第一篇：高中數學新課程創新教學設計案例50篇 34 誘導公式

誘導公式

教材分析

這節內容以學生在初中已經學習了銳角的三角函數值為基礎，利用單位圓和三角函數的定義，導出三角函數的五組誘導公式，即有關角k·360°＋α，180°＋α，－α，180°－α，360°－α的公式，并通過運用這些公式，把求任意角的三角函數值轉化為求銳角的三角函數值，從而滲透了把未知問題化歸為已知問題的化歸思想．這節課的重點是后四組誘導公式以及這五組公式的綜合運用．把這五組公式用一句話歸納出來，并切實理解這句話中每一詞語的含義，是切實掌握這五組公式的難點所在．準確把握每一組公式的意義及其中符號語言的特征，并且把公式二、三與圖形對應起來，是突破上述難點的關鍵．

教學目標

1.在教師的引導下，啟發學生探索發現誘導公式及其證明，培養學生勇于探求新知、善于歸納總結的能力．

2.理解并掌握正弦、余弦、正切的誘導公式，并能應用這些公式解決一些求值、化簡、證明等問題．

3.讓學生體驗探索后的成功喜悅，培養學生的自信心．

4.使學生認識到轉化“矛盾”是解決問題的有效途徑，進一步樹立化歸思想．

任務分析

誘導公式的重要作用之一就是把求任意角的三角函數值轉化為求銳角的三角函數值．在五組誘導公式中，關于180°＋α與－α的誘導公式是最基本的，也是最重要的．在推導這兩組公式時，應放手讓學生獨立探索，尋求“180°＋α與角α的終邊”及“－α與角α的終邊”之間的位置關系，從而完成公式的推導．此外，要把90°～360°范圍內的三角函數轉化為銳角的三角函數，除了利用第二、四、五個公式外，還可以利用90°＋α，270°±α與α的三角函數值之間的關系．應引導學生在掌握前五組誘導公式的基礎上進一步探求新的關系式，從而使學生在頭腦中形成完整的三角函數的認知結構．

教學設計

一、問題情境 教師提出系列問題

1.在初中我們學習了求銳角的三角函數值，現在角的概念已經推廣到了任意角，能否把任意角的三角函數值轉化為銳角的三角函數值呢？ 2.當α＝390°時，能否求出它的正弦、余弦和正切值？ 3.由2你能否得出一般性的結論？試說明理由．

二、建立模型 1.分析1 在教師的指導下，學生獨立推出公式

（一），即

2.應用1 在公式的應用中讓學生體會公式的作用，即把任意角的三角函數值轉化為0°～360°范圍內的角的三角函數值．

練習：求下列各三角函數值．

（1）cos3.分析2 π．

（2）tan405°．

如果能夠把90°～360°范圍內的角的三角函數值轉化為銳角的三角函數值，即可實現“把任意角的三角函數值轉化為銳角的三角函數值”的目標．例如，能否將120°，240°，300°角與我們熟悉的銳角建立某種聯系，進而求出其余弦值？

引導學生利用三角函數的定義并借助圖形，得到如下結果：

cos120°＝cos（180°－60°）＝－cos60°＝－，cos240°＝cos（180°＋60°）＝－cos60°＝－，cos300°＝cos（360°＋60°）＝cos60°＝4.分析3

．

一般地，cos（180°＋α），cos（180°－α），cos（360°－α）與cosα的關系如何？你能證明自己的結論嗎？由學生獨立完成下述推導： 設角α的終邊與單位圓交于點P（x，y）．由于角180°＋α的終邊就是角α的終邊的反向延長線，則角180°＋α的終邊與單位圓的交點P′與點P關于原點O對稱．

由此可知，點P′的坐標是（－x，－y）．

又∵單位圓的半徑r＝1，∴cosα＝x，sinα＝y，tanα＝（180°＋α）＝－y，tan（180°＋α）＝從而得到：

．，cos（180°＋α）＝－x，sin

5.分析4 在推導公式三時，學生會遇到如下困難，即：若α為任意角，180°－α與角α的終邊的位置關系不容易判斷．這時，教師可引導學生借助公式二，把180°－α看成180°＋（－α），即：先把180°－α的三角函數值轉化為－α的三角函數值，然后通過尋找－α的三角函數值與α的三角函數值之間的關系，使原問題得到解決．

由學生獨立完成如下推導：

如圖，設任意角α的終邊與單位圓相交于P（x，y），角－α的終邊與單位圓相交于點P′．∵這兩個角的終邊關于ｘ軸對稱，∴點P′的坐標是（x，－y）．又∵r＝1，∴cos（－α）＝x，sin（－α）＝－y，tan（－α）＝從而得到：

