第一篇：[教案精品]新課標高中數學人教A版必修四全冊教案2.4.1平面向量數量積的物理背景及含義

2.4.1平面向量的數量積的物理背景及其含義教學目的：1.掌握平面向量的數量積及其幾何意義；2.掌握平面向量數量積的重要性質及運算律；3.了解用平面向量的數量積可以處理垂直的問題；4.掌握向量垂直的條件.教學重點：平面向量的數量積定義教學難點：平面向量數量積的定義及運算律的理解和平面向量數量積的應用教學過程：

一、復習引入：（1）兩個非零向量夾角的概念：已知非零向量ａ與ｂ，作OA＝ａ，OB＝ｂ，則∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ與ｂ的夾角.說明：（1）當θ＝０時，ａ與ｂ同向；（2）當θ＝π時，ａ與ｂ反向；（3）當θ＝?時，ａ與ｂ垂直，記ａ⊥ｂ；2（4）注意在兩向量的夾角定義，兩向量必須是同起點的.范圍0?≤?≤180?（2）兩向量共線的判定（3）練習

1.若a=(2，3)，b=(4，-1+y)，且a∥b，則y=（C）A.6 B.5 C.7 D.82.若A(x，-1)，B(1，3)，C(2，5)三點共線，則x的值為（B）A.-3 B.-1 C.1 D.3（4）力做的功：W = |F|?|s|cos?，?是F與s的夾角.二、講解新課：1．平面向量數量積（內積）的定義：已知兩個非零向量ａ與ｂ，它們的夾角是θ，則數量|a||b|cos?叫ａ與ｂ的數量積，記作a?b，即有a?b = |a||b|cos?，（０≤θ≤π）.并規定0向量與任何向量的數量積為0.?探究：

1、向量數量積是一個向量還是一個數量？它的符號什么時候為正？什么時候為負？

2、兩個向量的數量積與實數乘向量的積有什么區別？（1）兩個向量的數量積是一個實數，不是向量，符號由cos?的符號所決定.（2）兩個向量的數量積稱為內積，寫成a?b；今后要學到兩個向量的外積a×b，而a?b是兩個向量的數量的積，書寫時要嚴格區分.符號“· ”在向量運算中不是乘號，既不能省略，1 也不能用“×”代替.（3）在實數中，若a?0，且a?b=0，則b=0；但是在數量積中，若a?0，且a?b=0，不能推出b=0.因為其中cos?有可能為0.（4）已知實數a、b、c(b?0)，則ab=bc ? a=c.但是a?b = b?c a = c

如右圖：a?b = |a||b|cos? = |b||OA|，b?c = |b||c|cos? = |b||OA|? a?b = b?c 但a ? c(5)在實數中，有(a?b)c = a(b?c)，但是(a?b)c ? a(b?c)顯然，這是因為左端是與c共線的向量，而右端是與a共線的向量，而一般a與c不共線.2．“投影”的概念：作圖

定義：|b|cos?叫做向量b在a方向上的投影.投影也是一個數量，不是向量；當?為銳角時投影為正值； 當?為鈍角時投影為負值； 當?為直角時投影為0； 當? = 0?時投影為 |b|； 當? = 180?時投影為 ?|b|.3．向量的數量積的幾何意義：

數量積a?b等于a的長度與b在a方向上投影|b|cos?的乘積.探究：兩個向量的數量積的性質：設a、b為兩個非零向量，1、a?b ? a?b = 0

2、當a與b同向時，a?b = |a||b|； 當a與b反向時，a?b = ?|a||b|.特別的a?a = |a|或|a|?a?a |a?b| ≤ |a||b| cos? =探究：平面向量數量積的運算律 1．交換律：a ? b = b ? a

證：設a，b夾角為?，則a ? b = |a||b|cos?，b ? a = |b||a|cos? ∴a ? b = b ? a

2．數乘結合律：(?a)?b =?(a?b)= a?(?b)證：若?> 0，(?a)?b =?|a||b|cos?，?(a?b)=?|a||b|cos?，a?(?b)=?|a||b|cos?，2a?b

|a||b| 2 若?< 0，(?a)?b =|?a||b|cos(???)= ??|a||b|(?cos?)=?|a||b|cos?，?(a?b)=?|a||b|cos?，a?(?b)=|a||?b|cos(???)= ??|a||b|(?cos?)=?|a||b|cos?.3．分配律：(a + b)?c = a?c + b?c

在平面內取一點O，作OA= a，AB= b，OC= c，∵a + b（即OB）在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和，即 |a + b| cos? = |a| cos?1 + |b| cos?

