng)k為何時(shí)，ka??b?與?a?2?b垂直?

2.已知|a|=1，||=2，(1)若a∥，求a·；

(2)若a、的夾角為６０°，求|a+|；(3)若a-與a垂直，求a與的夾角.課后練習(xí)與提高

1.已知|a|=1，||=2，且(a-)與a垂直，則a與的夾角是（）A.60°B.30°C.135°D.４５° 2.下列命題中正確的個(gè)數(shù)是_________________

①?a??b??a??b；②?a??b=0??a??0或?b??0；③??a????

a；④??a??0??=0或?a??0 3.已知?a?4，?

b?3，當(dāng)?a//?b時(shí)?a??b=_______；當(dāng)?a?b?時(shí)，?a??b=_______.4.已知正三角形ABC的邊長為1，則???AB?????AC?;???AB?????BC?

=__________.5.已知向量a?與b?的夾角為120?，且?a?4，?b?2，求：

(1)?a??b;(2)3?a?4?

b;(3)(a+)·(a-2)

課后反思:

第二篇：2.4.1平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義(教學(xué)設(shè)計(jì))

SCH高中數(shù)學(xué)（南極數(shù)學(xué)）同步教學(xué)設(shè)計(jì)（人教A版必修4第二章《平面向量》）

2.4.1平面向量的數(shù)量積的物理背景及其含義（教學(xué)設(shè)計(jì)）

[教學(xué)目標(biāo)]

一、知識與能力：

1． 掌握平面向量的數(shù)量積的物理背景及幾何意義； 2． 掌握平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律；

二、過程與方法：

滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)學(xué)生轉(zhuǎn)化問題的能力；借助物理背景，感知數(shù)學(xué)問題，探究知識的來龍去脈；培養(yǎng)學(xué)生轉(zhuǎn)化問題的能力.三、情感、態(tài)度與價(jià)值觀：

培養(yǎng)對現(xiàn)實(shí)世界中的數(shù)學(xué)現(xiàn)象的好奇心，學(xué)習(xí)從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問題；樹立學(xué)科之間相互聯(lián)系、相互促進(jìn)的辯證唯物主義觀點(diǎn).[教學(xué)重點(diǎn)] 向量的數(shù)量積的定義及性質(zhì)． [教學(xué)難點(diǎn)]

對向量數(shù)量積的定義及性質(zhì)的理解和應(yīng)用．

一、復(fù)習(xí)回顧，新課引入

????1． 向量共線定理

向量b與非零向量a共線的充要條件是：有且只有一個(gè)非零實(shí)數(shù)λ，使b=λa.2．平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實(shí)數(shù)λ1，λ2使a=λ1e1+λ2e2 3．平面向量的坐標(biāo)表示

分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i、j作為基底.任作一個(gè)向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一對實(shí)數(shù)x、y，使得a?xi?yj，把(x,y)叫做向量a的（直角）坐標(biāo)，記作a?(x,y)4．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

若a?(x1,y1)，b?(x2,y2)，則a?b?(x1?x2,y1?y2)，a?b?(x1?x2,y1?y2)，?a?(?x,?y).若A(x1,y1)，B(x2,y2)，則AB??x2?x1,y2?y1?

?????5．a(chǎn)∥b(b?0)的充要條件是x1y2-x2y1=0 6．線段的定比分點(diǎn)及λ

P1，P2是直線l上的兩點(diǎn)，P是l上不同于P1，P2的任一點(diǎn)，存在實(shí)數(shù)λ，使 =λP1PPP2，λ叫做點(diǎn)P分

P1P2所成的比，有三種情況：SCH高中數(shù)學(xué)（南極數(shù)學(xué)）同步教學(xué)設(shè)計(jì)（人教A版必修4第二章《平面向量》）

λ>0(內(nèi)分)

(外分)λ<0(λ<-1)

(外分)λ<0(-1<λ<0)問題：如圖一個(gè)力F作用于一個(gè)物體上，使該物體位移S，（1）如何計(jì)算這個(gè)力所做的功？W=|S||F|cos?.（2）如何從數(shù)學(xué)的角度來理解這個(gè)公式呢？

1?的意義是什么？ ○2|F|cos?的意義是什么？○3|S|cos? 的意義是什么？

○

二、師生互動，新課講解：

1．兩個(gè)非零向量夾角的概念

已知非零向量ａ與ｂ，作OA＝ａ，OB＝ｂ，則∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ與ｂ的夾角.說明：（1）當(dāng)θ＝０時(shí)，ａ與ｂ同向；

（2）當(dāng)θ＝π時(shí)，ａ與ｂ反向；（3）當(dāng)θ＝?時(shí)，ａ與ｂ垂直，記ａ⊥ｂ； 2（4）注意在兩向量的夾角定義，兩向量必須是同起點(diǎn)的.范圍0?≤?≤180?

C

2．平面向量數(shù)量積（內(nèi)積）的定義：已知兩個(gè)非零向量a和b，它們的夾角為?，我們把數(shù)量|a|·|b|·cos?叫做a和b的數(shù)量積（或內(nèi)積）。記作：a·b

即：a·b=|a|·|b|·cos?

