第一篇：高中數(shù)學(xué)新課程創(chuàng)新教學(xué)設(shè)計(jì)案例50篇 36 向量的概念

向量的概念

教材分析

向量是近代數(shù)學(xué)中重要和基本概念之一，它集“大小”與“方向”于一身，融“數(shù)”、“形”于一體，具有幾何形式與代數(shù)形式的“雙重身份”，是高中數(shù)學(xué)重要的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的交匯點(diǎn)，也是數(shù)形結(jié)合思想的重要載體．這節(jié)通過(guò)對(duì)物理中的位移和力的歸納，抽象、概括出向量的概念、有向線段、向量的表示、零向量、單位向量、平行向量、相等向量、共線向量的準(zhǔn)確含義．與數(shù)學(xué)中的許多概念一樣，都可以追溯它的實(shí)際背景．這節(jié)的重點(diǎn)是向量的概念、相等向量的概念和向量的幾何表示等．難點(diǎn)是向量的概念．

教學(xué)目標(biāo)

1.通過(guò)對(duì)平面向量概念的抽象概括，體驗(yàn)數(shù)學(xué)概念的形成過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力和科學(xué)的思維方法，使學(xué)生逐步由感性思維上升為理性思維．

2.理解向量的概念，會(huì)用有向線段表示向量，會(huì)判斷零向量，單位向量，平行的、相等的、共線的向量．

任務(wù)分析

在這之前，學(xué)生接觸較多的是只有大小的量（數(shù)量）．其實(shí)生活中還有一種不同于數(shù)量的量———向量．剛一開始，學(xué)生很不習(xí)慣，但可適時(shí)地結(jié)合實(shí)例，逐步讓學(xué)生理解向量的兩個(gè)基本要素———大小和方向，再讓學(xué)生于實(shí)際問(wèn)題中識(shí)別哪些是向量，哪些是數(shù)量．這樣由具體到抽象，再由抽象到具體；由實(shí)踐到理論，再由理論到實(shí)踐，可使學(xué)生比較容易地理解．緊緊抓住向量的大小和方向，便于理解兩個(gè)向量沒有大小之分，只有相等與不相等、平行與共線等．要結(jié)合例、習(xí)題讓學(xué)生很好地理解相等向量（向量可以平移）．這些均可為以后用向量處理幾何等問(wèn)題帶來(lái)方便．

教學(xué)設(shè)計(jì)

一、問(wèn)題情景

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)．思考以下問(wèn)題：

1.在數(shù)學(xué)或其他學(xué)科中，你接觸過(guò)哪些類型的量？這些量本質(zhì)上有何區(qū)別？試描述這些量的本質(zhì)區(qū)別．

2.既有大小又有方向的量應(yīng)如何表示？

二、建立模型 1.學(xué)生分析討論

學(xué)生回答：人的身高，年齡，體重；……圖形的面積，體積；物體的密度，質(zhì)量；……物理學(xué)中的重力、彈力、拉力，速度、加速度，位移……

引導(dǎo)學(xué)生慢慢抽象出數(shù)量（只有大小）和向量（既有大小又有方向）的概念． 2.教師明晰

人們?cè)陂L(zhǎng)期生產(chǎn)生活實(shí)踐中，會(huì)遇到兩種不同類型的量，如身高、體重、面積、體積等，在規(guī)定的單位下，都可以用一個(gè)實(shí)數(shù)表示它們的大小，我們稱之為數(shù)量；另一類，如力、速度、位移等，它們不僅有大小，而且有方向．作用于某物體上的力，它不僅有大小，而且有作用方向；物體運(yùn)動(dòng)的速度既有快慢之分，又有方向的區(qū)別．這類既有數(shù)量特性又有方向特性的量，就是我們要研究的向量．

在數(shù)學(xué)上，往往用一條有方向的線段，即有向線段來(lái)表示向量．有向線段的長(zhǎng)度表示向量的大小，有向線段的方向表示向量的方向．向量不僅可以用有向線段表示，也可用a，b，c，…表示，還可用表示向量的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)字母表示，如就是向量的長(zhǎng)度（模），記作，向量的大小.長(zhǎng)度等于

.長(zhǎng)度為零的向量叫零向量，記作0或1的向量叫作單位向量．

方向相同或相反的非零向量叫平行向量，記作a∥b，規(guī)定0∥a（a為任一向量）長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫作相等的向量，記作a＝b．任意兩個(gè)相等的非零向量都可用同一條有向線段來(lái)表示，并且與有向線段的起點(diǎn)無(wú)關(guān)．在同一平面上，兩個(gè)平行的長(zhǎng)度相等且指向一致的有向線段可以表示同一向量．因?yàn)橄蛄客耆伤姆较蚝湍Q定．

任一組平行向量都可以移動(dòng)到同一直線上，因此，平行向量也叫“共線向量”． 3.提出問(wèn)題，組織學(xué)生討論

（1）時(shí)間、路程、溫度、角度是向量嗎？速度、加速度、物體所受重力是向量嗎？（2）兩個(gè)單位向量一定相等嗎？（3）相等向量是平行向量嗎？

（4）物理學(xué)中的作用力與反作用力是一對(duì)共線向量嗎？

（5）方向?yàn)槟掀?0°的向量與北偏東60°的向量是共線向量嗎？強(qiáng)調(diào)：大小、方向是向量的兩個(gè)基本要素，當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)向量的大小和方向兩個(gè)要素完全相同時(shí)，兩個(gè)向量才相等．注意：相等向量、平行向量、共線向量之間的異同．

三、解釋應(yīng)用 ［例 題］

如圖，邊長(zhǎng)為1的正六邊形ABCDEF的中心為O，試分別寫出與線的向量，以及單位向量．

相等、平行和共

解：都是單位向量．

［練習(xí)］

1.如圖，D，E，F(xiàn)分別是△ABC各邊的中點(diǎn)，試寫出圖中與相等的向量．

2.如果四邊形ABCD滿足，那么四邊形ABCD的形狀如何？

3.設(shè)E，F(xiàn)，P，Q分別是任意四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，對(duì)于，哪些是相等的向量，哪些方向是相反的向量？

4.在平面上任意確定一點(diǎn)O，點(diǎn)P在點(diǎn)O“東偏北60°，3cm”處，點(diǎn)Q在點(diǎn)O“南偏西30°，3cm”處，試畫出點(diǎn)P和Q相對(duì)于點(diǎn)O的向量．

5.選擇適當(dāng)?shù)谋壤撸糜邢蚓€段分別表示下列各向量．（1）在與水平成120°角的方向上，一個(gè)大小為50N的拉力．（2）方向東南，8km／h的風(fēng)的速度．（3）向量

四、拓展延伸

1.如圖，在ABCD中，E，F(xiàn)分別是CD，AD的中點(diǎn)，在向量中相等的向量是哪些？為什么？

2.數(shù)能進(jìn)行運(yùn)算，那么與數(shù)的運(yùn)算類比，向量是否也能進(jìn)行運(yùn)算？

案例點(diǎn)評(píng)

這篇案例設(shè)計(jì)完整，思路清晰．該案例首先通過(guò)實(shí)例闡述了向量產(chǎn)生的背景，然后歸納、抽象了向量、平行向量、相等向量等概念，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)是教學(xué)思維過(guò)程的教學(xué)，符合新課程標(biāo)準(zhǔn)的精神．例題與練習(xí)由淺入深，完整，全面．“拓展延伸”的設(shè)計(jì)有新意，有深度．為學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力、創(chuàng)造能力的培養(yǎng)提供了平臺(tái)．

第二篇：高中數(shù)學(xué)新課程創(chuàng)新教學(xué)設(shè)計(jì)案例50篇__40-43平面向量

平面向量的數(shù)量積

教材分析

兩個(gè)向量的數(shù)量積是中學(xué)代數(shù)以往內(nèi)容中從未遇到過(guò)的一種新的乘法，它區(qū)別于數(shù)的乘法．這篇案例從學(xué)生熟知的功的概念出發(fā)，引出平面向量數(shù)量積的概念和性質(zhì)及其幾何意義，介紹向量數(shù)量積的運(yùn)算律及坐標(biāo)表示．向量的數(shù)量積把向量的長(zhǎng)度和三角函數(shù)聯(lián)系在一起，這為解決三角形的有關(guān)問(wèn)題提供了方便，特別是能有效解決線段的垂直等問(wèn)題．這節(jié)內(nèi)容是整個(gè)向量部分的重要內(nèi)容之一，對(duì)它的理解與掌握將直接影響向量其他內(nèi)容的學(xué)習(xí)．這節(jié)內(nèi)容的教學(xué)難點(diǎn)是對(duì)平面向量數(shù)量積的定義及運(yùn)算律的理解和對(duì)平面向量數(shù)量積的應(yīng)用．

教學(xué)目標(biāo)

1.理解并掌握平面向量的數(shù)量積、幾何意義和數(shù)量積的坐標(biāo)表示，會(huì)初步使用平面向量的數(shù)量積來(lái)處理有關(guān)長(zhǎng)度、角度和垂直的問(wèn)題，掌握向量垂直的條件．

2.通過(guò)對(duì)數(shù)量積的引入和應(yīng)用，初步體會(huì)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展的過(guò)程和運(yùn)用過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)思維習(xí)慣．

任務(wù)分析

兩個(gè)向量的數(shù)量積從形式和實(shí)質(zhì)上都與數(shù)的乘法有區(qū)別，這就給理解和掌握這個(gè)概念帶來(lái)了一些困難．在學(xué)習(xí)時(shí)，要充分讓學(xué)生理解、明白兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量，而不是向量．兩個(gè)向量的數(shù)量積的值是這兩個(gè)向量的模與兩個(gè)向量夾角余弦的乘積，其符號(hào)由夾角余弦值的正負(fù)而確定．

兩向量的數(shù)量積“a·b”不同于兩實(shí)數(shù)之積“ab”．

通過(guò)實(shí)例理解a·b＝b·c與a＝c的關(guān)系，a·b＝0與a＝0或b＝0的關(guān)系，以及（a·b）c＝a（b·c）與（ab）c＝a（bc）的不同．

教學(xué)設(shè)計(jì)

一、問(wèn)題情景

如圖40-1所示，一個(gè)力f作用于一個(gè)物體，使該物體發(fā)生了位移s，如何計(jì)算這個(gè)力所做的功．由于圖示的力f的方向與前進(jìn)方向有一個(gè)夾角θ，真正使物體前進(jìn)的力是f在物體前進(jìn)方向上的分力，這個(gè)分力與物體位移的乘積才是力f做的功．即力f使物體位移x所做的功W可用下式計(jì)算．

W＝｜s｜｜f｜c(diǎn)osθ．

其中｜f｜c(diǎn)osθ就是f在物體前進(jìn)方向上的分量，也就是力f在物體前進(jìn)方向上正射影的數(shù)量．

問(wèn)題：像功這樣的數(shù)量值，它由力和位移兩個(gè)向量來(lái)確定．我們能否從中得到啟發(fā)，把“功”看成這兩個(gè)向量的一種運(yùn)算的結(jié)果呢？

二、建立模型

1.引導(dǎo)學(xué)生從“功”的模型中得到如下概念：

已知兩個(gè)非零向量a與b，把數(shù)量｜a｜｜b｜c(diǎn)osθ叫a與b的數(shù)量積（內(nèi)積），記作a·b＝｜a｜｜b｜c(diǎn)osθ．其中θ是a與b夾角，｜a｜c(diǎn)osθ（｜b｜c(diǎn)osθ）叫a在b方向上（b在a方向上）的投影．

規(guī)定0與任一向量的數(shù)量積為０．

由上述定義可知，兩個(gè)向量ａ與ｂ的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)．

說(shuō)明：向量a與b的夾角θ是指把a(bǔ)，b起點(diǎn)平移到一起所成的夾角，其中0≤θ≤π．當(dāng)θ＝時(shí)，稱a和b垂直，記作a⊥b．為方便起見，a與b的夾角記作〈a，b〉． 2.引導(dǎo)學(xué)生思考討論

根據(jù)向量數(shù)量積的定義，可以得出

（1）設(shè)e是單位向量，a·e＝｜a｜c(diǎn)os〈a，e〉．（2）設(shè)a·b是非零向量，則a⊥b（3）a·a＝｜a｜2，于是｜a｜＝

a·b＝0．

.（4）cos〈a，b〉＝.（5）｜a·b｜≤｜a｜｜b｜（這與實(shí)數(shù)｜ab｜＝｜a｜｜b｜不同）．

三、解釋應(yīng)用 ［例 題］

已知｜a｜＝5，｜b｜＝4，〈a，b〉＝120°，求a·b． 解：a·b＝｜a｜｜b｜c(diǎn)os〈a，b〉＝5×4×cos120°＝－10． ［練習(xí)］

1.已知｜a｜＝3，ｂ在ａ上的投影為－2，求：（1）a·ｂ．

（2）a在b上的投影．

2.已知：在△ABC中，a＝5，b＝8，c＝60°，求

四、建立向量數(shù)量積的運(yùn)算律

·．

1.出示問(wèn)題：從數(shù)學(xué)的角度考慮，我們希望向量的數(shù)量積運(yùn)算，也能像數(shù)量乘法那樣滿足某些運(yùn)算律，這樣數(shù)量積運(yùn)算才更富有意義．回憶實(shí)數(shù)的運(yùn)算律，你能類比和歸納出向量數(shù)量積的一些運(yùn)算律嗎？它們成立嗎？為什么？

2.運(yùn)算律及其推導(dǎo)

