第一篇：數學平面向量的實際背景及基本概念教學設計

數學平面向量的實際背景及基本概念 教學設計

一、教學分析

本節是本章的入門課,概念較多,但難度不大.學生可根據原有的位移、力等物理概念來學習向量的概念,結合圖形實物區分平行向量、相等向量、共線向量等概念.由于向量來源于物理,并且兼具“數”和“形”的特點,所以它在物理和幾何中具有廣泛的應用,可通過幾個具體的例子說明它的應用.位移是物理中的基本量之一,也是幾何研究的重要對象.幾何中常用點表示位置,研究如何由一點的位置確定另外一點的位置.位移簡明地表示了點的位置之間的相對關系,它是向量的重要的物理模型.力是常見的物理量.重力、浮力、彈力等都是既有大小又有方向的量.物理中還有其他力,讓學生舉出物理學中力的其他一些實例,目的是要建立物理課中學過的位移、力及矢量等概念與向量之間的聯系,以此更加自然地引入向量概念,并建立學習向量的認知基礎.二、教學目標

1、知識與技能： 了解向量的實際背景，理解平面向量的概念和向量的幾何表示；掌握向量的模、零向量、單位向量、平行向量、相等向量、共線向量等概念；并會區分平行向量、相等向量和共線向量。

2、過程與方法：

通過對向量的學習，使學生初步認識現實生活中的向量和數量的本質區別。

3、情感態度與價值觀：

通過學生對向量與數量的識別能力的訓練，培養學生認識客觀事物的數學本質的能力。

三、重點難點

教學重點:理解并掌握向量、零向量、單位向量、相等向量、共線向量的概念,會表示向量.教學難點:平行向量、相等向量和共線向量的區別和聯系.四、教學設想：

（一）導入新課

思路1.(情境導入)如圖1,在同一時刻,老鼠由A向西北方向的C處逃竄,貓在B處向正東方向的D處追去,貓能否追到老鼠呢？學生馬上得出結論:追不上,貓的速度再快也沒用,因為方向錯了.教師適時設問:如何從數學的角度來揭示這個問題的本質？由此展開新課.圖1 思路2.兩列火車先后從同一站臺沿相反方向開出,各走了相同的路程,怎樣用數學式子表示這兩列火車的位移？從中國象棋中規定“馬”走日,象走“田”,讓學生在圖上畫出馬、象走過的路線引入也是一個不錯的選擇.（二）推進新課、新知探究、提出問題

①在物理課中,我們學過力的概念.請回顧一下力的三要素是什么？還有哪些量和力具有同樣特征呢?這些量的共同特征是什么？怎樣利用你所學的數學中的知識抽象這些具有共同特征的量呢？

②新的概念是對這些具有共同特征的量的描述,應怎樣定義這樣的量呢？ ③數量與向量的區別在哪里？

活動:教師指導學生閱讀教材,思考討論并解決上述問題,學生討論列舉與位移一樣的一些量.物體受到的重力是豎直向下的,物體的質量越大,它受到的重力越大；物體在液體中受到的浮力是豎直向上的,物體浸在液體中的體積越大它受到的浮力就越大；速度與加速度都是既有大小,又有方向的量；物理中的動量與矢量都有方向,且有大?。晃锢韺W中存在著許多既有大小,又有方向的量.教師引導學生觀察思考這些量的共同特征,我們能否在數學學科中對這些量加以抽象,形成一種新的量.至此時機成熟,引入向量,并把那些只有大小,沒有方向的量,如年齡、身高、長度、面積、體積、質量等稱為數量,物理學上稱為標量.顯然數量和向量的區別就在于方向問題.討論結果: ①略.②我們把既有大小,又有方向的量叫做向量.物理中稱為矢量.③略.提出問題

①如何表示向量? ②有向線段和線段有何區別和聯系？分別可以表示向量的什么? ③長度為零的向量叫什么向量？長度為1的向量叫什么向量? ④滿足什么條件的兩個向量是相等向量？單位向量是相等向量嗎? ⑤有一組向量,它們的方向相同或相反,這組向量有什么關系？怎樣定義平行向量? ⑥如果把一組平行向量的起點全部移到一點O,它們是不是平行向量？這時各向量的終點之間有什么關系? ⑦數量與向量有什么區別? ⑧數學中的向量與物理中的力有什么區別? 活動:教師指導學生閱讀教材,通過閱讀教材思考討論以上問題.特別是有向線段,是學習向量的關鍵.但不能說“向量就是有向線段,有向線段就是向量”,有向線段只是向量的一種幾何表示,二者有本質的區別.向量只由方向和大小決定,而與向量的起點的位置無關,但有向線段不僅與方向、長度有關,也與起點的位置有關.如圖2,在線段AB的兩個端點中,規定一個順序,假設A為起點、B為終點,我們就說線段AB具有方向,具有方向的線段叫做有向線段,通常在有向線段的終點處畫上箭頭表示它的方向.以A為起點、B為終點的有向線段記作AB.起點要寫在終點的前面.已知AB,線段AB的長度也叫做有向線段AB的長度,記作|AB|.有向線段包含三個要素:起點、方向、長度.2