（０≤θ≤π）.并規(guī)定0與任何向量的數(shù)量積為0.?探究：兩個(gè)向量的數(shù)量積與向量同實(shí)數(shù)積有很大區(qū)別

（1）兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，不是向量，符號由cos?的符號所決定.（2）兩個(gè)向量的數(shù)量積稱為內(nèi)積，寫成a?b；今后要學(xué)到兩個(gè)向量的外積a×b，而a?b是兩個(gè)向量的數(shù)量的積，書寫時(shí)要嚴(yán)格區(qū)分.符號“· ”在向量運(yùn)算中不是乘號，既不能省略，也不能用“×”代替.（3）在實(shí)數(shù)中，若a?0，且a?b=0，則b=0；但是在數(shù)量積中，若a?0，且a?b=0，不能推出b=0.因?yàn)槠渲衏os?有可能為0.（4）已知實(shí)數(shù)a、b、c(b?0)，則ab=bc ? a=c.但是a?b = b?c

如右圖：a?b = |a||b|cos? = |b||OA|，b?c = |b||c|cos? = |b||OA| ? a?b = b?c

但a ? c

(5)在實(shí)數(shù)中，有(a?b)c = a(b?c)，但是(a?b)c ? a(b?c)

a = c SCH高中數(shù)學(xué)（南極數(shù)學(xué)）同步教學(xué)設(shè)計(jì)（人教A版必修4第二章《平面向量》）

顯然，這是因?yàn)樽蠖耸桥cc共線的向量，而右端是與a共線的向量，而一般a與c不共線.3．“投影”的概念：作圖

定義：|b|cos?叫做向量b在a方向上的投影.投影也是一個(gè)數(shù)量，不是向量；當(dāng)?為銳角時(shí)投影為正值；當(dāng)?為鈍角時(shí)投影為負(fù)值；當(dāng)?為直角時(shí)投影為0；當(dāng)? = 0?時(shí)投影為 |b|；當(dāng)? = 180?時(shí)投影為 ?|b|.4．向量的數(shù)量積的幾何意義：

數(shù)量積a?b等于a的長度與b在a方向上投影|b|cos?的乘積.5．兩個(gè)向量的數(shù)量積的性質(zhì)：

設(shè)a，b都是非零向量，e是與b方向相同的單位向量，?是a與e的夾角，則： 1）e?a?a?e?|a|cos? 2）a?b?a?b?0

3）當(dāng)a與b同向時(shí)，a·b=|a|·|b|；當(dāng)a與b反向時(shí)，a·b=-|a|·|b|.特別地，a·a=|a|2或|a|=a?a 4）cos??a?b|a|?|b| 5）|a·b|?|a|·|b| 例1（課本P104例1）已知|a|=5，|b|=4，a與b的夾角?=120?，求a?b.解：a?b=|a||b|cos?=5?4?cos120?=-10.變式訓(xùn)練1：向量|a|=6，a與b的夾角為120?，求a在b方向上的投影.（-3）

3． 數(shù)量積的運(yùn)算律（1）a?b= b?a；

（2）(?a)?b=?(a?b)=a?(?b)；（3）(a+b)?c=a?c+b?c

例2（課本P105例2）對于任意向量a，b證明（1）(a+b)2=a2+2 a?b+b2；（2）(a+b)?(a-b)=a2-b2.SCH高中數(shù)學(xué)（南極數(shù)學(xué)）同步教學(xué)設(shè)計(jì)（人教A版必修4第二章《平面向量》）

證明：（1）(a+b)2=(a+b)?(a+b)

=a?a+a?b+b?a+b?b

=a2+2a?b+b2；

（2）(a+b)(a-b)=a?a-a?b+b?a-b?b=a2-b2.變式訓(xùn)練2：判斷下列說法是否正確：

（1）若a=0，則對于任一向量b，有a?b=0.(?)（2）若a?0，則對任一非零向量b，有a?b?0.(?)（3）若a?0，a?b=0，則b=0.(?)（4）若a?b=0，則a，b至少有一個(gè)為零.(?)（5）若a?0，a?b=a?c，則b=c.(?)（6）若a?b=a?c，則b=c，當(dāng)且僅當(dāng)a?0時(shí)成立.(?)（7）對任意向量a、b、c，有(a?b)?c?a?(b?c).(?)（8）對任意向量a，有a2=|a|2.(?)例3（課本P105例3）已知|a|=6，|b|=4，a與b的夾角為60?，求(a+2b)?(a-3b).解：(a+2b)?(a-3b)=a?a-a?b-6b?b

=|a|2-a?b-6|b|

2=|a|2-|a||b|cos?-6|b|2

=-72.變式訓(xùn)練3：已知｜ａ｜＝３，｜ｂ｜＝６，當(dāng)①ａ∥ｂ，②ａ⊥ｂ，③ａ與ｂ的夾角是60°時(shí)，分別求ａ·ｂ.解：①當(dāng)ａ∥ｂ時(shí)，若ａ與ｂ同向，則它們的夾角θ＝０°，∴ａ·ｂ＝｜ａ｜·｜ｂ｜c(diǎn)os0°＝3×6×1＝18； 若ａ與ｂ反向，則它們的夾角θ＝180°，∴ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜c(diǎn)os180°＝3×6×（-1）＝－18； ②當(dāng)ａ⊥ｂ時(shí)，它們的夾角θ＝90°，∴ａ·ｂ＝０；

③當(dāng)ａ與ｂ的夾角是60°時(shí)，有

ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜c(diǎn)os60°＝3×6×＝9 例4（課本P105例4）已知|a|=3，|b|=4，且a與b不共線，k為何值時(shí)，向量a+kb與a-kb互相垂直？ 解：a+kb與a-kb互相垂直的條件是(a+kb)?(a-kb)=0，12SCH高中數(shù)學(xué)（南極數(shù)學(xué)）同步教學(xué)設(shè)計(jì)（人教A版必修4第二章《平面向量》）