已知：向量a，b，c和λ∈R，則（1）a·b＝b·a（交換律）． 證明：左＝｜a｜｜b｜c(diǎn)osθ＝右．

（2）（λa）·b＝λ（a·b）＝a·（λb）（數(shù)乘結(jié)合律）． 證明：設(shè)a，b夾角為θ，當(dāng)λ＞0時(shí)，λa與b的夾角為θ，∴（λa）·b＝（λa）·｜b｜c(diǎn)osθ＝λ｜a｜｜b｜c(diǎn)osθ＝λ（a·b）； 當(dāng)λ＜0時(shí)，λa與b的夾角為（π－θ），∴（λa）·b＝｜λa｜｜b｜c(diǎn)os（π－θ）＝－λ｜a｜｜b｜（－cosθ）＝λ｜a｜｜b｜c(diǎn)osθ＝λ（a·b）；

當(dāng)λ＝0時(shí)，（λa）·b＝0·b＝0＝λ（a·b）． 總之，（λa）·b＝λ（a·b）； 同理a·（λb）＝λ（a·b）．（3）（a＋b）·c＝a·c＋b·c（乘法對(duì)加法的分配律）．

證明：如圖40-2，任取一點(diǎn)O，作＝a，＝ｂ，＝c．

∵a＋b（即）在c方向上的投影等于a，b在c方向上的投影的和，即

｜a＋b｜c(diǎn)osθ＝｜a｜c(diǎn)osθ1＋｜b｜c(diǎn)osθ2，∴｜c(diǎn)｜｜a＋b｜c(diǎn)osθ＝｜c(diǎn)｜（｜a｜c(diǎn)osθ1＋｜b｜c(diǎn)osθ2）＝ ｜c(diǎn)｜｜a｜c(diǎn)osθ1＋｜c(diǎn)｜｜b｜c(diǎn)osθ2＝c·a＋c·b，∴（a＋b）·c＝a·c＋b·c．

思考：（1）向量的數(shù)量積滿足結(jié)合律，即（a·b）c＝a（b·c）嗎？（2）向量的數(shù)量積滿足消去律，即如果a·b＝c·b，那么a＝c嗎？

五、應(yīng)用與深化 ［例 題］

1.對(duì)實(shí)數(shù)a，b，有（a＋b）＝a＋2ab＋b，（a＋b）（a－b）＝a－b．類似地，對(duì)任意向量a，b，也有類似結(jié)論嗎？為什么？

解：類比完全平方和公式與平方差公式，有

（a＋b）2＝a2＋2a·b＋b2，（a＋b）·（a－b）＝a2－b2． 其證明是：（a＋b）＝（a＋b）·（a＋b）＝ a·a＋a·b＋b·a＋b·b＝ a2＋2a·b＋b2，2

2（a＋b）·（a－b）＝a·a－a·b＋b·a－b·b＝ a2－b2． ∴有類似結(jié)論．

2.已知｜a｜＝6，｜b｜＝4，〈a，b〉＝60°，求（a＋2b）·（a－3b）． 解：（a＋2b）·（a－3b）＝ a2－3a·b＋2b·a－6b2＝

｜a｜－｜a｜｜b｜c(diǎn)os60°－6｜b｜＝－72．

3.已知｜a｜＝3，｜b｜＝4，且a與b不共線．當(dāng)k為何值時(shí)，（a＋kb）⊥（a－kb）？ 解：（a＋kb）⊥（a－kb），即（a＋kb）·（a－kb）＝0，即a2－k2b2＝0，即9－k2×16＝0，k＝±． 2

2因此，當(dāng)k＝±時(shí)，有（a＋kb）⊥（a－kb）．

4.已知：正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，并且＝a，＝b，＝c，求｜a＋b＋c｜．

解法1：∵a＋b＋c＝＋＋＝2，∴｜a＋b＋c｜＝2＝2．

解法2：｜a＋b＋c｜2＝（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2a·c＋2b·c＝1＋1＋2＋2×1×1×cos90°＋2×1×

［練習(xí)］

1.｜a｜＝4，｜b｜＝3，（2a－3b）·（2a＋b）＝61，求a與b的夾角θ．

×

＋2×1×

×

＝8，∴｜a＋b＋c｜＝2

．

2.在邊長(zhǎng)為2的正三角形ABC中，求

六、拓展延伸

·＋·＋·．

1.當(dāng)向量a，b的夾角為銳角時(shí)，你能說(shuō)明a·b的幾何意義嗎？ 如圖40-3，a·b，即以b在a上射影的長(zhǎng)和ａ的長(zhǎng)為兩鄰邊的矩形面積（OA＝OA1）．

2.平行四邊形是表示向量加法與減法的幾何模型，如圖40-4，＝－

＝＋，．試說(shuō)明平行四邊形對(duì)角線的長(zhǎng)度與兩條鄰邊長(zhǎng)度之間的關(guān)系．

3.三個(gè)單位向量a，b，c有相同終點(diǎn)且a＋b＋c＝0，問(wèn)：它們的起點(diǎn)連成怎樣的三角形？

解法1：如圖40-5，∵｜a｜＝｜b｜＝｜c(diǎn)｜＝1，a＋b＋c＝0，∴a＋b＝－c，∴（a＋b）＝（－c）2，2∴a2＋b2＋2a·b＝c2，∴2｜a｜·｜b｜c(diǎn)os∠AOC＝－1，cos∠AOC＝，∠AOC＝120°． 同理∠BOC＝∠AOC＝120°，故△AOB，△BOC，△BOC全等，∴AB＝AC＝BC，即該△ABC為等邊三角形．

解法2：如圖40-6，．

＝c，＝－a，＝－b，由a＋b＋c＝0，即＝＋

∵｜a｜＝｜b｜＝1，∴OADB為菱形．

又｜｜＝1，∴∠AOB＝120°．

同理∠AOC＝∠BOC＝120°，…

4.在△ABC中，·＝·＝·，問(wèn)：O點(diǎn)在△ABC的什么位置？

解：由同理⊥·，＝⊥

·，即·（－）＝0，即·＝0，∴⊥，．故O是△ABC的垂心．

兩角和與差的余弦

教材分析

這節(jié)內(nèi)容是在掌握了任意角的三角函數(shù)的概念、向量的坐標(biāo)表示以及向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究用單角的三角函數(shù)表示的兩角和與差的三角函數(shù)．這些內(nèi)容在高等數(shù)學(xué)、電功學(xué)、力學(xué)、機(jī)械設(shè)計(jì)與制造等方面有著廣泛的應(yīng)用，因此要求學(xué)生切實(shí)學(xué)好，并能熟練的應(yīng)用，以便為今后的學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ)． “兩角差的余弦公式”在教科書中采用了一種易于教學(xué)的推導(dǎo)方法，即先借助于單位圓中的三角函數(shù)線，推出α，β，α－β均為銳角時(shí)成立．對(duì)于α，β為任意角的情況，教材運(yùn)用向量的知識(shí)進(jìn)行了探究．同時(shí)，補(bǔ)充了用向量的方法推導(dǎo)過(guò)程中的不嚴(yán)謹(jǐn)之處，這樣，兩角差的余弦公式便具有了一般性．

這節(jié)課的重點(diǎn)是兩角差的余弦公式的推導(dǎo)，難點(diǎn)是把公式中的α，β角推廣到任意角．

教學(xué)目標(biāo)

1.通過(guò)對(duì)兩角差的余弦公式的探究過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生通過(guò)交流，探索，發(fā)現(xiàn)和獲得新知識(shí)的能力．

2.通過(guò)兩角差的余弦公式的推導(dǎo)，體會(huì)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展的過(guò)程和初步的應(yīng)用過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)的思維方法和勇于探索的科學(xué)精神．

3.能正確運(yùn)用兩角差的余弦公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值和恒等式證明．

任務(wù)分析

這節(jié)內(nèi)容以問(wèn)題情景中的問(wèn)題作為教學(xué)的出發(fā)點(diǎn)，利用單位圓中的三角函數(shù)線和平面向量的數(shù)量積的概念推導(dǎo)出結(jié)論，并不斷補(bǔ)充推導(dǎo)過(guò)程中的不嚴(yán)謹(jǐn)之處．推導(dǎo)過(guò)程采用了從特殊到一般逐層遞進(jìn)的思維方法，學(xué)生易于接受．整個(gè)過(guò)程始終結(jié)合單位圓，以強(qiáng)調(diào)其直觀性．對(duì)于公式中的α和β角要強(qiáng)調(diào)其任意性．?dāng)?shù)學(xué)中要注意運(yùn)用啟發(fā)式，切忌把結(jié)果直接告訴學(xué)生，盡量讓學(xué)生通過(guò)觀察、思考和探索，自己發(fā)現(xiàn)公式，使學(xué)生充分體會(huì)到成功的喜悅，進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動(dòng)他們學(xué)習(xí)的積極性，從而使其自覺主動(dòng)地學(xué)習(xí)．

教學(xué)過(guò)程

一、問(wèn)題情景

我們已經(jīng)學(xué)過(guò)誘導(dǎo)公式，如

可以這樣來(lái)認(rèn)識(shí)以上公式：把角α轉(zhuǎn)動(dòng)，則所得角α＋的正弦、余弦分別等于cosα和－sinα．把角α轉(zhuǎn)動(dòng)π，則所得角α＋π的正弦、余弦分別等于－sinα和－cosα． 由此，使我們想到一個(gè)一般性的問(wèn)題：如果把角α的終邊轉(zhuǎn)動(dòng)β（度或弧度），那么所得角α＋β的正弦、余弦如何用α或β的正弦、余弦來(lái)表示呢？ 出示一個(gè)實(shí)際問(wèn)題：

右圖41-1是架在小河邊的一座吊橋的示意圖．吊橋長(zhǎng)AB＝ａ（m），A是支點(diǎn)，在河的左岸．點(diǎn)C在河的右岸，地勢(shì)比A點(diǎn)高．AD表示水平線，∠DAC＝α，α為定值．∠CAB＝β，β隨吊橋的起降而變化．在吊橋起降的過(guò)程中，如何確定點(diǎn)B離開水平線AD的高度BE？

由圖可知BE＝asin（α＋β）．

我們的問(wèn)題是：如何用α和β的三角函數(shù)來(lái)表示sin（α＋β）．如果α＋β為銳角，你能由α，β的正弦、余弦求出sin（α＋β）嗎？

引導(dǎo)學(xué)生分析：事實(shí)上，我們?cè)谘芯咳呛瘮?shù)的變形或計(jì)算時(shí)，經(jīng)常提出這樣的問(wèn)題：能否用α，β的三角函數(shù)去表示α±β的三角函數(shù)？為了解決這類問(wèn)題，本節(jié)首先來(lái)探索α－β的余弦與α，β的函數(shù)關(guān)系式．

更一般地說(shuō)，對(duì)于任意角α，β，能不能用α，β的三角函數(shù)值把α＋β或α－β的三角函數(shù)值表示出來(lái)呢？

二、建立模型 1.探 究

（1）猜想：cos（α－β）＝cosα－cosβ．（2）引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)特例否定這一猜想．

例如，α＝60°，β＝30°，可以發(fā)現(xiàn)，左邊＝cos（60°－30°）＝cos30°＝－cos30°＝－，右邊＝cos60°．顯然，對(duì)任意角α，β，cos（α－β）＝cosα－cosβ不成立．

（3）再引導(dǎo)學(xué)生從道理上否定這一猜想．

不妨設(shè)α，β，α－β均為銳角，則α－β＜α，則cos（α－β）＞cosα．又cosβ＞０，所以cos（α－β）＞cosα－cosβ． 2.分析討論

（1）如何把α，β，α－β角的三角函數(shù)值之間建立起關(guān)系？要獲得相應(yīng)的表達(dá)式需要哪些已學(xué)過(guò)的知識(shí)？

（2）由三角函數(shù)線的定義可知，這些角的三角函數(shù)值都與單位圓中的某些有向線段有關(guān)系，那么，這些有向線段之間是否有關(guān)系呢？

3.教師明晰

通過(guò)學(xué)生的討論，教師引導(dǎo)學(xué)生作出以下推理：

設(shè)角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)為P1，∠POP1＝β，則∠POx＝α－β．

過(guò)點(diǎn)P作PM⊥x軸，垂足為M，那么，OM即為α－β角的余弦線，這里要用表示α，β的正弦、余弦的線段來(lái)表示OM．

過(guò)點(diǎn)P作PA⊥OP1，垂足為A，過(guò)點(diǎn)A作AB⊥x軸，垂足為B，再過(guò)點(diǎn)P作PC⊥AB，垂足為C，那么cosβ＝OA，sinβ＝AP，并且∠PAC＝∠P1Ox＝α，于是

OM＝OB＋BM＝OB＋CP＝OAcosα＋APsinα＝ cosβcosα＋sinβsinα． 4.提出問(wèn)題，組織學(xué)生討論

（1）當(dāng)α，β，α－β為任意角時(shí)，上述推導(dǎo)過(guò)程還能成立嗎？

若要說(shuō)明此結(jié)果是否對(duì)任意角α，β都成立，還要做不少推廣工作，可引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考．

事實(shí)上，根據(jù)誘導(dǎo)公式，總可以把α，β的三角函數(shù)化為（0，）內(nèi)的三角函數(shù)，再根據(jù)cos（－β）＝cosβ，把α－β的余弦，化為銳角的余弦．因此，三、解釋應(yīng)用

