第一篇：2.4.1平面向量數量積的物理背景及其含義(教學設計)

SCH高中數學（南極數學）同步教學設計（人教A版必修4第二章《平面向量》）

2.4.1平面向量的數量積的物理背景及其含義（教學設計）

[教學目標]

一、知識與能力：

1． 掌握平面向量的數量積的物理背景及幾何意義； 2． 掌握平面向量數量積的運算律；

二、過程與方法：

滲透數形結合的數學思想方法，培養學生轉化問題的能力；借助物理背景，感知數學問題，探究知識的來龍去脈；培養學生轉化問題的能力.三、情感、態度與價值觀：

培養對現實世界中的數學現象的好奇心，學習從數學角度發現和提出問題；樹立學科之間相互聯系、相互促進的辯證唯物主義觀點.[教學重點] 向量的數量積的定義及性質． [教學難點]

對向量數量積的定義及性質的理解和應用．

一、復習回顧，新課引入

????1． 向量共線定理

向量b與非零向量a共線的充要條件是：有且只有一個非零實數λ，使b=λa.2．平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任一向量a，有且只有一對實數λ1，λ2使a=λ1e1+λ2e2 3．平面向量的坐標表示

分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i、j作為基底.任作一個向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一對實數x、y，使得a?xi?yj，把(x,y)叫做向量a的（直角）坐標，記作a?(x,y)4．平面向量的坐標運算

若a?(x1,y1)，b?(x2,y2)，則a?b?(x1?x2,y1?y2)，a?b?(x1?x2,y1?y2)，?a?(?x,?y).若A(x1,y1)，B(x2,y2)，則AB??x2?x1,y2?y1?

?????5．a∥b(b?0)的充要條件是x1y2-x2y1=0 6．線段的定比分點及λ

P1，P2是直線l上的兩點，P是l上不同于P1，P2的任一點，存在實數λ，使 =λP1PPP2，λ叫做點P分

P1P2所成的比，有三種情況：SCH高中數學（南極數學）同步教學設計（人教A版必修4第二章《平面向量》）

λ>0(內分)

(外分)λ<0(λ<-1)

(外分)λ<0(-1<λ<0)問題：如圖一個力F作用于一個物體上，使該物體位移S，（1）如何計算這個力所做的功？W=|S||F|cos?.（2）如何從數學的角度來理解這個公式呢？

1?的意義是什么？ ○2|F|cos?的意義是什么？○3|S|cos? 的意義是什么？

○

二、師生互動，新課講解：

1．兩個非零向量夾角的概念

已知非零向量ａ與ｂ，作OA＝ａ，OB＝ｂ，則∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ與ｂ的夾角.說明：（1）當θ＝０時，ａ與ｂ同向；

（2）當θ＝π時，ａ與ｂ反向；（3）當θ＝?時，ａ與ｂ垂直，記ａ⊥ｂ； 2（4）注意在兩向量的夾角定義，兩向量必須是同起點的.范圍0?≤?≤180?

C

2．平面向量數量積（內積）的定義：已知兩個非零向量a和b，它們的夾角為?，我們把數量|a|·|b|·cos?叫做a和b的數量積（或內積）。記作：a·b

即：a·b=|a|·|b|·cos?

（０≤θ≤π）.并規定0與任何向量的數量積為0.?探究：兩個向量的數量積與向量同實數積有很大區別

（1）兩個向量的數量積是一個實數，不是向量，符號由cos?的符號所決定.（2）兩個向量的數量積稱為內積，寫成a?b；今后要學到兩個向量的外積a×b，而a?b是兩個向量的數量的積，書寫時要嚴格區分.符號“· ”在向量運算中不是乘號，既不能省略，也不能用“×”代替.（3）在實數中，若a?0，且a?b=0，則b=0；但是在數量積中，若a?0，且a?b=0，不能推出b=0.因為其中cos?有可能為0.（4）已知實數a、b、c(b?0)，則ab=bc ? a=c.但是a?b = b?c

如右圖：a?b = |a||b|cos? = |b||OA|，b?c = |b||c|cos? = |b||OA| ? a?b = b?c

但a ? c

(5)在實數中，有(a?b)c = a(b?c)，但是(a?b)c ? a(b?c)

a = c SCH高中數學（南極數學）同步教學設計（人教A版必修4第二章《平面向量》）

顯然，這是因為左端是與c共線的向量，而右端是與a共線的向量，而一般a與c不共線.3．“投影”的概念：作圖

定義：|b|cos?叫做向量b在a方向上的投影.投影也是一個數量，不是向量；當?為銳角時投影為正值；當?為鈍角時投影為負值；當?為直角時投影為0；當? = 0?時投影為 |b|；當? = 180?時投影為 ?|b|.4．向量的數量積的幾何意義：