即a2-k2b2=0，∵ a2=32=9，b2=42=16，∴ 9-16k2=9，∴k=?.變式訓(xùn)練4：已知|a|=2，|b|=4，ka+b與ka-b垂直，求實(shí)數(shù)k的值.解：(ka+b)?(ka-b)=0 ?k2a2-b2=0 ?k2|a|2-|b|2=0 ?4k2-16=0 ?k=?2.課堂練習(xí)（課本P106練習(xí)NO：1；2；3）

三、課堂小結(jié)，鞏固反思：

1．平面向量的數(shù)量積的物理背景及幾何意義； 2．平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律.四、課時(shí)必記：

1、平面向量數(shù)量積（內(nèi)積）的定義：已知兩個(gè)非零向量ａ與ｂ，它們的夾角是θ，則數(shù)量|a||b|cos?叫ａ與ｂ的數(shù)量積，記作a?b，即有a?b = |a||b|cos?，2、|b|cos?叫做向量b在a方向上的投影.3、設(shè)a，b都是非零向量，e是與b方向相同的單位向量，?是a與e的夾角，則：

1）e?a?a?e?|a|cos? 2）a?b?a?b?0

3）當(dāng)a與b同向時(shí)，a·b=|a|·|b|；當(dāng)a與b反向時(shí)，a·b=-|a|·|b|.特別地，a·a=|a|2或|a|=a?a 4）cos??a?b|a|?|b| 5）|a·b|?|a|·|b|

五、分層作業(yè)： A組：

1、（課本P108習(xí)題2.4 A組：NO：2）

2、（課本P108習(xí)題2.4 A組：NO：6）SCH高中數(shù)學(xué)（南極數(shù)學(xué)）同步教學(xué)設(shè)計(jì)（人教A版必修4第二章《平面向量》）

3、（課本P108習(xí)題2.4 A組：NO：7）

4、.已知|a|=1，|b|=2，且(a-b)與a垂直，則a與b的夾角是（）

A.60°

B.30°

C.135°

D.４５°

5、已知a⊥b、c與a、b的夾角均為60°，且|a|=1，|b|=2，|c|=3，則(a+2b-c)＝______.B組：

1、已知|a|=1，|b|=2，(1)若a∥b，求a·b；(2)若a、b的夾角為６0°，求|a+b|；(3)若a-b與a垂直，求a與b的夾角.2、設(shè)m、n是兩個(gè)單位向量，其夾角為６０°，求向量a=2m+n與b=2n-3m的夾角.C組：

1、(tb1225172)已知：(a?3b)垂直于(7a?5b)、(a?4b)垂直于(7a?2b)，求a與b的夾角?。

（答：

２?）

32、(tb1225577)設(shè)e1和e2是兩個(gè)單位向量，其夾角為600，試求向量a=2e1+e2和b=-3e1+2e2的夾角。（答：1200）

第三篇：平面向量的數(shù)量積的物理背景及其含義教學(xué)反思

1.1 教材的地位與作用

本節(jié)課是在學(xué)生學(xué)習(xí)了向量的概念和向量的加法、減法、數(shù)乘向量等線性運(yùn)算的基礎(chǔ)上，探索向量的又一種新的運(yùn)算，它既是前面所學(xué)知識和方法的延續(xù)，又是后繼學(xué)習(xí)解三角形、解析幾何以及空間向量等內(nèi)容的基礎(chǔ)，因此本節(jié)內(nèi)容具有承上啟下的重要作用.1.2 學(xué)情分析

（1）學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了任意角的三角函數(shù)、向量的概念和線性運(yùn)算等知識.（2）學(xué)生對向量的物理背景有了一定的了解.如：力、位移、速度的合成與分解，力做功的有關(guān)知識.（3）學(xué)生已經(jīng)具備了一定的數(shù)學(xué)建模能力，能從簡單的物理背景及生活背景抽象出數(shù)學(xué)概念.2 教學(xué)目標(biāo)分析

依據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)和以上分析，制定本節(jié)課的三維目標(biāo)如下：

知識與技能目標(biāo)

通過物理中“功”的實(shí)例，理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義，掌握平面向量數(shù)量積的性質(zhì).過程與方法目標(biāo)

經(jīng)歷從物理背景的分析，抽象概括出概念的過程，培養(yǎng)學(xué)生歸納概括，類比遷移的能力；經(jīng)歷通過不同的方式探究、發(fā)現(xiàn)平面向量數(shù)量積性質(zhì)的過程，體會從特殊到一般、分類討論、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法.情感、態(tài)度、價(jià)值觀目標(biāo)

通過師生互動，生生互動的教學(xué)活動過程，形成學(xué)生的體驗(yàn)性認(rèn)識，體會各學(xué)科之間的密切聯(lián)系，感受知識的形成過程，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，形成獨(dú)立自主的鉆研精神和合作交流的科學(xué)態(tài)度.3 重點(diǎn)、難點(diǎn)分析

根據(jù)教學(xué)目標(biāo)以及學(xué)情分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn).重點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的概念和性質(zhì).難點(diǎn)：向量在軸上的正射影的概念的理解和平面向量數(shù)量積的性質(zhì)的發(fā)現(xiàn).在教學(xué)中，注意遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.從學(xué)生感興趣的物理實(shí)例入手，通過層層分析，形成數(shù)量積的概念，并經(jīng)歷概念辨析、深化理解、學(xué)以致用等過程，來突出重點(diǎn).通過練習(xí)和探究問題的設(shè)計(jì)，將五個(gè)性質(zhì)分散開來，通過課件動畫、問題引領(lǐng)、自主探究、合作交流等手段，從理性認(rèn)識到實(shí)踐練習(xí)，再到應(yīng)用，使性質(zhì)自然呈現(xiàn)，既突出了重點(diǎn)，又突破了難點(diǎn).教學(xué)策略分析