［例 題］

1.求cos15°及cos105°的值．

分析：本題關(guān)鍵是將15°角分成45°與30°的差或者分解成60°與45°的差，再利用兩角差的余弦公式即可求解．對(duì)于cos105°，可進(jìn)行類似地處理，cos105°＝cos（60°＋45°）．

2.已知sinα＝的值．，α∈（，π），cosβ＝－，且β是第三象限的角，求cos（α＋β）分析：觀察公式Cα＋β與本題已知條件應(yīng)先計(jì)算出cosα，cosβ，再代入公式求值．求cosα，cosβ的值可借助于同角三角函數(shù)的平方關(guān)系，并注意α，β的取值范圍來(lái)求解．

［練習(xí)］

1.（1）求sin75°的值．

（2）求cos75°cos105°＋sin75°sin105°的值．（3）化簡(jiǎn)cos（A＋B）cosB＋sin（A＋B）sinB．（4）求cos215°－sin215°的值．

分析：對(duì)于（1），可先用誘導(dǎo)公式化sin75°為cos15°，再用例題1中的結(jié)果即可．對(duì)于（2），逆向使用公式Cα-β，即可將原式化為cos30°．對(duì)于（3），可以把A＋B角看成一個(gè)整體，去替換Cα-β中的α角，用B角替換β角．

2.（1）求證：cos（－α）＝sinα．

（2）已知sinθ＝，且θ為第二象限角，求cos（θ－）的值．

（3）已知sin（30°＋α）＝，60°＜α＜150°，求cosα．

分析：（1）和（差）公式可看成誘導(dǎo)公式的推廣，誘導(dǎo)公式是和（差）公式的特例．（2）在三角函數(shù)求值問(wèn)題中，變角是一種常用的技巧，α＝（30°＋α）－30°，這樣可充分利用題中已知的三角函數(shù)值．

3.化簡(jiǎn)cos（36°＋α）cos（α－54°）＋sin（36°＋α）sin（α－54°）．

分析：這里可以把角36°＋α與α－54°均看成單角，進(jìn)而直接運(yùn)用公式Cα-β，不必將各式展開后再計(jì)算．

分析：本題是一道綜合題，由于cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ，欲求cos（α－β）的值，只須將已知兩式平方相加求出cosαcosβ＋sinαsinβ即可．

四、拓展延伸

1.由任意角三角函數(shù)定義，可知角α，β的終邊與單位圓交點(diǎn)的坐標(biāo)均可用α，β的三角函數(shù)表示，即α－β角與導(dǎo)公式Cα-β呢？

教師引導(dǎo)學(xué)生分析：在平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)作單位圓O，以O(shè)x為始邊作角α，β，它們的終邊與單位圓的交點(diǎn)為A，B，則由向量數(shù)量積的概念，有

＝（cosα，sinα），＝（cosβ，sinβ）．，兩向量的夾角有關(guān)，那么能否用向量的有關(guān)知識(shí)來(lái)推·＝｜｜｜｜c(diǎn)os（α－β）＝cos（α－β）．

由向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，有

·＝cosαcosβ＋sinαsinβ．

于是，有

cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ．

依據(jù)向量數(shù)量積的概念，角α－β必須符合０≤α－β≤π，即在此條件下，以上推導(dǎo)才是正確的．

由于α，β都是任意角，α－β也是任意角，因此，須研究α－β為任意角時(shí)，以上推導(dǎo)是否正確．

當(dāng)α－β為任意角時(shí)，由誘導(dǎo)公式總可以找到一個(gè)角θ，θ∈［0，2π），使cosθ＝cos（α－β）．

若θ∈［0，π］，則·＝cosθ＝cos（α－β）；

若θ∈［π，2π］，則2π－θ∈［0，π］，且 ·＝cos（2π－θ）＝cosθ＝cos（α－β）．

于是，對(duì)于任意角α，β都有

2.教師提出進(jìn)一步拓展性問(wèn)題：本節(jié)問(wèn)題情景中，涉及如何用sinα，sinβ，cosα，cosβ來(lái)表示sin（α＋β）的問(wèn)題，試探索與研究sin（α＋β）的表達(dá)式．

兩角和與差的正弦

教材分析

在這節(jié)內(nèi)容中，公式較多，一旦處理不當(dāng)，將成為學(xué)生學(xué)習(xí)的一種負(fù)擔(dān)．針對(duì)這個(gè)特點(diǎn)，應(yīng)充分揭示公式的內(nèi)在聯(lián)系，使學(xué)生理解公式的形成過(guò)程及其使用條件，在公式體系中掌握相關(guān)的公式．同時(shí)，通過(guò)練習(xí)使學(xué)生能夠熟練地運(yùn)用這些公式．當(dāng)然，這些公式的基礎(chǔ)是兩角和差的余弦公式．通過(guò)誘導(dǎo)公式sin（－α）＝sinα，sinπ（－α）＝cosα（α為任意

－（α＋β）］角），可以實(shí)現(xiàn)正、余弦函數(shù)間的轉(zhuǎn)換，也可推廣為sin（α＋β）＝ｃｏｓ［＝cos［（－α）－β］，sin（α－β）＝［

－（α－β）］＝cos［（－α）＋β］.借助于Cα+β和Cα-β即可推導(dǎo)出公式Sα+β和Sα-β．Cα+β，Cα-β，Sα+β和Sα-β四個(gè)公式的左邊均為兩角和與差的正、余弦，右邊均為單角α，β的正、余弦形式．不同點(diǎn)為公式Sα+β，Sα-β兩邊的運(yùn)算符號(hào)相同，Cα+β與Cα-β兩邊的運(yùn)算符號(hào)相反．Sα+β與Sα-β中右邊是兩單角異名三角函數(shù)的乘積，而Cα-β與Cα+β的右邊是兩單角同名三角函數(shù)的乘積．

任務(wù)分析

這節(jié)課計(jì)劃采用啟發(fā)引導(dǎo)和講練結(jié)合的教學(xué)方式，對(duì)三角函數(shù)中的每一個(gè)公式要求學(xué)生會(huì)推導(dǎo)，會(huì)使用，要求不但掌握公式的原形，還應(yīng)掌握它們的變形公式，會(huì)把“asinｘ＋bcosｘ”類型的三角函數(shù)化成一個(gè)角的三角函數(shù)．在課堂教學(xué)中，將采用循序漸進(jìn)的原則，設(shè)計(jì)有一定梯度的題目，以利于培養(yǎng)學(xué)生通過(guò)觀察、類比的方法去分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，培養(yǎng)學(xué)生良好的思維習(xí)慣．在教學(xué)中，及時(shí)提醒學(xué)生分析、探索、化歸、換元、類比等常用的基本方法在三角變換中的作用．這節(jié)課的重點(diǎn)是準(zhǔn)確、熟練、靈活地運(yùn)用兩角和差的正、余弦公式進(jìn)行三角函數(shù)式的求值、化簡(jiǎn)和證明，難點(diǎn)是公式的變形使用和逆向使用．

教學(xué)目標(biāo) 1.能用兩角差的余弦公式導(dǎo)出兩角和的余弦公式，兩角和差的正弦公式，并了解各個(gè)公式之間的內(nèi)在聯(lián)系．

2.能運(yùn)用兩角和差的正、余弦公式進(jìn)行三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值和證明．

3.通過(guò)公式的推導(dǎo)過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，同時(shí)滲透數(shù)學(xué)中常用的換元、整體代換等思想方法．

教學(xué)過(guò)程

一、問(wèn)題情景

如圖42-1，為了保持在道路拐彎處的電線桿OB的穩(wěn)固性，要加一根固定鋼絲繩，要求鋼絲繩與地面成75°角．已知電線桿的高度為5m，問(wèn)：至少要準(zhǔn)備多長(zhǎng)的鋼絲繩？

設(shè)電線桿與地面接觸點(diǎn)為B，頂端為O，鋼絲繩與地面接觸點(diǎn)為A． 在Rt△AOB中，如果能求出sin75°的值，那么即可求出鋼絲繩的長(zhǎng)度．75°角可表示成兩個(gè)特殊角45°與30°的和，那么sin75°的值能否用這兩特殊角的三角函數(shù)值來(lái)表示呢？

二、建立模型 1.探 究

已知cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ，則sin（α＋β），sin（α－β）中的角及函數(shù)名與cos（α＋β）和cos（α－β）有何關(guān)系？ 通過(guò)誘導(dǎo)公式可實(shí)現(xiàn)正、余弦函數(shù)的轉(zhuǎn)換，即sin（α＋β）＝推導(dǎo)以上公式的方法并不是唯一的，其他推導(dǎo)方法由學(xué)生課后自己探索． 3.分析公式的結(jié)構(gòu)特征

Sα+β與Sα-β中兩邊的加減運(yùn)算符號(hào)相同，右邊為α與β角的異名三角函數(shù)的乘積．應(yīng)特別注意公式兩邊符號(hào)的差異．

三、解釋應(yīng)用 ［例題一］

已知sinα＝－，且α為第四象限角，求sin（－α）cos（＋α）的值．

分析：本題主要訓(xùn)練公式Sα-β與Sα+β的使用．

由sinα＝－及α為第四象限角，可求出cosα＝，再代入公式求值．

［練習(xí)一］

分析：1.（1）強(qiáng)調(diào)公式的直接運(yùn)用，尋找所求角與已知角之間的關(guān)系，α＝（30°＋α）－30°，再利用已知條件求出cos（30°＋α）．

2.應(yīng)注意三角形的內(nèi)角之間的關(guān)系，C＝π－（A＋B），再由誘導(dǎo)公式cos（π－α）＝－cosα，要求cosＣ即轉(zhuǎn)化為求－cos（A＋B）．

3.應(yīng)注意分析角之間的關(guān)系，2β＝（α＋β）－（α－β），因此，求cos2β還應(yīng)求出sin（α－β）和cos（α＋β）．解此題時(shí)，先把α＋β與α－β看成單角，然后把2β用這兩個(gè)單角來(lái)表示．

4.該題是在已有知識(shí)的基礎(chǔ)上進(jìn)一步深化，引導(dǎo)學(xué)生分三步進(jìn)行：（1）求出α＋β角的某個(gè)三角函數(shù)值．（2）確定角的范圍．（3）確定角的值．其中，求α＋β的某個(gè)三角函數(shù)值時(shí)，應(yīng)分清是求cos（α－β）還是求sin（α－β）．

已知向量的坐標(biāo)． ＝（3，4），若將其繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)45°到′→的位置，求點(diǎn)P′（x′，y′）解：設(shè)∠ｘOP＝α，∵｜OP｜＝5，∴cosα＝，sinα＝．

∵x′＝5cos（α＋45°）＝5（cosαcos45°－sinαsin45°）＝－，y′＝5sin（α＋45°）＝5（sinαcos45°＋cosαsin45°）＝，∴P′ －，．

已知向量＝（4，3），若將其繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)60°，－135°到

1，2的位置，求點(diǎn)P1，P2的坐標(biāo)．

［例題三］

求下列函數(shù)的最大值和最小值．

（1）y＝cosｘ－sinx．

（2）y＝3sinx＋4cosx．

（3）y＝asinx＋bcosx，（ａｂ≠０）． 注：（1），（2）為一般性問(wèn)題，是為（3）作鋪墊，推導(dǎo)時(shí)，要關(guān)注解題過(guò)程，以便讓學(xué)生充分理解輔助角φ滿足的條件．

（3）解：考查以（ａ，ｂ）為坐標(biāo)的點(diǎn)P（ａ，ｂ），設(shè)以O(shè)P為終邊的一個(gè)角為φ，則

［練習(xí)三］

求下列函數(shù)的最大值和最小值．（1）y＝cosx－sinx．

（2）y＝sinx－sin（x＋）

（3）已知兩個(gè)電流瞬時(shí)值函數(shù)式分別是I1＝12sin（ωt－45°），I2＝10sin（ωt＋30°），求合成的正弦波I＝I1＋I(xiàn)2的函數(shù)式．

四、拓展延伸

出示兩道延伸性問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考，然后師生共同解決．

1.已知三個(gè)電流瞬時(shí)值的函數(shù)式分別為I1＝5sinωt，I2＝6sin（ωt－60°），I3＝10sin（ωt＋60°），求它們合成后的電流瞬時(shí)值的函數(shù)式I＝I1＋I(xiàn)2＋I(xiàn)3，并指出這個(gè)函數(shù)的振幅、初相和周期．

2.已知點(diǎn)P（x，y），與原點(diǎn)的距離保持不變繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)θ角到點(diǎn)P′（x′，y′）（如圖42-2），求證：

三角形邊和角關(guān)系的探索

教材分析

初中已研究過(guò)解直角三角形，這節(jié)所研究的正、余弦定理是解直角三角形知識(shí)的延伸與推廣，它們都反映了三角形邊、角之間的等量關(guān)系，并且應(yīng)用正、余弦定理和三角形內(nèi)角和定理，可以解斜三角形．正弦定理的推證運(yùn)用了從特殊到一般的方法，把直角三角形中得到的邊角關(guān)系式推廣到銳角三角形，再推廣到鈍角三角形，進(jìn)而得出一般性的結(jié)論．余弦定理的推證采用向量的數(shù)量積做工具，將向量的長(zhǎng)度與三角形的邊長(zhǎng)、向量的夾角與三角形的內(nèi)角聯(lián)系起來(lái)．對(duì)于正、余弦定理的推論，除了這節(jié)課的證法之外，還有其他的一些推證方法．教材中還要求，在證明了正、余弦定理之后，讓學(xué)生嘗試用文字語(yǔ)言敘述兩個(gè)定理，以便理解其實(shí)質(zhì)．當(dāng)然，就知識(shí)而言，正弦定理有三個(gè)等式，可視為三個(gè)方程；余弦定理的三個(gè)式子也可看成三個(gè)方程，每個(gè)方程中均有四個(gè)量，知道其中任意三個(gè)量便可求第四個(gè)量．