數量積a?b等于a的長度與b在a方向上投影|b|cos?的乘積.5．兩個向量的數量積的性質：

設a，b都是非零向量，e是與b方向相同的單位向量，?是a與e的夾角，則： 1）e?a?a?e?|a|cos? 2）a?b?a?b?0

3）當a與b同向時，a·b=|a|·|b|；當a與b反向時，a·b=-|a|·|b|.特別地，a·a=|a|2或|a|=a?a 4）cos??a?b|a|?|b| 5）|a·b|?|a|·|b| 例1（課本P104例1）已知|a|=5，|b|=4，a與b的夾角?=120?，求a?b.解：a?b=|a||b|cos?=5?4?cos120?=-10.變式訓練1：向量|a|=6，a與b的夾角為120?，求a在b方向上的投影.（-3）

3． 數量積的運算律（1）a?b= b?a；

（2）(?a)?b=?(a?b)=a?(?b)；（3）(a+b)?c=a?c+b?c

例2（課本P105例2）對于任意向量a，b證明（1）(a+b)2=a2+2 a?b+b2；（2）(a+b)?(a-b)=a2-b2.SCH高中數學（南極數學）同步教學設計（人教A版必修4第二章《平面向量》）

證明：（1）(a+b)2=(a+b)?(a+b)

=a?a+a?b+b?a+b?b

=a2+2a?b+b2；

（2）(a+b)(a-b)=a?a-a?b+b?a-b?b=a2-b2.變式訓練2：判斷下列說法是否正確：

（1）若a=0，則對于任一向量b，有a?b=0.(?)（2）若a?0，則對任一非零向量b，有a?b?0.(?)（3）若a?0，a?b=0，則b=0.(?)（4）若a?b=0，則a，b至少有一個為零.(?)（5）若a?0，a?b=a?c，則b=c.(?)（6）若a?b=a?c，則b=c，當且僅當a?0時成立.(?)（7）對任意向量a、b、c，有(a?b)?c?a?(b?c).(?)（8）對任意向量a，有a2=|a|2.(?)例3（課本P105例3）已知|a|=6，|b|=4，a與b的夾角為60?，求(a+2b)?(a-3b).解：(a+2b)?(a-3b)=a?a-a?b-6b?b

=|a|2-a?b-6|b|

2=|a|2-|a||b|cos?-6|b|2

=-72.變式訓練3：已知｜ａ｜＝３，｜ｂ｜＝６，當①ａ∥ｂ，②ａ⊥ｂ，③ａ與ｂ的夾角是60°時，分別求ａ·ｂ.解：①當ａ∥ｂ時，若ａ與ｂ同向，則它們的夾角θ＝０°，∴ａ·ｂ＝｜ａ｜·｜ｂ｜cos0°＝3×6×1＝18； 若ａ與ｂ反向，則它們的夾角θ＝180°，∴ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos180°＝3×6×（-1）＝－18； ②當ａ⊥ｂ時，它們的夾角θ＝90°，∴ａ·ｂ＝０；

③當ａ與ｂ的夾角是60°時，有

ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos60°＝3×6×＝9 例4（課本P105例4）已知|a|=3，|b|=4，且a與b不共線，k為何值時，向量a+kb與a-kb互相垂直？ 解：a+kb與a-kb互相垂直的條件是(a+kb)?(a-kb)=0，12SCH高中數學（南極數學）同步教學設計（人教A版必修4第二章《平面向量》）

即a2-k2b2=0，∵ a2=32=9，b2=42=16，∴ 9-16k2=9，∴k=?.變式訓練4：已知|a|=2，|b|=4，ka+b與ka-b垂直，求實數k的值.解：(ka+b)?(ka-b)=0 ?k2a2-b2=0 ?k2|a|2-|b|2=0 ?4k2-16=0 ?k=?2.課堂練習（課本P106練習NO：1；2；3）

三、課堂小結，鞏固反思：

1．平面向量的數量積的物理背景及幾何意義； 2．平面向量數量積的運算律.四、課時必記：

1、平面向量數量積（內積）的定義：已知兩個非零向量ａ與ｂ，它們的夾角是θ，則數量|a||b|cos?叫ａ與ｂ的數量積，記作a?b，即有a?b = |a||b|cos?，2、|b|cos?叫做向量b在a方向上的投影.3、設a，b都是非零向量，e是與b方向相同的單位向量，?是a與e的夾角，則：

1）e?a?a?e?|a|cos? 2）a?b?a?b?0

3）當a與b同向時，a·b=|a|·|b|；當a與b反向時，a·b=-|a|·|b|.特別地，a·a=|a|2或|a|=a?a 4）cos??a?b|a|?|b| 5）|a·b|?|a|·|b|