進而推出：

注：在問題的解決過程中，教師要注意讓學生充分體驗成功的快樂． 6.教師歸納

公式

（一）、（二）、（三）、（四）、（五）都叫作誘導公式，利用它們可以把k·360°＋α，180°±α，－α，360°－α的三角函數轉化為α的三角函數．那么，在轉化過程中，發生了哪些變化？這種變化是否存在著某種規律？

引導學生進行如下概括：α＋k·360°（k∈Z），－α，180°±α，360°－α的三角函數值，等于α的同名函數值，前面加上一個把α看成銳角時原函數值的符號．為了便于記憶，還可編成一句口訣“函數名不變，符號看象限”．

三、解釋應用 ［例 題］

1.求下列各三角函數值．

通過應用，讓學生體會誘導公式的作用：

①把任意角的三角函數轉化為銳角三角函數，其一般步驟為

評注：本題中，若代入cosα·cot3α形式，就須先求得cosα的值．由于不能確定角α所在象限，解題過程將變得煩鎖．以此提醒學生注意選取合理形式解決問題．

四、拓展延伸

教師出示問題：前面我們利用三角函數的定義及對稱性研究了角α＋k·360°（k∈Z），－α，180°±α，360°－α的三角函數與角α的三角函數之間的關系，這些角有一個共同點，即：均為180°的整數倍加、減α．但是，在解題過程中，還會遇到另外的情況，如前面遇到的120°角，它既可以寫成180°－60°，也可以寫成90°＋30°，那么90°＋α的三角函數與α的三角函數有著怎樣的關系呢？

學生探究：經過獨立探求后，有學生可能會得到如下結果：

設角α的終邊與單位圓交于點P（x，y），角90°＋α的終邊與單位圓交于點P′（x′，y′）（如圖），則cosα＝x，sinα＝y，cos（90°＋α）＝x′，sin（90°＋α）＝y′． 過P作PM⊥x軸，垂足為M，過P′作P′M′⊥y軸，垂足為M′，則△OPM≌△OP′M′，∴OM＝OM′，MP＝M′P′，即x＝y′，y＝x′．

進而得到cos（90°＋α）＝sinα，sin（90°＋α）＝cosα．對此結論和方法，教師不宜作任何評論，而應放手讓學生展開辯論和交流，最后得到正確結果：

由于OM與OM′，MP與M′P′僅是長度相等，而當點P在第一象限時，P′在第二象限，∴x′＜0，y′＞0，又∵x＞0，y＞0，∴x′＝－y，y′＝x． 從而得到：

教師進一步引導：

（1）推導上面的公式時，利用了點P在第一象限的條件．當點Ｐ不在第一象限時，是否仍有上面的結論？

（通過多媒體演示角α的終邊在不同象限的情景，使學生理解公式六中的角α可以為任意角）

（2）推導公式六時，采用了初中的平面幾何知識．是否也能像推導前五組公式那樣采用對稱變換的方式呢？

學生探究：學生先針對α為銳角時的情況進行探索，再推廣到α為任意角的情形． 設角α的終邊與單位圓交點為P（x，y），（如圖）．由于角α的終邊經過下述變換：2（＋α的終邊與單位圓的交點為P′（x′，y′）－α）＋2a＝，即可得到

＋α的終邊．這是兩次對稱變換，即先作P關于直線y＝x的對稱點M（y，x），再作點M關于y軸的對稱點P′（－y，－x），∴x′＝－y，y′＝x．

由此，可進一步得到：

教師歸納：公式六、七、八、九也稱作誘導公式，利用它們可以把90°±α，270°±α的三角函數轉化為α的三角函數．

引導學生總結出：

90°±α，270°±α的三角函數值等于α的余名函數值，前面加上一個把α看成銳角時原函數值的符號．

兩套公式合起來，可統一概括為 對于k·90°±α（k∈Z）的各三角函數值，當k為偶數時，得α的同名函數值；當k為奇數時，得α的余名函數值．然后，均在前面加上一個把α看成銳角時原函數值的符號．為了便于記憶，也可編成口訣：“奇變偶不變，符號看象限”．