這節(jié)課的重點(diǎn)是正、余弦定理的證明，以及用正、余弦定理解斜三角形，難點(diǎn)是發(fā)現(xiàn)定理、推證定理以及用定理解決實(shí)際問(wèn)題．

任務(wù)分析

這節(jié)內(nèi)容是在初中對(duì)三角形有了初步認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究三角形的邊、角之間的等量關(guān)系．對(duì)正弦定理的推導(dǎo)，教材中采用了從特殊到一般的方法，逐層遞進(jìn)，學(xué)生易于接受，而余弦定理的證明采用了向量的方法．應(yīng)用兩個(gè)定理解三角形時(shí)，要分清它們的使用條件．將正、余弦定理結(jié)合起來(lái)應(yīng)用，經(jīng)常能很好地解決三角形中的有關(guān)問(wèn)題．

教學(xué)目標(biāo)

1.理解正、余弦定理的推證方法，并掌握兩個(gè)定理． 2.能運(yùn)用正、余弦定理解斜三角形．

3.理解并初步運(yùn)用數(shù)學(xué)建模的思想，結(jié)合解三角形的知識(shí)，解決生產(chǎn)、生活中的簡(jiǎn)單問(wèn)題．

教學(xué)設(shè)計(jì)

一、問(wèn)題情景

1.A，B兩地相距2558m，從A，B兩處發(fā)出的兩束探照燈光照射在上方一架飛機(jī)的機(jī)身上（如圖43-1），問(wèn)：飛機(jī)離兩探照燈的距離分別是多少？

2.如圖43-2，自動(dòng)卸貨汽車的車廂采用液壓機(jī)構(gòu)，設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)計(jì)算油泵頂桿BC的長(zhǎng)度．已知車廂的最大仰角為60°，油泵頂點(diǎn)B與車廂支點(diǎn)A之間的距離為1.95m，AB與水平的夾角為6°20′，AC長(zhǎng)為1.40m，計(jì)算BC的長(zhǎng)．（精確到0.01m）

問(wèn)題：（1）圖中涉及怎樣的三角形？（2）在三角形中已知什么？求什么？

二、建立模型

1.教師引導(dǎo)學(xué)生分析討論

在問(wèn)題情景（1）中，已知在△ABC中，∠A＝72.3°，∠B＝76.5°，AB＝2558m．求AC，BC的長(zhǎng)．

組織學(xué)生討論如何利用已知條件求出AC，BC的長(zhǎng)度．（讓學(xué)生思考，允許有不同的解法）

結(jié)論：如圖40-3，作AD⊥BC，垂足為D．由三角函數(shù)的定義，知AD＝AC·sinC，AD＝AB·sinB．

由此可得AC·sinC＝AB·sinB．

又由∠A，∠B的度數(shù)可求∠C的度數(shù)，代入上式即可求出AC的長(zhǎng)度，同理可求BC的長(zhǎng)度．

教師明晰：

（1）當(dāng)△ABC為直角三角形時(shí)，由正弦函數(shù)的定義，得

（2）當(dāng)△ABC為銳角三角形時(shí)，設(shè)AB邊上的高為CD，根據(jù)三角函數(shù)的定義，得CD＝asinB＝bsinA，所以，同理

.（3）當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí)，結(jié)論是否仍然成立？引導(dǎo)學(xué)生自己推出．（詳細(xì)給出解答過(guò)程）

事實(shí)上，當(dāng)∠A為鈍角時(shí)，由（2）易知設(shè)BC邊上的高為CD，則由三角函數(shù)的定義，得 CD＝asinB＝bsin（180°－A）．

根據(jù)誘導(dǎo)公式，知sin（180°－A）＝sinA，.∴asinB＝bsinA，即.正弦定理 在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，即

.正弦定理指出了任意三角形中三條邊與它對(duì)應(yīng)角的正弦之間的一個(gè)關(guān)系式，描述了任意三角形中邊、角之間的一種數(shù)量關(guān)系．

思考：正弦定理可以解決有關(guān)三角形的哪些問(wèn)題？ 2.組織學(xué)生討論問(wèn)題情景（2）

這一實(shí)際問(wèn)題可化歸為：已知△ABC的邊AB＝1.95，AC＝1.4，夾角為6°20′，求BC的長(zhǎng)． 組織學(xué)生討論：能用什么方法求出BC？（學(xué)生有可能有多種不同的解法）

教師明晰：如果已知三角形的兩邊和夾角，這個(gè)三角形為確定的三角形，那么怎樣去計(jì)算它的第三邊呢？由于涉及邊長(zhǎng)及夾角的問(wèn)題，故可以考慮用平面向量的數(shù)量積．（也可用兩點(diǎn)間的距離公式）

如圖，設(shè)＝a，＝b，＝c，則c＝a－b．

∵｜c(diǎn)｜2＝c·c＝（a－b）·（a－b）＝ａ2＋ｂ2－2abcosC，∴c＝ａ＋b－2abcosC．

同理a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝c2＋a2－2accosB． 于是得到以下定理：

余弦定理 三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍．即

a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝c2＋a2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC．

思考：余弦定理可以解決一些怎樣的解三角形問(wèn)題？ 3.進(jìn)一步的問(wèn)題

勾股定理指出了直角三角形中三邊之間的等量關(guān)系，余弦定理則指出了一般三角形三邊之間的等量關(guān)系，那么這兩個(gè)定理之間存在怎樣的關(guān)系？如何利用余弦定理來(lái)判斷三角形是銳角三角形還是鈍角三角形？

三、解釋應(yīng)用 ［例 題］ 2221.（1）已知：在△ABC中，A＝32.0°，B＝81.8°，ａ＝42.9cm，解三角形．

（2）已知：在△ABC中，ａ＝20cm，ｂ＝28cm，A＝40°，解三角形．（角精確到1°，邊長(zhǎng)精確到1cm）

分析：（1）本題為給出三角形的兩角和一邊解三角形問(wèn)題，可由三角形內(nèi)角和定理先求出第三個(gè)角，再兩次利用正弦定理分別求出另兩邊．

（2）本題給出了三角形的兩邊及其中一邊的對(duì)角，于是可用正弦定理求出b邊的對(duì)角B的正弦，sinB≈0.8999，但0＜B＜π，故Ｂ角有兩個(gè)值（如圖43-8），從而C角與c邊的取值也有兩種可能．學(xué)生在解題時(shí)容易丟掉一組解，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生從圖形上尋找漏掉的解．

2.（1）已知：在△ABC中，已知b＝60cm，c＝34cm，A＝41°，解三角形．（角精確到1°，邊長(zhǎng)精確到1cm）

（2）已知：在△ABC中，ａ＝134.6cm，ｂ＝87.8cm，ｃ＝161.7cm，解三角形．（角精確到1′）．

分析：本例中的（1）題，給出了兩邊及其夾角，可先用余弦定理求出第三邊，求其他兩角時(shí)既可用余弦定理也可用正弦定理．（2）題給出了三邊長(zhǎng)，可先用余弦定理求出其中一角，然后同樣既可用正弦定理，也可用余弦定理求出其他兩角．

3.AB是底部B不可到達(dá)的建筑物，A為建筑物的最高點(diǎn)．設(shè)計(jì)一種測(cè)量建筑物高度AB的方法． 分析：由于建筑物的底部B是不可到達(dá)的，所以不能直接測(cè)量出建筑物的高．由解直角三角形的知識(shí)，只要能知道一點(diǎn)C到建筑物頂部A的距離CA，并能測(cè)出由點(diǎn)C觀察A的仰角，就可以計(jì)算出建筑物的高．為了求出CA的長(zhǎng)，可選擇一條水平基線HG（如圖43-9），使H，G，B三點(diǎn)在同一條直線上．在G，H兩點(diǎn)用測(cè)角儀器測(cè)得A的仰角分別為α，β，設(shè)CD＝ａ，測(cè)角儀器的高為ｈ，則在△ACD中，由正弦定理，得－β），從而可求得AB＝AE＋h＝ACsinα＋h＝［練習(xí)］

1.在△ABC中，已知下列條件，解三角形．（角精確到1°，邊長(zhǎng)精確到1cm）（1）A＝45°，C＝30°，ｃ＝10cm．（2）A＝60°，B＝45°，ｃ＝20cm．（3）ａ＝20cm，ｂ＝11cm，B＝30°．（4）ｃ＝54cm，ｂ＝39cm，ｃ＝115°．

2.在△ABC中，已知下列條件，解三角形．（角精確到0.1°，邊長(zhǎng)精確到0.1cm）（1）ａ＝2.7cm，ｂ＝3.696cm，C＝82.2°．（2）ｂ＝12.9cm，ｃ＝15.4cm，A＝42.3°．（3）ａ＝7cm，ｂ＝10cm，ｃ＝6cm．

四、拓展延伸

1.在△ABC中，有正弦定理

＋h．，sin（α

這涉及比值的連等式．請(qǐng)?zhí)剿鞑⒀芯渴且粋€(gè)什么樣的量，并加以證明．

2.在△ABC中，已知三邊的長(zhǎng)為ａ，ｂ，ｃ，如何判定△ABC的形狀？ 3.已知：在△ABC中，ａ＝60，ｂ＝50，Ａ＝38°，求B．（精確到1°）

分析：.∵0°＜B＜180°，∴B≈31°或B≈149°，但當(dāng)B≈149°時(shí)，A＋B＝187°，這與A，B為三角形內(nèi)角矛盾，故B角只能取31°． 由此題與例1中的（2）題的分析可以發(fā)現(xiàn)，在已知三角形兩邊及其一邊對(duì)角解三角形時(shí)，在某些條件下會(huì)出現(xiàn)一解或兩解的情形，那么會(huì)不會(huì)出現(xiàn)無(wú)解的情形呢？

（1）當(dāng)A為鈍角或直角，必須滿足ａ＞ｂ才有解（ａ≤ｂ無(wú)解），并且由sinB＝計(jì)算B時(shí)，只能取銳角，因此，只有一解，如圖43-10．

（2）當(dāng)A為銳角時(shí)，①若ａ＞ｂ或ａ＝ｂ，則由sinB＝解，如圖40-11．

計(jì)算B時(shí)，只能取銳角的值，因此，只有一②若ａ＜ｂsinA，則由sinB＝，得sinB＞1，因此，無(wú)解．如圖43-12．

③若ａ＝bsinA，則由sinB＝，得sinB＝1，即Ｂ為直角，故只有一解，如圖43-13．

④若ｂ＞ａ＞bsinA，則sinB＜1，故B可取一個(gè)銳角和一個(gè)鈍角的值，如圖43-14．

思考：若已知三角形的兩角和一邊、三邊、兩邊及其夾角來(lái)解三角形時(shí)，它們的解會(huì)是怎樣的？

第三篇：第二部分高中數(shù)學(xué)新課程創(chuàng)新教學(xué)設(shè)計(jì)案例

第二部分 高中數(shù)學(xué)新課程創(chuàng)新教學(xué)設(shè)計(jì)案例

正弦函數(shù)的性質(zhì)

教材分析

這篇案例的內(nèi)容是在學(xué)生已經(jīng)掌握正弦函數(shù)圖像的基礎(chǔ)上，通過(guò)觀察、歸納和總結(jié)，得出正弦函數(shù)的五個(gè)重要性質(zhì)，即正弦函數(shù)的定義域、值域、周期性、奇偶性和單調(diào)性．教學(xué)重點(diǎn)是正弦函數(shù)的圖像特征及五個(gè)重要性質(zhì)，難點(diǎn)是周期函數(shù)及最小正周期的意義．由于周期函數(shù)的概念比較抽象，因此，在引入定義之前，應(yīng)注意通過(guò)具體實(shí)例讓學(xué)生充分體會(huì)這種“周而復(fù)始”的現(xiàn)象，體會(huì)新概念的形成過(guò)程．

教學(xué)目標(biāo)

1.引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察，分析y＝sinx的圖像，進(jìn)而歸納、總結(jié)出正弦函數(shù)的圖像特征，并抽象出函數(shù)性質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析圖像的能力和數(shù)形結(jié)合的能力．

2.理解和掌握正弦函數(shù)的五個(gè)重要性質(zhì)，能夠解決與正弦函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的值域、最小正周期及單調(diào)區(qū)間等簡(jiǎn)單問(wèn)題．

3.使學(xué)生進(jìn)一步了解從特殊到一般、從一般到特殊的思維方法，體會(huì)分析、探索、化歸、類比的科學(xué)研究方法在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題中的應(yīng)用．

4.使學(xué)生初步體會(huì)事物周期變化的一些奧秘，進(jìn)一步提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣．

任務(wù)分析

這節(jié)內(nèi)容是在學(xué)生已經(jīng)掌握了正弦函數(shù)圖像特征的基礎(chǔ)上，運(yùn)用數(shù)學(xué)的符號(hào)語(yǔ)言把圖像特征進(jìn)一步“量化”，從而得出正弦函數(shù)的五個(gè)性質(zhì)．一般來(lái)說(shuō)，從正弦曲線的形狀，可以很清晰地看出正弦函數(shù)的定義域、值域、最值、符號(hào)、周期性、奇偶性、單調(diào)性等，但對(duì)于周期性及單調(diào)區(qū)間的表述，學(xué)生可能會(huì)有一定的困難．因此，在引入周期函數(shù)的定義之前，要讓學(xué)生充分觀察圖像，必要時(shí)可把物理中的彈簧振動(dòng)的實(shí)驗(yàn)再做一做，讓學(xué)生體會(huì)“周而復(fù)始”的現(xiàn)象，體會(huì)概念的形成過(guò)程．