五、分層作業： A組：

1、（課本P108習題2.4 A組：NO：2）

2、（課本P108習題2.4 A組：NO：6）SCH高中數學（南極數學）同步教學設計（人教A版必修4第二章《平面向量》）

3、（課本P108習題2.4 A組：NO：7）

4、.已知|a|=1，|b|=2，且(a-b)與a垂直，則a與b的夾角是（）

A.60°

B.30°

C.135°

D.４５°

5、已知a⊥b、c與a、b的夾角均為60°，且|a|=1，|b|=2，|c|=3，則(a+2b-c)＝______.B組：

1、已知|a|=1，|b|=2，(1)若a∥b，求a·b；(2)若a、b的夾角為６0°，求|a+b|；(3)若a-b與a垂直，求a與b的夾角.2、設m、n是兩個單位向量，其夾角為６０°，求向量a=2m+n與b=2n-3m的夾角.C組：

1、(tb1225172)已知：(a?3b)垂直于(7a?5b)、(a?4b)垂直于(7a?2b)，求a與b的夾角?。

（答：

２?）

32、(tb1225577)設e1和e2是兩個單位向量，其夾角為600，試求向量a=2e1+e2和b=-3e1+2e2的夾角。（答：1200）

第二篇：平面向量數量積的物理背景及其含義教學設計

平面向量數量積的物理背景及其含義

一、教學設計

平面向量的數量積是繼向量的線性運算之后的又一重要運算，也是高中數學的一個重要概念，在數學、物理等學科中應用十分廣泛。本節內容教材共安排兩課時，其中第一課時主要研究數量積的概念，第二課時主要研究數量積的坐標運算，本節課是第一課時。本節課的主要學習任務是通過物理中“功”的事例抽象出平面向量數量積的概念，在此基礎上探究數量積的性質與運算律，使學生體會類比的思想方法，進一步培養學生的抽象概括和推理論證的能力。其中數量積的概念既是對物理背景的抽象，又是研究性質和運算律的基礎。同時也因為在這個概念中，既有長度又有角度，既有形又有數，是代數、幾何與三角的最佳結合點，不僅應用廣泛，而且很好的體現了數形結合的數學思想，使得數量積的概念成為本節課的核心概念，自然也是本節課教學的重點。

二、教學目標

1知識與技能：闡明平面向量的數量積及其幾何意義.會算一個向量在另一個上投影的概念，運用平面向量數量積的性質、運算律和幾何意義.2過程與方法：以物體受力做功為背景引入向量數量積的概念，從數與形兩方面引導學生對向量數量積定義進行探究，通過作圖分析，使學生明確向量的數量積與數的乘法的聯系與區別。

3情感態度與價值觀：由具體的功的概念到向量的數量積，再到共線、垂直時的數量積，使學生學習從特殊到一般，再由一般到特殊的認知規律，體會數形結合思想，類比思想，體驗法則學習研究的過程，培養學生學習數學的興趣及良好的學習習慣。

三、學情分析

學生在學習本節內容之前，已熟知了實數的運算體系，掌握了向量的概念及其線性運算，具備了功等物理知識，并且初步體會了研究向量運算的一般方法：即先由特殊模型（主要是物理模型）抽象出概念，然后再從概念出發，在與實數運算類比的基礎上研究性質和運算律。這為學生學習數量積做了很好的鋪墊，使學生倍感親切。但也正是這些干擾了學生對數量積概念的理解，一方面，相對于線性運算而言，數量積的結果發生了本質的變化，兩個有形有數的向量經過數量積運算后，形卻消失了，學生對這一點是很難接受的；另一方面，由于受實數乘法運算的影響，也會造成學生對數量積理解上的偏差，特別是對性質和運算律的理解。因而本節課教學的難點數量積的概念。

四、教學重難點

1、重點：平面向量數量積的定義。

2、難點：平面向量數量積的定義的理解。

五、教學準備

1、實驗教具：計算機、黑板、粉筆

2、教學支持資源：制作高效實用的電腦多媒體課件，主要作用是改變相關內容的呈現方式，以此來節約課時，增加課堂容量。

六、教學導圖

七、教學過程

（I）創設情境，引入課題（4min）

【問題】：如圖所示，一輛小車，在力F的作用下，從A處到B處拉動的位移為S，那么請問力F在這個運動過程中所做的功？（1）力F所做的功W=。

（2）請同學們分析公式的特點：W（功）是

量，F（力）是

量，S（位移）是 量，α是。

(3)師生共同探討矢量乘矢量以及引出向量乘以向量。

【設計意圖】設計意圖在于使學生了解數量積的物理背景，讓學生知道，我們研究數量積絕不僅僅是為了數學自身的完善，而是有其客觀背景和現實意義的，從而產生了進一步研究這種新運算的愿望。同時，也為抽象數量積的概念做好鋪墊。