點 評

這篇案例從學生的實際出發，充分尊重學生的思維特點，通過創設問題情境，引發認知沖突，較好地調動了學生的積極性和主動性，符合新課程理念的精神．在教學設計中，教師以學生活動為主，注意師生互動，體現學生的自主學習．實際的課堂教學表明，在教學過程中，教師對每名同學的發言都給以充分地鼓勵，即使他的解法不完美，甚至不正確．這對保護學生大膽嘗試、認真思考的積極性至關重要．只有這樣，才能將教學效果落實到學生個體的學習行為上，進而實現預期的教學目標．總之，這篇案例的突出特點就是，注意通過問題驅動的方式，激發學生主動探究的熱情，完成五組誘導公式的推導．缺陷是，在關注五組誘導公式推導的“一氣呵成”的同時，鞏固、強化工作顯得單薄．這是一對棘手的矛盾！

第二篇：高中數學《誘導公式》教學案例分析

高中數學《誘導公式》教學案例分析

來源：安徽省金寨第一中學 發布時間：2009-07-23 查看次數：424 高中數學《誘導公式》教學案例分析

一、教學設計：

1、教學任務分析：（1）：借助單位圓推導誘導公式，特別是學習對稱性與角終邊對稱性中，發現問題。提出研究方法

（2）能運用誘導公式求三角函數值，進行簡單三角函數式的化簡與恒等式的證明，并從中體會未知到已知，復雜到簡單的轉化過程

2、教學重難點：

教學重點：誘導公式的探究，運用誘導公式進行簡單三角函數式的求值，化簡與恒等式的證明，提高對數學內部的聯系。

教學難點：發現圓的幾何性質（特別是對稱性）與三角函數的聯系，特別是直角坐標系內關于直 y=x對稱的點的性質與的 誘導公式的關系

3、教學基本流程：

4、教學情景設計：

問題 設計意圖 師生活動 閱讀 P26的“思考”，你能夠說說從

圓的對稱性可以得到哪些三角函數的性質？ 引導學生建立圓的性質與三角函數誘導公式之間的聯系 對稱性出發，思考并回答可以研究什么什么性質，老師注意引導學生從圓的對稱性出發，思考相應角的關系，再進一步思考相應的三角函數值的關系。2.閱讀P26頁的“探究”并以問題1為例，說明你的探究結果 講“思考的問題具體化”進一步明確探究方向 教師引導學生思考終邊與角 的終邊關于原點對稱的角與 的數量關系，然后得出三角函數值之間的關系 3.說明自己的探究結果為什么成立 引導學生利用三角函數的定義進行證明公式 2 教師提出對探究結果證明的要求，并留給學生一定的思考時間，學生利用定義進行證明，教師提醒學生注意使用前面的探究結果 4.用類似的方法，探究終邊分別與角 的終邊關于x軸，關于y軸對稱的角與 的數量關系，他們的三角函數值有什么關系？能否證明？ 讓學生加深理解利用單位圓的對稱性研究三角函數的性質的思想方法 教師引導學生“并列學習”同樣的思路研究誘導公式 3.與4，學生獨立思考并自主探究和給出證明 5.概括公式2----4的探究思想方法 及時概括思想方法，提高學習活動中的思想性 引導學生概括出： 6.概括一下公式1--4的特點及其作用 深化對公式的理解 提醒學生注意公式兩邊角的共同點，學生討論并概括說明 7.例題1--2 通過公式的應用，較深對公式的理解 學生對公式的初步應用 8.借助單位圓探究終邊與角 的終邊關于直線 對稱的角與 有何數量關系？它們的正弦，余弦之間的關系式？ 根據公式 2--4的探究經驗，引導學生獨立探究公式5 老師提出問題，學生看到網絡上的單位圓，發現角 的終邊關于直線 對稱的角與 的數量關系，關于直線 對稱的兩個點的坐標之間的關系進行引導 9.能否用已有的公式得到 的正弦，余弦與 的正弦，余弦之間的關系式？ 引導學生用已學的知識進行證明公式 6 教師引導學生將 轉化為 利用公式4.5推導公式6 10例題 加深公式 5.6的理解 學生完成，老師講解 11.在線測評 看看學生的掌握情況 學生測評，教師給以評價 12.總結這些公式，記憶方法。高中數學《誘導公式》網絡教學教師小結：林婉查

作為一名新老師，很榮幸能夠讓大家來聽我的課，通過這課，我學習到如下的東西： 1.要認真的研讀新課標，對教學的目標，重難點把握要到位 2.注意板書設計，注重細節的東西，語速需要改正

3.進一步的學習網頁制作，讓你的網頁更加的完善，學生更容易操作

4.盡可能讓你的學生自主提出問題，自主的思考，能夠化被動學習為主動學習，充分享受學習數學的樂趣

5.上課的生動化，形象化需要加強

高中數學《誘導公式》網絡教學教師評語：林婉查

2006年11月22日數學林婉查K-12課題：誘導公式（校際課）

1．評議者：網絡輔助教學，起到了很好的效果；教態大方，作為新教師，開設校際課，勇氣可嘉！建議：感覺到老師有點緊張，其實可以放開點的，相信效果會更好的！重點不夠清晰，有引導數學時，最好值有個側重點；網絡設計上，網頁上公開的推導公式為上，留有更大的空間讓學生來思考。