此外，對(duì)于周期函數(shù)，還應(yīng)強(qiáng)調(diào)以下幾點(diǎn)： 1.x應(yīng)是“定義域內(nèi)的每一個(gè)值”．

2.對(duì)于某些周期函數(shù)，在它所有的周期中，不一定存在一個(gè)最小的正周期，即某些周期函數(shù)沒有最小正周期． 3.對(duì)于一個(gè)周期函數(shù)f（x），如果在它的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小的正數(shù)就叫作f（x）的最小正周期．今后涉及的周期，如果不加特殊說(shuō)明，一般都是指函數(shù)的最小正周期．

教學(xué)設(shè)計(jì)

一、問(wèn)題情境

1.教師提出問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)

我們學(xué)習(xí)過(guò)正弦函數(shù)圖像的畫法，并通過(guò)觀察圖像，得到了正弦曲線的一些特征，那么這些特征體現(xiàn)了正弦函數(shù)怎樣的性質(zhì)呢？

用投影膠片展示正弦曲線，引導(dǎo)學(xué)生探索正弦函數(shù)的性質(zhì)：

注：由此學(xué)生得出正弦函數(shù)的如下性質(zhì)：（1）定義域?yàn)镽．

（2）值域?yàn)椋郏?，1］，當(dāng)且僅當(dāng)x＝2kπ＋當(dāng)且僅當(dāng)x＝2kπ－

（k∈Z）時(shí)，正弦函數(shù)取得最大值1，（k∈Z）時(shí)，正弦函數(shù)取得最小值－1．

注：在此處，教師應(yīng)提醒學(xué)生注意前面的“2kπ”，使學(xué)生初步感受一下正弦函數(shù)的“周而復(fù)始”性．

2.教師進(jìn)一步提出問(wèn)題

從正弦曲線我們注意到，函數(shù)y＝sinx在x∈［－2π，0］，x∈［2π，4π］，x∈［4π，6π］，…時(shí)的圖像與x∈［0，2π］的形狀完全一樣，只是位置不同，這種特征體現(xiàn)了正弦函數(shù)的什么性質(zhì)呢？

（設(shè)計(jì)目的：引導(dǎo)學(xué)生從物理中彈簧的振動(dòng)，即小球在平衡位置的往復(fù)運(yùn)動(dòng)，體會(huì)事物的“周期性”變化）

（2）數(shù)學(xué)中的這種周期性變化能否用一個(gè)數(shù)學(xué)式子來(lái)體現(xiàn)？

二、建立模型 1.引導(dǎo)學(xué)生探究

2.教師明晰

通過(guò)學(xué)生的討論，歸納出周期函數(shù)的定義：

一般地，對(duì)于函數(shù)y＝f（x），如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使定義域內(nèi)的每一個(gè)x值，都滿足f（x±T）＝f（x），那么函數(shù)f（x）就叫作周期函數(shù)，非零常數(shù)Ｔ叫作這個(gè)函數(shù)的周期．

說(shuō)明：若學(xué)生歸納和總結(jié)出周期函數(shù)的如下定義，也應(yīng)給以充分的肯定．

如果某函數(shù)對(duì)于自變量的一切值每增加或減少一個(gè)定值，函數(shù)值就重復(fù)出現(xiàn)，那么這個(gè)函數(shù)就叫作周期函數(shù)．

給出最小正周期的概念：對(duì)于一個(gè)周期函數(shù)f（x），如果在它所有的周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫作它的最小正周期．教科書中今后涉及的周期，如果不加特殊說(shuō)明，一般都是指函數(shù)的最小正周期．

3.深化定義的內(nèi)涵

（1）觀察等式sin（y＝sinx的周期？為什么？

＋）＝sin是否成立？如果成立，能不能說(shuō)是正弦函數(shù)（2）函數(shù)f（x）＝c是周期函數(shù)嗎？它有沒有最小正周期？ 3.歸納正弦函數(shù)的性質(zhì)

通過(guò)觀察圖像，我們得到了正弦函數(shù)的定義域、值域、周期性等性質(zhì)，除此之外，正弦函數(shù)還有哪些性質(zhì)呢？

教師引導(dǎo)學(xué)生歸納出以下兩條性質(zhì)：

奇偶性：由誘導(dǎo)公式sin（－x）＝－sinx，知正弦函數(shù)是奇函數(shù)，其圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱． 單調(diào)性：觀察正弦曲線可以看出，當(dāng)x由－由－1增大到1；當(dāng)x由

增大到

增大到時(shí)，曲線逐漸上升，sinx的值

時(shí)，曲線逐漸下降，sinx的值由1減小到－1．因此，＋2kπ］（k∈Z）上都是增函數(shù)，其值從－1＋2kπ］（k∈Z）上都是減函數(shù)，其值從1減正弦函數(shù)在每一個(gè)閉區(qū)間［－增大到1；在每一個(gè)閉區(qū)間［小到－1．

三、解釋應(yīng)用 1.例題分析

＋2kπ，＋2kπ，例1 求使下列函數(shù)取得最大值和最小值的x的集合，并說(shuō)出最大值和最小值是什么．（1）y＝sin2x．

（2）y＝sinx＋2．

（3）y＝asinx＋b．

（4）y＝2cos2x＋5sinx－4．

解：（1）當(dāng)2x＝2kπ＋（k∈Z），即x＝kπ＋（k∈Z）時(shí)，函數(shù)y＝sin2x取得最

（k∈Z）時(shí)，函數(shù)y＝sin2x大值，最大值是1；當(dāng)2x＝2kπ－取得最小值，最小值是－1．

（k∈Z），即x＝kπ－∴使函數(shù)取得最大值的x的集合為｛x｜x＝kπ＋取得最小值的x的集合為｛x｜x＝kπ－

（k∈Z）｝，最大值是1；使函數(shù)

（k∈Z）｝，最小值是－1．

（2）由于函數(shù)y＝sinx與函數(shù)y＝sinx＋2同時(shí)取得最大值和最小值．因此，當(dāng)x＝2kπ＋（k∈Z）時(shí)，函數(shù)y＝sinx＋2取得最大值，最大值為3；當(dāng)x＝2kπ－

（k∈Z）時(shí)，函數(shù)y＝sinx＋2取得最小值，最小值為1．

∴使函數(shù)取得最大值的x的集合為｛x｜x＝2kπ＋取得最小值的x的集合為｛x｜x＝2kπ－

（k∈Z）｝，最大值為3；使函數(shù)

（k∈Z）｝，最小值為1．

（3）當(dāng)a＞0時(shí)，使函數(shù)取得最大值時(shí)的x的集合為｛x｜x＝2kπ＋＝a＋b；使函數(shù)取得最小值時(shí)的x的集合為｛x｜x＝2kπ－

（k∈Z）｝，ymax

（k∈Z）｝，ymin＝－a＋b． 當(dāng)a＜0時(shí)，使函數(shù)取得最大值時(shí)的ｘ的集合為｛x｜x＝2kπ－a＋b；使函數(shù)取得最小值時(shí)的x的集合為｛x｜x＝2kπ＋

（k∈Z）｝，ymax＝－

（k∈Z）｝，ymin＝a＋b．

（4）y＝2cos2x＋5sinx－4＝－2sin2x＋5sinx－2＝

設(shè)t＝sinx，則y＝二次函數(shù)的最大值和最小值問(wèn)題了．，且t∈［－1，1］，于是問(wèn)題就變成求閉區(qū)間上當(dāng)t＝1，即sinx＝1時(shí)，ymax＝1，取最大值時(shí)x的集合為｛x｜x＝2kπ＋

（k∈Z）｝；

當(dāng)t＝－1，即sinx＝－1時(shí)，ymin＝－9，取最小值時(shí)x的集合為｛x｜x＝2kπ－∈Z）｝.［練習(xí)］

求下列函數(shù)的最值，以及使函數(shù)取得值時(shí)的自變量ｘ的集合．

（k（1）y＝｜a｜sinx＋b．

（2）y＝－sin2x＋例2 求下列函數(shù)的周期．

sinx＋．

（1）y＝sin2x．

（2）y＝．

解：（1）要求函數(shù)y＝sin2x的周期，只須尋求使等式sin2（x＋T）＝sin2x恒成立的最小正數(shù)T即可．

∵使sin（2x＋2T）＝sin2x恒成立的正數(shù)2T的最小值是2π，∴當(dāng)2T＝2π時(shí)，T＝π． 因此，函數(shù)y＝sin2x的周期為π．

（2）要求函數(shù)y＝的周期，只須尋求使等式 2.教師啟發(fā)，誘導(dǎo)學(xué)生自主反思

（1）從上面的例題分析中，你是否有所發(fā)現(xiàn)？（這類函數(shù)的周期好像只與x的系數(shù)有關(guān)）

（2）一般地，函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）（其中A≠0，ω＞0，x∈R）的周期是多少？ ［要求函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）的周期，只須尋求使等式Asin［ω（x＋T）＋φ］＝Asin（ωx＋φ），即Asin（ωx＋φ＋ωT）＝Asin（ωx＋φ）恒成立的最小正數(shù)T即可．

∵使Asin（ωx＋φ＋ωT）＝Asin（ωx＋φ）恒成立的正數(shù)ωT，最小值是2π，∴當(dāng)ωT＝2π時(shí)，T＝.因此，函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）（A≠0，ω＞0，x∈R）的周期為3.鞏 固 ［練習(xí)］ 求下列函數(shù)的周期．

4.進(jìn)一步強(qiáng)化

例3 不求值，指出下列各式大于零還是小于零．

例4 確定下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．（1）y＝1－sin3x．

（2）y＝log2sin3x．

四、拓展延伸

1.若常數(shù)T為f（x）的周期，nT（n∈N*）是否也是它的周期？ 2.你能證明正弦函數(shù)的最小正周期是2π嗎？

3.某港口的水深y（m）是時(shí)間t（0≤t≤24，單位：h）的函數(shù)，下面是該港口的水深表： 表35-1

經(jīng)過(guò)長(zhǎng)時(shí)間的觀察，描出的曲線如圖所示，經(jīng)擬合，該曲線可近似地看成正弦函數(shù)y＝Asinωt＋B的圖像．

（1）試根據(jù)數(shù)據(jù)表和曲線，求出函數(shù)y＝Asinωt＋B的表達(dá)式．

（2）一般情況下，船舶航行時(shí)船底同海底的距離不少于4.5m時(shí)是安全的．如果某船的吃水深度（船底與水面的距離）為7m，那么該船在什么時(shí)間段能夠安全進(jìn)港？若該船欲當(dāng)天安全離港，它在港內(nèi)停留的時(shí)間最多不能超過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間（忽略離港用的時(shí)間）？

第四篇：高中數(shù)學(xué)新課程創(chuàng)新教學(xué)設(shè)計(jì)案例50篇 31 角的概念的推廣

角的概念的推廣

教材分析

這節(jié)課主要是把學(xué)生學(xué)習(xí)的角從不大于周角的非負(fù)角擴(kuò)充到任意角，使角有正角、負(fù)角和零角．首先通過(guò)生產(chǎn)、生活的實(shí)際例子闡明了推廣角的必要性和實(shí)際意義，然后又以“動(dòng)”的觀點(diǎn)給出了正、負(fù)、零角的概念，最后引入了幾個(gè)與之相關(guān)的概念：象限角、終邊相同的角等．在這節(jié)課中，重點(diǎn)是理解任意角、象限角、終邊相同的角等概念，難點(diǎn)是把終邊相同的角用集合和符號(hào)語(yǔ)言正確地表示出來(lái)．理解任意角的概念，會(huì)在平面內(nèi)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，通過(guò)數(shù)形結(jié)合來(lái)認(rèn)識(shí)角的幾何表示和終邊相同的角的表示，是學(xué)好這節(jié)的關(guān)鍵．

教學(xué)目標(biāo)

1.通過(guò)實(shí)例，體會(huì)推廣角的必要性和實(shí)際意義，理解正角、負(fù)角和零角的定義． 2.理解象限角的概念、意義及表示方法，掌握終邊相同的角的表示方法．

3.通過(guò)對(duì)“由一點(diǎn)出發(fā)的兩條射線形成的圖形”到“射線繞著其端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成角”的認(rèn)識(shí)過(guò)程，使學(xué)生感受“動(dòng)”與“靜”的對(duì)立與統(tǒng)一．培養(yǎng)學(xué)生用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)審視事物，用對(duì)立統(tǒng)一規(guī)律揭示生活中的空間形式和數(shù)量關(guān)系．

任務(wù)分析

這節(jié)課概念很多，應(yīng)盡可能讓學(xué)生通過(guò)生活中的例子（如鐘表上指針的轉(zhuǎn)動(dòng)、體操運(yùn)動(dòng)員的轉(zhuǎn)體、自行車輪子上的某點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)等）了解引入任意角的必要性及實(shí)際意義，變抽象為具體．另外，可借助于多媒體進(jìn)行動(dòng)態(tài)演示，加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解和掌握．

教學(xué)設(shè)計(jì)