（II）步步探索，形成概念（20min）

1、概念的明晰

已知兩個非零向量a 與b，它們的夾角為θ，我們把數量 ︱a︱·︱b︱cosθ 叫做 a與 b的數量積（或內積），記作：a ·b

【學生思考】：在平面向量的數量積定義中，它與兩個向量的加減法有什么本質區別？ 【問題1】：向量的數量積運算與線性運算的結果有什么不同？影響數量積大小的因素有哪些？

【問題2】：數量積的幾何意義是什么？ 并在此對向量積投影的講解。

2、研究數量積的物理意義

數量積的概念是由物理中功的概念引出的，學習了數量積的概念后，學生就會明白功的數學本質就是力與位移的數量積。

【問題3】：請同學們用一句話來概括功的數學本質：功是力與位移的數量積。

【設計意圖】：這樣做不僅讓學生從“形”的角度重新認識數量積的概念，從中體會數量積與向量投影的關系，同時也更符合知識的連貫性，而且也節約了課時。好鋪墊。

我設計問題 一方面使學生嘗試計算數量積，另一方面使學生理解數量積的物理意義，同時也為數量積的性質埋下伏筆。

4、性質的發現

教材中關于數量積的三條性質是以探究的形式出現的，為了很好地完成這一探究活動，在完成上述練習后，我不失時機地提出： 【問題4】：比較︱ a·b ︱與︱a ︱×︱b ︱的大小，你有什么結論？ 在學生討論交流的基礎上，教師進一步明晰數量積的性質，然后再由學生利用數量積的定義給予證明，完成探究活動。

5、明晰數量積的性質

【設計意圖】：體現了教師只是教學活動的引領者，而學生才是學習活動的主體，讓學生成為學習的研究者，不斷地體驗到成功的喜悅，激發學生參與學習活動的熱情，不僅使學生獲得了知識，更培養了學生由特殊到一般的思維品質.6、運算律的發現

關于運算律，教材仍然是以探究的形式出現，為此，首先提出問題9 【問題5】：我們學過了實數乘法的哪些運算律？這些運算律對向量是否也適用？ 學生可能會提出以下猜測： 猜測①的正確性是顯而易見的。

關于猜測②的正確性，我提示學生思考下面的問題： 猜測②的左右兩邊的結果各是什么？它們一定相等嗎？ 學生通過討論不難發現，猜測②是不正確的。

這時教師在肯定猜測③的基礎上明晰數量積的運算律：

9、明晰數量積的運算律

10、證明運算律

學生獨立證明運算律（2）師生共同證明運算律（3）

運算律（3）的證明對學生來說是比較困難的，為了節約課時，這個證明由師生共同完成，我想這也是教材的本意。

【設計意圖】：在這個環節中，我仍然是首先為學生創設情景，讓學生在類比的基礎上進行猜想歸納，然后教師明晰結論，最后再完成證明，這樣做不僅培養了學生推理論證的能力，同時也增強了學生類比創新的意識，將知識的獲得和能力的培養有機的結合在一起。

（III）課堂練習，鞏固提高（15min）

例

1、（師生共同完成）已知︱a︱=6，︱b︱=4, a與b的夾角為60°，求（a+2b）·（a-3b），并思考此運算過程類似于哪種運算？

例

2、（學生獨立完成）對任意向量a，b是否有以下結論：（1）(a+b)2= a2+2a ·b +b

2（2）(a+b)·(a-b)=a2—b2 例

3、（師生共同完成）已知︱︱=3，︱︱=4, 且 與不共線，k為何值時，向量+k 與-k互相垂直？并思考：通過本題你有什么收獲？

【設計意圖】：本節教材共安排了四道例題，我根據學生實際選擇了其中的三道，并對例1和例3增加了題后反思。例1是數量積的性質和運算律的綜合應用，教學時，我重點從對運算原理的分析和運算過程的規范書寫兩個方面加強示范。完成計算后，進一步提出問題：此運算過程類似于哪種運算？目的是想讓學生在類比多項式乘法的基礎上自己猜測提出例2給出的兩個公式，再由學生獨立完成證明，一方面這并不困難，另一方面培養了學生通過類比這一思維模式達到創新的目的。例3的主要作用是，在繼續鞏固性質和運算律的同時，教給學生如何利用數量積來判斷兩個向量的垂直，是平面向量數量積的基本應用之一，教學時重點給學生分析數與形的轉化原理。

例

4、為了使學生更好的理解數量積的含義，熟練掌握性質及運算律，并能夠應用數量積解決有關問題，再安排如下練習：

1、下列兩個命題正確嗎？為什么？

①、若≠0，則對任一非零向量，有·≠0． ②、若≠0，·＝·，則＝．

2、已知△ABC中，=，=，當· <0或·＝0時，試判斷△ABC的形狀。

【設計意圖】：安排練習1的主要目的是，使學生在與實數乘法比較的基礎上全面認識數量積這一重要運算，通過練習2使學生學會用數量積表示兩個向量的夾角，進一步感受數量積的應用價值。