2∴| c | |a + b| cos? =|c| |a| cos?1 + |c| |b| cos?2，∴c?(a + b)= c?a + c?b 即：(a + b)?c = a?c + b?c

說明：（1）一般地，(ａ·ｂ)с≠ａ（ｂ·с）

（2）ａ·с＝ｂ·с，с≠0

２

ａ＝ｂ

２（3）有如下常用性質：ａ＝｜ａ｜，（ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａ·с＋ａ·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ

三、講解范例：

例1．證明：(ａ＋ｂ)＝ａ＋２ａ·ｂ＋ｂ ２

２

２

????例2．已知|a|=12，|b|=9，a?b??542，求a與b的夾角。

例3．已知|a|=6，|b|=4，a與b的夾角為60求：（1）(a+2b)·(a-3b).（2）|a+b|與|a-b|.（利用 |a|?oa?a）

例4．已知|a|=3，|b|=4，且a與b不共線，k為何值時，向量a+kb與a-kb互相垂直.四、課堂練習：

1．P106面1、2、3題。

2．下列敘述不正確的是（）

A.向量的數量積滿足交換律 B.向量的數量積滿足分配律 C.向量的數量積滿足結合律 D.a·b是一個實數 3．|a|=3，|b|=4，向量a+

33b與a-b的位置關系為（）44A.平行 B.垂直 C.夾角為

? D.不平行也不垂直 3 4．已知|a|=8，|b|=10，|a+b|=16，求a與b的夾角.五、小結：

1．平面向量的數量積及其幾何意義； 2．平面向量數量積的重要性質及運算律； 3．向量垂直的條件.六、作業：《習案》作業二十三。

第二篇：2.4.1平面向量數量積的物理背景及其含義(教學設計)

SCH高中數學（南極數學）同步教學設計（人教A版必修4第二章《平面向量》）

2.4.1平面向量的數量積的物理背景及其含義（教學設計）

[教學目標]

一、知識與能力：

1． 掌握平面向量的數量積的物理背景及幾何意義； 2． 掌握平面向量數量積的運算律；

二、過程與方法：

滲透數形結合的數學思想方法，培養學生轉化問題的能力；借助物理背景，感知數學問題，探究知識的來龍去脈；培養學生轉化問題的能力.三、情感、態度與價值觀：

培養對現實世界中的數學現象的好奇心，學習從數學角度發現和提出問題；樹立學科之間相互聯系、相互促進的辯證唯物主義觀點.[教學重點] 向量的數量積的定義及性質． [教學難點]

對向量數量積的定義及性質的理解和應用．

一、復習回顧，新課引入

????1． 向量共線定理

向量b與非零向量a共線的充要條件是：有且只有一個非零實數λ，使b=λa.2．平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任一向量a，有且只有一對實數λ1，λ2使a=λ1e1+λ2e2 3．平面向量的坐標表示

分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i、j作為基底.任作一個向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一對實數x、y，使得a?xi?yj，把(x,y)叫做向量a的（直角）坐標，記作a?(x,y)4．平面向量的坐標運算

若a?(x1,y1)，b?(x2,y2)，則a?b?(x1?x2,y1?y2)，a?b?(x1?x2,y1?y2)，?a?(?x,?y).若A(x1,y1)，B(x2,y2)，則AB??x2?x1,y2?y1?