一、問(wèn)題情境 ［演 示］ 1.觀覽車的運(yùn)動(dòng)．

2.體操運(yùn)動(dòng)員、跳臺(tái)跳板運(yùn)動(dòng)員的前、后轉(zhuǎn)體動(dòng)作． 3.鐘表秒針的轉(zhuǎn)動(dòng)． 4.自行車輪子的滾動(dòng)． ［問(wèn) 題］ 1.如果觀覽車兩邊各站一人，當(dāng)觀覽車轉(zhuǎn)了兩周時(shí)，他們觀察到的觀覽車上的某個(gè)座位上的游客進(jìn)行了怎樣的旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)了多大的角？

2.在運(yùn)動(dòng)員“轉(zhuǎn)體一周半動(dòng)作”中，運(yùn)動(dòng)員是按什么方向旋轉(zhuǎn)的，轉(zhuǎn)了多大角？ 3.鐘表上的秒針（當(dāng)時(shí)間過(guò)了1.5min時(shí)）是按什么方向轉(zhuǎn)動(dòng)的，轉(zhuǎn)動(dòng)了多大角？ 4.當(dāng)自行車的輪子轉(zhuǎn)了兩周時(shí)，自行車輪子上的某一點(diǎn)，轉(zhuǎn)了多大角？

顯然，這些角超出了我們已有的認(rèn)識(shí)范圍．本節(jié)課將在已掌握的0°～360°角的范圍的基礎(chǔ)上，把角的概念加以推廣，為進(jìn)一步研究三角函數(shù)作好準(zhǔn)備．

二、建立模型

1.正角、負(fù)角、零角的概念

在平面內(nèi)，一條射線繞它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)有兩個(gè)方向：順時(shí)針?lè)较蚝湍鏁r(shí)針?lè)较颍?xí)慣上規(guī)定，按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)而成的角叫作正角；按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)而成的角叫作負(fù)角；當(dāng)射線沒有旋轉(zhuǎn)時(shí)，我們也把它看成一個(gè)角，叫作零角．

2.象限角

當(dāng)角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合、角的始邊與ｘ軸正半軸重合時(shí)，角的終邊在第幾象限，就把這個(gè)角叫作第幾象限的角．如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何象限．

3.終邊相同的角

在坐標(biāo)系中作出390°，－330°角的終邊，不難發(fā)現(xiàn)，它們都與30°角的終邊相同，并且這兩個(gè)角都可以表示成0°～360°角與k個(gè)（k∈Z）周角的和，即

390°＝30°＋360°，（k＝1）； －330°＝30°－360°，（k＝－1）．

設(shè)S＝｛β｜β＝30°＋k·360°，k∈Z｝，則390°，－330°角都是S中的元素，30°角也是S中的元素（此時(shí)k＝0）．容易看出，所有與30°角終邊相同的角，連同30°角在內(nèi)，都是S中的元素；反過(guò)來(lái)，集合S中的任一元素均與30°角終邊相同．一般地，所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合：S＝｛β｜β＝α＋k·360°，k∈Z｝，即任一與α終邊相同的角，都可以表求成角α與整數(shù)個(gè)周角的和．

三、解釋應(yīng)用 ［例 題］

1.在0°～360°范圍內(nèi)，找出與下列各角終邊相同的角，并判斷它們是第幾象限的角．（1）－150°．

（2）650°．

（3）－950°5′．

2.分別寫出與下列角終邊相同的角的集合S，并把S中適合不等式－360°≤β＜720°的元素寫出來(lái)．

（1）60°．（2）－21°．（3）363°14′． 3.寫出終邊在y軸上的角的集合．

解：在0°～360°范圍內(nèi)，終邊在ｙ軸上的角有兩個(gè)，即90°，270°．因此，與這兩個(gè)角終邊相同的角構(gòu)成的集合為

S1＝｛β｜β＝90°＋k·360°，k∈Z｝＝｛β｜β＝90°＋2k·180°，k∈Z｝，而所有與270°角終邊相同的角構(gòu)成的集合為

S2＝｛β｜β＝270°＋k·360°，k∈Z｝＝ ｛β｜β＝90°＋（2k＋1）·180°，k∈Z｝． 于是，終邊在y軸上的角的集合為

S＝S1∪S2＝｛β｜β＝90°＋2k·180°，k∈Z｝∪｛β｜β＝90°＋（2k＋1）·180°，k∈Z｝＝｛β｜β＝90°＋n·180°，n∈Z｝．

注：會(huì)正確使用集合的表示方法和符號(hào)語(yǔ)言． ［練習(xí)］

1.寫出與下列各角終邊相同的角的集合，并把集合中適合不等式－720°≤β＜360°的元素β寫出來(lái)．

（1）45°．（2）－30°．（3）420°．（4）－225°． 2.辨析概念．（分別用集合表示出來(lái)）

（1）第一象限角．（2）銳角．（3）小于90°的角．（4）0°～90°的角． 3.一角為30°，其終邊按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)三周后的角度數(shù)為．

4.終邊在x軸上的角的集合為；終邊在第一、三象限的角的平分線上的角集合為．

四、拓展延伸

1.若角α與β終邊重合，則α與β的關(guān)系是；若角α與β的終邊互為反向延長(zhǎng)線，則角α與β的關(guān)系是． 2.如果α在第二象限時(shí)，那么2α，是第幾象限角？

注：（1）不能忽略2α的終邊可能在坐標(biāo)軸上的情況．

（2）研究在哪個(gè)象限的方法：討論k的奇偶性．（如果是呢？）

點(diǎn) 評(píng)

這篇案例運(yùn)用多媒體展示了生活中常見的實(shí)例，極易激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和熱情．在對(duì)知識(shí)的探討過(guò)程中，特別注意了知識(shí)的形成過(guò)程，重點(diǎn)突出．例題的設(shè)置比較典型，難易度適中．練習(xí)題注重基礎(chǔ)，但也有一定的梯度，利于培養(yǎng)學(xué)生靈活處理問(wèn)題的能力，并為學(xué)生學(xué)習(xí)以后章節(jié)做了較好的鋪墊．

第五篇：高中數(shù)學(xué)新課程創(chuàng)新教學(xué)設(shè)計(jì)案例50篇35-39_平面向量及其應(yīng)用

向量的概念

教材分析

向量是近代數(shù)學(xué)中重要和基本概念之一，它集“大小”與“方向”于一身，融“數(shù)”、“形”于一體，具有幾何形式與代數(shù)形式的“雙重身份”，是高中數(shù)學(xué)重要的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的交匯點(diǎn)，也是數(shù)形結(jié)合思想的重要載體．這節(jié)通過(guò)對(duì)物理中的位移和力的歸納，抽象、概括出向量的概念、有向線段、向量的表示、零向量、單位向量、平行向量、相等向量、共線向量的準(zhǔn)確含義．與數(shù)學(xué)中的許多概念一樣，都可以追溯它的實(shí)際背景．這節(jié)的重點(diǎn)是向量的概念、相等向量的概念和向量的幾何表示等．難點(diǎn)是向量的概念．

教學(xué)目標(biāo)

1.通過(guò)對(duì)平面向量概念的抽象概括，體驗(yàn)數(shù)學(xué)概念的形成過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力和科學(xué)的思維方法，使學(xué)生逐步由感性思維上升為理性思維．

2.理解向量的概念，會(huì)用有向線段表示向量，會(huì)判斷零向量，單位向量，平行的、相等的、共線的向量．

教學(xué)設(shè)計(jì)

一、問(wèn)題情景

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)．思考以下問(wèn)題：

1.在數(shù)學(xué)或其他學(xué)科中，你接觸過(guò)哪些類型的量？這些量本質(zhì)上有何區(qū)別？試描述這些量的本質(zhì)區(qū)別．

2.既有大小又有方向的量應(yīng)如何表示？

二、建立模型 1.學(xué)生分析討論

學(xué)生回答：人的身高，年齡，體重；……圖形的面積，體積；物體的密度，質(zhì)量；……物理學(xué)中的重力、彈力、拉力，速度、加速度，位移……

引導(dǎo)學(xué)生慢慢抽象出數(shù)量（只有大小）和向量（既有大小又有方向）的概念． 2.教師明晰

人們?cè)陂L(zhǎng)期生產(chǎn)生活實(shí)踐中，會(huì)遇到兩種不同類型的量，如身高、體重、面積、體積等，在規(guī)定的單位下，都可以用一個(gè)實(shí)數(shù)表示它們的大小，我們稱之為數(shù)量；另一類，如力、速度、位移等，它們不僅有大小，而且有方向．作用于某物體上的力，它不僅有大小，而且有作用方向；物體運(yùn)動(dòng)的速度既有快慢之分，又有方向的區(qū)別．這類既有數(shù)量特性又有方向特性的量，就是我們要研究的向量．

在數(shù)學(xué)上，往往用一條有方向的線段，即有向線段來(lái)表示向量．有向線段的長(zhǎng)度表示向量的大小，有向線段的方向表示向量的方向．向量不僅可以用有向線段表示，也可用a，b，c，…表示，還可用表示向量的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)字母表示，如就是向量的長(zhǎng)度（模），記作，向量的大小.長(zhǎng)度等于

.長(zhǎng)度為零的向量叫零向量，記作0或1的向量叫作單位向量．

方向相同或相反的非零向量叫平行向量，記作a∥b，規(guī)定0∥a（a為任一向量）長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫作相等的向量，記作a＝b．任意兩個(gè)相等的非零向量都可用同一條有向線段來(lái)表示，并且與有向線段的起點(diǎn)無(wú)關(guān)．在同一平面上，兩個(gè)平行的長(zhǎng)度相等且指向一致的有向線段可以表示同一向量．因?yàn)橄蛄客耆伤姆较蚝湍Q定．

任一組平行向量都可以移動(dòng)到同一直線上，因此，平行向量也叫“共線向量”． 3.提出問(wèn)題，組織學(xué)生討論

（1）時(shí)間、路程、溫度、角度是向量嗎？速度、加速度、物體所受重力是向量嗎？（2）兩個(gè)單位向量一定相等嗎？（3）相等向量是平行向量嗎？

（4）物理學(xué)中的作用力與反作用力是一對(duì)共線向量嗎？

（5）方向?yàn)槟掀?0°的向量與北偏東60°的向量是共線向量嗎？強(qiáng)調(diào)：大小、方向是向量的兩個(gè)基本要素，當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)向量的大小和方向兩個(gè)要素完全相同時(shí)，兩個(gè)向量才相等．注意：相等向量、平行向量、共線向量之間的異同．

三、解釋應(yīng)用 ［例 題］

如圖，邊長(zhǎng)為1的正六邊形ABCDEF的中心為O，試分別寫出與線的向量，以及單位向量．

相等、平行和共

解：都是單位向量．

［練習(xí)］

1.如圖，D，E，F(xiàn)分別是△ABC各邊的中點(diǎn)，試寫出圖中與相等的向量．

2.如果四邊形ABCD滿足，那么四邊形ABCD的形狀如何？

3.設(shè)E，F(xiàn)，P，Q分別是任意四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，對(duì)于，哪些是相等的向量，哪些方向是相反的向量？

4.在平面上任意確定一點(diǎn)O，點(diǎn)P在點(diǎn)O“東偏北60°，3cm”處，點(diǎn)Q在點(diǎn)O“南偏西30°，3cm”處，試畫出點(diǎn)P和Q相對(duì)于點(diǎn)O的向量．

5.選擇適當(dāng)?shù)谋壤撸糜邢蚓€段分別表示下列各向量．（1）在與水平成120°角的方向上，一個(gè)大小為50N的拉力．（2）方向東南，8km／h的風(fēng)的速度．（3）向量

四、拓展延伸 1.如圖，在ABCD中，E，F(xiàn)分別是CD，AD的中點(diǎn)，在向量中相等的向量是哪些？為什么？

2.數(shù)能進(jìn)行運(yùn)算，那么與數(shù)的運(yùn)算類比，向量是否也能進(jìn)行運(yùn)算？

向量的概念

教材分析

向量是近代數(shù)學(xué)中重要和基本概念之一，它集“大小”與“方向”于一身，融“數(shù)”、“形”于一體，具有幾何形式與代數(shù)形式的“雙重身份”，是高中數(shù)學(xué)重要的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的交匯點(diǎn)，也是數(shù)形結(jié)合思想的重要載體．這節(jié)通過(guò)對(duì)物理中的位移和力的歸納，抽象、概括出向量的概念、有向線段、向量的表示、零向量、單位向量、平行向量、相等向量、共線向量的準(zhǔn)確含義．與數(shù)學(xué)中的許多概念一樣，都可以追溯它的實(shí)際背景．這節(jié)的重點(diǎn)是向量的概念、相等向量的概念和向量的幾何表示等．難點(diǎn)是向量的概念．

教學(xué)目標(biāo)

1.通過(guò)對(duì)平面向量概念的抽象概括，體驗(yàn)數(shù)學(xué)概念的形成過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力和科學(xué)的思維方法，使學(xué)生逐步由感性思維上升為理性思維．

2.理解向量的概念，會(huì)用有向線段表示向量，會(huì)判斷零向量，單位向量，平行的、相等的、共線的向量．

任務(wù)分析

在這之前，學(xué)生接觸較多的是只有大小的量（數(shù)量）．其實(shí)生活中還有一種不同于數(shù)量的量———向量．剛一開始，學(xué)生很不習(xí)慣，但可適時(shí)地結(jié)合實(shí)例，逐步讓學(xué)生理解向量的兩個(gè)基本要素———大小和方向，再讓學(xué)生于實(shí)際問(wèn)題中識(shí)別哪些是向量，哪些是數(shù)量．這樣由具體到抽象，再由抽象到具體；由實(shí)踐到理論，再由理論到實(shí)踐，可使學(xué)生比較容易地理解．緊緊抓住向量的大小和方向，便于理解兩個(gè)向量沒有大小之分，只有相等與不相等、平行與共線等．要結(jié)合例、習(xí)題讓學(xué)生很好地理解相等向量（向量可以平移）．這些均可為以后用向量處理幾何等問(wèn)題帶來(lái)方便．