圖2 知道了有向線段的起點、方向和長度,它的終點就唯一確定.用有向線段表示向量的方法是: 1°起點是A,終點是B的有向線段,對應的向量記作:AB.這里要提醒學生注意AB的方向是由點A指向點B,點A是向量的起點.2°用字母a,b,c,?表示.(一定要學生規范書寫:印刷用黑體a,書寫用a)3°向量AB(或a)的大小,就是向量AB(或a)的長度(或稱模),記作|AB|(或|a|).教師要注意引導學生將數量與向量的模進行比較,數量有大小而沒有方向,其大小有正、負和0之分,可進行運算,并可比較大小;向量的模是正數或0,也可以比較大小.由于方向不能比較大小,像a＞b就沒有意義,而|a|>|b|有意義.討論結果:①向量也可用字母a,b,c,?表示(印刷用粗黑體表示),手寫用a →來表示,或用表示向量的有向線段的起點和終點字母表示,如AB、CD.注意:手寫體上面的箭頭一定不能漏寫.②有向線段:具有方向的線段就叫做有向線段,其有三個要素:起點、方向、長度.向量與有向線段的區別:向量只有大小和方向兩個要素,與起點無關,只要大小和方向相同,則這兩個向量就是相同的向量；有向線段有起點、大小和方向三個要素,起點不同,盡管大小和方向相同,也是不同的有向線段.圖3 ③長度為0的向量叫零向量,長度為1個單位長度的向量,叫單位向量.但要注意,零向量、單位向量的定義都只是限制了大小.長度為0的向量叫做零向量,記作0,規定零向量的方向是任意的.長度等于1個單位的向量,叫做單位向量.④長度相等且方向相同的向量叫做相等向量.⑤是平行向量.平行向量定義的理解:第一,方向相同或相反的非零向量叫平行向量;第二,我們規定0與任一向量平行即0∥a.綜合第一、第二才是平行向量的完整定義；向量a,b,c平行,記作a∥b∥c.如圖3.3

圖4 又如圖4,a,b,c是一組平行向量,任作一條與a所在直線0平行的直線l,在l上任取一點O,則可在l上分別作出OA＝a,OB=b, OC=c.這就是說,任一組平行向量都可以移動到同一直線上,因此,平行向量也叫做共線向量.說明:平行向量可以在同一直線上,要區別于兩平行線的位置關系.⑥是共線向量,也就是平行向量.但要注意,平行向量就是共線向量,這是因為任一組平行向量都可移到同一直線上(與有向線段的起點無關).平行向量可以在同一直線上,要區別于兩平行線的位置關系；共線向量可以相互平行,要區別于在同一直線上的線段的位置關系.⑦數量只有大小,是一個代數量,可以進行代數運算、比較大??；向量有方向、大小雙重性質,不能比較大小.⑧力有大小、方向、作用點三個要素,而數學中的向量是由物理中的力抽象出來的,只有大小與方向兩個要素,與起點的位置無關.（三）應用示例

例1 如圖5,試根據圖中的比例尺以及三地的位置,在圖中分別用有向線段表示A地至B、C兩地的位移.(精確到1 km)

圖5 分析:本例是一個簡單的實際問題,要求畫出有向線段表示位移,目的在于鞏固向量概念及其幾何表示.解:AB表示A地至B地的位移,且|AB|≈232 km;(AB長度×8 000 000÷100 000)AC表示A地至C地的位移,且|AC|≈296 km.(AC長度×8 000 000÷100 000)點評:位置是幾何學研究的重要內容之一,幾何中常用點表示位置,研究如何由一點的位置確定另外一點的位置.如圖5,由A點確定B點、C點的位置.變式訓練

一個人從A點出發沿東北方向走了100 m到達B點,然后改變方向,沿南偏東15°方向又走了100 m到達C點,求此人從C點走回A點的位移.4

圖6 解:根據題意畫出示意圖,如圖6所示.|AB|=100 m,|BC|=100 m,∠ABC=45°+15°=60°, ∴△ABC為正三角形.∴|CA|=100 m,即此人從C點返回A點所走的路程為100 m.∵∠BAC=60°，∴∠CAD=∠BAC-∠BAD=15°,即此人行走的方向為西偏北15°.故此人從C點走回A點的位移為沿西偏北15°方向100 m.圖7 例2 判斷下列命題是否正確,若不正確,請簡述理由.(1)ABCD中,AB與CD是共線向量;(2)單位向量都相等.活動:教師引導學生畫出平行四邊形,如圖7.因為AB//CD,所以AB∥CD.由于上面已經明確,單位向量只限制了大小,方向不確定,所以單位向量不一定相等,即單位向量模均相等且為1,但方向不確定.解:(1)正確;(2)不正確.點評:本題考查基本概念,對于單位向量、平行向量的概念特征及相互關系必須把握好.圖8 例3 如圖8,設O是正六邊形ABCDEF的中心,分別寫出圖中所示向量與OA、OB、OC、相等的量.活動:本例是結合正六邊形的一些幾何性質,讓學生鞏固相等向量和平行向量的概念,正六邊形是邊長等于半徑并且對邊互相平行的正多邊形,它既是軸對稱圖形,又是中心對稱圖形,具有豐富的幾何性質.教科書中要求判斷OA與 EF,OB與AF是否相等,是要通過長度相等方向相反的兩個向量的不等,讓學生從反面認識向量相等的概念.解:OA=CB=DO;OB=DC=EO;OC=AB=ED=FO.點評:向量相等是一個重要的概念,今后經常用到.讓學生在訓練中明確,向量相等不僅大小相等,還要方向相同.變式訓練

本例變式一:與向量OA長度相等的向量有多少個？(11個)本例變式二:是否存在與向量OA長度相等、方向相反的向量？(存在)例4 下列命題正確的是()A.a與b共線,b與c共線,則a與c也共線