?????5．a∥b(b?0)的充要條件是x1y2-x2y1=0 6．線段的定比分點及λ

P1，P2是直線l上的兩點，P是l上不同于P1，P2的任一點，存在實數λ，使 =λP1PPP2，λ叫做點P分

P1P2所成的比，有三種情況：SCH高中數學（南極數學）同步教學設計（人教A版必修4第二章《平面向量》）

λ>0(內分)

(外分)λ<0(λ<-1)

(外分)λ<0(-1<λ<0)問題：如圖一個力F作用于一個物體上，使該物體位移S，（1）如何計算這個力所做的功？W=|S||F|cos?.（2）如何從數學的角度來理解這個公式呢？

1?的意義是什么？ ○2|F|cos?的意義是什么？○3|S|cos? 的意義是什么？

○

二、師生互動，新課講解：

1．兩個非零向量夾角的概念

已知非零向量ａ與ｂ，作OA＝ａ，OB＝ｂ，則∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ與ｂ的夾角.說明：（1）當θ＝０時，ａ與ｂ同向；

（2）當θ＝π時，ａ與ｂ反向；（3）當θ＝?時，ａ與ｂ垂直，記ａ⊥ｂ； 2（4）注意在兩向量的夾角定義，兩向量必須是同起點的.范圍0?≤?≤180?

C

2．平面向量數量積（內積）的定義：已知兩個非零向量a和b，它們的夾角為?，我們把數量|a|·|b|·cos?叫做a和b的數量積（或內積）。記作：a·b

即：a·b=|a|·|b|·cos?

（０≤θ≤π）.并規定0與任何向量的數量積為0.?探究：兩個向量的數量積與向量同實數積有很大區別

（1）兩個向量的數量積是一個實數，不是向量，符號由cos?的符號所決定.（2）兩個向量的數量積稱為內積，寫成a?b；今后要學到兩個向量的外積a×b，而a?b是兩個向量的數量的積，書寫時要嚴格區分.符號“· ”在向量運算中不是乘號，既不能省略，也不能用“×”代替.（3）在實數中，若a?0，且a?b=0，則b=0；但是在數量積中，若a?0，且a?b=0，不能推出b=0.因為其中cos?有可能為0.（4）已知實數a、b、c(b?0)，則ab=bc ? a=c.但是a?b = b?c

如右圖：a?b = |a||b|cos? = |b||OA|，b?c = |b||c|cos? = |b||OA| ? a?b = b?c

但a ? c

(5)在實數中，有(a?b)c = a(b?c)，但是(a?b)c ? a(b?c)

a = c SCH高中數學（南極數學）同步教學設計（人教A版必修4第二章《平面向量》）

顯然，這是因為左端是與c共線的向量，而右端是與a共線的向量，而一般a與c不共線.3．“投影”的概念：作圖

定義：|b|cos?叫做向量b在a方向上的投影.投影也是一個數量，不是向量；當?為銳角時投影為正值；當?為鈍角時投影為負值；當?為直角時投影為0；當? = 0?時投影為 |b|；當? = 180?時投影為 ?|b|.4．向量的數量積的幾何意義：

數量積a?b等于a的長度與b在a方向上投影|b|cos?的乘積.5．兩個向量的數量積的性質：

設a，b都是非零向量，e是與b方向相同的單位向量，?是a與e的夾角，則： 1）e?a?a?e?|a|cos? 2）a?b?a?b?0

3）當a與b同向時，a·b=|a|·|b|；當a與b反向時，a·b=-|a|·|b|.特別地，a·a=|a|2或|a|=a?a 4）cos??a?b|a|?|b| 5）|a·b|?|a|·|b| 例1（課本P104例1）已知|a|=5，|b|=4，a與b的夾角?=120?，求a?b.解：a?b=|a||b|cos?=5?4?cos120?=-10.變式訓練1：向量|a|=6，a與b的夾角為120?，求a在b方向上的投影.（-3）

3． 數量積的運算律（1）a?b= b?a；

（2）(?a)?b=?(a?b)=a?(?b)；（3）(a+b)?c=a?c+b?c

例2（課本P105例2）對于任意向量a，b證明（1）(a+b)2=a2+2 a?b+b2；（2）(a+b)?(a-b)=a2-b2.SCH高中數學（南極數學）同步教學設計（人教A版必修4第二章《平面向量》）