教學(xué)設(shè)計(jì)

一、問(wèn)題情景

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)．思考以下問(wèn)題：

1.在數(shù)學(xué)或其他學(xué)科中，你接觸過(guò)哪些類型的量？這些量本質(zhì)上有何區(qū)別？試描述這些量的本質(zhì)區(qū)別．

2.既有大小又有方向的量應(yīng)如何表示？

二、建立模型 1.學(xué)生分析討論

學(xué)生回答：人的身高，年齡，體重；……圖形的面積，體積；物體的密度，質(zhì)量；……物理學(xué)中的重力、彈力、拉力，速度、加速度，位移……

引導(dǎo)學(xué)生慢慢抽象出數(shù)量（只有大小）和向量（既有大小又有方向）的概念． 2.教師明晰

人們?cè)陂L(zhǎng)期生產(chǎn)生活實(shí)踐中，會(huì)遇到兩種不同類型的量，如身高、體重、面積、體積等，在規(guī)定的單位下，都可以用一個(gè)實(shí)數(shù)表示它們的大小，我們稱之為數(shù)量；另一類，如力、速度、位移等，它們不僅有大小，而且有方向．作用于某物體上的力，它不僅有大小，而且有作用方向；物體運(yùn)動(dòng)的速度既有快慢之分，又有方向的區(qū)別．這類既有數(shù)量特性又有方向特性的量，就是我們要研究的向量．

在數(shù)學(xué)上，往往用一條有方向的線段，即有向線段來(lái)表示向量．有向線段的長(zhǎng)度表示向量的大小，有向線段的方向表示向量的方向．向量不僅可以用有向線段表示，也可用a，b，c，…表示，還可用表示向量的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)字母表示，如就是向量的長(zhǎng)度（模），記作，向量的大小.長(zhǎng)度等于

.長(zhǎng)度為零的向量叫零向量，記作0或1的向量叫作單位向量．

方向相同或相反的非零向量叫平行向量，記作a∥b，規(guī)定0∥a（a為任一向量）長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫作相等的向量，記作a＝b．任意兩個(gè)相等的非零向量都可用同一條有向線段來(lái)表示，并且與有向線段的起點(diǎn)無(wú)關(guān)．在同一平面上，兩個(gè)平行的長(zhǎng)度相等且指向一致的有向線段可以表示同一向量．因?yàn)橄蛄客耆伤姆较蚝湍Q定． 任一組平行向量都可以移動(dòng)到同一直線上，因此，平行向量也叫“共線向量”． 3.提出問(wèn)題，組織學(xué)生討論

（1）時(shí)間、路程、溫度、角度是向量嗎？速度、加速度、物體所受重力是向量嗎？（2）兩個(gè)單位向量一定相等嗎？（3）相等向量是平行向量嗎？

（4）物理學(xué)中的作用力與反作用力是一對(duì)共線向量嗎？

（5）方向?yàn)槟掀?0°的向量與北偏東60°的向量是共線向量嗎？強(qiáng)調(diào)：大小、方向是向量的兩個(gè)基本要素，當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)向量的大小和方向兩個(gè)要素完全相同時(shí)，兩個(gè)向量才相等．注意：相等向量、平行向量、共線向量之間的異同．

三、解釋應(yīng)用 ［例 題］

如圖，邊長(zhǎng)為1的正六邊形ABCDEF的中心為O，試分別寫出與線的向量，以及單位向量．

相等、平行和共

解：都是單位向量．

［練習(xí)］

1.如圖，D，E，F(xiàn)分別是△ABC各邊的中點(diǎn)，試寫出圖中與相等的向量．

2.如果四邊形ABCD滿足，那么四邊形ABCD的形狀如何？

3.設(shè)E，F(xiàn)，P，Q分別是任意四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，對(duì)于，哪些是相等的向量，哪些方向是相反的向量？

4.在平面上任意確定一點(diǎn)O，點(diǎn)P在點(diǎn)O“東偏北60°，3cm”處，點(diǎn)Q在點(diǎn)O“南偏西30°，3cm”處，試畫出點(diǎn)P和Q相對(duì)于點(diǎn)O的向量．

5.選擇適當(dāng)?shù)谋壤撸糜邢蚓€段分別表示下列各向量．（1）在與水平成120°角的方向上，一個(gè)大小為50N的拉力．（2）方向東南，8km／h的風(fēng)的速度．（3）向量

四、拓展延伸

1.如圖，在ABCD中，E，F(xiàn)分別是CD，AD的中點(diǎn)，在向量中相等的向量是哪些？為什么？

2.數(shù)能進(jìn)行運(yùn)算，那么與數(shù)的運(yùn)算類比，向量是否也能進(jìn)行運(yùn)算？

向量加法運(yùn)算及其幾何意義

教材分析

引入向量后，考查向量的運(yùn)算及運(yùn)算律，是數(shù)學(xué)研究中的基本的問(wèn)題．教材中向量的加法運(yùn)算是以位移的合成、力的合成等物理模型為背景引入的，在此基礎(chǔ)上抽象概括了向量加法的意義，總結(jié)了向量加法的三角形法則、平行四邊形法則．向量加法的運(yùn)算律，教材是通過(guò)“探究”和構(gòu)造圖形引導(dǎo)學(xué)生類比數(shù)的運(yùn)算律，驗(yàn)證向量的交換律和結(jié)合律．例2是一道實(shí)際問(wèn)題，主要是要讓學(xué)生體會(huì)向量加法的實(shí)際意義．這節(jié)課的重點(diǎn)是向量加法運(yùn)算（三角形法則、平行四邊形法則），向量的運(yùn)算律．難點(diǎn)是對(duì)向量加法意義的理解和認(rèn)識(shí)．

教學(xué)目標(biāo)

1.通過(guò)物理學(xué)中的位移合成、力的合成等實(shí)例，認(rèn)識(shí)理解向量加法的意義，體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展的過(guò)程．

2.理解和掌握向量加法的運(yùn)算，熟練運(yùn)用三角形法則和平行四邊形法則作向量的和向量．

3.理解和掌握向量加法的運(yùn)算律，能熟練地運(yùn)用它們進(jìn)行向量運(yùn)算．

4.通過(guò)由實(shí)例到概念，由具體到抽象，培養(yǎng)學(xué)生的探究能力，使學(xué)生數(shù)學(xué)地思考問(wèn)題，數(shù)學(xué)地解決問(wèn)題．

任務(wù)分析

這節(jié)的主要內(nèi)容是向量加法的運(yùn)算和向量加法的應(yīng)用．對(duì)向量加法運(yùn)算，學(xué)生可能不明白向量可以相加的道理，產(chǎn)生疑惑：向量既有大小、又有方向，難道可以相加嗎？為此，在案例設(shè)計(jì)中，首先回顧物理學(xué)中位移、力的合成，讓學(xué)生體驗(yàn)向量加法的實(shí)際含義，明確向量的加法就是物理學(xué)中的矢量合成．在此基礎(chǔ)上，歸納總結(jié)向量加法的三角形法則和平行四邊形法則．向量加法的運(yùn)算律發(fā)現(xiàn)并不困難，主要任務(wù)是讓學(xué)生對(duì)向量進(jìn)行探究，構(gòu)造圖形進(jìn)行驗(yàn)證．關(guān)于例2的教學(xué)，主要是幫助學(xué)生正確理解題意，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量加法運(yùn)算．

教學(xué)設(shè)計(jì)

一、問(wèn)題情境

1.如圖，某物體從A點(diǎn)經(jīng)B點(diǎn)到C點(diǎn)，兩次位移點(diǎn)的位移結(jié)果相同．，的結(jié)果，與A點(diǎn)直接到C

2.如圖，表示橡皮筋在兩個(gè)力F1，F(xiàn)2的作用下，沿GE的方向伸長(zhǎng)了EO，與力F的作用結(jié)果相同．

位移認(rèn)為：與合成為

等效，力F與分力F1，F(xiàn)2的共同作用等效，這時(shí)我們可以與、分力F1與F2某種運(yùn)算的結(jié)果．?dāng)?shù)的加法啟發(fā)我們，F(xiàn)分別是位移位移、力的合成可看作數(shù)學(xué)上的向量加法．

2.在師生交流討論基礎(chǔ)上，歸納并抽象概括出向量加法的定義

已知非零向量a，b（如圖37-3），在平面內(nèi)任取一點(diǎn)A，作向量，則向量叫a與b的和，記作a＋b，即a＋b＝

＋

＝a，＝

.＝b，再作

求兩個(gè)向量和的運(yùn)算，叫作向量的加法．這種求向量和的作圖法則，稱為向量求和的三角形法則，我們規(guī)定0＋a＝a＋0＝ａ．

3.提出問(wèn)題，組織學(xué)生討論

（1）根據(jù)力的合成的平行四邊形法則，你能定義兩個(gè)向量的和嗎？（2）當(dāng)a與b平行時(shí)，如何作出a＋b？

強(qiáng)調(diào)：向量的和仍是一個(gè)向量．用三角形法則求和時(shí)，作圖要求兩向量首尾相連；而用平行四邊形法則求和時(shí)，作圖要求兩向量的起點(diǎn)平移在一起．

（3）實(shí)數(shù)的運(yùn)算和運(yùn)算律緊密聯(lián)系，類似地，向量的加法是否也有運(yùn)算律呢？首先，讓學(xué)生回憶實(shí)數(shù)加法運(yùn)算律，類比向量加法運(yùn)算律．向量加法的交換律由平行四邊形法則容易驗(yàn)證．向量加法的結(jié)合律的驗(yàn)證則比較困難，教學(xué)時(shí)，應(yīng)放手讓學(xué)生進(jìn)行充分探索．最后通過(guò)下面的兩個(gè)圖形驗(yàn)證加法結(jié)合律．

三、解釋應(yīng)用 ［例 題］

1.已知非零向量a，b，就（1）a與b不共線，（2）a與b共線，分別求作向量a＋b． 注：要求寫出作法，規(guī)范解題格式．

2.長(zhǎng)江兩岸之間沒有大橋的地方，常常通過(guò)輪船進(jìn)行運(yùn)輸．一艘輪船從長(zhǎng)江南岸Ａ點(diǎn)出發(fā)，以5km／h的速度向垂直于對(duì)岸的方向行駛，同時(shí)江水的速度為向東2km／h．

（1）試用向量表示江水速度、船速以及船實(shí)際航行的速度．

（2）求船實(shí)際航行的速度的大小與方向（速度的大小保留2個(gè)有效數(shù)字，方向用與江水速度間的夾角表示，精確到度）．

［練習(xí)］

1.如圖，已知a，b，畫圖表示a＋b．

2.已知兩個(gè)力F1，F(xiàn)2的夾角是直角，合力F與F1的夾角是60°，｜F｜＝10N，求F1和F2的大小．

3.在△ABC中，求證.4.在n邊形A1A2…An中，計(jì)算

四、拓展延伸

1.對(duì)于任意向量a，b，探索｜a＋b｜與｜a｜＋｜b｜的大小，并指出取“＝”號(hào)的條件． 2.在求作兩個(gè)向量和時(shí)，你可能選擇不同的始點(diǎn)求和．你有沒有想過(guò)，選擇不同的始點(diǎn)作出的向量和都相等嗎？你可能認(rèn)為，這是“顯然”對(duì)的，你能證明這個(gè)問(wèn)題嗎？

平面向量的基本定理

教材分析

平面向量的基本定理是說(shuō)明同一平面內(nèi)任一向量都可以表示為兩個(gè)不共線向量的線性組合，它是平面向量坐標(biāo)表示的基礎(chǔ)，也是平面圖形中任一向量都可由某兩個(gè)不共線向量量化的依據(jù)．這節(jié)內(nèi)容以共線向量為基礎(chǔ)，通過(guò)把一個(gè)向量在其他兩個(gè)向量上的分解，說(shuō)明了該定理的本質(zhì)．教學(xué)時(shí)無(wú)須嚴(yán)格證明該定理，只要讓學(xué)生弄清定理的條件和結(jié)論，會(huì)用該定理就可以了．

向量的加法、減法、實(shí)數(shù)與向量的積的混合運(yùn)算稱為向量的線性運(yùn)算，也叫“向量的初等運(yùn)算”．由平面向量的基本定理，知任一平面內(nèi)的直線型圖形都可表示為某些向量的線性組合，這樣在證明幾何命題時(shí)，可先把已知和結(jié)論表示成向量形式，再通過(guò)向量的運(yùn)算，有時(shí)能很容易證明幾何命題．因此，向量是數(shù)學(xué)中證明幾何命題的有效工具之一．為降低難度，目前要求用向量表示幾何關(guān)系，而不要求用向量證明幾何命題．

平面向量的基本定理的理解是學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，而應(yīng)用基本向量表示平面內(nèi)的某一向量是學(xué)習(xí)的重點(diǎn)．

教學(xué)目標(biāo)