基于數(shù)量積的知識特點(diǎn)及學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，采用啟發(fā)式和問題探究相結(jié)合的教學(xué)方法.著名數(shù)學(xué)教育家波利亞指出：“學(xué)習(xí)任何東西，最好的途徑是自己去發(fā)現(xiàn)”.因此，指導(dǎo)學(xué)生采用發(fā)現(xiàn)式學(xué)習(xí)法.在課堂上堅(jiān)持以教師為主導(dǎo)，學(xué)生為主體，以抽象類比與問題探究為主線.同時(shí)，為了有效實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)，采用多媒體和自編學(xué)案輔助教學(xué).5 教學(xué)過程分析

本節(jié)課的教學(xué)流程如下：

具體分析如下：

5.1 創(chuàng)設(shè)情境 展示背景

教師錄像展示“大力士拉車”的情境實(shí)例，提出物理問題.問題1 大力士拉車，沿著繩子方向上的力為F，車移動的位移是s，力和位移的夾角為θ，大力士所做的功為多少？

設(shè)計(jì)意圖 從學(xué)生已有的認(rèn)知水平出發(fā)，通過熟悉的生活實(shí)例，創(chuàng)設(shè)數(shù)量積的物理背景，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情.5.2 分析背景 形成概念

該環(huán)節(jié)，依據(jù)本套教材的特點(diǎn)，以物理背景作為總的抓手，通過抽象、概括、歸納，形成了兩個(gè)向量的夾角、向量在軸上的正射影和向量的數(shù)量積定義三個(gè)概念.第一步：背景的初次分析

問題2 決定功的大小的量有哪幾個(gè)？它們是標(biāo)量還是矢量？當(dāng)力和位移的大小一定時(shí)，功的大小取決于那個(gè)量？

問題3 這個(gè)夾角抽象到我們數(shù)學(xué)中，就是今天我們要學(xué)習(xí)的兩個(gè)向量的夾角，把力F、位移s換作數(shù)學(xué)中任意兩個(gè)非零向量a與b，你能嘗試著給出向量a與b夾角的概念嗎？

設(shè)計(jì)意圖 通過力做功的幾個(gè)因素的分析，突出夾角在做功中的作用，形成兩個(gè)向量夾角的概念.1.兩個(gè)向量的夾角

已知非零向量a與b，作OA=a，OB=b，則∠AOB稱作向量a與b的夾角，記作：〈a，b〉.問題4 下面幾種情形中（銳角、鈍角、直角、共線同向、共線反向），兩向量的夾角分別是什么角？

設(shè)計(jì)意圖 通過幾種類型的夾角的給出，讓學(xué)生直觀感知夾角的范圍，幫助學(xué)生理解夾角范圍規(guī)定的合理性.規(guī)定： 0≤〈a，b〉≤π，且〈a，b〉=〈b，a〉.特別的：當(dāng)〈a，b〉=π2時(shí)，叫做a與b垂直，記作a⊥b；

兩向量的垂直符號同幾何中的垂直符號是一致的.問題5 請回顧：0的方向是怎樣規(guī)定的？

規(guī)定：0與任意向量垂直.前面曾規(guī)定：0與任意向量平行.設(shè)計(jì)意圖 概念呈現(xiàn)后，注意與前面所學(xué)知識進(jìn)行對比，便于學(xué)生理解，記憶.圖

1練習(xí)： 如圖1，正△ABC中，求

（1）AC與AB的夾角；

（2）AB與BC的夾角.注：確定兩向量的夾角的關(guān)鍵是：通過平移使兩向量共起點(diǎn).設(shè)計(jì)意圖 及時(shí)鞏固所學(xué)概念，強(qiáng)調(diào)確定兩向量夾角的一般方法.第二步：背景的再次分析

問題6 真正使汽車前進(jìn)的力是什么？它的大小是多少？

設(shè)計(jì)意圖 讓學(xué)生借助已有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，類比物理背景中拉力F在位移方向上的分力，它的大小是Fcos θ，自然引出向量在軸上的正射影及其數(shù)量的概念.從特殊到一般，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，突破難點(diǎn).2.向量在軸上的正射影

已知向量a和軸l，作OA=a，過點(diǎn)O、A分別作軸l的垂線，垂足分別為O1、A1，則向量O1A1叫做向量a在軸l上的正射影（簡稱射影）.向量在軸上的正射影的數(shù)量

該射影在軸l上的坐標(biāo)，稱作a在軸l上的數(shù)量或在軸l的方向上的數(shù)量.OA=a在軸l上正射影的坐標(biāo)記作： al，若向量a的方向與軸l的正向所成的角為θ，則al=|a|cos θ.問題7 向量在軸上的正射影與向量在軸上的正射影的數(shù)量有什么區(qū)別？

問題8 向量在軸上的正射影的數(shù)量一定是正實(shí)數(shù)嗎？

注： a在軸l上的正射影的數(shù)量是個(gè)實(shí)數(shù)，可正、可負(fù)、可為零.向量a在b方向上的正射影及數(shù)量

如果向量b在軸l上且與軸同向，那么，向量O1A1叫做向量a在向量b方向上的正射影，它的數(shù)量是acos.設(shè)計(jì)意圖 讓學(xué)生理解正射影及其數(shù)量的含義，并引申出向量a在向量b方向上的正射影及其數(shù)量，為數(shù)量積的概念的學(xué)習(xí)做準(zhǔn)備

第四篇：平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義教學(xué)設(shè)計(jì)

平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義

一、教學(xué)設(shè)計(jì)