B.任意兩個相等的非零向量的始點與終點是一平行四邊形的四頂點 C.向量a與b不共線,則a與b都是非零向量 D.有相同起點的兩個非零向量不平行

活動:由于零向量與任一向量都共線,所以A不正確.由于數學中研究的向量是自由向量,所以兩個相等的非零向量可以在同一直線上,而此時就構不成四邊形,根本不可能是一個平行四邊形的四個頂點,所以B不正確.向量的平行只要方向相同或相反即可,與起點是否相同無關,所以D不正確.對于C,其條件以否定形式給出,所以可從其逆否命題來入手考慮,假若a與b不都是非零向量,即a與b至少有一個是零向量,而由零向量與任一向量都共線,可有a與b共線,不符合已知條件,所以有a與b都是非零向量,即只有C正確.答案:C 點評:對于有關向量基本概念的考查,可以從概念特征入手,也可以從反面進行考慮.即要判斷一個結論不正確,只需舉一個反例即可.要啟發學生注意這兩方面的結合.變式訓練 1.判斷:(1)平行向量是否一定方向相同？(不一定)(2)不相等的向量是否一定不平行？(不一定)(3)與零向量相等的向量必定是什么向量？(零向量)(4)與任意向量都平行的向量是什么向量？(零向量)(5)若兩個向量在同一直線上,則這兩個向量一定是什么向量？(平行向量)(6)兩個非零向量相等當且僅當什么？(長度相等且方向相同)(7)共線向量一定在同一直線上嗎？(不一定)2.把一切單位平面向量歸結到共同的始點,那么這些向量的終點所構成的圖形是()A.一條線段B.一段圓弧C.兩個點D.一個圓 答案:D 3.將平行于一直線的所有單位向量的起點平移到同一始點,則這些向量的終點所構成的圖形是()A.一個點B.兩個點 C.一個圓D.一條線段 答案:B

（四）課堂小結

本節課從平面向量的物理背景和幾何背景入手,利用類比的方法,介紹了向量的兩種表示方法:幾何表示和字母表示,幾何表示為用向量處理幾何問題打下了基礎,字母表示則利于向量的運算；然后又介紹了向量的模、平行向量、共線向量、相等向量等重要概念,這些概念是進一步學習后續課程的基礎,必須要在理解的基礎上把握好.（五）作業

第二篇：平面向量的實際背景及基本概念教學設計

“平面向量的實際背景及基本概念”教學設計

一、課標要求

通過力和力的分析等實例，了解向量的實際背景，理解平面向量和向量相等的含義，理解向量的幾何表示。

二、教材分析

（一）本節的地位和作用

向量是近代數學最重要的和最基本的數學概念之一，它是溝通代數、幾何和三角函數的橋梁，是解決幾何問題的有力工具，對更新和完善中學數學知識結構起著重要的作用。向量有著豐富的實際背景，在現實生活中隨處可見的位移、速度、力等既有大小又有方向的量是它的物理背景，有向線段是它的幾何背景。向量就是從這些實際對象中抽象概括出來的數學概念。向量集數與形于一身，是數形結合的重要體現。向量作為數學模型，廣泛地應用于解決數學、物理學科及實際生活的問題，因此它在整個高中數學學習過程中占有特別重要的地位。

本課是“平面向量”的起始課，具有“統領全局”的作用。本節課重要的不是向量的形式化定義及幾個相關概念，而是能讓學生去體會認識與研究數學新對象的方法和基本思路，進而提高提出問題，解決問題的能力。

（二）本節的主要內容

向量就是從物理背景中抽象概括出來的數學概念，因此把本節課的主要內容確定為向量的概念和向量的表示方法。

（三）教學重點、難點分析

掌握向量的概念，要抓住向量的本質——大小和方向.盡管學生有著相對比較豐富的物理素材，但對向量的認識還是比較單一的（往往只考慮大小而忽略方向），所以平面向量的概念是本節課的重點也是難點，同時，向量的幾何表示也是本節課的重點。

教學重點：向量的概念及向量的表示方法.教學難點：向量的概念和向量與有向線段的區別.三、學情分析

從學生已經學習過的知識中看，他們已經掌握了數的抽象過程、實數的絕對值（線段的長度）、單位長度、0和1的特殊性。還有學生在物理學科中已經積累了足夠多的向量模型，并且在三角函數線部分內容的學習中（必修4任意角的三角函數、三角函數的圖象與性質）已經接觸到有向線段的概念，從而為本節課的學習提供了知識準備。

從學生現有的學習能力看，學生已經具備了一定的抽象概括的能力，因此從物理背景中抽象并概括出向量的概念不是太難。

學生在學習本節課內容過程中，主要理解向量的概念和向量的表示方法，學生可能會對向量的幾何表示方法（有向線段）與平面向量進行混淆，因此在教學中應該對學生進行引導性的提問，讓學生理解它們的區別。

四、教學目標

（一）知識與技能

（1）通過對位移、力等實例的分析，抽象概括出平面向量的概念；

（2）理解平面向量的幾何意義及幾何表示；

（3）掌握向量的模、零向量及單位向量的概念。

（二）過程與方法

經歷平面向量的概念的形成過程，提高抽象概括能力，引導用觀察、類比、歸納等發現規律的一般方法解決數學問題。

（三）情感態度與價值觀

經歷平面向量的概念的探索過程，提高自主探究能力，進一步提高學習數學的樂趣，由感性思維逐步提升到理性思維。

五、教學理念

（一）自主建構

知識不能被動接受、不能被傳遞，需要學生主動地自我建構。在學習向量概念之前，學生已經學習了物理中矢量的概念，通過對原有知識框架的整合，達到學習新概念的目的，有利于學生對數學知識意義的理解、數學能力的提高、數學素質的養成。

（二）具體與抽象相結合

向量是一個抽象出來的概念，因此要通過具體的實際背景，如位移等具體的概念引入，再進一步得出向量的概念。只有當學生形成了一定的感性認識之后，才可能形成抽象的概念。

六、教學方法

本節課采用講解法。本節課是對新概念的學習，采用講解法有利于保持知識的科學性和系統性。因此在講解時要注意把握向量的物理意義和它的實際背景，有助于學生認同新概念的合理性，便于加深學生對向量內涵的理解，提高學生的抽象概括能力。

