第一篇：【創(chuàng)新設(shè)計(jì)】2015屆高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí) 4-3 平面向量的數(shù)量積題組訓(xùn)練 理(含14年優(yōu)選題,解析)新人教A版

第3講平面向量的數(shù)量積

基礎(chǔ)鞏固題組

(建議用時(shí)：40分鐘)

一、選擇題

1．(2013·湛江二模)向量a＝(1,2)，b＝(0,2)，則a·b＝

A．

2C．4B．(0,4)D．(1,4)()．

解析 a·b＝(1,2)·(0,2)＝1×0＋2×2＝4.答案 C

→→

2．(2014·紹興質(zhì)檢)在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，∠BAD＝120°，則AC在AB方向上的投影為

1A.4C．112D．2

→→→1解析 如圖所示，AC在AB方向上的投影為|AC|cos 60°＝2

1.2()．

答案 C

3．(2013·山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)診斷)已知向量a＝3，1)，b＝(0,1)，c＝(k，3)．若a＋2b與c

垂直，則k＝

A．－

3C．－1B．－2D．1()．

解析 由題意知(a＋2b)·c＝0，即a·c＋2b·c＝0.所以3k＋3＋23＝0，解得k＝－3.答案 A

4．(2014·浙江五校聯(lián)盟)若非零向量a，b滿足|a|＝|b|，且(2a＋b)·b＝0，則向量a，b的夾角為()．

12πA.3πC.3

πB.65π6

解析 由(2a＋b)·b＝0，得2a·b＋|b|2＝0.1∴2|b|2·cos＋|b|2＝0，∴cos＝－，22π

又∈[0，π]，∴＝3答案 A

→→

5．(2013·福建卷)在四邊形ABCD中，AC＝(1,2)，BD＝(－4,2)，則該四邊形的面積為

A.5B．25C．5D．10 →→

解析 ∵AC·BD＝1×(－4)＋2×2＝0，→→∴AC⊥BD，→→|AC|·|BD|20

∴S四邊形＝5.22答案 C

二、填空題

6．(2013·新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷)已知兩個(gè)單位向量a，b的夾角為60°，c＝ta＋(1－t)b.若b·c＝0，則t＝________.解析 b·c＝b·[ta＋(1－t)b]＝ta·b＋(1－t)b2 ＝t|a||b|cos 60°＋(1－t)|b|2 tt

＝1－t＝1－2

2t由b·c＝0，得1－＝0，所以t＝2.2答案 2

→→→→

7．(2014·南京三模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知OA＝(3，－1)，OB＝(0,2)．若OC·AB＝→→

0，AC＝λOB，則實(shí)數(shù)λ的值為________．

→→→→→→

解析 設(shè)C(x，y)，則OC＝(x，y)，又AB＝OB－OA＝(0,2)－(3，－1)＝(－3,3)，所以O(shè)C·AB→??x－3＝0，＝－3x＋3y＝0，解得x＝y(tǒng).又AC＝(x－3，y＋1)＝λ(0,2)，得?結(jié)合x＝y(tǒng)，解

?y＋1＝2λ，?

()．

得λ＝2.答案 2

→→

8.(2014·濰坊二模)如圖，在△ABC中，O為BC中點(diǎn)，若AB＝1，AC＝3，＝60°，→

則|OA|＝________.→→→→→→→11

3解析 因?yàn)?AB，AC>＝60°，所以AB·AC＝|AB|·|AC|cos 60°＝1×3×＝，又AO＝

22211322?→→?，所以AO2＝1(AB＋AC)2＝1AB2＋2AB·AC＋AC)，即AO＝(1＋3＋9)＝，?AB＋AC?4444→13所以|OA|＝2答案

三、解答題

9．已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)(x∈R)．

(1)若a⊥b，求x的值；(2)若a∥b，求|a－b|.解(1)若a⊥b，則a·b＝1×(2x＋3)＋x(－x)＝0.整理得x2－2x－3＝0，故x＝－1或x＝3.(2)若a∥b，則有1×(－x)－x(2x＋3)＝0，即x(2x＋4)＝0，解得x＝0或x＝－2.當(dāng)x＝0時(shí)，a＝(1,0)，b＝(3,0)，a－b＝(－2,0)，∴|a－b|＝?－2?＋0＝2.當(dāng)x＝－2時(shí)，a＝(1，－2)，b＝(－1,2)，a－b＝(2，－4)，∴|a－b|＝綜上，可知|a－b|＝2或25.10．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61，(1)求a與b的夾角θ；(2)求|a＋b|；

3→

→

→

→

→→

→

→

→→

(3)若AB＝a，BC＝b，求△ABC的面積． 解(1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61，∴4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.又|a|＝4，|b|＝3，∴64－4a·b－27＝61，－6a·b1∴a·b＝－6.∴cos θ＝＝.|a||b|4×322π

又0≤θ≤π，∴θ3

(2)|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2 ＝42＋2×(－6)＋32＝13，∴|a＋b|＝13.→→2π2ππ(3)∵AB與BC的夾角θ＝ABC＝π－333→→

又|AB|＝|a|＝4，|BC|＝|b|＝3，1→→13

∴S△ABC＝|AB||BC|sin∠ABC4×3×＝3.22

2能力提升題組(建議用時(shí)：25分鐘)

一、選擇題

1．(2013·青島一模)若兩個(gè)非零向量a，b滿足|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，則向量a＋b與a的夾角為 π

A.62πC.3πB.35π6

()．

解析 由|a＋b|＝|a－b|，得a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2，即a·b＝0，所以(a＋b)·a＝a2＋a·b＝|a|2.故向量a＋b與a的夾角θ的余弦值為 ?a＋b?·a|a|21πcos θ＝＝所以θ＝3|a＋b||a|2|a||a|2答案 B

→→→→2

22．(2014·昆明調(diào)研)在△ABC中，設(shè)AC－AB＝2AM·BC，那么動(dòng)點(diǎn)M的軌跡必通過△ABC的()． A．垂心

B．內(nèi)心

C．外心D．重心

→→→→→→→→→→22

解析 假設(shè)BC的中點(diǎn)是O.則AC－AB＝(AC＋AB)·(AC－AB)＝2AO·BC＝2AM·BC，即→→→→→→→(AO－AM)·BC＝MO·BC＝0，所以MO⊥BC，所以動(dòng)點(diǎn)M在線段BC的中垂線上，所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡必通過△ABC的外心，選C.答案 C

二、填空題

π3．(2013·浙江卷)設(shè)e1，e2為單位向量，非零向量b＝xe1＋ye2，x，y∈R.若e1，e2的夾角為，6|x|

則________． |b|

π3x22222

2解析 因?yàn)閑1·e2＝cos ＝，所以b＝x＋y＋2xye1·e2＝x＋y＋3xy.所以＝

62bx2

＝

x2＋y23xy

y11

3，設(shè)t＝，則1＋t2＋3t＝?t＋2＋≥，所以0＜

x?244y?23y

1＋??x?x

1x2|x|

4的最大值為4，所以的最大值為2.2b|b|1＋t3t答案 2

三、解答題

4．設(shè)兩向量e1，e2滿足|e1|＝2，|e2|＝1，e1，e2的夾角為60°，若向量2te1＋7e2與向量e1＋te2的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

解 由已知得e2e2＝2×1×cos 60°＝1.1＝4，e2＝1，e1·22∴(2te1＋7e2)·(e1＋te2)＝2te2e2＋7te21＋(2t＋7)e1·2＝2t＋15t＋7.1欲使夾角為鈍角，需2t2＋15t＋7＜0，得－7＜t.2設(shè)2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)(λ＜0)，??2t＝λ，∴?∴2t2＝7.?7＝tλ，?