1.了解平面向量基本定理的條件和結(jié)論，會(huì)用它來(lái)表示平面圖形中任一向量，為向量坐標(biāo)化打下基礎(chǔ)．

2.通過(guò)對(duì)平面向量基本定理的歸納、抽象和概括，體驗(yàn)數(shù)學(xué)定理的產(chǎn)生、形成過(guò)程，提升學(xué)生的抽象和概括能力． 3.通過(guò)對(duì)平面向量基本定理的運(yùn)用，增強(qiáng)向量的應(yīng)用意識(shí)，進(jìn)一步體會(huì)向量是處理幾何問(wèn)題的強(qiáng)有力的工具之一．

任務(wù)分析

這節(jié)課是在學(xué)生熟悉向量加、減、數(shù)乘線性運(yùn)算的基礎(chǔ)上展開的，為了使學(xué)生理解和掌握好平面向量的基本定理，教學(xué)時(shí)，常應(yīng)用構(gòu)造式的作圖方法，同時(shí)采用師生共同操作，增強(qiáng)直觀認(rèn)識(shí)，歸納和總結(jié)出任意向量與基本向量的線性組合關(guān)系，并且通過(guò)適當(dāng)?shù)木毩?xí)，使學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)和理解這一基本定理．

教學(xué)設(shè)計(jì)

一、問(wèn)題情景

1.在ABCD中，（1）已知＝ａ，＝ｂ，試用ｂ，ｂ來(lái)表示，；

（2）已知＝ｃ，＝ｄ，試用ｃ，ｄ表示向量，.2.給定平面內(nèi)任意兩個(gè)不共線向量e1，e2，試作出向量3e1＋2e2，e1－2e2． 3.平面內(nèi)的任一向量是否都可以用形如λ1e1＋λ2e2的向量表示？

二、建立模型 1.學(xué)生回答

（1）由向量加法，知＝ａ＋ｂ；由向量減法，知＝ａ－ｂ，＝ａ＋0·ｂ．

（2）設(shè)AC，BD交于點(diǎn)O，由向量加法，知

2.師生總結(jié)

以ａ，ｂ為基本向量，可以表示兩對(duì)角線的相應(yīng)向量，還可表示一邊對(duì)應(yīng)的向量估計(jì)任一向量都可以寫成ａ·ｂ的線性表達(dá)．

任意改成另兩個(gè)不共線向量ｃ，ｄ作基本向量，也可表示其他向量． 3.教師啟發(fā)，通過(guò)了e1＋2e2，e1－2e2的作法，讓學(xué)生感悟通過(guò)改變?chǔ)?，λ2的值，可以作出許多向量ａ＝λ1e1＋λ2e2．在此基礎(chǔ)上，可自然形成一個(gè)更理性的認(rèn)識(shí)———平面向量的基本定理．

4.教師明晰

如圖，設(shè)e1，e2是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，ａ是這一平面內(nèi)的任一向量．

在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作

＝e1，＝e2，＝ａ；過(guò)點(diǎn)C作平行于直線OB的直線，與直線OA交于M；過(guò)點(diǎn)C作平行于直線OA的直線，與直線OB交于N．這時(shí)有且只有實(shí)數(shù)λ1，λ2，使

＝λ1e1，＝λ2e2．由于

＝

＋，所以ａ＝λ1e1＋λ2e2，也就是說(shuō)任一向量ａ都可表示成λ1e1＋λ2e2的形式，從而有

平面向量的基本定理 如果e1，e2是一平面內(nèi)的兩個(gè)不平行向量，那么該平面內(nèi)的任一向量ａ，存在唯一的一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使ａ＝λ1e1＋λ2e2．

我們把不共線向量e1，e2叫作表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底，有序?qū)崝?shù)對(duì)（λ1，λ2）叫ａ在基底e1，e2下的坐標(biāo)．

三、解釋應(yīng)用 ［例 題］

1.已知向量e1，e2（如圖38-3），求作向量－2.5e1＋3e2． 注：可按加法或減法運(yùn)算進(jìn)行．

2.如圖38-4，不共線，＝t（t∈R），用，表示． 解：∵

［練習(xí)］

1.已知：不共線向量e1，e2，求作向量ａ＝e1－2e2．

2.已知：不共線向量e1，e2，并且e1－3e2＝λ1e1＋λ2e2，求實(shí)數(shù)λ1，λ2．

3.已知：基底｛a，b｝，求實(shí)數(shù)ｘ，ｙ滿足向量等式：3xa＋（10－y）b＝（4y＋7）a＋2xb．

4.在△ABC中，＝ａ，＝ｂ，點(diǎn)G是△ABC的重心，試用ａ，ｂ表示．

5.已知：ABCDEF為正六邊形，＝ａ，．

＝ｂ，試用a，b表示向量6.已知：M是平行四邊形ABCD的中心，求證：對(duì)于平面上任一點(diǎn)O，都有

.四、拓展延伸

平面向量的正交分解與坐標(biāo)運(yùn)算

教材分析

這節(jié)課通過(guò)建立直角坐標(biāo)系，結(jié)合平面向量基本定理，給出了向量的另一種表示———坐標(biāo)表示，這樣使平面中的向量與它的坐標(biāo)建立起了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，然后導(dǎo)出了向量的加法、減法及實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)運(yùn)算，這就為利用“數(shù)”的運(yùn)算處理“形”的問(wèn)題搭起了橋梁，更突出也更簡(jiǎn)化了向量的應(yīng)用．所以，一定要讓學(xué)生重點(diǎn)掌握向量的坐標(biāo)運(yùn)算，以利于掌握坐標(biāo)形式下的向量的一些關(guān)系式及運(yùn)用．教學(xué)難點(diǎn)是讓學(xué)生建立起平面向量的坐標(biāo)概念．

教學(xué)目標(biāo)

1.理解平面向量坐標(biāo)概念，領(lǐng)會(huì)它的引入過(guò)程，進(jìn)一步體會(huì)一一對(duì)應(yīng)的思想意識(shí)． 2.理解平面向量的坐標(biāo)的概念，掌握平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，并能應(yīng)用坐標(biāo)運(yùn)算解決一些問(wèn)題．

3.增強(qiáng)數(shù)形結(jié)合意識(shí)，領(lǐng)會(huì)“沒有運(yùn)算，向量只是一個(gè)?路標(biāo)?，因?yàn)橛辛诉\(yùn)算，向量的力量無(wú)限”的說(shuō)法．

任務(wù)分析

1.有了平面向量的基本定理，就不難有平面向量的正交分解，有了坐標(biāo)系下點(diǎn)與坐標(biāo)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，也就容易有在直角坐標(biāo)平面內(nèi)的向量與坐標(biāo)的一一對(duì)應(yīng)．

2.可以從兩個(gè)角度來(lái)理解平面向量的坐標(biāo)表示：

（1）設(shè)i，j為x，y軸方向上的單位向量，則任一向量ａ可唯一地表示為xi＋yj，即唯一對(duì)應(yīng)數(shù)對(duì)（x，y），所以可以說(shuō)a＝（x，y）．

（2）任一向量ａ可平移成，一一對(duì)應(yīng)點(diǎn)A（x，y），從而可說(shuō)a＝（x，y）．

3.在接觸過(guò)xOy平面內(nèi)一點(diǎn)到它的坐標(biāo)的這種形、數(shù)過(guò)渡的基礎(chǔ)上，容易接受由向量到坐標(biāo)的這種代數(shù)化的過(guò)渡．

教學(xué)設(shè)計(jì)

一、問(wèn)題情景

1.光滑斜面上的木塊所受重力可以分解為平行斜面使木塊下滑的力F1和木塊產(chǎn)生的垂直于斜面的壓力F2（如圖）．

一個(gè)向量也可以分解為兩個(gè)互相垂直的向量的線性表達(dá)，這種情形叫向量的正交分解．以后可以看到，在正交分解下，許多有關(guān)向量問(wèn)題將變得較為簡(jiǎn)單．

2.在平面直角坐標(biāo)系中，每一個(gè)點(diǎn)可用一對(duì)有序?qū)崝?shù)（即它的坐標(biāo)）表示，那么對(duì)平面直角坐標(biāo)內(nèi)的每一個(gè)向量，可否用實(shí)數(shù)對(duì)來(lái)表示？又如何表示呢？

二、建立模型

1.如圖，在直角坐標(biāo)系中，先分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i，j作為基底．對(duì)于平面上一個(gè)向量a，由平面向量的基本定理，知有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x，y使ａ＝xi＋yj，這樣平面內(nèi)任一向量a都可由x，y唯一確定，（x，y）叫a的坐標(biāo)，記作a＝（x，y）．

顯然，i＝（1，0），j＝（0，1），0＝（0，0）．

若把ａ的起點(diǎn)平移到坐標(biāo)原點(diǎn)，即ａ＝xi＋yj，則，則點(diǎn)A的位置由ａ唯一確定．設(shè)＝的坐標(biāo)就是點(diǎn)A的坐標(biāo)；反過(guò)來(lái)，點(diǎn)A的坐標(biāo)（x，y）也就是的坐標(biāo)．因此，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，每一個(gè)平面向量都可以用一對(duì)實(shí)數(shù)（即坐標(biāo)）唯一表示．

2.學(xué)生思考討論

已知a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），你能得出a＋b，a－b，λa的坐標(biāo)嗎？ ∵ａ＝（x1，y1），b＝（x2，y2），∴ａ＝x1ｉ＋y1ｊ，b＝x2ｉ＋y2ｊ． ∴ａ＋ｂ＝（x1＋x2）i＋（y1＋y2）j，∴ａ＋ｂ＝（x1＋x2，y1＋y2）．

同理ａ＋ｂ＝（x1－x2，y1－y2），λａ＝（λx1，λy1）．

上述結(jié)論可表述為：兩個(gè)向量和（差）的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和（差）；實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來(lái)向量的相應(yīng)坐標(biāo)．

三、解釋應(yīng)用 ［例 題］

1.已知A（x1，y1），B（x2，y2），求AB→的坐標(biāo)．

解：如圖39-3，AB→＝－

＝（x2，y2）－（x1，y1）＝（x2－x1，y2－y1）．

總結(jié)：一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)坐標(biāo)． 思考：能在圖中標(biāo)出坐標(biāo)為（x2－x1，y2－y1）的P點(diǎn)嗎？

平移到，則P（x2－x1，y2－y1）．

2.已知A（－2，1），B（－1，3），C（3，4）．

（1）求－的坐標(biāo)．

（2）求ABCD中D點(diǎn)的坐標(biāo)．

放開思考，展開討論，看學(xué)生們有哪些不同方法．

（1）解法1：∵＝（1，2），＝（5，3），∴－＝（1，2）－（5，3）＝（－4，－1）． 解法2：－＝＝（－4，－1）．

（2）解法1：設(shè)D（x，y），∴x＝y(tǒng)＝2，D（2，2）．

＝，即（1，2）＝（3－x，4－y），思考：你能比較出對(duì)（2）的兩種解法在思想方法上的異同點(diǎn)嗎？（解法1是間接的思想，即方程的思想，解法2是直接的思想）

3.在直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（3，2），點(diǎn)B（－2，4），求向量方向和長(zhǎng)度．

＋的解：由已知，得＝（3，2），＝（－2，4）．

設(shè)＝＋，則＝＋＝（3，2）＋（－2，4）＝（1，6）．

由兩點(diǎn)的距離公式，得

設(shè)相對(duì)x軸正向的轉(zhuǎn)角為α，則

查表或使用計(jì)算器，得α＝80°32′．

答：向量的方向偏離ｘ軸正向約為80°32′，長(zhǎng)度等于

．，向量的方向偏離x軸正向約為116°34′，長(zhǎng)度等于2［練習(xí)］ 1.已知a＝（2，1），b＝（－3，4），求3a＋4b的坐標(biāo)． 2.設(shè)a＋b＝（－4，－3），a－b＝（2，1），求a，b． 解法1：∵2a＝（－4，－3）＋（2，1）＝（－2，－2），2b＝（－4，－3）－（2，1）＝（－6，－4），∴a＝（－1，－1），b＝（－3，－2）． 解法2：設(shè)a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），則

3.已知ａ＝（1，1），ｂ＝（1，－1），ｃ＝（－1，2），試以ａ，ｂ為基底來(lái)表示ｃ．

解：設(shè)c＝k1a＋k2a，即（－1，2）＝k1（1，1）＋k2（1，－1），即（－1，2）＝（k1＋k2，k1－k2），四、拓展延伸

1.在直角坐標(biāo)系xOy中，已知A（x1，y1），B（x2，y2），求線段AB中點(diǎn)的坐標(biāo)．

解：設(shè)點(diǎn)M（x，y）是線段AB的中點(diǎn)（如圖39-5），則＝（＋）．

將上式換為向量的坐標(biāo)，得

（x，y）＝［（x1，y1）＋（x2，y2）］．

即.這里得到的公式叫作線段中點(diǎn)的坐標(biāo)計(jì)算公式，簡(jiǎn)稱中點(diǎn)公式．

2.對(duì)于向量a，b，c，若存在不全為0的實(shí)數(shù)k1，k2，k3，使k1a＋k2b＋k3c＝0，則稱a，b，c三個(gè)向量線性相關(guān)，試研究三個(gè)向量3，－4）是否線性相關(guān)．

＝（3，5），＝（0，－1），＝（－解法1：顯然有＋＋＝0，∴三者線性相關(guān)．

解法2：由k1＋k2＋k3

＝0，即k1（3，5）＋k2（0，－1）＋k3（－3，－4）＝0，即（3k1－3k3，5k1－k2－4k3）＝（0，0），取k1＝k2＝k3＝1，則

＋＋＝0，故三個(gè)向量線性相關(guān)．