七、教學過程

（一）情境創設

思考：如何由A點確定B點位置，如圖

一種常用的方法是，以A點為參照點，用B點與A點之間的方位和距離確定B點的位置，如B點在A點東偏南45，30千米處。這樣，在A點與B點之間，我們可以用有向線段AB表示B點相對于A點的位置，有向線段AB就是A點與B點之間的位移。像位移這種既有大小又有方向的量，加以抽象，就是這節課我們要學的向量。設計意圖：為學生得出向量概念（位移、速度、力）提供依據。

（二）概念形成

1.向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量。

強調：數量與向量的區別：

數量只有大小，是一個代數量，可以進行代數運算、比較大??；

向量既有大小，又有方向，不能比較大小。2.向量的表示方法

思考:物理學中如何畫物體所受的力? 用有向線段表示，線段的長度表示力的大小，箭頭表示方向。

設計意圖：啟發學生運用類比的數學思想，得出向量的表示方法。(1)幾何表示法：常用一條有向線段表示向量。

符號表示：以A為起點、B為終點的有向線段，記作AB。(注意起終點順序).(2)字母表示法：可表示AB為a.（注意課本上的表示是黑體，書寫的時候上面要標箭頭）

注意：向量可以用有向線段表示，但向量不是有向線段。

（1）向量只有大小和方向兩個要素，與起點無關，只要大小和方向相同，則這兩個向量就是相同的向量；

（2）有向線段有起點、大小和方向三個要素，起點不同，盡管大小和方向相同，也是不同的有向線段.3.向量的模

向量AB的大小——向量AB長度稱為向量的模.記作：|AB|.4.兩個特殊的向量

(1)零向量——長度為零的向量，記作0.規定0的方向是任意的。(2)單位向量——長度等于1個單位長度的向量．

（三）練習鞏固

課本P75頁例1，P77頁第一題

（四）歸納小結

本節課主要學習了向量的概念和向量的表示方法。我們要注意的是： 1.描述一個向量有兩個指標——模、方向。

2.向量的圖示，要標上箭頭、起點和終點，以體現它的直觀性.

第三篇：2.1平面向量的實際背景及基本概念 教學設計 教案

教學準備

1.教學目標

1、知識與技能：

了解向量的實際背景，理解平面向量的概念和向量的幾何表示；掌握向量的模、零向量、單位向量、平行向量、相等向量、共線向量等概念；并會區分平行向量、相等向量和共線向量。

2、過程與方法：

通過對向量的學習，使學生初步認識現實生活中的向量和數量的本質區別。

3、情感態度與價值觀：

通過學生對向量與數量的識別能力的訓練，培養學生認識客觀事物的數學本質的能力。

2.教學重點/難點

教學重點:理解并掌握向量、零向量、單位向量、相等向量、共線向量的概念,會表示向量.教學難點:平行向量、相等向量和共線向量的區別和聯系.3.教學用具

多媒體

4.標簽

平面向量的實際背景及基本概念

教學過程

（一）導入新課

思路1.(情境導入)如圖1,在同一時刻,老鼠由A向西北方向的C處逃竄,貓在B處向正東方向的D處追去,貓能否追到老鼠呢？學生馬上得出結論:追不上,貓的速度再快也沒用,因為方向錯了.教師適時設問:如何從數學的角度來揭示這個問題的本質？由此展開新課.（二）推進新課、新知探究、提出問題

①在物理課中,我們學過力的概念.請回顧一下力的三要素是什么？還有哪些量和力具有同樣特征呢?這些量的共同特征是什么？怎樣利用你所學的數學中的知識抽象這些具有共同特征的量呢？

②新的概念是對這些具有共同特征的量的描述,應怎樣定義這樣的量呢？ ③數量與向量的區別在哪里？

活動:教師指導學生閱讀教材,思考討論并解決上述問題,學生討論列舉與位移一樣的一些量.物體受到的重力是豎直向下的,物體的質量越大,它受到的重力越大；物體在液體中受到的浮力是豎直向上的,物體浸在液體中的體積越大它受到的浮力就越大；速度與加速度都是既有大小,又有方向的量；物理中的動量與沖量都有方向,且有大小；物理學中存在著許多既有大小,又有方向的量.教師引導學生觀察思考這些量的共同特征,我們能否在數學學科中對這些量加以抽象,形成一種新的量.至此時機成熟,引入向量,并把那些只有大小,沒有方向的量,如年齡、身高、長度、面積、體積、質量等稱為數量,物理學上稱為標量.顯然數量和向量的區別就在于方向問題.討論結果: ①略.②我們把既有大小,又有方向的量叫做向量.物理中稱為矢量.③略.提出問題 ①如何表示向量? ②有向線段和線段有何區別和聯系？分別可以表示向量的什么? ③長度為零的向量叫什么向量？長度為1的向量叫什么向量? ④滿足什么條件的兩個向量是相等向量？單位向量是相等向量嗎? ⑤有一組向量,它們的方向相同或相反,這組向量有什么關系？怎樣定義平行向量? ⑥如果把一組平行向量的起點全部移到一點O,它們是不是平行向量？這時各向量的終點之間有什么關系? ⑦數量與向量有什么區別? ⑧數學中的向量與物理中的力有什么區別?