2．評議者：網絡教學效果良好，給學生自主思考，學習的空間發揮，教學設計得好；建議：課堂講課聲音，語調可以更有節奏感一些，抑揚頓挫應注意課堂例題練習可以多兩題。3．評議者：學科網絡平臺的使用；建議：應重視引導學生將一些唾手可得的有用結論總結出來，并形成自我的經驗。

4．評議者：引導學生通過網絡進行探究。建議：課件制作在線測評部分，建議不能重復選擇，應全部做完后，顯示結果，再重復測試；多提問學生。

（1）給學生思考的時間較長，語調相對平緩，總結時，給學生一些激勵的語言更好（2）這樣子的教學可以提高上課效率，讓學生更多的時間思考

（3）網絡平臺的使用，使得學生的參與度明顯提高，存在問題：1.公式對稱性的誘導，點與點的對稱的誘導，終邊的關系的誘導，要進一步的修正；2.公式的概括要注意引導學生怎么用，學習這個誘導公式的作用

（4）給學生答案，這個網頁要進一步的修正，答案能否不要一點就出來（5）1.板書設計要進一步的加強，2.語速相對是比較快的3.練習量比較少（6）讓學生多探究，課堂會更熱鬧

（7）注意引入的過程要帶有目的，帶著問題來教學，學生帶著問題來學習（8）教學模式相對簡單重復

（9）思路較為清晰，規范化的推理

第三篇：誘導公式教學設計

三角函數的誘導公式教學設計

教材分析 地位與作用

“三角函數的誘導公式”是普通高中課程標準實驗教科書人教A版必修4第一章第三節，其主要內容是三角函數的誘導公式中的公式二至公式六。它是圓的對稱性的“代數表示”。利用對稱性，探究角的終邊分別關于原點或坐標軸對稱的角的三角函數值之間的關系，體現“數形結合”的數學思想；誘導公式的主要用途是把任意角的三角函數值問題轉化為求銳角的三角函數值，體現“轉化”的數學思想。誘導公式學習還反映了從特殊到一般的歸納思維形式，對培養學生的創新意識、發展學生的思維能力具有積極的作用。教學目標 1.知識與技能

借助單位圓，推導出誘導公式，能正確運用誘導公式將任意角的三角函數化為銳角的三角函數，掌握有關三角函數求值問題。2.過程與方法

經歷誘導公式的探索過程，體驗未知到已知、復雜到簡單的轉化過程，培養化歸思想。3.情感、態度與價值觀

感受數學探索的成功感，激發學習數學的熱情，培養學習數學的興趣，增強學習數學的信心。重、難點 1.重點：誘導公式二、三、四的探究，運用誘導公式進行簡單三角函數式的求值，提高對數學內部聯系的認識。

2.難點：發現圓的對稱性與任意角終邊的坐標之間的聯系；誘導公式的合理運用。教學環節

一、課題引入

問題1：任意角α的正弦、余弦、正切是怎樣定義的？ 學生口述三角函數的單位圓定義：sin=y,cos=x, tan=(x≠0)問題2：求下列三角函數值：（1）sin，（2）cos，（3）tan。

給學生3分鐘左右的時間獨立思考，教師請1名學生到黑板上展示其答題情況。學生獨立思考，嘗試用定義解答。1名學生到黑板上板演。抓住學求的三角函數值時產生思維上認識的沖突，引出課題《三角函數的誘導公式》。

根據教師的引導產生探索新知識的欲望

設計意圖（三角函數的定義是學習誘導公式的基礎，設置問題情境，產生知識沖突，引發思考，既調動學生學習積極性，激發探究欲望，又順利導入新課。）

二、合作探究公式

1.根據學生黑板上用定義求角考：

問題3：（1）角（2）設角與角

和角的終邊有何關系？ 的三角函數值的情況，引導學生思的終邊分別交單位圓于點P1、P2，點P1的坐標為P1(x，y)，則點 P2的坐標如何表示？（3）它們的三角函數值有何關系？