證明：（1）(a+b)2=(a+b)?(a+b)

=a?a+a?b+b?a+b?b

=a2+2a?b+b2；

（2）(a+b)(a-b)=a?a-a?b+b?a-b?b=a2-b2.變式訓練2：判斷下列說法是否正確：

（1）若a=0，則對于任一向量b，有a?b=0.(?)（2）若a?0，則對任一非零向量b，有a?b?0.(?)（3）若a?0，a?b=0，則b=0.(?)（4）若a?b=0，則a，b至少有一個為零.(?)（5）若a?0，a?b=a?c，則b=c.(?)（6）若a?b=a?c，則b=c，當且僅當a?0時成立.(?)（7）對任意向量a、b、c，有(a?b)?c?a?(b?c).(?)（8）對任意向量a，有a2=|a|2.(?)例3（課本P105例3）已知|a|=6，|b|=4，a與b的夾角為60?，求(a+2b)?(a-3b).解：(a+2b)?(a-3b)=a?a-a?b-6b?b

=|a|2-a?b-6|b|

2=|a|2-|a||b|cos?-6|b|2

=-72.變式訓練3：已知｜ａ｜＝３，｜ｂ｜＝６，當①ａ∥ｂ，②ａ⊥ｂ，③ａ與ｂ的夾角是60°時，分別求ａ·ｂ.解：①當ａ∥ｂ時，若ａ與ｂ同向，則它們的夾角θ＝０°，∴ａ·ｂ＝｜ａ｜·｜ｂ｜cos0°＝3×6×1＝18； 若ａ與ｂ反向，則它們的夾角θ＝180°，∴ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos180°＝3×6×（-1）＝－18； ②當ａ⊥ｂ時，它們的夾角θ＝90°，∴ａ·ｂ＝０；

③當ａ與ｂ的夾角是60°時，有

ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos60°＝3×6×＝9 例4（課本P105例4）已知|a|=3，|b|=4，且a與b不共線，k為何值時，向量a+kb與a-kb互相垂直？ 解：a+kb與a-kb互相垂直的條件是(a+kb)?(a-kb)=0，12SCH高中數學（南極數學）同步教學設計（人教A版必修4第二章《平面向量》）

即a2-k2b2=0，∵ a2=32=9，b2=42=16，∴ 9-16k2=9，∴k=?.變式訓練4：已知|a|=2，|b|=4，ka+b與ka-b垂直，求實數k的值.解：(ka+b)?(ka-b)=0 ?k2a2-b2=0 ?k2|a|2-|b|2=0 ?4k2-16=0 ?k=?2.課堂練習（課本P106練習NO：1；2；3）

三、課堂小結，鞏固反思：

1．平面向量的數量積的物理背景及幾何意義； 2．平面向量數量積的運算律.四、課時必記：

1、平面向量數量積（內積）的定義：已知兩個非零向量ａ與ｂ，它們的夾角是θ，則數量|a||b|cos?叫ａ與ｂ的數量積，記作a?b，即有a?b = |a||b|cos?，2、|b|cos?叫做向量b在a方向上的投影.3、設a，b都是非零向量，e是與b方向相同的單位向量，?是a與e的夾角，則：

1）e?a?a?e?|a|cos? 2）a?b?a?b?0

3）當a與b同向時，a·b=|a|·|b|；當a與b反向時，a·b=-|a|·|b|.特別地，a·a=|a|2或|a|=a?a 4）cos??a?b|a|?|b| 5）|a·b|?|a|·|b|

五、分層作業： A組：

1、（課本P108習題2.4 A組：NO：2）

2、（課本P108習題2.4 A組：NO：6）SCH高中數學（南極數學）同步教學設計（人教A版必修4第二章《平面向量》）

3、（課本P108習題2.4 A組：NO：7）

4、.已知|a|=1，|b|=2，且(a-b)與a垂直，則a與b的夾角是（）

A.60°

B.30°

C.135°

D.４５°

5、已知a⊥b、c與a、b的夾角均為60°，且|a|=1，|b|=2，|c|=3，則(a+2b-c)＝______.B組：

1、已知|a|=1，|b|=2，(1)若a∥b，求a·b；(2)若a、b的夾角為６0°，求|a+b|；(3)若a-b與a垂直，求a與b的夾角.2、設m、n是兩個單位向量，其夾角為６０°，求向量a=2m+n與b=2n-3m的夾角.C組：