∴t＝－即t＝－

λ＝－14.2

2te1＋7e2與e1＋te2的夾角為π.2

∴當(dāng)兩向量夾角為鈍角時(shí)，t的取值范圍是

?－7，－14?∪?－141?.2??22??

第二篇：文科數(shù)學(xué)2010-2019高考真題分類訓(xùn)練專題五平面向量第十四講 向量的應(yīng)用—后附解析答案

專題五

平面向量

第十四講

向量的應(yīng)用

2019

2019年

1.（2019全國(guó)Ⅰ文8）已知非零向量a，b滿足=2，且（a–b）b，則a與b的夾角為

A．

B．

C．

D．

2.（2019全國(guó)Ⅱ文3）已知向量a=(2，3)，b=(3，2)，則|a–b|=

A．

B．2

C．5

D．50

3.（2019全國(guó)Ⅲ13）已知向量，則___________.4.（2019北京文9）已知向量=（–4，3），=（6，m），且，則m=__________．

5.（2019天津文14）在四邊形中，，，點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，且，則__________.6.（2019江蘇12）如圖，在中，D是BC的中點(diǎn)，E在邊AB上，BE=2EA，AD與CE交于點(diǎn).若，則的值是

.7.（2019浙江17）已知正方形的邊長(zhǎng)為1，當(dāng)每個(gè)取遍時(shí)，的最小值是________，最大值是_______.2010-2018

一、選擇題

1．(2018浙江)已知，是平面向量，是單位向量．若非零向量與的夾角為，向量滿足，則的最小值是

A．

B．

C．2

D．

2．（2017浙江）如圖，已知平面四邊形，，與交于點(diǎn)，記，，則

A．<<

B．<<

C．<

D．<<

3．（2016年四川）已知正三角形的邊長(zhǎng)為，平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，滿足,，則的最大值是

A．

B．

C．

D．

4．（2015廣東）在平面直角坐標(biāo)系中，已知四邊形是平行四邊形，，則

A．

B．

C．

D．

5．（2015湖南）已知點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，且，若點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的最大值為

A．6

B．7

C．8

D．9

6．（2014安徽）在平面直角坐標(biāo)系中，已知向量點(diǎn)滿足．曲線，區(qū)域

．若為兩段分離的曲線，則

A．

B．

C．

D．

7．（2014天津）已知菱形的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)分別在邊上，.若，則

A．

B．

C．

D．

8．（2012天津）在△ABC中，AB=1，設(shè)點(diǎn)P，Q滿足，．若，則

A．

B．

C．

D．2

9．(2012安徽)在平面直角坐標(biāo)系中，將向量繞點(diǎn)O按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)

后得向量，則點(diǎn)的坐標(biāo)是

A．

B．

C．

D．

10．（2012廣東）對(duì)任意兩個(gè)非零的平面向量α和β，定義．若平面向量滿足，與的夾角，且和都在集合中，則=

A．

B．1

C．

D．

11．(2011山東)

設(shè)，，是平面直角坐標(biāo)系中兩兩不同的四點(diǎn)，若(∈)，(∈)，且，則

稱，調(diào)和分割，已知點(diǎn)，(∈)調(diào)和分割

點(diǎn)，則下面說法正確的是

A．可能是線段的中點(diǎn)

B．可能是線段的中點(diǎn)

C．，可能同時(shí)在線段上

D．，不可能同時(shí)在線段的延長(zhǎng)線上

二、填空題

12．(2018上海)在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，是軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值為______．

13．（2017北京）已知點(diǎn)在圓上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，為原點(diǎn)，則的最大值為_______．

14．（2017浙江）已知向量，滿足，則的最小值是，最大值是

．

15．（2017江蘇）在平面直角坐標(biāo)系中，，點(diǎn)在圓：上，若，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是

．

16．（2016年浙江）已知向量，，若對(duì)任意單位向量，均有，則的最大值是

．

17．（2015山東）過點(diǎn)

作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則

．

18．（2015江蘇）已知向量，若（R），則的值為______．

19．（2015天津）在等腰梯形ABCD中，已知∥，，點(diǎn)和點(diǎn)分別在線段和上，且，則的值為________．

20．（2015安徽）是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，已知向量、滿足，則下列結(jié)論中正確的是

．（寫出所有正確結(jié)論得編號(hào)）

①為單位向量；②為單位向量；③；④；⑤．

21．（2014天津）已知菱形的邊長(zhǎng)為，點(diǎn)，分別在邊、上，．若，則的值為________．

22．（2014湖南）在平面直角坐標(biāo)系中，為原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，則的最大值是

23．（2012江蘇）如圖，在矩形中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，若，則的值是

．

24．（2012山東）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一單位圓的圓心的初始位置在，此時(shí)圓上一點(diǎn)的位置在，圓在軸上沿正向滾動(dòng)。當(dāng)圓滾動(dòng)到圓心位于時(shí)，的坐標(biāo)為

．

25．（2010湖南）在邊長(zhǎng)為1的正三角形ABC中,設(shè)

則______．

三、解答題

26．（2017浙江）已知向量，．

（1）若，求的值；

（2）記，求的最大值和最小值以及對(duì)應(yīng)的的值．

27．（2015陜西）△ABC的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，向量

與平行．

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）若，求△ABC的面積．

28．(2015四川)如圖，橢圓：（>>0）的離心率是，點(diǎn)在短軸上，且．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓交于兩點(diǎn)．是否存在常數(shù)，使得為定值？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

29．（2014山東）已知向量，函數(shù)，且的圖像過點(diǎn)和點(diǎn)．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）將的圖像向左平移個(gè)單位后得到函數(shù)的圖像，若圖像上各最高點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最小值為1，求的單調(diào)遞增區(qū)間．

30．（2014遼寧）在中，內(nèi)角的對(duì)邊，且，已知，，求：

（Ⅰ）和的值；

（Ⅱ）的值．

31．（2013江蘇）已知，．

(1)