2.教師用幾何畫板演示角α可以是任意角，引導學生體會 1.學生觀察圖形，結合教師的問題發現：角

和角

數量上相差，圖形上它們的終邊關于原點對稱，與單位圓的交點坐標互為相反數。再根據定義得出角

和角

三角函數之間的關系。

2.觀察教師給出的動畫演示,體會角α的任意性，得出任意角α與角π＋α的終邊關于

原點對稱，其三角函數值之間滿足公式二。特殊角到一般角的變化，歸納出公式二： sin（π＋α）=-sinα，cos（π＋α）=-cosα，tan（π＋α）= tanα。3.練習：求sin2250

學生根據公式二求2250的正弦值。自主探究公式

三、公式四

1.引導學生回顧剛才探索公式二的過程，明確研究三角函數誘導公式的路線圖：角間關系→對稱關系→坐標關系→三角函數值間關系。為學生指明探索公式三、四的方向。2.探究：給定一個角a。

（1）角π-a和角a的終邊有什么關系？它們的三角函數之間有什么關系？

（2）角-a和角a的終邊有什么關系？它們的三角函數之間有什么關系？

3.組織學生分組探索角π-a和角a、角-a和角a的三角函數之間的關系。

先讓學生先獨立思考，然后小組交流。在學生交流時教師巡視，讓兩個小組到黑板上展示。同時派出優秀學生到其他小組提供幫助。4.在學生解答后教師用幾何畫板演示其中的角a也可以為任意角，驗證學生的結論。1.體會研究誘導公式的線路圖。畫出圖形，先獨立思考嘗試自主解答，一定時間后在組長的帶領下展開組內討論。

2.兩個小組的代表到黑板上展示。3至4名優秀學生到其他小組提供幫助。

3.觀察教師的動畫演示，驗證討論的結論。得到公式三： sin(-a)=-sin a，cos(-a)= cos a，tan(-a)=-tan a。公式四：

sin(π-α)=sinα，cos(π-α)=-cosα，tan(π-α)=-tanα.4.學生先自由發言，嘗試歸納公式的特征。然后在教師的引導下小組交流討論形成對公式的正確認識。歸納出公式的特征： 的三角函數值，等于a的同名函數

活動四：公式運用

練習：利用公式求下列各三角函數值：(1)sin;(2)cos();(3)tan(-2040°)1.讓3名學生到黑板上板演，組織全班學生觀察糾錯。

2.引導學生歸納用誘導公式將任意角的三角函數化為銳角的三角函數的一般步驟。課堂小結：

1.本節課我們學習了什么知識？ 2.談談您本節課學習的感想！

引導學生回憶誘導公式的內容及其作用。強調探索誘導公式中的思想方法。作業：

習題1.3A組 1、2；

第四篇：第二部分高中數學新課程創新教學設計案例

第二部分 高中數學新課程創新教學設計案例

正弦函數的性質

教材分析

這篇案例的內容是在學生已經掌握正弦函數圖像的基礎上，通過觀察、歸納和總結，得出正弦函數的五個重要性質，即正弦函數的定義域、值域、周期性、奇偶性和單調性．教學重點是正弦函數的圖像特征及五個重要性質，難點是周期函數及最小正周期的意義．由于周期函數的概念比較抽象，因此，在引入定義之前，應注意通過具體實例讓學生充分體會這種“周而復始”的現象，體會新概念的形成過程．

教學目標

1.引導學生通過觀察，分析y＝sinx的圖像，進而歸納、總結出正弦函數的圖像特征，并抽象出函數性質，培養學生觀察、分析圖像的能力和數形結合的能力．

2.理解和掌握正弦函數的五個重要性質，能夠解決與正弦函數有關的函數的值域、最小正周期及單調區間等簡單問題．

3.使學生進一步了解從特殊到一般、從一般到特殊的思維方法，體會分析、探索、化歸、類比的科學研究方法在解決數學問題中的應用．

4.使學生初步體會事物周期變化的一些奧秘，進一步提高學生對數學的學習興趣．

任務分析

這節內容是在學生已經掌握了正弦函數圖像特征的基礎上，運用數學的符號語言把圖像特征進一步“量化”，從而得出正弦函數的五個性質．一般來說，從正弦曲線的形狀，可以很清晰地看出正弦函數的定義域、值域、最值、符號、周期性、奇偶性、單調性等，但對于周期性及單調區間的表述，學生可能會有一定的困難．因此，在引入周期函數的定義之前，要讓學生充分觀察圖像，必要時可把物理中的彈簧振動的實驗再做一做，讓學生體會“周而復始”的現象，體會概念的形成過程．

此外，對于周期函數，還應強調以下幾點： 1.x應是“定義域內的每一個值”．

2.對于某些周期函數，在它所有的周期中，不一定存在一個最小的正周期，即某些周期函數沒有最小正周期． 3.對于一個周期函數f（x），如果在它的所有周期中存在一個最小的正數，那么這個最小的正數就叫作f（x）的最小正周期．今后涉及的周期，如果不加特殊說明，一般都是指函數的最小正周期．