平面向量的數(shù)量積是繼向量的線性運(yùn)算之后的又一重要運(yùn)算，也是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要概念，在數(shù)學(xué)、物理等學(xué)科中應(yīng)用十分廣泛。本節(jié)內(nèi)容教材共安排兩課時(shí)，其中第一課時(shí)主要研究數(shù)量積的概念，第二課時(shí)主要研究數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，本節(jié)課是第一課時(shí)。本節(jié)課的主要學(xué)習(xí)任務(wù)是通過物理中“功”的事例抽象出平面向量數(shù)量積的概念，在此基礎(chǔ)上探究數(shù)量積的性質(zhì)與運(yùn)算律，使學(xué)生體會類比的思想方法，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括和推理論證的能力。其中數(shù)量積的概念既是對物理背景的抽象，又是研究性質(zhì)和運(yùn)算律的基礎(chǔ)。同時(shí)也因?yàn)樵谶@個(gè)概念中，既有長度又有角度，既有形又有數(shù)，是代數(shù)、幾何與三角的最佳結(jié)合點(diǎn)，不僅應(yīng)用廣泛，而且很好的體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，使得數(shù)量積的概念成為本節(jié)課的核心概念，自然也是本節(jié)課教學(xué)的重點(diǎn)。

二、教學(xué)目標(biāo)

1知識與技能：闡明平面向量的數(shù)量積及其幾何意義.會算一個(gè)向量在另一個(gè)上投影的概念，運(yùn)用平面向量數(shù)量積的性質(zhì)、運(yùn)算律和幾何意義.2過程與方法：以物體受力做功為背景引入向量數(shù)量積的概念，從數(shù)與形兩方面引導(dǎo)學(xué)生對向量數(shù)量積定義進(jìn)行探究，通過作圖分析，使學(xué)生明確向量的數(shù)量積與數(shù)的乘法的聯(lián)系與區(qū)別。

3情感態(tài)度與價(jià)值觀：由具體的功的概念到向量的數(shù)量積，再到共線、垂直時(shí)的數(shù)量積，使學(xué)生學(xué)習(xí)從特殊到一般，再由一般到特殊的認(rèn)知規(guī)律，體會數(shù)形結(jié)合思想，類比思想，體驗(yàn)法則學(xué)習(xí)研究的過程，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣及良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。

三、學(xué)情分析

學(xué)生在學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容之前，已熟知了實(shí)數(shù)的運(yùn)算體系，掌握了向量的概念及其線性運(yùn)算，具備了功等物理知識，并且初步體會了研究向量運(yùn)算的一般方法：即先由特殊模型（主要是物理模型）抽象出概念，然后再從概念出發(fā)，在與實(shí)數(shù)運(yùn)算類比的基礎(chǔ)上研究性質(zhì)和運(yùn)算律。這為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)量積做了很好的鋪墊，使學(xué)生倍感親切。但也正是這些干擾了學(xué)生對數(shù)量積概念的理解，一方面，相對于線性運(yùn)算而言，數(shù)量積的結(jié)果發(fā)生了本質(zhì)的變化，兩個(gè)有形有數(shù)的向量經(jīng)過數(shù)量積運(yùn)算后，形卻消失了，學(xué)生對這一點(diǎn)是很難接受的；另一方面，由于受實(shí)數(shù)乘法運(yùn)算的影響，也會造成學(xué)生對數(shù)量積理解上的偏差，特別是對性質(zhì)和運(yùn)算律的理解。因而本節(jié)課教學(xué)的難點(diǎn)數(shù)量積的概念。

四、教學(xué)重難點(diǎn)

1、重點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的定義。

2、難點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的定義的理解。

五、教學(xué)準(zhǔn)備

1、實(shí)驗(yàn)教具：計(jì)算機(jī)、黑板、粉筆

2、教學(xué)支持資源：制作高效實(shí)用的電腦多媒體課件，主要作用是改變相關(guān)內(nèi)容的呈現(xiàn)方式，以此來節(jié)約課時(shí)，增加課堂容量。

六、教學(xué)導(dǎo)圖

七、教學(xué)過程

（I）創(chuàng)設(shè)情境，引入課題（4min）

【問題】：如圖所示，一輛小車，在力F的作用下，從A處到B處拉動的位移為S，那么請問力F在這個(gè)運(yùn)動過程中所做的功？（1）力F所做的功W=。

（2）請同學(xué)們分析公式的特點(diǎn)：W（功）是

量，F(xiàn)（力）是

量，S（位移）是 量，α是。

(3)師生共同探討矢量乘矢量以及引出向量乘以向量。

【設(shè)計(jì)意圖】設(shè)計(jì)意圖在于使學(xué)生了解數(shù)量積的物理背景，讓學(xué)生知道，我們研究數(shù)量積絕不僅僅是為了數(shù)學(xué)自身的完善，而是有其客觀背景和現(xiàn)實(shí)意義的，從而產(chǎn)生了進(jìn)一步研究這種新運(yùn)算的愿望。同時(shí)，也為抽象數(shù)量積的概念做好鋪墊。

（II）步步探索，形成概念（20min）

1、概念的明晰

已知兩個(gè)非零向量a 與b，它們的夾角為θ，我們把數(shù)量 ︱a︱·︱b︱cosθ 叫做 a與 b的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作：a ·b

【學(xué)生思考】：在平面向量的數(shù)量積定義中，它與兩個(gè)向量的加減法有什么本質(zhì)區(qū)別？ 【問題1】：向量的數(shù)量積運(yùn)算與線性運(yùn)算的結(jié)果有什么不同？影響數(shù)量積大小的因素有哪些？