若，求證：；

(2)

設(shè)，若，求，的值．

32．（2013湖南）過拋物線的焦點(diǎn)F作斜率分別為的兩條不同的直線，且，相交于點(diǎn)A，B，相交于點(diǎn)C，D．以AB，CD為直徑的圓M，圓N（M，N為圓心）的公共弦所在的直線記為．

（I）若，證明：；

（II）若點(diǎn)M到直線的距離的最小值為，求拋物線E的方程．

33．（2013遼寧）設(shè)向量

（I）若

（II）設(shè)函數(shù)．

34．（2012江西）已知三點(diǎn)，，曲線上任意一點(diǎn)滿足

．

（1）求曲線的方程；

（2）動(dòng)點(diǎn)在曲線上，曲線在點(diǎn)處的切線為．問：是否存在定點(diǎn),使得與都相交,交點(diǎn)分別為,且與的面積之比是常數(shù)？若存在，求的值。若不存在，說明理由．

35．（2010江蘇）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1)．

（1）求以線段AB、AC為鄰邊的平行四邊形兩條對(duì)角線的長(zhǎng)；

（2）設(shè)實(shí)數(shù)滿足()·=0，求的值．

專題五

平面向量

第十四講

向量的應(yīng)用

答案部分

2019年

1.解析

因?yàn)?，所以，所以?/p>

又因?yàn)椋裕蔬xB．

2.解析

因?yàn)椋裕裕蔬xA.3.解析，，．

4.解析

因?yàn)?，所以，?5.解析

因?yàn)椋栽诘妊切沃?，又，所以，所?因?yàn)?，所?又，所以

.6.解析

設(shè)，所以，解得，所以，，因?yàn)?，所以，所以，所?7.解析：正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，可得，，,由于2，3，4，5，取遍，可得，可取，可得所求最小值為0；

由，可取可得所求最大值為．

2010-2018年

1．A【解析】解法一

設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，由得，即，所以點(diǎn)的軌跡是以為圓心，l為半徑的圓．因?yàn)榕c的夾角為，所以不妨令點(diǎn)在射線()上，如圖，數(shù)形結(jié)合可知．故選A．

解法二

由得．

設(shè)，，所以，所以，取的中點(diǎn)為．則在以為圓心，為直徑的圓上，如圖．

設(shè)，作射線，使得，所以

．故選A．

2．C【解析】如圖所示，四邊形是正方形，為正方形的對(duì)角線的交點(diǎn)，易得，而，∴與為鈍角，與為銳角．根據(jù)題意，∴，同理．

做于，又．

∴，而，∴，而，∴，即，∴，選C．

3．B【解析】建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示，則，則點(diǎn)的軌跡方程為．

設(shè)，則，代入圓的方程得，所以點(diǎn)的軌跡方程為，它表示以為圓心，以為半徑的圓，所以，所以．

4．A【解析】由，得．

5．B【解析】由題意，AC為直徑，所以，已知B為時(shí)，取得最大值7，故選B．

6．A【解析】設(shè)，則，所以曲線C是單位元，區(qū)域?yàn)閳A環(huán)（如圖）∵，∴．

7．C【解析】因?yàn)?，所?因?yàn)椋裕?因?yàn)椋裕储?/p>

同理可得

②，①+②得.8．B【解析】如圖，設(shè)，則，又，由得，即，選B.9．A【解析】方法一

設(shè)

則．

方法二

將向量按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，可知點(diǎn)落在第三象限，則可排除B、D，代入A，由向量的夾角公式可得，∴．

10．C【解析】首先觀察集合，從而分析

和的范圍如下：∵，∴，而，且，可得，又∵中，∴，從而，∴，所以，且也在集合中，故有．

11．D【解析】根據(jù)已知得，即，從而得

；，即，得，根據(jù)，得．線段的方程是，．若是線段的中點(diǎn)，則，代入，得．此等式不可能成立，故選項(xiàng)A的說法不成立；同理選項(xiàng)B的說法也不成立；若同時(shí)在線段上，則，此時(shí)，，若等號(hào)成立，則只能，根據(jù)定義，是兩個(gè)不同的點(diǎn)，故矛盾，故選項(xiàng)的說法也不正確，若

同時(shí)在線段的延長(zhǎng)線上，若，則，與矛盾，若，則是負(fù)值，與矛盾，若，則，此時(shí)，與矛盾，故選項(xiàng)D的說法是正確的．

12．【解析】設(shè)，所以，當(dāng)時(shí)，取得最小值．

13．6【解析】所以最大值是6．

14．4,【解析】設(shè)向量的夾角為，由余弦定理有：，則：，令，則，據(jù)此可得：，即的最小值是4，最大值是.15．【解析】設(shè)，由，得，如圖由可知，在上，由，解得，所以點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍為．

16．【解析】由，可得兩向量的夾角為，建立平面直角坐標(biāo)，可設(shè)，，則，所以的最大值為．

17．【解析】在平面直角坐標(biāo)系中，作出圓及其切線，如圖所示，連結(jié)，由圖可得，，則的夾角為，所以．

18．【解析】由題意得：．

19．【解析】在等腰梯形中，由∥，，得，，所以

．

20．①④⑤【解析】∵等邊三角形的邊長(zhǎng)為2,∴＝2＝2,故①正確；∵

∴，故②錯(cuò)誤，④正確；

由于，則與的夾角為，故③錯(cuò)誤；

又∵

∴，故⑤正確

因此，正確的編號(hào)是①④⑤.21．【解析】因?yàn)?，菱形的邊長(zhǎng)為2，所以.因?yàn)?，由，所以，解?22．【解析】設(shè)，由，得，向量，故的最大值為

圓上的動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)距離的最大值，其最大值為圓的圓心到點(diǎn)的距離加上圓的半徑，即．

23．【解析】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD所在的直線分別為x，y軸建立直角坐標(biāo)系，則B(,0),E(,1)，D(0,2)，C(，2)．設(shè)(0≤x≤)，由，∴，=((1–,2)=．

24．【解析】如圖過P作x軸的垂線，垂足為E，過C作y軸的垂線，垂足為A，根據(jù)題意可知圓滾動(dòng)了2個(gè)單位的弧長(zhǎng)，∴，可知，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為

另解1：根據(jù)題意可知滾動(dòng)制圓心為（2,1）時(shí)的圓的參數(shù)方程為，且，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為，即.25．【解析】根據(jù)已知得，所以

（）=．

26．【解析】（1）因?yàn)?，，所以?/p>

若，則，與矛盾，故．

于是．

又，所以．

（2）.因?yàn)椋?，從?于是，當(dāng)，即時(shí)，取到最大值3；

當(dāng)，即時(shí)，取到最小值.27．【解析】（Ⅰ）因?yàn)?所以，由正弦定理，得

又，從而，由于0<<，所以=．

（Ⅱ）解法一

由余弦定理，得，而=，=2，=，得，即，因?yàn)椋?/p>

．故的面積為．

解法二

由正弦定理，得，從而=，又由，知>，所以=，故==sin==．

所以的面積為．

28．【解析】（Ⅰ）由已知，點(diǎn)C，D的坐標(biāo)分別為(0，－b)，(0，b)