（IV）課堂小結，教學反思（4min）

1、本節課我們學習的主要內容是什么？

2、平面向量數量積的兩個基本應用是什么？

3、我們是按照怎樣的思維模式進行概念的歸納和性質的探究？在運算律的探究過程中，滲透了哪些數學思想？

4、類比向量的線性運算，我們還應該怎樣研究數量積？

【設計意圖】：通過上述問題，使學生不僅對本節課的知識、技能及方法有了更加全面深刻的認識，同時也為下一節做好鋪墊，繼續激發學生的求知欲。

八、課后練習

1、課本P121習題2.4A組1、2、3。

2、拓展與提高：

已知a與b都是非零向量，且a+3b與7a-5b垂直，a-4b與 7a-2b垂直 求a與b的夾角。

【設計意圖】：在這個環節中，我首先考慮檢測全體學生是否都達到了“課標”的基本要求，因此安排了一組教材中的習題，目的是讓所有的學生繼續加深對數量積概念的理解和應用，為后續學習打好基礎。其次，為了能讓不同的學生在數學領域得到不同的發展，我又安排了一道有一定難度的問題供學有余力的同學選做。

第三篇：平面向量的數量積的物理背景及其含義教學反思

1.1 教材的地位與作用

本節課是在學生學習了向量的概念和向量的加法、減法、數乘向量等線性運算的基礎上，探索向量的又一種新的運算，它既是前面所學知識和方法的延續，又是后繼學習解三角形、解析幾何以及空間向量等內容的基礎，因此本節內容具有承上啟下的重要作用.1.2 學情分析

（1）學生已經學習了任意角的三角函數、向量的概念和線性運算等知識.（2）學生對向量的物理背景有了一定的了解.如：力、位移、速度的合成與分解，力做功的有關知識.（3）學生已經具備了一定的數學建模能力，能從簡單的物理背景及生活背景抽象出數學概念.2 教學目標分析

依據課程標準和以上分析，制定本節課的三維目標如下：

知識與技能目標

通過物理中“功”的實例，理解平面向量數量積的含義及其物理意義，掌握平面向量數量積的性質.過程與方法目標

經歷從物理背景的分析，抽象概括出概念的過程，培養學生歸納概括，類比遷移的能力；經歷通過不同的方式探究、發現平面向量數量積性質的過程，體會從特殊到一般、分類討論、數形結合的數學思想方法.情感、態度、價值觀目標

通過師生互動，生生互動的教學活動過程，形成學生的體驗性認識，體會各學科之間的密切聯系，感受知識的形成過程，提高數學學習的興趣，形成獨立自主的鉆研精神和合作交流的科學態度.3 重點、難點分析

根據教學目標以及學情分析，確定本節課的教學重點、難點.重點：平面向量數量積的概念和性質.難點：向量在軸上的正射影的概念的理解和平面向量數量積的性質的發現.在教學中，注意遵循學生的認知規律.從學生感興趣的物理實例入手，通過層層分析，形成數量積的概念，并經歷概念辨析、深化理解、學以致用等過程，來突出重點.通過練習和探究問題的設計，將五個性質分散開來，通過課件動畫、問題引領、自主探究、合作交流等手段，從理性認識到實踐練習，再到應用，使性質自然呈現，既突出了重點，又突破了難點.教學策略分析

基于數量積的知識特點及學生的認知規律，采用啟發式和問題探究相結合的教學方法.著名數學教育家波利亞指出：“學習任何東西，最好的途徑是自己去發現”.因此，指導學生采用發現式學習法.在課堂上堅持以教師為主導，學生為主體，以抽象類比與問題探究為主線.同時，為了有效實現教學目標，采用多媒體和自編學案輔助教學.5 教學過程分析

本節課的教學流程如下：

具體分析如下：

5.1 創設情境 展示背景

教師錄像展示“大力士拉車”的情境實例，提出物理問題.問題1 大力士拉車，沿著繩子方向上的力為F，車移動的位移是s，力和位移的夾角為θ，大力士所做的功為多少？

設計意圖 從學生已有的認知水平出發，通過熟悉的生活實例，創設數量積的物理背景，激發學生的學習熱情.5.2 分析背景 形成概念

該環節，依據本套教材的特點，以物理背景作為總的抓手，通過抽象、概括、歸納，形成了兩個向量的夾角、向量在軸上的正射影和向量的數量積定義三個概念.第一步：背景的初次分析