【問題2】：數(shù)量積的幾何意義是什么？ 并在此對向量積投影的講解。

2、研究數(shù)量積的物理意義

數(shù)量積的概念是由物理中功的概念引出的，學(xué)習(xí)了數(shù)量積的概念后，學(xué)生就會明白功的數(shù)學(xué)本質(zhì)就是力與位移的數(shù)量積。

【問題3】：請同學(xué)們用一句話來概括功的數(shù)學(xué)本質(zhì)：功是力與位移的數(shù)量積。

【設(shè)計(jì)意圖】：這樣做不僅讓學(xué)生從“形”的角度重新認(rèn)識數(shù)量積的概念，從中體會數(shù)量積與向量投影的關(guān)系，同時(shí)也更符合知識的連貫性，而且也節(jié)約了課時(shí)。好鋪墊。

我設(shè)計(jì)問題 一方面使學(xué)生嘗試計(jì)算數(shù)量積，另一方面使學(xué)生理解數(shù)量積的物理意義，同時(shí)也為數(shù)量積的性質(zhì)埋下伏筆。

4、性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)

教材中關(guān)于數(shù)量積的三條性質(zhì)是以探究的形式出現(xiàn)的，為了很好地完成這一探究活動，在完成上述練習(xí)后，我不失時(shí)機(jī)地提出： 【問題4】：比較︱ a·b ︱與︱a ︱×︱b ︱的大小，你有什么結(jié)論？ 在學(xué)生討論交流的基礎(chǔ)上，教師進(jìn)一步明晰數(shù)量積的性質(zhì)，然后再由學(xué)生利用數(shù)量積的定義給予證明，完成探究活動。

5、明晰數(shù)量積的性質(zhì)

【設(shè)計(jì)意圖】：體現(xiàn)了教師只是教學(xué)活動的引領(lǐng)者，而學(xué)生才是學(xué)習(xí)活動的主體，讓學(xué)生成為學(xué)習(xí)的研究者，不斷地體驗(yàn)到成功的喜悅，激發(fā)學(xué)生參與學(xué)習(xí)活動的熱情，不僅使學(xué)生獲得了知識，更培養(yǎng)了學(xué)生由特殊到一般的思維品質(zhì).6、運(yùn)算律的發(fā)現(xiàn)

關(guān)于運(yùn)算律，教材仍然是以探究的形式出現(xiàn)，為此，首先提出問題9 【問題5】：我們學(xué)過了實(shí)數(shù)乘法的哪些運(yùn)算律？這些運(yùn)算律對向量是否也適用？ 學(xué)生可能會提出以下猜測： 猜測①的正確性是顯而易見的。

關(guān)于猜測②的正確性，我提示學(xué)生思考下面的問題： 猜測②的左右兩邊的結(jié)果各是什么？它們一定相等嗎？ 學(xué)生通過討論不難發(fā)現(xiàn)，猜測②是不正確的。

這時(shí)教師在肯定猜測③的基礎(chǔ)上明晰數(shù)量積的運(yùn)算律：

9、明晰數(shù)量積的運(yùn)算律

10、證明運(yùn)算律

學(xué)生獨(dú)立證明運(yùn)算律（2）師生共同證明運(yùn)算律（3）

運(yùn)算律（3）的證明對學(xué)生來說是比較困難的，為了節(jié)約課時(shí)，這個(gè)證明由師生共同完成，我想這也是教材的本意。

【設(shè)計(jì)意圖】：在這個(gè)環(huán)節(jié)中，我仍然是首先為學(xué)生創(chuàng)設(shè)情景，讓學(xué)生在類比的基礎(chǔ)上進(jìn)行猜想歸納，然后教師明晰結(jié)論，最后再完成證明，這樣做不僅培養(yǎng)了學(xué)生推理論證的能力，同時(shí)也增強(qiáng)了學(xué)生類比創(chuàng)新的意識，將知識的獲得和能力的培養(yǎng)有機(jī)的結(jié)合在一起。

（III）課堂練習(xí)，鞏固提高（15min）

例

1、（師生共同完成）已知︱a︱=6，︱b︱=4, a與b的夾角為60°，求（a+2b）·（a-3b），并思考此運(yùn)算過程類似于哪種運(yùn)算？

例

2、（學(xué)生獨(dú)立完成）對任意向量a，b是否有以下結(jié)論：（1）(a+b)2= a2+2a ·b +b

2（2）(a+b)·(a-b)=a2—b2 例

3、（師生共同完成）已知︱︱=3，︱︱=4, 且 與不共線，k為何值時(shí)，向量+k 與-k互相垂直？并思考：通過本題你有什么收獲？

【設(shè)計(jì)意圖】：本節(jié)教材共安排了四道例題，我根據(jù)學(xué)生實(shí)際選擇了其中的三道，并對例1和例3增加了題后反思。例1是數(shù)量積的性質(zhì)和運(yùn)算律的綜合應(yīng)用，教學(xué)時(shí)，我重點(diǎn)從對運(yùn)算原理的分析和運(yùn)算過程的規(guī)范書寫兩個(gè)方面加強(qiáng)示范。完成計(jì)算后，進(jìn)一步提出問題：此運(yùn)算過程類似于哪種運(yùn)算？目的是想讓學(xué)生在類比多項(xiàng)式乘法的基礎(chǔ)上自己猜測提出例2給出的兩個(gè)公式，再由學(xué)生獨(dú)立完成證明，一方面這并不困難，另一方面培養(yǎng)了學(xué)生通過類比這一思維模式達(dá)到創(chuàng)新的目的。例3的主要作用是，在繼續(xù)鞏固性質(zhì)和運(yùn)算律的同時(shí)，教給學(xué)生如何利用數(shù)量積來判斷兩個(gè)向量的垂直，是平面向量數(shù)量積的基本應(yīng)用之一，教學(xué)時(shí)重點(diǎn)給學(xué)生分析數(shù)與形的轉(zhuǎn)化原理。