．

又點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0，1)，且＝－1，于是，解得a＝2，b＝．所以橢圓E方程為．

（Ⅱ）當(dāng)直線AB斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為．

A，B的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，聯(lián)立，得(2k2＋1)x2＋4kx－2＝0，其判別式，所以，從而

＝

＝－

所以，當(dāng)時(shí)，－，此時(shí)，為定值．

當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線即為直線．

此時(shí)，故存在常數(shù)，使得為定值－3．

29．【解析】（Ⅰ）已知，過點(diǎn)，∴

∴

解得

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

由題意知

設(shè)的圖象上符合題意的最高點(diǎn)為

由題意知．所以，即到點(diǎn)的距離為1的最高點(diǎn)為．

將其代入得，又∵，所以，因此

由，得

∴的單調(diào)增區(qū)間為．

30．【解析】（Ⅰ）∵，且，∴，∵，∴解得．

所以．

（Ⅱ）∵，∴，∵，，∴，故．

31．【解析】（1）＝，＝

＝．

所以，所以，．

（2），①2＋②2得：．

所以，＝，＝＋，帶入②得：(＋)＋＝＋＝(＋)＝1，所以，＋＝．所以，＝，＝．

32．【解析】由題意，拋物線E的焦點(diǎn)為，直線的方程為．

由得．

設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則、是上述方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．

從而，．

所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，．

同理可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，．

于是．

由題設(shè)，有k1＋k2＝2，k1>0，k2>0，k1≠k2，所以．

故．

(2)【解析】由拋物線的定義得，所以，從而圓的半徑．

故圓的方程為．

化簡(jiǎn)得．

同理可得圓的方程為．

于是圓，圓的公共弦所在直線的方程為．

又k2－k1≠0，k1＋k2＝2，則l的方程為x＋2y＝0.因?yàn)閜>0，所以點(diǎn)到直線l的距離

故當(dāng)時(shí)，取最小值．

由題設(shè)，得＝，解得．

故所求的拋物線E的方程為．

33．【解析】（I）由，及

又，所以.（II）

=.當(dāng)所以

34．【解析】（1）由，，由已知得=．

化簡(jiǎn)得曲線C的方程：．

（2）假設(shè)存在點(diǎn)滿足條件，則直線的方程是，的方程是．

曲線C在Q處的切線的方程是，它與軸的交點(diǎn)為

由于，因此．

①當(dāng)時(shí)，存在，使得．即與直線平行，故當(dāng)時(shí)不符合題意．

②時(shí)，所以與直線一定相交．

分別聯(lián)立方程組，解得的橫坐標(biāo)分別是，則

又，有，又，于是=，對(duì)任意，要使為常數(shù)，即只需滿足，解得，此時(shí)，故存在，使得與的面積之比是常數(shù)2．

35．【解析】（1）（方法一）由題設(shè)知，則

所以

故所求的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)分別為、。

（方法二）設(shè)該平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)為D，兩條對(duì)角線的交點(diǎn)為E，則:

E為B、C的中點(diǎn)，E（0，1）又E（0，1）為A、D的中點(diǎn)，所以D（1，4）

故所求的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)分別為BC=、AD=；

（2）由題設(shè)知：=(－2,－1)，．

由()·=0，得：，從而所以．

或者：，．

第三篇：理科數(shù)學(xué)歷年高考真題分類訓(xùn)練附答案解析之13平面向量的概念與運(yùn)算

專題五

平面向量

第十三講

平面向量的概念與運(yùn)算

2019年

1.（2019全國(guó)Ⅱ理3）已知=(2,3)，=(3，t)，=1，則=

A．-3

B．-2

C．2

D．3

2.（2019全國(guó)Ⅲ理13）已知a，b為單位向量，且a·b=0，若，則___________.2010-2018年

一、選擇題

1．(2018全國(guó)卷Ⅰ)在中，為邊上的中線，為的中點(diǎn)，則

A．

B．

C．

D．

2．(2018北京)設(shè)，均為單位向量，則“”是“⊥”的A．充分而不必要條件

B．必要而不充分條件

C．充分必要條件

D．既不充分也不必要條件

3．(2018全國(guó)卷Ⅱ)已知向量，滿足，則

A．4

B．3

C．2

D．0

4．（2017北京）設(shè),為非零向量，則“存在負(fù)數(shù)，使得”是“”的A．充分而不必要條件

B．必要而不充分條件

C．充分必要條件

D．既不充分也不必要條件

5．（2016年山東）已知非零向量滿足，．若，則實(shí)數(shù)t的值為

A．4

B．–4

C．

D．–

6．（2016年天津）已知是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn)分別是邊的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，則的值為

A．

B．

C．

D．

7．（2016年全國(guó)II）已知向量，且，則=

A．

B．

C．6

D．8

8．（2016年全國(guó)III）已知向量,則=

A．

B．

C．

D．

9．(2015重慶)若非零向量，滿足，且，則與的夾角為

A．

B．

C．

D．

10．（2015陜西）對(duì)任意向量，下列關(guān)系式中不恒成立的是

A．

B．

C．

D．

11．（2015安徽）是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，已知向量，滿足，則下列結(jié)論正確的是

A．

B．

C．

D．

12．（2014新課標(biāo)1）設(shè)分別為的三邊的中點(diǎn)，則

A．

B．

C．

D．

13．（2014新課標(biāo)2）設(shè)向量,滿足，則

A．1

B．2

C．3

D．5

14．(2014山東)已知向量.若向量的夾角為，則實(shí)數(shù)

A．

B．

C．0

D．

15．（2014安徽）設(shè)為非零向量，兩組向量和均由2個(gè)和2個(gè)排列而成，若所有可能取值中的最小值為，則與的夾角為

A．

B．

C．

D．0

16．（2014福建）在下列向量組中，可以把向量表示出來的是

A．

B．

C．

D．

17．（2014浙江）設(shè)為兩個(gè)非零向量，的夾角，已知對(duì)任意實(shí)數(shù)，是最小值為1

A．若確定，則唯一確定

B．若確定，則唯一確定

C．若確定，則唯一確定

D．若確定，則唯一確定

18．（2014重慶）已知向量，,且，則實(shí)數(shù)