活動:教師指導學生閱讀教材,通過閱讀教材思考討論以上問題.特別是有向線段,是學習向量的關鍵.但不能說“向量就是有向線段,有向線段就是向量”,有向線段只是向量的一種幾何表示,二者有本質的區別.向量只由方向和大小決定,而與向量的起點的位置無關,但有向線段不僅與方向、長度有關,也與起點的位置有關.如圖2,在線段AB的兩個端點中,規定一個順序,假設A為起點、B為終點,我們就說線段AB具有方向,具有方向的線段叫做有向線段,通常在有向線段的終點處畫上箭頭表示它的方向.以A為起點、B為終點的有向線段記作.起點要寫在終點的前面.已知,線段AB的長度也叫做有向線段的長度,記作

.有向線段包含三個要素:起點、方向、長度

.知道了有向線段的起點、方向和長度,它的終點就唯一確定.用有向線段表示向量的方法是: 1°起點是A,終點是B的有向線段,對應的向量記作

:.這里要提醒學生注意的方向是由點A指向點B,點A是向量的起點.2°用字母a,b,c,?表示.(一定要學生規范書寫:印刷用黑體a,書寫用)3°向量(或a)的大小,就是向量(或a)的長度(或稱模),記作|

|(或|a|).教師要注意引導學生將數量與向量的模進行比較,數量有大小而沒有方向,其大小有正、負和0之分,可進行運算,并可比較大小;向量的模是正數或0,也可以比較大小.由于方向不能比較大小,像a＞b就沒有意義,而|a|>|b|有意義.討論結果:①向量也可用字母a,b,c,?表示(印刷用粗黑體表示),手寫用來表示,或用表示向量的有向線段的起點和終點字母表示,如、.注意:手寫體上面的箭頭一定不能漏寫.②有向線段:具有方向的線段就叫做有向線段,其有三個要素:起點、方向、長度.向量與有向線段的區別:向量只有大小和方向兩個要素,與起點無關,只要大小和方向相同,則這兩個向量就是相同的向量；有向線段有起點、大小和方向三個要素,起點不同,盡管大小和方向相同,也是不同的有向線段.圖3 ③長度為0的向量叫零向量,長度為1個單位長度的向量,叫單位向量.但要注意,零向量、單位向量的定義都只是限制了大小.長度為0的向量叫做零向量,記作0,規定零向量的方向是任意的.長度等于1個單位的向量,叫做單位向量.④長度相等且方向相同的向量叫做相等向量.⑤對平行向量定義的理解:第一,方向相同或相反的非零向量叫平行向量;第二,我們規定0與任一向量平行即0∥a.綜合第一、第二才是平行向量的完整定義；向量a,b,c平行,記作a∥b∥c.如圖3.圖4

又如圖4,a,b,c是一組平行向量,任作一條與a所在直線0平行的直線l,在l上任取一點O,則可在l上分別作出＝a,=b,=c.這就是說,任一組平行向量都可以移動到同一直線上,因此,平行向量也叫做共線向量.說明:平行向量可以在同一直線上,要區別于兩平行線的位置關系.⑥是共線向量,也就是平行向量.但要注意,平行向量就是共線向量,這是因為任一組平行向量都可移到同一直線上(與有向線段的起點無關).平行向量可以在同一直線上,要區別于兩平行線的位置關系；共線向量可以相互平行,要區別于在同一直線上的線段的位置關系.⑦數量只有大小,是一個代數量,可以進行代數運算、比較大??；向量有方向、大小雙重性質,不能比較大小.⑧力有大小、方向、作用點三個要素,而數學中的向量是由物理中的力抽象出來的,只有大小與方向兩個要素,與起點的位置無關.（三）應用示例 例1 如圖5,試根據圖中的比例尺以及三地的位置,在圖中分別用有向線段表示A地至B、C兩地的位移.(精確到1 km)

分析:本例是一個簡單的實際問題,要求畫出有向線段表示位移,目的在于鞏固向量概念及其幾何表示.解:表示A地至B地的位移,且|100 000)

|≈232 km;(AB長度×8 000 000÷表示A地至C地的位移,且||≈296 km.(AC長度×8 000 000÷100 000)點評:位置是幾何學研究的重要內容之一,幾何中常用點表示位置,研究如何由一點的位置確定另外一點的位置.如圖5,由A點確定B點、C點的位置.例2 判斷下列命題是否正確,若不正確,請簡述理由.(1)ABCD中,與

是共線向量;(2)單位向量都相等.活動:教師引導學生畫出平行四邊形,如圖7.因為AB//CD,所以∥.由于上面已經明確,單位向量只限制了大小,方向不確定,所以單位向量不一定相等,即單位向量模均相等且為1,但方向不確定.解:(1)正確;(2)不正確.課堂小結

本節課從平面向量的物理背景和幾何背景入手,利用類比的方法,介紹了向量的兩種表示方法:幾何表示和字母表示,幾何表示為用向量處理幾何問題打下了基礎,字母表示則利于向量的運算；然后又介紹了向量的模、平行向量、共線向量、相等向量等重要概念,這些概念是進一步學習后續課程的基礎,必須要在理解的基礎上把握好.課后習題 1.判斷:(1)平行向量是否一定方向相同？(不一定)(2)不相等的向量是否一定不平行？(不一定)(3)與零向量相等的向量必定是什么向量？(零向量)(4)與任意向量都平行的向量是什么向量？(零向量)(5)若兩個向量在同一直線上,則這兩個向量一定是什么向量？(平行向量)(6)兩個非零向量相等當且僅當什么？(長度相等且方向相同)(7)共線向量一定在同一直線上嗎？(不一定)

2.把一切單位平面向量歸結到共同的始點,那么這些向量的終點所構成的圖形是（）A.一條線段

B.一段圓弧

C.兩個點

D.一個圓 答案:D

3.將平行于一直線的所有單位向量的起點平移到同一始點,則這些向量的終點所構成的圖形是（）A.一個點

B.兩個點

C.一個圓

D.一條線段 答案:B

板書

2.1.1 向量的物理背景與概念 2.1.2向量的幾何表示 2.1.3相等向量與共線向量

第四篇：示范教案(2.1平面向量的實際背景及基本概念)（推薦）

高中數學新課標必修⑤教案

麻陽一中

舒佑勇

第二章

平面向量

2.1 平面向量的實際背景及基本概念

第一課時

教學目標

1.通過實例,利用平面向量的實際背景以及研究平面向量的必要性,理解平面向量的概念以及確定平面向量的兩個要素,搞清數量與向量的區別.2.理解自由向量、相等向量、相反向量、平行向量等概念,并能判斷向量之間的關系,并會辨認圖形中的相等向量或作出與某一已知向量相等的向量.重點難點