教學設計

一、問題情境

1.教師提出問題，引導學生總結

我們學習過正弦函數圖像的畫法，并通過觀察圖像，得到了正弦曲線的一些特征，那么這些特征體現了正弦函數怎樣的性質呢？

用投影膠片展示正弦曲線，引導學生探索正弦函數的性質：

注：由此學生得出正弦函數的如下性質：（1）定義域為R．

（2）值域為［－1，1］，當且僅當x＝2kπ＋當且僅當x＝2kπ－

（k∈Z）時，正弦函數取得最大值1，（k∈Z）時，正弦函數取得最小值－1．

注：在此處，教師應提醒學生注意前面的“2kπ”，使學生初步感受一下正弦函數的“周而復始”性．

2.教師進一步提出問題

從正弦曲線我們注意到，函數y＝sinx在x∈［－2π，0］，x∈［2π，4π］，x∈［4π，6π］，…時的圖像與x∈［0，2π］的形狀完全一樣，只是位置不同，這種特征體現了正弦函數的什么性質呢？

（設計目的：引導學生從物理中彈簧的振動，即小球在平衡位置的往復運動，體會事物的“周期性”變化）

（2）數學中的這種周期性變化能否用一個數學式子來體現？

二、建立模型 1.引導學生探究

2.教師明晰

通過學生的討論，歸納出周期函數的定義：

一般地，對于函數y＝f（x），如果存在一個非零常數T，使定義域內的每一個x值，都滿足f（x±T）＝f（x），那么函數f（x）就叫作周期函數，非零常數Ｔ叫作這個函數的周期．

說明：若學生歸納和總結出周期函數的如下定義，也應給以充分的肯定．

如果某函數對于自變量的一切值每增加或減少一個定值，函數值就重復出現，那么這個函數就叫作周期函數．

給出最小正周期的概念：對于一個周期函數f（x），如果在它所有的周期中存在一個最小的正數，那么這個最小正數就叫作它的最小正周期．教科書中今后涉及的周期，如果不加特殊說明，一般都是指函數的最小正周期．

3.深化定義的內涵

（1）觀察等式sin（y＝sinx的周期？為什么？

＋）＝sin是否成立？如果成立，能不能說是正弦函數（2）函數f（x）＝c是周期函數嗎？它有沒有最小正周期？ 3.歸納正弦函數的性質

通過觀察圖像，我們得到了正弦函數的定義域、值域、周期性等性質，除此之外，正弦函數還有哪些性質呢？

教師引導學生歸納出以下兩條性質：

奇偶性：由誘導公式sin（－x）＝－sinx，知正弦函數是奇函數，其圖像關于原點對稱． 單調性：觀察正弦曲線可以看出，當x由－由－1增大到1；當x由

增大到

增大到時，曲線逐漸上升，sinx的值

時，曲線逐漸下降，sinx的值由1減小到－1．因此，＋2kπ］（k∈Z）上都是增函數，其值從－1＋2kπ］（k∈Z）上都是減函數，其值從1減正弦函數在每一個閉區間［－增大到1；在每一個閉區間［小到－1．

三、解釋應用 1.例題分析

＋2kπ，＋2kπ，例1 求使下列函數取得最大值和最小值的x的集合，并說出最大值和最小值是什么．（1）y＝sin2x．

（2）y＝sinx＋2．

（3）y＝asinx＋b．

（4）y＝2cos2x＋5sinx－4．

解：（1）當2x＝2kπ＋（k∈Z），即x＝kπ＋（k∈Z）時，函數y＝sin2x取得最

（k∈Z）時，函數y＝sin2x大值，最大值是1；當2x＝2kπ－取得最小值，最小值是－1．

（k∈Z），即x＝kπ－∴使函數取得最大值的x的集合為｛x｜x＝kπ＋取得最小值的x的集合為｛x｜x＝kπ－

（k∈Z）｝，最大值是1；使函數

（k∈Z）｝，最小值是－1．

（2）由于函數y＝sinx與函數y＝sinx＋2同時取得最大值和最小值．因此，當x＝2kπ＋（k∈Z）時，函數y＝sinx＋2取得最大值，最大值為3；當x＝2kπ－