A．

B．

C．

D．

19．（2013福建）在四邊形中，則該四邊形的面積為

A．

B．

C．5

D．10

20．（2013浙江）設(shè)，是邊上一定點(diǎn)，滿足，且對(duì)于邊上任一點(diǎn)，恒有．則

A．

B．

C．

D．

21．（2013遼寧）已知點(diǎn)，則與向量同方向的單位向量為

A．

B．

C．

D．

22．（2013湖北）已知點(diǎn)、、、，則向量在方向上的投影為

A．

B．

C．

D．

23．（2013湖南）已知是單位向量，．若向量滿足，則的最大值為

A．

B．

C．

D．

24．（2013重慶）在平面上，,．若，則的取值范圍是

A．

B．

C．

D．

25．（2013廣東）設(shè)是已知的平面向量且，關(guān)于向量的分解，有如下四個(gè)命題：

①給定向量，總存在向量，使；

②給定向量和，總存在實(shí)數(shù)和，使；

③給定單位向量和正數(shù)，總存在單位向量和實(shí)數(shù)，使；

④給定正數(shù)和，總存在單位向量和單位向量，使；

上述命題中的向量，和在同一平面內(nèi)且兩兩不共線，則真命題的個(gè)數(shù)是

A．1

B．2

C．3

D．4

26．（2012陜西）設(shè)向量=（1,）與=（1,2）垂直，則等于

A．

B．

C．0

D．－1

27．（2012浙江）設(shè)，是兩個(gè)非零向量

A．若，則

B．若，則

C．若，則存在實(shí)數(shù)，使得

D．若存在實(shí)數(shù)，使得，則

28．（2011廣東）已知向量=（1,2），=（1,0），=（3,4）．若為實(shí)數(shù)，則=

A．

B．

C．1

D．2

29．（2011遼寧）已知向量，，則

A．

B．

C．6

D．12

30．（2010遼寧）平面上，三點(diǎn)不共線，設(shè)，則△的面積等于

A．

B．

C．

D．

31．（2010山東）定義平面向量之間的一種運(yùn)算“”如下：對(duì)任意的，令，下面說法錯(cuò)誤的是

A．若與共線，則

B．

C．對(duì)任意的，有

D．

二、填空題

32．(2018全國(guó)卷Ⅲ)已知向量，．若，則=

．

33．(2017新課標(biāo)Ⅰ)已知向量，的夾角為60°，，則=

．

34．(2017浙江)已知向量,滿足，則的最小值是，最大值是

．

35．(2017山東)已知，是互相垂直的單位向量，若與的夾角為，則實(shí)數(shù)的值是

．

36．（2017江蘇）如圖，在同一個(gè)平面內(nèi)，向量，的模分別為1，1，與的夾角為，且，與的夾角為．若=+（，），則=

．

37．(2016全國(guó)I)設(shè)向量，且，則=

.38．(2015江蘇)已知向量，若（R），則的值為___．

39．（2015湖北）已知向量，則

．

40．(2015新課標(biāo)Ⅰ)設(shè)向量不平行，向量與平行，則實(shí)數(shù)=

___．

41．（2015浙江）已知是空間單位向量，若空間向量滿足，且對(duì)于任意，則____，_____，_____．

42．（2014新課標(biāo)Ⅰ）已知，是圓上的三點(diǎn)，若，則與的夾角為

．

43．(2014山東)在中，已知，當(dāng)時(shí)，的面積為

．

44．（2014安徽）已知兩個(gè)不相等的非零向量，兩組向量和均由2個(gè)

和3個(gè)排列而成．記，表示所有可能取值中的最小值．則下列命題正確的是____（寫出所有正確命題的編號(hào)）．

①有5個(gè)不同的值．

②若則與無關(guān)．

③若則與無關(guān)．

④若，則．

⑤若，則與的夾角為．

45．(2014北京)已知向量、滿足，且()，則__．

46．（2014陜西）設(shè)，向量，若，則

_______．

47．（2014四川）平面向量，（），且與的夾角等于與的夾角，則____________．

48．（2013新課標(biāo)Ⅰ）已知兩個(gè)單位向量，的夾角為，若，則_____．

49．（2013新課標(biāo)Ⅱ）已知正方形的邊長(zhǎng)為,為的中點(diǎn),則

．

50．（2013山東）已知向量與的夾角，且||=3，||=2，若，且，則實(shí)數(shù)的值為_____．

51．（2013浙江）設(shè)，為單位向量，非零向量，若，的夾角為，則的最大值等于________．

52．（2013天津）在平行四邊形ABCD中，AD

=

1，E為CD的中點(diǎn)．若，則AB的長(zhǎng)為

．

53．（2013北京）向量a，b，c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若

(λ，μ∈R)，則=

．

54．（2013北京）已知向量，夾角為，且，則

．

55．（2012湖北）已知向量=（1，0），=（1，1），則

（Ⅰ）與同向的單位向量的坐標(biāo)表示為____________；

（Ⅱ）向量與向量夾角的余弦值為____________。

56．（2012安徽）若平面向量，滿足：；則的最小值是．

57．（2011浙江）若平面向量，滿足||=1，||≤1，且以向量，為鄰邊的平行四邊形的面積為，則與的夾角的取值范圍是

．

58．（2011江蘇）已知，是夾角為的兩個(gè)單位向量，，若，則的值為

．

59．（2011新課標(biāo)）已知與為兩個(gè)不共線的單位向量，為實(shí)數(shù)，若向量+與向量-垂直，則=_____________．

60．（2011安徽）已知向量滿足，且，則與的夾角為

.61．（2010陜西）已知向量=（2，1），=（1，m），=（1,2），若（+）∥，則=

．

三、解答題

62．（2017江蘇）已知向量，．

（1）若，求的值；

（2）記，求的最大值和最小值以及對(duì)應(yīng)的的值．

第四篇：文科數(shù)學(xué)2010-2019高考真題分類訓(xùn)練專題五平面向量第十三講平面向量的概念與運(yùn)算—后附解析答案

專題五

平面向量

第十三講

平面向量的概念與運(yùn)算

一、選擇題

1．(2018全國(guó)卷Ⅰ)在中，為邊上的中線，為的中點(diǎn)，則

A．

B．

C．

D．

2．(2018全國(guó)卷Ⅱ)已知向量，滿足，則

A．4

B．3

C．2

D．0

3．(2018天津)在如圖的平面圖形中，已知，，，則的值為

A．

B．

C．

D．0

4．（2017新課標(biāo)Ⅱ）設(shè)非零向量，滿足則

A．

B．

C．

D．

5．（2017北京）設(shè),為非零向量，則“存在負(fù)數(shù)，使得”是“”的A．充分而不必要條件

B．必要而不充分條件

C．充分必要條件

D．既不充分也不必要條件

6．（2016年天津）已知△ABC是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn)分別是邊的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，則的值為