1、(tb1225172)已知：(a?3b)垂直于(7a?5b)、(a?4b)垂直于(7a?2b)，求a與b的夾角?。

（答：

２?）

32、(tb1225577)設e1和e2是兩個單位向量，其夾角為600，試求向量a=2e1+e2和b=-3e1+2e2的夾角。（答：1200）

第三篇：[教案精品]新課標高中數學人教A版必修四全冊教案2.3平面向量基本定理及坐標表示(二)

2．3．3平面向量的坐標運算教學目的：（1）理解平面向量的坐標的概念；（2）掌握平面向量的坐標運算；（3）會根據向量的坐標，判斷向量是否共線.教學重點：平面向量的坐標運算教學難點：向量的坐標表示的理解及運算的準確性.教學過程：

一、復習引入：1．平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任一向量a，有且只有一對實數λ1，λ2使a=λ1e1+λ2e2??(1)我們把不共線向量ｅ１、ｅ２叫做表示這一平面內所有向量的一組基底；(2)基底不惟一，關鍵是不共線；(3)由定理可將任一向量ａ在給出基底ｅ１、ｅ２的條件下進行分解；(4)基底給定時，分解形式惟一.λ1，λ2是被a，e1，e2唯一確定的數量

二、講解新課：

?1．平面向量的坐標運算

?????思考1：已知：a?(x1,y1)，b?(x2,y2)，你能得出a?b、a?b、?a的坐標嗎？設基底為i、j，則a?b?(x1i?y1j)?(x2i?y2j)?(x1?x2)i?(y1?y2)j即a?b?(x1?x2,y1?y2)，同理可得a?b?(x1?x2,y1?y2)（1）若a?(x1,y1)，b?(x2,y2)，則a?b?(x1?x2,y1?y2)，a?b?(x1?x2,y1?y2)兩個向量和與差的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和與差.（2）若a?(x,y)和實數?，則?a?(?x,?y).實數與向量的積的坐標等于用這個實數乘原來向量的相應坐標.設基底為i、j，則?a??(xi?yj)??xi??yj，即?a?(?x,?y)

實數與向量的積的坐標等于用這個實數乘原來向量的相應坐標。

?思考2：已知A(x1,y1)，B(x2,y2)，怎樣求AB的坐標？

（3）若A(x1,y1)，B(x2,y2)，則AB??x2?x1,y2?y1?

AB=OB?OA=(x2，y2)?(x1，y1)=(x2? x1，y2? y1)一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點坐標減去始點的坐標.思考3：你能標出坐標為(x2? x1，y2? y1)的P點嗎？

向量AB的坐標與以原點為始點、點P為終點的向量的坐標是相同的。

三、講解范例：

????????例1 已知a=(2，1)，b=(-3，4)，求a+b，a-b，3a+4b的坐標.例2 已知平面上三點的坐標分別為A(?2，1)，B(?1，3)，C(3，4)，求點D的坐標使這四點構成平行四邊形四個頂點.解：當平行四邊形為ABCD時，由AB?DC得D1=(2，2)當平行四邊形為ACDB時，得D2=(4，6)，當平行四邊形為DACB時，得D3=(?6，0)例3已知三個力F1(3，4)，F2(2，?5)，F3(x，y)的合力F1+F2+F3=0，求F3的坐標.解：由題設F1+F2+F3=0 得：(3，4)+(2，?5)+(x，y)=(0，0)即：??3?2?x?0?x??5 ∴? ∴F3(?5，1)?4?5?y?0?y?