（k∈Z）時，函數y＝sinx＋2取得最小值，最小值為1．

∴使函數取得最大值的x的集合為｛x｜x＝2kπ＋取得最小值的x的集合為｛x｜x＝2kπ－

（k∈Z）｝，最大值為3；使函數

（k∈Z）｝，最小值為1．

（3）當a＞0時，使函數取得最大值時的x的集合為｛x｜x＝2kπ＋＝a＋b；使函數取得最小值時的x的集合為｛x｜x＝2kπ－

（k∈Z）｝，ymax

（k∈Z）｝，ymin＝－a＋b． 當a＜0時，使函數取得最大值時的ｘ的集合為｛x｜x＝2kπ－a＋b；使函數取得最小值時的x的集合為｛x｜x＝2kπ＋

（k∈Z）｝，ymax＝－

（k∈Z）｝，ymin＝a＋b．

（4）y＝2cos2x＋5sinx－4＝－2sin2x＋5sinx－2＝

設t＝sinx，則y＝二次函數的最大值和最小值問題了．，且t∈［－1，1］，于是問題就變成求閉區間上當t＝1，即sinx＝1時，ymax＝1，取最大值時x的集合為｛x｜x＝2kπ＋

（k∈Z）｝；

當t＝－1，即sinx＝－1時，ymin＝－9，取最小值時x的集合為｛x｜x＝2kπ－∈Z）｝.［練習］

求下列函數的最值，以及使函數取得值時的自變量ｘ的集合．

（k（1）y＝｜a｜sinx＋b．

（2）y＝－sin2x＋例2 求下列函數的周期．

sinx＋．

（1）y＝sin2x．

（2）y＝．

解：（1）要求函數y＝sin2x的周期，只須尋求使等式sin2（x＋T）＝sin2x恒成立的最小正數T即可．

∵使sin（2x＋2T）＝sin2x恒成立的正數2T的最小值是2π，∴當2T＝2π時，T＝π． 因此，函數y＝sin2x的周期為π．

（2）要求函數y＝的周期，只須尋求使等式 2.教師啟發，誘導學生自主反思

（1）從上面的例題分析中，你是否有所發現？（這類函數的周期好像只與x的系數有關）

（2）一般地，函數y＝Asin（ωx＋φ）（其中A≠0，ω＞0，x∈R）的周期是多少？ ［要求函數y＝Asin（ωx＋φ）的周期，只須尋求使等式Asin［ω（x＋T）＋φ］＝Asin（ωx＋φ），即Asin（ωx＋φ＋ωT）＝Asin（ωx＋φ）恒成立的最小正數T即可．

∵使Asin（ωx＋φ＋ωT）＝Asin（ωx＋φ）恒成立的正數ωT，最小值是2π，∴當ωT＝2π時，T＝.因此，函數y＝Asin（ωx＋φ）（A≠0，ω＞0，x∈R）的周期為3.鞏 固 ［練習］ 求下列函數的周期．

4.進一步強化

例3 不求值，指出下列各式大于零還是小于零．

例4 確定下列函數的單調區間．（1）y＝1－sin3x．

（2）y＝log2sin3x．

四、拓展延伸

1.若常數T為f（x）的周期，nT（n∈N*）是否也是它的周期？ 2.你能證明正弦函數的最小正周期是2π嗎？

3.某港口的水深y（m）是時間t（0≤t≤24，單位：h）的函數，下面是該港口的水深表： 表35-1

經過長時間的觀察，描出的曲線如圖所示，經擬合，該曲線可近似地看成正弦函數y＝Asinωt＋B的圖像．

（1）試根據數據表和曲線，求出函數y＝Asinωt＋B的表達式．

（2）一般情況下，船舶航行時船底同海底的距離不少于4.5m時是安全的．如果某船的吃水深度（船底與水面的距離）為7m，那么該船在什么時間段能夠安全進港？若該船欲當天安全離港，它在港內停留的時間最多不能超過多長時間（忽略離港用的時間）？

第五篇：新課程高中數學教學設計與案例

新課程高中數學教學設計與案例

李代友

直線與平面平行的性質

1.教學目的

(1)通過教師的適當引導和學生的自主學習，使學生由直觀感知、獲得猜想，經過邏輯論證，推導出直線與平面平行的性質定理，并掌握這一定理；

(2)通過直線與平面平行的性質定理的實際應用，讓學生體會定理的現實意義與重要性；

(3)通過命題的證明，讓學生體會解決立體幾何問題的重要思想方法——化歸思想，培養、提高學生分析、解決問題的能力。2.教學重點和難點

重點：直線與平面平行的性質定理；

難點：直線與平面平行性質定理的探索及P61例3。(人教版)3.教學基本流程

復習相關知識并由現實問題引入課題

引導學生探索、發現直線與平面平行的性質定理 分析定理，深化定理的理解 直線與平面平行的性質定理的應用 學生練習，反饋學習效果 小結與作業4.教學過程

教師活動學生活動設計意圖【復習】以提問的形式引導學生回顧相關的知識：線線、線面的位置關系及判定線面平行的方法。思考并回答問題。溫故知新，為新課的學習做準備。【引入】(1)提出例3給出的實際問題，讓學生稍作思考；