A．

B．

C．

D．

7．（2016全國(guó)III卷）已知向量,則

A．30°

B．45°

C．60°

D．120°

8．(2015重慶)已知非零向量滿足，且，則與的夾角為

A．

B．

C．

D．

9．（2015陜西）對(duì)任意向量，下列關(guān)系式中不恒成立的是

A．

B．

C．

D．

10．（2015新課標(biāo)2）向量，則

A．

B．

C．

D．

11．（2014新課標(biāo)1）設(shè)分別為的三邊的中點(diǎn)，則

A．

B．

C．

D．

12．（2014新課標(biāo)2）設(shè)向量,滿足，則

A．1

B．2

C．3

D．5

13．(2014山東)

已知向量.若向量的夾角為，則實(shí)數(shù)

A．

B．

C．0

D．

14．（2014安徽）設(shè)為非零向量，兩組向量和均由2個(gè)和2個(gè)排列而成，若所有可能取值中的最小值為，則與的夾角為

A．

B．

C．

D．0

15．（2014福建）在下列向量組中，可以把向量表示出來的是

A．

B．

C．

D．

16．（2014浙江）設(shè)為兩個(gè)非零向量，的夾角，已知對(duì)任意實(shí)數(shù)，是最小值為1

A．若確定，則唯一確定

B．若確定，則唯一確定

C．若確定，則唯一確定

D．若確定，則唯一確定

17．(2014重慶)已知向量，,且,則實(shí)數(shù)

A．

B．

C．

D．

18．（2013福建）在四邊形中，,則該四邊形的面積為

A．

B．

C．5

D．10

19．（2013浙江）設(shè)，是邊上一定點(diǎn)，滿足，且對(duì)于邊上任一點(diǎn)，恒有．則

A．

B．

C．

D．

20．（2013遼寧）已知點(diǎn)，則與向量同方向的單位向量為

A．

B．

C．

D．

21．（2013湖北）已知點(diǎn)、、、，則向量在方向上的投影為

A．

B．

C．

D．

22．（2013湖南）已知是單位向量，．若向量滿足，則的最大值為

A．

B．

C．

D．

23．（2013重慶）在平面上，,.若，則的取值范圍是

A、B、C、D、24．（2013廣東）設(shè)是已知的平面向量且，關(guān)于向量的分解，有如下四個(gè)命題：

①給定向量，總存在向量，使；

②給定向量和，總存在實(shí)數(shù)和，使；

③給定單位向量和正數(shù)，總存在單位向量和實(shí)數(shù)，使；

④給定正數(shù)和，總存在單位向量和單位向量，使；

上述命題中的向量，和在同一平面內(nèi)且兩兩不共線，則真命題的個(gè)數(shù)是

A．1

B．2

C．3

D．4

25．（2012陜西）設(shè)向量=（1,）與=（1,2）垂直，則等于

A．

B．

C．0

D．－1

26．（2012浙江）設(shè)，是兩個(gè)非零向量

A．若，則

B．若，則

C．若，則存在實(shí)數(shù)，使得

D．若存在實(shí)數(shù)，使得，則

27．（2011廣東）已知向量=（1,2），=（1,0），=（3,4）．若為實(shí)數(shù)，則=

A．

B．

C．1

D．2

28．（2011遼寧）已知向量，，則

A．

B．

C．6

D．12

29．（2010遼寧）平面上，三點(diǎn)不共線，設(shè)，則△的面積等于

A．

B．

C．

D．

30．（2010山東）定義平面向量之間的一種運(yùn)算“”如下：對(duì)任意的，令，下面說法錯(cuò)誤的是

A．若與共線，則

B．

C．對(duì)任意的，有

D．

二、填空題

31．(2018全國(guó)卷Ⅲ)已知向量，．若，則_．

32．(2018北京)設(shè)向量，若，則=_______．

33．（2017新課標(biāo)Ⅰ）已知向量，．若向量與垂直，則=__．

34．（2017新課標(biāo)Ⅲ）已知向量，且，則=

．

35．（2017天津）在△ABC中，AB=3，AC=2．若，（），且，則的值為

．

36．（2017山東）已知向量，若a∥b，則

．

37．（2017江蘇）如圖，在同一個(gè)平面內(nèi)，向量，的模分別為1，1，與的夾角為，且，與的夾角為。若=+（，），則=

．

38．（2016年全國(guó)I卷高考）設(shè)向量，且，則=

．

39．（2016年全國(guó)II卷高考）已知向量，且a∥b，則m=____．

40．（2015江蘇）已知向量，若（R），則的值為___．

41．（2015湖北）已知向量，則

．

42．(2015新課標(biāo)1)設(shè)向量不平行，向量與平行，則實(shí)數(shù)=

____．

43．(2015浙江)已知，是平面單位向量，且．若平面向量滿足，則

．

44．（2014新課標(biāo)1）已知，是圓上的三點(diǎn)，若，則與的夾角為

．

45．(2014山東)在中,已知,當(dāng)時(shí),的面積為

．

46．（2014安徽）已知兩個(gè)不相等的非零向量，兩組向量和均由2個(gè)

和3個(gè)排列而成．記，表示所有可能取值中的最小值．則下列命題正確的是____（寫出所有正確命題的編號(hào)）．

①有5個(gè)不同的值．

②若則與無關(guān)．

③若則與無關(guān)．

④若，則．

⑤若，則與的夾角為．

47．(2014北京)已知向量、滿足，且()，則_．

48．（2014陜西）設(shè)，向量，若，則

_______．

49．（2014四川）平面向量，（），且與的夾角等于與的夾角，則____________．

50．（2013新課標(biāo)1）已知兩個(gè)單位向量，的夾角為，若，則_____．

51．(2013新課標(biāo)2)已知正方形的邊長(zhǎng)為，為的中點(diǎn)，則__．

52．（2013山東）已知向量與的夾角，且||=3，||=2，若，且，則實(shí)數(shù)的值為_____．

53．（2013浙江）設(shè)，為單位向量，非零向量，若，的夾角為，則的最大值等于________．

54．（2013天津）在平行四邊形ABCD中，AD

=

1，E為CD的中點(diǎn)．

若，則AB的長(zhǎng)為

．

55．（2013北京）向量a，b，c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若

(λ，μ∈R)，則=

．

56．（2013北京）已知向量，夾角為，且，則

．

57．（2012湖北）已知向量=（1，0），=（1，1），則

（Ⅰ）與同向的單位向量的坐標(biāo)表示為____________；

（Ⅱ）向量與向量夾角的余弦值為____________．

58．（2012安徽）若平面向量，滿足：；則的最小值是．

59．（2011浙江）若平面向量，滿足||=1，||≤1，且以向量，為鄰邊的平行四邊形的面積為，則與的夾角的取值范圍是

．

60．（2011江蘇）已知，是夾角為的兩個(gè)單位向量，，若，則的值為

．

61．（2011新課標(biāo)）已知與為兩個(gè)不共線的單位向量，為實(shí)數(shù)，若向量+與向量-垂直，則=_____________．

62．（2011安徽）已知向量滿足，且，則與的夾角為

．

63．（2010陜西）已知向量=（2，–1），=（–1，m），=（–1,2），若（+）∥，則=

．

專題五

平面向量

第十三講

平面向量的概念與運(yùn)算

答案部分

1．A【解析】通解

如圖所示，．故選A．

優(yōu)解

．故選A．

2．B【解析】，故選B．

3．C【解析】由，可知，∴．

由，可知，∴，故，連接，則，且，∴，∴

．故選C．

4．A【解析】由兩邊平方得，即，則，故選A．

5．A【解析】因?yàn)闉榉橇阆蛄?，所以的充要條件是．因?yàn)?，則由可知的方向相反，所以，所以“存在負(fù)數(shù)，使得”可推出“”；而可推出，但不一定推出的方向相反，從而不一定推得“存在負(fù)數(shù)，使得”，所以“存在負(fù)數(shù)，使得”是“”的充分而不必要條件．