1四、課堂練習：

1．若M(3，-2)N(-5，-1)且 MP?1MN，求P點的坐標 22．若A(0，1)，B(1，2)，C(3，4)，則AB?2BC=.3．已知：四點A(5，1)，B(3，4)，C(1，3)，D(5，-3)，求證：四邊形ABCD是梯形.五、小結：平面向量的坐標運算；

六、課后作業：《習案》作業二十

第四篇：平面向量的數量積的物理背景及其含義教學反思

1.1 教材的地位與作用

本節課是在學生學習了向量的概念和向量的加法、減法、數乘向量等線性運算的基礎上，探索向量的又一種新的運算，它既是前面所學知識和方法的延續，又是后繼學習解三角形、解析幾何以及空間向量等內容的基礎，因此本節內容具有承上啟下的重要作用.1.2 學情分析

（1）學生已經學習了任意角的三角函數、向量的概念和線性運算等知識.（2）學生對向量的物理背景有了一定的了解.如：力、位移、速度的合成與分解，力做功的有關知識.（3）學生已經具備了一定的數學建模能力，能從簡單的物理背景及生活背景抽象出數學概念.2 教學目標分析

依據課程標準和以上分析，制定本節課的三維目標如下：

知識與技能目標

通過物理中“功”的實例，理解平面向量數量積的含義及其物理意義，掌握平面向量數量積的性質.過程與方法目標

經歷從物理背景的分析，抽象概括出概念的過程，培養學生歸納概括，類比遷移的能力；經歷通過不同的方式探究、發現平面向量數量積性質的過程，體會從特殊到一般、分類討論、數形結合的數學思想方法.情感、態度、價值觀目標

通過師生互動，生生互動的教學活動過程，形成學生的體驗性認識，體會各學科之間的密切聯系，感受知識的形成過程，提高數學學習的興趣，形成獨立自主的鉆研精神和合作交流的科學態度.3 重點、難點分析

根據教學目標以及學情分析，確定本節課的教學重點、難點.重點：平面向量數量積的概念和性質.難點：向量在軸上的正射影的概念的理解和平面向量數量積的性質的發現.在教學中，注意遵循學生的認知規律.從學生感興趣的物理實例入手，通過層層分析，形成數量積的概念，并經歷概念辨析、深化理解、學以致用等過程，來突出重點.通過練習和探究問題的設計，將五個性質分散開來，通過課件動畫、問題引領、自主探究、合作交流等手段，從理性認識到實踐練習，再到應用，使性質自然呈現，既突出了重點，又突破了難點.教學策略分析

基于數量積的知識特點及學生的認知規律，采用啟發式和問題探究相結合的教學方法.著名數學教育家波利亞指出：“學習任何東西，最好的途徑是自己去發現”.因此，指導學生采用發現式學習法.在課堂上堅持以教師為主導，學生為主體，以抽象類比與問題探究為主線.同時，為了有效實現教學目標，采用多媒體和自編學案輔助教學.5 教學過程分析

本節課的教學流程如下：

具體分析如下：

5.1 創設情境 展示背景

教師錄像展示“大力士拉車”的情境實例，提出物理問題.問題1 大力士拉車，沿著繩子方向上的力為F，車移動的位移是s，力和位移的夾角為θ，大力士所做的功為多少？

設計意圖 從學生已有的認知水平出發，通過熟悉的生活實例，創設數量積的物理背景，激發學生的學習熱情.5.2 分析背景 形成概念

該環節，依據本套教材的特點，以物理背景作為總的抓手，通過抽象、概括、歸納，形成了兩個向量的夾角、向量在軸上的正射影和向量的數量積定義三個概念.第一步：背景的初次分析

問題2 決定功的大小的量有哪幾個？它們是標量還是矢量？當力和位移的大小一定時，功的大小取決于那個量？

問題3 這個夾角抽象到我們數學中，就是今天我們要學習的兩個向量的夾角，把力F、位移s換作數學中任意兩個非零向量a與b，你能嘗試著給出向量a與b夾角的概念嗎？

設計意圖 通過力做功的幾個因素的分析，突出夾角在做功中的作用，形成兩個向量夾角的概念.1.兩個向量的夾角

已知非零向量a與b，作OA=a，OB=b，則∠AOB稱作向量a與b的夾角，記作：〈a，b〉.問題4 下面幾種情形中（銳角、鈍角、直角、共線同向、共線反向），兩向量的夾角分別是什么角？