例

4、為了使學(xué)生更好的理解數(shù)量積的含義，熟練掌握性質(zhì)及運(yùn)算律，并能夠應(yīng)用數(shù)量積解決有關(guān)問題，再安排如下練習(xí)：

1、下列兩個(gè)命題正確嗎？為什么？

①、若≠0，則對任一非零向量，有·≠0． ②、若≠0，·＝·，則＝．

2、已知△ABC中，=，=，當(dāng)· <0或·＝0時(shí)，試判斷△ABC的形狀。

【設(shè)計(jì)意圖】：安排練習(xí)1的主要目的是，使學(xué)生在與實(shí)數(shù)乘法比較的基礎(chǔ)上全面認(rèn)識數(shù)量積這一重要運(yùn)算，通過練習(xí)2使學(xué)生學(xué)會用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，進(jìn)一步感受數(shù)量積的應(yīng)用價(jià)值。

（IV）課堂小結(jié)，教學(xué)反思（4min）

1、本節(jié)課我們學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容是什么？

2、平面向量數(shù)量積的兩個(gè)基本應(yīng)用是什么？

3、我們是按照怎樣的思維模式進(jìn)行概念的歸納和性質(zhì)的探究？在運(yùn)算律的探究過程中，滲透了哪些數(shù)學(xué)思想？

4、類比向量的線性運(yùn)算，我們還應(yīng)該怎樣研究數(shù)量積？

【設(shè)計(jì)意圖】：通過上述問題，使學(xué)生不僅對本節(jié)課的知識、技能及方法有了更加全面深刻的認(rèn)識，同時(shí)也為下一節(jié)做好鋪墊，繼續(xù)激發(fā)學(xué)生的求知欲。

八、課后練習(xí)

1、課本P121習(xí)題2.4A組1、2、3。

2、拓展與提高：

已知a與b都是非零向量，且a+3b與7a-5b垂直，a-4b與 7a-2b垂直 求a與b的夾角。

【設(shè)計(jì)意圖】：在這個(gè)環(huán)節(jié)中，我首先考慮檢測全體學(xué)生是否都達(dá)到了“課標(biāo)”的基本要求，因此安排了一組教材中的習(xí)題，目的是讓所有的學(xué)生繼續(xù)加深對數(shù)量積概念的理解和應(yīng)用，為后續(xù)學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)。其次，為了能讓不同的學(xué)生在數(shù)學(xué)領(lǐng)域得到不同的發(fā)展，我又安排了一道有一定難度的問題供學(xué)有余力的同學(xué)選做。

第五篇：高中數(shù)學(xué) 2.4.1平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義說課稿 新人教版必修4

2.4.1平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義（說課稿）

一、課題介紹

選自普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)教科書(人民教育出版社A版)《必修4》第二章第四節(jié)的第一課時(shí)——平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義．

對于這節(jié)課，我將以“教什么、怎么教、為什么這樣教”為思路，從教材分析、教法分析、學(xué)法分析、教學(xué)過程分析及板書設(shè)計(jì)分析五個(gè)方面來談?wù)勎覍滩牡睦斫夂徒虒W(xué)過程，敬請各位老師指正．

二、教材分析

(一)本節(jié)在教材中的地位和作用

平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義,包括數(shù)量積的定義、幾何意義、性質(zhì)及運(yùn)算律.它是繼向量的加法，減法,實(shí)數(shù)與向量的積等線性運(yùn)算之后又一新的運(yùn)算，是前面知識的延續(xù)，又是學(xué)好后續(xù)知識的基礎(chǔ)，起承上啟下的作用.由于它在數(shù)學(xué)、物理等學(xué)科中的廣泛應(yīng)用,因此，我把本節(jié)內(nèi)容分為兩個(gè)課時(shí),其中第一課時(shí)主要研究數(shù)量積的概念,第二課時(shí)主要研究數(shù)量積的運(yùn)算律.本節(jié)課為第一課時(shí).(二)目標(biāo)分析

教學(xué)中以知識技能的培養(yǎng)為主線,滲透情感態(tài)度與價(jià)值觀,并把這兩者充分體現(xiàn)在教學(xué)過程中.教學(xué)的主體是學(xué)生,因此目標(biāo)的制定和設(shè)計(jì)必須從學(xué)生的角度出發(fā),結(jié)合教學(xué)內(nèi)容的要求及本節(jié)的地位與作用,本節(jié)課應(yīng)實(shí)現(xiàn)如下教學(xué)目標(biāo):

1、知識目標(biāo):理解平面向量數(shù)量積、投影的定義；掌握平面向量數(shù)量積的性質(zhì)；了解用平面向量數(shù)量積處理有關(guān)長度、角度和垂直的問題.2、能力目標(biāo):通過對平面向量數(shù)量積性質(zhì)的探究,培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的能力,使學(xué)生的思維能力得到訓(xùn)練.繼續(xù)培養(yǎng)學(xué)生的探究能力和創(chuàng)新的精神.3、情感目標(biāo):通過本節(jié)課的學(xué)習(xí),激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和善于發(fā)現(xiàn)、勇于探索的精神,體會學(xué)習(xí)的快樂.體會各學(xué)科之間是密不可分的.培養(yǎng)學(xué)生思考問題認(rèn)真嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度.(三)教學(xué)的重點(diǎn)與難點(diǎn)

本節(jié)課注重培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和探究能力,因而確定重點(diǎn)、難點(diǎn)為: 重點(diǎn):平面向量數(shù)量積的定義、幾何意義及其性質(zhì).難點(diǎn):平面向量數(shù)量積性質(zhì)的探究.三、教法分析