6．B【解析】設(shè)，∴，，∴，故選B.7．A【解析】由題意得，所以，故選A．

8．C【解析】由題意，得，即，所以，所以，故選C．

9．B【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，設(shè)向量、的夾角為，∵，∴A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，∵當(dāng)向量、反向時(shí)，∴B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，由向量的平方等于向量模的平方可知，C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，根據(jù)向量的運(yùn)算法則，可推導(dǎo)出，故D選項(xiàng)正確，綜上選B．

10．C【解析】由題意可得，所以．故選C．

11．A【解析】．

12．A【解析】由

①，②，①②得．

13．B【解析】由題意得，兩邊平方化簡(jiǎn)得，解得，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意．

14．B【解析】設(shè)，若的表達(dá)式中有0個(gè)，則，記為，若的表達(dá)式中有2個(gè)，則，記為，若的表達(dá)式中有4個(gè)，則，記為，又，所以，，∴，故，設(shè)的夾角為，則，即，又，所以．

15．B【解析】對(duì)于A，C，D，都有∥，所以只有B成立．

16．B【解析】由于，令，而是任意實(shí)數(shù)，所以可得的最小值為，即，則知若確定，則唯一確定．

17．C【解析】∵，所以=．解得，選C

18．C【解析】因?yàn)?，所以，所以四邊形的面積為，故選C．

19．D【解析】由題意，設(shè)，則，過點(diǎn)作的垂線，垂足為，在上任取一點(diǎn)，設(shè)，則由數(shù)量積的幾何意義可得，，于是恒成立，相當(dāng)于恒成立，整理得恒成立，只需

即可，于是，因此我們得到，即是的中點(diǎn)，故△是等腰三角形，所以．

20．A【解析】，所以，這樣同方向的單位向量

是．

21．A【解析】=（2,1），=（5,5），則向量在向量方向上的射影為

22．C【解析】建立平面直角坐標(biāo)系，令向量的坐標(biāo)，又設(shè)，代入得，又的最大值為圓上的動(dòng)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最大值，即圓心(1，1)到原點(diǎn)的距離加圓的半徑，即．

23．D【解析】因?yàn)椤?，所以可以A為原點(diǎn)，分別以，所在直線為

x軸，y軸建立平面直角坐標(biāo)系．設(shè)B1(a,0)，B2(0，b)，O(x，y)，則＝＋＝(a，b)，即P(a，b)．

由||＝||＝1，得(x－a)2＋y2＝x2＋(y－b)2＝1.所以(x－a)2＝1－y2≥0，(y－b)2＝1－x2≥0.由||＜，得(x－a)2＋(y－b)2＜，即0≤1－x2＋1－y2＜.所以＜x2＋y2≤2，即.所以||的取值范圍是，故選D．

24．B【解析】利用向量加法的三角形法則，易的①是對(duì)的；利用平面向量的基本定理，易的②是對(duì)的；以的終點(diǎn)作長(zhǎng)度為的圓，這個(gè)圓必須和向量有交點(diǎn)，這個(gè)不一定能滿足，③是錯(cuò)的；利用向量加法的三角形法則，結(jié)合三角形兩邊的和大于第三邊，即必須，所以④是假命題.綜上，本題選B.平面向量的基本定理考前還強(qiáng)調(diào)過，不懂學(xué)生做得如何.25．C【解析】正確的是C．

26．C【解析】，則，所以不垂直，A不正確，同理B也不正確；，則，所以共線，故存在實(shí)數(shù)，使得，C正確；若，則，此時(shí)，所以D不正確．

27．B【解析】，由∥，得，解得

28．D【解析】∵，由，得，∴，解得．

29．C【解析】三角形的面積S=，而

30．B【解析】若與共線，則有，故A正確；

因?yàn)?，而，所以有，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤，故選B．

31．【解析】，因?yàn)椋遥?2．【解析】依題意=，根據(jù)向量垂直的充要條件可得，所以．

所以，即．

33．7【解析】∵，∴

所以，解得．

34．2【解析】由題意，所以，即．

35．【解析】，,則，．

36．【解析】由可得

37．3【解析】由可得，由=+

得，即

兩式相加得，所以

所以．

38．【解析】因?yàn)椋?，解得?/p>

39．【解析】由題意，所以．

40．－3【解析】由題意得：

41．9【解析】因?yàn)?，所以?/p>

42．1【解析】由題意，所以，解得．

43．【解析】由題可知，不妨，設(shè)，則，所以，所以．

44．【解析】由，得為的中點(diǎn)，故為圓的直徑，所以與的夾角為．

45．【解析】∵，∴由，得，故的面積為．

46．②④【解析】S有下列三種情況：，∵，∴，若，則，與無關(guān)，②正確；

若，則，與有關(guān)，③錯(cuò)誤；

若，則，④正確；

若，則

∴，∴，⑤錯(cuò)誤．

47．【解析】∵，∴可令，∵，∴，即，解得得．

48．【解析】∵，∴，∴，∵，∴．

49．2【解析1】

因?yàn)椋?，又，所?/p>

即．

【解析2】由幾何意義知為以，為鄰邊的菱形的對(duì)角線向量，又，故

50．2【解析】=====0，解得=.51．2【解析】在正方形中，，所以．

52．【解析】向量與的夾角為，且所以.由得，即,所以,即，解得．

53．【解析】，所以的最大值為2．

54．【解析】因?yàn)镋為CD的中點(diǎn)，所以．，因?yàn)?，所以，即，所以，解得?/p>

55．4【解析】如圖建立坐標(biāo)系，則，由，可得，∴

56．【解析】

57．（Ⅰ）

（Ⅱ）

【解析】（Ⅰ）由，得.設(shè)與同向的單位向量為，則且，解得故.即與同向的單位向量的坐標(biāo)為．

（Ⅱ）由，得.設(shè)向量與向量的夾角為，則．

58．【解析】

．

59．【解析】如圖，向量與在單位圓內(nèi)，因||=1，||≤1，且以向量，為鄰邊的平行四邊形的面積為，故以向量，為邊的三角形的面積為，故的終點(diǎn)在如圖的線段上（∥，且圓心到的距離為），因此夾角的取值范圍為．