問題2 決定功的大小的量有哪幾個？它們是標量還是矢量？當力和位移的大小一定時，功的大小取決于那個量？

問題3 這個夾角抽象到我們數學中，就是今天我們要學習的兩個向量的夾角，把力F、位移s換作數學中任意兩個非零向量a與b，你能嘗試著給出向量a與b夾角的概念嗎？

設計意圖 通過力做功的幾個因素的分析，突出夾角在做功中的作用，形成兩個向量夾角的概念.1.兩個向量的夾角

已知非零向量a與b，作OA=a，OB=b，則∠AOB稱作向量a與b的夾角，記作：〈a，b〉.問題4 下面幾種情形中（銳角、鈍角、直角、共線同向、共線反向），兩向量的夾角分別是什么角？

設計意圖 通過幾種類型的夾角的給出，讓學生直觀感知夾角的范圍，幫助學生理解夾角范圍規定的合理性.規定： 0≤〈a，b〉≤π，且〈a，b〉=〈b，a〉.特別的：當〈a，b〉=π2時，叫做a與b垂直，記作a⊥b；

兩向量的垂直符號同幾何中的垂直符號是一致的.問題5 請回顧：0的方向是怎樣規定的？

規定：0與任意向量垂直.前面曾規定：0與任意向量平行.設計意圖 概念呈現后，注意與前面所學知識進行對比，便于學生理解，記憶.圖

1練習： 如圖1，正△ABC中，求

（1）AC與AB的夾角；

（2）AB與BC的夾角.注：確定兩向量的夾角的關鍵是：通過平移使兩向量共起點.設計意圖 及時鞏固所學概念，強調確定兩向量夾角的一般方法.第二步：背景的再次分析

問題6 真正使汽車前進的力是什么？它的大小是多少？

設計意圖 讓學生借助已有的認知經驗，類比物理背景中拉力F在位移方向上的分力，它的大小是Fcos θ，自然引出向量在軸上的正射影及其數量的概念.從特殊到一般，符合學生的認知規律，突破難點.2.向量在軸上的正射影

已知向量a和軸l，作OA=a，過點O、A分別作軸l的垂線，垂足分別為O1、A1，則向量O1A1叫做向量a在軸l上的正射影（簡稱射影）.向量在軸上的正射影的數量

該射影在軸l上的坐標，稱作a在軸l上的數量或在軸l的方向上的數量.OA=a在軸l上正射影的坐標記作： al，若向量a的方向與軸l的正向所成的角為θ，則al=|a|cos θ.問題7 向量在軸上的正射影與向量在軸上的正射影的數量有什么區別？

問題8 向量在軸上的正射影的數量一定是正實數嗎？

注： a在軸l上的正射影的數量是個實數，可正、可負、可為零.向量a在b方向上的正射影及數量

如果向量b在軸l上且與軸同向，那么，向量O1A1叫做向量a在向量b方向上的正射影，它的數量是acos.設計意圖 讓學生理解正射影及其數量的含義，并引申出向量a在向量b方向上的正射影及其數量，為數量積的概念的學習做準備

第四篇：22.4.1平面向量的數量積的物理背景及其含義(第二課時)

鄂旗高級中學高一數學必修4導學案§2.4.2平面向量數量積的坐標表示、模、夾角（第二課時）2012年6月

2.4.1平面向量的數量積的物理背景及其含義（第二課時）

課前預習學案

一、預習目標：

平面向量數量積的重要性質及運算律；

二、預習內容：

1．兩個向量的數量積的性質：

1?a?b?_________2? cos? =3?當a與同向時，a?=_______;當a與b反向時，a? b =______

4?特別的a?a= ______________或︱a︱= _____________

5? |a?b| __________ |a||b| 2.數量積的運算律:

已知向量a、、c和實數λ，則：

（1）交換律:a·=

（2）結合律:（λa）·b==c

（3）分配律:（a +）·=_

課內探究學案

一、學習目標

1.學會用平面向量數量積的重要性質及運算律；

2.了解用平面向量的數量積可以處理有關長度、角度和垂直的問題； 學習重難點：。平面向量的數量積及其幾何意義

二、學習過程

例2.試證明：（1）(a+b)2

=a2

+2a·b+b2

（2）(a+b)·(a-b)= a2

—b

2例3.已知|a|=6，|b|=4，a與b的夾角為60o求(a+2b)·(a-3b)

變式訓練

1.已知|a|=3，|b|=4，且a與b的夾角為150°，則(a+b)２

＝.2.已知|a|=2，|b|=5，a·b=-3，則|a+b|=______，|a-b|=.3.已知?a?5，?b?2，a?與b?的夾角為120?，求(2a+)·(a-)的值.例4.已知|a|=3，||=4，且a與不共線，k為何值時，向量a+k與a-k互相垂直.變式訓練：1.若?a?5，?b?4，且a?與b?夾角為60?，則當k為何時，ka??b?與?a?2?b垂直?