本節(jié)課主要通過師生之間的相互探討和交流進(jìn)行教學(xué)，即以導(dǎo)學(xué)講評教學(xué)方法為主，結(jié)合了探究式教學(xué)法、講練結(jié)合法、談話法等展開教學(xué)．在活動中，教師著眼于“導(dǎo)”，盡力激發(fā)學(xué)生的求知欲望，引導(dǎo)他們解決問題，并掌握解決問題的規(guī)律和方法；學(xué)生著眼于“探”，通過活動發(fā)現(xiàn)規(guī)律，解決問題，發(fā)展探索能力和創(chuàng)造能力．

四、學(xué)法分析

根據(jù)新課程標(biāo)準(zhǔn)理念，學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，教師只是學(xué)習(xí)的幫助者，引導(dǎo)者.考慮到這節(jié)課主要通過老師的引導(dǎo)讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)規(guī)律，在自己的發(fā)現(xiàn)中學(xué)到知識，提高能力，因此，我主要引導(dǎo)學(xué)生自己從問題中質(zhì)疑、嘗試、歸納，采用自主探究的方法進(jìn)行學(xué)習(xí)，并使學(xué)生從中體會學(xué)習(xí)的興趣.五、教學(xué)過程

教學(xué)是一個(gè)教師的“導(dǎo)”，學(xué)生的“學(xué)”以及教學(xué)過程中的“悟”構(gòu)成的和諧整體.如果再把教學(xué)過程中“教與學(xué)”完美的結(jié)合也就是以“問題”為核心，通過對知識的發(fā)生、發(fā)展和運(yùn)用過程的演繹、解釋及探究來組織和推動教學(xué).因此，我的教學(xué)過程如下：(一)創(chuàng)設(shè)情境，引入新課(二)合作探究

????

1、結(jié)合物理中功的定義，思考W?F?S?FScos?是怎樣得出來的，從而引出數(shù)??????abcos?量積的定義:已知兩個(gè)非零向量a與b，把數(shù)量叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記??????作a?b，即有a?b?abcos?，然后分析定義強(qiáng)調(diào)應(yīng)該注意的問題，得到一個(gè)特殊的規(guī)

???定：零向量與任意向量的數(shù)量積都為零，即0?a?0(a為任意向量)．

????再結(jié)合位移方向上的力做功引出投影的定義: acos?bcos?叫做向量a在b方向

????上(b在a方向上)的投影.讓學(xué)生獨(dú)立思考投影及數(shù)量積的符號；引導(dǎo)學(xué)生說出數(shù)量積的結(jié)構(gòu)得出幾何意義：數(shù)

???????量積a?b等于a的長度a與b在a方向上的投影bcos?的乘積.180?、90?時(shí)，2、結(jié)合數(shù)量積的正負(fù)，提出兩個(gè)向量夾角的三個(gè)特殊值來研究，當(dāng)??0?、????(1)a?b?a?b?0;??????(2)當(dāng)a與b同向時(shí)，a?b?ab;??????當(dāng)a與b反向時(shí)，a?b??ab, 特別地,a?a?a或a????2???a?a.????(3)a?b?ab.(三)例題講解

知識注重應(yīng)用.因而，當(dāng)這部分知識講解完后，我將通過一個(gè)例題來強(qiáng)化學(xué)生對知識的理解.??????例 已知a?5,b?4，a與b的夾角?=120度，求a?b．

目的：鞏固所學(xué)知識，解決情景中問題.例題注重分析，并將結(jié)果回到情景中，培養(yǎng)學(xué)生理論聯(lián)系實(shí)際的思想.(四)課堂練習(xí)

為了培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立解決問題的能力，在例題講解后，我設(shè)計(jì)了一個(gè)練習(xí)題,通過抽個(gè)別同學(xué)上黑板演算，其余同學(xué)在草稿本上完成練習(xí)的方式來掌握學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，從而對講解內(nèi)容作適當(dāng)?shù)难a(bǔ)充提醒.(五)課時(shí)小結(jié)

讓學(xué)生回顧本節(jié)課主要內(nèi)容并小結(jié).使學(xué)生明確本節(jié)課的重點(diǎn)與難點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生歸納總結(jié)的能力.(1)平面向量數(shù)量積、投影的定義以及數(shù)量積的幾何意義.(2)平面向量數(shù)量積的幾個(gè)重要結(jié)論.目的：通過課堂小結(jié)，使學(xué)生對本節(jié)的內(nèi)容有一個(gè)完整、系統(tǒng)的認(rèn)識，在培養(yǎng)概括能力的同時(shí)，也對本節(jié)課的教學(xué)效果進(jìn)行反饋．(六)作業(yè)布置

目的：使學(xué)生繼續(xù)加深對數(shù)量積概念的理解及應(yīng)用，為后續(xù)學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ).五、板書設(shè)計(jì)

板書設(shè)計(jì)的好壞直接影響這節(jié)課的效果，因此它起著舉足輕重的作用.為了使整個(gè)板面重點(diǎn)突出，層次分明，我將黑板分為四版，第一版是通過復(fù)習(xí)物理知識引入新課,第二版是新課的講解，第三版是數(shù)量積性質(zhì)的探究，第四版是例題和練習(xí)題，這樣的排版使學(xué)生一目了然.總之,這節(jié)課是本著教師只是學(xué)生學(xué)習(xí)的引導(dǎo)者,知識是由學(xué)生自主構(gòu)建的原則設(shè)計(jì)的.以上就是我對本節(jié)課的理解和設(shè)計(jì),敬請各位老師批評指正.