設計意圖 通過幾種類型的夾角的給出，讓學生直觀感知夾角的范圍，幫助學生理解夾角范圍規定的合理性.規定： 0≤〈a，b〉≤π，且〈a，b〉=〈b，a〉.特別的：當〈a，b〉=π2時，叫做a與b垂直，記作a⊥b；

兩向量的垂直符號同幾何中的垂直符號是一致的.問題5 請回顧：0的方向是怎樣規定的？

規定：0與任意向量垂直.前面曾規定：0與任意向量平行.設計意圖 概念呈現后，注意與前面所學知識進行對比，便于學生理解，記憶.圖

1練習： 如圖1，正△ABC中，求

（1）AC與AB的夾角；

（2）AB與BC的夾角.注：確定兩向量的夾角的關鍵是：通過平移使兩向量共起點.設計意圖 及時鞏固所學概念，強調確定兩向量夾角的一般方法.第二步：背景的再次分析

問題6 真正使汽車前進的力是什么？它的大小是多少？

設計意圖 讓學生借助已有的認知經驗，類比物理背景中拉力F在位移方向上的分力，它的大小是Fcos θ，自然引出向量在軸上的正射影及其數量的概念.從特殊到一般，符合學生的認知規律，突破難點.2.向量在軸上的正射影

已知向量a和軸l，作OA=a，過點O、A分別作軸l的垂線，垂足分別為O1、A1，則向量O1A1叫做向量a在軸l上的正射影（簡稱射影）.向量在軸上的正射影的數量

該射影在軸l上的坐標，稱作a在軸l上的數量或在軸l的方向上的數量.OA=a在軸l上正射影的坐標記作： al，若向量a的方向與軸l的正向所成的角為θ，則al=|a|cos θ.問題7 向量在軸上的正射影與向量在軸上的正射影的數量有什么區別？

問題8 向量在軸上的正射影的數量一定是正實數嗎？

注： a在軸l上的正射影的數量是個實數，可正、可負、可為零.向量a在b方向上的正射影及數量

如果向量b在軸l上且與軸同向，那么，向量O1A1叫做向量a在向量b方向上的正射影，它的數量是acos.設計意圖 讓學生理解正射影及其數量的含義，并引申出向量a在向量b方向上的正射影及其數量，為數量積的概念的學習做準備

第五篇：[教案精品]新課標高中數學人教A版必修四全冊教案2.3平面向量基本定理及坐標表示(三)

2.3.4平面向量共線的坐標表示教學目的：（1）理解平面向量共線的坐標表示；（2）掌握平面上兩點間的中點坐標公式及定點坐標公式；（3）會根據向量的坐標，判斷向量是否共線.教學重點：平面向量公線的坐標表示及定點坐標公式，教學難點：向量的坐標表示的理解及運算的準確性教學過程：

一、復習引入：1．平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任一向量a，有且只有一對實數λ1，λ2使a=λ1e1+λ2e2??(1)我們把不共線向量ｅ１、ｅ２叫做表示這一平面內所有向量的一組基底；(2)基底不惟一，關鍵是不共線；(3)由定理可將任一向量ａ在給出基底ｅ１、ｅ２的條件下進行分解；(4)基底給定時，分解形式惟一.λ1，λ2是被a，e1，e2唯一確定的數量2．平面向量的坐標表示

?分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i、j作為基底.任作一個向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一對實數x、y，使得a?xi?yj把(x,y)叫做向量a的（直角）坐標，記作a?(x,y)其中x叫做a在x軸上的坐標，y叫做a在y軸上的坐標，特別地，i?(1,0)，j?(0,1)，0?(0,0).2．平面向量的坐標運算（1）若a?(x1,y1)，b?(x2,y2)，則a?b?(x1?x2,y1?y2)，a?b?(x1?x2,y1?y2)，?a?(?x,?y)兩個向量和與差的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和與差..實數與向量的積的坐標等于用這個實數乘原來向量的相應坐標。（2）若A(x1,y1)，B(x2,y2)，則AB??x2?x1,y2?y1?一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點坐標減去始點的坐標.1