2.已知|a|=1，||=2，(1)若a∥，求a·；

(2)若a、的夾角為６０°，求|a+|；(3)若a-與a垂直，求a與的夾角.課后練習與提高

1.已知|a|=1，||=2，且(a-)與a垂直，則a與的夾角是（）A.60°B.30°C.135°D.４５° 2.下列命題中正確的個數是_________________

①?a??b??a??b；②?a??b=0??a??0或?b??0；③??a????

a；④??a??0??=0或?a??0 3.已知?a?4，?

b?3，當?a//?b時?a??b=_______；當?a?b?時，?a??b=_______.4.已知正三角形ABC的邊長為1，則???AB?????AC?;???AB?????BC?

=__________.5.已知向量a?與b?的夾角為120?，且?a?4，?b?2，求：

(1)?a??b;(2)3?a?4?

b;(3)(a+)·(a-2)

課后反思:

第五篇：平面向量的數量積及應用教學設計[推薦]

高效課堂教學模式探討公開課

平面向量的數量積及應用教學設計

華羅庚中學 袁勁竹

一、教材分析

向量作為一種基本工具，在數學解題中有著極其重要的地位和作用。利用向量知識，可以解決不少復雜的的代數幾何問題。《平面向量的數量積及應用》，計劃安排兩個課時，本節課是第2課時。也就是，在復習了平面向量數的有關概念，坐標表示，以及平面向量數量積的基礎知識之后，本節課是進一步去認識、掌握平面向量數量積及平面向量的相關應用。

二、課標要求

1、平面向量的數量積

①通過物理中“功”等實例，理解平面向量數量積的含義及其物理意義； ②體會平面向量的數量積與向量投影的關系；

③掌握數量積的坐標表達式，會進行平面向量數量積的運算；

④能運用數量積表示兩個向量的夾角，會用數量積判斷兩個平面向量的垂直關系。

2、向量的應用

經歷用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題、力學問題與其他一些實際問題的過程，體會向量是一種處理幾何問題、物理問題等的工具，發展運算能力和解決實際問題的能力。

三、命題走向及高考預測

通過對近幾年廣東高考試題的分析，向量的數量積及運算律一直是高考數學的熱點內容之一，對向量的數量積及運算律的考查多為一個小題；另外作為工具在考查三角函數、立體幾何、平面解析幾何等內容時經常用到．整個命題過程緊扣課本，重點突出，有時考查單一知識點；有時通過知識的交匯與鏈接，全面考查向量的數量積及運算律等內容。

預測高考：

預測2012年廣東高考仍將以向量的數量積的運算、向量的平行、垂直為主要考點，以與三角、解析幾何知識交匯命題為考向。

四、學情分析

學生已復習了向量的相關概念、線性運算、數量積及初步應用，已較好地理解了向量的概念，比較熟練地掌握向量的運算和性質，已初步體會研究向量運算的一般方法，具有一定的觀察、探究能力，這為學生進一步復習數量積數量積及應用做了鋪墊。由于本班是普通班，受實數乘法運算的影響，造成不少學生對數量積理解上的偏差，從而出現錯誤。

五、教學目標

知識目標：

1、掌握平面向量的數量積公式及向量的夾角公式；

2、運用平面向量的知識解決有關問題。

能力目標：

1、通過本節課的學習培養學生觀察、分析、化歸轉化的能力；

2、提高學生分析問題、解決問題的能力。

六、教學重點、難點

重點：平面向量數量積公式及平面向量的應用。

難點：如何將有關問題等價轉化為向量問題。

七、教法、學法分析

教法：采取啟發引導、反饋評價等方式；

學法：引導學生積極參與、自主探索，培養探究能力。

八、教學過程

【 基本知識點回顧 】

1、向量的數量積的概念

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?b的數量積。

2、數量積的性質(e是單位向量，〈a，e〉＝θ)???????已知兩個非零向量a與b，它們的夾角為?，則a·b=︱a︱·︱b︱cos?叫做a與

(1)e·a＝a·e＝__________.(2)當a與b同向時，a·b＝_____；當a與b反向時，a·b＝__________.特別

地，有a·a＝_______或|a|＝________(3)a⊥b?__________.(4)cos〈a，b〉＝________.3、數量積的坐標運算(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a·b＝______________.2(2)若a＝(x，y)，則|a|＝_______，|a|＝________.→(3)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝|BA|＝____________________.(4)設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a⊥b?_____________________.4、向量的應用

（1）平面向量數量積的運算

（2）利用平面向量數量積解決平行與垂直問題（3）利用平面向量數量積解決夾角問題

（4）平面向量的綜合運用

注：本節課是第2課時，重點學習（3）利用平面向量數量積解決夾角問題和（4）平面向量的綜合運用，其中平面向量的綜合運用主要是在三角函數中的應用，在立體幾何、解析幾何等方面的應用放在后面學習。

【典例剖析】

應用3：利用平面向量數量積解決夾角問題

???1????1例

1、(2011年廣州調研)已知a?1，a?b?，(a?b)?(a?b)?，求： 22??????（1）a與b的夾角的大小;(2)a?b與a?b夾角的余弦值

思路分析（先提問學生，然后板演解題過程）：利用向量夾角的余弦公式求解

設計意圖：讓學生分析解題思路以培養學生的口頭表達能力，歸納概括能力。讓學生上臺板演可以暴露學生存在的問題，老師及時予以糾正，并呈現標準的解答格式，促使學生自我反思，以加強學生答題的規范性，做到“會做的題目得滿分，不會做的題目不得零分”。

【鞏固練習】

（1）（09重慶理）已知A、6

???????a?