教學重點:理解并掌握向量、零向量、單位向量、相等向量、共線向量的概念,會表示向量.教學難點:平行向量、相等向量和共線向量的區別和聯系.教學過程

導入新課

思路1.(情境導入)如圖1,在同一時刻,老鼠由A向西北方向的C處逃竄,貓在B處向正東方向的D處追去,貓能否追到老鼠呢？學生馬上得出結論:追不上,貓的速度再快也沒用,因為方向錯了.教師適時設問:如何從數學的角度來揭示這個問題的本質？由此展開新課.圖1 推進新課 提出問題

①在物理課中,我們學過力的概念.請回顧一下力的三要素是什么？還有哪些量和力具有同樣特征呢?這些量的共同特征是什么？怎樣利用你所學的數學中的知識抽象這些具有共同特征的量呢？

②新的概念是對這些具有共同特征的量的描述,應怎樣定義這樣的量呢？ ③數量與向量的區別在哪里？

①略.②我們把既有大小,又有方向的量叫做向量.物理中稱為矢量.③略.提出問題

①如何表示向量? ②有向線段和線段有何區別和聯系？分別可以表示向量的什么? ③長度為零的向量叫什么向量？長度為1的向量叫什么向量? ④滿足什么條件的兩個向量是相等向量？單位向量是相等向量嗎? ⑤有一組向量,它們的方向相同或相反,這組向量有什么關系？怎樣定義平行向量? ⑥如果把一組平行向量的起點全部移到一點O,它們是不是平行向量？這時各向量的終點之間有什么關系? ⑦數量與向量有什么區別? ⑧數學中的向量與物理中的力有什么區別? 討論結果:①向量也可用字母a,b,c,…表示(印刷用粗黑體表示),手寫用a →來表示,或用表示向 高中數學新課標必修⑤教案

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舒佑勇

量的有向線段的起點和終點字母表示,如AB、CD.②有向線段:具有方向的線段就叫做有向線段,其有三個要素:起點、方向、長度.③長度為0的向量叫零向量,長度為1個單位長度的向量,叫單位向量.但要注意,零向量、單位向量的定義都只是限制了大小.長度為0的向量叫做零向量,記作0,規定零向量的方向是任意的.長度等于1個單位的向量,叫做單位向量.④長度相等且方向相同的向量叫做相等向量.⑤是平行向量.平行向量定義的理解:第一,方向相同或相反的非零向量叫平行向量;第二,我們規定0與任一向量平行即0∥a.綜合第一、第二才是平行向量的完整定義；向量a,b,c平行,記作a∥b∥c.如圖3.圖4

又如圖4,a,b,c是一組平行向量,任作一條與a所在直線0平行的直線l,在l上任取一點O,則可在l上分別作出OA＝a,OB=b,OC=c.這就是說,任一組平行向量都可以移動到同一直線上,因此,平行向量也叫做共線向量.⑥是共線向量,也就是平行向量.但要注意,平行向量就是共線向量,這是因為任一組平行向量都可移到同一直線上(與有向線段的起點無關).平行向量可以在同一直線上,要區別于兩平行線的位置關系；共線向量可以相互平行,要區別于在同一直線上的線段的位置關系.⑦數量只有大小,是一個代數量,可以進行代數運算、比較大??；向量有方向、大小雙重性質,不能比較大小.⑧力有大小、方向、作用點三個要素,而數學中的向量是由物理中的力抽象出來的,只有大小與方向兩個要素,與起點的位置無關.應用示例

例1 如圖5,試根據圖中的比例尺以及三地的位置,在圖中分別用有向線段表示A地至B、C兩地的位移.圖5 分析:本例是一個簡單的實際問題,要求畫出有向線段表示位移,目的在于鞏固向量概念及其幾何表示.解:AB表示A地至B地的位移,且|AB|≈232 km;(AB長度×8 000 000÷100 000)

000)AC表示A地至C地的位移,且|AC|≈296 km.(AC長度×8 000 000÷ 變式訓練

一個人從A點出發沿東北方向走了100 m到達B點,然后改變方向,沿南偏東15°方向又走了100 m到達C點,求此人從C點走回A點的位移.高中數學新課標必修⑤教案

麻陽一中

舒佑勇

例2 判斷下列命題是否正確,若不正確,請簡述理由.(1)ABCD中,AB與CD是共線向量;(2)單位向量都相等.解:(1)正確;(2)不正確.圖8 例3 如圖8,設O是正六邊形ABCDEF的中心,分別寫出圖中所示向量與OA、OB、OC、相等的量.解:OA=CB=DO;OB=DC=EO;OC=AB=ED=FO.例4 下列命題正確的是（）A.a與b共線,b與c共線,則a與c也共線

B.任意兩個相等的非零向量的始點與終點是一平行四邊形的四頂點 C.向量a與b不共線,則a與b都是非零向量 D.有相同起點的兩個非零向量不平行

答案:C 變式訓練 1.判斷:(1)平行向量是否一定方向相同？(不一定)(2)不相等的向量是否一定不平行？(不一定)(3)與零向量相等的向量必定是什么向量？(零向量)(4)與任意向量都平行的向量是什么向量？(零向量)(5)若兩個向量在同一直線上,則這兩個向量一定是什么向量？(平行向量)(6)兩個非零向量相等當且僅當什么？(長度相等且方向相同)(7)共線向量一定在同一直線上嗎？(不一定)2.把一切單位平面向量歸結到共同的始點,那么這些向量的終點所構成的圖形是（）A.一條線段