60．【解析】由題意知，即，即，化簡(jiǎn)可求得．

61．1【解析】向量+與向量-垂直，∴，化簡(jiǎn)得，易知，故．

62．【解析】設(shè)與的夾角為，由題意有，所以，因此，所以．

63．－1【解析】，由，得，所以=－1．

第五篇：【志鴻優(yōu)化設(shè)計(jì)—贏在高考】2014屆高考一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)(人教A版·理)【配套訓(xùn)練】第九章平面解析幾何9.1

第九章平面解析幾何 第1講 直線的方程

1.在下列關(guān)于斜率與傾斜角的說法中正確的是()

A.一條直線與x軸正方向所成的正角叫做這條直線的傾斜角 B.傾斜角是第一或第二象限的角 C.每一條直線都有斜率

D.斜率為零的直線平行于x軸或重合于x軸

【答案】D 2.已知直線ax+by+c=0(ab≠0)在兩坐標(biāo)軸上的截距相等,則a,b,c滿足的條件是()A.a=b B.|a|=|b| C.c=0或a=b D.c=0且a=b 【答案】C 【解析】由-=-得C正確.3.過A(1,1),B(0,-1)兩點(diǎn)的直線方程是()A.=x B.C.D.y=x 【答案】A 【解析】所求直線方程為,即=x.故選A.4.若直線(2m2+m-3)x+(m2-m)y=4m-1在x軸上的截距為1,則實(shí)數(shù)m的值為()A.1 C.-B.2 D.2或-【答案】D 【解析】∵直線在x軸上有截距,∴2m2+m-3≠0, 當(dāng)2m2+m-3≠0時(shí), 在x軸上的截距為=1,即2m2-3m-2=0, 解得m=2或m=-.5.已知點(diǎn)A(-1,2),B(2,-2),C(0,3),若點(diǎn)M(a,b)(a≠0)是線段AB上的一點(diǎn),則直線CM的斜率的取值范圍是()A.B.[1,+∞)C.∪[1,+∞)D.【答案】C 【解析】因kAC==1,kBC==-,且點(diǎn)A,B在y軸兩側(cè).故選C.6.經(jīng)過點(diǎn)A(-2,2)并且和兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積是1的直線方程是()A.x+2y-2=0或x+2y+2=0 B.x+2y+2=0或2x+y+2=0 C.2x+y-2=0或x+2y+2=0 D.2x+y+2=0或x+2y-2=0 【答案】D 【解析】設(shè)直線在x軸、y軸上的截距分別是a,b,則有S=|a2b|=1,即ab=±2.設(shè)直線的方程是=1, ∵直線過點(diǎn)(-2,2),代入直線方程得=1,即b=,∴ab==±2,解得

故直線方程是=1或=1,即2x+y+2=0或x+2y-2=0.7.有一直線x+a2y-a=0(a>0,a是常數(shù)),當(dāng)此直線在x,y軸上的截距和最小時(shí),a的值是()

A.1 B.2 C.D.0 【答案】A 【解析】直線方程可化為=1,因?yàn)閍>0,所以截距之和t=a+≥2,當(dāng)且僅當(dāng)a=,即a=1時(shí)取等號(hào).8.直線2x+3y+a=0與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為12,則a的值為

.【答案】 ±12

【解析】令x=0得y=-;令y=0得x=-.∴直線與x軸、y軸的交點(diǎn)分別為A,B.∴S△AOB=22=12.∴a2=12312.∴a=±12.9.已知A(3,0),B(0,4),動(dòng)點(diǎn)P(x,y)在線段AB上移動(dòng),則xy的最大值等于

.【答案】3 【解析】 AB所在直線的方程為=1, ∴2.∴xy≤3,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).10.(2013屆2福建三明檢測(cè))將直線l1:x-y-3=0,繞它上面一定點(diǎn)(3,0)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)15°得直線l2,則l2的方程為

.【答案】x-y-3=0 【解析】已知直線的傾斜角是45°,旋轉(zhuǎn)后直線的傾斜角增加了15°,由此即得所求直線的傾斜角,進(jìn)而求出斜率和直線方程.直線l2的傾斜角為60°,斜率為,故其方程為y-0=(x-3),即x-y-3=0.如圖.11.已知直線l與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為3,且過定點(diǎn)A(-3,4),求直線l的方程.【解】設(shè)直線l的方程是y=k(x+3)+4,它在x軸、y軸上的截距分別是--3,3k+4, 由已知,得=6, 解得k1=-,k2=-.所以直線l的方程為2x+3y-6=0或8x+3y+12=0.12.在△ABC中,已知A(5,-2),B(7,3),且AC邊的中點(diǎn)M在y軸上,BC邊的中點(diǎn)N在x軸上,求:(1)頂點(diǎn)C的坐標(biāo);(2)直線MN的方程.【解】(1)設(shè)C(x0,y0),則AC中點(diǎn)M, BC中點(diǎn)N.∵M(jìn)在y軸上, ∴=0,x0=-5.∵N在x軸上, ∴=0,y0=-3.即C(-5,-3).(2)∵M(jìn),N(1,0), ∴直線MN的方程為=1, 即5x-2y-5=0.13.設(shè)直線l的方程為(a+1)x+y+2-a=0(a∈R).(1)若直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等,求直線l的方程;(2)若直線l不經(jīng)過第二象限,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解】(1)令x=0,得y=a-2.令y=0,得x=(a≠-1).∵直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等, ∴a-2=.解之,得a=2或a=0.∴所求直線l的方程為3x+y=0或x+y+2=0.(2)直線l的方程可化為y=-(a+1)x+a-2.∵直線l不過第二象限, ∴

∴a≤-1.∴a的取值范圍為(-∞,-1].拓展延伸

14.已知直線l:kx-y+1+2k=0.(1)證明:直線l過定點(diǎn);(2)若直線l交x軸負(fù)半軸于A,交y軸正半軸于B,△AOB的面積為S,試求S的最小值并求此時(shí)直線l的方程.【解】(1)證明:由已知得k(x+2)+(1-y)=0, ∴無論k取何值,直線過定點(diǎn)(-2,1).(2)令y=0得A點(diǎn)坐標(biāo)為，令x=0得B點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2k+1)(k>0), ∴S△AOB=|2k+1| =(2k+1)= ≥(4+4)=4, 當(dāng)且僅當(dāng)4k=,即k=時(shí)取等號(hào), 即△AOB的面積的最小值為4,此時(shí)直線l的方程為x-y+1+1=0,即x-2y+4=0.