1、b?6且a?(b?a)?2，則向量a與b的夾角是（）

? B、C、D、4???322

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(2（）2010年高考課標全國卷）??則a，b夾角的余弦值等于（）816168 C、D、A、B、??65656565??a，b為平面向量，已知???a?(4,3)，2a?b?(3,18)，答案：（1）C；（2）C；

設計意圖：選用的兩道題中，一道題向量是非坐標形式的，另一道題向量是坐標形式的，通過練習，讓學生學會選用適當的公式解題，鞏固所學知識。同時，讓學生多參與、多思考、多活動，改變教師大段講解的傾向，使師生活動交替進行，調節學生的注意力，促進學生各方面的發展。

題后小結：

(1)當a，b是非坐標形式時，求a與b的夾角，需求得a·b及|a|，|b|或得出它們的關系．(2)若已知a與b的坐標，則可直接利用公式 x1x2＋y1y2cosθ＝.2222 x1＋y1·x2＋y2

應用四：平面向量的綜合運用

???sin?)，c?(?1，例

2、(2009 湖北理)已知向量a?(cos?，b?(cos?，sin?)，0)．??（1）求向量b+c的長度的最大值；

（2）設?? π4???，且a⊥(b?c)，求cos?的值．

設計意圖：通過典例精講，一方面使學生加深對知識的認識，完善知識結構，另一方面使學生由簡單地模仿和接受，變為對知識的主動認識，從而進一步提高分析、解決問題的能力。

【自主探究、共同提高】

?????

1、(06天津理)設向量a與b的夾角為?，a?(3,3)，2b?a?(?1,1)，則cos?_____

??????????02、已知兩單位向量a與b的夾角為120，若c?2a?b，d?b?a，試求c與d的夾角的余弦值

3、設0???2?，已知兩個向量則向量p1p2長度的最大值是op1?(cos?,sin?)，op2?(2?sin?,2?cos?)，______ 答案： 1、31010；

2、?92142；

3、32

設計意圖：要求每位學生自己先做練習，然后對照答案進行自主的學習、同座之間互相探討，然后聽老師或學生進行講解。本環節盡量留出時間讓學生充分地比較，互相學習，共同提高。

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【課堂小結】：

1、向量知識，向量觀點有著廣泛的應用，本節課主要學習了兩方面的應用： 利用平面向量數量積解決夾角問題和平面向量的綜合應用（在三角函數中應用）

2、本節課主要學習了化歸轉化的思想方法

向量的數量積公式，溝通了向量與實數間的轉化關系

設計意圖：課堂小結由師生共同進行，以此培養學生的口頭表達能力，歸納概括能力。同時要引導學生學會總結：做完一道題目的總結，學完一課、一章的總結，有總結才有提高，通過：練習—總結—再練習，提高學習效率。

【課堂小測】

A、300?????????

1、(05北京)a?1，b?2，c?a?b，且c?a，則向量a與b的夾角為（）??

2、已知a?1，b?

000 B、60 C、120 D、150

?????2，且a?(a?b)，則向量a與b的夾角是_______.????

3、已知向量a?(sin?,1),b?(1,cos?)，且????22????（2）.求a?b的最大值(1).若a?b,求?

答案：

1、C

2、?4

3、（1）??4，（2）2?1

設計意圖：通過課堂小測快速反饋，既可以把學生取得的進步變成有形的事實，使之受到鼓勵，樂于接受下一個任務，又可以及時發現學生存在的問題，及時矯正乃至調節教學的進度，從而有效地提高課堂教學的效率。

思考題、設向量??m?(cos?,sin?)和n?(2?sin?,cos?),??(?,2?)??82??且m?n?,求cos(?)的值528

【課后作業，分層練習】

必做： 《課時作業本》第4章第3課時

選做：(2009·江蘇)設向量a＝(4cos α，sin α)，b＝(sin β，4cos β)，c＝(cos β，－4sin β)．

(1)若a與b－2c垂直，求tan(α＋β)的值；

(2)求|b＋c|的最大值；

(3)若tan αtan β＝16，求證：a∥b.設計意圖：出選做題的目的是注意分層教學和因材施教，為學有余力的學生提供思考空間。

【教學反思】 待寫??