B.一段圓弧

C.兩個點

D.一個圓 答案:D 3.將平行于一直線的所有單位向量的起點平移到同一始點,則這些向量的終點所構成的圖形是（）A.一個點

B.兩個點 C.一個圓

D.一條線段 答案:B 知能訓練

課本本節練習.解答: 1.通過具體的例子,讓學生動手畫兩個方向不同、大小不等的力(向量),圖略.2.|AB|,|BA|,這兩個向量的長度相等,但它們不等.點評:向量是既有大小,又有方向的量.長度相等的兩個向量未必是兩個相等的量.高中數學新課標必修⑤教案

麻陽一中

舒佑勇

3.|AB|=2,|CD|=2.5,|EF|=3,|GH|=22.4.(1)它們的終點相同;(2)它們的終點不同.課堂小結

本節課從平面向量的物理背景和幾何背景入手,利用類比的方法,介紹了向量的兩種表示方法:幾何表示和字母表示,幾何表示為用向量處理幾何問題打下了基礎,字母表示則利于向量的運算；然后又介紹了向量的模、平行向量、共線向量、相等向量等重要概念,這些概念是進一步學習后續課程的基礎,必須要在理解的基礎上把握好.作業

課本習題2.1 1、2.

第五篇：《平面向量》單元教學設計范文

《平面向量》單元教學設計

武都區兩水中學 王斌

向量是近代數學中重要和基本的數學概念之一，有深刻的幾何背景，是解決幾何問題的有力工具。向量概念引入后，全等和平行（平移）、相似、垂直、勾股定理就可轉化為向量的加（減）法、數乘向量、數量積運算，從而把圖形的基本性質轉化為向量的運算體系。

向量是溝通代數、幾何與三角函數的一種工具，有著極其豐富的實際背景。在本章中，學生將了解向量豐富的實際背景，理解平面向量及其運算的意義，能用向量語言和方法表述和解決數學和物理中的一些問題，發展運算能力和解決實際問題的能力。

一、單元教學目標

本章主要包括平面向量的實際背景及基本概念、平面向量的線性運算、平面向量的基本定理及坐標表示、平面向量的數量積、平面向量應用五部分內容。通過本章學習，應引導學生：

1．通過力和力的分析等實例，知道向量的實際背景，會運用平面向量和向量相等的含義，會向量的幾何表示。

2．通過實例，會算向量加、減法的運算，并會求其幾何意義。

3．通過實例，熟練運用向量數乘的運算，并解釋其幾何意義，以及兩個向量共線的含義。

4．能說出向量的線性運算性質及其幾何意義。5．知道平面向量的基本定理及其意義。6．掌握平面向量的正交分解及其坐標表示。7．會用坐標表示平面向量的加、減與數乘運算。8．解釋用坐標表示的平面向量共線的條件。

9．通過物理中“功”等實例，說明平面向量數量積的含義及其物理意義。10．體會平面向量的數量積與向量投影的關系。

11．識記數量積的坐標表達式，會進行平面向量數量積的運算。

12．能運用數量積表示兩個向量的夾角，會用數量積判斷兩個平面向量的垂直關系。13．經歷用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題、力學問題與其他一些實際問題的過程，體會向量是一種處理幾何問題、物理問題等的工具，發展運算能力和解決實際問題的能力。

二、學習者特征分析

向量是近代數學中重要的和基本的概念之一，它是溝通代數幾何與三角的一種工具。向量對學生來說是比較新的內容，學生對它的學習可以說是充滿了探求的欲望，應當說能夠使大部分學生在此章節的學習中體會到學習的成功樂趣。學生在學習本單元內容之前，已熟知了實數的運算體系，具備了物理知識.這都為學習向量準備好各方面條件.三、單元教材分析

本章共安排了5個小節及2個選學內容，大約需要12個課時，具體分配如下 2．1平面向量的實際背景及基本概念 2課時 2．2 向量的線性運算 2課時

2．3平面向量的基本定理及坐標表示 2課時 2．4平面向量的數量積 2課時 2．5平面向量應用舉例 2課時

小結 2課時

本章知識結構如下：

1．第一節包括向量的物理背景與概念、向量的幾何表示、相等向量與共線向量。教科書首先從位移、力等物理量出發，抽象出既有大小、又有方向的量——向量，并說明向量與數量的區別。然后介紹了向量的幾何表示、有向線向量的長度（模）、零向量、單位向量、平行向量、相等向量、共線向量等基本概念。

2．第二節有向量加法運算及其幾何意義、向量減法運算及其幾何意義、向量數乘運算及其幾何意義等內容。

教科書先講了向量的加法、加法的幾何意義、加法運算律；再用相反向量與向量的加法定義向量的減法，把向量的減法與加法統一起來，并給出向量減法的幾何意義；然后通過向量的加法引入了實數與向量的積的定義，給出了實數與向量的積的運算律；最后介紹了兩個向量共線的條件和向量線性運算的運算法則。

3．第三節包括平面向量基本定理、平面向量的正交分解及坐標表示、平面向量的坐標運算、平面向量共線的坐標表示。

平面向量基本定理是平面向量正交分解及坐標表示的基礎。教科書首先通過一個具體的例子給出平面向量基本定理，同時介紹了基底、夾角、兩個向量垂直的概念；然后在平面向量基本定理的基礎上，給出了平面向量的正交分解及坐標表示，向量加、減、數乘的坐標運算和向量坐標的概念，最后給出平面向量共線的坐標表示。坐標表示使平面中的向量與它的坐標建立起了一一對應的關系，這為通過“數”的運算處理“形”的問題搭起了橋梁。

4．第四節包括平面向量數量積的物理背景及其含義、平面向量數量積的坐標表示、模、夾角。

教科書從學生熟知的功的概念出發，引出了平面向量數量積的概念及其幾何意義，接著介紹了向量數量積的性質、運算律及坐標表示。向量數量積把向量的長度和三角函數聯系了起來，這樣為解決有關的幾何問題提供了方便，特別能有效地解決線段的垂直問題。