(2)點明該問題解決的關鍵是由條件“棱BC平行于面AC”如何在木料表面畫線，使得工人師傅按照畫線加工出滿足要求的工件；

(3)引入課題——在我們學習了《直線與平面平行的性質》這一節課之后，我們就知道如何解決這個實際問題了。思考問題，進入新課的學習。通過實際例子，引發學生的學習興趣，突出學習直線和平面平行性質的現實意義。【設問】

(1)提出本節《思考》的問題(1)：如果一條直線與平面平行，那么這條直線是否與這個平面內的所有直線都平行? 1 引導學生做小實驗：利用筆和桌面做實驗，把一支筆放置到與桌面所在平面平行的位置上，把另一支筆放置在桌面，筆所在的直線代表桌面所在平面上的一條直線，移動桌面上的筆到不同的位置，觀察兩筆所在直線的位置關系。

(2)一條直線與平面平行，那么這條直線與平面內的直線有哪些位置關系? 分析：a∥αa與α無公共點 a與α內的任何直線都無公共點 a與α內的直線是異面直線或平行直線。

(1)學生動手做實驗，并觀察得出問題的結論：與平面平行的直線并不與這個平面內的所有直線都平行。(2)學生由實驗結果猜想問題的答案，再由教師的引導進行嚴謹的分析，確定猜想的正確性。通過學生的動手實驗，得出問題的結論，提高學生的探索問題的熱情。續表

教師活動學生活動設計意圖【探究】一條直線與一個平面平行，在什么條件下，平面內的直線與這條直線平行? 講述：與平面平行的直線，和平面內的直線或是異面直線或是平行直線，它們有一個區別是異面直線不共面，而平行直線共面，那么如何利用這個不同點，尋找這些平行直線呢? 長方體ABCD-ABCD中，AC平行于面ABCD，請在面ABCD內找出一條直線與AC平行。分析：AC與AC這兩條平行直線共面，同在面AACC內，可見AC是過AC的平面AACC與面ABCD的交線。

(2)在面ABCD內，除了AC還有直線與AC平行嗎?如果有，可以通過什么方法找到? 利用課件演示AC任意作一平面AEFC與面ABCD相交于線EF，驗證學生的猜想。

分析：因為AC∥面ABCD，所以AC與這個面內的直線EF沒有公共點，由大家的這個方法做出直線EF，就使得EF與AC共面，故EF∥AC。學生隨著教師的引導，思考問題，回答問題。(1)根據長方體的知識，學生能夠找到直線AC與AC平行。隨教師的引導，發現AC的特殊位置關系。(2)由上面特殊例子的啟發，學生逐漸形成對問題答案的猜想，隨教師的引導，證明猜想的正確性。以長方體為載體，引導學生猜想問題成立的條件，推導出定理。續表教師活動學生活動設計意圖【剖析定理】(1)證明定理；(2)分析定理成立的條件和結論；(3)指導學生閱讀課本60頁倒數第一段的內容。要求學生認真聽教師的分析，看定理的證明過程，閱讀和理解課本60頁倒數第一段的內容。深化學生對定理的理解，明確該定理給出了一種作平行線的重要方法。【鞏固練習】

一、提出本節開始提出的問題(2)，讓學生自由發言。(不局限只有引平行線的方法)

二、判斷題

(1)如果a、b是兩條直線，且a∥b，那么a平行于經過b的任何平面。(2)如果直線a和平面α滿足a∥α，那么a與α內的任何直線平行。

(3)如果直線a、b和平面α滿足a∥α，b∥α，那么a∥b。學生自由舉手發言，說明理由。通過練習再次深化對定理的理解。【講解例題】例

3、例4要求學生跟隨教師的分析引導，自己思考和解決問題。讓學生體會定理的現實意義與重要性及解決立體幾何問題的重要思想方法——化歸思想【課堂練習】 已知：α∩=CD,β∩γ=AB,AB∥α,α∩γ=EF, 求證：CD∥EF

選取幾份有代表性的做法，利用投影儀，講評練習，反饋學習效果。及時解決學生學習上存在的問題【小結】(1)直線與平面平行的性質定理；(2)直線與平面平行性質定理的應用。

【作業】習題22A組第5、6題總結歸納學習內容，安排適當的課后練習