向量AB的坐標與以原點為始點、點P為終點的向量的坐標是相同的。3．練習：1．若M(3，-2)N(-5，-1)且 MP?1MN，求P點的坐標22．若A(0，1)，B(1，2)，C(3，4)，則AB?2BC=.3．已知：四點A(5，1)，B(3，4)，C(1，3)，D(5，-3)，如何求證：四邊形ABCD是梯形.？

二、講解新課：

1、思考：（1）兩個向量共線的條件是什么？（2）如何用坐標表示兩個共線向量？

????設a=(x1，y1)，b=(x2，y2)其中b?a.??x1??x2?由a=λb得，(x1，y1)=λ(x2，y2)?? 消去λ，x1y2-x2y1=0

?y1??y2???a∥b(b?0)的充要條件是x1y2-x2y1=0探究：（1）消去λ時能不能兩式相除？

?（不能 ∵y1，y2有可能為0，∵b?0 ∴x2，y2中至少有一個不為0）

（2）能不能寫成y1y2 ？（不能。∵x1，x2有可能為0）?x1x2a??b

x1y2?x2y1?0???(3)向量共線有哪兩種形式？ a∥b(b?0)?

三、講解范例：

????例1已知a=(4，2)，b=(6，y)，且a∥b，求y.例2已知A(-1，-1)，B(1，3)，C(2，5)，試判斷A，B，C三點之間的位置關系.思考：你還有其它方法嗎？

??例3若向量a=(-1，x)與b=(-x，2)共線且方向相同，求x ??解：∵a=(-1，x)與b=(-x，2)共線 ∴(-1)×2-x?(-x)=0

?? ∴x=±2 ∵a與b方向相同 ∴x=2

例4 已知A(-1，-1)，B(1，3)，C(1，5)，D(2，7)，向量AB與CD平行嗎？直線AB平行于直線CD嗎？

解：∵AB=(1-(-1)，3-(-1))=(2，4)，CD=(2-1，7-5)=(1，2)又 ∵2×2-4×1=0 ∴AB∥CD

又 ∵ AC=(1-(-1)，5-(-1))=(2，6)，AB=(2，4)，2×4-2×6?0 ∴AC與AB不平行

∴A，B，C不共線 ∴AB與CD不重合 ∴AB∥CD 例5設點P是線段P1P2上的一點，P1、P2的坐標分別是(x1，y1)，(x2，y2).(1)當點P是線段P1P2的中點時，求點P的坐標；(2)當點P是線段P1P2的一個三等分點時，求點P的坐標.思考：（1）中 P1P：PP2=？（2）中P1P：PP2=？ 若P1P：PP2=?如何求點P的坐標？

四、課堂練習：P101面4、5、6、7題。

五、小結 ：（1）平面向量共線的坐標表示；

（2）平面上兩點間的中點坐標公式及定點坐標公式；（3）向量共線的坐標表示.六、課后作業：《習案》二十二。思考：

1.若a=(2，3)，b=(4，-1+y)，且a∥b，則y=（C）A.6 B.5 C.7 D.8 2.若A(x，-1)，B(1，3)，C(2，5)三點共線，則x的值為（B） A.-3 B.-1 C.1 D.3 3.若AB=i+2j，DC=(3-x)i+(4-y)j(其中i、j的方向分別與x、y軸正方向相同且為單位向量).AB與DC共線，則x、y的值可能分別為（B）A.1，2 B.2，2 C.3，2 D.2，4 4.已知a=(4，2)，b=(6，y)，且a∥b，則y= 3.3

5.已知a=(1，2)，b=(x，1)，若a+2b與2a-b平行，則x的值為26.已知□ABCD四個頂點的坐標為A(5，7)，B(3，x)，C(2，3)，D(4，x)，則x= 5