5．第五節包括平面幾何中的向量方法、向量在物理中的應用舉例。由于向量來源于物理，并且兼具“數”和“形”的特點，所以它在物理和幾何中具有廣泛的應用。本節通過幾個具體的例子說明了它的應用。

6．為了拓展學生的知識面，使學生了解向量及向量符號的由來，向量的運算（運算律）與幾何圖形形式的關系，本章安排了兩個“閱讀與思考”：向量幾向量符號的由來，向量的運算（運算律）與圖形性質。

四、教學中要注意的幾個問題

1．突出向量的物理背景與幾何背景

教科書特別注意從豐富的物理背景和幾何背景中引入向量概念。在引言中通過日常生活中確定“位置”中的位移概念，說明學習向量知識的意義；在2.1節，通過物理學中的重力、浮力、彈力、速度、加速度等作為實際背景素材，說明它們都是既有大小又有方向的量，由此引出向量的概念；引出向量概念后，教科書又利用有向線段給出了向量的幾何背景，并定義了向量的模、單位向量等概念。這樣的安排，可以使學生認識到向量在刻畫現實問題、物理問題以及數學問題中的作用，使學生建立起理解和運用向量概念的背景支持。

教科書借助幾何直觀，并通過與數的運算的類比引入向量運算，以加強向量的幾何背景。

2．強調向量作為解決現實問題和數學問題的工具作用。

為了強調向量作為刻畫力、速度、位移等現實中常見現象的有力的數學工具作用，本章特別注意聯系實際。特別是在概念引入中加強與實際的聯系。另外，向量也是解決數學問題的好工具，例如，和（差）角的三角函數公式、線段的定比分點公式、平面兩點間距離公式、平移公式及正弦定理、余弦定理等都可以用向量為工具進行推導；向量作為溝通代數、幾何與三角函數的橋梁，是一個很好的數形結合工具，教科書通過“平面幾何中的向量方法”進行了介紹，并在第三章用向量方法來推導兩角差的余弦公式。這些處理也都是為了體現向量作為基本的、重要的數學工具的地位。

3．強調向量法的基本思想，明確向量運算及運算律的核心地位。

向量具有明確的幾何背景，向量的運算及運算律具有明顯的幾何意義，因此涉及長度、夾角的幾何問題可以通過向量及其運算得到解決。另外，向量及其運算（運算律）與幾何圖形的性質緊密相聯，向量的運算（包括運算律）可以用圖形直觀表示，圖形的一些性質也可以用向量的運算（運算律）來表示。這樣，建立了向量運算（包括運算律）與幾何圖形之間的關系后，可以使圖形的研究推進到有效能算的水平，向量運算（運算律）把向量與幾何、代數有機地聯系在一起。

幾何中的向量方法與解析幾何的思想具有一致性，不同的只是用“向量和向量運算”來代替解析幾何中的“數和數的運算”。這就是把點、線、面等幾何要素直接歸結為向量，對這些向量借助于它們之間的運算進行討論，然后把這些計算結果翻譯成關于點、線、面的相應結果。如果把解析幾何的方法簡單地表述為

[形到數]——[數的運算]——[數到形]，則向量方法可簡單地表述為

[形到向量]——[向量的運算]——[向量和數到形]。

教科書特別強調了向量法的上述基本思想，并根據上述基本思想明確提出了用向量法解決幾何問題的“三步曲”。為了使學生體會向量運算及運算律的重要性，教科書注意引導學生在解決具體問題時及時進行歸納，同時還明確使用了“因為有了運算，向量的力量無限；如果沒有運算，向量只是示意方向的路標”的提示語。

4．通過與數及其運算的類比，向量法與坐標法的類比，建立相關知識的聯系，突出思想性。

向量及其運算與數及其運算既有區別又有聯系，在研究的思想方法上可以進行類比。這種類比可以打開學生討論向量問題的思路，同時還能使向量的學習找到合適的思維固著點。為此，教科書在向量概念的引入，向量的線性運算，向量的數量積運算等內容的展開上，都注意與數及其運算（加、減、乘）進行類比。

5．引導學生用數學模型的觀點看待向量內容

在向量概念的教學中，要利用學生的生活經驗、其他學科的相關知識，創設豐富的情景，例如物理中的力、速度、加速度，力的合成與分解，物體受力做功等，通過這些實例是學生了解向量的物理背景、幾何背景，引導學生認識向量作為描述現實問題的數學模型的作用。同時還要通過解決一些實際問題或幾何問題，使學生學會用向量這一數學模型處理問題的基本方法。

6．加強向量與相關知識的聯系性，使學生明確研究向量的基本思路

向量既是代數的對象，又是幾何的對象。作為代數對象，向量可以運算，而且正是因為有了運算，向量的威力才得到充分的發揮；作為幾何對象，向量可以刻畫幾何元素（點、線、面），利用向量的方向可以與三角函數發生聯系，通過向量運算還可以描述幾何元素之 4 間的關系（例如直線的垂直、平行等），另外，利用向量的長度可以刻畫長度、面積、體積等幾何度量問題。教學中，教師應當充分關注到向量的這些特點，引導學生在代數、幾何和三角函數的聯系中學習本章知識。

五、教學評價

對本單元的教學我主要通過以下幾種方式進行：

1、通過與學生的問答交流，發現其思維過程，在鼓勵的基礎上，糾正偏差，并對其進行定性的評價。

2、在學生討論、交流、協作時，教師通過觀察，就個別或整體參與活動的態度和表現做出評價，以此來調動學生參與活動的積極性。

3、通過練習來檢驗學生學習的效果，并在講評中，肯定優點，指出不足。

4、通過作業，反饋信息，再次對本節課做出評價，以便查漏補缺。